2.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标
重点、难点
1.能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
2．能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值．
3．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.
重点：离散型随机变量的均值的概念与计算；离散型随机变量的性质以及两点分布与二项分布的均值．
难点：离散型随机变量的性质与应用.
1．离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称________________为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的________．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝________.
预习交流1
(1)随机变量的均值与样本平均值有何联系与区别？
(2)随机变量X的分布列为
X
1
3
4
P
0.5
0.3
0.2
则其数学期望为( )．
A．1 B. C．4.5 D．2.2
(3)若随机变量X的期望为E(X)＝2，则E(2X＋1)＝__________.
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__(p为成功概率)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____.
预习交流2
若随机变量X～B(5,0.3)，则E(X)＝__________.
答案：
1．(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
(2)平均水平 (3)aE(X)＋b
预习交流1：
(1)提示：①随机变量的均值是常数，而样本的均值随样本的不同而变化；
②对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本均值就越来越接近总体的均值．
(2)提示：E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋4×0.2＝2.2.
(3)提示：5
2．(1)p (2)np
预习交流2：提示：E(X)＝5×0.3＝1.5.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、求离散型随机变量的均值
从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及期望．
思路分析：先确定好抽取次数X的取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及期望．
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
求离散型随机变量ξ的均值的步骤：
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；
(2)求出ξ的每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)利用定义求出均值．
二、离散型随机变量的期望的性质
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
思路分析：先由分布列的性质求出m，从而可求E(ξ)，利用期望的性质E(η)＝aE(ξ)＋3求出a.
设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝__________.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．
三、二项分布的均值及其应用
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
思路分析：由题意知抽奖券4次，相当于独立重复试验4次，每次中奖的概率为，所以ξ服从二项分布，从而求解相应的问题．
某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，俱乐部至少应该准备多少礼品？
(1)如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．
(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
四、数学期望的应用
(2011福建高考，理19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值．
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：(1)产品的“性价比”＝；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．
思路分析：(1)根据题意，结合均值的计算与概率分布列的性质列方程组，解之即可；(2)将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由均值公式可得答案；(3)由题意及(2)的结论，可得两厂产品的均值，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元．两种产品生产的质量相互独立．
设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X，求X的分布列和该工厂生产甲、乙产品各1件获得利润的期望．
(1)实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
(2)概率模型的解答步骤
①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
答案：
活动与探究1：解：由题意知X的取值为2,3,4,5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，
∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，
∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列为
X
2
3
4
5
P
∴数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
迁移与应用：解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
活动与探究2：B 解析：由分布列的性质得＋＋m＝1，∴m＝.
∴E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－.
∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝，
∴a＝2.
迁移与应用： 解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋＝.
∴E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
活动与探究3：解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，
因此ξ～B.
∴P(ξ＝0)＝C×4＝，
P(ξ＝1)＝C×4＝，
P(ξ＝2)＝C×4＝，
P(ξ＝3)＝C×4＝，
P(ξ＝4)＝C×4＝.
其分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B，
∴E(ξ)＝4×＝2.
又由题意可知η＝2 300－100ξ，
∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)
＝2 300－100×2＝2 100元．
即所求变量η的期望为2 100元．
迁移与应用：解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，…，3 000)，
所以P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3 000－k，
则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)＞100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．若要使每一位领奖人都得到礼品，俱乐部至少应准备120份礼品．
活动与探究4：解：(1)因为E(X1)＝6，
所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2.
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5.
由
解得
(2)由已知得，样本的频率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以E(X2)＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6)＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为＝1.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为＝1.2.
据此，乙厂的产品更具可购买性．
迁移与应用：解：由题设知，X的取值为10,5,2，－3.
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
∴X的分布列为
X
10
5
2
－3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
E(X)＝10×0.72＋5×0.18＋2×0.08－3×0.02＝8.2(万元)．
∴获得利润的期望为8.2万元．
1．若随机变量ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E(ξ)＝( )．
A．1 B．1.8 C．2.4 D．0.6
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )．
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．则E(ξ)＝( )．
A．1.48 B．0.76 C．0.24 D．1
4．若随机变量η～B(5,0.2)，则E(2η＋1)的值为__________．
5．(2011上海高考，理9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝__________.
答案：
1．B 解析：E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.
2．A 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.
