1.1.1 角的概念的推广
示范教案
教学分析
教材分三段编写，首先复习初中学过的角的概念，然后设置“观览车”问题情境，推广角的概念，最后研究象限角的性质及表达式．这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念．让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题．本节充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立了象限角的概念，使得任意角的讨论有一个统一的载体．教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题，让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角．能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务．
学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的含义．如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义．
与以往教材不同的是，把旋转的合成与角度的加法运算对应起来，使数与形紧密结合，以加深学生对角度运算的直观认识．书中通过4个例题，要求学生能熟练地掌握旋转与角度的加法运算关系象限角的概念、象限角和终边落在坐标轴上的角的代数表示．要求练习A、B组习题全做，但B组5题为扩展题，可让学生选做．
三维目标
1．通过实例的展示，使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念．
2．通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．
3．通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础．
重点难点
教学重点：将0°～360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合．
教学难点：用集合来表示终边相同的角．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此提问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度；自行车车轮旋转的角度；螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．
图1
思路2.在日常生活中，只要我们用心去观察，又勤于思考，就会发现许多与数学有关的事情．游乐园是人们爱去的地方，各种神奇的游戏器械吸引着人们去玩耍，那高大的观览车绕轴转动着，边缘上悬挂的座椅，带着游人在空中旋转，给游人带来乐趣！你想过吗？
图2
从你的座位开始转动的时刻到某个时刻，你的座位转了多少角度？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．
推进新课
?1?你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？
?2?体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？
?3?请两名男生?或女生、或多名男女学生?起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？
活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程；让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．
我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.
讨论结果：
(1)顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.
(2)顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.
(3)－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°……
活动：先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．
今后我们通常在平面直角坐标系中研究和讨论角．平面内任意一个角都可以通过移动使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
讨论结果：
(1)能．如图3中的(1)、(2)．
图3
(2)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：
上图(1)中的45°，－315°，405°角都是第一象限角．
(2)中的124°角是第二象限的角，210°角是第三象限的角，－45°角是第四象限的角．
特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．
可以借此进一步设问：
锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？
将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
?1?在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？
?2?所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？
活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示：演示象限角、终边相同的角，并及时地引导终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．
为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？
讨论结果：
(1)210°与－150°角的终边相同；328°，－32°，－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．
设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°，－392°角都是S的元素，－32°角也是S的元素(此时k＝0)．
因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素与－32°角终边相同．
(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．
适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例 1射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小．
活动：这是本节教材安排的例1，目的在于巩固刚推广的正、负角概念，教师不要讲解，由学生自己探究完成，对有困难的学生，教师可给予适当的点拨．
解：由题意知∠AOB＝－80°，∠BOC＝250°，∠COD＝－270°，因此∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝－80°＋250°－270°＝－100°.
点评：在学生独立完成的基础上，教师引导学生进一步通过作图来验证运算结果．
例 2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角；
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，它是第二象限的角．
例 3写出终边在x轴上的角的集合．
活动：终边落在x轴上，应分x轴的正方向与x轴的负方向两个．
学生很容易分别写出所有与0°，180°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．
让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简洁性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．
解：在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为
S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．
为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化
S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}．
因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，
所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，
即集合S是终边在x轴上的角的集合．
点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.
变式训练
(1)写出终边在y轴上的角的集合．
(2)写出终边在坐标轴上的角的集合．
答案：①S＝{β|β＝(2n＋1)·90°，n∈Z}．
②S＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
例 4分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.
解：(1)S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．
S中满足－360°≤β<720°的元素是(－1)×360°＋60°＝－300°，
0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.
(2)S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}．
S中满足－360°≤β<720°的元素是0×360°－21°＝－21°，
1×360°－21°＝339°，2×360°－21°＝699°.
(3)S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}．
S中满足－360°≤β<720°的元素是(－2)×360°＋363°14′＝－356°46′，
(－1)×360°＋363°14′＝3°14′，0×360°＋363°14′＝363°14′.
点评：本例是让学生用集合表示出终边相同角，这是本节的重点，也是难点，接着找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法.
变式训练
写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解：如图4，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°和225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合
图4
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}．
S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
例 5写出在下列象限的角的集合：
(1)第一象限；
(2)第二象限；
(3)第三象限；
(4)第四象限．
活动：本题关键是写出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把(1)中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限的角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．
解：(1)终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β
(2)终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β(3)终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β(4)终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义．
本节课推广了角的概念；学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法；零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k，余数为α(α必须是正数)，α即为所找的角．
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课本本节练习B 1、2、3、4.
1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体，在课堂上演示给学生，有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．
2．本节课设计的指导思想是加强教学的直观性，充分利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处，引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．
3．几点说明：
(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．
(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．
(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．
备用习题
1．若角α与β终边相同，则一定有( )
A．α＋β＝180° B．α＋β＝0°
C．α－β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝k·360°(k∈Z)
2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}
3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )
A．β＝α＋90° B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z) D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
4．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与角的终边相同的角是__________．
5．若集合A＝{α|k·180°＋30°<α参考答案：
1．C 2.C
3．D 点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．
4．56°，176°，296° 点拨：根据已知条件有θ＝k·360°＋168°，k∈Z，＝k·120°＋56°，k∈Z.又0≤k·120°＋56°<360°，满足条件的k为0,1,2.
5．解：B＝{β|k·360°－45°<β采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B，可以求得
A∩B＝{x|30°＋k·360°1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
示范教案
教学分析
在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1°.
通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．
通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．
有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果 .
三维目标
1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．
2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．
重点难点
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．
推进新课
?1?在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？
?2?我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？
活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即＝1.
图1
讨论结果：
(1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．
(2)能，用弧度制．
?1?作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？
?2?如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？
活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．
讨论结果：
(1)完全重合，因为都是1弧度的角．
(2)α＝；将角度化为弧度：360°＝2π rad，1°＝ rad≈0.017 45 rad；将弧度化为角度：2π rad＝360°，1 rad＝()°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝()°，n°＝n(rad)．
在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．
(1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
(2)填写下列的表格，找出某种规律．
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
2πr
逆时针方向
r
1
2r
－2
－π
0
180°
360°
(3)你能写出把角度值n换算为弧度值的一个算法吗？
活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．
由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．
教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．
值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
图2
讨论结果：
(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．弧度制下关于扇形的公式为l＝αR，S＝αR2，S＝lR.
(2)
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
r
逆时针方向
1
57.3°
2r
顺时针方向
－2
－114.6°
πr
顺时针方向
－π
－180°
0
未旋转
0
0°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
(3)把角度值n换算为弧度值的一个“算法”如下：
①给变量n和圆周率π的近似值赋值；
②如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；
③计算(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a；
④计算na，赋值给变量α.
α就是这个角的弧度值．
思路1
例 1下列命题中，真命题是( )
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D为真命题．
答案：D
变式训练
下列四个命题中，不正确的一个是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小是2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：D
例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)；
(2)把112°30′化成弧度(用π表示)．
解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算：
①n＝112°30′，π＝3.141 6；
②n＝112＝112.5；
③a＝≈0.017 5；
④α＝na＝1.968 75.
因此α≈1.969 rad.
(2)112°30′＝()°＝×＝.
例 3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α(k∈Z，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：
(1)－；(2)；(3)－20；(4)－2.
活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是：{β|β＝kπ，k∈Z}，{β|β＝＋kπ，k∈Z}．第一、二、三、四象限角的集合分别为：
{β|2kπ<β<2kπ＋，k∈Z}，{β|2kπ＋<β<2kπ＋π，k∈Z}，
{β|2kπ＋π<β<2kπ＋，k∈Z}，{β|2kπ＋<β<2kπ＋2π，k∈Z}．
解：(1)－＝－4π＋，是第一象限角．
(2)＝10π＋，是第二象限角．
(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．
(4)－2≈－3.464，是第二象限角．
点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α(k∈Z，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与，π，比较大小，估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈[0,2π))的形式；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.
解：(1)∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π，
∴－1 480°＝2(－5)π＋.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－.
例 4如图3，(1)扇 形AOB中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A的长l(精确到0.1米)．
图3
(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径．
活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．
解：(1)如图3，因为60°＝，所以l＝α·r＝×50≈1.05×50＝52.5.
答：的长约为52.5米．
(2)如图4，因为圆心角为1 rad的扇形的面积为＝r2，而弧长为l的扇形的圆心角的大小为 rad，所以它的面积S＝·＝lr，即S＝lr.
图4
例 5已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．
解：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－(r－)2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，∴α＝＝2.
故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积取最大值.
变式训练
已知一个扇形的周长为＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．
解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知知道，扇形的圆心角为80×＝，∴扇形的弧长为r，由已知，r＋2r＝＋4，∴r＝2.
∴S＝·r2＝.故扇形的面积为.
点评：求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．
课本本节练习A组 3,4；练习B组 3,4,5.
本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．
一、密位制度量角
度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以
1°＝≈16.7密位，1密位＝＝0.06°＝3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．
二、备用习题
1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )
A. B. C．1 D．π
2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
3．下列表示的为终边相同的角的是( )
A．kπ＋与2kπ＋(k∈Z) B.与kπ＋(k∈Z)
C．kπ－与kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π与3kπ(k∈Z)
4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.
5．已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形的中心角的弧度数．
6．若α∈(－，0)，β∈(0，)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．
7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．
图5
8．(1)角α，β的终边关于直线y＝x对称，写出α与β的关系式；
(2)角α，β的终边关于直线y＝－x对称，写出α与β的关系式．
参考答案：
1．A 2.B 3.C
4.，，π，，
5．解：设扇形所在圆的半径为R，扇形的中心角为α，依题意有
αR＋2R＝6，且αR2＝2，
∴R＝1，α＝4或R＝2，α＝1.
∴α＝4或1.
6．解：－<α＋β<，
∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x轴的非负半轴上．
－π<α－β<0，
∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y轴的非正半轴上．
7．解：(1){θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}；
(2){θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}；
(3){θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}
＝{θ|nπ＋<θ8．解：(1)β＝－α＋2kπ，k∈Z；
(2)β＝－α＋2kπ，k∈Z.
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，(rad)，(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．
例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?
甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x弧度，则分针转过了2π＋x弧度，而时针走1弧度相当于经过 h＝ min，分针走1弧度相当于经过 min，故有x＝(2π＋x)，得x＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是＋2π＝(rad)．
乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是(rad)．
点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．
1.2.1 三角函数的定义
示范教案
教学分析
学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念．
教材中是分三步引入三角函数的定义的．首先以锐角三角函数为引子，即当象限角为锐角时，复习直角三角形中的边、角关系，锐角三角函数；接着推广锐角三角函数，即在象限角的终边上任取一点，启发学生研讨这一点的坐标与象限角大小的关系，进而证明三个比值，，与点在终边上的位置无关；最后根据判断函数的标准(函数值是否唯一，是否给出定义域)，定义正弦、余弦和正切三个三角函数．
本小节的第二个内容是判断三个三角函数在各象限的符号，为进一步研究三角函数作好准备．例题1、2的作用是学会由已知条件求三角函数值，掌握终边在坐标轴上的角的三角函数值．
三维目标
1．理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．
3．能根据三角函数的符号，确定角所在的象限．
重点难点
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．
思路2.引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义，从而为定义任意角的三角函数奠定基础．
推进新课
定义1
活动：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．
如图1所示，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy，并且使∠xOy＝90°.
图1
如图1(1)，α为锐角，记∠MOP＝α，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，MP⊥Ox于点M，则OM＝x，MP＝y，r＝OP＝>0，
根据锐角三角函数的定义知sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝.
讨论结果：
(1)锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数．
(2)略．
定义2
活动：教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画画图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．
在任意角α的终边上取点A(图1(2))，使OA＝1，设点A的坐标为(l，m)，再任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例，得
＝|l|，＝|m|，＝.
因为A，P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同．
因此得＝l，＝m，＝.
不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关．即当点P在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值．因此我们可定义
叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝；
叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝；
叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝.
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．
由图1(1)可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的．
有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：secα＝＝；
角α的余割：cscα＝＝；
角α的余切：cotα＝＝.
