1.3.1 正弦函数的图象与性质
第一课时 正弦函数的图象与性质
基础知识
基本能力
1．掌握用“五点法”作正弦函数简图的方法．(重点、难点)
2．掌握由y＝sin x的图象理解正弦函数的性质，并会应用性质解决问题．(重点)
3．了解周期函数的概念．(易错点)
1．会求正弦函数的周期、单调区间和最值．(重点)
2．能够运用整体思想，将ωx＋φ看作一个整体来求单调区间、周期等．(重点、难点)
1．正弦函数的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y＝sin x，x∈R的图象如下图．
其中在x∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
【自主测试1】y＝－sin x的图象的大致形状是图中的( )
答案：C
2．正弦函数的性质
(1)定义域：R.
(2)值域：[－1,1]，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，正弦函数取得最小值－1.
(3)周期性：最小正周期为2π.
(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间(k∈Z)上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间(k∈Z)上，都从1减小到－1，是减函数．
【自主测试2】函数y＝sin x(0＜x≤2π)的值域是__________．
答案：[－1,1]
3．周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．
是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．
答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝a(a为常数)就没有最小正周期．
【自主测试3】f(x)＝sin x，x∈R是( )
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
解析：由正弦函数的性质，可知f(x)的最小正周期为2π.又由f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，得f(x)是奇函数．
答案：B
1．探讨正弦函数图象的对称性
剖析：因为y＝sin x为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即kπ(k∈Z)个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(kπ，0)(k∈Z)，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，它们是图象与x轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，它们是过图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线．
2．对周期函数概念的理解
剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：
①“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内且等式成立．②从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如f(2x＋T)＝f(x)恒成立，但T不是f(x)的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．④周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．
3．教材中的“？”
(1)请同学们观察下图，说明将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
剖析：函数y＝sin xy＝sin x＋1(也可以说，将函数y＝sin x的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y＝sin x＋1的图象)．
(2)请同学们自己动手推导：函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0，x∈R)的周期为T＝.
剖析：设u＝ωx＋φ，因为y＝sin u的周期是2π，
所以sin(u＋2π)＝sin u，
即sin[(ωx＋φ)＋2π]＝sin(ωx＋φ)＝sin.
这说明，当自变量由x增加到x＋，且必须增加到x＋时，函数值重复出现．因此y＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T＝.
说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T＝.
归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．
(1)公式法：对于y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝.
(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期．
题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象
【例题1】用“五点法”作出y＝sin的图象．
分析：先把x＋看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x，然后求出y.
解：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
x＋
π
2π
y
1
0
－1
0
1
在直角坐标系中描出表中的五个关键点，并用光滑的曲线连接，然后向两边扩展，得下图所示的图象，即为所求作的图象．
反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x＋＝π，2π附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x＋＝，，附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些．
题型二 讨论有关正弦函数的性质
【例题2】讨论y＝－sin x＋的性质．
分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手．
解：先用“五点法”作出y＝－sin x＋的图象，如下图．
由图象去分析函数的性质，如下：
(1)定义域：R.
(2)值域：[0,1]．
(3)最值：当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取最小值0；
当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取最大值1.
(4)奇偶性：是非奇非偶函数．
(5)周期性：最小正周期为2π.
(6)单调性：在区间(k∈Z)上是增函数；
在区间(k∈Z)上是减函数．
反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果．
题型三 正弦函数性质的简单应用
【例题3】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝.
分析：利用函数奇偶性的定义进行判断．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵函数应满足1＋sin x≠0，
∴函数的定义域为.
∴函数的定义域不关于原点对称．
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
【例题4】求函数y＝2sin的单调递增区间．
分析：把“＋2x”整体换元，代入正弦函数y＝sin x的单调区间，求出x即可．
解：设t＝＋2x，则t＝＋2x是关于x的增函数，而y＝sin t的单调递增区间为t∈(k∈Z)．
故2x＋∈(k∈Z)．
解得x∈(k∈Z)．
因此函数y＝2sin的单调递增区间为 (k∈Z)．
反思如果x的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换．
〖互动探究〗若将本例中的函数改为y＝2sin，求其单调递增区间．
解：∵y＝2sin＝－2sin，
∴只需求出y＝2sin的单调递减区间．
令2x－∈(k∈Z)，
解得x∈(k∈Z)．
因此函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
1．函数f(x)＝sin是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为2π的偶函数
答案：A
2．下列函数的图象与下图中曲线一致的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝|sin x|＋
C．y＝|sin 2x| D．y＝|sin 2x|＋
答案：B
3．比较大小：
(1)sin__________cos；
(2)sin__________sin.
解析：(1)∵cos＝sin，
又＜＜＋＜，但y＝sin x在上是减函数，
∴sin＞sin＝cos，
即sin＞cos.
(2)∵－＜－＜－＜0，且y＝sin x在上是增函数，
∴sin＞sin.
答案：(1)＞ (2)＞
4．若x∈，函数y＝sin的最大值为__________，相应的x值为__________．
解析：∵x∈，
∴2x＋∈.
故当2x＋＝，
即x＝时，y取最大值.
答案：
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝＋.
解：(1)f(x)＝sin＝－cos，x∈R.
又f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
故函数f(x)＝sin是偶函数．
(2)由
得sin x＝1，
故f(x)＝0，x∈.
故函数f(x)＝＋是非奇非偶函数．
6．求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的最大值和最小值．
解：y＝2cos2x＋5sin x－4＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－22＋.
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1，
即x＝2kπ－(k∈Z)时，y有最小值－9；
当sin x＝1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，y有最大值1.
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂探究
探究一 用“五点法”作函数的图象
1．“五点法”是作三角函数简图的常用方法，要掌握好五点的选取及连线的光滑、凸凹方向．
2．作图过程中，要注意体会整体代换的思想．
3．在解题中，常用“五点法”作出简图，使计算更加快捷．
【例1】 作出y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图．
解：列表得：
x
－π
－
0
π
y
0
1
0
－1
0
作出图象如图所示：
探究二 正弦函数图象的应用
利用正弦函数的图象可以求解形如sin x>a或sin x
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋．
分析：(1)只需求2sin x＋1≥0的x的取值集合，即求sin x≥－的x的集合，可先求出在一个周期内适合条件的区间，再根据函数的周期性，加上2kπ(k∈Z)即可；(2)可转化为解不等式组先将满足两个不等式的x的范围解出，然后再在数轴上求交集．
解：(1)由题意知2sin x＋1≥0，sin x≥－．
因为在一个周期上符合条件的角的范围为，
所以函数定义域为(k∈Z)．
(2)根据函数表达式可得
?
在数轴上表示出这两个不等式，如图所示，可得函数定义域是[－5，－π]∪[0，π]．
规律总结 正弦函数y＝sin x的定义域为R，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，则由解析式有意义得到关于正弦或余弦的三角不等式组，而解三角不等式(组)，可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
【例3】 求方程sin x＝，x∈[－3π，3π]的解的个数．
分析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x与y＝的图象，观察交点个数．
解：如图所示：
由图中看出两函数有7个交点，所以sin x＝，x∈[－3π，3π]有7个解．
技巧点拨 将方程的根转化为函数图象的交点时，要注意图象的边界何时处在相离的位置，要观察全面．
探究三 正弦函数性质的应用
【例4】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝．
分析：利用函数奇偶性的定义进行判断．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
所以f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)函数应满足1＋sin x≠0，
所以函数的定义域为．
所以函数的定义域不关于原点对称．
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
规律总结 (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法，即偶函数也可判断f(x)－f(－x)＝0或＝1(f(x)≠0)；奇函数也可判断f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)．
【例5】 比较下列各组数的大小：
(1)sin 和sin ；
(2)sin和sin；
(3)sin和sin；
(4)sin 194°和cos 160°．
分析：变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．
解：(1)sin＝sin＝sin．
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin (2)因为－<－<－<，y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin>sin．
(3)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin．
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，
所以sin(4)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°．
因为0°<14°<70°<90°，
所以sin 14°所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°．
方法归纳 常利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小，其方法是：
(1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较；
(2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函数，然后再比较．
【例6】 求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝cos2x＋sin x．
分析：(1)先用y表示出sin x，利用sin x的有界性求；(2)转化为二次函数的最值问题，要特别注意sin x的范围对二次函数的影响．
解：(1)因为y·sin x＋y＝sin x－2，
所以sin x＝．
又|sin x|≤1，所以≤1．
所以y≤－．
所以值域为．
(2)y＝－sin2x＋sin x＋1＝－＋．
因为－≤x≤．
所以－≤sin x≤．
所以当sin x＝－时，ymin＝；
当sin x＝时，ymax＝．
技巧点拨 求与正弦函数有关的三角函数式的值域(最值)常用的方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性；
(2)转化为关于sin x的二次函数．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，并能利用正弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．
1．正弦函数的图象
(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y＝sin x，x∈R的图象如图．
其中在x∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
注意：(1)五点法是画正弦函数图象的基本方法，与之相关的问题在历年高考中经常出现，要切实掌握好．
(2)作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与之函数值均为实数，在两个轴上的单位是统一的，作出的图象更加正规、实用．
(3)正弦函数的图象沿x轴向左、向右无限延伸，称为正弦曲线．
自主思考1 如何由正弦函数y＝sin x的图象得到y＝sin(x＋1)和y＝sin x－2的图象？
提示：将y＝sin x的图象向左平移一个单位长度即可得到y＝sin(x＋1)的图象；将y＝sin x的图象向下平移一个单位长度即得到y＝sin x－2的图象；注意可以利用图象的平移变换：①y＝f(x)→y＝f(x±a)(a>0)——左“＋”右“－”；②y＝f(x)→y＝f(x)±k(k>0)——上“＋”下“－”得到函数的图象．
2．正弦函数的性质
自主思考2 正弦函数在对称轴和对称中心处的函数值有何特点？
提示：(1)正弦曲线的对称轴一定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值．
(2)正弦曲线的对称中心一定是过正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0．
自主思考3 y＝sin x，x∈的值域是否是[－1,1]?
