1.1.1 角的概念的推广
基础知识
基本能力
1．结合实例，运用变化的观点了解角的概念的推广．(重点)
2．认识象限角与终边在坐标轴上的角．(易错点)
3．掌握终边相同的角的表示方法．(重点、难点)
1．能正确地区分正角、负角和零角．(重点)
2．对于象限角与终边在坐标轴上的角，应知道角的顶点及角的始边的位置的规定．(难点)
3．根据角的代数形式，能判断角所在的位置．(难点)
1．任意角
(1)角的定义．
①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．
(2)角的记法：用一个希腊字母表示或用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)．
(3)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向．习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角；旋转生成的角，又常叫做转角．这样就形成了任意大小的角，即任意角．
(4)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
终边和始边重合的角是零角吗？
答：不一定，零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角．
【自主测试1】钟表的分针在1.5小时内转了( )
A．180° B．－180°
C．540° D．－540°
解析：分针旋转的角为负角，其值为－(360°＋180°)＝－540°.
答案：D
2．终边相同的角
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．
归纳总结相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
【自主测试2】与610°角终边相同的角表示为( )
A．k·360°＋230°，k∈Z
B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z
D．k·360°＋270°，k∈Z
答案：B
3．第几象限的角
平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
【自主测试3－1】已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为角α是第三象限的角，
所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，
则－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k∈Z.
故角－α的终边在第二象限．
答案：B
【自主测试3－2】角－2 013°是第__________象限角．
解析：∵－2 013°＝－6×360°＋147°，且147°角是第二象限角，
∴－2 013°是第二象限角．
答案：二
1．象限角与轴线角的表示
剖析：(1)象限角的集合．
第一象限的角的集合为{x|k·360°＜x＜k·360°＋90°，k∈Z}；
第二象限的角的集合为{x|k·360°＋90°＜x＜k·360°＋180°，k∈Z}；
第三象限的角的集合为{x|k·360°＋180°＜x＜k·360°＋270°，k∈Z}；
第四象限的角的集合为{x|k·360°＋270°＜x＜k·360°＋360°，k∈Z}．
(2)若角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在坐标轴上，称这样的角为轴线角(或象限界角)．
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}；
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}；
终边落在x轴上的角的集合为{x|x＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}；
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合为{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x＝k·90°，k∈Z}．
名师点拨象限角与轴线角的集合的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式．如终边落在y轴的非正半轴上角的集合为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．
2．第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角的区别
剖析：受初中所学角的影响，在解决问题时，考虑的角往往停留在锐角、直角、钝角上，即初中所学角的范围，没有按任意角来看待．其突破方法是把握住各自的取值范围．
锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}；
0°～90°的角的集合是{α|0°≤α＜90°}；
小于90°的角的集合是{α|α＜90°}，包括锐角以及所有的负角和零角；
第一象限的角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，其中有正角和负角．
3．教材中的“思考与讨论”
(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？
(2)如果α分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么分别是第几象限的角？
剖析：(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.
(2)如果α是第一象限的角，则k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，故180°·k＜＜180°·k＋45°，k∈Z.
①若k＝2n，n∈Z，则360°·n＜＜360°·n＋45°，n∈Z，此时为第一象限的角．
②若k＝2n＋1，n∈Z，则360°·n＋180°＜＜360°·n＋180°＋45°，n∈Z，此时为第三象限的角．
所以，当α为第一象限的角时，可以为第一或第三象限的角．
同理，当α为第二象限的角时，可以为第一或第三象限的角；当α为第三象限的角时，可以为第二或第四象限的角；当α为第四象限的角时，可以为第二或第四象限的角．
为此，我们可以用以下方法对角的终边所在的象限的结论进行记忆：
作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴一起把周角等分成8个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上1,2,3,4，如图所示．
标的数字是几的两个区域，就是α为第几象限角时，的终边所在的区域．
题型一 对角的概念的理解
【例题1】下列结论：
①第一象限的角都是锐角；
②锐角都是第一象限的角；
③第一象限的角一定不是负角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的序号为__________(把正确结论的序号都写上)．
解析：①－320°角是第一象限的角，可它不是锐角，故①不正确．
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，所以是第一象限的角，故②正确．
③－330°角是第一象限的角，但它是负角，故③不正确．
④0°的角小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角，也不是锐角，故④不正确．
答案：②
反思解答本题的关键在于正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确，只要举出一个反例即可．
题型二 终边相同的角的问题
【例题2】在与10 030°的角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)360°～720°之间的角．
分析：先写出与10 030°的角终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k即可．
解：与10 030°的角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋10 030°，k∈Z}．
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，k∈Z，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，k∈Z，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，k∈Z，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，k∈Z，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°＜k·360°＋10 030°＜720°，k∈Z，得－9 670°＜k·360°＜－9 310°，k∈Z，解得k＝－26.故所求的角为β＝670°.
