1.2.1 三角函数的定义
基础知识
基本能力
1．理解任意角的余弦、正弦和正切的定义，了解任意角的余切、正割和余割的定义．(重点)
2．掌握三角函数值在各象限的符号．通过任意角的三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例．(重点、易混点)
1．会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域．
2．能够判断三角函数在各象限内的符号．(重点)
1．三角函数的定义和定义域
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0).
三角函数
定义
定义域
名称
sin α
R
正弦
cos α
R
余弦
tan α
正切
sec α
正割
csc α
{α|α≠kπ，k∈Z}
余割
cot α
{α|α≠kπ，k∈Z}
余切
归纳总结由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角α为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．
【自主测试1－1】若角θ的终边过点P(a,8)，且cos θ＝－，则a的值是( )
A．6 B．－6 C．10 D．－10
解析：由任意角的三角函数的定义可知＝－，解得a＝±6.显然a＝6时不成立，所以a＝－6.
答案：B
【自主测试1－2】若角α终边上有一点P(－2,0)，则下列函数值不存在的是( )
A．sin α B．cos α
C．tan α D．cot α
答案：D
2．三角函数在各象限的符号
(1)用图形表示，如图所示．
(2)用表格表示.
α的终边
所在位置
x轴
正半轴
第一
象限
y轴
正半轴
第二
象限
x轴
负半轴
第三
象限
y轴
负半轴
第四
象限
sin α
0
＋
＋
＋
0
－
－
－
cos α
＋
＋
0
－
－
－
0
＋
tan α
0
＋
不存在
－
0
＋
不存在
－
归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即，第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同．
三角函数在各象限的符号是由什么确定的？
答：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
【自主测试2－1】若sin θcos θ＞0，则θ角的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
解析：由sin θcos θ＞0，可知若sin θ＞0，则cos θ＞0，则角θ的终边位于第一象限；若sin θ＜0，则cos θ＜0，则角θ的终边位于第三象限．综上，可知θ角的终边位于第一或第三象限．
答案：B
【自主测试2－2】已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在第__________象限．
解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限，
所以tan α＜0，cos α＜0，故角α在第二象限．
答案：二
锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程
剖析：角的概念推广后，我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数．
如图所示，射线OP在第一象限，P(x，y)是该射线上的任意一点，MP⊥Ox于点M，记∠MOP＝α，则OM＝x，MP＝y，r＝OP＝＞0，由锐角三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，tan α＝.
下面我们来研究任意角的三角函数．
如右上图所示，已知任意角α，以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy，并且使∠xOy＝90°.
在角α的终边上取点A，使OA＝1，设A的坐标为(l，m)，再任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例，得＝|l|，＝|m|，＝.
因为点A，P在同一象限内，所以它们的横纵坐标符号相同．
因此得＝l，＝m，＝，不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关．我们定义cos α＝，sin α＝，tan α＝.
由图可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的，这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数．
名师点拨(1)正弦、余弦、正切分别可看成一个角的集合到一个比值的集合的映射．它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，称为三角函数．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)在终边上的位置无关，而由角α的终边的位置决定．对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定，因此，三角函数是角的大小的函数．
题型一 三角函数的定义
【例题1】已知角α终边上一点的坐标为P(－，y)(y≠0)，sin α＝y，求cos α和tan α.
分析：求解本题的关键是根据三角函数的定义及sin α＝y求出y的值．
解：∵x＝－，∴r＝＝，
∴sin α＝＝，∴＝y，
解得y＝－或y＝或y＝0(舍去)．
∴当y＝－时，cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝；
当y＝时，同理得cos α＝－，tan α＝－.
反思当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．
〖互动探究〗若将本例中的条件“P(－，y)(y≠0)”改为“P(－，y)”结论又如何？
解：当y＝0时，cos α＝－1，tan α＝0；
当y＝时，cos α＝－，tan α＝－；
当y＝－时，cos α＝－，tan α＝.
题型二 判断三角函数值的符号
【例题2】(1)判断sin 3cos 4tan 5cot 6的符号；
(2)已知θ是第二象限的角，试确定的符号．
分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
解：(1)∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜6＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，cot 6＜0.
∴sin 3cos 4tan 5cot 6＜0，
即sin 3cos 4tan 5cot 6的符号为负．
(2)∵θ是第二象限的角，∴sin θ＞0，cos θ＜0.