这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．
教师出示定义后，可让学生解释一下定义中的对应关系．教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点．教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上，先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，在直角坐标系中考查锐角三角函数，得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论．在此基础上，再定义任意角的三角函数．
教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：①正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．②sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．③当α的终边在y轴上，即α＝2kπ±(k∈Z)时，tanα，secα没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cotα，cscα没有意义．
讨论结果：(1)略．(2)略．
三角函数在各象限的符号
活动：请根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图2中的括号内．
三角函数
定义域
sinα
cosα
tanα
图2
教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论．对于正弦函数sinα＝y，因为y恒有意义，即α取任意实数，y恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠＋kπ(k∈Z)．
(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面探究问题．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
讨论结果：
(1)定义域、值域、单调性等．
(2)y＝sinα与y＝cosα的定义域都是全体实数R，值域都是[－1,1]．y＝tanα的定义域是{α|α≠＋kπ(k∈Z)}，值域是R.
(3)由三角函数定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号．
思路1
例 1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求角α的六个三角函数值．
活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．
解：如图3，因为x＝2，y＝－3，
图3
所以r＝＝.
于是sinα＝＝＝－，
cosα＝＝＝，
tanα＝＝－，cotα＝－，
secα＝＝，cscα＝＝－.
例 2求下列各角的六个三角函数值：
(1)0；(2)π；(3).
活动：教师引导学生充分利用三角函数定义，必要时也可画出图形，通过本例进一步理解三角函数定义中比值与点P的位置没有关系．
解：(1)因为当α＝0时，x＝r，y＝0，
所以sin0＝0，cos0＝1，tan0＝0，
csc0不存在，sec0＝1，cot0不存在；
(2)因为当α＝π时，x＝－r，y＝0，
所以sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0，
cotπ不存在，secπ＝－1，cscπ不存在；
(3)因为当α＝时，x＝0，y＝－r，
所以sin＝－1，cos＝0，tan不存在，
cot＝0，sec不存在，csc＝－1.
变式训练
1．若角α的终边经过点(－，－)，则sinα－cosα的值是( )
A. B.
C. D.
答案：A
2．求的正弦、余弦和正切值．
图4
解：在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为r，作∠AOB＝，如图4.
易知∠AOB的终边上的任意点P的点坐标为(r，－r)，所以sin＝－，cos＝，tan＝－.
例 3若sinα<0①，且tanα>0②，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．
解析：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．
因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．
因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．答案选C.
反过来，请同学们自己证明．
点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.
变式训练
已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
答案：C
例 4确定下列各三角函数值的符号：
(1)cos260°；(2)sin(－)；(3)tan(－672°20′)；(4)tan.
活动：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一这也是我们下一步要归纳总结的)：
解：(1)因为260°是第三象限的角，所以cos260°<0；
(2)因为－是第四象限的角，所以sin(－)<0；
(3)因为tan(－672°20′)＝tan(－2×360°＋47°40′)，而47°40′是第一象限的角，
所以tan(－672°20′)>0；
(4)因为tan＝tan(2π＋)，而是第三象限的角，所以tan>0.
变式训练
sin330°等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案：B
思路2
例 1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝__________.
解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，secα＝＝＝，
∴10sinα＋3secα＝10×(－)＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，secα＝＝－＝－，
∴10sinα＋3secα＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.
答案：0
点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y＝－3x上是一致的.
变式训练
设f(x)＝sinx，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)的值．
解：∵f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，f(3)＝sinπ＝0，
f(4)＝sin＝－，f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
而f(7)＝sin＝sin，f(8)＝sin＝sin，…，f(12)＝sin＝sin2π，
∴f(7)＋f(8)＋f(9)＋f(10)＋f(11)＋f(12)＝0.
同理，f(13)＋f(14)＋f(15)＋f(16)＋f(17)＋f(18)＝0，…，f(67)＋f(68)＋…＋f(72)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)＝0.
例 2求函数y＝＋tanα的定义域．
活动：让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应引起注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．
解：要使函数y＝＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)．
由正弦函数的定义知道，sinα≥0.
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．
∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<＋2kπ或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}.
变式训练
求下列函数的定义域：
(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；
(3)y＝.
解：(1)∵使sinx，cosx有意义的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定义域为R.
(2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义．∴有
∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0.
∴有(k∈Z)．
∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}.
本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式．两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记．
课本本节练习A组 4；练习B组 4、5.
关于三角函数定义法，总的说来有两种：“单位圆定义法”(以后讲到)与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．
教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．
1.2.2 单位圆与三角函数线
示范教案
教学分析
从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的飞跃．要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初中的直角三角形转化为高中的平面直角坐标系．因此，准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的．
在上一节三角函数的定义中，分析教材图110，以OA为半径画单位圆．学生很容易发现比值可转化为坐标轴上的点的坐标来表示．在坐标轴上，把点的坐标与点的位置向量对应起来，即定义三角函数线，这样可更形象地研究三角函数的性质．
利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．
三角函数的单位圆模型，是研究三角函数最得力的工具．从这一节开始，教材基本上都是利用单位圆来研究三角函数的性质与图象的．
三维目标
1．通过借助单位圆，理解并进一步掌握三角函数定义．
2．掌握三角函数线的定义，初步掌握利用单位圆分析和解决三角函数问题．
3．能通过单位圆上点的运动，初步了解各三角函数值的变化情况，为学习后面三角函数性质打下基础．
重点难点
教学重点：三角函数线的定义．
教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？
思路2.(复习导入)由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．
推进新课
?1?回忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示，怎样探究这种表示呢？,?2?怎样理解轴上的向量？
活动：指导学生在教材图110中，作出单位圆，我们把半径为1的圆叫做单位圆(图1)．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．
图1
设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(图1(1))，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝ON.
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝＝＝y，cosα＝＝＝x.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)(图1(2))，则tanα＝AT(或AT′)．
我们把轴上向量， 和(或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．
当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1.
当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
讨论结果：(1)略；(2)略．
活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：
(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．
(3)正弦线、余弦线、正切线都是轴向量，即与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．
讨论结果：(1)略；(2)略．
例 1如图2，α，β的终边分别与单位圆交于点P，Q，过A(1,0)作切线AT，交
图2
射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝__________，cosα＝__________，tanα＝__________，sinβ＝__________，cosβ＝__________，tanβ＝__________.
活动：根据三角函数线的定义可知，sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.
答案：MP OM AT NQ ON AT′
点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练
利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1.
解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1.
当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1.
2分别作出和－的正弦线、余弦线和正切线．
解：在直角坐标系中作单位圆，如图3，以Ox轴正方向为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，
图3
即的正弦线为，余弦线为，正切线为.
同理可作出－的正弦线、余弦线和正切线，如图3中，sin(－)＝M′P′，cos(－)＝OM′，tan(－)＝AT′，即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα＝；(2)sinα≥.
活动：引导学生画出单位圆，对于(1)，可设角α的终边与单位圆交于A(x，y)，则sinα＝y，所以要作出满足sinα＝的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点A，则OA即为角α的终边；对于(2)，可先作出满足sinα＝的角的终边，然后根据已知条件确定角α的范围．
解：(1)作直线y＝交单位圆于A与B两点，连结OA，OB，则OA与OB为角α的终边，如图4所示．
图4
故满足条件的角α的集合为{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)作直线y＝交单位圆于A与B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图4中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
点评：在解简单的特殊值(如±，等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交，连结交点与坐标原点作射线)，一般情况下，用(0,2π)内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域，用集合表示出来.
变式训练
已知sinα≥，求角α的集合．
解：作直线y＝交单位圆于点P，P′，则sin∠POx＝sin∠P′Ox＝，在[0,2π)内∠POx＝，∠P′Px＝.
∴满足条件的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}.
4求下列函数的定义域：
(1)y＝logsinx(2cosx＋1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
活动：先引导学生求出x所满足的条件，这点要提醒学生注意，研究函数必须在自变量允许的范围内研究，否则无意义．再利用三角函数线画出满足条件的角x的终边范围．求解时，可根据各种约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围，写出适合条件的x的取值集合．
解：(1)由题意，得即则(k∈Z)．
∴函数的定义域为{x|2kπ(所求x的终边所在的区域如图5中的阴影部分所示)
图5
(2)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<.∴－∴x∈(2kπ－，2kπ＋)∪(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)，
即x∈(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
(所求x的终边所在的区域如图6中的阴影部分所示)
图6
变式训练
求函数y＝的定义域．
解：要使函数有意义，需满足2cosx－1≥0，所以cosx≥.
故由余弦函数线可知函数的定义域为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
本节课我们学习了正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．
三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念，与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了．
1．课本本节练习A组 1；练习B组 1(2)．
2．利用单位圆和三角函数线证明：
若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.
证明：如图7，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.
图7
(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1.
(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，即sin2α＋cos2α＝1.
3．求函数y＝的定义域．
答案：x∈[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
1．对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．
2．教师要把握好深度让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．
3．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．
一、一个三角不等式的证明
已知θ∈(0，)，求证：sinθ<θ证明：如图8，设锐角θ的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PM⊥x轴于点M，则MP＝sinθ，AT＝tanθ，的长为θ，连结PA.
图8
∵S△OPA∴·|OA|·|MP|<|OA|2·θ<|OA|·|AT|.
∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ二、备用习题
1．若<θ<，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( )
A．tanθC．cosθ2．若0<α<2π，则使sinα<和cosα>同时成立的α的取值范围是( )
A．(－，) B．(0，)
C．(，2π) D．(0，)∪(，2π)
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是__________．
4．如图9，点B、C在x轴的负半轴上，且BC＝CO，角α的顶点重合于坐标原点O，始边重合于x轴的正半轴，终边落在第二象限，点A在角α的终边上，且有∠BAC＝45°，∠CAO＝90°，求sinα，cosα，tanα.
图9
参考答案：
1．D 2.D 3.(，)
4．解：∵AB是∠CAO的外角的平分线，∴＝＝.
在Rt△ACO中，设AC＝a，则AO＝2a，CO＝＝a.
∴sin∠COA＝＝.∵角α的终边与OA重合，而OA落在第二象限，
∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
示范教案
教学分析
与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是按照一切从定义出发的原则进行的，通过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．
同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin24π＋cos24π＝1等；二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋，k∈Z.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．
注意本节内容的把握，同角三角函数的基本关系式较多，但只有正、余弦的平方和等于1与正切和正弦、余弦的关系式最为重要，其他关系式，可以作为练习，让学生通过这两个关系式证明，但不要求记忆．
本节内容与以往教材的不同点是，在讲求三角函数值的例题时，贯彻解方程组的通法．不过，这里的未知数是正弦、余弦或正切．
三维目标
1．掌握并牢记两个基本关系式．
2．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．
3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．
重点难点
教学重点：课本的两个公式的推导及应用．
教学难点：课本的两个公式的推导及应用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(猜想引入)引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，然后教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：
(1)sin290°＋cos290°；(2)sin230°＋cos230°；(3)；(4).
思路2.(复习引入)教师引导学生回顾前面所学三角函数定义，单位圆等内容，让学生写出sin2α＋cos2α＝1及观察出正切和正弦、余弦的关系．学生很容易完成以上问题，由此自然地引入新课．
推进新课
(1)以下两个等式中的角是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么影响？
如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1.
图1
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1.
因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1(等式1)．
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋，k∈Z时，有
＝tanα(等式2)．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
(2)对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．
活动：问题(1)先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系，然后教师点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．
问题(2)可让学生展开讨论，点拨学生从方程(或方程组)的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．
教师板书以上两个公式，并指出这两个关系式是三角函数两个最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就可以求出这个角的其余三角函数值．此外，还可以用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．
讨论结果：
(1)在上述两个等式中，不是所有的角都可以是任意角，在第一个等式中，α可以是任意角，在第二个等式中α≠kπ＋，k∈Z.
(2)在上述两个等式中，只要知道其中任意一个，就可以求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就可以先求出余弦(正弦)，用等式1，进而用等式2求出正切．
思路1
例 1已知sinα＝，并且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值．
活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α＋cos2α＝1，故cosα的值最容易求得，在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，得cosα＝±.
又因为α是第二象限角，所以cosα<0.于是cosα＝－，
从而tanα＝＝×(－)＝－.
点评：本题是直接应用关系求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tanα＝－中的负号是来自α为第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
变式训练
已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
活动：启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限，它可能在x轴的负半轴上(这时cosα＝－1)．
解：因为cosα<0，且cosα≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝×(－)＝－，
如果α是第三象限角，那么sinα＝－，tanα＝.
例 2已知sinα－cosα＝－，180°<α<270°，求tanα的值．
解：依题意，得到方程组
消去sinα，得5cos2α－cosα－2＝0，
解得cosα＝或cosα＝－.
因为180°<α<270°，cosα<0，所以cosα＝－(把cosα＝舍去)．
代入原方程组，得sinα＝－.于是tanα＝＝2.
例 3化简.
