3.1.1 两角和与差的余弦
示范教案
教学分析
本节是结合第一章，以圆上点的运动作引子，从中提出问题，引入本节的研究课题．在教学中要结合教科书中提供的问题背景，充分展示公式推导的思维过程．在正式推导之前，可组织学生谈谈自己对推导公式的想法，讨论、研究和分析可能出现的思路，使学生更好地经历和参与数学发现活动，体验数学的发展与创造过程．同时，引导学生复习两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示，并尝试自己推导两角和的余弦公式．
在公式推出之后，还可以引导学生对推导过程进行反思，欣赏用向量方法推导公式的美妙，归纳、总结、发现公式的结构特点以便掌握和灵活运用．在公式应用的教学中，要引导学生充分注意变形中角的变化，灵活运用“角的代换”的方法，体会化归思想在三角恒等变换中的应用．
利用向量知识探索两角差的余弦公式时要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．
本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．
三维目标
1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．
2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点难点
教学重点：两角和与差的余弦公式．
教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接导入)如果知道了α，β的三角函数，如何计算α＋β，α－β的三角函数呢？下面我们从向量的角度来探究这一问题，接着导入新课．
思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝，cos30°＝，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课．
推进新课
教师引导学生回顾两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示：
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)并进一步讲解．
我们知道cos(x－)可以看作是向量(cosx，sinx)与向量(1,1)的夹角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是两个向量夹角的余弦值呢？
把cos(α－β)看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究．
如图1，在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．
图1
设向量a＝＝(cosα，sinα)，
b＝＝(cosβ，sinβ)，
则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)．
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
这就是两角差的余弦公式．
教师引导学生探究“用－β代替β”的换元方法就可以得到
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)，
即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，这就是两角和的余弦公式．
这两个公式分别记为Cα－β，Cα＋β.
思路1
例 1求cos105°及cos15°的值．
解：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°
＝·－·＝；
cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝·＋·
＝.
变式训练
1．不查表求sin75°，sin15°的值．
解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×＝.
sin15°＝＝
＝＝.
2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.
解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.
例 2已知cosα＝－(<α<π)，求cos(－α)，cos(＋α)．
解：因为cosα＝－，且<α<π，所以sinα＝＝.
因此cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝(－)＋·＝；
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα＝(－)－·＝－.
变式训练
已知sinα＝，α∈(0，π)，cosβ＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
解：①当α∈[，π)时，且sinα＝，得
cosα＝－＝－＝－，
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝(－)×(－)＋×(－)＝－.
②当α∈(0，)时，且sinα＝，得
cosα＝＝＝，
又由cosβ＝－，β是第三象限角，得
sinβ＝－＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×(－)＋×(－)＝－.
点评：由于α∈(0，π)，这样cosα的符号可正、可负，需讨论，教师引导学生运用分类的思想，对角α进行分类讨论，从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性．教师强调分类时要不重不漏.
例 3利用公式Cα＋β证明：cos[α＋(2k＋1)π]＝－cosα.
证明：cos[α＋(2k＋1)π]
＝cosαcos[(2k＋1)π]－sinαsin[(2k＋1)π]
＝－cosα.
思路2
例 1计算：(1)cos(－15°)；
(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；
(3)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)．
活动：教师可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角－15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°)＝cos15°再求值．让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式Cα－β的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数．
解：(1)原式＝cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝×＋×
＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.
(3)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cosy.
点评：本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固的基础.
变式训练
函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
答案：B
例 2已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈(0，)，求cosβ的值．
解：∵α、β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)．
又∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，
∴sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝.
变式训练
1．求值：cos15°＋sin15°.
解：原式＝(cos15°＋sin15°)＝(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)
＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
2．已知锐角α、β满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ.
解：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝.
又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴cos(α－β)＝.
从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－.
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×(－)＝.
1．先由学生自己思考回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变形用，并掌握运用变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下几点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识，三角变换的特点．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
课本本节练习B组1～5.
1．本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程从“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题．从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性．
2．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的知识特点，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
备用习题
1．若－<α<β<，则α－β一定不属于的区间是( )
A．(－π，π) B．(－，)
C．(－π，0) D．(0，π)
2．已知α、β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则α＋β＝________.
3．不查表求值：
(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°；
(2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.
4．已知：sinθ＝，θ∈(，π)，求cos(θ－)的值．
5．已知：sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)，求cos(α－β)的值．
6．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
参考答案：
1．D 2.