反思对于终边相同的角的集合，最大的负角应在－360°～0°之间，最小的正角应在0°～360°之间．
题型三 终边相同的角的集合之间的关系
【例题3】判断下列角的集合的关系：设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则( )
A．AB B．BA
C．A∩B＝ D．A＝B
解析：∵集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·90°，k∈Z}∪{α|α＝2k·90°，k∈Z}＝{α|α＝m·90°，m∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A＝B．
答案：D
反思判断角的集合之间的关系一般有两种方法：一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识)；另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止，根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合之间的关系．
题型 四易错辨析
【例题4】已知角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为__________．
错解：∵角α，β的终边关于y轴对称，∴＝90°＋k·360°(k∈Z)．
错因分析：上述解法仅是关于y轴正半轴对称的情况，而忽视了关于y轴负半轴对称的情况．
正解：∵角α，β的终边关于y轴对称，∴＝90°＋k·180°(k∈Z)，即α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．
答案：α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120°
C．240° D．－240°
答案：D
2．与120°角终边相同的角是( )
A．－600°＋k·360°(k∈Z)
B．－120°＋k·360°(k∈Z)
C．120°＋(2k＋1)·180°(k∈Z)
D．660°＋k·360°(k∈Z)
答案：A
3．在－398°，38°，142°，1 042°四个角中，终边相同的角是( )
A．－398°，38° B．－398°，142°
C．－398°，1 042° D．142°，1 042°
答案：C
4．角α终边上的一点的坐标是P(0，－3)，则角α的集合是__________．
解析：角α的终边与y轴的非正半轴重合．
答案：{α|α＝n·360°＋270°，n∈Z}
5．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是______，上述集合中，在－180°到180°之间的角是__________．
解析：终边在y＝－x上的所有角的集合是{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋120°，n∈Z}．当n＝－1,0时，取得在－180°到180°之间的角为120°，－60°.
答案：{α|α＝n·180°＋120°，n∈Z} －60°，120°
6．判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)第一象限的角小于第二象限的角；
(2)若90°≤α≤180°，则α是第二象限的角．
分析：根据象限角以及轴线角的概念进行判断．
解：(1)由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°～360°间，如390°是第一象限的角，120°是第二象限的角，显然390°＞120°，所以(1)中的叙述是错误的．
(2)因为90°，180°都不是象限角，所以(2)中的叙述是错误的．
1.1.1 角的概念的推广
课堂导学
三点剖析
一、任意角的概念
角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,射线旋转时经过的平面部分为角的内部.如图,射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角,记作∠AOB,OA叫做∠AOB的始边,OB叫做∠AOB的终边;以OB为始边,OA为终边的角记作∠BOA.由图知∠AOB=120°,∠BOA=-120°.
理解角的概念时要注意角的四要素:顶点,始边,终边和旋转方向,角可以是任意大小的.
【例1】 用集合表示下列各角:“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.
思路分析:解决本题关键是明确这几类角的定义,搞清它们之间的关系.
解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α<90°},
第一象限角的集合为{α|k·360°<α锐角的集合为{α|0°<α<90°}.
小于90°的角的集合为{α|α<90°}.
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}.
各个击破
类题演练 1
A={小于90°的角}，B={第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A.{锐角} B.{小于90°的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
解析：小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限角包括锐角和其他终边在第一象限的角.所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成，应选D.
答案：D
变式提升 1
时钟的分针所转的角是正角还是负角？经过下列时间分针所转过的角各是多少度？
（1）12分钟；（2）2小时15分.
思路分析:首先要由分针旋转的方向确定角的符号,其次要注意小时与分的换算.
解：分针所转的角是负角，经过1分钟分针所转过的角是=-6°.
(1)分针走12分钟所转过的角是-6°×12=-72°.
(2)2小时15分=135分，分针走2小时15分所转过的角是-6°×135=-810°.
二、终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
(3)明确以下几点:a.k为整数;b.α为任意角;c.k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°-30°应看成是k·360°+(-30°);d.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；e.终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
【例2】 与-457°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法一：∵-457°=-2×360°+263°,
∴应选C.
解法二：∵-457°与-97°角终边相同，又-97°与263°角终边相同，263°角又与k·360°+263°角终边相同.∴应选C.
答案：C
温馨提示
讨论三角函数问题时，在同一个式子中两种角度制不能混用，如与45°角终边相同的角的集合不能用{x|x=2kπ+45°,k∈Z}表示.正确的表示方法为{x|x=k·360°+45°,k∈Z}或{x|x=2kπ+,k∈Z}.
类题演练 2
(1)写出与15°角终边相同的角的集合;
(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1 080°<α<360°的元素α求出来.
思路分析:对于(1),可利用终边相同角公式写出.
对于(2),可在(1)的基础上,利用满足约束条件的不等式,对其中的k值,采用赋值法求解.
解:(1)与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°,k∈Z}.
(2)在M中适合-1 080°<α<360°的元素是:
取k=-3时,-3·360°+15°=-1 065°.
取k=-2时,-2·360°+15°=-705°.
取k=-1时,-1·360°+15°=-345°.
取k=0时,0·360°+15°=15°,
即元素-1 065°,-705°,-345°,15°为所求.
变式提升 2
如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,那么α与β间的关系是( )
A.α+β=0 B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析:∵α=x+45°+k1·360°,β=x-45°+k2·360°,k1,k2∈Z,
∴α-β=90°+(k1-k2)·360°,即α-β=90°+k·360°,k∈Z.
答案:D
三、象限角
当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合时,那么角的终边(除顶点外)在第几象限角就是第几象限角;当角的终边落在坐标轴上时,称为轴线角,这时这个角不属于任何象限.本概念是以“角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合”为前提,否则则不能从终边的位置来判断某角是第几象限角,轴线角这个概念在教材中没有提到.
【例3】 已知角α是第三象限角，则角-α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
思路分析：角α与角-α表示两旋转方向相反，转过的角度相等的两个角.