故＜0，即的符号为负．
反思这里的sin 3就是“sin 3(rad)”，将弧度省略了．在第(2)小题中解题的关键是分别判断出sin θ，cos θ的符号．
题型三 三角函数的定义域
【例题3】求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg sin x＋.
分析：根据三角函数的定义并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可．
解：(1)由题意得sin xtan x≥0，
即sin x与tan x同号或sin xtan x＝0，故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
所以函数的定义域为
.
(2)由题意得
由sin x＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．①
由9－x2≥0得－3≤x≤3.②
由①②得0＜x≤3.
故函数的定义域为{x|0＜x≤3}．
反思求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即首先列出不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定要有意义．在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决．
题型四 易错辨析
【例题4】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α，cot α的值．
错解：∵x＝－4a，y＝3a，∴r＝＝5a.
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝－，cot α＝＝－.
错因分析：没有对a分正负两种情况讨论，误认为a＞0.
正解：若a＞0，则r＝5a，且角α的终边在第二象限，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝－，cot α＝＝－.
若a＜0，则r＝－5a，且角α的终边在第四象限，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－，cot α＝＝－.
反思(1)给出角的终边上一点的坐标，求解某个三角函数值时常用定义求解．
(2)本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行分类讨论．
1．已知P(x,4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－，则x的值为( )
A．10 B． C．－10 D．－
解析：由任意角的三角函数的定义可知，tan θ＝＝＝－，故x＝－10.
答案：C
2．已知角α的终边经过点P(－3，－4)，则cos α的值为( )
A．－ B． C． D．－
答案：D
3．若α是第三象限的角，则－＝( )
A．0 B．1 C．2 D．－2
解析：∵α是第三象限的角，∴sin α＜0，cos α＜0，
∴－＝－1－(－1)＝0.
答案：A
4．下列函数中，与函数y＝tan α有相同定义域的个数为( )
①y＝；②y＝sec α；③y＝csc α；④y＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：要使y＝tan α＝有意义，只需角α的终边上异于原点的点P(x，y)的横坐标x≠0，显然函数②④的定义域与之相同．
答案：B
5．若角α的终边过点P(3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限的角)，则sin α＝__________.
解析：∵x＝3cos θ，y＝－4cos θ，
∴r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ(θ为第二象限的角)．∴sin α＝＝＝.
答案：
6．x2sin(－1 350°)＋y2tan 405°－(x－y)2cot 765°－2xycos(－1 080°)＝__________.
解析：原式＝x2sin(90°－4×360°)＋y2tan(45°＋360°)－(x－y)2cot(45°＋2×360°)－2xycos(0°－3×360°)＝x2sin 90°＋y2tan 45°－(x－y)2cot 45°－2xycos 0°＝x2＋y2－(x－y)2－2xy＝0.
答案：0
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝tan x＋cot x；(2)y＝＋tan x.
解：(1)∵要使函数有意义，必须使tan x，cot x同时有意义，∴
∴函数y＝tan x＋cot x的定义域为.
(2)∵当sin x≥0且tan x有意义时，函数才有意义，
∴
∴函数y＝＋tan x的定义域为
∪(k∈Z)．
1.2.1 三角函数的定义
课堂导学
三点剖析
一、任意角的三角函数的定义
注意:(1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围(自变量取值)是全体实数.
(2)一个任意角α的三角函数值只依赖于α的大小(即只与这个角的终边位置有关),而与P点在终边上的位置无关.
(3)正弦,余弦,正切,余切,正割,余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(4)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.
每个词的第一个字母“s”或“c”或“t”都不能大写.
【例1】 已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα,secα,cscα,cotα的值.
思路分析:在由三角函数的定义求三角函数时,应先确定α终边位置.由于含有参数a,而a的条件为a≠0,
所以必须对a进行讨论,这一点不可忽视.
解：∵x=3a,y=-4a,
∴r==5|a|(a≠0).
(1)当a>0时,r=5a,α是第四象限角.
sinα==,cosα==,
tanα==,cotα=,
secα==,cscα==.
(2)当a<0时,r=-5a,α是第二象限角.
于是sinα=,cosα=,tanα=,cotα=,secα=,cscα=.
温馨提示
(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
(2)求任意角的三角函数,有时需要确定角所在的象限,相应地以此来确定三角函数的符号,这是容易出现错误的地方.
各个击破
类题演练 1
已知角α的终边经过P（-2，-3），求角α的正弦,余弦,正切值.
