2.1.1 离散型随机变量
学习目标
重点、难点
1.会分析随机变量的意义，能知道随机变量与函数的区别与联系．
2．能区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．
3．能理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
重点：1.理解随机变量所表示试验结果的含义．
2．离散型随机变量的概念．
难点：1.随机变量的意义．
2．区分两类随机变量，并能举出离散型随机变量的例子.
1．随机变量
(1)定义：随着________变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母____________表示．
预习交流1
随机变量与函数有何区别与联系？
2．离散型随机变量
所有取值可以________的随机变量，称为离散型随机变量．
预习交流2
(1)离散型随机变量有什么特点？
(2)下列不是离散型随机变量的是( )．
A．某水站观察到一天中长江的水位
B．某立交桥一天经过的车辆数
C．110报警中心一天内接到的报警电话个数
D．从编号为1,2,3,4的卡片中任取一张，取出的卡号
答案：
1．(1)试验结果 (2)X，Y，ξ，η，…
预习交流1：提示：联系：两者均是特殊的映射．
区别：随机变量把试验的结果映射为实数，而函数是把一个非空数集映射到另一个非空数集上．
2．一一列出
预习交流2：(1)提示：①随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．
②离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
(2)提示：A
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、随机变量的概念
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；
(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球半径长．
思路分析：判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为( )．
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数
在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源．
二、离散型随机变量的判定
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)一天内气温的变化值X；
(4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X.
思路分析：看一个变量是否为离散型随机变量时，首先明确是否是随机变量，再看变量的取值是否一一列出．
下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________．
①某地车展中，预订各类汽车的总人数X；
②北京故宫某周内每天接待的游客人数；
③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；
④小麦的亩产量X；
⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数X.
判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
三、离散型随机变量的取值
写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2013年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X.
思路分析：明确随机变量X的意义，写出X的所有取值及每个值对应的试验结果，要列举全面．
抛掷两枚骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( )．
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
答案：
活动与探究1：解：(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
迁移与应用：C 解析：A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．
活动与探究2：解：(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(4)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
迁移与应用：③④ 解析：③中X的值在[－1,1]内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量；④中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．①②⑤是离散型随机变量．
活动与探究3：解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.
X＝i，表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)X可取0,1,2.
X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(3)X可取3,4,5.
X＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
迁移与应用：D
1．给出下列四个命题：
①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；
②黄河每年的最大流量是随机变量；
③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；
④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．
其中正确的是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )．
A．5 B．9 C．10 D．25
3．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为( )．
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．前4次均击中目标
4．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，用0,1,2,3分别表示O型，A型，B型，AB型，现任抽一人，其血型是随机变量ξ，则ξ的可能取值为__________．
5．下列随机变量中是离散型随机变量的有__________．
①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5公斤以上的条数X；
②直线y＝x上的整点个数X；
③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；
④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.
答案：
1．C 解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．
2．B 解析：X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B.
3．C
4．0,1,2,3
5．①②④ 解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X可以一一列举，且②中的X是无限的．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
2.1.1 离散型随机变量
课堂导学
三点剖析
一、随机变量的判断
【例1】 投掷均匀硬币一枚，随机变量为( )
A.出现正面的次数 B.出现正面或反面的次数
C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和
解析：描述随机试验的随机变量有多种形式，不论选取哪一种形式，随机变量可以表示随机试验的所有可能结果，同时随机变量在选定标准之后，它是变化的.掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选A；而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是确定的，都不是随机变量；D中对应的事件是必然事件.
答案：A
二、离散型随机变量的判断
【例2】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量：
①郑州至武汉的电气化铁路线上，每隔50 m有一电线铁塔，对这条电气化铁路线上电线铁塔随机编号ξ；
②江西九江市长江水位监测站所测水位在（0,29］这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
解析：①是离散型随机变量.因为铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出；
②不是离散型随机变量.因为水位在（0，29］这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
三、随机变量的取值问题：
【例3】 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
（1）盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ；
（2）从4张已编号（1号—4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.
解析：（1）ξ可取0，1，2，3.
ξ=i表示取出i支白粉笔，3-i支红粉笔，其中i=0,1,2,3.
（2）ξ可取3，4，5，6，7.
其中ξ=3表示取出分别标有1，2的两张卡片.
ξ=4表示取出分别标有1，3的两张卡片.