活动：让学生明确，化简是三角函数的重要题型，要求结果化为最简，在练习中体会最简的含义．同时三角函数基本关系式的重要应用就是化简三角函数关系式．
解：原式＝＝＝cosθ.
点评：在三角函数关系式的化简中，常用到“切化弦”.
变式训练
1．(tanx＋cotx)cos2x等于( )
A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx
答案：D
2．若cosα＋2sinα＝－，则tanα等于( )
A. B．2
C．－ D．－2
答案：B
例 4求证：
(1)sin4α－cos4α＝2sin2α－1；
(2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.
活动：教师引导学生探究三角函数关系式的证明思路．通过师生合作探究，我们得到：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立．
证明：(1)原式左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右边．
因此sin4α－cos4α＝2sin2α－1.
(2)原式右边＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－tan2αcos2α
＝tan2α－·cos2α＝tan2α－sin2α＝左边．
因此tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.
思路2
例 1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα.
活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值．由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα＝，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cosα，进而求出sinα.
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α.
又因为tanα＝，所以tan2α＝＝＝－1.
于是＝1＋tan2α，cos2α＝.
由tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而
cosα＝
sinα＝cosαtanα＝
变式训练
已知cosα≠0，用cosα表示sinα、tanα.
解：本题仿照上题可以比较顺利完成．
sinα＝
tanα＝
2化简.
活动：引导学生探究：原式结果为cos440°时是不是最简形式，还应怎么办？教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°，由于cos80°>0，因此＝|cos80°|＝cos80°，此题不难，让学生独立完成．
解：原式＝＝＝＝cos80°.
点评：恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式．提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点：(1)所含的三角函数种类最少；(2)能求值(指准确值)的尽量求值；(3)不含特殊角的三角函数值.
变式训练
化简：.
答案：cos40°－sin40°.
点评：提醒学生注意：1±2sinαcosα＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，这是一个很重要的结论.
例 3求证：＝.
活动：先让学生讨论探究证明方法，教师引导思考方向．教材中介绍了两种证明方法：证法一是从算式一边到另一边的证法，算式右边的非零因式1＋sinα，在左边没有出现，可考虑左边式子的分子、分母同乘以1＋sinx，再化简；在证法二中可以这样分析，要让算式成立，需证cos2x＝(1＋sinx)(1－sinx)，即cos2x＝1－sin2x，也就是sin2x＋cos2x＝1，由平方关系可知这个等式成立，将上述分析过程逆推便可以证得原式成立．
证法一：由cosx≠0，知sinx≠1，所以1＋sinx≠0，于是
左边＝＝＝＝＝右边．
所以原式成立．
证法二：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，
且1－sinx≠0，cosx≠0，所以＝.
教师启发学生进一步探究：除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法．教师和学生一起讨论，由此可探究出证法三．依据“a－b＝0?a＝b”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立完成．
证法三：因为－＝
＝＝＝0，所以＝.
点评：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多．证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立．
由学生回顾本节所学的知识方法：①同角三角函数的基本关系式及成立的条件；②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置，从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出)．
“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值；若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．
课本本节练习A组 2,3；练习B组 1,2.
本教案设计突出了重点和难点，公式的推导和应用是本节课的重点，也是本节课的难点．三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．
证明三角恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：
(1)依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．
(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
一、备用习题
1．如果sinx＋cosx＝，且0A．－ B．－或－
C．－ D.或－
2．若sinθ－cosθ＝，则sinθ·cosθ＝________，tanθ＋＝________，
sin3θ－cos3θ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________.
3．已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α＋sinα·cosα－3cos2α.
4．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＋1＝2sin2α.
参考答案：
1．A 2.－ －2
3．解：(1)原式＝＝＝5.
(2)原式＝＝＝＝－.
4．解：由已知有1＋tan2α＝2tan2β＋2＝2(1＋tan2β)，
∴1＋＝2(1＋)．
∴2cos2α＝cos2β.∴2(1－sin2α)＝1－sin2β.
∴sin2β＋1＝2sin2α.
1.2.4 诱导公式
示范教案
教学分析
本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展．根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的．我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π＋α，－α，π－α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题．
诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一．诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题．诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义．
在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现．在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．
与传统教材不同的是，这里把2kπ＋α写成α＋2kπ，π＋α写成α＋π.这种改写，更容易使学生理解旋转合成与对称之间的关系．另外改写后的表达式与后面三角函数周期性的表达式统一起来．实践证明，这种改写对学生理解诱导公式和三角函数的性质有利．
四组诱导公式可分3课时讲授，3组练习的A组大部分可选作课堂练习．第一组公式描述各三角函数的周期性：α与α＋2kπ的终边相同，它们的三角函数值分别相等；第二组公式描述各三角函数奇偶性：余弦函数是偶函数，正弦和正切函数是奇函数，分别由点关于y轴、x轴的对称点之间的坐标关系导出；第三组描述正弦和余弦函数之间的关系，正切和余切函数(课标没作要求)之间的关系．正是有了这些关系，所以我们只要重点研究正弦函数的性质与图象就可以了．根据这些关系，我们很容易知道余弦和正切函数的性质．这组公式的证明或说明，不同的教材各有千秋．最初的证明是把α作为锐角，利用直角三角形的全等证明，虽有缺陷，不能不说这仍是一个很好的选择，因为这样直观易懂，本教材的证明依据是旋转对称的性质：任一个旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的合成．
三维目标
1．通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．
2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．
3．掌握诱导公式及其表述的几何意义，通过的诱导公式，掌握正弦函数与余弦函数的关系，能把求任一角的三角函数转化为求大于0小于角的三角函数．
重点难点
教学重点：诱导公式的推导及其灵活运用；三角函数式的求值、化简和证明等．
教学难点：诱导公式的灵活运用．
课时安排
3课时
第一课时
导入新课
思路1.(设问引入)根据前面所学的终边相同关系，怎样把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题？由此导入新课．
思路2.(直接引入)在初中，我们已经会求锐角的三角函数值．这一节我们将研究任意角三角函数之间的某些关系，以及如何求任意角的三角函数值．由此直接进入新课．
推进新课
活动：根据三角函数的定义，学生很容易求出以上三个函数值都是.教师适时引导学生推广到余弦、正切，推广到任意角．并板书说明，这就是我们将要学习的诱导公式(一)．
(一)
事实上，在直角坐标系中，α与α＋k·2π的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，学生不难得出以上公式．
在学生体验探究成功的愉悦中，教师进一步点拨学生得出：利用公式一，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题．其结构特征是：等式两边的角为终边相同的角，左右两边的函数名称不变．
讨论结果：
(1)都是；
(2)略．
前面我们探究了角α与α＋k·2π?k∈Z?的三角函数间的关系，你能在单位圆中画出角α与－α吗？它们的位置关系怎样？
活动：让学生在单位圆中画出－α与α，通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角α和－α的终边的位置关系．
有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与－α的正弦、余弦函数值的关系．教师演示课件，让学生在动态中感知α与－α的位置关系(如图1)．可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望．事实上，在单位圆中，作∠MOP＝α，∠MOP′＝－α，不难看出，点P(a，b)和P′(a，－b)关于x轴对称．因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反．
图1
于是，得 (二)
教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值，其突出特征是函数名没变．
讨论结果：
－α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．
思路1
例 1 求下列三角函数值：
(1)sin；(2)sin；(3)sin405°.
活动：这是直接运用公式的题目，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确应用的程度．先让学生观察题目中的角的范围，将角α表示成α＋2kπ(k∈Z)的形式．
解：(1)sin＝sin(＋6π)＝sin＝1；
(2)cos＝cos(＋6π)＝cos＝；
(3)tan405°＝tan(45°＋360°)＝tan45°＝1.
变式训练
1．cos330°等于( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
2．化简：.
解：＝
＝＝
＝＝－1.
例 2求下列各三角函数值：
(1)sin(－)；(2)cos(－)；(3)tan(－)；(4)sin(－)．
解：(1)sin(－)＝－sin＝－；
(2)cos(－)＝cos＝；
(3)tan(－)＝－tan＝－；
(4)sin(－)＝－sin＝－sin(＋2π)＝－sin＝－.
例 3化简cos315°＋sin(－30°)＋sin315°＋cos480°.
活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．
解：cos315°＋sin(－30°)＋sin315°＋cos480°
＝cos(360°－45°)－sin30°＋sin(360°－45°)＋cos(360°＋120°)
＝cos(－45°)－－sin45°＋cos120°
＝cos45°－－＋cos(180°－60°)
＝－－－cos60°＝－1.
变式训练
求证：＝tanθ.
分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．
证明：左边＝
＝
＝＝tanθ＝右边．
所以原式成立．
规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.
由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法．本节的重点是公式的推导过程及应用．在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式．切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想，并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力．
课本本节练习A 1,2.
本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．
本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维模式．旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程．在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力．
第二课时
导入新课
思路1.(类比引入)首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式．在此基础上，教师提出可否借助单位圆找出角α与(2k＋1)π(k∈Z)的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题．
思路2.(直接引入)教师引导学生对上节内容稍作复习回顾后提出由于与的终边关于y轴对称，它们的三角函数值会有什么关系呢？本节我们探究角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系，由此引入新课．
推进新课
活动：让学生可自主探究角α与π＋α的正弦、余弦函数值的关系．教师演示课件，动态的表示出α与π＋α的位置关系(如图1)．在单位圆中，作∠MOP＝α，∠MOP′＝π＋α，不难看出，点P(x，y)和P′(－x，－y)关于原点对称．因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反．
(1) (2)
图1
易知，α＋π与α－π，α＋3π，α－3π，…，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的终边相同，因此它们的三角函数值也相等．由点P与点P′关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以
(三)
教师指出，这就是诱导公式三，并引导学生进一步观察、分析其特征．
由公式(一)和(三)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即
sin(α＋nπ)＝
cos(α＋nπ)＝
tan(α＋nπ)＝tanα，n∈Z.
因为任意角都可化为α＋kπ的形式，并使|α|≤，所以利用公式(一)(二)(三)，我们可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题．
公式(一)(二)(三)都叫做诱导公式．
利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式．
如图2，设角α与π－α和单位圆分别相交于点P，P′.
图2
由诱导公式(二)(三)或点P，P′关于y轴对称，可以得到角α与π－α之间的三角函数的关系．
sin(π－α)＝sinα，
cos(π－α)＝－cosα.
公式(三)的最大结构特征仍是函数名不变．
讨论结果：
(1)略．
(2)角α与α＋π的终边互为反向延长线．
(3)角α与α＋π的终边和单位圆的交点关于原点对称．
(4)略．
通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利．教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：－α，π±α，2π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性．
例 1求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos(－)；(3)tan(－)；(4)sin930°.
活动：本例是直接运用公式，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用．通过练习，加深对公式的理解，解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导．
解：(1)sin＝sin(π－)＝sin＝.
(2)cos(－)＝cos(－3π)＝－cos＝－.
(3)tan(－)＝tan(－－3π)＝tan(－)＝－tan＝－.
(4)sin930°＝sin(30°＋5×180°)＝－sin30°＝－.
点评：把负角由公式二变为正角.
变式训练
下列各选项中，与sin2 008°最接近的是( )
A．－ B. C. D．－
答案：A
例 2 求下列各三角函数值：
(1)sin(－)；(2)cos；(3)tan(－)；(4)sin870°.
解：(1)sin(－)＝－sin(＋9π)＝－(－sin)＝.
(2)cos＝cos(－＋3π)＝cos(π－)＝－cos＝－.
(3)tan(－)＝tan(－5π)＝tan＝.
(4)sin870°＝sin(－30°＋5×180°)＝sin(180°－30°)＝sin30°＝.
变式训练
求下列各角的三角函数值：
(1)sin(－)； (2)cos； (3)cos(－)．
解：(1)sin(－)＝－sin＝－sin(2π－)＝－(－sin)＝sin＝.
(2)cos＝cos(π－)＝－cos＝－.
(3)cos(－)＝cos＝cos(4π＋π＋)＝cos(π＋)
＝－cos＝－.
例 3 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2 007)＝－1，求f(2 008)的值．
解：f(2 007)＝asin(2 007π＋α)＋bcos(2 007π＋β)
＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)，
∵f(2 007)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.
∴f(2 008)＝asin(2 008π＋α)＋bcos(2 008π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1.
点评：解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用．解答本题的关键就是求得式子asinα＋bcosβ＝1，它是联系已知和未知的纽带．
例 4 化简.
活动：先利用诱导公式变形为角α的三角函数，再进一步化简．
解：原式＝＝＝tanαtanα＝tan2α.