3．(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.
(2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝.
4．解：∵sinθ＝，θ∈(，π)，
∴cosθ＝－＝－＝－.
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×
＝.
5．解：∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－＝－.
∵cosβ＝－，β∈(π，)，
∴sinβ＝－＝－＝－.
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×(－)＋×(－)＝.
6．解：(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，将点M(，)代入得sin(＋φ)＝.
而0<φ<π，∴<＋φ<.
∴＋φ＝.
∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，而α，β∈(0，)，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
3.1.2 两角和与差的正弦
示范教案
教学分析
1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式Cα－β推得公式Cα＋β，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式Sα－β、Sα＋β等．
2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力．
2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．
3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提升学生的数学素质．
重点难点
教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用．
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出Sα－β、Sα＋β.本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式Cα－β很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想新公式的探究．
推进新课
活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，这些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos(－α)＝sinα，sin(－α)＝cosα，我们可以得到：
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
在上述公式中β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为Sα＋β、Sα－β.
讨论结果：略．
思路1
例 1求sin75°，sin15°的值．
活动：引导学生进行拆角转化．本例直接应用公式，可由学生自己完成．
解：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝·＋·＝；
sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝·－·＝.
变式训练
1．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是( )
A．－ B. C．－ D.
答案：C
2．已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)的值．
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα
＝×－×(－)＝，
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα＝×－×(－)
＝.
例 2已知向量＝(3,4)，逆时针旋转45°到的位置．求点P′(x′，y′)的坐标(图1)．
解：设∠xOP＝α.
图1
因为|OP|＝＝5，所以cosα＝，sinα＝.
又因为x′＝5cos(α＋45°)＝5(cosαcos45°－sinαsin45°)
＝5(·－·)＝－，
y′＝5sin(α＋45°)＝5(sinαcos45°＋cosαsin45°)＝5(·＋·)＝，
所以P′(－，).
变式训练
已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P′(x′，y′)(图2)．求证：
图2
证明：设∠xOP＝α，|OP|＝r，则cosα＝，sinα＝.
从而x′＝rcos(α＋θ)＝r(cosαcosθ－sinαsinθ)
＝xcosθ－ysinθ，
y′＝rsin(α＋θ)＝r(sinαcosθ＋cosαsinθ)＝xsinθ＋ycosθ，
即
例 3求证：cosα＋sinα＝2sin(＋α)．
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式Sα＋β展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式Sα＋β的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．
证明：方法一：右边＝2(sincosα＋cossinα)＝2(cosα＋sinα)
＝cosα＋sinα＝左边．
方法二：左边＝2(cosα＋sinα)＝2(sincosα＋cossinα)
＝2sin(＋α)＝右边．
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得：
A2＝a2＋b2，A＝±，不妨取A＝，于是得到cosφ＝，sinφ＝，因此asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
变式训练
1．化简下列各式：
(1)sinx＋cosx；
(2)cosx－sinx.
解：(1)原式＝2(sinx＋cosx)＝2(cossinx＋sincosx)
＝2sin(x＋)．
(2)原式＝2(cosx－sinx)＝2(sincosx－cossinx)
＝2sin(－x).
2.求函数y＝asinx＋bcosx的最大值、最小值和周期，其中a，b是不同时为零的实数．
解：考察以(a，b)为坐标的点P(a，b)(图3)，设以OP为终边的一个角为θ，则cosθ＝，sinθ＝.
图3
于是y＝(sinx＋cosx)
＝(cosθsinx＋sinθcosx)＝sin(x＋θ)，
其中cosθ＝，sinθ＝.
所以函数y＝asinx＋bcosx的最大值是，最小值是－，周期是2π.
思路2
例 1若sin(＋α)＝，cos(－β)＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．
解：∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.
又已知sin(＋α)＝，cos(－β)＝，
∴cos(＋α)＝－，sin(－β)＝－.
∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]＝sin[(＋α)－(－β)]
＝sin(＋α)cos(－β)－cos(＋α)sin(－β)
＝×－(－)×(－)＝－.
点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
解：∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
∴<α＋β<2π，<β－<.
∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
例 2化简＋＋.
解：原式＝＋＋
＝＋＋
＝＝0.
变式训练
化简.
解：原式＝
＝
＝＝tan(β－α).