ξ=5表示取出分别标有2，3或1，4的两张卡片.
ξ=6表示取出分别标有2，4的两张卡片.
ξ=7表示取出分别标有3，4的两张卡片.
各个击破
【类题演练1】从一个装有9个正品和3个次品的盒子中取一个零件，随机变量为( )
A.取零件的个数 B.取正品的个数
C.取正品或次品的个数 D.取一个零件
答案：B
【变式提升1】掷两枚均匀硬币一次，则正面次数与反面次数差的可能值有________________.
解析：先列出两枚硬币掷出后正反面所有情况，再作减法.
两枚硬币出现：2次正0次反，则差为2；1次正，1次反，则差为0，0次正，2次反，则差为-2；所以，所有可能值为2，0，-2.
答案：2，0，-2
【类题演练2】给出如下四个命题
①离散型随机变量只能取有限个值
②只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量
③连续型随机变量可以取某一区间内的一切值
④可以取某一区间内一切值的随机变量是连续型随机变量
其中正确命题的题号是_________.
答案：②③④
【变式提升2】随机变量ξ1表示某寻呼台在1分钟内接到的寻呼次数，ξ2表示某城市一天内发生的火警次数，ξ3表示某城市一天内的温度，ξ4表示某客运站1小时内发出的客车次数.其中不是离散型随机变量的是 ( )
A.ξ1 B.ξ2 C.ξ3 D.ξ4
答案：C
【类题演练3】抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是( )
A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点
C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.
答案：D
【变式提升3】袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A.5 B.9 C.10 D.25
解析：号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.
答案：B
2.1.1 离散型随机变量
问题导学
一、随机变量的概念
活动与探究1
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2014年5月1日的旅客数量；
(2)2014年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2014年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球半径长．
迁移与应用
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．2016年奥运会上中国取得的金牌数
B．每一年从地球上消失的动物种数
C．2008年奥运会上中国取得的金牌数
D．某人投篮6次投中的次数
2．将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为( )
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源．
二、离散型随机变量的判定
活动与探究2
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)一天内气温的变化值X；
(4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X．
迁移与应用
1．下面给出四个随机变量：
①高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某网站未来1小时的点击量；
④某人一生中的身高X．
其中是离散型随机变量的序号为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________．
①某地车展中，预订各类汽车的总人数X；
②北京故宫某周内每天接待的游客人数；
③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；
④小麦的亩产量X；
⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数X．
判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
三、离散型随机变量的取值
活动与探究3
写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2014年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X．
迁移与应用
1．抛掷两枚骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果：
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)试验结果 (2)X，Y，ξ，η，…
预习交流1 提示：联系：两者均是特殊的映射．
区别：随机变量把试验的结果映射为实数，而函数是把一个非空数集映射到另一个非空数集上．
2．一一列出
预习交流2 (1)提示：①随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．
②离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，…．
(2)提示：A
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
解：(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
迁移与应用 1．C 解析：选项A中由于2016年奥运会还没有举行，中国取得多少枚金牌并不知道，符合随机变量的定义；选项B中每一年消失的动物种数，其结果不知，也符合随机变量的定义；选项C中北京奥运会已结束，金牌数是确定的，不是随机变量；选项D中某人投篮投中与否在投前并不知道，其结果是随机的，也是随机变量．
2．C 解析：A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．
活动与探究2 思路分析：看一个变量是否为离散型随机变量时，首先明确是否是随机变量，再看变量的取值是否一一列出．
解：(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(4)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
迁移与应用 1．C 解析：①收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限且可一一列出，是离散型随机变量；同理③也是；而②④都是不可一一列出的连续变化的数，不符合离散型随机变量的定义．
2．③④ 解析：③中X的值在[－1,1]内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量；④中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．①②⑤是离散型随机变量．
活动与探究3 思路分析：明确随机变量X的意义，写出X的所有取值及每个值对应的试验结果，要列举全面．
解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5．
X＝i，表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5．
(2)X可取0,1,2．
X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2．
(3)X可取3,4,5．
X＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5．
迁移与应用 1．D
2．解：(1)设所需要的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11．
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11．
X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；
X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；
……
X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．
当堂检测
1．给出下列四个命题：
①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；
②黄河每年的最大流量是随机变量；
③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；
④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．
其中正确的是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C 解析：①②③是正确的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．
2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )
A．5 B．9 C．10 D．25
答案：B 解析：X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个．故选B．
3．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，用0,1,2,3分别表示O型，A型，B型，AB型，现任抽一人，其血型是随机变量ξ，则ξ的可能取值为__________．
答案：0,1,2,3
4．下列随机变量中是离散型随机变量的有__________．
①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；
②直线y＝x上的整点个数X；
③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；
④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X．
答案：①②④ 解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X可以一一列举，且②中的X是无限的．
5．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
答案：
解：(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X．
答案：X的可能取值为0,1,2,3,4．X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
学习目标
重点、难点
1.能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
2．会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住分布列的性质．
3．能知道两点分布和超几何分布及其导出过程，并能简单的运用.