提示：y＝sin x，x∈的值域为[0,1]，正弦函数的值域是[－1,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线．如果定义域不是全体实数或不在一个周期内，那么正弦函数的值域就可能不是[－1,1]．
3．周期函数
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．
归纳总结(1)一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如，f(x)＝a(a为常数)就没有最小正周期；若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k≠0，且k∈Z)也是函数f(x)的周期．
(2)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝．
(3)周期函数与周期的定义中，“当x取定义域内的每一个值时”的“每一个”是指定义域内的所有x值，如果存在一个x0，使得f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．例如，函数f(x)＝sin x，由sin＝sin，sin≠sin可知，虽然是非零常数，但并不是对定义域内的“每一个值”都有sin＝sin x，所以不是正弦函数的周期．
自主思考4 如何证明函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝．
提示：设u＝ωx＋φ，因为y＝sin u的周期是2π，所以sin(u＋2π)＝sin u，即sin[(ωx＋φ)＋2π]＝sin(ωx＋φ)＝sin．这说明：当自变量由x增加到x＋，且必须增加到x＋时，函数值重复出现．因此y＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝．由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T＝．
说明：若没有ω>0这个条件，则周期T＝．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
第二课时 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
基础知识
基本能力
1．了解A，ω，φ的物理意义及y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．
2．掌握“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A，ω，φ对y＝Asin(ωx＋φ)的影响．(重点)
3．掌握图象的平移、伸缩变换原理及能利用图象变换解决相关问题．(难点、易错点)
1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．(重点、易错点)
2．注重整体思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．(难点)
1．正弦型函数的概念
形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(0，＋∞))表示一个振动量时，则A称为振幅；T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝称为频率；ωx＋φ称为相位；x＝0时，相位φ称为初相．
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
【自主测试1－1】函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
答案：D
【自主测试1－2】函数y＝2 012sin的振幅为__________，周期为__________，初相为__________．
答案：2 012
2．正弦型函数的图象变换
(1)相位变换．
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象．
(2)周期变换．
y＝sin x的图象y＝sin_ωx的图象．
(3)振幅变换．
y＝sin x的图象y＝Asin_x的图象．
(4)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以这样得到：y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)．
【自主测试2】函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．
解析：y＝sin x→y＝3sinx→y＝3sin(x－3)＝3sin.
答案：y＝3sin
1．解读图象变换常用的两种途径
剖析：由y＝sin x的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象一般有两种途径．
途径一：先作相位变换，再作周期变换．
先将y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
途径二：先作周期变换，再作相位变换．
先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同．其突破口是化归到由函数y＝f(x)的图象经过怎样的变换得到函数y＝f(ωx＋φ)的图象．
若按途径一，先将y＝f(x)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得函数y＝f(x＋φ)的图象；再将函数y＝f(x＋φ)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y＝f(ωx＋φ)的图象．
若按途径二，先将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y＝f(ωx)的图象；再将函数y＝f(ωx)的图象上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度，得y＝f(ωx＋φ)的图象．
若将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(ω＞0)，得函数y＝f(ωx)的图象；再将函数y＝f(ωx)的图象上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到y＝f[ω(x＋φ)]的图象，即函数y＝f(ωx＋ωφ)的图象，而不是函数y＝f(ωx＋φ)的图象．
知识拓展函数图象中的对称变换：
①y＝f(x)y＝f(－x)
②y＝f(x)y＝－f(x)
③y＝f(x)y＝|f(x)|
④y＝f(x)y＝f(|x|)
2．教材中的“思考与讨论”
想一想，如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象：
y＝sin x→y＝sin→y＝sin→y＝3sin.
剖析：y＝sin x
y＝sin
y＝sin
y＝3sin.
题型一 作正弦型函数的图象
【例题1】用五点法作出函数y＝2sin＋3的简图，并指出它的周期、频率、初相、最值及单调区间．
分析：先画出函数y＝2sin＋3在一个周期内的图象，再将其分别向左、右扩展，从而得所求函数的图象．
解：先由五点法作出y＝2sin＋3在一个周期内的图象．列表：
x
x－
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
描点作图．
如图所示，再将上述一个周期内的图象分别向左、向右扩展即得函数y＝2sin＋3的简图(图略)，该函数的周期T＝2π，频率f＝＝，初相为－，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为(k∈Z)，增区间为(k∈Z)．
反思用五点法作图象中的五个点，有三个点位于平衡位置，有一个点是最高点，有一个点是最低点，所以相邻两个点的横坐标相差个周期．因此，找出一个点后，可依次把横坐标加上个周期，从而得到其他点的横坐标．
题型二 正弦型函数的图象变换
【例题2】试用两种方法说明由函数y＝sin x的图象变换成函数y＝5sin的图象的全过程．
分析：思路一：先变相位，再变周期，最后变振幅，即y＝sin x→y＝sin→y＝sin→y＝5sin.
思路二：先变周期，再变相位，最后变振幅，
即y＝sin x→y＝sinx→y＝sin→y＝5sin.
解：解法一：①先把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
②再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；
③最后把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象．
解法二：①先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinx的图象；
②再把函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
③最后把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象．
反思对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度．
题型三 由函数图象求解析式
【例题3】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象中的一段，确定A，ω，φ的值，并写出函数的解析式．
分析：可采用起始点法、最值点法、图象变换法来确定解析式．
解：解法一：(起始点法)
由图象知，振幅A＝3.
又∵T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由五点法作图原理知点为起始点，
令－·2＋φ＝0，得φ＝.∴y＝3sin.
解法二：(最值点法)
由图象知，振幅A＝3.
又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.
由图象知，图象的最高点坐标为，将该点坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3，
∴＋φ＝2kπ＋，即φ＝2kπ＋，k∈Z.不妨令k＝0，得φ＝.∴y＝3sin.
解法三：(图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度得到的，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
反思通过本题我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维．
题型四 正弦型函数的综合应用
【例题4】若函数f(x)＝sin(2x＋φ)对任意x都有f＝f.
(1)求f的值；
(2)求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值．
分析：f(x)对任意x都有f＝f，意味着f(x)的一条对称轴为x＝，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．
解：(1)∵f(x)对任意x都有f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±.
(2)由f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的对称轴知2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝π＋－(k∈Z)．
∵直线x＝是其中一条对称轴，代入得φ＝kπ－(k∈Z)．
∴φ的最小正值为.
(3)由(2)，知f(x)＝sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
反思对于函数f(x)来说，若总有f(a＋x)＝f(a－x)，则该函数图象关于直线x＝a对称．
题型五 易错辨析
【例题5】要得到y＝sin 4x的图象，只需把y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
错解：D
错因分析：平移方向有误．我们知道要得到函数y＝sin的图象，只需把y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度即可，但在回答本题时，要注意平移方向的变化，故应为向左平移个单位长度．
正解：C
1．函数y＝－2sin的周期、振幅分别为( )
A．π，－2 B．π，2 C．2π，－2 D．2π，2
答案：B
2．(2012·天津期末)函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案：A
3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin 4x D．y＝sin x
解析：将y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin，即y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数y＝sin 4x的图象．
答案：C
4．下列各点不是函数y＝2sin的图象的对称中心的是( )
A． B．
C． D．
答案：D
5．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是__________，最小值是__________．
解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤.
令μ＝x＋，则－≤μ≤.
此时－≤sin μ≤1，∴－≤sin μ≤，
即－≤sin≤.
∴该函数的最大值为，最小值为－.
答案： －
6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
(1)若A＝3，ω＝，φ＝－，作出该函数在一个周期内的草图；
(2)若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω与φ.
解：(1)由函数y＝3sin列出下表：
x
－
0
π
2π
y
0
3
0
－3
0
描出对应的五个点，用平滑的曲线连接各点即得所求作的函数图象(见下图)．
(2)依题意，有解得
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂探究
探究一 作正弦型函数的图象
用“五点法”作正弦型函数的简图的方法步骤，以y＝Asin(ωx＋φ)为例，主要是通过变量代换，设X＝ωx＋φ，由X取0，，π，，2π来求出相应的x的值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
【例1】 用“五点法”作函数y＝2sin的图象．
分析：采用“五点法”作三角函数图象，关键在于确定“五点”．
解：设X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X，
当X取0，，π，，2π时，
由x＝＝－，得x取－，，，，，
列表如下：
2x＋
0
π
2π
x
－
2sin
0
2
0
－2
0
描点作图，先作出函数y=
2sin，x∈的图象，如图，然后将其向左、向右扩展，就得到了函数y＝2sin的图象(图略)．
易错提示 本例采用“五点法”作图，要注意，不是x取0，，π，，2π这五个值，而是X＝2x＋取这五个值．
探究二 正弦型函数的图象变换
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，应明确A，ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性．当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度．
【例2】 说明y＝－2sin＋1是由y＝sin x的图象怎样变换而来的？
分析：由函数y＝sin x到y＝－2sin＋1需要经过平移变换、周期变换、振幅变换，可分步进行．
解：变换过程可以先伸缩后平移，也可先平移后伸缩，
变换一(先伸缩后平移)：
y＝sin x
y＝－2sin x
y＝－2sin 2x
y＝－2sin
y＝－2sin＋1．
变换二(先平移后伸缩)：
y＝sin x
y＝－2sin x
y＝－2sin
y＝－2sin
y＝－2sin＋1．
评注 在三角函数图象变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意．
这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想．
探究三 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
可利用函数的最大、最小值确定振幅A及平衡位置，同时根据奇偶性、对称性及单调性得出相应不等式或等式，从而确定ω及φ的值．
【例3】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)在它的某个周期上，最高点为，且与y轴交于点(0，－)，与x轴交于点，求解析式．
分析：本题虽然没有给出函数的图象，但指明了函数图象上的特殊点，因此，我们可以根据条件画出简图，再求出解析式．
解法一：(数形结合，逐个确定字母法)
如图，由题意结合图形可知，
T=+=．
所以T=3π，ω==．所以y=Asin．
将最高点的坐标代入y=Asin，得A=Asin，即sin=1．
所以=+2kπ，即φ＝ (k∈Z)．
因为0<φ<2π，所以φ=，则y=Asin．
将点(0，-)代入y=Asin得-=Asin，解得A=2．
由以上可知，y=2sin．
解法二：(待定系数，联想“五点作图法”)
因为点和点相当于“五点作图法”中的第二点和第五点的坐标，
所以解得ω=，=．
所以y=Asin．
把点(0，-)的坐标代入y=Asin得-=Asin．所以A=2．
由以上可知y=2sin．