例 3已知三个电流瞬时值的函数式分别是I1＝sinωt，I2＝2sin(ωt－45°)，I3＝4sin(ωt＋45°)．
求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相．
解：I＝I1＋I2＋I3
＝sinωt＋2sin(ωt－45°)＋4sin(ωt＋45°)
＝sinωt＋2(sinωtcos45°－cosωtsin45°)＋4(sinωtcos45°＋cosωtsin45°)
＝4sinωt＋cosωt
＝(sinωt＋cosωt)
＝(sinωtcosθ＋cosωtsinθ)＝sin(ωt＋θ)，
其中θ＝arctan≈14°2′.
所以I＝sin(ωt＋14°2′)，振幅为，初相为14°2′.
点评：由本例可知：几个振幅和初相不同，但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和初相．
1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题．
1．课本本节练习B组1～4.
2．已知函数f(x)＝2sincos－2sin2＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝f(x＋)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)∵f(x)＝sin＋(1－2sin2)
＝sin＋cos＝2sin(＋)，
∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.
当sin(＋)＝－1时，f(x)取得最小值－2；
当sin(＋)＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(＋)，
又g(x)＝f(x＋)，
∴g(x)＝2sin[(x＋)＋]＝2sin(＋)＝2cos.
∴g(－x)＝2cos(－)＝2cos＝g(x)．
∴函数g(x)是偶函数．
1．本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”；引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力．
2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，熟练会用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．
一、三角函数知识口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现．
同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧．
诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了．
三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变．
将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值．
计算证明角先行，注意结构函数名；保持基本量不变，繁难向着简易变．
换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称．
二、备用习题
1．在△ABC中，sinAsinB
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
2.cos－sin的值是( )
A．0 B．－
C. D．2
3．在△ABC中，有关系式tanA＝成立，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
4．若cos(α－β)＝，cosβ＝，α－β∈(0，)，β∈(0，)，则有( )
A．α∈(0，) B．α∈(，π)
C．α∈(－，0) D．α＝
5．求值：＝__________.
6．若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝__________.
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝__________.
8．求函数y＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋55°)的最大值和最小值．
9．化简－2cos(A＋B)．
10．已知5sinβ＝sin(2α＋β)，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
参考答案：
1．B 2.C 3.C 4.B 5. 6.0 7.－
8．解：∵y＝2sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋45°]
＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)－sin(x＋10°)
＝sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)
＝sin[x＋10°)＋45°]
＝sin(x＋55°)，
又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，
∴当x＋55°＝k·360°－90°，
即x＝k·360°－145°(k∈Z)时，ymin＝－；
当x＋55°＝k·360°＋90°，
即x＝k·360°＋35°(k∈Z)时，ymax＝.
9．解：原式＝
＝
＝
＝.
点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．
10．证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，
∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα.
∴2tan(α＋β)＝3tanα.
点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α.当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析．
3.1.3 两角和与差的正切
示范教案
教学分析
教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．
在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．
三维目标
1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．
2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．
重点难点
教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．
教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(问题导入)通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．
思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题．
推进新课
?1?利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？
?2?利用所学两角和与差的公式，对比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推导出tan?α－β?＝？ tan?α＋β?＝？
?3?分析观察公式Tα－β、Tα＋β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？
?4?前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？
活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式Cα－β、Cα＋β、Sα＋β、Sα－β，可以完全让学生自己进行探究tan(α－β)，tan(α＋β)究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cosαcosβ即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下：
当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.
若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得
tan(α＋β)＝.
根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有
tan(α－β)＝＝.
由此推得两角和与差的正切公式，简记为“Tα－β、Tα＋β”．
tan(α＋β)＝(Tα＋β)，
tan(α－β)＝(Tα－β)．
我们把公式Tα＋β、Tα－β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β、α±β有一定的取值范围，即α≠＋kπ(k∈Z)，β≠＋kπ(k∈Z)，α±β≠＋kπ(k∈Z)，这样才能保证tan(α±β)与tanα，tanβ都有意义．
教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：
tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos(α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么？(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、tan(α±β)都有意义，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．
至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式．一般地，我们把公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β都叫做和角公式，而把公式Sα－β，Cα－β，Tα－β都叫做差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理．
讨论结果：(1)～(4)略．
例 1已知tanα＝2，tanβ＝－，其中0<α<，<β<π.
(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．
活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．
解：(1)因为已知tanα＝2，tanβ＝－，所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0<α<，<β<π，所以<α＋β<.
在与之间，只有的正切值等于1，
所以α＋β＝.
例 2求下列各式的精确值．
(1)tan75°；(2).