重点：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2．会求简单的离散型随机变量的分布列．
难点：两点分布和超几何分布.
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的__________，简称为X的______．
用等式可表示为________________，也可以用____来表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①____________；②____________.
预习交流1
(1)连续投掷一枚均匀的骰子两次，用X表示所得的点数之和．
①试写出X的分布列；②求X≤4时的概率．
(2)已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
0.4
x
0.3
则x＝__________.
2．两点分布
(1)随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布．
(2)并称____________为成功概率．
预习交流2
如果随机变量X的分布列由下表给出，它服从两点分布吗？
X
1
2
P
0.4
0.6
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
即
X
0
1
…
m
P
________
________
…
______
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
预习交流3
设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )．
A. B. C. D.
答案：
1．(1)概率分布列 分布列 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n 图象
(2)①pi≥0，i＝1,2,3，…，n ②i＝1
预习交流1：(1)提示：①
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
②P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
(2)提示：0.3
2．(2)p＝P(x＝1)
预习交流2：提示：不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
3.
预习交流3：提示：D
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、离散型随机变量的分布列
(2011湖南高考，理18改编)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
思路分析：(1)先分析不进货包括哪些情况，再运用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析确定出X的可能取值，再用概率加法公式求出对应的概率．
从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列．
(2)求出赢钱的概率，即X＞0时的概率．
(1)求离散型随机变量的分布列的步骤：
①找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；
②求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
③列出表格．
(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：
①确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
②在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
二、离散型随机变量分布列的性质
设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表．求常数q.
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
思路分析：求常数q，利用各随机变量的概率和为1，列出q的方程即可求解，注意检验．
设随机变量X的分布列P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝( )．
A. B. C. D.
利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
三、两点分布的应用
一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
思路分析：两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．
在购物抽奖活动的随机试验中，令X＝1表示中奖；X＝0表示不中奖．如果中奖的概率为0.6，试写出随机变量X的分布列．
两点分布的几个特点：
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛，如彩票抽取问题，婴儿性别问题，投篮是否命中问题等．
(3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
四、超几何分布的应用
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
思路分析：(1)根据频率分布直方图可得重量超过505克包含(505,510]，(510,515]两个区间，由对应小矩形的高及组距求出频率，频率与样本容量的乘积即为所求；(2)分析可知Y服从超几何分布，分布列易求．
在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．
答案：
活动与探究1：解：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P
迁移与应用：解：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝.∴赢钱的概率为.
活动与探究2：解：由离散型随机变量分布列的性质可得，＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±，
又当q＝1＋时，1－2q＝－1－＜0，
∴q＝1＋舍去，∴q＝1－.
迁移与应用：C 解析：由已知得随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
∴＋＋＝1，∴k＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝＋＝.
活动与探究3：解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
迁移与应用：解：购物抽奖活动中，是否中奖只有两个结果，即中奖和不中奖，因为中奖的概率为0.6，所以根据分布列的性质，得不中奖的概率为0.4，其分布列为
X
1
0
P
0.6
0.4
活动与探究4：解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.
(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
迁移与应用：解：X的可能取值为1,2,3，X＝1表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率P(X＝1)＝＝；X＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率P(X＝2)＝＝；X＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率P(X＝3)＝＝，其分布列为
X
1
2
3
P
1．随机变量X的分布列如下，则m等于( ).
X
1
2
3
4
P
m
A. B. C. D.
2．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )．
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
3．为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于的是( )．
A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4)
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2,3,4)，则常数a＝__________.
5．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
则P(2≤ξ＜4)＝__________.
答案：
1．D 解析：由分布列性质得＋m＋＋＝1，
∴m＝.