解：∵x=-2,y=-3,r=，
∴sinα===,
cosα===,
tanα===.
变式提升 1
已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3secα=________.
思路分析:由角α的终边落在直线y=-3x上,所以可设其终边上一点为P(k,-3k)(k≠0),再分k>0与k<0求解.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=|k|.
(1)当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sinα==,secα==,
∴10sinα+3secα=10×()+=+=0.
(2)当k<0时,r=k,α为第二象限角,
sinα==,secα==,
∴10sinα+3secα=10×+3×()==0.
综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.
答案:0
温馨提示
要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限,这与角α的终边在y=-3x上是一致的.
二、三角函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+cosx;
(2)y=+tanx.
解：(1)∵使sinx,cosx有意义的x∈R,
∴y=sinx+cosx的定义域为R.
(2)当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,
∴有(k∈Z)
∴函数y=+tanx的定义域为［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).
类题演练 2
求函数y=tan(x-)的定义域.
思路分析:∵y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},
∴本题中将x-看作一个角即可解得x的取值范围.
解:设θ=x-,在y=tanx中,θ≠kπ+,k∈Z,
∴x-≠kπ+,k∈Z.
∴x≠kπ+,k∈Z.
∴定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
变式提升 2
x取什么值时,有意义?
解:由题意得
解得
所以当{x|x≠,k∈Z}时,有意义.
三、三角函数值的符号
【例3】 确定下列式子的符号:
(1)tan125°·sin273°;
(2);
(3)sin·cos·tan;
(4);
(5)tan191°-cos191°;
(6)sin3·cos4·tan5·cot6.
解：(1)∵125°是第二象限角,∴tan125°<0;
∵273°是第四象限角,∴sin273°<0.
从而tan125°sin273°>0.
∴式子符号为正.
(2)∵108°是第二象限角,∴tan108°<0.
∵305°是第四象限角,∴cos305°>0.
从而<0,
∴式子符号为负.
(3)∵是第三象限角,是第二象限角;是第四象限角.
∴sin<0,cos<0,tan<0,从而sin·cos·tan<0.
∴式子符号为负.
(4)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角.
∴cos<0,tan<0,sin>0.
从而>0.
∴式子符号为正.
(5)∵191°是第三象限角,
∴tan191°>0,cos191°<0.
∴tan191°-cos191°>0.
∴式子符号为正.
(6)∵<3<π,π<4<,<5<6<2π,
∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,cot6<0.
∴sin3·cos4·tan5·cot6<0.
∴式子符号为负.
类题演练 3
判定下列各式的符号:
(1)sin105°·cos230°;
(2)sin·tan;
(3)cos6·tan6;
(4)sin4·tan().
解:(1)∵105°,230°分别为第二、第三象限角,
∴sin105°>0,cos230°<0.
∴sin105°·cos230°<0.
(2)∵<<π,∴是第二象限角.
∴sin>0,tan<0.
∴sin·tan<0.
(3)∵<6<2π,∴6弧度的角是第四象限角.
∴cos6>0,tan6<0.
∴cos6·tan6<0.
(4)∵π<4<,∴sin4<0.
又=-6π+,
∴与终边相同.
∴tan()>0.
∴sin4·tan()<0.
变式提升 3
若α同时满足tanα<0,cosα>0,
(1)求α的集合；
（2）判断sin,cos,tan的符号.
解：（1）由cosα>0知α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上.由tanα<0,得α终边又在第二、四象限.因此，α的终边在第四象限.
∴角α的集合为{α|2kπ-<α<2kπ,k∈Z }.
(2)∵2kπ-<α<2kπ,k∈Z，
∴kπ-<
当k=2n(n∈Z)时，2nπ-<<2nπ.
∴sin<0,cos>0,tan<0；
当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+<<2nπ+π.
∴sin>0,cos<0,tan<0.
温馨提示
(1)要熟记三角函数值在各象限的符号.
(2)α为象限角，求是哪个象限角的方法：根据α所在象限写出α的不等式，进而得的不等式.再对k为奇数、偶数两种情况讨论.