1．由学生归纳总结本节学习的数学知识和思想方法，是如何探究出诱导公式(三)的？怎样利用诱导公式对三角函数进行化简、求值和证明？
2．在熟练掌握利用诱导公式进行解题的同时，应归纳有关角的终边的对称性：角α与α＋π的终边关于原点对称；角α与－α的终边关于x轴对称；角α与角π－α的终边关于y轴对称．
3．利用诱导公式一、二、三，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．其基本步骤是：任意负角的三角函数→相应正角的三角函数→0到2π角的三角函数→锐角三角函数．简单地说就是：负化正，大化小，化为锐角再查表．
课本本节练习A组 1.(1)(2)、2.(1)(2)、3.(1)(2)．
本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能，这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础．
第三课时
导入新课
思路1.(类比引入)首先引导学生回忆上一节探究公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出来的？利用的是单位圆的哪些性质？并让学生默写上节课所学公式．在此基础上，教师引导学生思考：可否借助单位圆找出α与α＋的三角函数间的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题．
思路2.(猜想引入)先引导学生计算，，，的正弦、余弦值，并引导学生观察分析．
sin＝，cos＝－，这里＝＋，sin＝，cos＝－，这里＝＋.
sin＝，cos＝，这里＝＋，sin＝，cos＝，这里＝＋.
猜想：sin(＋α)＝cosα，cos(＋α)＝－sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择．
推进新课
?1?我们知道：任一个旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的合成，那么，你能从旋转的角度在单位圆中找出α与α＋的终边的关系吗？,
?2?怎样验证α与－α的关系呢？如何由α与α＋的关系，得到α与－α的关系？,
?3?你能用自己的语言概括所学的诱导公式吗？
活动：教师引导学生画出单位圆，如图3所示，设α的终边与单位圆相交于点P(cosα，sinα)，点P关于直线y＝x的轴对称点M的坐标为(sinα，cosα)，点M关于y轴的对称点N的坐标为(－sinα，cosα)．
图3
点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到N，而且旋转角的大小为(图4)．
∠PON＝2(∠AOM＋∠MOB)＝2×＝，
这样，α到α＋的旋转可以分解为两个轴对称的合成．
因此，点N的坐标又为(cos(α＋)，sin(α＋))，
教师进一步引导学生思考，因为－α可以看作－α＋，因此求－α的正弦、余弦问题就是利用上节所学公式进行变形的问题．
所以在公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式
由三角函数之间的关系又可得tan(α＋)＝－cotα，cot(α＋)＝－tanα；
tan(－α＋)＝cotα，cot(－α＋)＝tanα.
我们就得到了三角函数的四组诱导公式．
至此，任意一个角都可表示为k·＋α(其中|α|≤)的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题．
下面我们对这四组公式进行概括归纳，概括特征，找出共性，便于记忆．
由k·＋α(|α|≤)知，当k为偶数时，得角α的同名函数值；当k为奇数时，得α相应的余弦函数值．然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已．以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便．
教师适时指点学习方法：如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低下．学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了．因此，要求大家多做这方面的工作，以后的数学学习就不再是枯燥无味的了．
思路1
例 1求下列各三角函数值：
(1)sin120°；(2)cos135°；(3)tan；(3)cos(－)．
活动：本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究．由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处．
解：(1)sin120°＝sin(30°＋90°)＝cos30°＝.
(2)cos135°＝cos(45°＋90°)＝－sin45°＝－.
(3)tan＝tan(＋)＝－cot＝－.
(4)cos(－)＝cos(＋4π)＝cos(＋)＝－sin＝－.
例 2将下列三角函数化为0°到45°之间角的三角函数：
(1)sin68°；(2)cos75°；(3)tan126°.
解：(1)sin68°＝sin(－22°＋90°)＝cos22°；
(2)cos75°＝cos(－15°＋90°)＝sin15°；
(3)tan126°＝tan(36°＋90°)＝－cot36°.
例 3化简.
解：原式＝
＝＝＝－tanα.
思路2
例 1(1)已知f(cosx)＝cos17x，求证：f(sinx)＝sin17x；
(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx?
活动：对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形．观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx＝cos(－x)或cosx＝sin(－x)．要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移．
证明：(1)f(sinx)＝f[cos(－x)]＝cos[17(－x)]＝cos(8π＋－17x)＝cos(－17x)＝sin17x，即f(sinx)＝sin17x.
(2)f(cosx)＝f[sin(－x)]＝sin[n(－x)]＝sin(－nx)
＝
故所求的整数n＝4k＋1(k∈Z).
变式训练
已知cos(－α)＝m(m≤1)，求sin(－α)的值．
解：∵－α－(－α)＝，
∴－α＝＋(－α)．
∴sin(－α)＝sin[＋(－α)]
＝cos(－α)＝m.
例 2求sin(－870°)的值．
解法一：sin(－870°)＝－sin870°＝－sin(2·360°＋150°)＝－sin150°＝－sin(180°－30°)＝－sin30°＝－.
解法二：sin(－870°)＝sin(－10·90°＋30°)＝－sin30°＝－.
点评：以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的．这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西．如本例解法二，这里k＝－10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(－870°)的符号，为负值．当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：
sin(－870°)＝sin(－9·90°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos60°＝－.
例 3已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，
求的值．
解：∵5x2－7x－6＝0的两根x＝2或x＝－，
∵－1≤x≤1，∴sinα＝－.
又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－.
∴tanα＝.
∴原式＝＝tanα＝.
点评：化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型．解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.
变式训练
化简：.
解：原式＝
＝
＝＝1.
例 4化简：
tan10°tan20°tan30°tan45°tan60°tan70°tan80°.
解：原式＝tan10°tan20°tan30°tan45°cot30°cot20°cot10°
＝(tan10°cot10°)(tan20°cot20°)(tan30°cot30°)tan45°
＝tan45°＝1.
变式训练
已知α为第二象限角，sinα＝，则tan(α＋)＝__________.
解析：∵α为第二象限角，且sinα＝，
∴cosα＝－＝－.
∴tan(α＋)＝－cotα＝－＝2.
答案：2
先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的．这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”．这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握．利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度．
课本本节练习B组 1,2.
1．本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．
2．根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法．这种设计模式符合本册课程标准的教学要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点．通过课件的演示，为教学内容的鲜活注入了新的活力，使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身心得以健康发展．
3．首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的．学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行问题类比、方法迁移，猜想任意角α与±α的数量关系，进而借助单位圆给出严格的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程．最后师生一起总结、归纳寻找公式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展．本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来，开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次．
一、数学学习记忆法
风靡亚太地区的数学学习宝典《千万别恨数学》的作者、韩国著名的家教老师韩昌洙博士说：“数学也需要记诵．”据调查，在高中所有各科学习中，数学学习花费的时间最多，而效率不佳．数学成了高中学习最犯难的科目之一．造成这一现象的原因众多，但数学学习的记忆方法及相应的记忆能力或许是制约数学学习成功的重要因素之一．下面介绍行之有效的数学学习记忆法．
①编制图表，形象记忆；
②积累经验，概括记忆；
③掌握知识，理解记忆；
④分类归纳，系统记忆；
⑤寻找异同，对比记忆；
⑥编拟歌诀，趣味记忆．
二、错解点击
是否存在角α，β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
错解：将已知条件化为
①2＋②2得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，即sin2α＝，sinα＝±.
∵－<α<，∴α＝或α＝－.
(1)当α＝时，由②，得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝；
(2)当α＝－时，由②，得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝.
故存在α＝，β＝或α＝－，β＝，使得两个等式同时成立．
点评：若将所求得的α，β的两组值分别代入①式会发现，当α＝－，β＝时，①式不成立，造成这种错误的原因是：我们对①②进行平方时，扩大了角α与β的取值范围．事实上，由①式可知sinα与sinβ需同号，由②式可知cosα与cosβ需同号，而我们在平方消元(角β)时，将①式平方后，sinα与sinβ可异号，而这是不允许的．因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件．本题只存在一组值α＝，β＝符合题意．
本题如果改变角α的范围为0<α<π，则本题有两解：α＝，β＝，或α＝，β＝.
三、备用习题
1．在△ABC中，下列等式一定成立的是( )
A．sin＝－cos B．sin(2A＋2B)＝－cos2C
C．sin(A＋B)＝－sinC D．sin(A＋B)＝sinC
2．如果f(sinx)＝cosx，那么f(－cosx)等于( )
A．sinx B．cosx
C．－sinx D．－cosx
3．已知sin(＋θ)＝－，θ∈(0，π)，则sin(θ＋2π)的值为( )
A．－ B. C. D．－
4．已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值等于( )
A．± B. C．－ D．－
5．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos(α＋)＝__________.
6．计算：sin(－1 200°)cos(1 290°)＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＋tan945°.
7．化简：.
参考答案：
1．D 2.A 3.B
4．C 解析：tan(α－7π)＝tan(α－7π＋8π)＝tanα＝－.
∴sinα＝，cosα＝.∴sinα＋cosα＝－.
5. 解析：∵cosα＝，且α为第四象限，
∴sinα＝－.∴cos(α＋)＝－sinα＝.
6．2. 7.－tanα.
1.3.1 正弦函数的图象与性质
示范教案
教学分析
研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了．研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．
由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数的简图．
在这里，教学过程一定要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程．因此在小学里，度量角度使用的是角度制(六十进制)，现在用弧长度量(十进制)．再转化为x轴上点的坐标(或向量的数量)．实践证明，这个抽象过程对初学者来讲，有一定的难度．另外要强调单位圆的教学，引领学生沿单位圆旅行，通过观察正弦函数线来认识正弦函数的性质．
正弦函数的性质部分是这一章的重点．由单位圆中的三角函数线和正弦函数的图象，完全可让学生自己总结正弦函数的四条重要性质：定义域与值域、周期性、奇偶性和单调性．要求学生在理解的基础上，强化记忆．
三维目标
1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯．
2．通过本节学习，理解正弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．进一步掌握三角函数图象各种变换的内在联系．
3．通过本节的学习，渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观．
重点难点
教学重点：正弦函数的图象．
教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点．
课时安排
3课时
第一课时
导入新课
思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．
思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验．教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．
有了上述实验，你对正弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．
推进新课
?1?作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长?或用有向线段数值?表示x角的三角函数值？怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢？简单地说，就是如何得到y＝sinx，x∈[0，2π]的精确图象呢？
?2?如何得到y＝sinx，x∈R时的图象？
活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，先引导学生弄清什么是角α的正弦线．此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，就很容易得到y＝sinx，x∈R时的图象了．
对问题(1)，第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细，画出的图象越精确．”)，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来，我们就得到函数y＝sinx在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察怎样平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．
图1
对问题(2)，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0上的图象与函数y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)
图2
讨论结果：
(1)利用正弦线，通过等分单位圆及平移即可得到y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．
(2)左、右平移，每次2π个长度单位即可．
问题：用以上方法作图，虽然精确，但不太实用，自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点？
活动：对此问题，教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y＝sinx在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就可快速得到函数的简图．今后，我们作正弦函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在x＝0，π，2π附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在x＝，附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”．这种作图方法叫做五点法．在精确度要求不高的情况下，我们常用“五点法”作y＝sinx在[0,2π]上的近似曲线．
讨论结果：略．
例 1用五点法画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝－sinx；(2)y＝1＋sinx.
活动：本例的目的是让学生会用“五点法”画图，并通过独立完成课后练习1领悟画正弦函数图象的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，“五点法”画图易学却难掌握，学生需练好扎实的基本功．可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中指导一一纠正，这对以后学习大有好处．
解：(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
y＝sinx
0
1
0
－1
0
y＝－sinx
0
－1
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3)．
图3
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4)．
图4
点评：“五点法”是画正弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果用多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．
2画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以一一纠正．
解：按三个关键点列表：
x
0
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5)．
图5
点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系，也为下一步将要学习的周期打下伏笔.
变式训练
1．方程sinx＝的根的个数为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y＝的图象与y＝sinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图6，从图中可看出，两个图象有7个交点．
图6
答案：A
2．用五点法作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是 ( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
答案：B
以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．
1．单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图象上点坐标的？
2．为什么将单位圆圆周12等分？有什么好处？
3．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？
这节课学习了正弦函数图象的画法．除了代数描点法、几何描点法之外，“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课本本节练习B组 1、2.