2．C
3．C 解析：15人中，有7名女生，8名男生，CC表示选出的10人中有4名女生，6名男生，
∴P(X＝4)＝.
4. 解析：由已知可得a＋2a＋3a＋4a＝1，
∴a＝.
5．0.6 解析：P(2≤ξ＜4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课堂导学
三点剖析
一、离散型随机变量的分布列
【例1】 给出下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
A.
ξ
0
1
P
0.6
0.3
B.
ξ
0
1
2
P
0.902 5
0.095
0.002 5
C.
ξ
0
1
2
…
n
P
…
D.
ξ
0
1
2
…
N
P
…
思路分析：根据离散型随机变量的分布列的特征求解.
解：对于表A，由于0.6+0.3=0.9＜1,故不能成为随机变量ξ的分布列；仿上可知，对于表C，有＜1；对于表D，知1＜1,故表C，D均不能成为随机变量的分布列；对于B，由于0.902 5+0.095+0.002 5=1,故表B可以成为随机变量ξ的分布列.
答案：B
二、离散型随机变量的分布列的求法：
【例2】 一签筒中放有标号分别为0、1、2、…、9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签的号数为ξ，写出ξ的分布列.
解析：标号分别为0、1、2、……、9的十根竹签，每一根被取出的可能性相同，其概率为，于是ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
ξ
5
6
7
8
9
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
温馨提示
求离散型随机变量的分布列，关键是求ξ取每一个值时的概率，这需用到排列组合以及等可能事件的概率、互斥事件的概率的求法等知识，另外，要注意利用分布列的性质对所求结果进行检验.
三、两点分布列和超几何分布列问题：
【例3】 设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽得次品件数ξ的分布列.
思路分析：从100件产品中随机抽取20件，抽得次品件数ξ是一个离散型的随机变量，其次品件数可能是0，1，2，3，4，5（件）.
解：依题意，随机变量ξ（次品件数）的可能取值为0、1、2、3、4、5.
P{ξ=k}=(k=0,1,2,3,4,5).∴P{ξ=0}==0.319 3,P{ξ=1}==0.420 1,
P{ξ=2}==0.207 3,P{ξ=3}==0.047 9,P{ξ=4}==0.005 2,
P{ξ=5}==0.000 2
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.319 3
0.420 1
0.207 3
0.047 9
0.005 2
0.000 2
各个击破
【类题演练1】若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
9c2-c
3-8c
试求出常数c.
解析：由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得.
即ξ的分布列为
ξ
0
1
P
【变式提升1】设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，4，5，则（1）P（ξ=1或ξ=2）=____________；
（2）P(＜ξ＜)=____________;
(3)P(1≤ξ≤2)=____________.
解析：（1）∵P(ξ=1)=,P(ξ=2)=
∴P(ξ=1或ξ=2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)
=+=
(2)P(＜ξ＜)=P(ξ=2或1)=
(3)P(1≤ξ≤2)=P(ξ=1或ξ=2)=
【类题演练2】一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列.
解析：随机变量ξ的取值为3、4、5、6，从6个球中取出3个球取法共有=20种.
∴P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,
P(ξ=5)=,P(ξ=6)=.
ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
6
P
【变式提升2】设随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
……
n
……
P
……
……
求随机变量η=sin()的分布列.
解析：随机变量η的取值为-1，0，1显然P（η=-1）=P（ξ=3，7，11，……）=P（ξ=3）+P（ξ=7）+P（ξ=11）+…=.
P(η=0)=P(ξ=2,4,6……)
=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=6)+ …
=,
P(η=1)=P(ξ=1,5,9……)
.
随机变量η的分布列：
η
-1
0
1
P
【类题演练3】 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则p(ξ=0)等于（ ）
A.0 B. C. D.
解析：设“ξ=0”表示试验失败，“ξ=1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.
∴由p+2p=1得p=.
答案：C
【变式提升3】 某商场准备在“十一”期间举行商品展销会.若“十一”期间不下雨，在商场外举行，若下雨在商场内举行.经气象台预测“十一”期间下雨的概率为，用ξ表示举办地，求ξ的分布列.