1.2.1 三角函数的定义
课堂探究
探究一 三角函数的定义
利用三角函数的定义求一个角的三角函数有以下几种情况：
(1)若已知角α终边上有一不同于坐标原点的任意一点P(x，y)，则首先求r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝；
(2)若已知角α终边所在的位置，只需从终边上取点P(不同于坐标原点)，利用三角函数的定义求值；
(3)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：r＝＝5|a|．
若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，则
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－；
若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，则
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
反思 当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍．
【例2】 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求10sin α＋3sec α的值．
分析：先确定角α终边上一个点(不同于坐标原点)的坐标，然后利用三角函数的定义求得sin α，sec α的值，进而求出代数式的值．
解：因为角α的终边落在直线y＝－3x上，
所以角α的终边可能落在第二象限或第四象限．
若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点(－1,3)，
所以r＝＝．
所以sin α＝＝，sec α＝＝－，
所以10sin α＋3sec α＝10×＋3×(－)＝0．
若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点(1，－3)，
所以r＝＝．
所以sin α＝－，sec α＝＝．
所以10sin α＋3sec α＝10×＋3×＝0．
综上所述，10sin α＋3sec α＝0．
反思 要正确理解角的终边在直线上的意义，因为角的终边是射线，所以可能出现两种情况，解题时要注意分类讨论．
探究二 判断三角函数值的符号
三角函数值的符号取决于角的终边所在位置．三角函数值在各象限的符号可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函数全是正值，第二象限角正弦函数是正值，第三象限角正切函数是正值，第四象限角余弦函数是正值)来判断．
【例3】 判断下列三角函数值的符号．
(1) (θ为第二象限的角)；
(2)sin 3·cos 4·tan 5·cot 6．
分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式子的结构特点及每部分的符号．
解：(1)因为θ是第二象限的角，
所以sin θ＞0，cos θ＜0．
故<0．
(2)因为<3<π，π<4<，<5<6<2π，
所以sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，cot 6＜0．
所以sin 3·cos 4·tan 5·cot 6＜0．
反思 这里的sin 3就是“sin 3(rad)”，将弧度符号省略了．在第(1)小题中解题的关键是分别判断出sin θ，cos θ的符号．
【例4】 函数y＝＋的值域是__________．
解析：当x为第一象限的角时，sin x>0，cos x>0，
所以y＝＋＝1＋1＝2；
当x为第二象限的角时，sin x>0，cos x<0，
所以y＝＋＝1－1＝0；
当x为第三象限的角时，sin x<0，cos x<0，
所以y＝＋＝－1－1＝－2；
当x为第四象限的角时，sin x<0，cos x>0，
所以y＝＋＝－1＋1＝0．
所以y＝＋的值域是{－2,0,2}．
答案：{－2,0,2}
探究三 三角函数的定义域
1．求一个函数的定义域就是要找出使这个函数有意义的x取值的集合；
2．将三角函数符号后的整体看做一个角，从而化为一个角的三角函数，这种整体的化归思想在今后的学习中经常用到，要注意理解与应用．
【例5】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝＋．
分析：本题主要考查三角函数的定义域以及定义域的求法，应考虑到分式中分母不等于零、偶次根式有意义等条件，还要注意使tan x有意义，解不等式组即可．
解：(1)要使函数有意义，须tan x≠0，
所以x≠kπ(k∈Z)，且x≠kπ＋(k∈Z)．
所以x≠ (k∈Z)．
所以函数的定义域是．
(2)若函数有意义，则
得
解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
所以函数的定义域是
．
点评 求三角函数的定义域，除了使已知的式子有意义外，三角函数本身的定义域也不可忽视，若式中含有tan x，cot x时，x的取值要特别注意．
1.2.1 三角函数的定义
预习导航
课程目标
学习脉络
1．能根据任意角的三角函数的定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的某种函数值符号，判断出α可能存在的象限．
2．理解并掌握任意角的三角函数的定义．
3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．
1．任意角的三角函数的定义
设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝>0)，如图，那么
(1)比值叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
(2)比值叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
(3)比值叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝；
(4)比值叫做角α的正割，记作sec α，即sec α＝；
(5)比值叫做角α的余割，记作csc α，即csc α＝；
(6)比值叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝．
注意：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数．我们重点研究正弦函数、余弦函数、正切函数．
(2)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，它表示的是一个比值，而不是sin与α的积，如f(x)表示自变量为x的函数一样．
(3)任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P的位置无关．
(4)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．
2．三角函数的定义域
确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键特性，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．
六种三角函数的定义域见下表：
三角函数
意义
定义域
sin α
cos α
sin α＝
cos α＝
R
tan α
sec α
tan α＝
sec α＝
cot α