反思 通过本题的解决，我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维，这样才能做到举一反三．
探究四 正弦型函数的综合应用
1．记住一个重要结论：对于函数f(x)来说，若总有f(a＋x)＝f(a－x)，则该函数图象关于直线x＝a对称．
2．求f(x)的最值时，注意定义域的作用．
【例4】 若函数f(x)＝sin(2x＋φ)对任意x都有＝．
(1)求的值；
(2)求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值．
分析：f(x)对任意x都有＝，意味着f(x)的一条对称轴为x＝，以此为切入点求出φ，再利用图象及性质求最值．
解：(1)因为f(x)对任意x都有＝，
所以x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴．
所以＝±．
(2)由f(x)＝sin(2x＋φ)的图象的对称轴知2x＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．
因为直线x＝是函数f(x)的一条对称轴，代入，得φ＝kπ－ (k∈Z)．所以φ的最小正值为．
(3)由(2)，知f(x)＝sin，
因为x∈，所以2x＋∈，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－．
探究五 易错辨析
易错点：对三角函数周期的认识不当而致错
【例5】 求函数y＝2sin的单调区间．
错解：当－＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递增，当＋2kπ≤－x≤＋2kπ时，y单调递减，所以y的单调递增区间为，单调递减区间为．
错因分析：忽略了“ω”的正负和“k∈Z”的条件，当y＝Asin(ωx＋φ)中ω<0时，错以为ω为负值对单调性没有影响．
正解：y＝2sin化为y＝－2sin．
因为y＝sin u(u∈R)的单调递增区间、单调递减区间分别为 (k∈Z)， (k∈Z)，
所以函数y＝－2sin的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋ (k∈Z)，
2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调递增区间、单调递减区间分别为
(k∈Z)， (k∈Z)．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．
2．会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期，频率与振幅．
3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义．
1．正弦型函数的概念
形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示一个振动量时，则A称为振幅；T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝称为频率；ωx＋φ称为相位；x＝0时，相位φ称为初相．
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．
2．正弦型函数的图象变换
(1)相位变换
y＝sin x的图象y＝sin(x＋φ)的图象．
推广到一般有：将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时向左平移；当a<0时向右平移(可简记为左“＋”右“－”)．
(2)周期变换
y＝sin x的图象的图象．
推广到一般有：
函数y＝f(ωx)(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把函数y＝f(x)的图象上所有的点的横坐标缩短(当ω>1)或伸长(当0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
(3)振幅变换
y＝sin x的图象y＝Asin_x的图象．
(4)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以这样得到：y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)．
推广到一般有：拖延时间
函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看做是把函数y＝f(x)图象上的点的纵坐标伸长(当A>1)或缩短(当0(4)函数图象的上、下平移变换．
有时也会遇到y＝sin x＋k的图象，那么函数y＝sin x＋k的图象，可以看做是把y＝sin x图象上的各点向上(k>0)或向下(k<0)平行移动|k|个单位长度而得到的，即y＝sin x行移动|k|个单位长度得y＝sin x＋k．
自主思考 如何用五点法作出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
提示：用五点作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象步骤如下：
第一步：列表，即令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，再分别求出相应x，y的值；
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点；
第三步：连线，用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图象；
第四步：利用函数周期性，通过左右平移得到整个图象．
3．正弦型函数的性质
根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质：
(1)定义域：R．
(2)值域：[－A，A]．
当ωx＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝－＋ (k∈Z)时，y取得最大值A；
当ωx＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝－＋ (k∈Z)时，y取得最小值－A．
(3)单调性：
当－＋2kπ≤ωx＋φ ≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈ (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为增函数；
当＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，即x∈ (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为减函数．
(4)奇偶性：当φ＝0时，为奇函数；当φ≠0时，为非奇非偶函数．
(5)周期性：T＝．
(6)对称性：直线x＝－＋ (k∈Z)都是其对称轴；点 (k∈Z)为其对称中心．
特别提醒 (1)值域为[－|A|，|A|]的前提是x∈R，x的范围发生变化时，值域可能发生变化．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质，通常利用代换u＝ωx＋φ，把ωx＋φ看成一个整体去处理．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的解析式的确定
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k，能准确地研究其图象与性质，反过来，若已知它的图象或部分图象，怎样确定其解析式呢？解决此类问题关键在于确定参数A，ω，φ，k，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ，k．
(1)A：一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A，A＝．
(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为，相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T．
(3)φ：从寻找“五点作图法”中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝＋2kπ时，y有最大值．或者由“五点作图法”中的第一个点作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．
(4)k：可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定k，k＝．
在求参数过程中，求初相φ应先求ω，然后根据取最大值时相应x值代入方程求解
特别提醒 依据“五点作图法”的原理，点的序号与式子关系如下：
“第一点”(即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)横坐标满足ωx＋φ＝；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
1.3.1 正弦函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
一、正弦函数的图象
【例1】 作函数y=3tanxcosx的图象.
思路分析:注意函数的定义域.
解：由cosx≠0，得x≠kπ+，于是函数y=3tanxcosx的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z }.
又y=3tanxcosx=3sinx，即y=3sinx(x≠kπ+,k∈Z).
按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
3sinx
0
3
0
-3
0
描点并将它们用光滑曲线连起来:（如下图）
先作出y=3tanxcosx，x∈［0,2π］的图象，然后向左、右扩展，去掉横坐标为{x|x=kπ+,k∈Z}的点，得到y=3tanxcosx的图象.
温馨提示
（1）函数y=3tanxcosx的图象与y=3sinx(x≠kπ+，k∈Z）的图象在x=kπ+处不同.因此，作出y=3sinx的图象后，要把x=kπ+（k∈Z）的这些点去掉.
（2）作三角函数图象时，一般要先对解析式进行化简，需要注意的是，要保持其等价性.因此，作函数图象时，要先求定义域.
各个击破
类题演练 1
画出y=2sinx，x∈［0，2π］的图象.
思路分析：先列出五个关键点，然后在坐标系中描出这五个点，最后用一条平滑的曲线依次把这五个点连接起来就得到y=2sinx，x∈［0,2π］的图象.
解：列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
2sinx
0
2
0
-2
0
描点并将它们用平滑曲线连接起来：
温馨提示
五点法是画三角函数图象的基本方法，其步骤为：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
变式提升 1
根据正弦函数图象求满足sinx≥的x的范围.
解：首先，在同一坐标系内，作出y=sinx，y=的图象.然后观察长度为2π的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］找出符合sinx≥的x的集合［,］.最后拓展到x∈［2kπ+,2kπ+］,k∈Z.
温馨提示
(1)一般地，y=sinx观察长度为2π的区间，常常是［0,2π］或［-,］,即一个周期区间.
(2)这类问题也可用单位圆,借助三角函数线来解决.
二、正弦函数的定义域,值域与性质
【例2】 求下列函数的值域和最值:
(1)y=2sinx-1;
(2)y=3sin(3x+)+2;
(3)y=2cos2x+5sinx-4;
(4)y=.
思路分析:利用|sinx|≤1,通过变量代换转化为基本函数.
解：(1)∵-1≤sinx≤1,
∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.
当x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1;
当x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-3.值域为［-3,1］.
(2)u=3x+,则有y=3sinu+2,
∴值域为［-1,5］.
当u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,y有最大值5.
当u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,y有最小值-1.
(3)设sinx=u,则|u|≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①
问题转化为在定义域［-1,1］内求二次函数①的值域问题.配方,有y=-2(u-)2+,
∵-1≤u≤1,
∴当u=-1,即x=2kπ-(k∈Z)时,y有最小值-9;当u=1,即x=2kπ+(k∈Z)时,y有最大值1.
∴函数y的值域为［-9,1］.
(4)原函数可化为y=,即y=1-.
∵1≤sinx+2≤3,
∴≤≤1,
1≤≤3,-3≤≤-1.
故-2≤1≤0.
∴函数y的值域为［-2,0］,并且当x=2kπ+时,y=0;当x=2kπ-时,y=-2.
类题演练 2
求下列函数的值域:
(1)y=cos2x+2sinx-2；(2)y=.
（1）解：y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.
∵-1≤sinx≤1,
∴sinx-1∈［-2,0］.
∴y∈［-4，0］.
∴函数y=cos2x+2sinx-2的值域是［-4，0］.
（2）解法一：∵y==1+,
∴当sinx=-1时，ymin=1+=.
∴值域为［,+∞).
解法二：由y=,得sinx=.
又∵-1≤sinx≤1,
∴∴y≥.
∴函数y=的值域为［,+∞).
温馨提示
（1）一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，用上述方法时，要注意三角函数的特性.
（2）求三角函数的值域，主要是运用sinx,cosx的有界性，以及复合函数的有关性质.
变式提升 2
求函数y=的定义域.
思路分析:被开方数为非负数,对数的真数必须大于0.
解:为使函数有意义,需满sinx>0,即
由正弦函数或单位圆,如图所示,
∴{x|2kπ【例3】 求函数y=2sin(-x)的单调区间.
思路分析:可依据y=sinx的单调区间来求本题函数的单调区间.
解：y=2sin(-x)=-2sin(x-),
∵y=sinu(u∈R)的递增,递减区间分别为［2kπ-,2kπ+］(k∈Z),［2kπ+,2kπ+］(k∈Z),
∴函数y=-2sin(x-)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定:
2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),
2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z∈Z),
2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴函数y=2sin(-x)的单调递增区间,单调递减区间分别为［2kπ+,2kπ+］(k∈Z),［2kπ-,2kπ+］(k∈Z).
温馨提示
从y=sinx,x∈［-,］的图象上可看出:
当x∈［-,］时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1;
当x∈［,］时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1.
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
类题演练 3
比较下列各组数的大小:
(1)sin194°和cos160°;(2)sin和cos;
(3)sin(sin)和sin(cos).
思路分析:先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小.
解:(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°,
cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°.
∵0°<14°<70°<90°,∴sin14°从而-sin14°>-sin70°,即sin194°>cos160°.
(2)∵cos=sin(+),又<<+<π,
y=sinx在［,π］上是减函数,
∴sin>sin(+)=cos,即sin>cos.
(3)∵cos=sin,
∴0而y=sinx在(0,)内递增,
∴sin(cos)变式提升 3
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=.
思路分析:可利用函数奇偶性定义判断.
解:(1)函数的定义域R关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)函数应满足1+sinx≠0,
∴函数的定义域为{x∈R|x≠2kπ+,k∈Z}.
∴函数的定义域关于原点不对称.
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
三、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=,叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f==,叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相位).
作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的简图时,一般用五点法作图.
【例4】 已知函数y=sin(2x+)+，x∈R.