解析：不妨设ξ=0，1，分别表示在商场内外举办，则ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
2.1.2 离散型随机变量的分布列
问题导学
一、离散型随机变量的分布列
活动与探究1
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
迁移与应用
1．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是__________．
2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列．
(2)求出赢钱的概率，即X＞0时的概率．
(1)求离散型随机变量的分布列的步骤：
①找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；
②求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
③列出表格．
(2)求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：
①确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
②在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
二、离散型随机变量分布列的性质
活动与探究2
设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表．求常数q．
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
迁移与应用
1．(2013山东济南模拟)设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于( )
A． B． C． D．
2．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X≥2)＝__________．
利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
三、两点分布
活动与探究3
一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
迁移与应用
1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为__________．
2．在购物抽奖活动的随机试验中，令X＝1表示中奖；X＝0表示不中奖．如果中奖的概率为0.6，试写出随机变量X的分布列．
两点分布的几个特点：
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛，如彩票抽取问题，婴儿性别问题，投篮是否命中问题等．
(3)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
四、超几何分布
活动与探究4
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
迁移与应用
1．箱中装有50个零件，其中有40个是合格品，10个是次品，从箱子中任意拿出10个，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
2．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中任取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)概率分布列 分布列 pi，i＝1,2，…，n 图象 (2)①≥ ②1
预习交流1 (1)提示：①
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
②P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝．
(2)提示：0.3
2．P(X＝1)
预习交流2 提示：不服从两点分布，因为X的取值不是0或1．
3．
预习交流3 提示：D
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)先分析不进货包括哪些情况，再运用互斥事件的概率加法公式求出概率；(2)分析确定出X的可能取值，再用概率加法公式求出对应的概率．
解：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝．
(2)由题意知，X的可能取值为2,3．
P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝．
故X的分布列为
X
2
3
P
迁移与应用 1．
X
1
2
3
P
解析：依题意可知，杯子中球的最多个数X的所有可能取值为1,2,3．
当X＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；
当X＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；
当X＝3时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放三个球的情形．
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝．
可得X的分布列为
X
1
2
3
P
2．解：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4．则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝．
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝．
∴赢钱的概率为．
活动与探究2 思路分析：求常数q，利用各随机变量的概率和为1，列出q的方程即可求解，注意检验．
解：由离散型随机变量分布列的性质可得，＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1±，
又当q＝1＋时，1－2q＝－1－＜0，
∴q＝1＋舍去，∴q＝1－．
迁移与应用 1．D 解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝．
2． 解析：由已知得随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
∴＋＋＝1，∴k＝．
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝＋＝．
活动与探究3 思路分析：两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝．
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
迁移与应用 1．
X
1
0
P
0.7
0.3
解析：用随机变量X表示“每次罚球所得分值”，根据题意，X可能的取值为0,1，且取这两个值的概率分别为0.3，0.7，因此所求的分布列是
X
1
0
P
0.7
0.3
2．解：购物抽奖活动中，是否中奖只有两个结果，即中奖和不中奖，因为中奖的概率为0.6，所以根据分布列的性质，得不中奖的概率为0.4，其分布列为
X
1
0
P
0.6
0.4
活动与探究4 思路分析：(1)根据频率分布直方图可得重量超过505克包含(505,510]，(510,515]两个区间，由对应小矩形的高及组距求出频率，频率与样本容量的乘积即为所求；(2)分析可知Y服从超几何分布，分布列易求．
解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12．
(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝．
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
迁移与应用 1．解：ξ可能取的值为0,1,2，…，10．由题意知
P(ξ＝m)＝(m＝0,1,2，…，10)．
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
…
k
…
10
P
…
…
2．解：X的可能取值为1,2,3，X＝1表示取出的3个球中有1个白球2个黑球，此时的概率P(X＝1)＝＝；X＝2表示取出的3个球中有2个白球1个黑球，此时的概率P(X＝2)＝＝；X＝3表示取出的3个球中有3个白球0个黑球，此时的概率P(X＝3)＝＝，其分布列为
X
1
2
3
P
当堂检测
1．随机变量X的分布列如下，则m等于( )
X
1
2
3
4
P
m
A． B．
C． D．
答案：D 解析：由分布列性质得＋m＋＋＝1，
∴m＝．
2．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
答案：C
3．为了加强学生实践、创新能力和团队精神的培养，教育部门举办了全国学生智能汽车竞赛．某校的智能汽车爱好小组共有15人，其中女生7人．现从中任意选10人参加竞赛，用X表示这10人中女生的人数，则下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
答案：C 解析：15人中，有7名女生，8名男生，表示选出的10人中有4名女生，6名男生，
∴P(X＝4)＝．
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2,3,4)，则常数a＝__________．
答案： 解析：由已知可得a＋2a＋3a＋4a＝1，
∴a＝．
5．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
则P(2≤ξ＜4)＝__________．
答案：0.6 解析：P(2≤ξ＜4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
2.1 离散型随机变量及其分布列
知识网络
2.1 离散型随机变量及其分布列
知识梳理
1.离散型随机变量
（1）随着试验结果的变化而变化的变量称为___________,常用字母___________、___________、___________表示.
