2.4 正态分布
学习目标
重点、难点
1.会分析正态分布的意义．
2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．
3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.
重点：正态曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题．
难点：求随机变量在某一区间内的概率.
1．正态曲线
(1)函数______________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称________．
(2)随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值．
预习交流1
(1)正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？
(2)设随机变量X的正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝__________，则称X服从________．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X服从正态分布，则记为________．
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴____，与x轴______；
(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；
(3)曲线在____处达到峰值______；
(4)曲线与x轴之间的面积为__；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.
预习交流2
设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝( )．
A．0 B．σ C．－μ D．μ
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.
5．3σ原则
正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．
预习交流3
(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？
(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．
答案：
1．(1)φμ，σ(x)＝ 正态曲线
(2)φμ，σ(x)dx
预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝，
∴μ＝－3，σ＝.
2.φμ，σ(x)dx 正态分布 N(μ，σ2) X～N(μ，σ2)
3．(1)上方 不相交 (2)x＝μ (3)x＝μ
(4)1 (6)瘦高 矮胖
预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.
4.φμ，σ(x)dx 0.682 6 0.954 4 0.997 4
5．3σ原则
预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．
(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
一、正态曲线的图象应用
如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．
如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )．
A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ3
(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．
(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．
二、利用正态曲线的对称性求概率
已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )．
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．
若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝( )．
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
三、正态分布的应用
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？
思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )．
A．997 B．954 C．819 D．683
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
答案：
活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，＝，则σ＝.
所以概率密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是
σ2＝()2＝2.
迁移与应用：A
活动与探究2：A 解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.
迁移与应用：C 解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.
∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.
活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ 位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，
所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
迁移与应用：D 解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.
1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为( )．
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
2．设随机变量X～N(1,22)，则D＝( )．
A．4 B．2 C. D．1
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )．
A．0.447 B．0.628 C．0.954 D．0.977
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．
5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．
答案：
1．C 解析：由正态曲线关于y轴对称，∴μ＝0，均值为0.
2．D 解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.
3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，
∴正态曲线关于x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0.023，
∴P(ξ＜－2)＝0.023.
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
4．0.8 解析：易得P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，
故P(0＜ξ＜2)＝2P(0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.
5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P(9 200＜X≤10 800)＝P(10 000－2×400＜X≤10 000＋2×400)＝0.954 4.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华
技能要领
2.4 正态分布
知识梳理
1.正态曲线
若φμ,σ(x)=___________,x∈（-∞,+∞）,其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称___________.
2.正态曲线的特点
（1）曲线位于x轴___________，与x轴___________；
（2）曲线是单峰的，它关于___________对称；
（3）曲线在___________处达到峰值___________；
（4）曲线与x轴之间的面积为___________；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿___________平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越___________，表示总体的分布越___________；σ越大，曲线越___________，表示总体的分布越___________.
3.正态分布
（1）一般地，如果对于任何实数a（2）特别地，如图可知，
P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取___________之间的值，并简称为___________.
知识导学
学习正态曲线要先了解什么是频率直方图，了解直方图法是适用于对大量计量值数据进行整理加工，找出其统计规律，即分析数据分布形态，以便对其总体的分布特征进行分析的方法.因为正态曲线是频率直方图随着试验次数的增加逐步形成的，正态曲线的特征是“两头低，中间高，左右对称”，同时要掌握正态曲线的有关性质，能从函数的角度来学习正态密度函数.
学习正态曲线要掌握在正态曲线中，若X是随机变量，则X落在区间（a,b］上的概率为P(a疑难突破
1.从正态分布的总体特征判断随机变量服从正态分布
剖析:一般地，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同影响的结果，而每一种随机因素都不能起到压倒性的影响时，这个随机变量就被认为服从正态分布.
2.判断离散型随机变量的分布是否服从正态?分布
剖析:在随机抽样中，样本是不完全相同的，但总在一个范围内变动，这样可以使一定的抽样分成若干组，按其顺序分别在坐标上画出一系列的直方形，并将直方形连起来，观察图的形状，来判断样本的分布状况.当分组足够多，就可用一条曲线来拟合频率直方图的分布形态，如果曲线呈对称钟形分布，就可以初步判断该分布服从正态分布.同时可以通过计算直方图的对称度、峰度来定量判断该分布是否服从正态分布，若对称度、峰度均为0，就认为该分布服从正态分布.
2.4 正态分布
课堂导学
三点剖析
一、正态分布的性质
【例1】 正态总体N（0，1）的概率密度函数是
f(x)=.x∈R.
(1)求证：f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性.
解：（1）对于任意的x∈R，
f(-x)===f(x)
∴f(x)是偶函数.
(2)令z=,当x=0时，z=0，e z=1,∵e z是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0,e z＞1,
∴当x=0,即z=0时，取得最小值.
∴当x=0时，f(x)=取得最大值.
(3)任取x1＜0,x2＜0,且x1＜x2,有x12＞x22,∴＜-,∴＜,
∴
即f(x1)＜f(x2)
它表明当x＜0时，f(x)是递增的.
