高中数学第二章平面向量教案（打包14套）新人教B版必修4

2.1.1 向量的概念
示范教案
　教学分析　　　　　
1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．
2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．
3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．
4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．
三维目标　　　　　
1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．
2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．
3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．
重点难点　　　　　
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．
图1
思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．
推进新课　　　　　
位移的概念
?1?回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.
?2?“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？
?3?“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？
活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．
我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.
如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．
图2
铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．
讨论结果：(1)～(3)略．
向量的概念，用向量表示点的位置
?1?在数学中，怎样表示向量呢？
?2?什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？
?3?怎样定义零向量？怎样定义单位向量？
?4?满足什么条件的两个向量叫作相等向量？
?5?有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？
?6?如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
?7?什么是向量的模？,
?8?怎样用向量表示点的位置？
活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．
这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．
图3
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a，b，c表示．一定要学生规范：印刷用黑体a，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面， 即是说的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．
如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量(或a)的大小，就是向量(或a)的长度(或称模)，记作||(或|a|)．
图4
教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a>b就没有意义，而|a|>|b|就有意义．
理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．
讨论结果：(1)用字母a，b，c，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如，.
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．
(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．
(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
在图5中，有向线段，，…都表示同一向量a，这时可记作
图5
＝＝＝…＝a.
一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．
(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a平行，即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a，b，c平行，记作a∥b∥c.
又如图6，a，b，c是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝a，＝b，＝c.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．
图6
(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(7)| |(或|a|表示向量(或a)的大小，即长度(为模))．
教师进一步提醒学生注意方向的问题．
方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．
(8)任给一定点O和向量a(图7)，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量．
图7
例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O表示北京的位置，点A表示天津的位置，那么向量
图8
＝“东偏南50°，114 km”
就表示了天津相对于北京的位置．
有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．
例1如图9，D，E，F依次是等边△ABC的边AB, BC, AC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，
图9
(1)找出与向量相等的向量；
(2)找出与向量共线的向量．
活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．
解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：
(1)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量相等的向量有：和；
(2)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有：，，，，，，.
变式训练
　判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1) ABCD中，与是共线向量；
(2)单位向量都相等．
解：(1)正确；
(2)不正确．
点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB∥CD，所以，∥.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.
图10
例2一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点，求此人从C点走回A点的位移.
解：根据题意画出示意图，如图11所示．
图11
||＝100 m，||＝100 m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴||＝100 m，即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.
∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.
例3如图12，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与、、相等的量．
图12
活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．
解： ＝＝；＝＝；＝＝＝.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．
变式训练
(演示课件)
1．本例变式一：与向量长度相等的向量有多少个？(11个)
本例变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)
本例变式三：与向量共线的向量还有哪些？(，，，)
2．对命题“a∥b，b∥c推出a∥c”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下：
甲生判断是真命题．理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反，由b∥c可知c与b的方向相同或相反，从而有a与c的方向相同或相反，故a∥c，即原命题为真命题；乙生判断是假命题．理由是：当两个非零向量a，c不平行，而b＝0时，显然a∥b且b∥c，但不能推出a∥c，故此时结论不成立，即原命题为假命题．究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析．
解：乙的判断正确．
由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论，所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在．甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况，故甲生的判断是错误的；乙生的判断完全正确．这说明向量平行的传递性若要成立，则“过渡”向量b需不为零向量，即在b≠0时有：
(1)当a≠0，b≠0时，由a∥b，b∥c可推出a∥c；
(2)若a与c中有一个为0，则另一个向量无论是否为0，均可推出a∥c.
例4(1)下列命题正确的是(　　)
A．a与b共线， b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．
答案：C
点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．
变式训练
1. 判断：
(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)
(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)
(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)
(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)
(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)
(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)
(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)
2．把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)
A．一条线段　　 　B．一段圆弧　　 　 C．两个点　　 　 D．一个圆
3．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(　　)
A．一个点 B．两个点
C．一个圆 D．一条线段
答案：1.略　2.D　3.B
1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．
2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．
如图13，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC与BD的交点，求证：＝.
证明：如图13，∵AB∥CD，
图13
∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.
又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，
∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.
同理，OF∥DC，∴E，O，F在同一直线上．
∴＝＝＝.∴EO＝OF，即||＝||.
又与方向相同，∴＝.
1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．
2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．
3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．
一、向量中有关概念的辨析
1．数量、向量、有向线段
对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．
2．平行向量、共线向量、相等向量
平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．
二、备用习题
1．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…an，则这n个向量(　　)
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
2．如图14所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有…(　　)
图14
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
3．若命题p：a＝b，命题q：|a|＝|b|，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要又不充分条件
4．如图15所示，在四边形ABCD中，若＝，则下列各组向量相等的是(　　)
图15
A.与 B.与
C.与 D.与
5．已知a，b是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a＝b；③a与b的方向相反；④a＝0或b＝0；⑤a与b都是单位向量．其中是向量a与b共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)
6．如图16所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
图16
(1)写出与相等的向量；
(2)若||＝3，求向量的模．
7．判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
参考答案：1.D　2.C　3.A　4.D　5.②③④
6．解：(1)与相等的向量有和，因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，故AB＝ED＝DC；(2)向量的模||＝6.
7．C　因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．
2.1.2 向量的加法
示范教案
教学分析　　　　　
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明．同时运用它们进行相关计算，这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解，也为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用．学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量．在学习物理的过程中，已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件．
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识．在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想．而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力．在实际教学中，类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．
向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的．建议直接从位移的合成引入向量的加法运算，认真分析“从点A位移到点B，再从点B位移到点C，等效于从点A到点C的位移”这句话的含义．这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别．这样做，有利于学生更好地把握向量加法的特点．因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等．
三维目标　　　　　
1．通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义．能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量．
2．在探究活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义．掌握有特殊位置关系的两个向量的和．
3．通过本节内容的学习，使学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力，初步体会向量内容与其他知识的交汇特点．
重点难点　　　　　
教学重点：向量加法的运算及其几何意义．
教学难点：对向量加法法则定义的理解．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)我们通过“位移”和“两点的相对位置”学习了向量概念．现在要问，向量之间能否像数与式那样进行运算？如果可以进行某种运算，那么这些运算又将遵循什么样的运算法则？这一小节，我们要探索这些问题．
思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航，因此春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动：向北走20米，再向西走15米，再向东走5米，最后向南走10米，怎样计算他所在的位置？由此导入新课．
推进新课　　　　　
向量加法的三角形法则
?1?数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？你能从位移的角度来加以说明吗？,?2?猜想向量加法的法则是什么？与数的运算法则有什么不同？
活动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图1.如果一个动点由点A位移到点B，又由点B位移到点C，那么一定存在一个从点A到点C的位移与两次连续位移的结果相同．
图1
这时我们就说，动点从A到C的位移是动点A到B，再由B到C两次位移的和．
从位移求和，我们可以引出下述向量的加法法则：
已知向量a，b(图2(1))，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即
a＋b＝＋＝.
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．如图2(2)表示求两个平行向量和的特殊情况．
图2
数的加法也启发我们，从运算的角度看， 可以认为是与的和，即位移、力的合成看作向量的加法．
讨论结果：(1)向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量求和的法则：
1°向量求和的三角形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a， ＝b，再作向量，则向量叫做向量a与b的和，这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如图2.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即＋＋…＋An－1An＝.
2°向量求和的平行四边形法则
如图3，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
力的合成可以看作向量加法的物理模型．
3°向量求和的多边形法则
由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量．这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加．以四个向量为例说明如下(图4)．
图3
　　
图4
已知向量a，b，c，d.在平面上任选一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝＋＋＋＝a＋b＋c＋d.
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．
这个法则叫做向量求和的多边形法则．
向量求和的平行四边形法则
?1?对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？
?2?数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算.类似地，向量的加法是否也有运算律呢？
活动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．
讨论结果：(1)对于零向量与任一向量，我们规定a＋0＝0＋a＝a.
(2)如图5，作＝a，＝b.如果A，B，C不共线，则＝a＋b.
图5
再看看b＋a等于什么．
作＝b，连接D，C，如果我们能证明＝a，那么也就证明了加法交换律成立．
由作图可知，＝＝b，因此四边形ABCD是平行四边形，这就证明了＝a，即加法交换律成立．
对于A，B，C共线的情况，我们很容易验证，于是得到
a＋b＝b＋a.
如图6，因为＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c，
图6
＝＋＝＋(＋)＝a＋(b＋c)，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．
思路1
例1如图7，已知向量a、b，求作向量a＋b.
活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．

图7 图8 图9
作法一：在平面内任取一点O(如图8)，作＝a，＝b，则＝a＋b.
作法二：在平面内任取一点O(如图9)，作＝a，＝b.以OA、OB为邻边作OACB，连结OC，则＝a＋b.
变式训练
1．化简：(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋.
活动：根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加．
解：(1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋
＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
点评：要善于运用向量的加法运算法则及运算律来求和向量.
2.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，且＝＋λ，则λ等于(　　)
A.　　　　B．－　　　　 C.　　　 　D．－
解析：＝＋.
答案：C
例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图10所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度)．

图10
活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小)．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．
解：如图11所示，(1)表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度．
图11
(2)在Rt△ABC中，||＝2，||＝5，
所以||＝＝＝≈5.4.
因为tan∠CAB＝，由计算器得∠CAB＝70°.
答：船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为70°.
点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．
变式训练
　用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明：如图12，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，＝＋，＝＋.AC与BD互相平分，＝，＝，
图12
∴＝，
因此AB∥CD且||＝||，即四边形ABCD是平行四边形．
点评：证明一个四边形是平行四边形时，只需证明＝或＝即可．而要证明一个四边形是梯形，需证明与共线，且||≠||.
例3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 n mile到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．
解：如图13，设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，＝＋.
图13
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，||＝40 n mile，
所以||＝20 n mile，||＝20 n mile.
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，||＝60 n mile，
所以||＝＝＝40 (n mile)．
因为||＝2||，所以∠CAD＝60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40 n mile的C处．
思路2
例1如图14，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；(2)＋；(3)＋.
活动：教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量．教师一定要让学生亲自动手操作，对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导．
图14
解：(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝.
(2)因＝，
故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，
故＋＝.
(3)因＝，故＋＝＋＝0.
点评：向量的运算结合平面几何知识，在长度和方向两个方面作文章．应深刻理解向量的加、减法的几何意义．
变式训练
　某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，求a＋b.
解：如图15所示，适当选取比例尺，作＝a＝“向东走3 km”，＝b＝“向北走3 km”，
图15
则＝＋＝a＋b.
因为△OAB为直角三角形，
所以||＝＝3(km)．
又因为∠AOB＝45°，所以a＋b表示向东北走3 km.
例2两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40 N，方向向东，F2＝30 N，方向向北，求它们的合力．
解：如图16， 表示F1， 表示F2，以OA、OB为邻边作OACB，则表示合力F.
图16
在Rt△OAC中，||＝|F1|＝40 N，||＝||＝|F2|＝30 N.
由勾股定理，得
|F|＝||＝＝＝50(N)．
设合力F与力F1的夹角为θ，则
tanθ＝＝＝＝0.75.所以θ≈37°.
答：合力大小为50 N，方向为东偏北37°.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国，科学的殿堂．
课本本节练习A组　1,2,3.