csc α
cot α＝
csc α＝
{α|α≠kπ，k∈Z}
特别提醒 (1)此定义域是在函数自变量为弧度制时所得到的．
(2)对于正切函数及正割函数的定义域，我们也可以将其写成 (k∈Z)；对于余切函数及余割函数的定义域，我们也可以将其写成(kπ，kπ＋π)(k∈Z)．
3．三角函数在各象限的符号
(1)用图形表示：如图所示．
(2)用表格表示如下表．
α的
终边
x轴
正半轴
第一
象限
y轴
正半轴
第二
象限
x轴
负半轴
第三
象限
y轴
负半轴
第四
象限
sin α
0
＋
1
＋
0
－
－1
－
cos α
1
＋
0
－
－1
－
0
＋
tan α
0
＋
不存在
－
0
＋
不存在
－
归纳总结 三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即：第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同．
1.2.2 单位圆与三角函数线
基础知识
基本能力
1．了解三角函数线的定义．(难点、易错点)
2．掌握在单位圆中某一角的函数线的画法．(重点)
1．会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切．(重点)
2．能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单的三角方程或三角不等式、证明相关的命题等．(重点、难点)
1．单位圆
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．
【自主测试1】若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：
①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；
②单位圆与x轴的交点只有一个，为(1,0)；
③过点(1,0)的单位圆的切线方程为x＝1；
④与x轴平行的单位圆的切线方程为y＝1.
以上结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：单位圆与x轴的交点有两个，为(1,0)和(－1,0)；与x轴平行的单位圆的切线方程为y＝±1，所以②④错误．显然①③正确．
答案：B
2．三角函数线
(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．
设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(如图(1))，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos_α，sin_α)．其中cos α＝OM，sin α＝ON.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
如图(2)，以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把轴上向量，和(或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．
当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1.
当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
知识拓展我们根据角能作出角的三角函数线，反过来，我们也可以根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．观察三角函数线的变化，我们知道：
当角由0增加到2π时，
sin α在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；
cos α在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；
tan α在各个象限内都分别是增函数．
观察三角函数线的变化，还可以得出α∈R时，sin α，cos α的值域为[－1,1]，tan α的值域为R.
【自主测试2－1】如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
答案：C
【自主测试2－2】如果，分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP＜OM＜0 B．MP＜0＜OM
C．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0
答案：D
1．利用有向线段表示三角函数值应注意的问题
剖析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴的正方向的交点的切线上．三条有向线段中，两条在单位圆内，一条在单位圆外．
(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边或其反向延长线的交点．
(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．
(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面．
2．三角函数线的作用
剖析：三角函数线在解决有关三角问题时，具有实用性、简捷性、直观性等特点，它是三角函数值的直观表达形式．从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值的大小．三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．
如，求函数y＝log2(sin x)的定义域．
我们可以通过转化为解不等式sin x＞0.解答如下：
要使函数有意义，x的取值必须满足sin x＞0.
如图所示，是角x的正弦线，
则有sin x＝MP＞0.
∴的方向向上．
∴角x的终边在x轴的上方．
∴2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，
即函数y＝log2(sin x)的定义域是x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.
3．教材中的“思考与讨论”
角α＝x(rad)，且0＜x＜，于是x，sin x，tan x都是实数．请你给x一个具体的值，比较这三个实数的大小．然后想一想，你得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立．
剖析：取x＝，则sin x＝，tan x＝.
∵＝＝，＝＝，
∴tan＞sin.
又∵＝＜，∴sin＜.
又∵tan＝＝＞，∴tan＞.
从而可知，tan＞＞sin.
一般性证明：如图所示，0＜x＜.
MP为x角的正弦线，AT为x角的正切线，由于S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，
且S△OPA＝OA·MP＝sin x，
S扇形OPA＝x·OA2＝x，
S△OAT＝OA·AT＝tan x，
∴sin x＜x＜tan x，即sin x＜x＜tan x.
∴若x∈，则必有sin x＜x＜tan x.
题型一 作出三角函数线
【例题1】分别作出和－的正弦线、余弦线和正切线．
分析：利用单位圆中三角函数线的作法作图．
(1)
解：在直角坐标系中作单位圆，如图(1)，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.