3．A 解析：ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
4．3 解析：E(η)＝np＝5×0.2＝1，
∴E(2η＋1)＝2E(η)＋1＝3.
5．2 解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1.
于是，E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
2.3.1 离散型随机变量的均值
课堂导学
三点剖析
一、离散型随机变量均值的求法
【例1】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
（1）求X的分布列；
（2）求X的均值；
（3）求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
解析：（1）X可能取的值为0，1，2.
P（X=k)=,k=0,1,2.
所以，X的分布列为：
X
0
1
2
P
（2）由（1），X的均值为
EX=0×+1×+2×=1.
（3）由（1），“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P（X≤1)=P(x=0)+P(X=1)=
温馨提示
做这类的题目，首先要确定随机变量的分布列，然后再去求它的均值.
二、离散型随机变量的均值的应用
【例2】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，A队队员是A1,A2,A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员 A队队员的胜率 B队队员的胜率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A，B两队最后所得总分分别为ξ，η.
（1）求ξ，η的概率分布；
（2）求两队各自获胜的期望.
解析：（1）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0，ξ=3表示三场A队全胜，P（ξ=3）=··=，ξ=2表示三场中A队胜两场，有三种可能.
∴P（ξ=2）=··(1-)+(1-)·+(1-)··=.ξ=1表示三场中A队胜一场，也有三种可能：P（ξ=1）=··+··+··=，ξ=0表示三场A队全负.P（ξ=0）=··=.依题意可知：ξ+η=3，∴P（η=0）=P（ξ=3）=，P(η=1）=P（ξ=2）=，P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=；
（2）Eξ=3×+2×+1×+0×=.
∵ξ+η=3.∴Eη=3-Eξ=.故甲队获胜的期望是，乙队获胜的期望是.
三、与其他知识的交汇题
【例3】 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；
(Ⅱ)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间［2，+∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
解析：（Ⅰ）ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）因为f(x)=(x-ξ)2+1-ξ2，所以函数f(x)=x2-3ξx+1在区间［ξ，+∞)上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，
当且仅当32ξ≤2，即ξ≤.
从而P（A）=P(ξ≤)
=P(ξ=1)=0.76.
温馨提示
该题考查概率的分布列、期望、随机变量ξ在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直接给出ξ的范围，而是通过函数的单调性间接地给出ξ的范围，把函数的单调性和概率结合起来了.
各个击破
【类题演练1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.
解析：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B.ξ可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=P（）P（）=(1-)(1-)=；
P（ξ=1）=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=(1-)×+ (1-)= ；P（ξ=2）=P（A）P（B）=×=.
所以ξ的分布列为：
Ξ
0
1
2
P
故Eξ=0×+1×+2×≈1.467.
【变式提升1】已知随机变量X的概率分布列为：P（X=k)=qk-1p(k=1,2,…,0＜p＜1,q=1-p),求证：EX=.
证明：∵P（X=k)=qk-1p,
∵EX=1×p+2×qp+3q2p+…+kqk-1p+…
=p(1+2q+3q2+…+kqk-1+…)
令S=1+2q+3q2+…+kqk-1+(k+1)qk+…①
Sq=q+2q2+3q3+…+kqk+(k+1)qk+1+…②
①-②得：
S-Sq=1+q+q2+…+qk+…
即S（1-q)=
∵S=
∴EX=pS=p×=
【类题演练2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益12万元.若促销活动遇到雨天则带来5万元的经济损失.5月30日气象台预报六一儿童节当天有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？
解析：设该商场六一儿童节在商场外的促销活动获得的经济效益为ξ万元，则由天气预报知P（ξ=12）=0.6，P（ξ=-5）=0.4，∴Eξ=12×0.6+(-5)×0.4=5.2(万元).
即在六一儿童节当地有雨的概率是40%的情况下，在商场外的促销活动的经济效益的期望是5.2万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2.5万元.故商场应选择商场外的促销活动.
【变式提升2】某寻呼台共有客户3 000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%，问寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都能得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
解析：设来领奖的人数ξ=k(k=0,1,2,…,3 000),所以P（ξ=k)=(0.04)k(1-0.04) 3 000-k,可见ξ—B（3 000，0.04)，
所以Eξ=3 000×0.04=120(人）＞100（人）. 答：不能都发出邀请，至少应准备120份礼品.