1．本节内容是向量的加法，运算法则有三角形法则和平行四边形法则，而两个法则的运用有各自的条件：三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加，对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加，对于共线向量却不能用此法解决．三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法．
2．本节要求使用多媒体辅助教学，便于直观、生动地揭示向量加法的概念，突破难点，提高效率．因为本节解决问题的方法主要是借助图形，采用数形结合的思想方法，多让学生动手画图，识图，让学生在动态中经历和体会概念的形成过程．让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题．
备用习题
1．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为(　　)
A．0 B．3
C. D．2
2．如图17，D为△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)
图17
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
3．设向量a，b都不是零向量：
(1)若向量a与b同向，则a＋b与a的方向__________，且|a＋b|__________|a|＋|b|；
(2)若向量a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a的方向__________，且|a|＋|b|__________|a|－|b|.
4．如图18所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
图18
设＝a，＝b，＝c，则＝__________.(用a、b、c表示)
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h，则他实际以多大的速度沿何方向游？
6．在中心为O的正八边形A1A2…A8中，a0＝，ai＝AiAi＋1(i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
7．已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，AD⊥BC于D，
求证：||2＝|＋|2＋|＋|2.
参考答案：
1．D　2.A
3．(1)相同　＝　(2)相同　>　4.a＋b＋c
5．解：如图19所示，设此人在静水中的游泳速度为，
图19
水流速度为，则＝＋为此人的实际速度，
易求得||＝8 km/h，∠COA＝60°.
答：此人沿与河岸的夹角为60°顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h.
6．解：如图20所示，∵＋＝0，
∴a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋＝＝b6.

图20 图21
　　　　　
7．证明：如图21所示，以DB、DA为邻边作ADBE，于是＋＝.
∵||＝||，
∴|＋|＝||.
同理可得|＋|＝||.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得||2＝|＋|2＋|＋|2.
2.1.3　向量的减法
示范教案
教学分析　　　　　
向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
三维目标　　　　　
1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．
2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．
3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的减法运算及其几何意义．
教学难点：对向量减法定义的理解．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．
推进新课　　　　　
?1?向量是否有减法？
?2?怎样定义向量的减法运算？
?3?如何理解向量的减法？
?4?向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？
活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？
引导学生思考，相反向量有哪些性质？
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和－a互为相反向量．
于是－(－a)＝a.
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
(1)平行四边形法则
如图1，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，知＝a＋(－b)＝a－b.
图1
又b＋＝a，
所以＝a－b.
由此，我们得到a－b的作图方法．
(2)三角形法则
如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
图2
讨论结果：(1)向量也有减法运算．
(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．
与数x的相反数是－x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫作a的相反向量，记作－a.
(3)向量减法的定义．我们定义
a－b＝a＋(－b)，
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
规定：零向量的相反向量是零向量．
(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．
思路1
例1如图3，ABCD中，＝a，＝b，你能用a、b表示向量、吗？
图3
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b，
同样，由向量的减法，知＝－＝a－b.
变式训练
1．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量等于(　　)
A．a＋b＋c　　　　　　　　B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：如图4，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
图4
答案：B
2．若＝a＋b，＝a－b.
①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？
②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？
　
解：如图5，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线．
图5
由平行四边形法则，得
＝a＋b，＝－＝a－b.
由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|＝|b|)
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)
例2如图6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c.
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
解：在平面上任取一点O，作O＝a，O＝b，则B＝a－b.
再作B＝c，并以BA、BC为邻边作?BADC，
则B＝B＋B＝a－b＋c(如图7)．

图6 图7
变式训练
1．在ABCD中，下列结论中错误的是(　　)
A.＝　　　　　　　　　B.＋＝
C.－＝ D.＋＝0
解析：A显然正确，由平行四边形法则，可知B正确，C中，－＝错误，D中，＋＝＋＝0正确．
答案：C
2．已知向量a，b，c与d，求a－b，c－d(图8)．
图8
解：作＝a，OB＝b，作，则
a－b＝－＝；
作＝c，＝d，作，则
c－d＝－＝.
思路2
例1判断题：
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同．
(2)△ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．
(4)|a＋b|≥|a－b|.
解：(1)若a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；
若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，
此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥．
(2)由向量加法法则＋＝，与是互为相反向量，所以有上述结论．
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形．
(4)当a与b不共线时，|a＋b|与|a－b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；
当a、b为非零向量共线时，同向则有|a＋b|>|a－b|，异向则有|a＋b|<|a－b|；
当a、b中有零向量时，|a＋b|＝|a－b|.
综上所述，只有(2)正确．
例2若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：＝－.
(1)当、同向时，||＝8－5＝3；
(2)当、反向时，||＝8＋5＝13；
(3)当、不共线时，3<||<13.
综上，可知3≤||≤13.
答案：C
点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解.
变式训练
1．在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.b＋c　　　　　　　　B.c－b
C.b－c D.b＋c
答案：A
2．已知a、b、c是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a＋b＋c＝0.
证明：已知a≠0，b≠0，c≠0，且a∥\ b，b∥\ c，c∥\ a，
(1)必要性：作＝a，＝b，则由假设＝c，
另一方面a＋b＝＋＝.
由于与是一对相反向量，
∴有＋＝0，故有a＋b＋c＝0.
(2)充分性：作＝a，＝b，则＝a＋b，又由条件a＋b＋c＝0，
∴＋c＝0.等式两边同加，得＋＋c＝＋0.
∴c＝，故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
3已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解：如图9，设＝a， ＝b，以AB、AD为邻边作ABCD，则＝a＋b， ＝a－b.
图9
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以| |＝||.
又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，由勾股定理，得||＝＝＝10.所以|a＋b|＝|a－b|＝10.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．
课本本节练习A组　1,2.
1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．
2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a－b的箭头方向要指向a，如果指向b则表示b－a，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
3．关于向量减法，在向量代数中常有两种定义方法，第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b＋x＝a，则x叫作a与b的差，记作a－b.这样作a－b时，可先在平面内任取一点O，再作＝a， ＝b，则就是a－b.这种定义向量减法，学生较难理解定义本身，但很容易作a－b.
第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义，即定义a－b＝a＋(－b)．用这种方法定义，通过类比数的减法，学生容易接受a－b＝a＋(－b)，但作图较繁．实际上这两种定义方法没有本质的区别．
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是：若两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．
只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：
例1化简：－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0.
例2化简：＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝.
二、备用习题
1．下列等式中，正确的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a　②a－b＝b－a　③0－a＝－a　④－(－a)＝a　⑤a＋(－a)＝0
A．5　　　　　　　B．4　　　　　　　C．3　　　　　　　D．2
2．如图10，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则－等于(　　)
图10
A. B.
C. D.
3．下列式子中不能化简为的是(　　)
A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋)
C.＋－ D.－＋
4．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
5．若非零向量与满足|＋|＝||，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知两向量a和b，求证：|a＋b|＝|a－b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直．
参考答案：
1．B　2.D　3.C　4.A　5.C
6．证明：(1)充分性：
设＝a，＝b，使⊥，以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则|a＋b|＝||，|a－b|＝||.
∵四边形OBCA为矩形，∴||＝||，故|a＋b|＝|a－b|.
(2)必要性：
设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形，则|a＋b|＝||，|a－b|＝||.
∵|a＋b|＝|a－b|，∴||＝||.
∴OBCA为矩形．∴a的方向与b的方向垂直．
2.1.4 向量数乘
示范教案
教学分析　　　　　
向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．
2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．
重点难点　　　　　
教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；
2．理解并掌握向量的线性运算．
教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质．我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．
思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．
推进新课　　　　　
活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
对问题(1)，学生通过作图1可发现，＝＋＋＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a＋a记作3a，即＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图1可知，
图1
＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，
即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.
已知(图2)，把线段AB三等分，分点为P，Q，则
图2
＝，AQ＝，＝－.
由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：
定义　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.
λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0(图3)．
图3
λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．
设λ、μ为实数，那么
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b同方向时，有b＝μa；当a与b反方向时，有b＝－μa.
关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．
讨论结果：
(1)数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定．
(2)它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．
(3)略．(4)略．
例1设a，b为向量，计算下列各式：
(1)－×3a；
(2)2(a－b)－(a＋b)；
(3)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)．
活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
解：(1)原式＝(－×3)a＝－a.
(2)原式＝2a－2b－a－b＝(2a－a)－(2b＋b)＝a－b.
(3)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.
点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
　计算下列各式：
(1)(－2)×a；(2)2(a＋b)－3(a－b)；(3)(λ＋μ)(a－b)－(λ－μ)(a＋b)．
解：(1)(－2)×a＝(－2×)a＝(－1)a＝－a.
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－3a＋3b
＝(2a－3a)＋(2b＋3b)＝－a＋5b.
(3)(λ＋μ)(a－b)－(λ－μ)(a＋b)
＝λ(a－b)＋μ(a－b)－λ(a＋b)＋μ(a＋b)
＝λa－λb＋μa－μb－λa－λb＋μa＋μb＝2μa－2λb.
2如图4所示，已知＝3，＝3，说明向量与的关系．
图4
解：因为＝＋
＝3＋3
＝3(＋)
＝3，
所以与共线且同方向，长度是的3倍．
3如图5，?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？
图5
活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．
解：在?ABCD中，
∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，＝＝a＋b，
＝－＝－＝－a＋b.
点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．
4凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：＝(＋)．
活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．
解：方法一：过点C在平面内作＝，
则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点．(如图6)
图6
∴EF是△ADG的中位线．
∴EFDG.
∴＝.而＝＋＝＋，∴＝(＋)．
方法二：如图7，连接EB、EC，则有＝＋，＝＋，
图7
又∵E是AD的中点，
∴有＋＝0，即有＋＝＋.
以与为邻边作EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点．
∴＝＝(＋)＝(＋)．
点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用.
变式训练
　若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)
A．|2a|>|2a＋b|　　　　　　　 B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
答案：C
1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．
2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．
课本本节练习A　2,3.
1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反．
2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．
一、向量的数乘运算律的证明
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有
(1)λ(μa)＝(λμ)a；①
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③
证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．
如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.
所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．
(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．
如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：
当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以
|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.
由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．
如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．
还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．
(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.
当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：
当λ>0且λ≠1时如图8，在平面内任取一点O作＝a，＝b，＝λa，＝λb，则＝a＋b，＝λa＋λb.
图8
由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||.
所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.
因此O、B、B1在同一条直线上，||＝|λ|，与λ的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.
当λ<0时，由图9可类似证明λ(a＋b)＝λa＋λb.
图9
所以③式也成立．
二、备用习题
1.[(2a＋8b)－(4a－2b)]等于(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于(　　)
A.a B．－6a
C．6a D．－a
3．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则用a、b表示的形式是＝________.
4．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若＋＋＝e1－e2，则＋＋＝________.
5．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，
求证：＝(a＋b＋c)．
参考答案：
1．B　2.C　3.－a＋b　4.e1－e2
5．证明：连接AG并延长，设AG交BC于M.