1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．
2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力，尤其是“五点法”，每个点都要准确地找到，然后迅速画出图象．
3．本小节教案的设计思想是让学生亲自动手操作，因此教师一定要放慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程．教材课后还设置了计算机上的练习等拓展性栏目．教学时，应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题．
一、备用习题
1．用“五点法”画出下列函数的图象：
(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；
(2)y＝＋sinx，x∈[0,2π]．
2．如图7中的曲线对应的函数解析式是( )
图7
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|
参考答案：
1．解：按五个关键点列表如下：
x
0
π
2π
y＝2－sinx
2
1
2
3
2
y＝＋sinx
－
在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．
(1)如图8.
图8
(2)如图9.
图9
2．C
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫作“潮”，晚上的上涨叫作“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．
由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
d
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sint，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图10)．
图10
由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．
(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．
不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．
第二课时
导入新课
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．本节可先让学生画出正弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数性质的探究．
思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．
推进新课
(1)回忆并画出正弦曲线，观察它的形状及在坐标系中的位置；
(2)观察正弦曲线，说出正弦函数的定义域是什么？
(3)观察正弦曲线，说出正弦函数的值域是什么？由值域又能得到什么？
(4)观察正弦曲线，函数值的变化有什么特点？
(5)观察正弦曲线，它有哪些对称？
图1
活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，并适时地给予点拨、指导．
在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．
由于在三角函数定义一节中，我们已经探究出正弦函数的定义域是全体实数．因此，教师引导学生观察图1，启发学生想想看，自己能发现正弦函数有哪些性质？让学生自己探究，教师给予适时地点拨．
(1)值域：从正弦线可以看出，正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y＝1和y＝－1之间，这都表明|sinx|≤1，
也就是说，正弦函数的值域是[－1,1]．
当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，正弦函数取得最小值－1.
(2)周期性：由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)可知，当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦函数的值重复出现．在单位圆中，当角的终边绕原点转动回到原处时，正弦线的数量(长度和符号)不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示．这种性质称为三角函数的周期性．
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
根据这个定义，正弦函数y＝sinx是一个周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
在2kπ(k∈Z，且k≠0)中，最小的正数为2π，因此正弦函数y＝sinx有最小正周期2π.今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期．
教师可再举例说明正弦函数的这种特性．
如：人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律．这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．
又如，取一个钟表实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象．并指出，三角函数就是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，它有着广泛的实践意义和理论价值，是高考考查的重点内容．
(3)奇偶性：由诱导公式sin(－x)＝－sinx可知，正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝对称，等等．这是由它的周期性而来的，教师可就此对学生进一步引导，为今后的学习打下伏笔．
(4)单调性：在正弦函数的一个周期中，如[－，]，由正弦线或正弦曲线都可以看出，当x由－增加到时，sinx由－1增加到1；当x由增大到时，sinx由1减小到－1.这种变化情况如下表所示：
x
－
↗?
0
↗
↗
π
↗
sinx
－1
↗?
0
↗
1
?↘
0
↘
－1
由正弦函数的周期性可知：
正弦函数y＝sinx在每一个闭区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上，都从1减小到－1，是减函数．
讨论结果：
(1)略；(2)定义域为R.
(3)值域为[－1,1]，最大值是1，最小值是－1.
(4)周期性，单调性．
(5)奇偶性(奇函数)．
思路1
例 1设sinx＝t－3，x∈R，求t的取值范围．
活动：教师引导学生回顾正弦函数值域并指出这也是正弦函数的有界性．可由学生自己独立完成．
解：因为－1≤sinx≤1，所以－1≤t－3≤1.
由此解得2≤t≤4.
例 2函数y＝－3sin2x，x∈R有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．
解：令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是{z|z＝－＋2kπ，k∈Z}，
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.
因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}．
同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但这里最值对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，一般通过变量代换(如设z＝ωx＋φ化归为y＝Asinz＋B的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用．
变式训练
求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：
(1)y＝sin2x；(2)y＝sinx＋2；(3)y＝(sinx－1)2＋2.
解：(1)当2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin2x取得最大值，最大值是1；
当2x＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，函数y＝sin2x取得最小值，最小值－1.
(2)由于函数y＝sinx与函数y＝sinx＋2同时取得最大值或同时取得最小值，因此：
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sinx＋2取得最大值，最大值为3；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝sinx＋2取得最小值，最小值为1.
(3)设t＝sinx，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1,1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了．
在闭区间[－1,1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，函数y＝(t－1)2＋2取得最大值(－1－1)2＋2＝6.
由t＝sinx＝－1，得x＝2kπ－(k∈Z)，这就是说，当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数y＝(sinx－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1,1]上，当t＝1时，|t－1|最小，函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.
由t＝sinx＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，这就是说，当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sinx－1)2＋2取得最小值2.
例 3利用三角函数的单调性，比较sin(－)与sin(－)的大小．
解：因为－<－<－<0，
正弦函数y＝sinx在区间[－，0]上是增函数，
所以sin(－)>sin(－)．
点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题.
变式训练
不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：
(1)sin(－)－sin(－)；(2)sin(－)－sin(－)．
解：(1)因为－<－<－<，
且函数y＝sinx在区间[－，]上是增函数，
所以sin(－)0；
(2)sin(－)＝－sin＝－sin＝sin(π－)＝－sin，
sin(－)＝－sin＝－sin，
因为0<<<，且y＝sinx在[0，]上是增函数，
所以sin于是－sin>－sin，sin(－)>sin(－)，
即sin(－)－sin(－)<0.
例 4求函数y＝sin(x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把x＋看成z，这样问题就转化为求y＝sinz的单调区间问题，而这就简单多了．
解：令z＝x＋.函数y＝sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]．
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
由x∈[－2π，2π]可知，－2π≤－＋4kπ且＋4kπ≤2π，于是－≤k≤，由于k∈Z，所以k＝0，即－≤x≤，而[－，]?[－2π，2π]，
因此，函数y＝sin(＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－，]．
点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．
例 5利用“五点法”画出函数y＝sinx－1的简图，并根据图象讨论它的性质．
解：列表，根据表中数据画出简图(如图2所示)．
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
y＝sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
图2
观察图象得出y＝sinx－1的性质(如下表所示)．
函数
y＝sinx－1
定义域
R
值域
[－2,0]
奇偶性
非奇非偶函数
周期
2π
单调性
当x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)时，函数是递增的；
当x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)时，函数是递减的
最大值与最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最大值为0；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最小值为－2
思路2
例 1求函数y＝的定义域．
活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当的指导点拨，纠正学生出现的一些错误或书写不规范等．
解：由1＋sinx≠0，得sinx≠－1，即x≠＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}．
点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线直接写出结果．本例可分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．
例 2在下列区间中，函数y＝sin(x＋)的单调增区间是( )
A．[，π] B．[0，] C．[－π，0] D．[，]
活动：函数y＝sin(x＋)是一个复合函数，即y＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x＋，欲求y＝sin(x＋)的单调增区间，因φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，故应求使y随φ(x)递增而递增的区间．也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x＋看成一个整体，其道理是一样的．
解：∵φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，又y＝sinx在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是递增的，
故令2kπ－≤x＋≤2kπ＋.
∴2kπ－≤x≤2kπ＋.
∴y＝sin(x＋)的递增区间是[2kπ－，2kπ＋]．
取k＝－1、0、1分别得[－，－]、[－，]、[，]．
答案：B
点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y＝Asin(ωx＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．
解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：
(1)求定义域；(2)确定复合过程，y＝f(t)，t＝φ(x)；(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范围；(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．
结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练
函数y＝2sin(2x＋)的单调增区间为( )
A．[kπ＋，kπ＋] B．[kπ＋，kπ＋]
C．[kπ－，kπ＋] D．[kπ＋，kπ＋π](其中k∈Z)
答案：C
例 3求下列函数的周期：
(1)y＝sin2x；(2)y＝sin(x＋)．
活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发．
解：(1)我们可以把2x看作一个新的变量u，即u＝2x.函数y＝sinu的周期为2π，这就是说，当u增加到且至少要增加到u＋2π时，函数y＝sinu的值才重复取得，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．
因此，当自变量x增加到且必须增加到x＋π时，函数y＝sinu的值才重复取得．
因此，函数y＝sin2x的周期为π.
(2)我们可以把x＋看作一个新的变量u，即u＝x＋.
函数y＝sinu的周期为2π，这就是说，当u增加到且至少要增加到u＋2π时，函数y＝sinu的值才重复取得，而u＋2π＝x＋＋2π＝(x＋4π)＋.
因此，当自变量x增加到且必须增加到x＋4π时，函数y＝sinu的值才重复取得．
因此函数y＝sin(x＋)的周期为4π.
点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到f(x＋T)＝f(x)中，T是相对于自变量x而言的．
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝，下一节我们还将进一步研究这类函数的性质.
变式训练
1．函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
答案：D
2．求函数y＝2sin(π－x)的周期．
解：因为y＝2sin(π－x)＝－2sin(x－)，
根据上例可得周期T＝6π.
由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图象的画法．
课本本节练习A组 4、5.
1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．
2．在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，加大应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．
3．学习三角函数的性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．
备用习题
1．函数y＝sin(－2x)的单调增区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) B．[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
2．满足sin(x－)≥的x的集合是( )
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
3．若f(x)＝x＋cos(x－)－＋m(x∈R)是奇函数，则实数m的值为__________．
4．求函数y＝lgsinx的定义域和值域．
5．已知函数y＝f(x)的定义域是[0，]，求函数f(sin2x－)的定义域．
参考答案：
1．D 2.A 3.
4．解：由题意得sinx>0，∴2kπ故函数的定义域为(2kπ，(2k＋1)π)，k∈Z，值域为(－∞，0]．
5．解：由题意得0≤sin2x－≤，
∴－≤sinx≤－或≤sinx≤.
∴x∈[kπ＋，kπ＋]∪[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
第三课时
导入新课
思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A、ω、φ是常数)．例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示．这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象．揭示课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
推进新课
活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题．如图1是大观览车的示意图．
图1
设观览车转轮半径长为R，转动的角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置．此时∠xOP0＝φ，当转轮转动t秒后，点P0到达点P位置，射线OP的转角为ωt＋φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝Rsin(ωt＋φ)．
这样，如果已知车轮半径R，转动的角速度ω和初始时的角度φ，你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了．
在函数y＝Rsin(ωt＋φ)中，点P旋转一周所需要的时间T＝，叫做点P的转动周期．在一秒内，点P旋转的周数f＝＝，叫做转动的频率．
OP0与x轴正方向的夹角φ叫做初相．
例如一动点以角速度4π rad/s做匀速圆周运动，则T＝＝ s，f＝＝2 Hz.
形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦型函数．
讨论结果：
(1)(2)略．
例 1在同一坐标系中作函数y＝2sinx及y＝sinx的简图．
解：易知，函数y＝2sinx及y＝sinx的周期T＝2π.作x∈[0,2π]时的函数的简图．
列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2sinx
0
2
0
－2
0
sinx
0
0
－
0
描点作图(图2)：
图2
利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、向右连续平移2π，4π，…就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈R的简图(图略)．
点评：学生独立完成此例后，教师引领学生观察两个函数图象与y＝sinx的图象的位置关系，并进一步探究如下：
从图2可以看出，函数y＝2sinx，x∈R的值域是[－2,2]，最大值是2，最小值是－2；函数y＝sinx，x∈R的值域是[－，]，最大值是，最小值是－.
一般地，函数y＝Asinx的值域是[－|A|，|A|]，最大值是|A|，最小值是－|A|.由此可知，|A|的大小，反映曲线y＝Asinx波动幅度的大小．因此，|A|也称不振幅．
类似于用“五点法”作函数y＝sinx的简图的方法，选出关键的五点，我们可以作出函数y＝Asinx的简图．
例 2在同一坐标系中作函数y＝sin(x＋)和y＝sin(x－)的简图．
解：这两个函数的周期都是2π，先用“五点法”．画出它们在[0,2π]上的简图．
列表：
x
－
x＋
0
π
2π
sin(x＋)
0
1
0
－1
0
x
x－
0
π
2π
sin(x－)
0
1
0
－1
0
描点作图(图3)：
图3
把函数y＝sin(x＋)和y＝sin(x－)在区间[0,2π]上的图象分别向左、右平移，每次平移2π个单位长度，则得它们在R上的图象(图略)．
点评：学生独立完成作图后，教师与学生一起观察两个函数图象与函数y＝sinx图象的位置关系，或做成课件演示给学生看，切实让学生明确并得出它们图象的横坐标与y＝sinx的横坐标总是相差个单位的结论．
然后让学生描述出：y＝sin(x＋)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示y＝sinx的图象向左平移使之与y＝sin(x＋)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解．并由此推广到一般．
一般地，把函数y＝sinx的图象上所有的点(当φ>0时)向左或(当φ<0时)向右平行移动|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象.