【类题演练3】某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
解析：ξ的取值分别为1，2，3，4. ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6. ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
P（ξ=2）=（1-0.6)×0.7=0.28. ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P（ξ=3）=（1-0.6)×(1-0.7）×0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P（ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024.
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1-（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）（1-0.9）=0.997 6.
【变式提升3】某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：
ξ
1
2
3
4
…
P
1/12
1/12
1/12
1/12
…
设每售出一台电冰箱，电器商可以获利300元，如果售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？
解析：设x为月初电器商购进的电冰箱的台数，只需考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为η元，则η是随机变量ξ的函数，且
η=
电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为
Eη=300x（P x+P x+1+…+P12）+［300-100（x-1）］P1+［2×300-100（x-2）］P2+…+［300（x-1）-100］P x-1=300x（12-x+1）×+［300×-100×］=（-2x2+38x）.
由于x∈N+，所以当x=9或10时，即电器商每月初购进9台或10台电冰箱时，收益最大.
2.3.1 离散型随机变量的均值
问题导学
一、求离散型随机变量的均值(数学期望)
活动与探究1
从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及数学期望．
迁移与应用
1．随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则E(X)等于( )
A．－ B．－ C． D．1
2．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数学期望．
求离散型随机变量ξ的均值的步骤：
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；
(2)求出ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)利用定义求出均值．
二、离散型随机变量的期望的性质
活动与探究2
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
迁移与应用
1．设E(ξ)＝10，则E(3ξ＋5)＝( )
A．35 B．40 C．30 D．15
2．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
，又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝__________．
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．
三、二项分布的均值及其应用
活动与探究3
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
迁移与应用
某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%．问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
(1)如果随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．
(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
四、数学期望的应用
活动与探究4
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B．已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值．
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：(1)产品的“性价比”＝；
(2)“性价比”大的产品更具可购买性．
迁移与应用
1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定．
2．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元．两种产品的生产质量相互独立．
设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X，求X的分布列和该工厂生产甲、乙产品各1件获得利润的数学期望．
(1)实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
(2)概率模型的解答步骤
①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn (2)平均水平 (3)aE(X)＋b
预习交流1 (1)提示：①随机变量的均值是常数，而样本的均值随样本的不同而变化；
②对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本均值就越来越接近总体的均值．
(2)提示：E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋4×0.2＝2.2．
(3)提示：5
2．(1)p (2)np
预习交流2 提示：E(X)＝5×0.3＝1.5．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：先确定好抽取次数X的取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及数学期望．
解：由题意知X的取值为2,3,4,5．
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，
∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，
∴P(X＝5)＝＝．
∴X的分布列为
X
2
3
4
5
P
∴数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4．
迁移与应用 1．A 解析：由E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，可知选A．
2．解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝．
(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝．
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
活动与探究2 思路分析：先由分布列的性质求出m，从而可求E(ξ)，利用期望的性质E(η)＝aE(ξ)＋3求出a．
B 解析：由分布列的性质得＋＋m＝1，
∴m＝．
∴E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－．
∴E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝，
∴a＝2．
迁移与应用 1．A 解析：∵E(ξ)＝10，∴E(3ξ＋5)＝3E(ξ)＋5＝3×10＋5＝35．
2． 解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋＝．
∴E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝．
活动与探究3 思路分析：由题意知抽奖券4次，相当于独立重复试验4次，每次中奖的概率为，所以ξ服从二项分布，从而求解相应的问题．
解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，
因此ξ～B．
∴P(ξ＝0)＝×4＝，
P(ξ＝1)＝×4＝，
P(ξ＝2)＝×4＝，
P(ξ＝3)＝×4＝，
P(ξ＝4)＝×4＝．
其分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B，
∴E(ξ)＝4×＝2．
又由题意可知η＝2 300－100ξ，
∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)
＝2 300－100×2＝2 100(元)．
即所求变量η的数学期望为2 100元．
迁移与应用 解：设来领奖的人数ξ＝k(k＝0，1，…，3 000)，
∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3 000－k，
则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)＞100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
活动与探究4 思路分析：(1)根据题意，结合均值的计算与概率分布列的性质列方程组，解之即可；(2)将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由均值公式可得答案；(3)由题意及(2)的结论，可得两厂产品的均值，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．
解：(1)因为E(X1)＝6，
所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2．
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5．
由解得
(2)由已知得，样本的频率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以E(X2)＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6)＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8．
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8．
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为＝1．
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为＝1.2．
据此，乙厂的产品更具可购买性．
迁移与应用 1．A 解析：E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7．
由于E(Y)＞E(X)，
故甲比乙质量好