∵＝b－a，＝c－a，＝c－b，
∴＝＋＝(b－a)＋(c－b)＝(c＋b－2a)．
∴＝＝(c＋b－2a)．∴＝＋＝a＋(c＋b－2a)＝(a＋b＋c)．
2.1.5　向量共线的条件与轴上向量坐标运算
示范教案
教学分析　　　　　
本小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线(平行)、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等．这些知识看似简单，但极为重要．这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．
向量的平行是用向量的基线平行定义的，并规定零向量可以与任意一个向量平行．从这里可以看出引入向量基线的作用，引入基线，主要是逻辑上的考虑，我们把向量平行建立在直线平行的基础上．这样，向量与几何紧密相连，又可避开直接用方向来定义向量的平行．平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明，教学时没有必要补充证明．轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出．一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念．理解轴上向量与其实数(坐标)的一一对应关系．书中没有提及轴上向量的减法运算，它应包含在加法运算之中．轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过，这里用向量再重新推导，目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆，提高学生对这些公式的理性认识．
三维目标　　　　　
1．通过探究向量共线的条件，理解向量平行(共线)概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题．
2．理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标．建立轴上向量与实数的一一对应关系．
3．通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算．
教学难点：对向量共线条件的理解运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接引入)在学习向量概念时，我们已给出向量共线的概念，即：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行(图1)．那么向量平行会有什么条件呢？由此展开新课．
图1
思路2.(问题引入)前面我们一起探究了向量加减法运算、向量的数乘运算以及它们的运算律，更重要的是探究了它们的几何意义．那么向量2a与向量3a的位置关系怎样？由此进入向量平行的探究．
推进新课　　　　　
向量共线的条件
活动：教师引导学生探究，由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知，可得平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
如图2，如果a＝2b，则a∥b；如果c＝－2b，则c∥b；
图2
如果d∥b，d的长度是b的长度的一半，并且方向相反，则d＝－b.
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量．如果a的单位向量记作a0(图3)，由数乘向量的定义可知
图3
a＝|a|a0或a0＝.
由于零向量的方向不定，在处理平行问题时，零向量与任何一个向量平行．正因为如此，关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．
应注意，这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．也就是说：直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
讨论结果：(1)略．
(2)略．
轴上向量的坐标及其运算
活动：教师与学生一起探究轴上向量这个概念，让学生一定区分开它与数轴的概念的不同．这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线．与数轴不同的是这里没有规定原点，仅是方向和长度单位．如图4.
图4
已知轴l.取单位向量e，使e的方向与l同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使
a＝xe.
反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．
给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x∈R}．
这里的单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数；当a与e反方向时，x是负数．
例如，＝3e，＝－2e，则在l上的坐标是3，在l上的坐标是－2.
于是，在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系．至此，我们就可用数值来表示向量．这一点特别重要，我们在解析几何初步中已经指出，如果点的位置不能用数值来表示，要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的．这里，我们奠定了向量的数量化基础，以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化．这样，我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了．
有了以上轴上向量的概念，教师引导学生自然地进行一些公式的推导与运算．
设a＝x1e，b＝x2e，于是：
如果a＝b，则x1＝x2；
反之，如果x1＝x2，则a＝b；
另外，a＋b＝(x1＋x2)e.
这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．
设e是轴l上的一个基向量(图5).的坐标又常用AB表示，这时
＝ABe.
显然＝BAe，AB是BA绝对值相同，符号相反，即
AB＋BA＝0.
设e是l上的一单位向量(图5)，在l上任取三点A，B，C，则
图5
＋＝，
ABe＋BCe＝ACe，
(AB＋BC)e＝ACe.
因为e≠0，所以AB＋BC＝AC.①
公式①在解析几何初步一章中已经得到，尽管形式非常简单，但极为重要．我们已经看到它是我们研究解析几何、三角的基础．这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式．
有了轴上向量的概念，我们可以用向量的观点，重新认识一下我们在初中学习过的数轴．
在轴x上选一定点O作为原点，就成为我们学过的数轴(图6)．
图6
设e是轴x的基向量，向量a平行于x轴，以原点O为始点作＝a，则点P的位置被向量a所唯一确定，由平行向量基本定理知道，存在唯一的实数x，使
＝xe.
数值x是点P的位置向量在x轴上的坐标，也就是点P在数轴x上的坐标；反之亦然．
如图7，如果点P的坐标为3，则点P的位置向量的坐标也为3.
图7
在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2(图7)，于是由公式①，得
AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1.
即AB＝x2－x1.②
这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
根据公式②，又可以得到数轴上两点的距离公式
|AB|＝|x2－x1|③
由于数轴是中学阶段第一个数形结合的工具，也是中学阶段最重要的数学概念之一，在这里引导学生重新对以上公式进行推导，提高了学生对这些基本公式的理解和记忆，提高了学生对这些公式的理性认识．
讨论结果：(1)(2)(3)略．
思路1
例1如图8，MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC，且MN∥BC.
图8
证明：因为M，N分别是AB，AC边上的中点，所以＝，＝，
＝－＝－＝(－)＝.
所以MN∥BC，MN＝BC.
点评：解完本例后，让学生总结领悟用向量证明平面几何问题的思想方法.
变式训练
1．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－　　　　　　　　 B．－＋2
C.－ D．－＋
答案：A
2.如图9，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，求证：存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ) .
图9
证明：如图9，因为向量与向量共线，根据向量共线定理，可知＝λ.
即－＝λ(－)，
＝λ＋－λ，
＝λ＋(1－λ) .
点评：本例给出了判断三点共线的一个方法.
例2已知a＝3e，b＝－2e.试问向量a与b是否平行？并求|a|∶|b|.
解：由b＝－2e，得e＝－b，代入a＝3e，得
a＝－b.因此，a与b平行，且|a|∶|b|＝.
3已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是4，－2，－6，求，，的坐标和长度(图10)．
图10
解：AB＝(－2)－4＝－6，||＝|－6|＝6；
BC＝－6－(－2)＝－4，||＝|－4|＝4；
CA＝4－(－6)＝10，||＝|10|＝10.
1．先让学生回顾本节学习的数学知识和方法：向量平行的条件、轴上向量、确定轴上点的位置、基本公式等．体会本节学习中用到的思想方法．特别是用新学向量知识重新认识过去所学内容，是真正的温故知新，是对原知识的再提高，而不是把新知识与过去知识割裂开来，对学生理性思维的提高具有重大意义．
2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．
课本本节练习A组　2,3,4.
1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．由学生探究向量平行的特例，得到向量平行的条件．向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．认识了轴上向量与数轴的不同，重新推导了几个公式．
2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．
3．本节内容和方法具有丰富的内涵，不同层次的学生在这里都能有不同的提高．同时，本内容又是加强学生自主学习、合作学习的最佳平台，应充分利用好本节的教育功能．绽放出更为深层的智慧火花．
一、新课标下教师的角色定位
1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源．
2．教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题，指导学生和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯．在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究．
3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导，鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力，正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足．
二、备用习题
1．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
2．对判断向量a＝－2e与b＝2e是否共线？有如下解法：
解：∵a＝－2e，b＝2e，∴b＝－a.
∴a与b共线．请根据本节所学的共线知识给以评析．如果解法有误，请给出正确解法．
3．如图11，已知任意两个非零向量a、b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
图11
4．根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
(1)＝；(2)＝；(3)＝，且||＝||.
参考答案：
1．C
2．分析：乍看上述解答，真是简单明快．然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e并无任何限制，那么就应允许e＝0，而当e＝0时，显然，a＝0，b＝0，此时，a不符合定理中的条件，且使b＝λa成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b＝λa成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线．可见，对e＝0的情况应另法判断才妥．
综上分析，此题应解答如下：
解：(1)当e＝0时，则a＝－2e＝0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，
∴此时a与b共线．
(2)当e≠0时，则a＝－2e≠0，b＝2e≠0，
∴b＝－a〔这时满足定理中的a≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b＝λa成立〕．
∴a与b共线．
综合(1)(2)，可知a与b共线．
3．解：如图12，分别作向量、、，过点A、C作直线AC.观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
图12
事实上，因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2.
所以A、B、C三点共线．
4．(1)四边形ABCD为平行四边形，证略．
(2)四边形ABCD为梯形．(见图13)
证明：因为＝，
所以AD∥BC，且AD≠BC.所以四边形ABCD为梯形．
图13
　　
(3)四边形ABCD为菱形．
证明：如图14，因为＝，
图14
所以AB∥CD，AB＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||，所以ABCD为菱形．
点评：本题是用向量的性质判断图形的几何性质．
2.2.1 平面向量基本定理
示范教案
教学分析　　　　　
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．
教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．
三维目标　　　　　
1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．
2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．
3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．
教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？
推进新课　　　　　
(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？
(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？
(1)　　　　　　　　　(2)
图1
活动：如图1(2)，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得＝λ1e1，＝λ2e2.由于＝＋，所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e1，e2是两个不平行的向量，容易看出
＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，
＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2.
图2
由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使
a＝a1e1＋a2e2.
教师强调：①我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式；
②基底不唯一，关键是不共线；
③由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；
④基底给定时，分解形式唯一．
接下来教师可引导学对该定理给出证明．
证明：在平面内任取一点O(如图3)，作＝e1，＝e2，＝a.
图3
由于e1与e2不平行，可以进行如下作图：
过点A作OE2的平行(或重合)直线，交直线OE1于点M，过点A作OE1的平行(或重合)直线，交直线OE2于点N，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a1，a2，分别有＝a1e1，＝a2e2，
所以a＝＝＋＝a1e1＋a2e2.
证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x，y使＝xe1＋ye2，
则a1e1＋a2e2＝xe1＋ye2，即(x－a1)e1＋(y－a2)e2＝0.
由于e1与e2不平行，如果x－a1，y－a2中有一个不等于0，不妨设y－a2≠0，则e2＝－e1，由平面向量基本定理，得e1与e2平行．这与假设矛盾，因此x－a1＝0，y－a2＝0，即x＝a1，y＝a2.
讨论结果：(1)(2)略．
思路1
例 1如图4，ABCD中，＝a，＝b，H、M分别是AD、DC的中点，F使BF＝BC，以a，b为基底分解向量与.
图4
解：由H、M、F所在位置，有
＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
＝－＝＋－＝＋－
＝＋－
＝a－b.
点评：以a、b为基底分解向量与，实为用a与b表示向量与.
变式训练
　已知?ABCD的两条对角线相交于点M，设＝a，＝b.试用基底{a，b}表示，，和(图5)
图5
解：因为＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b，
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
例 2 如图6，质量为10 kg的物体A沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g＝10 m/s2)
图6
解：物体受到三个力：重力，斜面支持力，滑动摩擦力.把重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力.因为物体做匀速运动，所以＝－，＝－.
因为||＝10(kg)×10(m/s2)＝100(N)，
||＝||·sin30°＝100×＝50(N)，
||＝||·cos30°＝100×＝50(N)，
所以||＝||＝50(N)，||＝||＝50(N)．
答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 N，方向与斜面垂直向上．
例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．
解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．
答案：B
点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.
变式训练
　如图7，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足 …(　　)
图7
A．a>0，b>0　　　　　　　 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：∵点P落在第Ⅲ部分，
∴在直线OP1上的分向量与同向，在直线OP2上的分向量与反向．∴a>0，b<0.
答案：B
思路2
例 1如图8，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.
图8
活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：
推论1：e1与e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
推论2：e1与e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a1，a2，b1，b2，使得a＝a1e1＋a2e2＝b1e1＋b2e2，则
解：∵＝＋，＝＋，
∴由＋2＋3＝0，得(＋)＋2(＋)＋3＝0.
∴＋3＋2＋3＝0.又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，
设＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0.∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
由于和不共线，∴∴
∴＝－＝.
∴＝＋＝2＝2a.
点评：这里选取，作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e1＋λ2e2＝0的形式来解决.
变式训练
　设e1与e2是两个不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－2e1＋5e2，若实数λ、μ满足λa＋μb＝5e1－e2，求λ、μ的值．
解：由题设λa＋μb＝(3λe1＋4λe2)＋(－2μe1＋5μe2)＝(3λ－2μ)e1＋(4λ＋5μ)e2.