变式训练
1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：由前面学过的诱导公式四，得y＝cos(x－)＝sin(x－＋)＝sin(x＋)．根据上例知y＝sinx与y＝sin(x＋)的图象横坐标相差个单位．
答案：A
2．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
答案：C
例 3在同一坐标系中作函数y＝sin2x和y＝sin的图象．
解：函数y＝sin2x的周期为π，函数y＝sinx的周期为4π，分别用“五点法”作它们在一个周期上的图象．列表：
x
0
π
2x
0
π
2π
sin2x
0
1
0
－1
0
x
0
π
2π
3π
4π
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
描点作图(图4)．利用这两个函数的周期性，把它们在一个周期上的简图分别向左、右扩展，从而得到它们的简图(图略)．
图4
点评：教师与学生一起观察图4看出，在函数y＝2sin2x，x∈[0,2π]的图象上，横坐标为(x0∈[0,2π])的点的纵坐标，同函数y＝sinx，x∈[0,2π]上横坐标为x0的点的纵坐标相等．例如：当x0＝时，sin(2·)＝sinx0＝sin＝1.
因此，函数y＝sin2x的图象，可以看作是把y＝sinx图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的．
类似地，函数y＝sinx的图象，可以看作是把y＝sinx图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．
教师可以演示课件，让学生说出这种伸缩变化，并推广到一般．
一般地，函数y＝sinωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sinx(x∈R)上所有的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
函数y＝sinωx的周期T＝，这就是说，ω值决定了函数的周期．ω越大，在一定的区间内曲线波动的次数就越多，反之就越少．
例 4作函数y＝3sin(2x＋)的简图．
活动：先引导学生得出函数y＝3sin(2x＋)的周期T＝＝π，我们可先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．仍让学生自己完成作图．
令2x＋＝0，得x＝－，把x＝－作为第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，即，就可以得到其余四个点的横坐标．列表：
x
－
3sin(2x＋)
0
3
0
－3
0
描点作图(图5)．利用函数的周期为π，我们可以把它在[－，]上的简图向左、右连续地平移，就可以得到这个函数的简图(图略)．
图5
点评：对于函数y＝3sin(2x＋)的简图，让学生认识它与y＝sinx的图象的关系，是本节的难点，也是本章的重点．在图中，我们还分别画出了函数y＝sinx，y＝sin2x，y＝3sin2x的图象，把它们与函数y＝3sin(2x＋)的图象比较，就可以看到这些图象之间的关系．
它们的图象，可以通过把函数y＝sinx的图象，沿x轴或y轴进行压缩或伸长，或沿x轴平移而得到．教师用课件演示，速度要放慢．
先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象，再把y＝sin2x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin2x的图象，最后把得到的图象向左平移个单位长度，我们就可以得到函数y＝3sin(2x＋)的图象．
要让学生明确这个变换过程的顺序是：
教师引导学生完成本例后的思考与讨论，即如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象：y＝sinxy＝sin(x＋)y＝sin(2x＋)y＝3sin(2x＋)．
其中①处应是：把图象上所有的点向左平移个单位；
②处应是：把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③处应是：把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变).
变式训练
把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sin(2x－)，x∈R B．y＝sin(＋)，x∈R
C．y＝sin(2x＋)，x∈R D．y＝sin(2x＋)，x∈R
答案：C
活动：给学生留出一定的时间，让其思考、归纳总结出以上两个问题，体现探究过程中的思想方法，即由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，提升学生的思维层次．
讨论结果：
(1)图象左、右平移，φ影响的是图象与x轴交点的位置关系；纵坐标不变，横坐标伸缩，ω影响了图象的形状；横坐标不变，纵坐标伸缩，A影响了图象的形状．
(2)先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝Asinx的图象
得y＝Asin(ωx)的图象
得y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
先平移后伸缩的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝sin(x＋φ)的图象
得y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)．
例 5图6是一个按照正弦规律变化的交流电的图象．根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式．
图6
解：由图象看出，这个交流电的周期T＝0.2 s，由频率f与周期T的关系式，得频率f＝＝＝5 Hz，电流的最大值为10 A.
由图可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数i＝Asin(ωt＋φ)，
其中A＝10，ω＝＝＝10π，
再把点(0,10)的坐标代入函数式i＝10sin(10πt＋φ)，
得sinφ＝1，取φ＝，于是得到曲线的函数解析式为i＝10sin(10πt＋)，t∈[0，＋∞)．
根据诱导公式，函数式可化为i＝10cos10πt，t∈[0，＋∞).
变式训练
1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)一个周期的图象如图7所示，求函数的解析式．
图7
解：根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程ωxi＋φ＝0，，π，，2π(i＝1,2,3,4,5)，得出φ的值．
方法一：由图知A＝2，T＝3π，由＝3π，得ω＝，∴y＝2sin(x＋φ)．
由“五点法”知，第一个零点为(，0)，
∴·＋φ＝0?φ＝－，故y＝2sin(x－)．
方法二：得到y＝2sin(x＋φ)同方法一．
由图象并结合“五点法”可知，(，0)为第一个零点，(，0)为第二个零点．∴·＋φ＝π?φ＝－.∴y＝2sin(x－)．
点评：要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法，然后再利用ωx1＋φ＝0或ωx2＋φ＝π求出φ.
2.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为…( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
答案：B
3．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
1．由学生自己回顾本节学习的数学知识：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．本节学习的数学方法：由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值．
2．三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象．这种题目的解题的思路是：如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出，特别是给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型．有时从寻找“五点法”中的第一零点(－，0)作为突破口，一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置．
1．课本本节练习A组 1.(1)(3)、2.(1)(3)、4.
2．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变换就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是( )
A．向右平移 B．向左平移
C．向右平移 D．向左平移
解：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin[－3(x－)]，
∴由y＝sin[－3(x－)]向左平移才能得到y＝sin(－3x)的图象．
答案：D
点评：本题需逆推，教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练．如本题中的－3x需写成－3(x－)，这样才能确保平移变换的正确性．
1．本节课设计符合新课改精神，突出体现了以学生发展为本的新课程理念，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力．注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．
2．由于本节内容综合性强，所以本节教案设计的指导思想是：在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．
备用习题
1．函数f(x)＝cos2x＋sin(＋x)是( )
A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值，又有最小值的偶函数
2．如图8，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离n(m)与时间t(min)之间的函数关系是( )
图8
A．h＝8cost＋10 B．h＝－8cost＋10
C．h＝－8sint＋10 D．h＝－8cost＋10
3．将函数y＝5sin(－3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移，得到图象解析式是( )
A．y＝5sin(－x) B．y＝sin(－x)
C．y＝5sin(－6x) D．y＝5cosx
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于 … ( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
5．函数y＝2sin(4x＋)的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )
A. B. C. D．π
6．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如下：那么ω等于( )
图9
A．1 B．2
C. D.
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值是4，最小值是0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0，0<φ<，则函数解析式为________________．
参考答案：1.D
2．D 解析：排除法，由T＝12，排除B，当t＝0时，h＝2，排除A、C.
3．D 4.D 5.B 6.B 7.y＝2sin(4x＋)＋2
1.3.2.1 余弦函数的图象与性质
示范教案
教学分析
1．上节刚刚学习了正弦函数的图象与性质，对于本节的学习，有两个内容：一是余弦函数的图象，二是余弦函数的性质．我们可以完全类比正弦函数，只是作余弦函数图象时可通过平移的方法得到，这也是类比思想、数形结合思想、图象变换思想方法的应用．
2．由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质．教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．
3．余弦函数性质的难点，在于函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易；单调性只要求由图象观察，不要求证明．而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可．
4．教科书没有直接通过余弦线画余弦函数的图象．主要是通过分析诱导公式cosx＝sin(x＋)，探索余弦函数与正弦函数之间的关系，给出余弦函数图象．教学时应结合对诱导公式的分析，深刻理解正弦与余弦函数之间的关系，从而得出余弦函数的图象与性质．
三维目标
1．通过类比正弦函数图象的作图方法，会用几何法画出余弦函数的图象；通过诱导公式能用图象平移的方法得到余弦函数的图象．
2．观察函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，哪些点起着关键作用，并会用关键点画出函数y＝cosx在x∈[0,2π]上的简图．
3．通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过正弦函数和余弦函数的图象与性质的对比，理解两种函数的区别及内在联系．
重点难点
教学重点：会通过平移得到余弦函数的图象，并会用五点法画出余弦函数的图象，由余弦函数得出余弦函数的性质．
教学难点：余弦函数性质的灵活运用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图象，你能类比正弦函数图象的作法作出余弦函数的图象吗？从学生画图象、观察图象入手，由此展开余弦函数性质的探究．
思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．
推进新课
活动：先让学生充分思考、交流后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他按自己的思路继续探究；对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，并适时地给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须掌握的基本功．因此在研究余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的．因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题(1)学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．
由诱导公式y＝cosx＝cos(－x)＝sin[－(－x)]＝sin(＋x)可知，y＝cosx的图象就是函数y＝sin(＋x)的图象．从而，余弦函数y＝cosx的图象可以通过将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位长度得到(如图1所示)．余弦函数y＝cosx的图象叫余弦曲线．
图1
由图1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是
(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图(如图2)．
图2
教师引导学生类比正弦函数的性质学习，让学生观察余弦函数的图象，从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究．可完全放给学生自己探究，教师仅是适时地给予引导．学生很容易得出余弦函数y＝cosx，x∈R具有以下主要性质：
(1)定义域
余弦函数的定义域是R.
(2)值域
余弦函数的值域是[－1,1]．
当且仅当自变量x＝2kπ(k∈Z)时，余弦函数y＝cosx取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，余弦函数取得最小值－1.
(3)周期性
余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.
由于余弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x值，讨论余弦函数在区间[x，x＋2π]上的性质，然后拓展到整个定义域(－∞，＋∞)上．
(4)奇偶性
余弦函数的图象关于y轴对称，即cos(－x)＝cosx.
∴余弦函数是偶函数．
这个变化情况可从下表及图象中直观地显示出来，教师可引导学生画图并列出下表：
图3
x
－π
…
－
…
0
…
…
π
cosx
－1
?↗
0
↗
1
↘
0
↘
－1
类比正弦函数性质的探究，学生可能通过图象已经看出来了，在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴，如余弦曲线还关于直线x＝0，x＝π等多条直线对称，余弦曲线还关于点(，0)等多个点对称，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，以开阔学生的视野．
(5)单调性
我们选取长度为2π的区间[－π，π]．可以看出，当x由－π增大到0时，cosx的值由－1增大到1，当x由0增大到π时，cosx的值由1减小到－1.因此，余弦函数在区间[－π，0]上递增，在区间[0，π]上递减．由余弦函数的周期性可知，余弦函数在每一个区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是递增的，在每一个区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是递减的．所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间．
探究余弦函数的性质后，学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番，这种习惯很好．比较最能澄清问题的本质属性，比较是最好的学习方法．
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线．所以它们的定义域相同，都为R.值域也相同，都是[－1,1]．最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π.它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．由此可以看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响．
讨论结果：(1)～(3)略．
例1画出函数y＝cosx－1，x∈R的简图，并根据图象讨论函数的性质．
活动：课堂上可放手让学生自己去求，教师适时地指导、点拨、纠错．并提示－1对余弦函数的图象与性质的影响．让学生进一步熟悉“五点法”作图，领悟图象作法的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，“五点法”作图易学却难掌握，学生需练扎实的基本功．可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．
解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图4所示)．
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
cosx－1
0
－1
－2
－1
0
图4
不难看出，函数y＝cosx－1的主要性质有(如下表所示)．
函数
y＝cosx－1
定义域
R
值域
[－2,0]
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
当x∈[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)时，函数是递增的；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数是递减的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为0；
当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最小值为－2
点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会更加令人满意，切不可教师画图学生看．完成本例余弦后，学生从图象上就可以一目了然地说出函数的性质了．这也让学生从中体会到了数形结合的好处.
变式训练
求下列函数的最大值或最小值：
(1)y＝－3cosx＋1；(2)y＝(cosx－)2－3.
解：(1)当cosx取最大值1时，y＝－3cosx＋1取最小值－2；当cosx取最小值－1时，y＝－3cosx＋1取最大值4.
(2)当cosx＝时，y＝(cosx－)2－3取得最小值－3；当cosx＝－1时，y＝(cosx－)2－3取得最大值－.