2．解：由题设知，X的取值为10,5,2，－3．
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02．
∴X的分布列为
X
10
5
2
－3
P
0.72
0.18
0.08
0.02
E(X)＝10×0.72＋5×0.18＋2×0.08－3×0.02＝8.2(万元)．
∴获得利润的数学期望为8.2万元．
当堂检测
1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
答案：A 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5．
2．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．则E(ξ)＝( )
A．1.48 B．0.76
C．0.24 D．1
答案：A 解析：ξ的分布列为
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48．
3．若随机变量η～B(5,0.2)，则E(2η＋1)的值为__________．
答案：3 解析：∵E(η)＝np＝5×0.2＝1，
∴E(2η＋1)＝2E(η)＋1＝3．
4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝__________．
答案：2 解析：设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．
于是，E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．
5．(2012安徽高考，理17)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束，若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．
(1)求X＝n＋2的概率；
答案：
解：以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2．
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝＝．
(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．
答案：X的可能取值为n，n＋1，n＋2．
P(X＝n)＝P()＝＝．
P(X＝n＋1)＝P(A1)＋P(A2)＝＝，
P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝＝，
从而X的分布列是
X
n
n＋1
n＋2
P
E(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
2.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标
重点、难点
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
重点：离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；
方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．
难点：离散型随机变量的方差的计算与应用.
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则______描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝__________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其__________为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于____的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度____．
(3)离散型随机变量的方差的性质：
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝______.
预习交流1
(1)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
(2)已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.1
0.4
则D(X)＝( )．
A．2.7 B．1.35 C．1.41 D．2.14
(3)已知随机变量X的方差为D(X)＝0.5，当η＝2X－1时，D(η)＝______.
2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝____；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝____.
预习交流2
若随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则D(ξ)＝______.
答案：
1．(1)(xi－E(X))2 (xi－E(X))2pi 算术平方根 (2)均值 越小 (3)a2D(X)
预习交流1：
(1)提示：随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
(2)提示：E(X)＝2.7，D(X)＝1.41.
(3)提示：D(η)＝22×0.5＝2.
2．(1)p(1－p) (2)np(1－p)
预习交流2：
提示：D(ξ)＝9××＝2.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、离散型随机变量的方差与性质
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
思路分析：(1)列出ξ的分布列，根据均值与方差的计算公式求解；(2)根据E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)，列出关于a，b的方程组，求解即可．
有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设这3张卡片上的数字之和为ξ.
(1)求E(ξ)和D(ξ)；
(2)若X＝3ξ－2，求E(X)，D(X)．
(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．
(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时，随机变量Y＝aX＋b，则D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)，可以简化解答过程，提高解题效率．
二、离散型随机变量的方差的应用
2012年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平．
现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差．
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．
三、两点分布和二项分布的方差
某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的均值和方差．
思路分析：投弹一次的命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，击中次数Y服从二项分布．
一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
正确认识二项分布及其在解题中的应用
(1)在解决有关均值和方差问题时，同学们要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程．
(2)对于二项分布公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．
答案：
活动与探究1：解：(1)由题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，
得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，
解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.
迁移与应用：解：(1)3张卡片上的数字之和ξ的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上2张标有2,1张标有5，则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上2张标有5,1张标有2，则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
(2)∵X＝3ξ－2，∴E(X)＝3E(ξ)－2＝3×7.8－2＝21.4.
D(X)＝9D(ξ)＝3.36×9＝30.24.
活动与探究2：解：甲保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．
迁移与应用：
解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)＞D(Y)，可见乙的技术比较稳定．
活动与探究3：
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，
D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
迁移与应用：解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B，∴E(ξ)＝6×＝2，
D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，
∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
1．已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则D(X)的值为( )．
A. B. C. D.
2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( )．
A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1
C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2
3．掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上一面是3的次数的均值和方差分别是( )．
A．2和5 B．2和 C．4和 D.和1
4．已知离散型随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(ξ)＝______.
5．设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝3，p＝，则n＝______，D(ξ)＝______.
答案：
1．C 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
2．D 解析：E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，
D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.