又λa＋μb＝5e1－e2，
由平面向量基本定理，知
解之，得λ＝1，μ＝－1.
例 2如图9，△ABC中，AD为△ABC边上的中线且AE＝2EC，求及的值．
图9
活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．
解：设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.①
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又＝，∴＝＋.②
比较①②，∵、不共线，
∴解之，得
∴＝4，＝.
点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．
3已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图10)，求证：对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底{，}的分解式为
＝(1－t)＋t.　　　　　　　　　　 　　　①
并且，满足①式的点P一定在l上．
证明：设点P在直线l上，则由平面向量基本定理知，存在实数t，使＝t＝t(－)．
图10
所以＝＋＝＋t－t.
所以点P满足等式＝(1－t)＋t，即有＝t，即P在l上．
点评：由本例可知，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式①；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式①叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
在①中，令t＝，点M是AB的中点，则
＝(＋)．
这是线段AB的中点的向量表达式．这个公式很重要，应让学生理解并记忆.
变式训练
　过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q，设＝h，＝k，试证：＋＝3.
证明：设＝a，＝b，OG交AB于D，则＝(＋)＝(a＋b)(图略)．
∴＝＝(a＋b)，＝－＝(a＋b)－kb＝a＋b，＝－＝ha－kb.
∵P、G、Q三点共线，∴＝λ.
∴a＋b＝λha－λkb.∴
两式相除，得＝－k＋h＝3hk，∴＋＝3.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．
课本本节练习B组　2,3.
1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示．
2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．
3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．
一、三角形中三条中线共点的证明
如图11所示，已知在△ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.
图11
求证：AD、BE、CL三线共点．
分析：欲证三条中线共点，只需证明C、P、L三点共线．
证明：设＝a，＝b，则＝b，＝－＝－a＋b.
设＝m，则＋＝m(＋)，
＝(－1＋m)＋m＝(－1＋m)a＋m[(b－a)]＝(－1＋m)a＋mb.①
又设＝n，则－＝n(＋)，
∴＝(1－n)＋n＝－(1－n)a＋n(b－a)＝(－－n)a＋nb.②
由①②，得解之，得
∴＝－a＋b＝(－a＋b)＝.
∴C、P、L三点共线．∴AD、BE、CL三线共点．
二、备用习题
1．如图12所示，已知＝，＝，用、表示，则等于(　　)
图12
A.＋ B．－＋
C．－－ D.－
2．已知e1，e2是两非零向量，且|e1|＝m，|e2|＝n，若c＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则|c|的最大值为(　　)
A．λ1m＋λ2n B．λ1n＋λ2m
C．|λ1|m＋|λ2|n D．|λ1|n＋|λ2|m
3．已知G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，且＝e1，＝e2，＝e3，则等于(　　)
A.(e1＋e2＋e3) B.(e1＋e2＋e3)
C.(e1＋e2＋e3) D．－(e1＋e2＋e3)
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
5．已知向量a、b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．C、B、D D．A、C、D
6．如图13，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
图13
参考答案：1.B　2.C　3.B　4.B　5.A　6.6
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
示范教案
教学分析　　　　　
1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．
2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．通过复习基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念．
3．本节内容的教学应引导学生自己推导运算法则，并要求学生熟练地掌握向量的坐标运算．让学生通过平面向量基本定理重新认识平面直角坐标系．用三角函数的定义，初步建立向量与长度、角度之间的联系，认真向学生分析向量的坐标与点坐标之间的关系．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法，理解正交分解的概念，理解并掌握平面向量的坐标运算，掌握线段的中点公式的坐标表示．
2．通过平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，通过本节的学习，更深层次的理解数形结合的数学思想方法．
3．在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量的坐标运算．
教学难点：向量坐标运算的灵活应用．
　课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比引入)在物理学中，有这样的例子，如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段．类比物理学上的这种分解，本节我们将学习两个向量的基底互相垂直的特例，由此展开新课．
思路2.(直接引入)上一节我们学到，平面向量基本定理，即如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2(可让学生复述)，即把一个向量分解．这里不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形．显然如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来极大方便，这种分解就是我们本节要探究的一种重要分解，叫做正交分解，由此引入新课．
推进新课　　　　　
向量的直角坐标
?1?什么是正交基底？什么是正交分解？
?2?用向量的观点重新认识直角坐标系，你有什么新的发现？
?3?在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数?即它的坐标?表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？
活动：如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单．现在，让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的直角坐标系．
在直角坐标系xOy内(如图1)，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．e1和e2分别是与x轴和y轴同方向的单位向量．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
图1
在坐标平面xOy内(如图1)，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，
(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标．即a＝(a1，a2)．
其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．分别过向量的始点、终点作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为A1，B1和A2，B2.坐标分量a1为向量在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量在y轴上的坐标．显然
0＝(0,0)，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
设向量a＝(a1，a2)，a的方向相对于x轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知a1＝|a|cosθ，a2＝|a|sinθ.
图2
在直角坐标系中(如图2)，一点A的位置被点A的位置向量所唯一确定．设点A的坐标为(x，y)，容易看出＝xe1＋ye2＝(x，y)，
即点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标；反之，点A的坐标也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标．
由上面的探究，符号(x，y)在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．
讨论结果：(1)～(2)略．
(3)平面内的任一向量a都可由坐标唯一确定，是一一对应的关系．
向量的直角坐标运算
有了上面的坐标表示，我们自然会想，能对两个向量进行加、减、数乘运算吗？请试一试，看看有什么新发现？
活动：教师引导学生自己探究两个向量的加、减、数乘运算，教师给予适时的点拨，学生很容易推得：
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1e1＋a2e2)＋(b1e1＋b2e2)＝(a1＋b1)e1＋(a2＋b2)e2，
即a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)．
同样有a－b＝(a1－b1，a2－b2)，
又λa＝λ(a1e1＋a2e2)＝λa1e1＋λa2e2.
所以又得
a－b＝(a1－b1，a2－b2)，　
λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)．
上述向量的坐标运算公式，也可以用语言分别表述为：
两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；
数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
讨论结果：通过探究，我们发现：
(1)向量的加、减、数乘运算，在平面直角坐标系中，完全可以代数化，这给我们的研究带来极大的方便．为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：
a＝xi＋yja的坐标为(x，y)?a＝，A(x，y)．
(2)我们还能得到如下公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量的模为||＝.这即为教材中的例2.如图3.
图3
(3)我们还能得到线段中点的坐标公式．如图3，让学生自己推得．
在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB中点为M(x，y)，则＝(＋)．
上式换用向量的坐标，得(x，y)＝[(x1，y1)＋(x2，y2)]，即x＝，y＝.
这就是线段中点的坐标公式，简称中点公式．教材上以例3的方式给出的．应让学生理解并掌握这个公式．
思路1
例 1已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标．
活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．
解：a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)；
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)
＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．
点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.
变式训练
　已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)
A．(－2，－1)　　　　　　　　　 B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案：D
例 2如图4，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．
图4
活动：本例是让学生熟悉平面向量的坐标运算，这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．
解：方法一：如图4，设顶点D的坐标为(x，y)．
∵＝－＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．
由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)．
∴∴
∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法二：如图4，由向量加法的平行四边形法则，可知
＝＋＝＋＝－＋－
＝(－2,1)－(－1,3)＋(3,4)－(－1,3)
＝(3，－1)，
而＝＋＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，
∴顶点D的坐标为(2,2).
变式训练
　如图5，已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．
图5
解：当平行四边形为ABCD时，仿例2得：D1(2,2)；
当平行四边形为ACDB时，仿例2得：D2(4,6)；
当平行四边形为DACB时，仿上得：D3(－6,0).
例 3在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图6所示．分别求出它们的坐标．
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则
图6
a1＝|a|cos45°＝2×＝，
a2＝|a|sin45°＝2×＝；
b1＝|b|cos120°＝3×(－)＝－，
b2＝|b|sin120°＝3×＝；
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－)＝－2.
因此a＝(，)，b＝(－，)，c＝(2，－2)．
例 4在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2)，点B(－2,4)，求向量＋的方向和长度(图7)．
图7
解：由已知可得＝(3,2)，＝(－2,4)．
设＝＋，则＝＋＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)．
由两点的距离公式，得||＝＝.
设的相对x轴正向的转角为α，则tanα＝＝6，得α＝arctan6.
因此，向量＋的方向偏离x轴正方向为arctan6，长度等于.
思路2
例 1在△ABC中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．
解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，
设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得＝0，＝0，
∴x＝－3，y＝－5，
即C点坐标为(－3，－5)．
(2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综合(1)(2)，知C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
例 2已知点A(1,2)，B(4,5)，O为坐标原点，＝＋t.若点P在第二象限，求实数t的取值范围．
解：由已知＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)．
∴＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．
若点P在第二象限，则－故t的取值范围是(－，－)．
点评：此题通过向量的坐标运算，将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围.
变式训练
　已知＝(cosθ，sinθ)，＝(1＋sinθ，1＋cosθ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范围．
解：∵＝－
＝(1＋sinθ，1＋cosθ)－(cosθ，sinθ)
＝(1＋sinθ－cosθ，1＋cosθ－sinθ)，
∴||2＝(1＋sinθ－cosθ)2＋(1＋cosθ－sinθ)2
＝[1＋(sinθ－cosθ)]2＋[1－(sinθ－cosθ)]2
＝2＋2(sinθ－cosθ)2
＝2＋2(1－2sinθcosθ)
＝4－4sinθcosθ
＝4－2sin2θ.
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π.
从而－1≤sin2θ≤1.
∴4－2sin2θ∈[2,6]．
故||的取值范围是[，].
例 3已知a＝(3,4)，b＝(－1,4)，求a＋b，a－b,2a－3b的坐标．
解：a＋b＝(3,4)＋(－1,4)＝(2,8)，
a－b＝(3,4)－(－1,4)＝(4,0)，
2a－3b＝2(3,4)－3(－1,4)＝(6,8)－(－3,12)＝(9，－4)．
4已知A(－2,1)，B(1,3)，求线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标(如图8)．
图8
解：因为＝－＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)，
所以＝(＋)＝[(－2,1)＋(1,3)]＝(－，2)；
＝＋＝(－2,1)＋(3,2)＝(－1，)；
＝＋＝(－2,1)＋(3,2)＝(0，)．
因此M(－，2)，P(－1，)，Q(0，).
变式训练
　若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于(　　)
A．(1,1)　　　　　　　　 B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
答案：B
1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，线段的中点公式的坐标表示，用向量的观点重新认识平面直角坐标系，明确了向量坐标与点的坐标的异同．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．
课本本节练习A组　2～4.
1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．
一、求点P分有向线段所成的比的几种求法
(1)定义法：根据已知条件直接找到使＝λ的实数λ的值．
例 1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB到P，使||＝3||，求点P的坐标．
解：因为点在AB的延长线上，P为的外分点，所以＝λ，λ<0，又根据||＝3||，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3)．
(2)公式法：依据定比分点坐标公式．
x＝，y＝，结合已知条件求解λ.
例 2已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，求点P(，y)分所成的比λ及y的值．
解：由线段的定比分点坐标公式，得解得
二、备用习题
1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b等于(　　)
A．(7,1) B．(－7，－1)
C．(－7,1) D．(7，－1)
2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x，y)，若和是相反向量，则D点的坐标是 (　　)
A．(－2,0) B．(2,2)
C．(2,0) D．(－2，－2)
3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使＝λ的实数λ的值为(　　)
A．1 B．－2
C．0 D．2
4．已知A、B、C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－2 B．9
C．－9 D．13
5．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且＝2，则x＝________，y＝________.