解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°<α答案：B
温馨提示
（1）若采用数形结合，角α可看成按逆时针方向旋转，角-α则看成是按顺时针方向旋转;
（2）写出象限角的步骤：第一步，在0°—360°范围内，终边在第一象限内角的取值范围是
0°<α<90°;第二步，加上360°的整数倍，即加上k·360°，k∈Z.其他各象限角的集合，可仿此步骤写出.
类题演练 3
求终边为直线y=-x的角的集合.
思路分析:终边共线且反向的角的写法有二:一是分别写出每条终边所代表的角的集合,再取并集;二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上180°的整数倍.
解法一:由于y=-x的图象是第二、四象限的平分线,故在0°—360°间所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·360°+135°或α=k·360°+315°,k∈Z},
∴S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
解法二:因为终边为y=-x,当x<0时的一个角为135°,所以角α的集合为S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.
变式提升 3
若α是第二象限的角，则2α、各是第几象限的角？写出它们的一般表达形式.
思路分析:对象限角进行和,差,倍,分运算,要注意运用不等式的性质,结果是哪个象限的角,要进行讨论.
解：∵α是第二象限角，
∴k ·360°+90°<α∴2k·360°+180°<2α<2k·360°+３６０°(k∈Z).
∴2α是第三或第四象限角或2α的终边与y轴的负半轴重合.
又∵k·360°+90°<α∴k·180°+45°<当k=2m(m∈Z),m·360°+45°<当k=2m+1(m∈Z),m·360°+225°<综上,可知是第一或第三象限角.
【例4】 已知角α,β的终边有下列关系,分别求α,β间的关系式:
(1)α,β的终边关于原点对称;
(2)α,β的终边关于y轴对称.
思路分析:如图.
仔细观察坐标系中α,β的终边位置的关系,适当地变换其中一个角,使两角终边共线,以便用数量关系表示出.
解:(1)由于α,β的终边互为反向延长线,故α,β相差180°的奇数倍〔如图(1)〕.
于是α-β=(2k-1)·180°(k∈Z).
(2)在0°—360°间,设α的终边所表示的角为90°-θ,由于α,β关于y轴对称〔如图(2)〕,则β的终边所表示的角为90°+θ.
于是α=90°-θ+k1·360°(k1∈Z),
β=90°+θ+k2·360°(k2∈Z),
两式相加得α+β=(2k+1)·180°(k∈Z).
温馨提示
(1)角α,β的终边关于直线y=x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+90°(k∈Z).
(2)角α,β的终边关于直线y=-x对称,则α,β之间满足关系α+β=k·360°+270°,(k∈Z).
类题演练 4
若角α与65°角的终边相同,角β与-115°角的终边相同,那么α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50° B.α-β=180°
C.α+β=k·360°+180°(k∈Z) D.α-β=k·360°+180°(k∈Z)
解析:∵{α|α=k1·360°+65°,k∈Z };{β|β=k1·360°-115°,k∈Z },
∴α-β=k·360°+180°(k∈Z).
答案:D
变式提升 4
若角α是第二象限的角,求角2α的集合A.记B={第一、三象限的角},举例说明AB,BA.
思路分析:用集合表示角,特别是求角的交,并以及集合间的关系时,要注意分类讨论思想的运用.
解:∵90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
∴A={2α|180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z}.
∴270°∈A,270°B.
∴AB.
∵1°∈B,1°A,
∴BA.
温馨提示
要证明AB,只需举一特殊值即可,但要证明AB时,必须验证集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.
1.1.1 角的概念的推广
课堂探究
探究一 有关角的概念问题
1．熟记一些角的概念，如第一象限角α可表示为k·360°<α<90°＋k·360°．
2．熟悉一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之也不成立．
【例1】 下列各种说法正确的是( )
A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角就是锐角
C．锐角是第一象限的角 D．小于90°的角都是锐角
解析：根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定．
因为锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限的角的集合是{α|k·360°<α－60°角与300°角是终边相同的角，它们并不相等，故选项A错误；390°角是第一象限的角，但它不是锐角，故选项B错误；－30°角是小于90°的角，但它不是锐角，故选项D错误．
答案：C
反思 (1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°～90°的角等概念．
(2)本题也可采用排除法，这时需掌握判断说法是否正确的技巧．判断说法正确需要证明，而判断说法错误只需举一反例即可．
探究二 终边相同的角的问题
求与已知角α终边相同的角，首先将这样的角表示成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，然后采用赋值法或解不等式求解，确定k的值，求出适合条件的角．
【例2】 在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在－360°～360°范围内的角？
分析：从代数角度看，取k＝…，－2，－1,0,1,2，…，可以得α为…，－135°，－45°，45°，135°，225°，…；从图形角度看，是以45°角为基础，依次加上(或减去)90°的整数倍，即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得各角，如图所示，结合图形求解．
解：(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有4种，分别是与45°，135°，225°，315°角的终边相同的角．
(2)令－360°≤k·90°＋45°＜360°，得－≤k＜．
又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3．
所以在－360°～360°范围内的角共有8个．
反思 把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，会使这类问题处理起来更容易些．数形结合是解决数学问题的重要方法之一，做题时要注意自觉地应用．
探究三 已知角α终边所在象限，求(n∈N＋)终边所在象限
一般地，要确定 (n∈N＋)所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是当α为第几象限的角时，终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出．
【例3】 已知α是第一象限的角，求终边所在位置．
解法一：因为α是第一象限的角，
所以k·360°<α所以k·120°<所以当k＝3n，n∈Z时，n·360°<当k＝3n＋1，n∈Z时，n·360°＋120°<当k＝3n＋2，n∈Z时，n·360°＋240°<所以的终边在第一象限或第二象限或第三象限，如图(1)所示．
图(1) 图(2)
解法二：如图(2)所示，先将各象限分成三等份，再从x轴正向上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为的终边所落在的区域，故的终边在第一象限或第二象限或第三象限．
点评 上述两种解法各有优缺点，解法一可以求出具体的，但运算量大，解法二只能粗略判断所在的象限，但操作简单．
探究四 终边相同的角的集合之间的关系
解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素．其方法有：一是将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识，即分类讨论)；二是用列举法把集合具体化，对各集合中表示角的式子中的k赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止，根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合的关系．
【例4】 已知集合A＝{α|30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°<β<45°＋k·360°，k∈Z}，求A∩B．