（2）___________和___________都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的___________,随机变量的范围相当于函数的___________.
2.离散型随机变量的分布列
（1）______________________,称为离散型随机变量.
（2）离散型随机变量X可能的取值为x1,x2, …，xi, …,xn,则它的概率分布列用表格可表示为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
用等式可表示为,也可以用来表示.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)______________________;
(2) ______________________.
4.较简单的随机变量的分布列为两点分布,其分布列为
ξ
0
1
P
q
p
其中0＜p＜1,p+q=1.
5.一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有次品的件数ξ为随机变量,且服从____________,其分布列为______________________.
知识导学
本节知识是整个概率论中的基础,知识与知识间的联系紧密,学好本节内容,要复习好前面的两个计数原理及排列组合知识,还要掌握好必修三的有关概率问题.
运用实例来理解离散型随机变量的概念及分布列的意义,掌握离散型随机变量分布列的求法,要抓住分布列的特点:概率值非负,所有概率和为1.对特殊的两个分布:两点分布和超几何分布要在实际生活中会运用,特别是超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数.求出离散型随机变量分布列的关键是:要搞清随机变量可能取的每个值及其所对应的概率.
疑难突破
1.如何辨别一变量是否是离散型随机变量?
剖析：首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值为有限个或至多可列个,或者说可以按一定次序一一列出.
辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一连续区间上取值,还是取有限个值.
2.写离散型随机变量的分布列注意的问题及步骤.
剖析:要写离散型随机变量的分布列,就要求出P(X=xi)(i=1,2, …),而P(X=xi)=P(Ai),要求基本事件Ai的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.
求离散型随机变量的步骤:
(1)找出随机变量可能的取值xi(i=1,2, …);
(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=Pi;
(3)列出表格.
对随机变量的取值要搞清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要用省略号表示.如抛一枚硬币,直到抛出正面朝上为止,随机变量的取值就是有限的.
随机变量分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.对不同的变量选择一个合适的表示方式.
2.1 离散型随机变量及其分布列 1
课堂探究
探究一 随机变量的概念
对随机变量的理解：
(1)随机变量是将随机试验的结果数量化；
(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一随机事件；
(3)有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它；
(4)对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏．
【典型例题1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中某天的旅客数量；
(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球半径长．
思路分析：判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
解：(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
规律总结 在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值．
探究二 离散型随机变量的判定
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出．如果能一一列出，则该随机变量是离散型变量，否则不是．
【典型例题2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；
(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)一天内气温的变化值X；
(4)丁俊晖在2012世锦赛中每局所得的分数．
解：(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(4)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．
规律总结 判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
探究三 离散型随机变量的取值
(1)确定随机变量ξ的所有可能取值；
(2)随机变量ξ的取值所表示的随机试验的结果；
(3)检验当随机变量的某个值表示的试验结果有多个时，应综合考虑，细心检查，不能遗漏某些试验结果．
【典型例题3】写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2013年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；
(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数．
思路分析：明确随机变量X的意义，写出X的所有取值及每个值对应的试验结果．
解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i，表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)X可取0,1,2.X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(3)X可取3,4,5.X＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
规律总结 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
探究四 易错辨析
易错点 忽略题目中的条件
【典型例题4】小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题．如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立，用ξ表示小王所获奖品的价值，写出ξ的可能取值．
错解：ξ的可能取值为：0,1 000,3 000,4 000,6 000，9 000，10 000.
错因分析：(1)对题目背景理解不准确：比赛设三关，前关不过是不允许进入下一关比赛的，而错解中理解为可以进入下一关．
(2)忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．
正解：ξ的可能取值为0,1 000,3 000,6 000.