解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋；
(2)＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝.
点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.
变式训练
1．不查表求tan105°的值．
解：tan105°＝tan(60°＋45°)
＝＝＝－2－.
2．不查表，计算：(1)tan22°＋tan23°＋tan22°tan23°；(2)tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan43°tan30°.
解：(1)原式＝tan(22°＋23°)·(1－tan22°tan23°)＋tan22°tan23°
＝tan45°·(1－tan22°tan23°)＋tan22°tan23°＝1.
(2)原式＝tan17°tan43°＋tan30°(tan17°＋tan43°)
＝tan17°tan43°＋tan30°tan(17°＋43°)(1－tan17°tan43°)
＝tan17°tan43°＋tan30°tan60°(1－tan17°tan43°)＝1.
例 3若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求tan(α＋)的值．
解：因为α＋＝(α＋β)－(β－)，
所以tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝
＝＝.
点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解：(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得tanβ＝2，sinβ＝，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝－.
f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx，所以f(x)的最大值为.
例 4已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．
解：∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.
又∵tan(α＋β)＝，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.
点评：本题是公式的变形应用，当出现α＋β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，这个变形式子对我们解题很有用处．解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，熟练掌握其变化的思想方法.
变式训练
1．求(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值．
解：原式＝[(1＋tan1°)(1＋tan44°)][(1＋tan2°)(1＋tan43°)]…[(1＋tan22°)(1＋tan23°)](1＋tan45°)＝2×2×2×…×2＝223.
2．计算：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.
解：原式＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.
本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．
课本本节习题3—1 A组1～3 B组1～3.
1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．
2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．
备用习题
1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )
A．－1 B．－
C. D.
2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )
A. B. C. D．1
3.＝________.
4．已知tan110°＝a，则tan50°的值为________．
5．若tanx＝，则x＝________.
6．已知sinα＝－，cosβ＝，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．
7．若3sinx＋cosx＝2sin(x＋φ)且φ∈(0，)，求tan(φ＋)的值．
8．在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M，过R作PM的垂线，垂足为Q，求∠POQ的最大值．
参考答案：
1．D 2.D 3. 4. 5.25°＋k·180°(k∈Z) 6..
7．分析：如何求φ是本题的关键．
解：∵3sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2(sinxcos＋cosxsin)＝2sin(x＋)，
∴2sin(x＋φ)＝2sin(x＋)．
又∵φ∈(0，)，∴φ＝.
∴tan(φ＋)＝＝＝＝＝2＋.
8．解：本应考虑点P在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P在第一象限，
设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝＝tanα.
故tan∠POQ＝tan(α－β)＝＝＝.
设tan∠POQ＝y，tanα＝t，则y＝，
即yt2－2t＋3y＝0.由α是锐角，可知t＞0，从而y＝＞0.
又Δ＝4－12y2≥0，故0＜y≤，且当t＝时，y＝.
故y的最大值，即tan∠POQ的最大值为.所以∠POQ的最大值为.
3.2.1 倍角公式
示范教案
教学分析
倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．
三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．
2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．
重点难点
教学重点：二倍角公式推导及其应用．
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．
推进新课
?1?还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？?请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写?
?2?你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？
?3?在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？
?4?细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
?5?能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
?6?让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin? ?＝2sin? ?cos? ?，cos? ?＝cos2? ?－sin2? ?.
?7?思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形？
?8?请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗
活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin2α＝2sinαcosα(S2α)；
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；
tan(α＋β)＝ tan2α＝(T2α)．
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．
问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．
问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α)，(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R，但公式(T2α)需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．
问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，－α是－的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．
例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2等等．
问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2(2sincos)＝2sin，
＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，tan2α＝2tanα(1－tan2α)等等．
问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝(cosα＝舍去)．
若tan2α＝2tanα，则＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
讨论结果：(1)～(8)略．
思路1
例 1已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．
解：因为sinα＝，α∈(，π)，所以cosα＝－＝－＝－，
sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝(－)2－()2＝，
tan2α＝＝－÷＝－.
点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.
变式训练
1．y＝(sinx－cosx)2－1是( )
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
答案：D
2．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案：C
3．下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°－cos15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
答案：B
例 2证明＝tanθ.
活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．
证明：方法一：
左＝＝
＝＝
＝＝tanθ＝右，
所以，原式成立．
方法二：
左＝＝
＝＝tanθ＝右．
方法三：
左＝＝
＝
＝＝＝tanθ＝右．
点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.