解：因为30°＋k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z，
所以当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时，30°＋n·360°<α<90°＋n·360°，n∈Z；
当k为奇数，即k＝2n＋1(n∈Z)时，210°＋n·360°<α<270°＋n·360°，n∈Z，
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内，集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内．
所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内．
所以A∩B＝{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
规律总结 区域角表示的步骤：①借助图形，在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域；②确定－360°<α<360°范围内的基本角，即区域起始及终止边界所对应的角；③写出终边相同的角的集合．解决终边相同的角的集合问题，一般都是利用图象数形结合解题．
探究五 易错辨析
易错点：考虑不全面，忽视对称轴可分为两个半轴
【例5】 已知α，β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为__________．
错解：因为α，β角的终边关于y轴对称，
所以＝90°＋k·360°(k∈Z)．
错因分析：上述解法仅是关于y轴非负半轴对称的情况，而忽视了关于y轴非正半轴对称的情况．
正解：因为α，β角的终边关于y轴对称，
所以＝90°＋k·180°(k∈Z)，即α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．
答案：α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
点评 解此类问题一般先画出图形，从图形中得出有关直线的对称直线，再利用终边相同的角的表示方法来解决．
1.1.1 角的概念的推广
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解任意角的概念，注意任意角的三个要素：顶点、始边、终边．用旋转的观点来定义角，抓住：(1)旋转方向；(2)旋转大小．
2．理解并掌握终边相同的角，会将角放在坐标系中去体会．
3．掌握象限角及轴线角的表示．
1．任意角
(1)角的定义．
①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角，又常叫做转角．
(2)角的记法．
用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)．
(3)角的分类．
任意角
定义
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有作任何旋转而成的角
(4)角的运算．
引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
归纳总结(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．
(2)高中阶段所说的角实际上是初中平面几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念的推广，这里重点强调“角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的”这一运动的观点．
(3)角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．
2．终边相同的角
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．
归纳总结 (1)α为任意角．
(2)k·360°－α，k∈Z可理解为k·360°＋(－α)，k∈Z．
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不可少．
(5)零角的始边和终边相同，但始边和终边相同的角并不一定是零角．
自主思考1已知介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如{x|60°提示：(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，再在它的两端加上k·360°，k∈Z即可．
(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上k·180°，k∈Z即可．例如，求终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角{α|45°≤α≤60°}，故终边落在如图阴影内(包括边界)的角的集合为{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+60°，k∈Z}．
3．第几象限的角
(1)在平面直角坐标系xOy中，平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
(2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
自主思考2 第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角有何差别？
提示：锐角是0°<α<90°的角；
0°～90°的角是0°≤α<90°的角；
小于90°的角是α<90°的角，包括锐角以及所有负角和零角；
第一象限的角是{α|k·360°<α锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限的角的关系用Venn图表示如图所示．
自主思考3各象限角与终边在坐标轴上的角的集合如何表示？
提示：(1)象限角的集合．
象限角
集合表示
第一象限的角
{α|k·360°<α第二象限的角
{α|k·360°＋90°<α第三象限的角
{α|k·360°＋180°<α第四象限的角
{α|k·360°＋270°<α(2)终边在坐标轴上的角的集合．
角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
基础知识
基本能力
1．理解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点)
2．能够熟练地进行角度制和弧度制的换算．(重点、易混点)
3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)
1．能正确地区分角度制和弧度制，并能用统一的单位来表示角．(难点)
2．对于角度制与弧度制的换算，要牢牢掌握“180°＝π rad”这一重要关系式．(重点)
3．能正确运用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式解决相关问题．(难点)
1．度量角的两种单位制
名师点拨今后我们在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数．
角α＝2 013°和α＝2 013一样吗？
答：不一样.2 013°表示2 013度，而2 013表示2 013 rad.弧度单位可以省略，但度这个单位不能省略．
【自主测试1】在半径不相等的圆中，1 rad的圆心角所对的( )
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
答案：D
2．角度与弧度
(1)角度与弧度的换算.
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
(2)特殊角的弧度数.
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
【自主测试2－1】弧度化为角度是( )
A．150° B．145°
C．135° D．235°
解析：∵1 rad＝°，
∴ rad＝×°＝°＝150°.
答案：A
【自主测试2－2】把－300°化为弧度是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：－300°＝－300×＝－.
答案：B
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
名师点拨使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有很多优越性，但是如果已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免繁琐的计算过程．
【自主测试3－1】半径为12 cm，弧长为8π cm的圆弧，其所对的圆心角为α，则α＝__________.
答案：rad
【自主测试3－2】若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所在的扇形面积为__________cm2.