同理可得，对于任取的x1＞0,x2＞0,且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2),即当x＞0时，f(x)是递减的.
二、利用正态分布的密度函数求概率
【例2】 设ξ服从N（0，1），求下列各式的值：（1）P（ξ＞2.35);(2)P(ξ＜-1.24);(3)P(|ξ|＜1.54).
分析：因为ξ服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x0＞0,P(ξ＜x0)=Φ（x0)的情形，其他情形需用公式：Φ（-x)=1-Φ(x);P(a＜ξ＜b)=Φ（b)-Φ(a);和P（ξ＞x0)=1-P(ξ＜x0)进行转化.
解析：（1）P(ξ＞2.35)=1-P(ξ＜2.35)=1-Φ(2.35)=1-0.990 6=0.009 4;
(2)P(ξ＜-1.24)=Φ(-1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.892 5=0.107 5;
(3)P(|ξ|＜1.54)=P(-1.54＜ξ＜1.54)=Φ(1.54)-Φ(-1.54)=2Φ(1.54)-1=0.876 4.
温馨提示
对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P（x1＜ξ＜x2)=φ(x2)-φ(x1)的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间，x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.
三、正态分布的应用
【例3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算
(1)若有70分钟时间可用，应走哪条线路？
（2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？
解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：
P（ξ≤70)=Φ()=Φ(2)=0.977 2.
走第二条线路及时赶到的概率为
P（ξ≤70）=Φ()=Φ(2.5)=0.993 8.
所以，应走第二条线路.
（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为：
P(ξ≤65)=Φ()=Φ(1.5)=0.933 2.
走第二条线路及时赶到的概率为
P（ξ≤65）=Φ()
=Φ(1.25)=0.894 4.
所以，应走第一条线路.
温馨提示
正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N（0，1）以后，设P（ξ＜x）=P,结合标准的正态分布表可求两个方面的问题：一是已知x的值求概率P；二是已知概率P的值求x的值.若ξ—N(μ,σ2)，则—N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布.
各个击破
【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
思路分析：对照正态密度函数f(x)=易知B选项正确.此时σ=1，μ=0.
答案：B
【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是 ( )
A.曲线C2仍是正态曲线
B.曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2
D.以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
思路分析：正态密度函数为f(x)= ,正态曲线对称轴为x=μ,曲线最高点纵坐标为f(μ)=,所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值μ增大2个单位.
答案：C
【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高ξ—N(175,62)(单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？
解析：设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,则根据题意可知：P（ξ＞x)＜1%,由于ξ—N(175,62)，所以P(ξ＞x)=1-P(ξ＜x)=1-Φ()＜0.01;也就是：Φ()＞0.99,查表可知：＞2.33;解得x＞188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高.
【变式提升2】某镇农民年平均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元—520元间人数的百分比；（2）如果要使农民的年收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？
解析：设ξ表示此镇农民的年收入，由已知ξ—N（500，202）.
（1）P（500＜ξ＜520)
=Φ()-Φ()
=Φ（1）-Φ（0）=0.341 3.这说明此镇农民平均收入在500元—520元间的人数约为34%.
（2）令P(μ-a＜ξ＜μ+a)
=Φ()-Φ(-)≥0.95,
则有Φ()-［1-Φ()］≥0.95,有2Φ()-1≥0.95，所以Φ()≥0.975，由于Φ(x)是增函数，故查表得()≥1.96,所以a＞39.2，因此要使农民的平均收入在（500-a,500+a）内的概率不小于0.95，a不能小于39.2.
【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
解析：设x表示这个班的数学成绩，则x服从N（80，102），P（80＜x＜90）=Φ()-Φ()=Φ(1)-Φ(0),查标准正态分布表得
Φ(1)=0.841 3,Φ(0)=0.500 0,故P(80＜x＜90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以从理论上讲在80分至90分之间有48×0.341 3=16.382 4≈16(人).
【变式提升3】已知测量误差ξ—N(7.5,100),(单位cm),则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9?
解析：设测量的绝对误差不超过10 cm的概率为p，则
p=P(|ξ|≤10)
=Φ()-Φ()
=Φ(0.25)-Φ(-1.75)
=Φ(0.25)-［1-Φ(1.75)］
=Φ(0.25)+Φ(1.75)-1
=0.598 7+0.959 9-1=0.558 6.
设η表示n次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，则η—B(n,p),由P(η≥1)＞0.9得1-P（η=0）＞0.9,即1-0.558 60(1-0.558 6)n＞0.9,(0.441 6)n＜0.1.
解得n＞=2.815;所以至少要进行3次测量.
2.4 正态分布
课堂探究
探究一 正态曲线的应用
(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．
(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(u)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．
【典型例题1】如图，是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及概率密度函数的解析式．
解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，＝，则σ＝.