变式训练
1．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为__________．
答案：
2．证明恒等式：＝tanθ.
证明：左边＝
＝＝tanθ＝右边.
思路2
例 1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．
解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°
＝＝＝＝.
变式训练
1．函数f(x)＝是( )
A．以4π为周期的偶函数
B．以2π为周期的奇函数
C．以2π为周期的偶函数
D．以4π为周期的奇函数
答案：A
2．函数y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是( )
A. B．π C. D．2π
答案：B
例 2在△ABC中，cosA＝，tanB＝2，求tan(2A＋2B)的值．
活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A＋B＋C＝π，0解法一：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝.
所以tanA＝＝×＝，
tan2A＝＝＝.
又tanB＝2，
所以tan2B＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝＝＝.
解法二：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝.
所以tanA＝＝×＝.
又tanB＝2，
所以tan(A＋B)＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]
＝＝＝.
变式训练
化简：.
解：原式＝＝＝.
1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
课本本节练习B组1～4.
1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．
2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．
一、三角变换中的“一致代换”法
在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．
二、备用习题
1．求值：－.
2．化简：cos36°cos72°.
3．化简：cosαcoscoscos·…·cos.
4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.
5．已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.
(1)求tanA的值；
(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．
6．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)的值．
7．已知cos(x－)＝，x∈(，)．
(1)求sinx的值；
(2)求sin(2x＋)的值．
参考答案：
1．解：原式＝＝
＝＝＝4.
2．解：原式＝＝＝＝.
3．解：先将原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式，则原式＝.
4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°
＝＝＝＝.
5．解：(1)由题意，得m·n＝sinA－2cosA＝0，
因为cosA≠0，所以tanA＝2.
(2)由(1)知tanA＝2，得f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
当sinx＝时，f(x)有最大值；当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．
6．∵cos(α－)＝－，<α<π，0<β<，
∴<α－<π.
∴sin(α－)＝.
∵sin(－β)＝，<α<π，0<β<，
∴0<－β<.
∴cos(－β)＝.
∵cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
7．解：(1)因为x∈(，)，所以x－∈(，)．
于是sin(x－)＝＝，
sinx＝sin[(x－)＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈(，)，故cosx＝－＝－＝－，
sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin(2x＋)＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.
3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
教学分析
本节内容实际上是上节公式的逆用，让学生进一步理解高中数学的转化与化归这一重要数学思想，培养学生运算和逻辑推理能力，提高学生的创新能力．对培养学生的探索精神和发现问题、解决问题的能力具有十分重要的意义．
本节教学要求并不高，要求学生了解半角公式，能用公式求值，化简简单的恒等变形即可．因此，在实际教学中不必过多地补充一些高技巧、高难度的练习．有条件的学校可以引导学生进行本节的探索与研究，可使用Scilab编程或用电子表格中公式功能．
三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导半角的正弦、余弦和正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过题目训练，加深对三角函数公式的理解，进一步培养学生的运算能力和逻辑推理能力．
2．通过对半角公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生进一步养成利用联系变化的观点来观察、分析问题的习惯．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生善于发现和勇于探索的科学精神．
重点难点
教学重点：半角的正弦、余弦和正切公式的推导及其应用．
教学难点：半角公式的灵活运用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习引入)我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用倍角公式进行了简单的化简、求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式，并用它来解决一些三角函数式的化简、求值等．
思路2.(直接引入)先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着让学生探究公式的逆用，由此展开新课．
推进新课
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα＝1－2sin2，将公式中的α用代替，解出sin2即可．教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角．在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，即得cosα＝1－2sin2，
所以sin2＝，
即sin＝±(S)①
在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝2cos2－1，
所以cos2＝，
即cos＝±(C)②
将①②两个等式的左右两边分别相除，即得
tan2＝，
即tan＝±(T)③
上面三个公式，称作半角公式．在半角公式中，根号前的正负号，由角所在象限确定．
又根据正切函数的定义，得到
tan＝＝＝；④
tan＝＝＝.⑤
这样我们就得到另外两个公式：
tan＝；
tan＝.
这即为本节教材中的例2，因其不带正负号，用起来有其独到之处．
在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．
教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．
教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．
讨论结果：(1)α是的二倍角．
(2)sin2＝.
(3)(4)略(见活动)．
思路1
例 1已知cosα＝，求sin，cos，tan的值．
解：sin＝±＝±＝±，
cos＝±＝±＝±，tan＝＝±＝±.