3．B 解析：由题意知变量符合二项分布，掷一次骰子相当于做一次独立重复试验，且发生的概率是，
∴E(ξ)＝12×＝2，
D(ξ)＝12××＝，故选B.
4．2.44 解析：∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.
∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
D(ξ)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
5．21 解析：由已知即
∴n＝21，D(ξ)＝＝.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
2.3.2 离散型随机变量的方差
课堂导学
三点剖析
一、随机变量的方差与标准差的求法
【例1】 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX，DX.
X
-1
0
1
P
1-2q
q2
思路分析：依题意，先应按分布列的性质，求出q的数值后，再计算出EX与DX.
解析：由于离散型随机变量的分布列满足
(1)pi≥0,i=1,2,3,…;
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
故
解得 q=1-
故X的分布列为
X
-1
0
1
P
∴EX=(-1)×+0×(-1)+1×()
=-+（-）=1-
DX=［-1-（1-)］2×+（1-）2×（-1）+［1-（1-)］2×()
=（-2）2×+（-1）3+2()=-1
温馨提示
解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即
EX=（-1）×+0×(1-2q)+1×q2=q2-;
DX=［-1-(q2-)］2×+(q2-)2×(1-2q)+［1-(q2-)］2×q2
这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再求其均值与方差.
二、两点分布、二项分布的方差
【例2】 设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.
思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.
解：设成功次数为随机变量X，由题意可知X—B（100，p），那么σX=，因为DX=100p(1-p)
=100p-100p2 （0≤p≤1）
把上式看作一个以p为自变量的一元二次函数，易知当p=时，DX有最大值25.所以的最大值为5，即当p=时，成功次数的标准差的最大值为5.
温馨提示
要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1.
三、方差的应用
【例3】 海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：
X1
-2
-1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
-2
-1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.
解：∵EX1=0,EX2=0
∴EX1=EX2
∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5
DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2
∴DX1＜DX2
由上可知，A面大钟的质量较好.
温馨提示
随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量，方差值大的，则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大，则标明X与其均值的偏差较大，反之，则表明X与其均值的偏差较小.
各个击破
【类题演练1】若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a.随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.
求方差Dξ的最值.
解析：由题意得ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1-2a
2a
∴Eξ=0×(1-2a)+1×2a=2a
∴Dξ=(0-2a)2(1-2a)+(1-2a)22a
=(1-2a)2a(2a+1-2a)
=2a(1-2a)=-4［a-］2+
由分布列的性质得0≤1-2a≤1
且0≤2a≤1 ∴0≤a≤
∴当a=时Dξ最大值为；
当a=0或时Dξ的最小值为0.
【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数）.
解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5.
ξ≈1表示一发即中，故概率为
P（ξ=1）=0.8
ξ=2，表示第一发未中，第二发命中，
故P（ξ=2）=（1-0.8）×0.8=0.16；
ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，
故P（ξ=3）=（1-0.8）2×0.8=0.032；
ξ=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，
故P（ξ=4）=（1-0.8）3×0.8=0.006 4；
ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，
故P（ξ=5）=（1-0.8）4=0.001 6，因此，它的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.8
0.16
0.032
0.006 4
0.001 6
Eξ=1×0.8+2×0.16+3×0.032+4×0.006 4+5×0.001 6=1.25.
Dξ=(1-1.25)2×0.8+(2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.006 4+(5-1.25)2×0.001 6=0.31.
【类题演练2】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求的最大值.
解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，从而Eξ=0×（1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.
(1)Dξ=p-p2=-(p-)2+,
∵0＜p＜1,
∴当p=时，Dξ取得最大值为.
（2）=,
∵0＜p＜1,∴2p+≥.
当且仅当2p=,即p=时，取得最大值2-2.
【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.
证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则p（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(1-p)·(0-p)2+p(1-p)2= p(1-p)≤()2=.
所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过.
【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为：
ξ
10
9
8
7
6
5
0
P
0.5
0.2
0.1
0.1
0.05
0.050
η
10
9
8
7
6
5
0
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.
解析：依题意，有Eξ=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环）.
Eη=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环）.
Dξ=（10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1×…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.
Dη=（10-5.6）2×0.1+（9-5.6）2×0.1+（8-5.6）2×0.1+…+（5-5.6)2×0.2+（0-5.6）2×0.2=10.24.
所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定，而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好.