所以概率密度函数的解析式是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
规律总结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
探究二 正态分布下的概率计算
充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
(1)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
(2)p(x＜a)＝1－p(x≥a)；p(x＜μ－a)＝p(x＞μ＋a)．
【典型例题2】设ξ～N(1,4)，试求：
(1)P(－1＜ξ≤3)；
(2)P(3＜ξ≤5)；
(3)P(ξ≥5)．
思路分析：首先确定μ，σ，然后根据正态曲线的对称性和P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4进行求解．
解：∵ξ～N(1,4)，
∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.
(2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，
∴P(3＜ξ≤5)＝[P(－3＜ξ≤5)－P(－1＜ξ≤3)]
＝[P(1－4＜ξ≤1＋4)－P(1－2＜ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜x≤μ＋σ)]
＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
(3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，
∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3＜ξ≤5)]
＝[1－P(1－4＜ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)]
＝×(1－0.954 4)＝0.022 8.
规律总结 求正态总体在某个区间上取值的概率，要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据．
探究三 正态分布的应用
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定p的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
【典型例题3】某厂生产的圆柱形零件的外径X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
思路分析：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)内，还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．
解：由于圆柱形零件的外径X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
规律总结 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则，如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
探究四 易错辨析
易错点 混淆均值与标准差
【典型例题4】把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是( )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为正态曲线的总体的期望比以曲线C1为正态曲线的总体的期望大2
错解：D
错因分析：把正态密度函数中μ，σ的意义混淆了．
正解：正态密度函数为f(x)＝，正态曲线的对称轴x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝.所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．
答案：C
2.4 正态分布
问题导学
一、正态曲线的图象
活动与探究1
如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
迁移与应用
如图是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1
C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ3
(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．
(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．
二、利用正态曲线的对称性求概率
活动与探究2
已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
迁移与应用
1．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
2．设X～N，则P(－1＜X＜1)的值为________．
充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
(1)熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
(2)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
三、正态分布的应用
活动与探究3
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？
迁移与应用
为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
A．997 B．954
C．819 D．683
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
答案：
课前·预习导学
【预习导引】
1．(1)φμ，σ(x)＝ 正态曲线
(2)φμ，σ(x)dx
预习交流1 (1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ．同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝，
∴μ＝－3，σ＝．
2．φμ，σ(x)dx 正态分布 N(μ，σ2) X～N(μ，σ2)
3．(1)上方 不相交 (2)x＝μ (3)x＝μ
(4)1 (5)x轴 (6)瘦高 矮胖
预习交流2 提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ．
4．φμ，σ(x)dx 0.682 6 0.954 4 0.997 4
5．3σ原则
预习交流3 (1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．
(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6．
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．
解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，＝，则σ＝．
所以概率密度函数的解析式是
f(x)＝，x(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2．
迁移与应用 A
活动与探究2 思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．
A 解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16．
迁移与应用 1．C 解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，则P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025，
∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950．
2．0．954 4 解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，
故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954 4．
活动与探究3 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解：∵ξ～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10．
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4．
(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ 位于区间(80,100]内的概率是0.682 6．一共有2 000名考生，
所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
迁移与应用 D 解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，
故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683．
当堂检测
1．设随机变量X～N(1,22)，则＝( )
A．4 B．2
C． D．1
答案：D 解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1．
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.447 B．0.628
C．0.954 D．0.977
答案：C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称．
又P(ξ＞2)＝0.023，
∴P(ξ＜－2)＝0.023．
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．
3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．
答案：0.8 解析：易得P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，
故P(0＜ξ＜2)＝2P(0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8．
4．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．
答案：0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P(9 200＜X≤10 800)＝P(10 000－2×400＜X≤10 000＋2×400)＝0.954 4．
5．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
答案：
解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70，102)，则μ＝70，σ＝10．
在60～80分之间的学生的比例为P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6，
所以不及格的学生的比例为(1－0.682 6)＝0.158 7，
即成绩不及格的学生占15.87%．
(2)成绩在80～90分内的学生占多少？
答案：成绩在80～90分内的学生的比例为
[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)－P(70－10＜x≤70＋10)]
＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，
即成绩在80～90分内的学生占13.59%．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
2.4 正态分布
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会分析正态分布的意义．
2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．
3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.
1．正态曲线
(1)函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)随机变量X落在区间(a，b)的概率为P(a＜X≤b)≈
思考1 正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？
提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，则E(x)＝μ，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜x≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
思考2 设随机变量X的正态分布密度函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
提示：写成标准式φμ，σ(x)＝，∴μ＝－3，σ＝.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.
思考3 如何理解正态曲线的特点？
提示：
曲线特点
概率体现
曲线在x轴上方
P(X)＞0
曲线关于直线
x＝μ对称
①P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝，
②P(μ－ε＜X＜μ)＝P(μ＜X＜μ＋ε)(其中ε＞0)
曲线在x＝μ处达到峰
值
0＜φμ，σ(x)≤
曲线与x轴围成的
面积为1
P(－∞＜x＜＋∞)＝1
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率
P(μ－a＜X≤μ＋a)＝.特别地有
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
思考4 如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？
提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．