（1）当函数值y取最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数图象可由y=sinx，x∈R的图象经过怎样变换得到？
思路分析：利用y=sinx与y=Asin(ωx+φ)+B的图象变换关系逐步进行变换，但要注意变换的顺序.
解：（1）要使y取最大值，必须且只需2x+=+2kπ,k∈Z，即x=+kπ,k∈Z.
∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
(2)将函数y=sinx的图象依次进行如下变换：
①把函数y=sinx图象上各点横坐标缩短到原来的倍，得y=sin2x的图象；
②把得到的图象各点向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象；
③把得到的图象上的各点纵坐标缩短为原来的倍，得y=sin(2x+)的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度,得y=sin(2x+)+的图象.
温馨提示
(1)本题把2x+视为一个整体,使思路变得十分清晰,这是一种重要而又常用的思考方法;
(2)将y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin(2x+)的图象，为什么不是向左平移个单位呢?这是因为sin(2x+)=sin［2(x+)］.
类题演练 4
已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为［0,］,最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.
思路分析:应按a>0和a<0分类讨论.
解:∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤.
∴≤sin(2x-)≤1.
当a>0时，有
当a<0时，有
温馨提示
求值域或最大值、最小值问题，一般依据是（1）sinx,cosx的有界性；（2）连续函数在闭区间上存在最大值,最小值.根据上述原则，常把给出的函数变成下面几种形式具体处理：（1）sin(ωx+φ)的一次式形式；（2）y=f(sinx)的形式，并根据|sinx|≤1来确定值域.
变式提升 4
下图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象,确定A,ω,φ的值.
解:显然A=2,T=-()=π,
∴ω==2.
∴y=2sin(2x+φ).
法一:由图知当x=时,y=0.
故有2x+φ=2×()+φ=0,∴φ=.
所求函数解析式为y=2sin(2x+).
法二:由图象可知将y=2sin2x的图象向左移即得y=2sin2(x+),即y=2sin(2x+).
∴φ=.
温馨提示
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,难点在于确定初相φ,一般可利用图象变换关系和特殊值法.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第一课时 余弦函数的图象与性质
基础知识
基本能力
1．掌握“五点法”作余弦函数的图象．(重点)
2．理解余弦函数的性质．(重点、难点)
1．会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)
2．能正确使用“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点、易错点)
1．余弦函数的图象
(1)把正弦曲线向左平移个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线．
(2)余弦曲线．
除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：
①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．
②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．
【自主测试1】画出函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线．
解：列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－cos x
－1
0
1
0
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数；在每一个闭区间[(2k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z)上都是增函数
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，y＝cos x取得最大值1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y＝cos x取得最小值－1
名师点拨一般地，函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T＝.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．
【自主测试2－1】函数y＝2cos x＋1的最大值和最小值分别是( )
A．2，－2 B．3，－1
C．1，－1 D．2，－1
答案：B
【自主测试2－2】已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：∵f(x)＝sin＝－cos x(x∈R)，
f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
答案：D
正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系
剖析：
正弦函数
余弦函数
区别
奇偶性
奇函数
偶函数
递增区间
(k∈R)
[(2k＋1)π，
2(k＋1)π](k∈Z)
递减区间
(k∈Z)
[2kπ，(2k＋1)π]
(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
直线x＝kπ＋(k∈Z)
直线x＝kπ
(k∈Z)
联系
(1)定义域都是R，值域都是[－1,1]；
(2)最小正周期都是2π；
(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同；
(4)sin2x＋cos2x＝1
题型一 用“五点法”作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象
【例题1】用“五点法”画出函数y＝2cos 2x的简图．
分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．
解：因为y＝2cos 2x的周期T＝＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．
x
0
π
2x
0
π
2π
cos 2x
1
0
－1
0
1
2cos 2x
2
0
－2
0
2
描点，并用光滑的曲线将它们连接起来如下图．
然后把y＝2cos 2x在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y＝2cos 2x在R上的简图如下．
反思在用“五点法”画出函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π.
题型二 三角函数的图象变换
【例题2】函数y＝sin 2x的图象可由y＝cos的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：y＝cos＝sin
＝sin＝－sin
＝sin＝sin
＝sin，
故函数y＝sin 2x的图象可由y＝cos的图象向右平移个单位长度得到．故选D．
答案：D
反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准．
题型三 函数的定义域问题
【例题3】求函数y＝＋lg cos x的定义域．
分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．
解：要使函数有意义，只需
即
利用数轴求解，如图所示：
所以函数的定义域为∪∪.
反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．
题型四 余弦函数的最值或值域
【例题4】(1)求函数y＝cos x，x∈的值域；
(2)求函数y＝的最值；
(3)求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域．
分析：(1)结合y＝cos x的图象在区间上先增后减即可求解；
(2)利用|cos x|≤1这一性质；
(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．
解：(1)∵y＝cos x在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴ymax＝cos 0＝1，ymin＝cos＝－，
∴y＝cos x的值域为.
(2)由y＝，求得cos x＝.
∵|cos x|≤1，∴≤1，
∴[2(y－1)]2≤(y＋1)2.
解得≤y≤3，∴ymax＝3，ymin＝.
(3)y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－，
∵x∈，
∴cos x∈，
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝.
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数y＝3cos2x－4cos x＋1的值域为.
反思求函数的最值的方法有以下几种：
(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围．
(2)利用函数的单调性．
(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．
(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．
题型五 余弦函数图象的应用
【例题5】求函数y＝cos的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．
分析：利用整体换元，设t＝2x＋，则问题转化为考查函数y＝cos t的相关性质．
解：设t＝2x＋，则函数y＝cos t的图象如图所示．
令t＝kπ(k∈Z)，则2x＋＝kπ(k∈Z)．
故x＝k·－(k∈Z)即为所求的对称轴方程．
令t＝kπ＋(k∈Z)，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
则x＝k·＋(k∈Z)．
故(k∈Z)即为所求的对称中心．
当t∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，2x＋∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，则x∈(k∈Z)．
故其单调递减区间为(k∈Z)．
∵cos＝cos，
∴最小正周期T＝π.
反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．
〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y＝”呢？
解：设t＝2x＋，则问题转化为考查函数y＝|cos t|，如图所示：
解答过程同例题，可得无对称中心．
令t＝k·(k∈Z)，则2x＋＝k·(k∈Z)，
∴对称轴为x＝k·－(k∈Z)；
令t∈(k∈Z)，
∴2x＋∈(k∈Z)，
则x∈
故其单调递减区间为(k∈Z)．最小正周期T＝.
反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间．
(2)正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x取绝对值后，周期缩为原来的一半，即
①y＝|sin x|的周期为π；
②y＝|cos x|的周期为π.
1．下列说法不正确的是( )
A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[－1,1]
B．余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时取得最小值－1
C．正弦函数在每个区间(k∈Z)上都是减函数
D．余弦函数在每个区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是减函数
答案：D
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案：A
3．(2012·重庆期末)把函数y＝cos图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )
A．y＝cos B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
答案：D
4．若函数y＝acos x＋b的最小值为－，最大值为，则a＝__________，b＝__________.
解析：由于ymax＝，ymin＝－，且－1≤cos x≤1，
则当a＞0时，有
解得
当a＜0时，有
解得
综上，a＝±1，b＝.
答案：±1
5．函数y＝|cos x|的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．
解析：函数y＝|cos x|的图象，如图所示．
由图可知它的最小正周期为π.
又因为在一个周期上，函数的增区间是，减区间是.
而函数的周期是kπ(k∈Z)，因此函数y＝|cos x|的增区间是(k∈Z)，减区间是(k∈Z)．
答案：(k∈Z) (k∈Z) π
6．函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(cos x)的定义域是__________．
解析：由已知0≤cos x≤1，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．已知函数f(x)＝3cos，x∈R.
(1)用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
解：(1)列表：
2x－
0
π
2π
x
y
3
0
－3
0
3
描点连线，即得所求作的简图如下．
(2)当2x－＝2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝3，此时x取值的集合为.