6．已知ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,1)，则的坐标(O为对角线的交点)为________．
7．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试问：当λ为何值时，点P在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P在第三象限内？
参考答案：
1．B　2.B　3.D　4.C　5.4　　6.(－，－4)
7．解：∵＝(3,1)，＝(5,7)，
∴＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)．而＝＋λ(已知)，
∴＝＋＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λλ＝；
(2)若点P在第三象限内，则λ∈(－∞，－1)．
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
示范教案
教学分析　　　　　
1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．
2．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究活动，理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．
2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，会通过图形和平面向量基本定理推导两向量平行的坐标表示．
3．通过平行向量的坐标表示的探究，进一步加深学生对向量共线的认识，培养学生的运算能力，提高学生的数学素养．
重点难点　　　　　
教学重点：会推导两向量平行的坐标表示．
教学难点：掌握判断两个向量平行(或共线)的条件．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接引入)观察a＝(1,2)，b＝(2,4)，这两个向量的坐标成比例，试问这两个向量平行吗？向量c与向量a平行，它们的坐标之间有些什么关系？由此展开新课．
思路2.(复习引入)上节课我们知道，如果向量起点与坐标原点重合，那么点A的位置可通过其坐标来反映．向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行是否也能通过坐标来研究呢？由此引入新课．
推进新课　　　　　
活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给予必要的点拨，可先通过实例引入，如图1，a＝(1,2)，b＝(2,4)这两个向量坐标成比例，这两个向量平行，向量c与向量a平行，让学生观察它们的坐标有什么关系．然后推广到一般进行探究．
图1
我们知道，当b≠0时，如果a∥b，则存在唯一实数λ使a＝λb；反之，如果存在一个实数λ，使a＝λb，则a∥b.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即消去λ后，得x1y2－x2y1＝0.
这就是说，当且仅当x1y2－x2y1＝0时向量a、b(b≠0)共线，这就是两个向量平行的条件．
我们还知道x1y2－x2y1＝0与x1y2＝x2y1是等价的，但这与＝是不等价的．
因为当x1＝x2＝0时，x1y2－x2y1＝0成立，但与均无意义．
因此＝是向量a、b共线的充分不必要条件．
由此也看出x1y2－x2y1＝0的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．
讨论结果：(1)x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线．
(2)充分不必要条件．
活动：教师引导推证：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠a，
由a＝λb，(x1，y1)＝λ(x2，y2)?消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
讨论结果：a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
教师应向学生特别提醒感悟：
1°消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°充要条件不能写成＝(∵x1、x2有可能为0)．
3°向量共线的充要条件有两种形式：
a∥b(b≠0)
例 1已知＝(2,5)和向量a＝(1，y)，并且向量∥a.求y.
解：因为∥a，所以1×5－2×y＝0，解此方程得y＝.
点评：提醒学生注意共线向量条件的坐标表示式的形式，防止记忆错误.
变式训练
　已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．(2，)　　　　　　　　　　B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
答案：A
例 2已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．
活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．
解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线．下面给出证明．
∵＝－＝(1,3)－(－1，－1)＝(2,4)，
＝－＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
又2×6－3×4＝0，
∴∥，且直线AB、直线AC有公共点A，
∴A、B、C三点共线．
点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．教师可借此总结一下证明三点共线的方法.
变式训练
1．已知a＝(4,2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y.
解：∵a∥b，
∴4y－2×6＝0.∴y＝3.
2．在直角坐标系xOy内，已知A(－2，－3)，B(0,1)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线．
证明：由已知条件，得
＝(0,1)－(－2，－3)＝(2,4)，
＝(2,5)－(－2，－3)＝(4,8)．
因为2×8－4×4＝0，
所以∥，且直线AB与直线AC有公共点A.
因此A，B，C三点共线.
例 3已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，试推断是否存在实数k，使向量ka＋b与a－3b共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
活动：分别写出向量ka＋b和a－3b的坐标，利用向量共线的坐标表示可得到一个关于k的方程，方程有实根时k存在，否则，k不存在．
解：由已知ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b与a－3b共线，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，即24k＝－8，
∴k＝－.
故存在实数k＝－，使向量ka＋b与a－3b共线．
1．先由学生回顾本节学习的两个向量共线的坐标表示，以及运用它灵活解题的方法，体会坐标表示给我们解决问题带来的方便．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．
课本本节习题2—2　A组6　B组1～3.
1．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，提高分析问题、解决问题的能力．
2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．
3．通过平面向量坐标的代数运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，这样就将数与形紧密结合起来，使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算．
备用习题
1．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使＝λ的实数λ的值为(　　)
A．1 B．－2 C．0 D．2
2．设a＝(，sinα)，b＝(cosα，)，且a∥b，则α的值是(　　)
A．α＝2kπ＋(k∈Z) B．α＝2kπ－(k∈Z)
C．α＝kπ＋(k∈Z) D．α＝kπ－(k∈Z)
3．已知A、B、C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－2 B．9
C．－9 D．13
4．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？
5．如图2所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
图2
6．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
参考答案：
1．D　2.C　3.C
4．解：∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)．
∵∥，∴(4－k)(k－5)＋7×6＝0.
∴k2－9k－22＝0.
解得k＝11或k＝－2.
5．解：∵＝＝(0,5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝(2，)，∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵∥，∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，y－)，＝(4，)，
∵∥，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
6．证明：建立如图3所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
图3
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE(已知)，∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y>0，联立①②，解得即E(，)．
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝(，)．
∵F、C、E三点共线，∴∥.
∴(1－t)×－×1＝0，即t＝－1－.
∴AF＝OF＝1＋.
即AF＝AE.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
示范教案
教学分析　　　　　
向量的数量积有着明确的物理背景和几何意义，与距离、角度紧密相联，它是度量几何学的基础．如何度量距离和角度是几何学发展的两个强大动力．向量的数量积使度量几何上升到一个崭新的层面，使人们能更有效地用代数方法研究几何，向量的数量积已成为研究几何度量的强有力的工具．
这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，理解投影公式al＝|a|cosθ的意义和作用．
2．掌握数量积的定义、几何意义和5条基本性质．
3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量数量积的定义．
教学难点：平面向量数量积的定义及其5条基本性质．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(实例引入)在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝|F||s|cosθ
其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．
故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．
思路2.(类比引入)前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？由此展开新课探究．
推进新课　　　　　
(1)如图1，一个力F作用于一个物体，使该物体位移s，如何计算这个力所做的功？
图1
(2)怎样理解两个向量的夹角？它的范围是多少？
(3)什么是向量在轴上的正射影？其结果是什么？
(4)怎样理解向量的数量积的定义？a·b的运算结果仍是向量吗？
活动：由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是F在物体位移方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功，即力F使物体位移s所做的功W可以用W＝|s||F|cosθ计算．
其中|F|cosθ就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量．
以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积运算．
力做功的计算，涉及到两个向量夹角和向量在轴上射影的概念．下面对这两个概念给予较精确的阐述．
如图2，已知两个非零向量a，b(图2)，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
图2
当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直．记作a⊥b.
在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
对于向量在轴上的正射影问题，教师可与学生一起观察图形探究．
已知向量a和轴l(如图3)．作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．
图3
＝a在轴l上正射影记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有
al＝|a|cosθ.
关于向量的数量积(内积)的定义，这是本章的核心部分，教师首先强调其定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
然后引导学生观察分析这个定义，共同得出：
(1)两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零(如图4)．
图4
(2)若a为零向量，则|a|＝0，从而a·b＝0，故零向量与任一向量的数量积为0.
(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它与数的乘法运算有本质的区别，书写时要严格区分，不能把a·b与a·b混为一谈．
根据向量内积的定义，我们可以得到两个向量内积有如下重要性质：
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥ba·b＝0，且a·b＝0a⊥b；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cosθ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．
讨论结果：
(1)略(见活动)．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]．
(3)向量在轴上的射影仍是向量．
(4)略(见活动)．
思路1
例 1已知轴l(如图5)：
图5
(1)向量||＝5，〈，l〉＝60°，求在l上的正射影的数量OA1；
(2)向量||＝5，〈，l〉＝120°，求在l上的正射影的数量OB1.
活动：直接应用定义解题，本例可由学生自己探究完成．
解：(1)OA1＝5cos60°＝5×＝；
(2)OB1＝5cos120°＝5(－cos60°)＝5(－)＝－.
例 2 已知|a|＝5，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b.
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10.
点评：向量的数量积、模、夹角是一个有机的整体，可以相互转化，需要熟练掌握，这是解题的基本要求和主要内容.
变式训练
1．已知a、b是非零向量，且〈a，b〉＝，则向量p＝＋的模为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　　B.
C．2 D．3
答案：B
2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为__________．
答案：0
例 3已知平面上三点A、B、C满足||＝2，||＝1，||＝，求·＋·＋·的值．
活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找到所需条件．因为已知、、的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角．结合勾股定理可以注意到△ABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结果．
解：由已知，||2＋||2＝||2，所以△ABC是直角三角形．而且∠ACB＝90°，
从而sin∠ABC＝，sin∠BAC＝.
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°.
∴与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°.
故·＋·＋·
＝2×1×cos120°＋1×cos90°＋×2cos150°
＝－4.
点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的大小，而不是简单地看成两条线段的夹角，如例题中与的夹角是120°，而不是60°.
例 4已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
解：a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.
∵a2＝32＝9，b2＝42＝16，
∴9－16k2＝0.∴k＝±.
也就是说，当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．
点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件．
1．由学生回顾总结本节学习的数学知识，回顾本节是如何获取新知的，又是怎样巩固掌握新知的？
2．教师强调，将本节所学知识方法纳入知识系统中，并与前面学习的向量的加、减、数乘作比较，比较是最好的老师，它能指导我们进一步获取新知．
课本本节练习B组1,2　习题2—3A组1,2,3.
1．本节作为向量内容的核心部分，其重要性显而易见．本节教案的设计符合新课标理念．充分让学生探究，获取新知，体验发现的愉悦，本设计从物理中力的做功引入，自然流畅，符合学生认知特点．
2．教学时应注意常见的思维误区，正确理解向量夹角的定义．两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角．其范围是0≤〈a，b〉≤π.这点常常因理解模糊而导致错解．
3．两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法是有区别的，要特别强调其结果是实数，而不是向量．
备用习题
1．有下列四个命题：
①在△ABC中，若·>0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·>0，则△ABC为钝角三角形；
③△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0；
④△ABC为斜三角形的充要条件是·≠0.
其中为真命题的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
2．设|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为60°，则a在e方向上的射影为(　　)
A．4 B．4
C．4 D．8＋
3．已知m·n＝－3，|m|＝，|n|＝2，则〈m，n〉＝__________.
4．已知a，b为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝__________.
5．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，试判断这个三角形的形状．
参考答案
1．B　2.B　3.π－arccos　4.
5．解：由已知可得cos∠BAC＝＝＝.
∴∠BAC＝60°.
又∵||＝||＝4，
∴△ABC为等边三角形．
2.3.2 向量数量积的运算律
示范教案
教学分析　　　　　
上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算．学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框．学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律．
认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和．
2．通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题．
3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：向量数量积的运算律．
教学难点：向量数量积运算律的灵活运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接引入)从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更有意义．现在我们探索一下，看看它会有哪些运算律呢？
思路2.(特例引入)让学生计算a·b和b·a，其中|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝.