(2)
同理可作出－的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)．sin＝M1P1，cos＝OM1，tan＝A1T1，即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
反思关于三角函数线的几点说明：
(1)正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．
(2)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴的正方向同向的为正值，与x轴或y轴的正方向反向的为负值．
(3)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面．
题型二 利用三角函数线比较大小
【例题2】比较cos与cos的大小．
分析：先画出与的余弦线，再利用余弦线的长度及方向进行比较．
解：如图所示，射线OP1是角的终边，射线OP2是角的终边，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分别为M1，M2，所以cos＝OM1，cos＝OM2.
由右上图易知，OM1＞OM2，故cos＞cos.
反思利用三角函数线解决一些与三角函数有关的大小比较问题十分方便，因此，在解决类似问题时，我们要能够熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．当然利用作图的方法解题，要注意所作图的准确性．
题型三 利用三角函数线解不等式
【例题3】在单位圆中画出符合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
分析：作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．
解：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为.
反思通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角函数不等式的步骤：
〖互动探究〗若将本例中(1)，(2)分别改为sin α＜，cos α＞－，结论又如何？
解：(1)；
(2).
题型四 易错辨析
【例题4】利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1.
错解：证明：如图所示，点P为角α的终边与单位圆的交点，则MP＝|sin α|，OM＝|cos α|，
根据三角形中两边之和大于第三边易知|sin α|＋|cos α|≥1.
错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线和余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sin α|和OM＝|cos α|.
正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r＝1)，所以|sin α|＋|cos α|＝1.当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|＋|cos α|＝|MP|＋|OM|＞1.
综上，有|sin α|＋|cos α|≥1.
1．若－＜α＜－，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．tan α＜sin α＜cos α
C．cos α＜sin α＜tan α D．sin α＜cos α＜tan α
解析：如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．
由图知，sin α＝MP＜0，cos α＝OM＜0，tan α＝AT＞0，且MP＜OM，故sin α＜cos α＜tan α.
答案：D
2．对角α的正弦线叙述错误的是( )
A．正弦线的起点为坐标原点
B．正弦线为有向线段
C．正弦线的长度为不大于1的正数
D．当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在的直线平行于y轴
解析：因为正弦线的长度有可能为0，所以选项C错误．
答案：C
3．已知，角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上
答案：A
4．若sin θ≥0，则θ的取值范围是__________．
答案：2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z
5．若θ∈，则下列各式错误的是________．
①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.
解析：画出单位圆如下图，借助三角函数线进行判断．
由图可观察出，当θ∈时，
sin θ＞0，cos θ＜0，且|sin θ|＜|cos θ|.
所以①②③正确，④错误．
答案：④
6．利用三角函数线，求满足sin x≤的角x的集合．
解：如图所示，值为的正弦线为和，易得出∠M1OP1＝，∠M2OP2＝，故满足sin x≤的角x的集合为.
1.2.2 单位圆与三角函数线
课堂导学
三点剖析
一、三角函数线的概念
正弦线,余弦线,正切线分别是正弦,余弦,正切的几何表示,是与单位圆有关的有向线段,通过三角函数线可将三角函数问题转化为几何问题.
【例1】 分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线.
思路分析：先以原点为圆心，1为半径作单位圆，然后分别作出角度为和-的角的终边，最后按三角函数线的定义作出正弦线、余弦线和正切线.
解析：在直角坐标系中作单位圆（如图），以Ox轴的正方向为始边作角的终边，与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M.由单位圆与Ox正方向交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点.则sin=MP,cos=OM,tan=AT,
即的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线.sin（-）=M′P′,cos(-)=OM′，tan(-)=AT′,即-的正弦线为M′P′,余弦线为OM′，正切线为AT′.
温馨提示
（1）三角函数线有方向、正负，是有向线段；
（2）在利用三角函数线比较三角函数值的大小时要注意方向、正负.
各个击破
类题演练 1
在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1)sinα=;(2)cosα=;(3)tanα=2.
解:(1)作直线y=交单位圆于P,Q,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
(2)作直线x=交单位圆于M,N,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
(3)在直线x=1上截取AT=2,其中A的坐标为(1,0),设直线OT与单位圆交于C,D,则OC与OD为角α的终边,如图丙.
变式提升 1
根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角α的取值集合.
(1)sinα=;(2)cosα=;(3)tanα=-1.
解:(1)角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.
(2)角α的取值集合为{α|α=2kπ±,k∈Z}.
(3)角α的取值集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}={α|α=kπ±,k∈Z}.