(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)时，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂探究
探究一 余弦函数图象的画法
在用“五点法”画出函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π．
【例1】 用“五点法”画出y＝3＋2cos x(x∈[0,2π])的图象．
解：列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
3＋2cos x
5
3
1
3
5
描点，连线，如图所示．
点评 (1)用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．(2)学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图象区别和联系的理解．
探究二 三角函数的定义域问题
与三角函数有关的不等式主要借助于三角函数图象、单位圆和数轴来解决．
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋lg cos x．
解：(1)由题意得2cos x－≥0，
所以cos x≥，画出单位圆，如图所示．
由图可得函数定义域为．
(2)要使函数有意义，只需
即
利用数轴求解，如图所示：
所以函数的定义域为∪∪．
反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．
探究三 与余弦函数有关的值域问题
求值域或最大值、最小值问题一般依据及方法：
(1)sin x，cos x的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1；
(2)sin x，cos x的单调性，通常结合函数图象来解决；
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，再利用|f(y)|≤1来确定；
(4)通过换元转化为二次函数问题，换元时注意变量范围的一致性．
【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝－2cos x－1；
(2)y＝2cos，x∈；
(3)y＝cos2x－3cos x＋2；
(4)y＝．
解：(1)因为－1≤cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2．
所以－3≤－2cos x－1≤1．
所以y＝－2cos x－1的值域为[－3,1]．
(2)因为－所以－所以y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)．
(3)令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1,1]．
所以原函数化为y＝t2－3t＋2＝2－．
所以二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴．
所以t∈[－1,1]为函数的单调减区间．
所以t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0．
所以y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0,6]．
(4)y＝＝＝－1．
因为1≤2＋cos x≤3，所以≤≤4．
所以≤－1≤3．
所以y＝的值域为．
【例4】 比较下列各组数的大小：
(1)cos，cos；
(2)cos，cos．
解：(1)cos＝cos ．
因为0<<<π，而y＝cos x在[0，π]上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos．
(2)因为cos＝sin，所以0而y＝cos x在(0,1)内单调递减，
所以cos>cos．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出余弦函数y＝cos x和y＝Acos(ωx＋φ)的图象，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系．
2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数的图象和性质来解决相关的综合问题．
1．余弦函数图象的画法
(1)平移作图：由y＝cos x＝sin (x∈R)知，余弦函数y＝cos x的图象与正弦型函数y＝sin的图象相同．于是把正弦曲线向左平移个单位长度就可得到余弦函数的图象．
(2)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可以作出余弦函数的图象．
(3)几何法：就是利用单位圆中的余弦线来作出余弦函数图象的方法．
(4)五点法：函数y＝cos x在[0,2π]内的图象的五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，其中，分别是x轴上的第一个零点，第二个零点；(0,1)，(2π，1)，(π，－1)分别是函数图象的第一个最高点，第二个最高点和最低点，描出这五个点后，根据余弦函数的基本形状用光滑曲线将它们连接起来，即可得到[0,2π]内的余弦函数图象．
将上述几种作法得到的y＝cos x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位)，则可得到y＝cos x，x∈R的图象，如图所示．
2．余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，单调递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，单调递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
知识剖析(1)由诱导公式cos(－x)＝cos x可知余弦函数为偶函数．反映在图象上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦函数y＝cos x的值域为[－1,1]，它表明余弦函数y＝cos x的图象介于直线y＝1和y＝－1之间．
(3)由cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)知2kπ都是余弦函数y＝cos x的周期，2π是最小正周期．
自主思考1 试比较正弦函数与余弦函数的图象和性质的异同点
提示：
正弦函数
余弦函数
奇偶性
奇函数
偶函数
区
别
递增区间
(k∈Z)
[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)
递减区间
(k∈Z)
[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
直线x＝kπ＋(k∈Z)
直线x＝kπ(k∈Z)
联
系
(1)定义域都是R，值域都是[－1,1]；
(2)最小正周期都是2π；
(3)图象形状相同，只是在坐标系中的位置不同
3．余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以看成是由余弦函数y＝cos x复合而成的复合函数，因此它的性质可由余弦函数y＝cos x类似地得到．
(1)定义域：R．
(2)值域：[－A，A]．
(3)单调区间：求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法解答，即把“ωx＋φ”视为一个“整体”，由余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间解出x，即为所求的单调递增(减)区间．
特别注意若ω<0，先用诱导公式化为ω>0．A>0(A<0)时，所列不等式与y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反)．求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解．
(4)奇偶性：余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
(5)周期：函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期与解析式中自变量x的系数有关，其周期为T＝．
(6)对称性：函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得．
自主思考2 设函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，求：
(1)φ取何值时，f(x)为奇函数；
(2)φ取何值时，f(x)为偶函数．
提示：(1)若f(x)是奇函数，且x∈R，则f(0)＝0，
即cos φ＝0，得φ＝＋kπ，k∈Z．
故当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数．
(2)若f(x)是偶函数，则x＝0是其对称轴，
即f(0)＝±A，cos φ＝±1，得φ＝kπ，k∈Z．
故当φ＝kπ＋，k∈Z时，f(x)为偶函数．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
第二课时 正切函数的图象与性质
基础知识
基本能力
1．理解正切函数的性质．(重点)
2．了解正切函数的周期性．(易混点)
1．会求正切函数的定义域、值域及周期．(重点)
2．会用函数的图象和性质解决复杂的综合问题．(重点、难点)
函数y＝tan x的图象与性质
函数
y＝tan x
图象
定义域
值域
实数集R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在每一个开区间(k∈Z)内都是增函数
名师点拨对于正切函数的一些相关性质不能由正弦、余弦函数的结论推广得到，需论证后加以应用，例如，y＝|sin x|的周期是y＝sin x的周期的一半，而y＝|tan x|与y＝tan x的周期却相同，均为π.
【自主测试1】函数f(x)＝tan的单调增区间为( )
A．，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
解析：令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得函数f(x)的单调增区间为kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：C
【自主测试2】函数y＝的定义域是__________．
解析：要使函数y＝有意义，则有即x≠kπ－，且x≠kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝的定义域为
.
答案：
1．正切函数与正弦函数、余弦函数的比较
剖析：正切函数y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z，其定义域不是R，又正切函数与正弦函数、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正弦函数、余弦函数是有界函数，而正切函数不是有界函数；正弦函数、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x＝kπ＋，k∈Z，图象被这些渐近线分隔开来；正弦函数、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是增函数．它们也存在大量的共性：如均为周期函数，且对y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)而言，T＝，y＝tan x是奇函数，它的图象既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里三个点为(kπ，0)，，，两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y＝tan x在一个周期上的简图．正弦函数、余弦函数与正切函数都是中心对称图形(注意正弦、余弦函数同时也是轴对称图形)．
2．教材中的“思考与讨论”
正切函数在整个定义域内都是增函数吗？
剖析：正切函数在整个定义域内不是增函数，可取特殊值来说明．例如取x1＝，x2＝，显然x1＜x2，但y1＝tan＝1，y2＝tan＝－，y1＞y2，不符合增函数的定义．
题型一 求函数的定义域
【例题1】求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解：由题意得即－1≤tan x＜1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是(k∈Z)，即此函数的定义域为(k∈Z)．
反思求三角函数式的定义域，可转化为解三角函数的不等式，利用三角函数的图象直观地求得解集．
题型二 求函数的值域或最值
【例题2】(1)求y＝tan2x＋4tan x－1的值域；
(2)若x∈，y＝k＋tan的值总不大于零，求实数k的取值范围．
分析：(1)设t＝tan x，则转化为关于t的二次函数求最值．
(2)由y≤0得k≤－tan，因此，只要求出tan的范围即可．
解：(1)设t＝tan x，则y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
故y＝tan2x＋4tan x－1的值域为[－5，＋∞)．
(2)由y＝k＋tan≤0，
得k≤－tan＝tan.
∵x∈，∴2x－∈.
由正切函数的单调性得0≤tan≤.
故要使k≤tan恒成立，只要k≤0.
即实数k的取值范围为(－∞，0]．
反思(1)与二次函数有关的三角函数问题，常常使用“换元法”．
(2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”．
题型三 利用函数图象研究性质
【例题3】画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其奇偶性、单调区间、周期性．
分析：解决本题的关键是画出y＝|tan x|的图象，由函数图象研究其性质．
解：y＝|tan x|的图象如下图所示．
由图可得，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
反思(1)作函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可．
题型四 易错辨析
【例题4】若A＝{x|tan x＞0}，B＝{x|＋≥0}，试求A∩B．
错解：由＋≥0，
得
即
解得
所以tan x≥.所以B＝.
所以A∩B＝.
由tan x≥，解得x≥kπ＋，k∈Z.
所以A∩B＝.
错因分析：误认为正切函数是R上的增函数，而忽视了其周期性及定义域等性质，正切函数应该是在每一个开区间(k∈Z)上是增函数．
正解：因为＋≥0，
所以解得tan x≥.
所以B＝.
故A∩B＝.
而正切函数在每一个开区间(k∈Z)上是增函数，
所以tan x≥的解集为.
故A∩B＝.
1．函数y＝tan的定义域是( )
A． B．
C． D．
答案：D
2．下列函数中，以π为周期且在区间上为增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
答案：D
3．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B．
C． D．与a的值有关
答案：C
4．函数y＝tan x，x∈的值域是__________．
答案：[0,1]
5．函数y＝tan的单调增区间是__________．
解析：由题意得kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.
答案：，k∈Z
6．不等式tan x≥的解集为__________．
解析：如图所示．
由图可知x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．若y＝tan(2x＋θ)的图象的一个对称中心为，且－＜θ＜，求θ的值．
解：∵y＝tan α的对称中心为(k∈Z)，
∴2x＋θ＝(k∈Z)，
代入x＝得θ＝－(k∈Z)．
又∵－＜θ＜，
∴当k＝1时，θ＝－；
当k＝2时，θ＝，∴θ＝－或.
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂探究
探究一 求函数的定义域
与正切函数有关的定义域问题通常先借助正切函数的图象在一个周期内得出x的取值范围，然后加上周期．
【例1】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝．
分析：根据题意列出不等式，再根据图象找出不等式的解集．
解：(1)由tan x－≥0，得tan x≥，利用图象(如图所示)可知，所求定义域为(k∈Z)．
(2)要使函数y＝有意义，
则有
即x≠kπ－，且x≠kπ＋ (k∈Z)．
所以函数的定义域为
．
规律总结利用正切函数的图象，可解不等式tan x>α，其解题步骤是：
(1)作出正切曲线y＝tan x在上的图象；
(2)求出在内使tan x＝a成立的x的值；
(3)利用图象确定tan x>a在内的解；
(4)把解扩展到整个定义域内．
同理，也可解形如tan x探究二 正切函数的性质
1．周期性
y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期由公式T＝求解．
2．单调性
求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需令kπ－<ωx＋φ【例2】 求下列函数的周期：
(1)y＝3tan； (2)y＝|tan x|．
解：(1)因为ω＝2，且T＝，
所以函数的最小正周期T＝．
(2)函数y＝|tan x|的图象如图所示，
显然为周期函数，且T＝π．
【例3】 求y＝3tan的图象的对称中心．
解：由2x＋＝ (k∈Z)，得x＝－ (k∈Z)．
故所求函数的图象的对称中心为 (k∈Z)．
温馨提示正切函数y＝tan x的图象是中心对称图形，它的对称中心有无数个，其坐标为 (k∈Z)，但它不是轴对称图形．
【例4】 (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
分析：对于(1)，由于x的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解；对于(2)可利用正切函数单调性进行比较．
解：(1)y＝tan＝－tan，
则由kπ－<－(2)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又因为<2<π，所以－<2－π<0．
因为<3<π，所以－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
所以tan(2－π)探究三 求函数的值域
对于形如y＝Atan2x＋Btan x＋C型的函数，可以通过换元法将问题转化为给定区间上的二次函数求值问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合函数图象或单调性确定．
【例5】 求函数y＝tan2x－2tan x的值域．
分析：利用换元法，将原函数化为二次函数的形式来解决．
解：令u＝tan x．因为|x|≤，
所以由正切函数的图象知u∈[－，]．
所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]．
因为二次函数的开口向上，对称轴方程为u＝－＝1，
所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1．
当u＝－时，ymax＝3＋．
所以f(x)的值域为[－1,3＋]．
反思使用换元法求函数值域时，一定要注意换元后自变量的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点：因作图不准确而致错
【例6】 当x∈时，确定方程tan x－sin x＝0根的个数．
错解：同一平面直角坐标系中作出y＝tan x与y＝sin x在上的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x－sin x＝0有5个根．
错因分析：没有比较x∈时，y＝tan x与y＝sin x的大小．
正解：将方程变形为tan x＝sin x，作y＝tan x，y＝sin x在上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．
在同一坐标系内画出y＝tan x与y＝sin x的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y＝sin x与y＝tan x在内的图象，需明确x∈时，有sin x点评判断方程根的个数，对于一些超越方程无法直接求解，可以考虑用数形结合的思想，把方程看成是两个函数，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，观察图象交点的个数即为方程根的个数．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质．
2．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．
函数y＝tan x的图象与性质
说明：(1)正切曲线在x轴上方的图象下凸，在x轴下方的图象上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．
(2)正切曲线是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无数支曲线组成的．
自主思考1 正切函数在整个定义域内都是增函数吗？
提示：正切函数在整个定义域内不是增函数，可取特殊值来说明．例如，取x1＝，x2＝，显然x1y2，不符合增函数的定义．
自主思考2 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0)的性质有哪些？
提示：(1)定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
(2)值域：R．
(3)周期性：函数y＝Atan(ωx＋φ)
的周期与常数ω的值有关，最小正周期T＝．
(4)奇偶性：当φ＝ (k∈Z)时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
(5)单调性：将ωx＋φ视为一个整体，若ω<0，一般先用诱导公式化为ω>0，使x的系数为正值，然后求单调区间．A>0(A<0)时，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的单调性与y＝tan x的单调性相同(反)，解不等式可得出单调区间．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
一、图象问题
余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(kπ-,kπ+)上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.