解析：根据面积公式S＝lr，可得S＝×4×＝4(cm2)．
答案：4
1．弧度制与角度制的关系
剖析：(1)1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°是圆周的所对的圆心角的大小．
(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度．
(4)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．
(5)在今后表示角的时候，常常使用弧度制，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，例如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋(k∈Z)都是不正确的．
2．教材中的“思考与讨论”
请你把扇形面积公式与三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？
剖析：扇形的面积公式S＝lr，其中l为扇形的弧长，r为扇形所在圆的半径；三角形的面积公式S＝ah，其中a为三角形的底边长，h为边长为a的底边上的高．扇形可以看作是特殊的三角形，其中将弧长看作是三角形的底边，半径看作是三角形底边上的高．
题型一 角度、弧度的概念
【例题1】下列各命题中，不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关
解析：用角度制或弧度制度量角都与圆的半径的长短无关，否则将不可能作为度量角的标准，所以D项中的命题是不正确的．
答案：D
反思弧度制是用“弧度”来度量角的一种度量制度，这种制度的基本单位是“弧度”，没有辅助单位，不像角度制，除基本单位“度”外，还有辅助单位“分”“秒”．
题型二 角度制与弧度制的互化
【例题2】填空：(1)18°＝__________rad；
(2)67°30′＝__________rad；
(3)＝__________度．
解析：(1)18°＝×18＝rad.
(2)67°30′＝67.5°＝×67.5＝rad.
(3)＝×°＝54°.
答案：(1) (2) (3)54
反思(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能帮助我们更快更准确地进行运算．
(2)如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是°＝°.
题型三 用弧度表示终边相同的角
【例题3】已知α＝2 016°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－6π，0)上找出与α终边相同的角．
分析：(1)可将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断α是第几象限的角．
(2)关键在于由－6π≤β＋2kπ＜0求出k的取值．
解：2 016°＝2 016×＝＝5×2π＋.
∵是第三象限的角，
且α＝2 016°与角终边相同，∴α是第三象限的角．
(2)找出与α终边相同的角，即找出与角终边相同的角，令－6π≤＋2kπ＜0，k∈Z可得，满足条件的角有－，－，－.
反思不管用角度制还是用弧度制表示终边相同的角，一定要注意单位统一．
〖互动探究〗本例(2)中的结论有3个角满足条件，这其中有何规律？
解：[－6π，0)这个区间恰为3个圆周，恰好每一周有一个满足条件的角.
题型四 扇形面积公式和弧长公式的应用
【例题4】一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
分析：解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定．由已知可得，圆心角的大小为，然后利用相关公式求解即可．
解：(1)如图，∵在半径为r的圆O中，弦AB＝r，则△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝.由弧长公式，得弦AB所对的劣弧长为r.
(2)∵S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝r2，
S扇形OAB＝|α|r2＝××r2＝r2，
∴S弓形＝S扇形OAB－S△AOB＝r2－r2＝r2.
反思图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形面积看成是由扇形面积与三角形面积的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题．此类数形结合的题目，要尽可能地从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口．
〖互动探究〗扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积．
分析：灵活选用扇形的弧长公式、面积公式，转化成求函数最值的问题．
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，则弧长为l＝20－2r.
由20－2r＞0，得0＜r＜10.
由20－2r＜2πr，得r＞.
∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，r∈，
∴当r＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时圆心角α＝＝＝＝2 rad.
1．下列各命题中，正确的是( )
A．1弧度是一度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是一度的弧与一度的角的和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析：根据1弧度的定义，对照各选项，可知选项D中的叙述是正确的．
答案：D
2．半径为π cm，圆心角为的弧长为( )
A．cm B．cm
C．cm D．cm
解析：由弧长公式得，×π＝cm.
答案：D
3．圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A． B． C． D．2
解析：如图所示，设圆的半径为R，圆的内接正三角形的边长为a，则△ABC的高h＝a.又R＝h＝a，所以a＝R.圆弧长度为R的圆心角的弧度数|α|＝＝.
答案：C
4．集合M＝，N＝，
则( )
A．M＝N B．MN
C．NM D．M∩N＝
解析：分别取k＝…，－1,0,1,2，…得
M＝，
N＝，
易看出，M中的元素在N中都有，而N中的元素如M.∴MN.故选B．
答案：B
5．(2012·重庆期末)下列各角中，与的终边在同一条直线上的是( )
A． B． C．－ D．－
答案：C
6．扇形圆心角为2弧度，所对弦长为2，求所对的弧长．
解：如图所示，设OC平分∠AOB并交AB于点D，则AD＝1.
在Rt△ADO中，OA＝，
即半径r＝，
从而的长为2·＝.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课堂导学
三点剖析
一、弧度制的定义
【例1】 如图所示，圆心角∠AOC所对的弧的长l分别为r,2r,2πr,4πr,如果圆心角表示正角，它的弧度数分别是多少？如果圆心角表示负角，它的弧度数又分别是多少？
思路分析：从圆心角与弧度的关系出发，结合正角、负角的概念，分别求出各角的弧度数.当圆心角∠AOC表示正角时，弧长l为r,2r,2πr,4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是1，2，2π,4π.
当圆心角∠AOC表示负角时，弧长l为r,2r ,2πr,4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是-1，-2，-2π,-4π.
温馨提示
（1）角的大小与圆的半径长短无关，仅与弧长与半径的比值有关；
（2）一般地，正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.
各个击破
类题演练 1
下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.
根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D为真命题.