二、利用三角函数线解简单不等式
【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.
（1）sinα≥;(2)cosα≤-.
思路分析：先画出区域边界，再根据三角函数的正负确定区间范围.
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的α的集合为
{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
（1）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数定义域；
（2）三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具.
类题演练 2
利用单位圆解不等式3tanα+>0.
思路分析:先画出正切线,再根据平面区域确定角的范围.
解:(1)要使3tanα+>0,即tanα>,由正切线知kπ<α不等式的解集为(kπ,kπ+),k∈Z.
变式提升 2
求下列函数的定义域：
（1）y=+tanx；
(2)y=lg(3-4sin2x).
解：（1）由k∈Z.
∴2kπ≤x≤(2k+1)π且x≠2kπ+(k∈Z).
∴定义域为 ［2kπ,2kπ+）∪(2kπ+,(2k+1)π］（k∈Z）.
（2）如图，∵3-4sin2x>0,
∴sin2x<.∴∴定义域为（2kπ-,2kπ+）∪(2kπ+,2kπ+),k∈Z.
三、比较三角函数值的大小
【例3】 若集合A=［0,2π),集合B={α|sinα>cosα},求集合A∩B.
思路分析：三角函数线的作用是利用有向线段直观地表示三角函数值.有向线段的方向表示三角函数值的正负,有向线段的长度表示三角函数值的绝对值.在解决有关三角函数不等式或比较函数值大小方面,利用三角函数线比较简捷.
解:依题意当≤α<π时,sinα>0,cosα≤0,
∴sinα>cosα成立.
当0≤α≤时,如图中以OA为终边表示的角,这时sinα≤cosα.
当<α<时,如图中以OB为终边表示的角,这时sinα>cosα成立.
当π≤α<时,如图中以OC为终边表示的角,这时sinα>cosα成立.
同理,可推出当≤α<2π时,sinα≤cosα.
综上所述,当<α<时,sinα>cosα.
∴A∩B={α|<α<}.
类题演练 3
比较sin1 155°与sin(-1 654°)的大小.
思路分析:首先利用诱导公式将1 155°和-1 654°分别变化到0°—360°的角,然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线,利用三角函数线即可比较出大小.
解:先化成0°—360°间的角的三角函数.
sin1 155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin146°.
在单位圆中分别作出sin75°或sin146°的正弦线M2P2,M1P1(如图).
∵M1P1sin(-1 654°).
变式提升 3
设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),试比较a、b、c的大小.
解：如右图，作出-1 rad的正弦线、余弦线及正切线.显然，b=cos(-1)>0,c=tan(-1)即c温馨提示
单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它不但可以画出准确的三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质.
1.2.2 单位圆与三角函数线
课堂探究
探究一 作出三角函数线
作三角函数线的题型主要有两种：
(1)已知角的大小，作三角函数线，此类题型只需按步骤进行即可；
(2)已知函数值的大小找角，先找出相应y或x的值，再找出相应的角．
【例1】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝； (2)cos α＝－； (3)tan α＝2．
分析：对于(1)设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x．所以，要作出满足sin α＝的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则OP即为α的终边，对于(2)，(3)可采用同样的方法予以处理．
解：(1)作直线y＝交单位圆于点P，Q，则OP与OQ为角α的终边，如图①．
(2)作直线x＝－交单位圆于点M，N，则OM与ON为角α的终边，如图②．
(3)在直线x＝1上截取AT＝2，其中A的坐标为(1,0)．设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角α的终边，如图③．
评注 三角函数线可以用来求出满足形如f(a)＝m的三角函数的角α的终边，体现了对三角函数线的深刻理解，同时这也是利用三角函数解决问题的关键．
探究二 利用三角函数线比较大小
利用三角函数线比较大小，先要作出相应的三角函数线，然后观察三角函数线的大小和方向．
【例2】 若θ∈，则下列各式错误的是________．(填序号)
①sin θ＋cos θ<0； ②sin θ－cos θ>0； ③|sin θ|<|cos θ|； ④sin θ＋cos θ>0．
解析：画出单位圆如图所示，借助三角函数线进行判断．
由图可观察出，当θ∈时，
sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|．
所以①②③正确，④错误．
答案：④
反思 通过此题，我们发现三角函数线在解决一些与三角函数有关的不等式、比较大小等问题时十分快捷有效，所以我们要熟练地画出一个角的三角函数线，结合图形对比得出结论．这也是数形结合思想的很好体现．
探究三 利用三角函数线解不等式
用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
【例3】 求函数f(α)＝的定义域．
分析：要使函数f(α)有意义，则sin α≥．利用三角函数线可得α的范围，即为函数f(α)的定义域．