【例1】 用“五点法”画下列函数的简图.
y=-cosx,x∈［0,2π］.
画法一:按五个关键点列表:
x
0
2π
Cosx
1
0
-1
0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
描点画图(如图所示):
画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图形.图象如上图.
温馨提示
类似于正弦函数,也可以由y=cosx变换为y=Acos(ωx+φ),x∈R,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等.
各个击破
类题演练 1
作出函数y=tan()在一个周期内的图象是( )
解析:首先函数的周期为2π,可排除B,D,其次当x=时,函数无意义,又可排除C.
答案:A
变式提升 1
在区间(,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在(-,)内的图象,需明确x∈(0,)时,有sinx所以应选C.
解法二:x∈(-,),
即sinx=tanx=,
sinx(1-)=0,sinx=0或cosx=1.
在x∈(-,)内x=-π,0,π满足sinx=0,x=0满足cosx=1,所以交点个数为3.
所以应选C.
答案:C
二、定义域与值域
余弦函数y=cosx与y=sinx的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线y=±1之间,故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题;正切函数的定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z},值域是R,图象只有增区间,无减区间,整个定义域不具备单调性.
【例2】
求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=
解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内,如图所示.由图显然可得函数定义域集合为
{x|2kπ≤x<2kπ+,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π,k∈Z}.
(2)由
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集,如图所示,
即
∴定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z }.
类题演练 2
求函数y=tan(2x+)的定义域.
思路分析:把2x+作为一个整体，转化为求y=tanx的定义域的问题.
解：令z=2x+,根据y=tanz的定义域为{z|z≠kπ+,k∈Z },
得2x+≠kπ+,于是x≠+.
所以y=tan(2x+)的定义域为{x|x≠+,k∈Z }.
变式提升 2
解答下列各题：
（1）求函数f(x)=tanx·cosx的定义域与值域；
（2）求函数f(x)=tan|x|的定义域与值域，并作其图象．
思路分析:先化简函数,然后确定.
解:(1)
其定义域是{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}．
由f(x)=·cosx=sinx∈(-1,1)，
∴f(x)的值域是(-1,1)．
（2）f(x)=k∈Z．
可知，函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为(-∞,+∞)，其图象如图所示.
温馨提示
(1)为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形,化简,在变形,化简过程中一定要注意等价变形,否则作出的图象不是给出函数的图象.
(2)由图象可以看到f(x)=tan|x|不是周期函数.
三、周期,单调性问题
根据诱导公式知y=cosx的周期T=2π,y=tanx的周期为π.求函数的单调区间和判断函数的单调性常用的方法是:定义法和图象法.利用单调性可以比较三角函数值的大小,也可以求函数的值域等.
【例3】 已知函数f(x)=asin(kx+),g(x)=btan(kx-),k>0.若它们的周期之和为，且f()=g(),f()=g()+1,求这两个函数.
思路分析:先求出f(x)、g(x)的周期，再用待定系数法求a,b.
解：由f(x)、g(x)的周期之和为,得+=,
∴k=2.
∵f()=asin(2×+)=-asin=a,
g()=btan(2×-)=-btan=b,
由f()=g(),得a=b,即a=2b.①
又f()=asin(2×+)=acos=a,
g()=btan(2×-)=bcot=b.
由f()=g()+1,得a=×b+1,即a=-2b+2.②
由①②联立方程组，解得a=1,b=.
∴f(x)=sin(2x+),g(x)=tan(2x-).
温馨提示
求三角函数的周期，通常把它转化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.周期的大小仅与x的系数ω有关，用公式T=就可求出周期.
类题演练 3
试把tan1、tan2、tan3、tan4按照从小到大的顺序排列，并说明理由.
解法一：∵函数y=tanx在区间［,］内是增函数且tan1=tan(π+1),
又<2<3<4<π+1<,
∴tan2解法二：如图所示，1，2，3，4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4.所以tan2温馨提示
(1)将自变量化到同一单调区间，再利用单调性比较大小是比较三角函数值大小的重要方法.
（2）本题易产生以下两种误解:
误解一：∵函数y=tanx是增函数，又1<2<3<4,∴tan1误解二：∵2和3终边在第二象限，
∴tan2,tan3都是负数.
又∵1和4的终边分别在第一和第三象限，
∴tan1，tan4都是正数.
根据y=tanx是增函数且2<3，1<4，
∴tan2 上述两个误解的根源在于混淆了函数单调性的概念.两个误解都把y=tanx视作定义域
上的单调增函数，从而导致了错误的结果.
变式提升 3
给出下列命题:
①函数y=sin|x|不是周期函数;
②函数y=tanx在定义域内是增函数;
③函数y=|cos2x+|的周期是;
④y=sin(+x)是偶函数.
其中正确命题的序号是_________.
解析:对于②,∵0<π,而tan0=tanπ,
∴y=tanx在定义域内不是增函数.
对于③,y=|cos2(x+)+|=|-cos2x|≠|cos2x+|.
∴不是y=|cos2x+|的周期.
对于①,从其图象可说明其不是周期函数.
对于④,f(x)=sin(+x)=sin(2π++x)=cosx,显然是偶函数.∴①④正确.
答案:①④
1.3.3 已知三角函数值求角
基础知识
基本能力
1．了解arcsin x，arccos x，arctan x的意义．(难点、易混点)
2．掌握已知三角函数值求角的方法．(重点)
1．熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
2．会用三角函数值表示给定区间内的角．(难点、易混点)
1．已知正弦值，求角
一般地，对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin y.
【自主测试1－1】若sin x＝，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C．＋arcsin D．－arcsin
答案：A
【自主测试1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α等于( )
A． B． C．或 D．或
答案：D
2．已知余弦值，求角
在区间[0，π]上符合条件cos x＝y(－1≤y≤1)的角x，记为x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
【自主测试2－1】已知cos x＝－，π＜x＜2π，则角x等于( )
A． B． C． D．
答案：B
【自主测试2－2】已知cos 2x＝，则角x＝__________.
答案：－arccos
3．已知正切值，求角
一般地，如果tan x＝y(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，符合上述条件的角x，记为x＝arctan_y，x∈.
【自主测试3－1】满足sin x＝cos x的角x的集合是( )
A．
B．
C．
D．
解析：∵sin x＝cos x，∴tan x＝1.当x∈时，x＝arctan 1＝，根据正切函数的周期性，得x＝＋kπ，k∈Z.
答案：B
【自主测试3－2】arctan＝__________；arctan＝__________；arctan＝__________.
答案： －
已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
答：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定．
1．化简arcsin(sin x)，arccos(cos x)，arctan(tan x)
剖析：比如arcsin＝arcsin＝；
arcsin＝arcsin＝；
它们均满足arcsin(sin x)＝x.
然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sin x)＝x恒成立，如arcsin＝arcsin＝arcsin＝.
事实上，arcsin x只能直接表示区间内的角，因此，等式arcsin(sin x)＝x成立的条件是x∈.
同样可知，
等式arccos(cos x)＝x成立的条件是x∈[0，π]；
等式arctan(tan x)＝x成立的条件是x∈.
通过剖析可知，只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就能够正确求解．
知识拓展已知三角函数值求角的问题中，常用的恒等式有：
①基本性质：
若x∈，则arcsin(sin x)＝x；
若x∈[0，π]，则arccos(cos x)＝x；
若x∈，则arctan(tan x)＝x.
②运算性质：
arcsin(－x)＝－arcsin x；
arccos(－x)＝π－arccos x；
arctan(－x)＝－arctan x.
2．已知三角函数值求角的基本步骤
剖析：在一定范围内已知三角函数值，对应的角不一定只有一个，求该函数值对应的角可分为以下几步．
第一步：确定角可能是第几象限的角；
第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角；
第三步：如果函数值为负数，则根据角可能是第几象限的角得出(0,2π)内对应的角；
第四步：如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．
题型一 已知正弦值求角
【例题1】求下列范围内适合sin x＝的x的集合．
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]；(3)x∈R.
解：(1)由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sin x＝的角x只有一个，即x＝.故所求的x的集合为.
(2)当x∈[0,2π]时，由诱导公式sin(π－x)＝sin x＝及sin＝sin＝，可知x1＝，x2＝.故所求的x的集合为.
(3)当x∈R时，由正弦函数的周期性可知，当x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，sin x＝，
故所求的x的集合是
＝.
反思对于已知正弦值求角有如下规律：
sin x＝a
(|a|≤1)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a，
x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a，
x2＝2π＋arcsin a
题型二 已知余弦值求角
【例题2】已知cos x＝－.
(1)若x∈[0，π]，求x；(2)若x∈[0,2π]，求x.
分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可．
解：(1)满足cos x＝的锐角为，
∵cos x＝－＜0，x∈[0，π]，
∴角x为钝角．
又∵cos＝－cos＝－，
∴x＝π－＝.
故满足cos x＝－，x∈[0，π]的角x为.
(2)满足cos x＝的锐角为，
∵cos x＝－＜0，x∈[0,2π]，
∴角x为第二象限的角或第三象限的角．
又∵cos＝cos＝－cos＝－，
∴x＝π－＝或x＝π＋＝.