答案:D
变式提升 1
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.
根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D不正确.
答案:D
二、角度与弧度之间的互化
(1)将角度化成弧度:
360°=2π rad;180°=π rad;
1°=rad≈0.017 45 rad.
(2)将弧度化成角度:2π rad=360°;π rad=180°;
1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(3)弧度制和角度制的互化是本节的重点,也是难点.互化的实质是一种比例关系:=,将要求的部分解出,再添上相应的单位即可.
需记住特殊角的弧度数.(见教材,本书略)
【例2】 -300°化为弧度是（ ）
A. B. C. D.π
思路分析：依据1 °=弧度进行转换.
解析：∵1°= rad,∴-300°= rad.
∴应选B.
答案：B
类题演练 2
(1)将112°30′ 化为弧度；
（2）将 rad化为度.
解:（1）∵1°= rad,
∴112°30′=×112.5 rad= rad.
(2)∵1 rad=()°,
∴ rad=-( rad×)°=-75°.
温馨提示
弧度与角度互化，要牢记π rad=180°.
变式提升 2
时钟经过一小时,时针转过了( )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
解析:由于时钟经过12小时转了-2π rad,
所以时钟经过1小时转了 rad.
答案:B
【例3】 设角α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°—0°之间找出它们有相同终边的所有角.
思路分析:运用弧度与角度的互化公式,用待定系数法去找一个k,α1,α2化为2kπ+α的形式,而β1,β2化为k·360°+α的形式(k∈Z).
解：(1)∵180°=π rad,
∴-570°=-570×=.
∴α1==-2×2π+.
同理,α2=2×2π+.
∴α1在第二象限,α2在第一象限.
(2)∵β1==(×°)=108°,
设θ=k·360°+β1(k∈Z).
由-720°≤θ<0°,
∴-720°≤k·360°+108°<0°.
∴k=-2或k=-1.
∴在-720°—0°间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.
同理,β2=-360°-60°=-420°,且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.
类题演练 3
用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.（如图所示）
解：先找准两个边界所对应的在0°—360°范围内的角 .边界在第二象限对应的角为120°,边界在第三象限对应的角是225°.
如上图所示，以OB为终边的角225°可看成-135°,化为弧度.而120°=.
∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
（1）回答问题要弄清角的大小，防止出现矛盾不等式而造成混乱.
(2)在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度).
变式提升 3
若集合A={α|α=-,k∈Z},B={α|-π<α<π},求A∩B.
解:由交集定义,知-π<-<π,即-1<-<1,
∴.
由k∈Z,知k=-1,0,1,2.
当k=-1,0,1,2时,α=,故A∩B={}.
三、弧长公式和扇形面积公式
在弧度制下,弧长公式和扇形的面积公式分别为l=α·r;S=l·r=α·r2.
在角度制下,弧长公式和扇形的面积公式分别为l=;S=.
【例4】 解答下列各题:
(1)求半径为2,圆心角为的圆弧的长度.
(2)在半径为6的圆中,求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积.
(3)如图(1),在半径为10,圆心角为的扇形铁皮ADE上,截去一个半径为4的小扇形ABC,求留下部分环形的面积.
思路分析:引进弧度制后,简化了初中所学的弧长和扇形面积的计算公式.在弧长(l),扇形面积(S),圆心角度数(α)和圆半径(R)这四个量的有关计算中,应明确“知其二，得其二”.
解:(1)∵半径R=2,圆心角α=,
∴弧长l=α·R=.
(2)如图(2)所示.
∵AB=6,OA=OB=6,
∴∠AOB=.
∴扇形AOB的面积S△AOB=l·R
=α·R2=××62=6π.
又∵△AOB是等边三角形,
∴S△AOB=×62=.
∴弓形面积S=6π-.
(3)∵圆心角α=60°=,
∴S扇形ADE=α·AD2=,S扇形ABC=α·AB2=.
∴环形BCED的面积为S=-==14π.
类题演练 4
已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积.
思路分析：正确运用弧度制与角度制换算公式及弧长面积公式，先把120°
化为弧度，再用公式l=|α|r求弧长；用公式S=lr求扇形面积；用公式S=r2sinθ,求三角形的面积，从而得出弓形的面积.
解：∵120°=120×=,r=6,∴l=|α|r=×6=4π.又∵S扇形=lr=×4π×6=12π,S△AOB=r2sin=,
∴S弓形=S扇形-S△AOB=12π-.
温馨提示
弧长公式l=|α| ·r以及扇形面积公式S=lr都是弧度制下的公式.因此，运用时必须把角度化成弧度.
变式提升 4
已知一扇形的中心角是α,其所在圆的半径是R.
（1）若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l,弓形面积为S弓形.
∵α=60°=，R=10 cm,
∴l=|α|R= cm.
∴S弓形=S扇形-S△=lR-R2sinα=××10-×102sin60°=50(-) cm2.
(2)∵扇形周长C=2R+l=2R+|α|R,∴R=.
∴S扇=αR2=α·()2
=,
当且仅当α=,即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积最大，最大面积是.