【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛，已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：
次品数ξ1
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
甲
次品数ξ2
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙
根据以上条件，选派谁去合适？
解析：Eξ1=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,
Eξ2=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3.由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数的平均水平基本一致，因而还需考查稳定性.
Dξ1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;
Dξ2=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.因此Dξ1＜Dξ2，所以技工乙波动较大，稳定性较差.综上所述，应选派技工甲去参加比赛.
2.3.2 离散型随机变量的方差
问题导学
一、离散型随机变量的方差与性质
活动与探究1
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
迁移与应用
1．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于( )
A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0
2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设这3张卡片上的数字之和为ξ．
(1)求E(ξ)和D(ξ)；
(2)若X＝3ξ－2，求E(X)，D(X)．
(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．
(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时，随机变量Y＝aX＋b，则D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)，可以简化解答过程，提高解题效率．
二、离散型随机变量的方差的应用
活动与探究2
2013年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“秀美江西，让鸟儿自由飞翔”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平．
现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
迁移与应用
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较．
离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．
三、两点分布和二项分布的方差
活动与探究3
某人投弹击中目标的概率为p＝0.8．
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时，击中次数Y的均值和方差．
迁移与应用
1．设X服从两点分布，分布列为
X
0
1
P
p
q
，其中p(0,1)，则( )
A．E(X)＝p，D(X)＝p3
B．E(X)＝p，D(X)＝p2
C．E(X)＝q，D(X)＝q2
D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2
2．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是．
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
正确认识二项分布及其在解题中的应用
(1)在解决有关均值和方差问题时，同学们要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程．
(2)对于二项分布公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)(xi－E(X))2 (xi－E(X))2pi
(2)均值 越小 (3)a2D(X)
预习交流1 (1)提示：随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
(2)提示：E(X)＝2.7，D(X)＝1.41．
(3)提示：D(η)＝22×0.5＝2．
2．(1)p(1－p) (2)np(1－p)
预习交流2 提示：D(ξ)＝9××＝2．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)列出ξ的分布列，根据均值与方差的计算公式求解；(2)根据E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)，列出关于a，b的方程组，求解即可．
解：(1)由题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝．
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．
(2)由D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4．
迁移与应用 1．B 解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61．
2．解：(1)3张卡片上的数字之和ξ的可能取值为6,9,12．ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则
P(ξ＝6)＝＝．
ξ＝9表示取出的3张卡片上2张标有2,1张标有5，则P(ξ＝9)＝＝．
ξ＝12表示取出的3张卡片上2张标有5,1张标有2，则P(ξ＝12)＝＝．
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8．
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．
(2)∵X＝3ξ－2，∴E(X)＝3E(ξ)－2＝3×7.8－2＝21.4．D(X)＝9D(ξ)＝3.36×9＝30.24．
活动与探究2 思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差．
解：甲保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．
乙保护区内的违规次数Y的数学期望和方差为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．
迁移与应用 1．B 解析：∵D(X甲)＞D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
2．解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81．
工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61．
由E(X)＝E(Y)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)＞D(Y)，可见乙的技术比较稳定．
活动与探究3 思路分析：投弹一次的命中次数X服从两点分布，而重复10次投弹可以认为是10次独立重复试验，击中次数Y服从二项分布．
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16．
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10,0.8)，
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，
D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6．
迁移与应用 1．D 解析：X服从两点分布，则E(X)＝q＝1－p，
D(X)＝p(1－p)＝p－p2．
2．解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B，
∴E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝．
(2)由已知η＝30ξ，
∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200．
当堂检测
1．已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则D(X)的值为( )
A． B．
C． D．
答案：C 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(X)＝．
2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( )
A．E(X1)＝12，D(X1)＝1
B．E(X1)＝7，D(X1)＝1
C．E(X1)＝12，D(X1)＝2
D．E(X1)＝7，D(X1)＝2
答案：D 解析：E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，
D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2．
3．已知离散型随机变量ξ的分布列如下：
ξ
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(ξ)＝______．
答案：2.44 解析：∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3．
∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4．
D(ξ)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44．
4．设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝3，p＝，则n＝______，D(ξ)＝______．
答案：21 解析：由已知
即
∴n＝21，．
5．若随机变量ξ满足P(ξ＝c)＝1，其中c为常数，则D(ξ)＝__________．
答案：0 解析：E(ξ)＝1×c＝c，D(ξ)＝(c－c)2×1＝0．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
2.3 离散型随机变量的均值与方差
知识梳理
1.离散型随机变量的均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称_____________为随机变量X的均值或数学期望.