变式训练
1．求sin15°，cos15°，tan15°的值．
解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°＝＝＝
＝＝＝；
cos15°＝＝＝
＝＝＝；
tan15°＝＝2－.
2．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )
A. B. C．± D．±
解析：∵sin(π－θ)＝，∴sinθ＝.
又θ为第二象限角，
∴cosθ＝－，cosθ＝2cos2－1，
而在第一、三象限，∴cos＝±.
答案：C
例 2已知sin2α＝－，π＜2α＜，求tanα.
解：因为π＜2α＜，故＜α＜，有
cos2α＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝＝－.
变式训练
1．已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是__________．
答案：－
2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是…( )
A．1 B. C. D．1＋
答案：C
思路2
例 1已知sin2 010°＝－，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值．
解：因为2 010°＝5×360°＋210°是第三象限的角，
所以cos2 010°＝－＝－.
又1 005°＝2×360°＋285°是第四象限的角，
所以sin1 005°＝－＝－＝－，
cos1 005°＝＝＝，
tan1 005°＝＝－＝－＝－2－.
变式训练
求cos的值．
解：因为是第一象限的角，所以cos＝＝＝.
例 2证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证明：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝
＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝
＝tan(＋).
变式训练
已知α，β∈(0，)且满足：3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求α＋2β的值．
解法一：3sin2α＋2sin2β＝1?3sin2α＝1－2sin2β，即3sin2α＝cos2β，①
3sin2α－2sin2β＝0?3sinαcosα＝sin2β，②
①2＋②2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1，即9sin2α(sin2α＋cos2α)＝1，
∴sin2α＝.∵α∈(0，)，∴sinα＝.
∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β＝sinα·3sin2α＋cosα·3sinαcosα＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3×＝1.
∵α，β∈(0，)，
∴α＋2β∈(0，)．
∴α＋2β＝.
解法二：3sin2α＋2sin2β＝1 cos2β＝1－2sin2β＝3sin2α，
3sin2α－2sin2β＝0 sin2β＝sin2α＝3sinαcosα，
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·3sinαcosα＝0.
∵α，β∈(0，)，
∴α＋2β∈(0，)．
∴α＋2β＝.
解法三：由已知3sin2α＝cos2β，sin2α＝sin2β，
两式相除，得tanα＝cot2β，
∴tanα＝tan(－2β)．
∵α∈(0，)，∴tanα>0.
∴tan(－2β)>0.
又∵β∈(0，)，
∴－<－2β<.
结合tan(－2β)>0，得0<－2β<.
∴由tanα＝tan(－2β)，得α＝－2β，即α＋2β＝.
例 3求证：＝1－.
活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．
证法一：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，∴原式成立．
证法二：右边＝1－＝
＝
＝＝左边，∴原式成立．
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的应用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本方法．
课本本节习题3—2 A组3,4,5，B组1～3.
1．本节主要学习了怎样推导半角公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查，特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中对符号的判断是经常出问题的地方，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．
备用习题
1．已知cosα＝(＜α＜2π)，则tan等于( )
A. B. C．－ D．－
2．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，则cos等于( )
A．7 B．－7
C．－ D.
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
4．已知θ是第二象限角，sinθ＝，则tan(－)的值为( )
A．7 B．－
C. D．－
参考答案：
1．D 由＜α＜2π可知，角α是第四象限的角，
∴sinα＝－＝－＝－.
∴tan＝＝＝－.
2．D 由已知，得cosα＝－，cosβ＝.
于是cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ
＝－×＋×＝.
∵α为钝角，β为锐角，
∴为锐角．
∴cos＝＝＝.
3．A cos(＋2α)＝cos[π－2(－α)]
＝－cos[2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－.
4．C 由已知sinθ＝，cosθ＝－，
∴tan(－)＝tan(θ－)＝＝＝.
3.3三角函数的积化和差与和差化积
示范教案
教学分析
本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．
三维目标
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．
重点难点
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课
活动：考察公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
从上面这四个公式，又可以得出
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ；
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ；
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ；
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.
这样，上面得出的四个式子可以写成
sinx＋siny＝2sincos；
sinx－siny＝2cossin；
cosx＋cosy＝2coscos；
cosx－cosy＝－2sinsin.
利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．
教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式．
如图1所示．作单位圆，并任作两个向量
图1
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)．
取的中点M，则M(cos，sin)．
连接PQ，OM，设它们相交于点N，则点N为线段PQ的中点且ON⊥PQ.