温馨提示
用弧度制表示的弧长和扇形面积公式l=|α|·r和S=l·r,比角度制的求弧长和面积公式l=和S=更简单，在实际中的应用也更广泛.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
课堂探究
探究一 弧度制的概念
必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强应用，才能快速地掌握该定义．
【例1】 下面各命题中，是假命题的为__________．(填序号)
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径的大小有关．
解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与所在圆的半径的大小无关，而是与圆心角的大小有关，所以④是假命题．
答案：④
点评 要记住1°角及1 rad角的定义，以免概念混淆．
探究二 角度制与弧度制的互化
牢记关系式180°＝π rad，它是推导角度与弧度换算公式的关键．利用1°＝ rad可将角度化成弧度；利用1 rad＝°可将弧度化成角度．
如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如，2弧度化为度应是°＝°．
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若角β∈[－4π，0]，且角β与(1)中角α的终边相同，求角β．
分析：利用角度与弧度的关系将－1 480°化为弧度即可，由角β的范围及β＝α＋2kπ(k∈Z)即可求出角β．
解：(1)因为－1 480°＝＝－10π＋，且0≤<2π，所以－1 480°＝＋2×(－5)π．
(2)因为角β与角α的终边相同，
所以β＝α＋2kπ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为β∈[－4π，0]，
所以β1＝－2π＝，β2＝－4π＝．
所以β＝或．
反思 在一定的约束条件下，求与角α终边相同的角，一般地，先将满足约束条件的角表示为2kπ＋α(k∈Z)的形式，再在约束条件下确定k的值，进而求出满足条件的角．
探究三 用弧度制表示角的集合
用弧度制表示角的集合，实质是角度表示角的集合在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一．
【例3】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
分析：
解：(1)如图(1)所示，以OB为终边的角为225°，可看作－135°，因为－135°＝，135°＝，所以．
(2)如图(2)所示．
因为30°＝，210°＝，
所以∪
＝∪
＝．
所以即为所求．
反思 (1)表示角的集合时，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用．
(2)进行区间合并时，要做到准确无误，注意π的整数倍．
(3)还要注意角的终边所在的阴影部分的边界是实线还是虚线．
探究四 扇形面积公式，弧长公式的应用
根据已知条件选用弧长公式及扇形面积公式或它们的变形，有时要利用列方程(组)、二次函数的最值、平面几何等知识解决问题．
【例4】 解答下列各题：
(1)已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解：(1)设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，则l＝4－2r．
因为S扇形＝，所以(4－2r)·r＝1，解得r＝1，l＝2．
所以圆心角的弧度数为α＝＝2(rad)．
(2)设扇形的弧长为l cm．
因为72°＝72×＝ (rad)，
所以l＝|α|·r＝×20＝8π(cm)．
所以扇形的面积S＝＝×8π×20＝80π(cm2)．
反思 利用弦长公式和扇形面积公式解题时，常用到方程思想，同时要注意解的取舍．
【例5】 已知扇形的周长为10 cm，则当扇形的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r cm，则弧长为(10－2r)cm，
由题意得S＝ (10－2r)·r＝－r2＋5r
＝＋，
所以当r＝ cm时，Smax＝ (cm2)．
此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．
综上所述，当扇形的半径为cm和圆心角为2 rad时，扇形的面积最大．
反思 求面积的最值关键是找出面积关于一个变量的函数，针对此题莫忘记函数的定义域的求解，还有求二次函数的最值一般用配方法．
探究五 易错辨析
易错点：误认为不同区间角中的k是一致的
【例6】 已知＋2kπ<α<＋2kπ，2kπ<β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范围．
错解：由已知两式左右两边分别相加，可得＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z．
错因分析：此题的错因是对终边相同的区间角理解不到位，误认为两式中的k是一致的，从而缩小了α＋β的范围．
正解：因为＋2k1π<α<＋2k1π，k1∈Z，
2k2π<β<＋2k2π，k2∈Z，
所以＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π，k1，k2∈Z．
又因为k1，k2∈Z，所以存在整数k，使得k＝k1＋k2．
所以＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解弧度制的定义．
2．掌握角度与弧度的换算公式，并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数．
3．理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
4．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并会运用其解决问题．
1．弧度制
(1)弧度制．
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制的角，其单位符号为rad，读作：弧度．
(2)弧度数．
在半径为r的圆中，弧度为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝，弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．
总结：(1)不同半径的圆中相同的圆心角所对的角的弧度数是相同的．
(2)用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角α＝10就表示α是10弧度的角．
(3)和角度制相比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如＋k·360°或60°＋2kπ的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k·360°＋α等．
(3)度量．
①一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．
②角α的弧度数的绝对值为|α|＝ (其中l是以角α作为圆心角所对的弧长，r是圆的半径)．
(4)弧度制与角度制的比较．
角度制
用度作为单位来度量角的单位制
角大小与半径无关
单位“°”不能省略
角的正负与方向有关
六十进制
弧度制
用弧度作为单位来度量角的单位制
角大小与半径无关
单位“rad”可以省略
角的正负与方向有关
十进制
2．角度制与弧度制
(1)角度制与弧度制的换算．
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝rad≈0．017_45rad
1 rad＝°≈57．30°
(2)特殊角的弧度数．
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
(3)对应关系．
角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．
注意：(1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是零)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同．
(2)以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，若无特殊要求，不必把π写成小数，如30°＝．
自主思考1 正实数、负实数、零与哪些角是一一对应关系？
提示：
自主思考 2 如何用弧度制表示象限角与坐标轴上的角？
提示：(1)象限角的表示：
角α终边所在的象限
集合
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
(2)坐标轴上角的表示：
角α的终边所在的坐标轴
集合
x轴非负半轴
x轴非正半轴
x轴
y轴非负半轴
y轴非正半轴
y轴
坐标轴
3．扇形的弧长及面积公式
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面
积公式
S＝
S＝r2＝rl
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
特别提醒 (1)在运用公式时，观察已知的是弧长还是弧度数，选择合适的公式代入．
(2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)有相似的形式．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝|α|r，|α|＝，r＝；
②|α|＝．
(4)比值只反映弧所对圆心角的大小，不反映圆心角的方向，应注意|α|＝中的绝对值符号，否则会漏掉．
(5)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．
1.1任意角的概念与弧度制
知识梳理
1.任意角
(1)角的定义
①静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角即任意角.