故满足cos x＝－，x∈[0,2π]的角x为或.
反思对于已知余弦值求角有如下规律：
cos x＝a
(|a|≤1)
x∈[0，π]
x∈[0,2π]
x＝arccos a
x1＝arccos a，
x2＝2π－arccos a
题型三 已知正切值求角
【例题3】已知tan α＝－3.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈[0,2π]，求角α；
(3)若α∈R，求角α.
分析：借助正切函数的图象及所给角的范围求解即可．
解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．
(2)∵tan α＝－3＜0，
∴α是第二或第四象限的角．
又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间，上是增函数知，符合tan α＝－3的角有两个．
∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－3且arctan(－3)∈，
∴α＝π＋arctan(－3)或α＝2π＋arctan(－3)．
(3)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．
反思对于已知正切值求角有如下规律：
tan x＝a
(a∈R)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arctan a
0≤a
a＜0
x1＝arctan a，
x2＝π＋arctan a
x1＝π＋arctan a，
x2＝2π＋arctan a
题型四 易错辨析
【例题4】已知tan x＝－1，且cos x＝，求x的取值集合．
错解：∵tan x＝－1＜0，且cos x＝＞0，∴x是第四象限的角，即2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)．∴x＝2kπ－，
∴x的取值集合为.
错因分析：上述解法不规范，将问题的推导简单化了，跳跃性太强，应严格根据已知函数值求角的步骤进行．
正解：∵tan x＝－1＜0，且cos x＝＞0，
∴x是第四象限的角，即2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)．
∵＜x－2kπ＋π＜π(k∈Z)，
又∵cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cos x＝－(k∈Z)，
∴x－2kπ＋π＝arccos(k∈Z)，
即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．
∴x的取值集合为.
1．已知cos x＝－1，则角x等于( )
A．π B．kπ(k∈Z)
C．kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π(k∈Z)
答案：D
2．若sin x＝，x∈，则x等于( )
A．arcsin B．π－arcsin
C．＋arcsin D．－arcsin
答案：B
3．＝( )
A． B．0 C．1 D．－
解析：∵arcsin＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，∴原式＝＝1.
答案：C
4．若cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为( )
A．arccos B．π－arccos
C．－arccos D．π＋arccos
解析：∵x∈[0，π]，且cos x＝－，∴x∈，
∴x＝arccos＝π－arccos.
答案：B
5．已知tan 2x＝－，且0≤x≤π，则x＝__________.
解析：因为0≤x≤π，所以0≤2x≤2π.因为tan 2x＝－，所以2x＝π－或2π－，所以x＝或.
答案：或
6．下列各式arccos，arcsin(log34)，arcsin(－1)2，arctan中，有意义的式子的个数为__________．
解析：因为＞1，log34＞1，所以arccos，arcsin(log34)没有意义，而由定义知arctan与arcsin(－1)2有意义．
答案：2
1.3.3 已知三角函数值求角
课堂导学
三点剖析
一、已知正弦值求角
已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-,］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-,］上,用反正弦表示出来.
【例1】 已知sinx=,
(1)当x∈［-,］时,求x的取值集合;
(2)当x∈［0,2π］时,求x的取值集合;
(3)当x∈R时,求x的取值集合.
思路分析:在函数y=sinx的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.
解:(1)∵y=sinx在［-,］上是增函数,且知sin=,
∴满足条件的角只有x=.
∴x的取值集合为{}.
(2)∵sinx=>0,
∴x为第一或第二象限角,且sin=sin(π-)=.
∴在［0,2π］上符合条件的角x=或.
∴x的取值集合为{,}.
(3)当x∈R时,x的取值集合为
{x|x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.
(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n·,n∈Z}.一般地,对于sinx=a(x∈R),|a|≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina或x=2kπ+π-arcsina,k∈Z,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z}.
各个击破
类题演练 1
已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）
解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°).
温馨提示
任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.
变式提升 1
已知sin,且α是第二象限的角,求角α.
思路分析:先求出,进而求出α.
解:首先确定所在象限.
∵α是第二象限的角,
∴是第一或第三象限的角.
又∵sin=<0,∴是第三象限的角.
然后在［0,2π)内找到满足条件的.
∵sin=,
∴在［0,2π)内满足条件的角是π+=.
再找到所有满足条件的角.
∴=2kπ+(k∈Z).
最后求出所有满足条件的角α,
∴α=4kπ+,k∈Z.
温馨提示
本例中将看作一个整体,求出的所有角后,再求出α.
二、已知角的余弦值求角
已知余弦值求角,可利用y=cosx的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.
【例2】 已知cosx=-0.287,
(1)当x∈［0,π］时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
思路分析:由于cosx=-0.287,x不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而［0,π］正是反余弦的主值区间,故当x∈［0,π］时,x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.当x∈R时,可利用诱导公式先求出［0,2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x∈R的所有解.
解:(1)因为cosx=-0.287,且x∈［0,π］,所以x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.
(2)当x∈R时,先求出x∈［0,2π］上的解.
因为cosx=-0.287.故x是第二或第三象限角,由(1)知x1=π-arccos0.287是第二象限角.
因为cos(π+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,
且π+arccos0.287∈(π,),
所以x2=π+arccos0.287.
由余弦函数的周期性,可知当x=2kπ+x1或x=2kπ+x2,k∈Z时,cosx=-0.287,
即所求的x值的集合是
{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k∈Z}={x|x=2kπ±arccos(-0.287),k∈Z}.
温馨提示
方程cosx=a,|a|≤1的解集可写成{x|x=2kπ±arccosa,k∈Z}.
类题演练 2
已知cos(x+)=，求角x的集合.
思路分析:把“x+”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.
解:
∵cos(x+)=<0,
∴角x+是第二或第三象限角.
令cos(x+)=,得锐角+=.
在区间［0，2π］上，符合条件的角是π-或π+,即或,所以在x∈R上,有+=+2kπ,k∈Z或+=+2kπ,k∈Z.
化简得x=π+4kπ或x=+4kπ,k∈Z.
故角x的集合是{x|x=π+4kπ或x=+4kπ,k∈Z}.
变式提升 2
已知cosx=,x∈(-π,-),则x等于…( )
A.arccos() B.π-arccos
C.-arccos() D.-arccos
解析:∵arccos()∈(,π),
∴-arccos()∈(-π,-).故选C.
答案:C
三、已知正切值求角
已知正切值求角,可利用y=tanx的图象找出(-,)内满足条件的角,然后根据y=tanx的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.
【例3】 已知tanα=-2,若(1)α∈(-,);
(2)α∈［0,2π］;
(3)α∈R,求角α.
思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-,)内,符合条件tanα=-2的角只有一个,而在α∈［0,2π］内,符合条件tanα=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.
解:(1)由正切函数在开区间(-,)上是增函数可知符合条件tanα=-2的角只有一个,即α=arctan(-2).
(2)∵tanα=-2<0,
∴α是第二或第四象限角.
又∵α∈［0,2π］,由正切函数在区间(,π］,(,2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个，即α=π-arctan2,α=2π-arctan2.
(3)α∈R时角α有无穷多个,则α=(2k+1)π-arctan2或α=2(k+1)π-arctan2(k∈Z).
温馨提示
对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-≤arcsinx≤,0≤arccosx≤π,- 类题演练 3
（1）已知sinx=,x∈（π,），求角x;
（2）已知tanx=3,x∈（3π,）,求角x.
解法一：（1）令sinx1=,得x1=arcsin.
∵x∈（π，）,
∴符合条件的角x=π+x1=π+arcsin.
(2)令tanx1=3,得锐角x1=arctan3.
∵x∈(3π,),
∴符合条件的角x=3π+x1=3π+arctan3.
解法二：（1）∵π又由sinx=,得sin(π-x)=.
∴π-x=arcsin()=-arcsin.
∴x=π+arcsin.
(2)∵3π∴0由tanx=3,得tan(x-3π)=3.
∴x-3π=arctan3.
∴x=3π+arctan3.
变式提升 3
已知直线bx+ay=ab(a<0,b<0)，试求它的倾斜角.
解：因为该直线的斜率k=<0，所以它的倾斜角是钝角.令tanθ=，得θ=arctan.所以它的倾斜角是π-arctan.
温馨提示
直线的倾斜角α的正切值tanα是直线的斜率.这里的arctan()表示一个负角，而不是我们要求的钝角.