∠xOM和∠MOQ分别为，.
探索三个向量，，之间的关系，并用两种形式表达点N的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2coscos；sinα＋sinβ＝2sincos.
讨论结果：略
例 1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.
此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，即1－2sinxcosx＝，
∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝(1＋)＝.
变式训练
把cos3θ＋cosθ化成积的形式．
解：cos3θ＋cosθ＝2coscos＝2cos2θcosθ.
例 2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
变式训练
已知A＋B＋C＝180°，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos.
解：因为A＋B＋C＝180°，
所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－.
因此，sinA＋sinB＋sinC＝2sincos＋sin(A＋B)
＝2sincos＋2sincos
＝2sin(cos＋cos)
＝2sin·2coscos
＝2cos·2coscos＝4coscoscos.
例3 证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋).
变式训练
求证：＝.
分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.
证明：原等式等价于＝tan2θ.
而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．
∴上式成立，即原等式得证.
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本本节习题3—3A组1～4，B组1～4.
1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．
一、一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
二、如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于( )
A．－ B．±
C．－ D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－ － 2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，
即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
第三章 三角恒等变换
示范教案
本章知识网络
教学分析
本章三角函数模型是主线，三角变形是关键．三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．本章特点是公式多，但积化和差与和差化积公式不要求记忆．
切实掌握三角函数的基本变形思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．
三角恒等变形是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变形时，除使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变形思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝Asin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入辅助角φ并化成sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)．
高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面，一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变形，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．
学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变形的深刻理解及运用．
三维目标
1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．
2．掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．
3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．
重点难点
教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．
教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变形中的综合运用．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变形的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．
思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点？有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．
推进新课
?1?列出本章所学的公式，理清它们之间的关系，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点？有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？
?2?三角函数的变形灵活性大、方法多，回顾从前所学，三角变形都有哪些？
?3?如果对三角函数变形题型进行归类，那么回顾从前所学，常见的基本题型有哪些？
活动：问题(1)，本章的三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，±β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：
和差正、余弦公式
和差正切公式
二倍角公式
半角公式
积化和差
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
tan(α＋β)＝
tan(α－β)＝
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α
sin＝±
cos＝±
tan＝±
(不作记忆)
(略)
教师引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变形，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变形成另一个与它等价的表达式．三角恒等变形是代数式恒等变形的推广和发展；进行三角恒等变形，除了要熟练运用代数恒等变形的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变形．教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变形，而且还有角的变形，以及不同三角函数之间的变形，使学生领悟有关公式在变形中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变形的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．
问题(2)，教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨，常见的变形有：
①公式变形，数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．
如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanαtanβ＝1－，
1＝tanαtanβ＋，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．
②角的变形，角度变形是三角函数恒等变形的首选方法，在进行三角恒等变形时，对角之间关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变形等．
如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；
－α＝－(＋α)；＋α＝－(－α)等．
还需熟练掌握一些常见的式子：
如：sinx±cosx＝sin(x±)，sinx±cosx＝2sin(x±)等．
问题(3)，教师引导学生回顾总结，适时地点拨学生，常见三角恒等变形的基本题型有求值、化简、证明．
对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变形，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．
对于化简，有两种常见的形式，①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变形、函数变形等各种变形．
对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．②有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．
讨论结果：(1)～(3)略．
思路1
例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2A·tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；
(2)已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变形、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．
教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角”，而条件是“切”且是“单角”．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．
解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]
＝，
∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．
∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝.
∵tanα＝，又α∈(0，)，
即2sinα＝cosα.
又由sin2α＋cos2α＝1，
∴cosα＝.
∴＝.
点评：本题主要回顾了和差公式、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变形公式等方法的灵活运用，本例的两问的解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法.
变式训练
1.＝__________.
解析：＝＝.
答案：
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，
得
∴sinαcosβ＝＝，cosαsinβ＝＝.
∴＝＝×＝.
解法二：(设未知数)令x＝，
∵＝×＝＝＝＝＝.解之，得＝x＝.
例2已知α、β∈(0，)，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．
解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∵α、β∈(0，)，∴0<α＋β<.
∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β)＝2tanα.
由4tan＝1－tan2，得＝1，
即得2tanα＝1，代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α＋β)＝1.
又0<α＋β<，∴α＋β＝.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.