(3)角的记法：用一个希腊字母表示；用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”).
(4)角的分类：按旋转方向分为正角、零角、负角；按终边所在位置分为象限角和象限界角.
2.终边相同的角
(1)规定：将角的始边与x轴的正半轴重合，角的顶点与原点重合，这样就把角放在直角坐标系中.这样给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应，但是，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角有无数个.
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式.
3.象限角和象限界角
(1)象限角：在平面直角坐标系xOy中，总是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，如果角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
(2)象限界角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，我们把它称为象限界角.
(3)表示
第一象限角的集合：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；
第二象限角的集合：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}；
第三象限角的集合：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈Z};
第四象限角的集合：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}；
终边落在x轴的正半轴上的角的集合：{α|α=k·360°,k∈Z}；
终边落在x轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+180°,k∈Z}；
终边落在x轴上的角的集合：{α|α=k·180°,k∈Z}；
终边落在y轴的正半轴上的角的集合:{α|α=k·360°+90°,k∈Z}；
终边落在y轴的负半轴上的角的集合：{α|α=k·360°+270°,k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：{α|α=k·180°+90°,k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α=k·90°,k∈Z}.
象限角与象限界角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式.例如：终边落在y轴的负半轴上的角的集合也可以表示为{x|x=k·360°-90°,k∈Z}.
4.弧度制
(1)定义：以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.
(2)度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角.
(3)记法：弧度单位用符号“rad”表示或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.
5.弧度制与角度制的换算
(1)换算公式：α(rad)=()°，n°=(rad).
(2)特殊角的弧度数
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
6.弧度制下的公式
如图1-1-1所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对圆心角的弧度数.
图1-1-1
(1)弧度数公式：|α|=；
(2)弧长公式：l=|α|r；
(3)扇形面积公式：S=lr=|α|r2.
知识导学
1.课前复习初中学习过的角的定义、特点、范围.
2.学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求通过弧度制来认识任意角.要实现这一目标，可以多做角度与弧度的互化练习，熟记常用特殊角的弧度数.
疑难突破
1.当角α与角β的终边相同时，α与β相等吗？为什么与角α终边相同的角的集合可以写成S={β|β=α+k·360°,k∈Z}?
剖析:角的定义有两种：静态定义和动态定义.难点是受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.突破这个难点的途径是用角的动态定义来分析.
若α、β的终边相同，则它们的关系为将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得β，所以α、β的数量关系为：β=k·360°+α(k∈Z)，即α、β的大小相差360°的整数k倍.所以α与β不一定相等.
例如：β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°.
将30°角的终边按逆时针旋转1周即得角β=1·360°+30°=390°；按逆时针旋转2周即得角β=2·360°+30°=750°；按逆时针旋转3周即得角β=3·360°+30°=1 110°；按逆时针旋转4周即得角β=4·360°+30°=1 470°；…；所以390°，750°，1 110°，1 470°，…都与30°角的终边相同.
将30°角的终边按顺时针旋转1周即得角β=(-1)·360°+30°=-330°；按顺时针旋转2周即得角β=(-2)·360°+30°=-690°；按顺时针旋转3周即得角β=(-3)·360°+30°=-1 050°；按顺时针旋转4周即得角β=(-4)·360°+30°=-1 410°；…；所以-330°，-690°，-1 050°，-1 410°…都与30°角的终边相同.
由以上可看出β与30°角的终边相同，但是β不一定等于30°，它们的数量关系是β=k·360°+30°(k∈Z).
因此所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下几点：
(1)上式中角α为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“+”.如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，即与-30°角终边相同的角；
(4)终边相同的角不一定相等，但是相等的角，终边一定相同；
(5)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角(一般找0°—360°的角)，然后用集合和符号语言表示出来.
2.第一象限角、小于90°的角、0°—90°的角、锐角这四种角有什么差别？
剖析:受初中所学角的影响，看到这四种角，往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角即初中所学角的范围内，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住其各自的取值范围.
这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角{α|0°＜α＜90°},0°—90°的角{α|0°≤α≤90°}，小于90°的角{α|α＜90°}，第一象限角是{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90°的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.
3.为什么β=k·360°+(k∈Z)这种写法是错误的？
剖析:很多同学这样写，但是并不认为是错误的，并且屡错屡犯，很难改正.突破口是正确认识角度制和弧度制.
弧度制和角度制一样，都是度量角大小的方法，只是单位不同.在同一道题目中，用了弧度制后，就不能再用角度制；同样，用了角度制后，也不能再用弧度制，即角度制和弧度制不能混用.就像长度单位米和千米一样，不能写出1米+1千米这样的式子，这样会容易引起混乱.就如同人的穿着打扮全身要上下协调一样，写成β=k·360°+(k∈Z)，就像一个人上身穿着羽绒服，脚上穿着凉鞋一样，这种打扮显然是不合适的.所以角度制与弧度制必须分开使用，不能在同一问题中混合使用.
弧度制与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上都是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示.