(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_____________.
(3)若Y=aX+b，其中a、b为常数，则EY=E(aX+b)=____________.
(4)若随机变量X服从两点分布，则EX=____________.
(5)若X—B(n,p)，则EX=____________.
2.离散型随机变量的方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称DX=______________为随机变量X的方差(variance),其算术平方根为随机变量X的______________,记作______________.
(2)随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的______________，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的______________.
3.D(aX+b)= ______________.
若X服从两点分布，则DX=______________.
若X—B(n,p)，则DX=______________.
知识导学
要学好离散型随机变量的均值与方差，首先要理解什么是随机变量，其次是能列出随机变量的分布列，这归根到底是要掌握概率的相应知识.这一节内容事实上是概率知识的引申，而随机变量的均值与方差是统计中两个最重要的量.
对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.
对于离散型随机变量的方差，要了解掌握它的必要性.因为在实际问题中，有时仅凭均值还难以确切地反映随机变量的分布特征，还必须进一步考虑其偏离均值的离散程度，即方差大小.方差与均值相同，也是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，也不具有随机性，它反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.
疑难突破
1.求离散型随机变量的均值或方差
剖析:求离散型随机变量的均值常分为两步：①列出随机变量的分布列；②计算随机变量的均值.
求离散型随机变量的方差常分为以下三步：①列出随机变量的分布列；②求出随机变量的均值；③求出随机变量的方差.
2.如何证明下列结论？
(1)D(aX+b)=a2DX；
(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)；
(3)若X—B(n,p)，则DX=np(1-p).
剖析:证明：(1)D(aX+b)=
=.
(2)若X服从两点分布，则EX=p，所以
DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).
(3)若X—B(n,p)，则EX=np，设q=1-p，
DX=
=
=
=
=,
而
=
=n(n-1)p2+np,
∴DX=n(n-1)p2+np-n2p2=np(1-p)
=
=+np=n(n-1)p2+np.
∴DX=n(n-1)p2+np-n2p2=np(1-p).
2.3 离散型随机变量的均值与方差 1
课堂探究
探究一 求离散型随机变量的均值
求离散型随机变量ξ的均值的步骤：
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；
(2)求出ξ的每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)利用定义求出均值．
【典型例题1】从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及期望．
思路分析：先确定好抽取次数X的取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及期望．
解：由题意知X的取值为2,3,4,5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列为
X
2
3
4
5
P
∴数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
规律总结 求离散型随机变量的均值时要验证分布列的所有概率之和是否为1，并且真正理解每个随机变量所代表的事件．
探究二 离散型随机变量的期望的性质
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．
【典型例题2】某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km时，车费为6元，若行驶路程超出3 km，则按每超出1 km收费3元计费．设出租车行车路程X是一个随机变量，司机所收车费为Y(元)，则Y＝3X－3.已知出租车在一天内行车路程可能取的值有(单位：km)200,220,240,260,280,300，它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20,0.20，0.18，0.12.求出租车行驶一天所收车费的数学期望．
思路分析：先求出E(X)，再利用E(Y)＝E(3X－3)求E(Y)．
解：E(Y)＝E(3X－3)＝3E(X)－3＝3×(200×0.12＋220×0.18＋240×0.20＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12)－3＝3×250－3＝747.
规律总结 本题利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，将求E(Y)的问题转化为求E(X)的问题，避免了求Y的分布列的麻烦．
探究三 两点分布、二项分布的均值
(1)如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)＝P(P为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，P)，则E(X)＝nP直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
【典型例题3】某运动员的投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮一次时命中次数ξ的均值；
(2)求重复投篮5次时，命中次数η的均值．
思路分析：第(1)问中ξ只有0,1两个结果，服从两点分布；
第(2)问中η服从二项分布．
解：(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为，则E(ξ)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．
则E(η)＝np＝5×0.6＝3.
规律总结 对服从二项分布或两点分布的随机变量求均值，只要利用相应公式即可，但要准确判断问题中的变量是否服从二项分布、两点分布．
探究四 易错辨析
易错点 审题不清致误
【典型例题4】某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.