变式训练
已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，
∴tan2(α－β)＝＝.
从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]
＝＝＝＝1.
又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝<1，
且0<α<π，∴0<α<.
∴0<2α<.
又tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，
∴<β<π，－π<－β<－.
∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－.
思路2
例题 已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)f(x)＝＋sin2ωx
＝sin2ωx－cos2ωx＋
＝sin(2ωx－)＋.
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π.
解得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)＋.因为0≤x≤，
所以－≤2x－≤.所以－≤sin(2x－)≤1.
因此0≤sin(2x－)＋≤，即f(x)的取值范围为[0，]．
例2已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0)的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解：f(x)＝2＋sin2ωx＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋2
＝(sin2ωxcos＋cos2ωxsin)＋2＝sin(2ωx＋)＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是，可得＝，所以ω＝2.
(2)解：由(1)知，f(x)＝sin(4x＋)＋2.
当4x＋＝＋2kπ，即x＝＋(k∈Z)时，sin(4x＋)取得最大值1，
所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．
例3 求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．
解：y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6.
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，
最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin2x＝－1时，y取得最大值10；
当sin2x＝1时，y取得最小值6.
1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式，主要是和角公式、差角公式、倍角公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．
2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变形的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．
课本本章巩固与提高7、8.
1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面地复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．
2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．
3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械的训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套题型．
备用习题
1．f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间[0，]上的最小值为－4，那么a的值等于( )
A．4 B．－6
C．－4 D．－3
2．函数y＝sin6x＋cos6x的最小正周期是( )
A. B. C．π D.
3．设a＝2cos228°－1，b＝(cos18°－sin18°)，c＝log，则( )
A．aC．b4．若α是锐角，且sinα＝，则cos(α＋)等于( )
A. B. C．－ D．－
5．函数y＝sin(x－)·cosx的最小值为( )
A. B．－ C．－ D.
6．设向量a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos53°，cos37°)，则a·b等于( )
A. B. C．－ D．－
7．设p＝cosα·cosβ，q＝cos2，那么p、q的大小关系是( )
A．p＞q B．p＜q
C．p≤q D．p≥q
8．已知sin(α＋β)＝－，sin(α－β)＝，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，2π)，则cos2β等于( )
A．－1 B．1
C. D．－
9．已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．
10．化简：(－)·.
11．一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0的两个实数根为tanα和tanβ，
求tan(α＋β)的取值范围及其最小值．
12．设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝(，)，
(1)求tanα；
(2)求.
13．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
参考答案：
1．C ∵f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1，
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．
∴f(x)的最小值为2×(－)＋a＋1＝－4.∴a＝－4.
2．D ∵y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)
＝1－3sin2xcos2x＝1－sin22x＝cos4x＋，
∴T＝.
3．C 4.B
5．C ∵y＝[sin(2x－)＋sin(－)]＝sin(2x－)－，
∵sin(2x－)∈[－1,1]，∴ymin＝－.
6．A 7.C 8.A
9．解：由cos2x≠0，得2x≠kπ＋，解得x≠＋(k∈Z)．
所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠＋，k∈Z}．
因为f(x)的定义域关于原点对称，且
f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
又当x≠＋(k∈Z)时，
f(x)＝＝＝3cos2x－1，
所以f(x)的值域为{y|－1≤y＜或＜y≤2}．
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．关键在于从定义域入手，对函数式子进行化简整理．
10．解：原式＝·
＝·
＝·
＝－8
＝－16＝16.
11．解：由方程有实根，得
所以m的取值范围为m≤且m≠0.
由韦达定理tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，
代入和角公式，得tan(α＋β)＝＝＝－m≥－＝－，
所以tan(α＋β)的取值范围为[－，)∪(，＋∞)，最小值为－.
12．解：(1)a＋b＝(cosα·cosβ－sinα·sinβ＋cosα·cosβ＋sinα·sinβ，sinα·cosβ＋cosα·sinβ＋sinα·cosβ－cosα·sinβ)＝(2cosα·cosβ，2sinα·cosβ)＝(，)，
∴2cosα·cosβ＝，2sinα·cosβ＝.∴tanα＝.
(2)＝＝＝－.
13．反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
证明：左边＝＋＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝1－cos2α＋(cos2αcos60°－sin2αsin60°)＋sinαcosα－sin2α
＝1－cos2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－
＝1－＝
＝右边．
本题是开放性问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝，
sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝，等等．
sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝，其中β－α＝30°.