例2利用三角函数的单调性，比较cos(－)与cos(－)的大小．
解：cos(－)＝cos＝cos，cos(－)＝cos()＝cos.
因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，
所以cos>cos，即cos(－)点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化为同一个单调区间．其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos>0，cos<0，显然大小立判．
例3求函数y＝cos(x－)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
活动：教师引导学生探究，可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师引导学生的思考方向：把x－看成z，问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题，而这就简单多了，教师应点出，这里用的是换元的思想方法．
解：令z＝x－.函数y＝cosz的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]．
由－π＋2kπ≤x－≤2kπ，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
取k＝0，得－≤x≤，而[－，][－2π，2π]，
因此，函数y＝cos(x－)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－，]．
点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用余弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化.
变式训练
若函数y＝cos(ωx－)(ω>0)的最小正周期是，则ω＝__________.
答案：10
例4判断下列函数的奇偶性：
(1)y＝cosx＋2；(2)y＝sinxcosx.
解：(1)把函数y＝cosx＋2记为
f(x)＝cosx＋2.
因为f(－x)＝cos(－x)＋2＝cosx＋2＝f(x)，对于x∈R该等式都成立，所以函数y＝cosx＋2是偶函数．
(2)把函数y＝sinxcosx记为
f(x)＝sinxcosx.
因为f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，对于x∈R这个等式都成立，所以函数y＝sinxcosx是奇函数.
变式训练
函数y＝1＋cosx的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝对称
答案：B
例5在给定的直角坐标系(如图5)中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．
解：列表取点如下：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
1
0
－
0
1
描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图6.
图5 图6
点评：本题按说难度不大，但学生得分率却不高，画图是学生较薄弱的环节．
1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？
这节课我们研究了余弦函数的图象与性质．通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较，加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图象的画法及性质的理解，将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统．
2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．
课本本节练习A组 3,4,5.
1．本节教案设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习幂、指数、对数函数后，对函数性质有了较深的认识．这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．
2．在学完余弦函数性质后，应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识；让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图象，在解题中突出数形结合思想．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想．
3．学习正、余弦函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如cos(α＋2π)＝cosα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．
备用习题
1．函数y＝cosx，x∈[－，]的值域是( )
A．[0,1] B．[－1,1]
C．[0，] D．[－，1]
2．对于函数y＝f(x)＝下列命题中正确的是( )
A．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．该函数是以π为最小正周期的周期函数
D．当且仅当2kπ＋π3．已知－≤x<，cosx＝，则m的取值范围是( )
A．m<－1 B．3C．m>3 D．34．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，则f()的值为( )
A．－ B. C．－ D.
5．定义在R上的函数f(x)满足f(＋x)＝－f(x)及f(－x)＝f(x)，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝2sinx B．f(x)＝2sin3x
C．f(x)＝2cosx D．f(x)＝2cos3x
6．已知函数y＝2cosx(0≤x≤1 000π)的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
7．根据余弦函数的图象，求满足cos2x≥的x的集合．
参考答案：
1．A 画出y＝cosx，x∈[－，]的图象，从而得出y∈[0,1]，故选A.
2．D 画图象可知，值域为[－，1]，x＝2kπ或x＝2kπ＋时取最大值，T＝2π，故选D.
3．C 由－≤x<，∴<≤1.
∴m>3.故选C.
4．D 由f(x)的周期为π知，f()＝f()＝f(－)．
由f(x)是偶函数知f(－)＝f()．
又当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，
∴f()＝sin＝.故选D.
5．D
6．2 000π 由图象知y＝2cosx在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积是2π×2＝4π.
∵1 000π÷2π＝500，∴在0≤x≤1 000π上所围成的封闭图形的面积S＝4π×500＝2 000π.
7．解：由余弦函数的图象与性质知
－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴满足函数cos2x≥的x的集合是{x|－＋kπ≤x≤＋kπ}(k∈Z)．
1.3.2.2 正切函数的图象与性质
示范教案
教学分析
本节课的背景是：这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．对正切函数，我们也遵循这一原则，先定义正切函数，再利用单位圆找出正切线，然后类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画出正切函数的图象．通过图象来研究它的主要性质．这样处理学生驾轻就熟，易于理解和掌握．
通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象，以提高学生的学习兴趣，提高课堂教学质量．以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．
学习正切函数的图象与性质，主要注意两点：一是通过正切线画函数的图象，掌握正切函数的性质；二是正切函数的图象的间断点和定义域，从数形两方面理解正切函数图象的特点(变化趋势)，理解语句“趋向无穷大的含义”．
三维目标
1．通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．
2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．
3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．
重点难点
教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用．
教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．
思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．
推进新课
(1)什么是正切函数？什么是正切线？正切函数的定义域是什么？
(2)我们学习了正弦线、余弦线、正切线．你能画出四个象限的正切线吗？
(3)我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？
(4)我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？
(5)你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？你能类比归纳出正切函数的主要性质吗？
活动：教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习．明确正弦函数的定义．我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图象．那么有没有线段可以表示正切线呢？
如图1，在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点．从图中容易看出：当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方．过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M，那么，不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT与∠MOP的正切值相等．我们称线段AT为角α的正切线．
问题(1)，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的．有了这些知识准备，然后根据作出的正切函数图象，类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质，指导学生充分利用正切曲线的直观性．
问题(2)，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.
图1
问题(3)，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－，]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－，)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间(－，)内的图象，如图2.
根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图3.可以看出，正切曲线是由通过点(＋kπ，0)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
图2
图3
问题(4)，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数y＝tanx，x∈(－，)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－，－1)，(0,0)，(，1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－，－1)，(0,0)，(，1)，再画两条平行线x＝－，x＝，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．
讨论结果：(1)略．
(2)正切线是AT.
(3)略．
(4)能．
(5)“三点两线”法．
下面与学生一起探究正切函数y＝tanx的性质如下：
(1)定义域
根据正切函数的定义tanα＝，显然，当角α的终边落在y轴上任意一点时，都有x＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ＋，k∈Z，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ＋，k∈Z}，而不是{α≠＋2kπ，k∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．
(2)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间(－，)内，当x小于，并且无限接近时，tanx可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作
tanx→＋∞.
读作“tanx趋向于正无穷大”；当x大于－，并且无限接近－时，tanx可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作
tanx→－∞.
读作“tanx趋向于负无穷大”．这就是说，tanx可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．
因此，函数y＝tanx的值域是实数集R.
(3)周期性
由诱导公式
tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，
可知，正切函数是周期函数，周期是π.
这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．
(4)奇偶性
由诱导公式
tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z
可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是(，0)，k∈Z.
(5)单调性
通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－，)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数．
(1)请同学们认真观察正切函数的图象特征，由形及数从正切函数的图象讨论它的性质．
(2)设问：每个区间都是增区间，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．
活动：问题(1)，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质——是奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是(，0)，k∈Z.
问题(2)，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．
讨论结果：(1)略．
(2)略．
例1比较大小．
(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－)与tan(－)．
活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．
解：(1)∵y＝tanx在90°∴由138°<143°，得tan138°(2)∵tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan，
tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan.
又0<<<，而y＝tanx在(0，)上是增函数，
∴tan∴－tan>－tan，
即tan(－)>tan(－)．
例2用图象求函数y＝的定义域．
活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．
图4 图5
解：由tanx－≥0，得tanx≥，
利用图4知，所求定义域为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．
点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.
变式训练
1．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(，)内的图象大致是( )
图6
答案：D
2．求函数y＝tan(x－)的定义域．
解：设t＝x－，则函数y＝tant的定义域是
{t|t∈R且t≠kπ＋，k∈Z}．
由x－≠kπ＋，得x≠kπ＋.
因此，函数y＝tan(x－)的定义域是
{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}.
例3求函数y＝tan(x＋)的定义域、周期和单调区间．
活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将x＋作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．
解：函数的自变量x应满足x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠2k＋，k∈Z.
所以函数的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}．
由于f(x)＝tan(x＋)＝tan(x＋＋π)＝tan[(x＋2)＋]＝f(x＋2)，
因此，函数的周期为2.
由－＋kπ因此，函数的单调递增区间是(－＋2k，＋2k)，k∈Z.
点评：同y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝.
变式训练
1．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．aC．b答案：D
2．求函数y＝tan3x的周期．
解：因为tan(3x＋π)＝tan3x，即tan3(x＋)＝tan3x，
这说明自变量x至少要增加，函数的值才能重复取得，所以，函数y＝tan3x的周期为.
3．求函数y＝tan(x＋)的定义域，值域，单调区间，周期性．
解：由x＋≠kπ＋，k∈Z可知，定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．
值域为R.
由x＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z可得，在x∈(kπ－，kπ＋)上是增函数．
周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是π.
例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．
活动：教师引导学生利用函数y＝tanx的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：
错解1：∵函数y＝tanx是增函数，
又1<2<3<4，∴tan1错解2：∵2和3的终边在第二象限，
∴tan2，tan3都是负数．
∵1和4的终边分别在第一和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．
又∵函数y＝tanx是增函数，且2<3,1<4，
∴tan2教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．
解法一：∵函数y＝tanx在区间(，)上是单调递增函数，
且tan1＝tan(π＋1)，又<2<3<4<π＋1<，
∴tan2解法二：如图7,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4，
图7
∴tan2点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点．把正切函数y＝tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．
1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．
2．教师简要归纳，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？
课本练习B组3～6.
1．本教案的设计思路是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．
2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步地发散思考→探索提高．
函数f(x)±g(x)最小正周期的求法
若f(x)和g(x)是三角函数，求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：
(一)定义法
例1求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．
解：∵y＝|sinx|＋|cosx|
＝|－sinx|＋|cosx|
＝|cos(x＋)|＋|sin(x＋)|
＝|sin(x＋)|＋|cos(x＋)|，
对定义域内的每一个x，当x增加到x＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.
(二)公式法
这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T＝，正切函数T＝.
例2求函数y＝－tanx的最小正周期．
解：y＝－tanx＝＝2·＝，∴T＝.
(三)最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝.
3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期．
例解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1＝，T2＝，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝＝2π.
4求y＝sin3x＋tanx的最小正周期．
例解：∵sin3x与tanx的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π，
∴y＝sin3x＋tanx的最小正周期是10π.
(四)图象法
例5求y＝|cosx|的最小正周期.
解：由y＝|cosx|的图象，可知y＝|cosx|的周期T＝π.
图8
1.3.3 已知三角函数值求角
示范教案
教学分析
在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．
已知角x的一个三角函数值求角x时，实际上就是解最简单的三角方程．由于三角函数不是从定义域R→值域[－1,1]上的一一映射，所以已知角x的一个三角函数值求角x时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可以分为以下几个步骤：第一步，确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出[0,2π]内对应的角；第四步，如果要求出[0,2π]以外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．
如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．
三维目标
1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．
2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范围内的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．
3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．
重点难点
教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．
教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．
思路2.(类比引入)前面我们学习函数时知道，给定一个函数值必有一个或多个自变量的值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样求出适合这个式子的x的值呢？在学生探究中引入新课．
推进新课
已知正弦值，求角．
活动：教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示，引导学生得出：在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多个角和它对应，如在[0,2π]上有两个角和的正弦值都为，在R上有无穷多个角的正弦值为.但是，在y＝sinx的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－，]上，只有的正弦值等于.
也就是说，正弦函数在区间[0,2π]上不具有单调性．但在[－，]上单调递增．所以在区间[－，]上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一个，而在[0,2π]上满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x一般有两个．
一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[－，]上有唯一的x值和它对应．记为
x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)，
即arcsiny(|y|≤1)表示[－，]上正弦等于y的那个角．这个角叫做y的反正弦．
讨论结果：(1)有无穷多个；(2)表示为x＝arcsiny(其中－1≤y≤1，－≤x≤)．
例1(1)已知sinx＝，且x∈[－，]，求x；
(2)已知sinx＝，且x∈[0,2π]，求x的取值集合；
(3)已知sinx＝，且x∈R，求x的取值集合．
解：由sinx＝知x的正弦值是个正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如图1，由sin＝，sin＝
可知：
图1
(1)在[－，]上，x＝；
(2)在[0,2π]上，x＝或x＝；
(3)在R上符合条件的角是所有与终边相同的角和所有与终边相同的角．因此x的取值集合为
{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}∪{x|x＝2kπ＋(k∈Z)}．
点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明，在本例(1)中，＝arcsin，＝π－arcsin.那么本例(2)中的答案也可写成{arcsin，π－arcsin}．进一步体会－≤arcsina≤(其中－1≤a≤1)．同时强调，如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示，如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x作为自变量，y是x的函数，记为y＝arcsinx.