学生会发现向量运算满足交换律，进而探究是否满足其他的运算律呢？
推进新课　　　　　
?1?由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？
?2?我们知道，对任意a，b∈R，恒有?a＋b?2＝a2＋2ab＋b2，?a＋b??a－b?＝a2－b2.对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？
①?a＋b?2＝a2＋2a·b＋b2；
②?a＋b?·?a－b?＝a2－b2.
活动：首先看看它有没有交换律a·b＝b·a.
由向量数量积的定义，得|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ，可以直接推出交换律成立．
在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了．向量的数量积是否具有分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c?
直观上，不太容易看出它是否成立．让我们从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立．
我们知道，一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正射影的数量．如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变为
(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0.①
证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正射影的数量等于各个向量在这个方向上的射影的数量和．
为此，我们画出①式两边的几何图形(图1)，看看能否推出①式两边相等．
图1
作轴l与向量c的单位向量c0平行．
作＝a，＝b，则＝a＋b.
设点O，A，B在轴l上的射影为O，A′，B′，根据向量的数量积的定义有
OA′＝·c0＝a·c0，
A′B′＝·c0＝b·c0，
OB′＝·c0＝(a＋b)·c0，
但对轴上任意三点O，A′，B′，都有OB′＝OA′＋A′B′，
即(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0，
这就证明了①式成立．
①式两边同乘以|c|，得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
至此，我们完成了分配律的探索与证明．
另外，容易验证数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
至此，我们探究并证明了数量积的运算律：
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
应向学生特别指出：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bca＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图2很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
图2
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．
讨论结果：(1)数量积满足a·b＝b·a(交换律)；
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(2)1°(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2；
2°(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
显然由1°式解出：3°a·b＝((|a＋b|)2－|a|2－|b|2)．
此时可向学生点明(2)中的三个向量表达式，有着深刻的几何意义．后面马上就要学到．
思路1
例 1在△ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c.
证明：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
活动：根据上面的讨论结果，教师指导学生自己完成证明．
证明：如图3，设＝c， ＝a， ＝b，
图3
则a2＝|a|2＝||2＝·
＝(－)·(－)
＝(b－c)·(b－c)
＝b·b＋c·c－2b·c
＝|b|2＋|c|2－2|b||c|cosA
＝b2＋c2－2bccosA.
同理可证其他二式．
点评：这就是上面讨论结果②中1°，3°的式子，我们把这个结果称为余弦定理，以后我们还要专门讨论它的意义，教材把它放到必修5中去了，以便那个时候再返回到低的层面上循环.
变式训练
1．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C.　　　　　　D.
答案：C
2．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．
解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2
＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.
例 2求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线(图4)．
图4
求证：AC⊥BD.
证明：因为＝＋，
＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2.
因为||＝||，所以·＝0.
因此AC⊥BD.
点评：上面讨论结果②中的3°式，作出图来，显示的即为平行四边形的性质．当等式右边等于0时，也就证明了菱形的对角线互相垂直，这点可对学有余力的学生点明一下．
思路2
例 1已知在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝c·d＝b·c＝d·a，试问四边形ABCD的形状如何？
解：∵＋＋＋＝0，
即a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)．
由上可得(a＋b)2＝(c＋d)2，
即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又∵a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.
同理可得a2＋d2＝b2＋c2.
由上两式可得a2＝c2，且b2＝d2，
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA，
∴ABCD是平行四边形．
故＝－，即a＝－c.
又a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即⊥.
综上所述，ABCD是矩形．
点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．
例 2已知a，b是两个非零向量，且|a|－|b|＝|a＋b|，求向量b与a－b的夹角．
活动：教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则，画出以a，b为邻边的?ABCD，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.由|a|－|b|＝|a＋b|，可知∠ABC＝60°，b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算，得出向量b与a－b的夹角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用另外一种角度来思考问题，教师给予必要的点拨和指导，即由cos〈b，a－b〉＝作为切入点，进行求解．
解：∵|b|＝|a＋b|，|b|＝|a|，∴b2＝(a＋b)2.
∴|b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∴a·b＝－|b|2.
而b·(a－b)＝b·a－b2＝－|b|2－|b|2＝－|b|2，①
由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|b|2－2×(－)|b|2＋|b|2＝3|b|2，
而|a－b|2＝(a－b)2＝3|b|2，
∴|a－b|＝|b|.②
∵cos〈b，a－b〉＝，
代入①②，得cos〈b，a－b〉＝－＝－.
又∵〈b，a－b〉∈[0，π]，∴〈b，a－b〉＝.
变式训练
　设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．
解：∵a⊥c，∴a·c＝0.
又c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，
即|c|2＝ma·c＋nb·c.∴|c|2＝nb·c.
由已知|c|2＝16，b·c＝－4，
∴16＝－4n.∴n＝－4.
从而c＝ma－4b.
∵b·c＝|b||c|cos120°＝－4，
∴|b|·4·(－)＝－4.∴|b|＝2.
由c＝ma－4b，得a·c＝ma2－4a·b，
∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.①
再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2.
∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.②
联立①②得2m2＝12，即m2＝6.
∴m＝±.故m＝±，n＝－4.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识，通过回顾数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，探究得到了数量积的运算律．
2．教师进行简要总结本节学习的数学方法：归纳类比、数形结合等．我们通过类比实数的乘法运算，得到了数量积满足的三条运算律，并且这些运算律类似于实数的乘法运算律，很方便记忆和运用．
3．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题．如在探究完数量积满足的运算律之后，又接着探究了三个向量a，b，c，数量积不满足结合律，这点往往被学生忽视．
课本本节习题2.4　A组2、3、4.
1．本节是平面向量的核心部分，也是解决物理、几何问题的基础，其重要性显而易见，也是高考的热点之一．应让学生结合上节中数量积的定义、重要性质综合归纳整理一下，并进行必要的基础练习．
2．结合学生的归纳整合，教师根据学生掌握的情况可再次提醒几个常见思维误区，如向量夹角的定义、范围，三个向量的积的结合律问题等．以便学生更深层次地理解数量积的内涵和外延，切实掌握好数学概念．
3．对于本节教材中的例1可视教学情况作适度引申，尝试一下也不失为一种教法，对必修5的教学或许有意想不到的好处．
一、向量的向量积
在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：
两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：
(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；
(2)c垂直于平行四边形所在的平面；
(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.如图5.
图5
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则
a×b＝0.
向量的向量积服从以下运算律：
(1)a×b＝－b×a；
(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；
(3)(ma)×b＝m(a×b)．
二、备用习题
1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
2．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
3．在△ABC中，设＝b，＝c，则等于(　　)
A．0 B.S△ABC
C．S△ABC D．2S△ABC
4．设i，j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，如果(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________.
5．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
6．设|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为150°，求：
(1)(a－3b)·(2a＋b)；
(2)|3a－4b|.
7．已知|a|＝，|b|＝3，a与b的夹角为45°，且向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
8．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，求向量m＝2a＋b与n＝a－4b的夹角的余弦值．
解答：
1．A　2.D　3.D　4.－2　5.－13
6．(1)－30＋30；(2).
7．{λ|λ<或λ>}．
8．解：由向量的数量积的定义，得a·b＝2×1×cos＝1.
∵m＝2a＋b，
∴m2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×4＋1＋4×1＝21.
∴|m|＝.
又∵n＝a－4b，
∴n2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝12.
∴|n|＝2.
设m与n的夹角为θ，则m·n＝|m||n|cosθ.①
又m·n＝2a2－7a·b－4b2＝2×4－7－4＝－3.
把m·n＝－3，|m|＝，|n|＝2代入①式，得－3＝×2cosθ，
∴cosθ＝－，即向量m与向量n的夹角的余弦值为－.
2.3.3　向量数量积的坐标运算与度量公式
示范教案
教学分析　　　　　
这一节，主要是把数量积运算完全坐标化．向量的数量积，教材将其分为三部分．在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分中专门探究了数量积满足的运算律，在第三部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法，本节是向量数量积的第三部分．
前面我们学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示．一方面在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题．另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来．利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示．
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．
三维目标　　　　　
1．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．
3．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量数量积的坐标表示．
教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．
思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．
推进新课　　　　　
活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示．两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师与学生一起探究如下：
(1)向量内积的坐标运算
建立正交基底{e1，e2}．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e2·e1＋a2b2e2·e2.
因为e1·e1＝e2·e2＝1，e1·e2＝e2·e1＝0，
所以我们得到数量积的坐标表达式
a·b＝a1b1＋a2b2.
实际上，a1b1＋a2b2表示两个向量的数量积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是解析几何中一个重要的不变量．在度量几何中有着重要应用．这样，遇到几何中的度量问题，就可通过建立坐标系，用代数方法来处理．教学时引导学生自己推导数量积的坐标表达式．
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
如果a⊥b，则a·b＝0；反之，如果a·b＝0，则a⊥b.
上述两个向量垂直的条件，换用两向量的数量积坐标表示，即为：
如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；
如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b.
因此
a⊥ba1b1＋a2b2＝0.
有了这个条件，就可以通过计算数量积处理相关的垂直问题．引导学生写出向量(a1，a2)垂直的向量坐标形式，即：
当b1b2≠0时，条件a1b1＋a2b2＝0，可以写成＝＝k.
这就是说，如果a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行，上式中的k是比例系数．于是得到：
对任意实数k，向量k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．
(3)向量的长度、距离和夹角公式
引导学生自己推导公式．
如图1，已知a＝(a1，a2)，则|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a＋a.
图1
因此
|a|＝.①
这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．
这个公式用语言可以表述为：
向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
从而
||＝.②
的长就是A，B两点之间的距离，因此②式也就是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．
由向量数量积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数量积的定义，就可以直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式
cos〈a，b〉＝ .
讨论结果：略．
思路1
例 1 已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉．
活动：本例直接应用公式运算，可由学生自己完成．
解：a·b＝(3，－1)·(1，－2)＝3＋2＝5；
|a|＝＝＝；
|b|＝＝＝；
因为cos〈a，b〉＝＝＝，
所以〈a，b〉＝.
例 2已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，试判断△ABC的形状，并给出证明．
活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．
解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)三点，我们发现△ABC是直角三角形．下面给出证明．
∵＝(2－1,3－2)＝(1,1)，
＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
∴⊥.
∴△ABC是直角三角形.
变式训练
　在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．
解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论．
若∠A＝90°，则⊥，所以·＝0.
于是2×1＋3k＝0.故k＝－.
同理可求，若∠B＝90°时，k的值为；
若∠C＝90°时，k的值为.
故所求k的值为－或或.
例 3(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；
(2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b＝x1x2＋y1y2和模|a|＝，|b|＝的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝＝.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．
解：(1)＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又∵||＝＝3，||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
变式训练
　若点P分有向线段所成的比为－，则点B分有向线段所成的比是(　　)
A．－　　　　　B．－　　　　　C.　　　　　D．3
答案：A
例 4已知点A(a，b)与点A′(b，a)，求证：直线y＝x是线段AA′垂直平分线(图2)．
图2
活动：向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练．
证明：设线段AA′的中点为M(x，y)，则依据中点公式，有
x＝，y＝.
由此得x＝y，点M在直线y＝x上．在直线y＝x上，任取一点P，则可设P(x，y)，于是＝(x，x)．
又因为＝(b－a，a－b)，
所以·＝x(b－a)＋x(a－b)＝0.
所以⊥.