1.3.3 已知三角函数值求角
课堂探究
探究一 已知正弦值求角
已知正弦值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用，当角的范围不在内时，要通过诱导公式构造一个角，使其在内，并能求其正弦值．
【例1】 求下列范围内适合sin x＝的x的集合．
(1)x∈；(2)x∈[0,2π]；(3)x∈R．
分析：借助正弦函数的图象及所给角的范围求解．
解：(1)由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，知适合sin x＝的角x只有一个，即x＝．这时，适合sin x＝的x的集合为．
(2)当x∈[0,2π]时，由诱导公式sin(π－x)＝sin x＝及sin＝sin＝，可知x1＝，x2＝．这时，适合sin x＝的x的集合为．
(3)当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋或x＝2kπ＋ (k∈Z)时，sin x＝，
则所求的x的集合是
＝．
技巧点拨 给值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．对于sin x＝a(x∈R)，－1≤a≤1，这个方程的解可表示成x＝2kπ＋arcsin a或x＝2kπ＋π－arcsin a(k∈Z)．从而方程的解集为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}．
探究二 已知余弦值求角
根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cos x＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择闭区间[0，π]作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件cos x＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arccos a，即x＝arccos a，其中x∈[0，π]，且a＝cos x．
【例2】 已知cos x＝－，
(1)若x∈[0，π]，求x；(2)若x∈[0,2π]，求x．
分析：借助余弦函数的图象及所给角的范围求解即可．
解：(1)适合cos x＝的锐角为，
因为cos x＝－<0，x∈[0，π]，所以角x为钝角．
又cos＝－cos＝－，
所以x＝π－＝．
(2)适合cos x＝的锐角为，
因为cos x＝－<0，x∈[0,2π]，
所以角x为第二象限的角或第三象限的角．
又cos＝cos＝－cos＝－．
所以x＝π－＝或x＝π＋＝．
故适合cos x＝－，x∈[0,2π]的角x为或．
技巧点拨 cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈[0，π]时，则x＝arccos a，当x∈R时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}．
探究三 已知正切值求角
已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的思路相同点是找角、表示角、确定角．
不同点是：①已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在[0,2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范围一般是在；②在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”．
【例3】 已知tan x＝－．
(1)当x∈时，求角x的值；
(2)当x为三角形的一个内角时，求角x的值；
(3)当x∈R时，求角x的值．
分析：先求出满足tan α＝的锐角α，再由诱导公式转换得出．
解：令tan α＝得锐角α＝arctan＝．
(1)因为tan x＝－<0，x∈，
所以x∈，所以x＝－α＝－．
(2)tan x＝－<0，且x为三角形内角．
所以x∈，所以x＝π－＝．
(3)tan x＝－<0，x∈R．
所以x在第二象限或第四象限，
所以x＝－α＋2kπ＝－＋2kπ(k∈Z)或x＝π－α＋2kπ＝π－＋2kπ(k∈Z)．
所以x＝2kπ－或x＝2kπ＋ (k∈Z)．
即x＝kπ－ (k∈Z)．
反思 对于已知正切值求角有如下规律：
tan x＝a
(a∈R)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arctan a
0≤a
a<0
x1＝arctan a，
x2＝π＋arctan a
x1＝π＋arctan a，
x2＝2π＋arctan a
1.3.3 已知三角函数值求角
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解符号arcsin x，arccos x，arctan x的意义．
2．根据[0,2π]范围确定已知三角函数值的角．
3．已知一个三角函数值，合理地表示出与它对应的角．
1．已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝arcsin_y．
注意：(1)arcsin y的含义：表示上正弦等于y的那个角，即sin(arcsin y)＝y(－1≤y≤1)．
(2)当0当y＝0时，arcsin y＝0；
当－1≤y<0时，arcsin y∈．
(3)arcsin(－y)＝－arcsin y．
2．已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记作x＝arccos_y(－1≤y≤1,0≤x≤π)．
注意：(1)符号arccos y的含义：①arccos y表示一个角；②－1≤y≤1，且0≤arccos y≤π．③cos(arccos y)＝y．
(2)当0(3)arccos(－y)＝π－arccos y．如cos x＝，则x＝arccos，若cos x＝－，则x＝arccos＝π－arccos，则x＝arccos y表示[0，π]内的一个角．
3．已知正切值，求角
如果正切函数y＝tan x(y∈R)，且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tan x＝y，记作x＝arctan_y．
注意：(1)arctan y的含义：①arctan y表示一个角；②y∈R，且－(2)当y<0时，arctan y∈；
当y＝0时，arctan y＝0；
当y>0时，arctan y∈．
(3)arctan(－y)＝－arctan y．
4．已知三角函数值求角的基本类型
剖析：
a的
范围
sinx=a
cosx=a
a的
范围
Tanx=a
x∈[0,2π]
x∈[0，π]
x∈[0,2π]
x∈[0,2π]
a＝1
x＝
x＝
x＝0
x＝0或x＝2π]
a>0
x =arctan a
x＝arctan 或
x＝π+arctan a
0x＝arcsin a
x＝arcsin a或
x＝π－arcsin a
x＝arccos a
x＝arccos a或
x＝2π－arccos a
a＝0
x＝0
x＝0或x＝π
x＝
x＝或
a =0
x＝0
x＝0或x＝π
－1x＝arcsin a
x＝π－arcsin或
x＝2π＋arcsin a
x＝arccos a
x＝arccos a或
x＝2π－arccos a
a <0
x =arctan a
x＝π+arcta或
x＝2π+arctan a
a＝－1
x＝－
x＝
x＝π
x＝π
自主思考 已知角x的一个三角函数值求角x的步骤有哪些？
提示：已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求解：
第一步，确定角x可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1．
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2π)内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－x1＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为x1＋π或－x1＋2π．
第四步，如果要求出(0,2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果．
1.3三角函数的图象与性质
知识梳理
1.正弦函数的图象和性质
(1)图象：如图1-3-1所示.
图1-3-1
(2)性质
定义域：R.
值域：［-1，1］.
当x=2kπ+(k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ-(k∈Z)时，y取最小值-1.
周期性：周期函数，周期为2π.
奇偶性：奇函数.
单调性：单调递增区间是［2kπ-,2kπ+］；单调递减区间是［2kπ+,2kπ+］
(k∈Z).
2.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，总有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.规定：在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期.
3.四种变换画图方法
(1)振幅变换：对于函数y=Asinx(A＞0,A≠1)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
(2)周期变换：对于函数y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
(3)相位变换：对于函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位得到的.
(4)平移变换：对于函数y=sinx+b的图象，可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位得到的.
4.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0)的图象和性质
(1)有关概念：在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A叫振幅，T=叫周期，f=叫频率，ωx+φ叫相位，φ叫初相.
(2)正弦型函数的图象常见画法：五点法和变换法.
五点法步骤：①列表(ωx+φ通常取0,,π,,2π这五个值)；②描点；③连线.
变换法：(常用的变换步骤)
①(相位变换)先把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位，得函数y=sin(x+φ)的图象；
②(周期变换)再把函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(ωx+φ)的图象；
③(振幅变换)再把函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y=Asin(ωx+φ)的图象；
④(上下平移变换)再把函数y=Asin(ωx+φ)的图象上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.
(3)性质：
定义域：R.
值域：［-A,A］.
当x=(k∈Z)时，y取最大值A+b；当x=(k∈Z)时，y取最小值-A+b.
周期性：周期函数，周期为.
奇偶性：当且仅当φ=kπ(k∈Z)且b=0时，函数y=Asin(ωx+φ)+b是奇函数，否则不是奇函数；当且仅当φ=kπ+(k∈Z)时，函数y=sin(ωx+φ)+b是偶函数.
单调性：单调递增区间是［,］(k∈Z)；
单调递减区间是［,］(k∈Z)
5.余弦函数、正切函数的图象和性质
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
{x|x≠kπ+,k∈Z}
值域
［-1,1］
当x=2kπ(k∈Z)时，y最大值为1
R(无最大值，无最小值)
当x=2kπ+π(k∈Z)时，y最小值为-1
周期性
2π
π
奇偶性
偶函数
奇函数
单调性
在［(2k-1)π,2kπ］上是增函数；在［2kπ,(2k+1)π］上是减函数(k∈Z)
在(-+kπ,+kπ)上是增函数(k∈Z)
6.用arccsinx,arccosx,arctanx表示角
当sinα=x，x∈［-1,1］,α∈［-,］时，α=arcsinx；
当cosα=x，x∈［-1,1］,α∈［0,π］时，α=arccosx；
当tanα=x，x∈R,α∈(-,)时，α=arctanx.
知识导学
学好本节有必要复习三角函数的定义和三角函数线，这是讨论三角函数性质、画三角函数图象的基础.在学习中，重视应用化归的数学思想，自觉地运用数形结合解决三角问题.
疑难突破
1.如何理解arcsinx、arccosx、arctanx？
剖析:疑点是这三个符号到底是表达了什么，arcsinx=(arc)×(sinx)
吗？其突破方法是明确这三个符号是如何规定的.
(1)根据正弦函数的图象及性质，为了使符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择区间［-,］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反正弦，记作x=arcsina.因此arcsina,x∈［-1,1］表示在［-,］上正弦值为a的角，即arcsina∈［-,］，且sin(arcsina)=a,a∈［-1,1］.例如：arcsin表示在［-,］上正弦值为的一个角，由于在［-,］上正弦值为的角仅有，则arcsin=.
(2)根据余弦函数的图象及性质，为了使符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x有且只有一个，选择区间［0,π］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x，叫做实数a的反余弦，记作x=arccosa,即arccosa=x,a∈［-1,1］，表示在［0,π］上余弦值为a的角，即arccosa∈［0,π］，且cos(arccosa)=a,a∈［-1,1］.例如：arccos(-)表示在［0,π］上余弦值为-的一个角，由于在［0,π］上余弦值为-的角仅有，则有arccos(-)=.
(3)根据正切函数图象及性质，为了使符合条件tanx=a(a∈R)的角x有且只有一个，选择区间
(-,)作为基本范围，在这个区间内，符合条件tanx=a(a∈R)的角x，叫做实数a的反正切，记作x=arctana，即arctana∈R，表示在(-,)上，正切值为a的唯一角，即arctana∈(-,)，且tan(arctana)=a,a∈R.例如：arctan(-1)表示在(-,)上正切值为-1的一个角，由于在(-,)上正切值为-1的角仅有-，则有arctan(-1)=-.
由此可见：arcsinx、arccosx、arctanx都是角；并且这些角都分别在特定范围内；它们的同名三角函数值等于x.arcsinx不能写成(arc)×(sinx)，arccosx不能写成(arc)×(cosx)，arctanx不能写成(arc)×(tanx)，也就是这三个符号是一个整体，如果拆开，就没有什么意义了.
2.由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象？
剖析:由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径.
途径一：先相位变换，再周期变换
先将y=sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y=sin(ωx+φ)的图象.
途径二：先周期变换，再相位变换
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，便得y=sin(ωx+φ)的图象.
疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同.其突破口是化归到由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图象.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
若按途径一有：先将y=f(x)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=f(ωx+φ)的图象.
若按途径二有：先将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数y=f(ωx)的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，得y=f(ωx+φ)的图象.
若将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图象；再将函数y=f(ωx)的图象上各点沿x轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，得到y=f［ω(x+φ)］的图象，即函数y=f(ωx+ωφ)的图象，而不是函数y=f(ωx+φ)的图象.
例如：由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(2x+)的图象？
方法一：(先相位变换，再周期变换)先将y=sinx的图象向左平移个单位得函数y=sin(x+)；再将函数y=sin(x+)图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得y=sin(2x+)的图象.
方法二：(先周期变换，再相位变换)先将f(x)=sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数f(2x)=sin2x的图象；再将函数f(2x)=sin2x的图象上各点沿x轴向左平移个单位，得f［2(x+)］=sin2(x+)的图象，即函数y=sin(2x+)的图象.
在方法二中，得到函数f(2x)=sin2x的图象后，如果把f(2x)=sin2x图象沿x轴向左平移个单位，得f［2(x+)］=sin2(x+)的图象，即函数y=sin(2x+)的图象，而不是函数y=sin(2x+)的图象.
由以上可见，利用变换法作y=Asin(ωx+φ)的图象时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.