例如：如果sinx＝，x∈[－，]，则x＝arcsin＝；
如果sinx＝－，x∈[－，]，则x＝arcsin(－)＝－；
如果sinx＝0，x∈[－，]，则x＝arcsin0＝0；
如果sinx＝0.345 8，x∈[－，]，在不要求求出具体的x值时，其中的x可记作arcsin0.345 8，即x＝arcsin0.345 8.
变式训练
函数y＝sinx，x∈[，]的反函数为( )
A．y＝arcsinx，x∈[－1,1]
B．y＝－arcsinx，x∈[－1,1]
C．y＝π＋arcsinx，x∈[－1,1]
D. y＝π－arcsinx，x∈[－1,1]
解析：因为x∈[，]，所以π－x∈[－，]，且sin(π－x)＝sinx，
所以y＝sinx＝sin(π－x)的反函数是π－y＝arcsinx，即y＝π－arcsinx(x∈[－1,1])．故选D.
已知余弦值和正切值，求角．
活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数y＝cosx在区间[0,2π)上，对y∈(－1,1)的任意一个值，有两个角x与之对应．如果考察自变量x在整个定义域(－∞，∞)上取值，那么对区间[－1,1]上的任意一个值y，有无穷多个x值与之对应，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间[0，π]作为基本范围．在这个闭区间上，符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈[0，π]且a＝cosx.
同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x有且只有一个，我们选择开区间(－，)作为基本的范围．在这个开区间内，符合条件tanx＝a(a∈R)的角x，叫做实数a的反正切，记作arctana，即x＝arctana，其中x∈(－，)，且a＝tanx.
讨论结果：(1)略．
(2)0≤arccosa≤π，－例2已知cosx＝－，且x∈[0,2π)，求x的取值集合．
解：因为余弦函数值是负值，所以x是第二或第三象限的角(图2)．由
cos＝－cos＝－
图2
可知，所求符合条件的第二象限的角x＝.
又由cos(＋π)＝－cos＝－
可知，在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角
x＝＋π＝.
因此，所求角x的取值集合为{，}．
点评：与例1一样，本解法仍没用到反余弦符号，其道理同例1.因此本例中答案可写成{arccos(－)，π＋arccos}或写成{π－arccos，π＋arccos}或{arccos(－)，2π－arccos(－)}．因为是特殊角，所以写{，}最简洁明了．如：
arccos＝，arccos＝，arccos(－)＝.
由此也看出，在用反三角符号表示角或角的集合时，形式上不唯一.
变式训练
(1)已知cosx＝－0.766 0，且x∈[0，π]，求x.
(2)已知cosx＝－0.766 0，且x∈[0,2π]，求x的集合．
解：(1)由余弦函数在闭区间[0，π]上是减函数及已知条件知，符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角．
∴x＝arccos(－0.766 0)．
(2)∵cosx＝－0.766 0<0，
∴x是第二或第三象限角．
若x为第二象限角，则x＝arccos(－0.766 0)；
若x为第三象限角，则x＝2π－arccos(－0.766 0)．
∴符合条件的角的集合为{arccos(－0.766 0)，2π－arccos(－0.766 0)}.
例3已知tanx＝－，且x∈(－，)，求x的值．
解：∵tanx＝－<0，
∴x为第二或第四象限角．
又∵－≤x≤，
∴符合条件的角只有一个，x＝arctan(－)＝－.
变式训练
(1)已知tanx＝－，且x∈(－，)，求x.
(2)已知tanx＝－，且x∈[0,2π]，求x的取值集合．
解：(1)∵tanx＝－<0，且x∈(－，)，
∴符合条件的角有且只有一个，x＝arctan(－)．
(2)∵tanx＝－<0，且x∈[0,2π]，
可知符合条件的角有两个：在第二象限或第四象限．
∴所求角的集合为{π＋arctan(－)，2π＋arctan(－)}.
先让学生回顾本节课所学过的知识，涉及到的数学思想方法．在此基础上教师进行画龙点睛：在学完反正弦后，我们用类比的思想学习了反余弦、反正切．要求熟练掌握已知角α的三角函数值求α角的一般步骤．本教材只要求同学们会用arcsinx，arccosx，arctanx这三个符号表示角，对于这三个符号的其他知识不作进一步探讨．
课本本节练习A组 1,3.
本节教案设计主线是：始终抓住类比思想，数形结合思想，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，结合图形，由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用，使新旧知识点有机地结合在一起；同时通过多媒体教学，使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高学生的学习兴趣，教学过程流畅，符合高中课程标准理念．
本节教案设计理念是：坚持以学生为本，以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，让学生学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．
备用习题
1．满足cosx＝(－A．π－arccos B.－arccos
C．arccos D．－arccos
2．已知cosα＝－0.9，α∈(0，π)，则下列表示中正确的是( )
A．α＝π－arccos0.9 B．α＝－arccos0.9
C．α＝＋arccos0.9 D．α＝π＋arccos0.9
3．若sinx＝，且x∈(0，)，则下列表示中不正确的是( )
A．x＝arcsin B．x＝－arccos
C．x＝arccos D．x＝arccos(－)
4．已知tan(x－)＝－，且x∈(0，)，用反正切表示x为__________．
5．已知sinα＝sin，α∈[－π，π]，则α＝__________.
6．arccos[sin(－)]＝__________.
答案：1.D 2.A 3.D 4.x＝＋arctan(－) 5.或
6. 解析：arccos[sin(－)]＝arccos(－)＝－.
第一章 基本初等函数（II）
示范教案
本章网络结构
1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得到了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．
2．复习不是知识的罗列，方法的重复，而是知识的整合，能力的再提升、智慧火花的再闪现．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．
《基本初等函数Ⅱ》一章知识网络图
三维目标
1．通过全章复习，要求学生切实掌握三角函数的基本性质；掌握判定三角函数奇偶性；确定单调区间及求周期的方法；熟练掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．
2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图；掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明；会由已知y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的三角函数值求角．
3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数的基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想、类比思想等数学思想方法激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新、大胆猜想以及应用数学解决实际问题的能力．
重点难点
教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．
教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.让学生先来回顾全章单元目录，熟悉一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用．并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．
思路2.你现在已经会求任意角的三角函数值，并会由三角函数值求角，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．那么，你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．
推进新课
活动：教师引导学生认真回顾本章的学习过程．问题(1)，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．
问题(2)，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
问题(3)，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高，让学生明晰它们之间的逻辑关系．幻灯片如下：
公式一
公式二
sin(α＋k·2π)＝sinα，
cos(α＋k·2π)＝cosα，
tan(α＋k·2π)＝tanα，
其中k∈Z
sin(－α)＝－sinα，
cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα
公式三
公式四
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cosα
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα
tan[α＋(2k＋1)π]＝tanα
cos(α＋)＝－sinα，
sin(α＋)＝cosα
问题(4)，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯片(如图1、图2、图3)：
图1
图2
图3
问题(5)，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，应牢固掌握，但不要死记硬背．
讨论结果：(1)～(5)略．
思路1
例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．
解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：
(1)若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2·＋＝2；
(2)若角α终边过点P(－4,3)，则2sinα＋cosα＝2·＋＝；
(3)若角α终边过点P(－4，－3)，则2sinα＋cosα＝2·＋＝－2；
(4)若角α终边过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝2·＋＝－.
点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P在角的终边上的位置无关．
变式训练
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案：C
2．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．－sinx B．sinx
C．－cosx D．cosx
答案：A
例2已知sinα＋3cosα＝0，求：(1)；(2)2sin2α－3sinαcosα＋2的值．
解：(1)由已知，得tanα＝－3，
所以，＝＝＝－2－.
(2)2sin2α－3sinαcosα＋2＝4sin2α－3sinαcosα＋2cos2α＝cos2α(4tan2α－3tanα＋2)＝(4tan2α－3tanα＋2)＝(4×9＋3×3＋2)＝.
点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握．
变式训练
1．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，求tanα的值．
解：由sinα＋cosα＝平方整理，得sinαcosα＝－<0.
∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sinα>0，cosα<0.
∴sinα－cosα>0.
∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝.
由 ∴tanα＝－.
点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．如本题又可改为：已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为( )
A. B. C．－ D．－
改编成选择题后，教师引导学生结合三角函数线及题目给出的条件特点探究角的范围．并启发学生思考讨论能否小题不大做，不用计算就能解出来．事实上，若0<α<，则sinα＋cosα>1，但sinα＋cosα＝，
所以＜α＜π，且知sinα＞0，cosα＜0，|sinα|＞|cosα|.因此tanα<－1，
所以不用运算就选出了答案．这就是解选择题的妙法，找准特征，抓住关键，快速准确．
2．已知sinθ＝，cosθ＝，<θ<π，则m的取值范围是… ( )
A．3≤m≤9 B．m≤－5或m≥3
C．m＝0或m＝8 D．m＝8
答案：D
例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．
活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用，及训练学生分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A的值．如果学生没找出周期，教师可进一步点拨：题目中告诉的x轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M、N恰是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A、T.但要注意指导φ的求法．
解：方法一：
根据题意，可知＝6－2＝4，所以T＝16.于是ω＝＝.
将点M的坐标(2,2)代入y＝2sin(x＋φ)，
得2＝2sin(×2＋φ)，即sin(＋φ)＝1.
所以满足＋φ＝的φ为最小正数解为φ＝.
从而所求的函数解析式是y＝2sin(x＋)，x∈R.
方法二：
将两个点M(2,2)，N(6,0)的坐标分别代入y＝2sin(ωx＋φ)并化简，
得
所以，在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有
从而所求的函数解析式是y＝2sin(x＋)，x∈R.
点评：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能止一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的．
思路2
例题已知函数f(x)＝(sinx－cosx)．
(1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．
图4
活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.
图5 正、余弦曲线
解：(1)x必须满足sinx－cosx>0，利用图4单位圆中的三角函数线或图5中的正、余弦曲线，知2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数定义域为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)．∵sinx－cosx＝sin(x－)，
∴当x∈(2kπ＋，2kπ＋)时，0＜sin(x－)≤1.
∴0＜sinx－cosx≤.∴y≥＝－.∴函数值域为[－，＋∞)．
(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．
(3)函数f(x)的最小正周期为T＝2π.
点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知，以第Ⅰ、Ⅱ象限的角平分线为标准，可确定sinx－cosx的符号．以第Ⅱ、Ⅲ象限的角平分线为标准，可确定sinx＋cosx的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.
变式训练
如图6，⊙O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在⊙O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α(α为锐角)．
图6
(1)求⊙O的半径，并用角α的三角函数表示C点的坐标；
(2)若|BC|＝，求tanα的值．
解：(1)⊙O的半径r＝＝1，点C(cosα，sinα)．
(2)在△BOC中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝，
∴∠COB是直角．
由三角函数的定义，知cos(α－90°)＝sinα＝，且α为锐角．
故sinα＝，tanα＝.
你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．
已知函数f(x)＝sinπx图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )
图7
A．y＝f(2x－) B．y＝f(2x－1)
C．y＝f(x－1) D．y＝f(x－)
答案：B
1．本教案设计只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处．在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳整合的结果直接告诉学生．
2．本教案设计注重了学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．
3．本教案设计注重了思维层次的提高，复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．
备用习题
1．已知集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，那么集合A、B、C之间的关系是( )
A．BAC B．ABC
C．BCA D．CBA
2．若α是第四象限角，则π－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是
A．(2π－3)∶2π B．(6π－3)∶6π
C．(4π－3)∶4π D．(8π－3)∶8π
4．把函数y＝4cos(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
5．如果|x|≤，设函数f(x)＝cos2x＋sinx的最大值为M，最小值为m，则的值为… ( )
A．－ B．－3－2
C．3＋2 D．－
6．已知y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(，)，则函数表达式为( )
A．y＝3sin(2x＋) B．y＝3sin(2x－)
C．y＝sin(2πx＋) D．y＝sin(2πx－)
7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则f(x)的图象( )
A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝π对称
C．关于点(π，0)对称 D．关于直线x＝对称
8．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段的长为，则f()＝__________.
9．已知α、β∈(0，)，且α＋β>，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝()x＋()x<2.
参考答案：1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.0
9．证明：由α＋β>，知α>－β，
又由α，β∈(0，)，知－β∈(0，)．
∵y＝sinx在(0，)内为增函数，y＝cosx在(0，)内为减函数，
∴sinα>sin(－β)＝cosβ，cosα又∵x∈(0，π)，∴()x＜1，()x＜1.∴f(x)＝()x＋()x<2.