ξ＝0表示第一关就没有过；
ξ＝1 000表示第一关过而第二关没有通过；
ξ＝3 000表示第一关通过、第二关通过而第三关没有通过；
ξ＝6 000表示三关都通过．
2.1 离散型随机变量及其分布列 1
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会分析随机变量的意义，能知道随机变量与函数的区别与联系．
2．能区分离散型与非离散型随机变量，能举出离散型随机变量的例子．
3．能理解随机变量所表示的试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．
1．随机变量
(1)定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
思考1 随机变量与函数有何区别与联系？
提示：联系：两者均是特殊的映射．
区别：随机变量把试验的结果映射为实数，而函数是把一个非空数集映射到另一个非空数集上．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
思考2 离散型随机变量有什么特点？
提示：(1)随机变量的取值能一一列出，这是判定随机变量是否为离散型随机变量的关键．
(2)离散型随机变量的取值可以是有限个，如取值1,2,3，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
2.1 离散型随机变量及其分布列 2
课堂探究
探究一 离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；
(2)求出随机变量ξ的每个取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；
(3)列出表格．
【典型例题1】从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列．
(2)求出赢钱的概率，即X＞0时的概率．
解：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白球}，{1白球1黄球}，{1白球1黑球}，{2黄球}，{1黑球1黄球}，{2黑球}．
当取到2白球时，随机变量X＝－2；
当取到1白球1黄球时，随机变量X＝－1；
当取到1白球1黑球时，随机变量X＝1；
当取到2黄球时，随机变量X＝0；
当取到1黑球1黄球时，随机变量X＝2；
当取到2黑球时，随机变量X＝4.
所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
∴赢钱的概率为.
规律总结 求离散型随机变量的分布列的关键有两点：
(1)随机变量的取值；(2)随机变量每一个取值的概率．
探究二 离散型随机变量分布列的性质及应用
(1)离散型随机变量的特征是能一一列出，且每个值各代表一个试验结果，所以研究离散型随机变量时，关键是随机变量能取哪些值．
(2)在求概率pi时，充分运用分布列的性质，既可减少运算量，又可验证所求的分布列是否正确．
【典型例题2】设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
思路分析：已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率．
解：由题意，得随机变量X的分布列为
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
(3)∵＜X＜，∴X＝，，.
∴P＝P＋P＋
P＝＋＋＝.
规律总结 利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
探究三 两点分布的应用
两点分布的几个特点：
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛．
(3)由对应事件的概率求法可知：P(x＝0)＋P(x＝1)＝1.
【典型例题3】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
思路分析：两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列如下表：
X
0
1
P
规律总结 (1)如果一个随机试验只有两个可能的结果，那么就可以用两点分布来研究，为此只需定义一个随机变量，使其中一个结果对应1，另一个结果对应0便可以了．
(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等等，都可以用两点分布列来研究．
探究四 超几何分布及应用
超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数．
【典型例题4】某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．
思路分析：该问题与抽取产品在本质上是一致的，从而可用超几何分布解决．
解：由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.则
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.
规律总结 解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．
探究五 易错辨析
易错点 随机变量的取值错误
【典型例题5】盒中装有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．
错解：由题意知X服从超几何分布，且X的取值为0,1,2,3，所以分布列为：
X
0
1
2
3
P
错因分析：本题关键有两点：一是认清X的取值，题目中说的是盒中旧球个数为X，所以取值应为3,4,5,6，而不是0,1,2,3；二是正确利用公式求解概率，以免出现计算错误．
正解：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即X可以取3,4,5,6.
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝；
P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
2.1 离散型随机变量及其分布列 2
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
2．会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住分布列的性质．
3．能知道两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用.
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，也可以用图象来表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1.
思考1 随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则m为( )
A． B． C． D．
提示：由概率分布列的性质知，＋m＋＋＝1，得m＝.
2．两点分布
(1)随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布．
(2)上表中的p＝P(X＝1)为成功概率．
思考2 如果随机变量X的分布列由下表给出，它服从两点分布吗？
X
1
2
P
0.4
0.6
提示：不服从两点分布，因为X的取值只能是0和1.
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即
X
0
1
…
m
P
…
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
思考3 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A． B．
C． D．
提示：由超几何分布概率公式为：P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m.
根据题意知N＝100，M＝80，n＝10，k＝6，所以P(X＝6)＝.