(1)求选手甲可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
错解：(1)选手甲答3题进入决赛的概率为C×3×2＝；
选手甲答4题进入决赛的概率为C×4×＝；
选手甲答5题进入决赛的概率为C×5＝；
所以选手甲进入决赛的概率为
＋＋＝＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为3,4,5，
P(ξ＝3)＝3＋3＝；
P(ξ＝4)＝C×3×＋C×3×＝；
P(ξ＝5)＝C×3×2＋C×2×3＝＝.
则答题个数的分布列为
ξ
3
4
5
P
E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.
错因分析：(1)甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2道题，答错1道题，第4题答对．只有前3次答题事件满足独立重复试验，同理答5题进入决赛指的是前4题答对2道题，答错2道题，第5题答对．只前4次答题事件满足独立重复试验，不是对全部进行独立重复试验．
(2)甲答4题结束比赛，指答对前3题中的2道题，第4题答对进入决赛，或前3题中有2道题答错，第4题答错．甲答5题结束比赛，指答对前4题中的2道题．
正解：(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3＝；
选手甲答4道题进入决赛的概率为C×2××＝；
选手甲答5道题进入决赛的概率为C×2×2×＝.
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为3,4,5，
则有P(ξ＝3)＝3＋3＝，
P(ξ＝4)＝C×2××＋C×2××＝，
P(ξ＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝，因此，有
ξ
3
4
5
P
E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 1
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能记住离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
2．能记住离散型随机变量的均值的性质，能记住两点分布、二项分布的均值．
3．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考1 随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系？
提示：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化，对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P；
(2)若随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则E(X)＝np.
思考2 一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83 C．3 D．2.4
提示：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 2
课堂探究
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤：
(1)列出随机变量的分布列；
(2)求出随机变量的均值；
(3)求出随机变量的方差．
【典型例题1】袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
思路分析：(1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．
(2)运用E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)，求a，b.
解：(1)ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以，
当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
规律总结 求离散型随机变量的方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果．同时还要能正确求出每一个结果出现的概率．
探究二 离散型随机变量的方差的应用
离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看谁的平均水平高，然后再计算方差，分析谁的水平发挥相对稳定．当然不同的情形要求不同，应视情况而定．
【典型例题2】2012年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源，需评测保护区的管理水平．
现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性，即方差．
解：甲保护区内的违规次数X的数学期望和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内的违规次数Y的数学期望和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动较大，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理更好一些．
规律总结 在解决此类问题时，应先比较均值，若均值相等，再比较方差，方差较小的数据较稳定．
探究三 两点分布、二项分布的方差
(1)如果随机变量X服从两点分布，则其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则方差D(X)＝np(1－p)直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
【典型例题3】一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
解：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B，
∴E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，
∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
规律总结 在解决有关均值和方差问题时，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接代入公式求期望和方差，以简化问题的解答过程．
探究四 易错辨析
易错点 机械套用公式致误
【典型例题4】已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
a
0.2
0.1
求E(X)，D(X)，D(－2X－3)．
错解：E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×a＋3×0.2＋4×0.1＝1.2＋2a，
D(X)＝[0－(1.2＋2a)]2×0.2＋[1－(1.2＋2a)]2×0.2＋[2－(1.2＋2a)]2×a＋[3－(1.2＋2a)]2×0.2＋[4－(1.2＋2a)]2×0.1＝(1.2＋2a)2×0.2＋(0.2＋2a)2×0.2＋(0.8－2a)2×a＋(1.8－2a)2×0.2＋(2.8－2a)2×0.1，D(－2X－3)＝－2D(X)．
错因分析：忽略了随机变量分布列的性质出现错误，这里只是机械地套用公式，且对D(ax＋b)＝a2D(x)应用错误．
正解：∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3.
∴E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.
D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
D(－2X－3)＝4D(X)＝6.24.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 2
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xl－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(3)离散型随机变量的方差的性质：
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
思考1 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
提示：随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观变化；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
思考2 两名射手每次射击中靶的概率分别为0.8和0.7，则每射击3次中，两名射手的方差分别为( )
A．0.8,0.7 B．2.4,2.1
C．0.48,0.63 D．0.16,0.21
提示：射手独立射击3次中靶次数X都服从二项分布，即X～B(3,0.8)，Y～B(3,0.7)，
所以D(X)＝np(1－p)＝3×0.8×0.2＝0.48，D(Y)＝nq(1－q)＝3×0.7×0.3＝0.63.