因此，直线y＝x是线段AA′的垂直平分线．
点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练
　求证：一次函数y＝2x－3的图象(直线l1)与一次函数y＝－x的图象(直线l2)互相垂直．
解：在l1：y＝2x－3中，令x＝1得y＝－1；令x＝2得y＝1，即在l1上取两点A(1，－1)，B(2,1)．
同理，在直线l2上取两点C(－2,1)，D(－4,2)，于是：
＝(2,1)－(1，－1)＝(2－1,1＋1)＝(1,2)，
＝(－4,2)－(－2,1)＝(－4＋2,2－1)＝(－2,1)．
由向量的数量积的坐标表示，可得
·＝1×(－2)＋1×2＝0，
∴⊥，
即l1⊥l2.
1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．
2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，如类比，分类讨论等，使自己的认识在这一大节知识方法的整合中得以提升．
课本本节习题2.4　A组8、9、10.
由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．
平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径．通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解，同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决实际问题的意识与能力．
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤?(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)．
不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)．
例 1(1)已知实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；
(2)已知实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．
解析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．
∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤·，
即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.
∴x2＋y2≥8，故x2＋y2的最小值是8.
(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.
由|m·n|≤|m||n|，得|2(x＋2)－y|≤·＝，即|t＋4|≤.
解得－4－≤t≤－4.故所求的最大值是－4.
答案：(1)8　(2)－4
例 2已知a，b∈R，θ∈(0，)，试比较＋与(a＋b)2的大小．
解：构造向量m＝(，)，n＝(cosθ，sinθ)，由|m·n|≤|m||n|得
(cosθ＋sinθ)2≤(＋)(cos2θ＋sin2θ)，
∴(a＋b)2≤＋.
同类变式：已知a，b∈R，m，n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2＋b2n2，令M＝，N＝a＋b，比较M、N的大小．
解：构造向量p＝(，)，q＝(n，m)，由|p·q|≤|p||q|得
(×n＋×m)2≤(＋)(m2＋n2)＝(m2＋n2)∴M>N.
例 3设a，b∈R，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得A∩B＝?与(a，b)∈C能同时成立．
解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足
设存在a和b满足①②两式，构造向量m＝(a，b)，n＝(n,1)．
由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)，
∴(3n2＋15)2≤144(n2＋1)?n4－6n2＋9≤0.
解得n＝±，这与n∈Z矛盾，故不存在a和b满足条件．
二、备用习题
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝，则x等于(　　)
A．3 B. C．－ D．－3
2．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　)
A．m> B．m<
C．m>－ D．m<－
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于
(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
5．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么a·b的值为__________．
6．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
7．已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC的面积．
参考答案：
1．C　2.D　3.B　4.B　5.－8
6．解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b) (a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0，①
又(a－4b)⊥(7a－2b) (a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0，②
①－②得46a·b＝23b2，即a·b＝＝.③
将③代入①，可得7|a|2＋8|b|2－15|b|2＝0，即|a|2＝|b|2，有|a|＝|b|，
∴若记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
7．分析：S△ABC＝||||sin∠BAC，而||，||易求，要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解：∵＝(2,0)，＝(3,4)，||＝2，||＝5，
∴cos∠BAC＝＝＝.∴sin∠BAC＝.
∴S△ABC＝||||sin∠BAC＝×2×5×＝4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；
探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；
大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；
学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；
学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；
教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．
2.4.1 向量在几何中的应用
示范教案
教学分析　　　　　
1．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．教学中，主要是通过例子说明向量在几何中的应用．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：
则向量方法的流程图可以简单地表述为：
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．
2．研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：
综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．
前三种方法都是中学数学中出现的内容．
有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．
三维目标　　　　　
1．通过书中例子，了解向量在平面几何中的应用，理解向量与直线平行、垂直的概念，直线斜率与直线方向向量间的关系．
2．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示，会求经过一点且与已知向量平行的直线方程．
3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．
重点难点　　　　　
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．
推进新课　　　　　
(1)平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
图1
(2)你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？
(3)你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？
活动：
(1)教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
(2)教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．
(3)由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
讨论结果：略
例 1如图2，已知平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
图2
证明：由已知可设＝＝a，＝＝b，则
＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a.
因为a＋b＝b＋a，所以＝，
即边AE，FC平行且相等．
因此，四边形AECF是平行四边形．
点评：解完此例后，教师应引导学生总结选择基底，用向量证明几何问题的思路.
变式训练
　如图3，AD、BE、CF是△ABC的三条高．求证：AD、BE、CF相交于一点．
图3
证明：设BE、CF相交于H，并设＝b，＝c，＝h，
则＝h－b，＝h－c，＝c－b.
因为⊥，⊥，
所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b.
化简得h·(c－b)＝0.
所以⊥.所以AH与AD共线，
即AD、BE、CF相交于一点H.
例 2求证：平行四边形对角线互相平分．
活动：在初中时，这个定理用三角形全等判定定理和平行线的性质证明过．这里，我们用向量运算的方法再证一次．虽然证明过程看上去并不简单，但证明过程给我们提供了用向量证明几何问题的一般方法．本例教师可直接讲解．
证明：如图4，已知?ABCD的两条对角线相交于点M，
图4
设＝x，＝y，则
＝x＝x＋x，
＝＋＝＋y＝＋y(－)＝(1－y)＋y.
于是，我们得到关于基底{，}的两个分解式．
所以解此方程组，得x＝，y＝.
所以点M是AC和BD的中点，即对角线AC和BD在交点M处互相平分．
点评：从例2的证明可以看出，证明方法与代数学中的解应用题方法(设未知数，列方程)基本一致．这里，也是先设未知数，由题中给出的条件，列出向量表达式，再选基底向量，列出同一向量的两个分解式，由向量分解的唯一性转化为方程组求解．
例 3已知正方形ABCD(图5)，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF.
图5
证明：选择正交基底{，}，在这个基底下，有＝(1,0)，＝(0,1)，
由已知，可设＝(a，a)，得＝(1－a,0)，＝(0，a)，
＝(1－a，a)，＝－＝(a，a－1)．
因为·＝(1－a，a)·(a，a－1)＝(1－a)a＋a(a－1)＝0，
所以⊥.因此DP⊥EF.
变式训练
　如图6，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
图6
解：方法一，如图6.
∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·
＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
方法二：如图7.
图7
以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)．
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)
＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，
∴cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
例 4求通过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程(图8)．
图8
活动：教师引导学生分析本例条件，可由向量确定直线斜率．教师可借此讲解：在解析几何初步中，我们用一条直线的倾斜角或斜率确定直线的方向．现在看一看直线的倾斜角、斜率与平行于这条直线的向量之间的关系．
设直线l的倾斜角为α(图8)，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，由直线斜率和正切函数的定义，可得
k＝＝＝tanα.
如果知道直线的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．
解：由题意知直线的斜率k＝＝.
∴所求直线的方程为y－2＝(x＋1)．
整理，得2x－3y＋8＝0.
5已知直线l：Ax＋By＋C＝0，n＝(A，B)．求证：向量n⊥l(图9)．
图9
证明：设(x0，y0)为直线l的方程的一个解，则Ax0＋By0＋C＝0.①
对l的方程和①式两边作差，整理，得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
由向量垂直的条件，得向量n＝(A，B)与向量(x－x0，y－y0)垂直．
由于动点(x，y)的集合就是直线l，所以n⊥l.
点评：本例所证结论，使我们得到直线一般方程Ax＋By＋C＝0中，变量x，y的系数构成向量(A，B)的几何解释．即向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与l平行．这样，直线间的位置关系，即平行、垂直、夹角，就可转化为向量问题来处理.
6求通过A(2,1)，且与直线l：4x－3y＋9＝0平行的直线方程(图10)．
图10
解：因为向量(4，－3)与直线l垂直，所以向量n＝(4，－3)与所求的直线垂直．
设P(x，y)为一动点，则＝(x－2，y－1)．点P在所求直线上，当且仅当n·＝0.
转化为坐标表示，即4(x－2)＋(－3)(y－1)＝0.
整理，得4x－3y－5＝0.
这就是所求的直线方程．
1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤．要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．
2．本节都学习了数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．
课本本节习题2—4　A组1,2,3，B组1,2.
1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花．
2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题．因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．
3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师、学生进一步探究使用．
1．简化向量运算
例 1如图11所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
图11
证明：如图11，作直径BD，连接DA，DC，有＝－，
且DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，
故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD是平行四边形．
从而＝.
又＝－＝＋，
得＝＋＝＋，
即＝＋＋.
2．证明线线平行
例 2如图12，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点．
求证：EF∥BC，且||＝(||＋||)
.
图12
证明：连接ED，EC，
∵AD∥BC，可设＝λ(λ>0)，
又E，F是中点，
∴＋＝0，
且＝(＋)．
而＋＝＋＋＋＝＋＝(1＋λ)，
∴＝.EF与BC无公共点，
∴EF∥BC.
又λ>0，
∴||＝(||＋|λ|)＝(||＋||)．
3．证明线线垂直
例 3如图13，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连接CH，求证：CH⊥AB.
图13
证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，
有·＝0，·＝0.
又＝＋，＝＋，
故有(＋)·＝0，
且(＋)·＝0，
两式相减，得·(－)＝0，
即·＝0，
∴⊥.
4．证明线共点或点共线
例 4求证：三角形三中线共点，且该点到顶点的距离等于各该中线长的.
已知：△ABC的三边中点分别为D，E，F(如图14)．
图14
求证：AE，BF，CD共点，且＝＝＝.
证明：设AE，BF相交于点G，＝λ1，
由定比分点的向量式有＝＝＋，
又F是AC的中点，＝(＋)，
设＝λ2，则＋＝＋，
∴
∴＝?λ1＝2，λ2＝，
即＝＝.
又＝＝(＋2)＝·(＋)＝，
∴C，G，D共线，且＝＝＝.
二、备用习题
1.如图15，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为(　　)
图15
A. B．9
C．－ D．－9
2．有一边长为1的正方形ABCD，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝________.
3．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，则使λb－a与a垂直的λ＝________.
4．在等边△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
5．已知三个向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
6．如图16所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AM＝CN.
图16
7．已知四边形ABCD满足||2＋||2＝||2＋||2，M为对角线AC的中点．求证：||＝||.
8．求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
参考答案：
1．D　2.2　3.2　4.－　5.－2或11
6．证明：建立如图17所示的直角坐标系，设BC＝a，BA＝b，则C(a,0)，A(0，b)，E(，)．
图17
又设M(x2，b)，N(x1,0)，则
＝(x2,0)，＝(x1－a,0)．
∵∥，＝(－x2，－)，＝(x1－，－)，
∴(－x2)×(－)－(x1－)×(－)＝0.
∴x2＝a－x1.∴||＝＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|.
而||＝＝|x1－a|，
∴||＝||，即AM＝CN.
7．证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，
∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)．
∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①
∵||2＋||2＝||2＋||2，
∴a2＋b2＝(－d)2＋(－c)2＝c2＋d2.②
由①②得a·b＝c·d.
∵M是AC的中点，如图18所示，
图18
则＝(d－c)，＝(b－a)．
∴||2＝2＝(b2＋a2－2a·b)，
||2＝2＝(d2＋c2－2c·d)．
∴||2＝||2.
∴||＝||.
8．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′.
求证：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
证明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0)，＝μ(μ∈R，μ≠0)．
∴cos∠AOB＝.
cos∠A′O′B′＝＝
＝＝±，
当与，与均同向或反向时，取正号，
即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′.
∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，
∴∠AOB＝∠A′O′B′.
当与，与只有一个反向时，取负号，
即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．
∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，
∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.
∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
∴命题成立．
2.4.2 向量在物理中的应用
示范教案
教学分析　　　　　
向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．
用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．
三维目标　　　　　
1．通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．
2．通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．
重点难点　　　　　
教学重点：
1．运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算．
2．归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(情景引入)章头图中，道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系．章头引言说明了向量的研究对象及研究方法．那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样，是一条解决物理问题的高速公路．在学生渴望了解的企盼中，教师展示物理模型，由此展开新课．
思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然地引入新课．
推进新课　　　　　
(1)力向量与前面所学的自由向量一样吗？
(2)作用于同一点的两个力的合力怎样表示？
活动：
力向量与前面学过的自由向量有些不同，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但力是具有大小和方向的量，在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．例如，求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则(图1)．
图1
同一平面上，作用于同一点的两个力F1，F2或三个力F1，F2，F3处于平衡状态(图2)，可分别用等式来表示
图2
F1＋F2＝0，F1＋F2＋F3＝0.
讨论结果：(略)
例 1在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
活动：这个日常生活问题可以抽象为如图3所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．
图3
在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．
用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
解：不妨设|F1|＝|F2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道
cos＝|F1|＝.
通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．
点评：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现．
例 2河水从东向西流，流速为2 m/s，一轮船以2 m/s垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速(精确到0.1 m/s)(图4)．
图4
解：设a＝“向西方向，2 m/s”，b＝“向北方向，2 m/s”，则|a＋b|＝＝2≈2.8(m/s)．
由|a|＝|b|，可得a＋b的方向为西北方向．
答：轮船实际航行速度为“向西北方向，2.8 m/s”．
活动：本例通过速度向量，说明向量的应用，其实向量在电学、力学、工程和机械等各学科中都有着十分广泛的应用.
变式训练
　某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感到风从西南方向吹来，求实际的风向和风速．
解：如图5所示．设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.
图5
令＝－v1，＝－2v1，实际风速为v.
∵＋＝，
∴＝v－v1，这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度．
∵＋＝，∴＝v－2v1，
这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感受到的风速．
由题意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，
∴△DCA为等腰三角形，DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°.
∴DA＝DC＝BC＝20.∴|v|＝20 km/h.
答：实际的风速v的大小是20 km/h，方向是东南方向.
例 3如图6所示，利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度，设有一砂箱悬挂在两线下端，子弹击中砂箱后，陷入箱内，使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M，求子弹的速度v的大小．
图6
解：设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度，由于水平方向上动量守恒，所以m|v|＝(M＋m)|v0|.①
由于机械能守恒，所以(M＋m)v＝(M＋m)gh.②
联立①②解得|v|＝.
又因为m相对于M很小，所以|v|≈，
即子弹的速度大小约为.
1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．
①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；
③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．
①力、速度、加速度、位移都是向量；
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；
③)动量mv是数乘向量，冲量ΔtF也是数乘向量；
④功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.
课本本节练习B组　1、2、3；习题2—4A组　4.
1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．
2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．
3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．
一、向量与重心问题
假如有两个质点M1，M2，它们的质量分别是m1，m2，由物理学知识，这两个质点的重心M在线段M1M2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即
＝，或m1＝m2.
现设点M1、M2、M，对应的向量分别是r1、r2、r，则上式可以写成
m1(r－r1)＝m2(r2－r)．所以r＝，点M处的质量为m1＋m2.
现求三个质点的重心问题．
三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3，所对应的向量分别是r1、r2、r3，
我们可设M1，M2的重心在点D处，该处对应的向量为rD＝，该点的质量为m1＋m2，然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r，易得r＝.
二、备用习题
1．作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|＝5，|F2|＝3，夹角为60°，则F1＋F2的大小为______．
2．一条渔船距对岸为4 km，现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速.
3．在半径为15 cm的均匀铁板上，挖出一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm，圆洞的半径是5 cm，求挖去圆洞后所剩下铁板的重心．
4．如图7所示，重力为G的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板的压力最小，求木板与斜面间夹角θ的大小.
图7
参考答案：
1．7
2．解：如图8所示，设表示船垂直于对岸的速度，则＋＝，
图8
知就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，
所以在Rt△ABC中，|A|＝2 km/h，||＝8÷2＝4(km/h)，则|B|＝2 km/h.
答：河水的流速为2 km/h.
3．解：如图9所示，建立平面直角坐标系，两圆的圆心分别为O1(0,0)，O2(8,0)，圆O2是挖去的圆，不妨设铁板的密度为ρ＝1，则小圆的质量m1＝25π，挖去圆洞后，铁板的质量为m2＝(225－25)π＝200π，设所求的重心为O3.
图9
根据物理学知识，知O3在直线O1O2上，即可设O3(x3,0)，且满足＝λ，
其中λ＝＝＝.由定比分点坐标公式知0＝，解得x3＝－1，
即O3(－1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心．
4．解：对小球的受力分析如图9所示，重力为G，斜面弹力为N2(垂直于斜面向上)，木板弹力N1(垂直于木板)，其中N1与N2的合力的大小恒为|G′|，方向向上，N2的方向始终不变，随着木板的转动，N1的方向始终垂直于木板，N1的大小在变化，且满足＝，
又|G′|＝|G|，∴|N1|＝.
∴当sinθ取最大值1时，|N1|min＝|G|sinα，此时θ＝.
第二章 平面向量
示范教案
知识网络　　　　　
1．本章知识网络结构如下：
2．本章知识归纳整合
(1)基本概念与运算
①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．
②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．
③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．
④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．
⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
(2)基本定理及其坐标表示
①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．
②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．
③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．
④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．
(3)平面向量的数量积
①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.
②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.
③由a·b＝b·c不能推出a＝c.
④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：
数量积
数乘向量
数乘数
运算对象
两个向量
一个实数与一个向量
两个实数
运算结果
实数
向量
实数
结合律
不满足
满足
满足
逆运算
不存在
存在
存在
(4)平面向量的应用
①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．
②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．
③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．
教学分析　　　　　
向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．
数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．
将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．
充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．
三维目标　　　　　
1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．
3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．
教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．
思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．
推进新课　　　　　
?1?回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量.
?2?回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质.
?3?回忆本章学过的重要定理、公式.
活动：(1)本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为，a(手写时为)，坐标表示法为a＝xi＋yj＝(x，y)．有哪些特殊的向量：a＝0|a|＝0.单位向量：a0为单位向量|a0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同，a＝b (x1，y1)＝(x2，y2) 等等．
(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．
运算
类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法
平行四边形法则
(共起点构造平行四边形)
三角(多边)形法则
(向量首尾相连)
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
＋＝
向量的减法
三角形法则
(共起点指向被减)
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
a－b＝a＋(－b)
＝－
－＝
数 乘向 量
λa是一个向量，满足：
λ>0时，λa与a同向；
λ<0时，λa与a异向；
λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx，λy)
λ(μa)＝(λμ)a
(λ＋μ)a＝λa＋μa
λ(a＋b)＝λa＋λb
a∥b?a＝λb(b≠0)
向 量的 数量 积
a·b是一个实数
a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝0
a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝x1x2＋y1y2
a·b＝b·a
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
a2＝|a|2，|a|＝
|a·b|≤|a||b|
(3)本章的重要定理及公式：
a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
b．两个向量平行的充要条件：a∥b(b≠0) 存在唯一的实数λ，使得a＝λb；
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥bx1y2－x2y1＝0(b可以为0)．
c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
讨论结果：(1)～(3)略．
例 1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．
由(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19，
即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
解这个方程组，得k＝－，λ＝－，即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b.因为λ＝－<0，所以－a＋b与a－3b反向．
点评：共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k＝－，然后再求λ.
变式训练
　设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．
解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，
∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．
方法二：假设满足条件的m存在，
根据题意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
由A、B、C三点共线，即∥，
故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
例 2如图1，已知在△ABC中，＝a，＝b，＝c.若a·b＝b·c＝c·a，求证：△ABC为正三角形．
图1
活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力，提高复习效率．
证法一：由题意，得a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
又∵b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.∴△ABC为正三角形．
证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.
∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.
而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2.
∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.∴△ABC为正三角形．
证法三：如图2，以AB、BC为邻边作ABCD，则＝a，＝－，∴＝a－c.
图2
又∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.
∴b·＝0.∴b⊥.
∴平行四边形ABCD为菱形．∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，
∴△ABC为正三角形．
证法四：取的中点E，连接AE，则＝(＋)＝(c－b)，
∴·a＝(c－b)·a＝0.∴⊥a.∴AB＝AC.
同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．
点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘.
变式训练
　若·＋2＝0，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　　　　　　　　　　B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案：A
例 3已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb且x⊥y.试求：的最小值．
解：由已知，得|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.化简，得k＝，
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，即t＝－2时，有最小值－.
点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.
变式训练
1．已知向量a＝(2,2)，b＝(－5，m)，c＝(3,4)，若|a＋b|≤|c|，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－4,6]　　　 　B．[－6,4]　　　　 C．[－6,2]　　　　 D．[－2,6]
答案：C
2.如图3，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.
图3
解：∵＝＋，＝＋，
∴由＋2＋3＝0，得
(＋)＋2(＋)＋3＝0.
∴＋3＋2＋3＝0.
又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，
由平行向量基本定理，设＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0.
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
由于和不共线，∴∴
∴＝－＝.∴＝＋＝2＝2a.
1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？
2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
本章巩固与提高5、11、12、13、14.
1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．
备用习题
1．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)，若向量a＋kb与a－b垂直，则k的值为… (　　)
A.　　　　　　　B．7　　　　　　　C．－　　　　　　D．－
2．已知向量＝(1,2)，＝(0,1)，则下列各点中在直线AB上的是(　　)
A．(0,3) B．(1,1)
C．(2,4) D．(2,5)
3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5 B．5
C．－5 D．5
4．若|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝4，则|a－b|为(　　)
A. B．13
C. D．42
5．已知a＝(2,1)，与a平行且长度为2的向量b是(　　)
A．(4,2) B．(－4，－2)
C．(2,1)或(－2，－1) D．(4,2)或(－4，－2)
6．已知向量i、j，i＝(1,0)，j＝(0,1)，与2i＋j垂直的向量是(　　)
A．2i－j B．i－2j
C．2i＋j D．i＋2j
7．已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a是正的常数，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值是(　　)
A．a B．2a
C．a2 D．3a
8．向量a＝(n,2)与b＝(4，n)共线，则n＝________.
9．已知a＝(2,1)，b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，那么实数t的值是________．
10．已知三个非零向量a，b，c中每两个均不共线，若a＋b与c共线，b＋c与a共线，求a＋b＋c.
11．已知向量＝a，＝b，|a|＝4，|b|＝3，∠BAC＝β，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求β的大小；
(2)求△ABC的面积．
参考答案：
1．A　2.D　3.A　4.C　5.D　6.B　7.C　8.±2　9.－
10．解：∵a＋b，c共线，∴a＋b＝mc.①
又∵b＋c，a共线，∴b＋c＝na.②
①－②，得a－c＝mc－na.
∵a，c不共线，∴由平面向量的基本定理，得m＝n＝－1.
∴①即a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
11．解：(1)原式展开，得4a2－4a·b－3b2＝61，
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴cosβ＝＝－.
∵0≤β≤π，∴β＝.
(2)S△ABC＝|AB|·|AC|·sinβ＝3.