解：要使函数f(α)有意义，必须使2sin α－1≥0，则sin α≥，如图所示，画出单位圆，作x轴的平行直线y＝，交单位圆于两点P1，P2，连接OP1，OP2，分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图的两条正弦线，易知这两条正弦线的值都等于．
在[0,2π)内，sin ＝sin ＝．
由于sin α≥，故满足条件的角α的终边在图中阴影部分，
所以函数f(α)的定义域为
．
反思 求此类三角函数定义域的本质是求三角不等式(组)的解集，其方法是首先作出单位圆，然后根据约束条件利用三角函数线画出角α终边所在的区域(可用阴影部分表示)，然后写出该区域内角的集合即可．
【例4】 已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0,2π]内求α的取值范围．
解：由题意，知如图所示，由三角函数线可得
故<α<或π<α<．
反思 根据三角函数线可以判断sin α，cos α，tan α的符号，推出三角函数的定义域，比较三角函数值的大小等，更重要的是，由于给出了三角函数的几何定义，可以直观地研究三角函数，运用数形结合思想解决某些实际问题，还可以沟通三角函数与几何等其他内容的联系．
探究四 三角函数值与角的关系
由三角函数定义知：－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1，即三角函数值是一个数值，而由弧度制知，数值与角也是一一对应的，如1 rad＝．
【例5】 (1)若角θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．
(2)若tan(cos θ)·cot(sin θ)>0，试指出θ所在象限．
分析：本题主要考查正弦、余弦函数的定义和取值范围，以及它们在各象限函数值的符号，关键将角α，cos α，sin α看作弧度制下的角．
解：(1)因为角θ在第四象限，
所以0所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0．
所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0．
(2)由题意，知或
所以或
即θ在第一或第三象限．
探究五 易错辨析
易错点：因忽视角的终边在坐标轴上而致误
【例6】 利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1．
错解：证明：如图所示，MP＝|sin α|，OM＝|cos α|．
根据三角形中两边之和大于第三边，易知|sin α|＋|cos α|≥1．
错因分析：上述解法忽视了角α的终边在坐标轴上的情况，并且正弦线、余弦线是有方向的，不能写成MP＝|sin α|和OM＝|cos α|．
正解：证明：当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1．当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|＞1．
综上，有|sin α|+|cos α|≥1．
1.2.2 单位圆与三角函数线
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解单位圆、有向线段的概念．
2．理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题．
1．单位圆、正射影
(1)把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴，y轴上的正射影(简称射影)(如图所示)．
要点解读：
在三角函数的定义中，巧妙地引入了单位圆，使三角函数这一代数问题几何化了，即有了几何表示，从而也使问题由抽象变得具体．为深入细致研究三角函数提供了一种新途径，开辟了一个新视野——角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
2．三角函数线
(1)如图(1)，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)，A′(－1,0)，而与y轴的交点分别为B(0,1)，B′(0，－1)．
由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)．其中cos_α＝OM，sin_α＝ON．
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
如图(2)，以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把轴上向量O，O和A (或)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线．
说明：(1)余弦线、正弦线、正切线都是三角函数线，它们分别是余弦函数、正弦函数、正切函数的几何表示．
(2)三角函数线是有向线段(带有方向(即规定了起点和终点)的线段)，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒．也可用这样的规律：凡含原点的有向线段，都以原点为起点；不含原点的有向线段，都以此有向线段与坐标轴的公共点为起点．
(3)当角α的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM＝1或－1．
当角α的终边在y轴上时，正弦线MP＝1或－1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在．
自主思考1 如何根据三角函数的方向确定三角函数值的符号？
提示：正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
自主思考2 观察三角函数线的变化，试分析正弦线、余弦线、正切线的增减性和取值范围？
提示：观察三角函数线的变化，
当角由0增加到2π时，
sin α在一、四象限是增函数，在二、三象限是减函数；
cos α在一、二象限是减函数，在三、四象限是增函数；
tan α在各个象限内分别是增函数．
观察三角函数线的变化，还可以得出α∈R时，sin α，cos α的值域为[－1,1]，tan α的值域为R．
3．三角函数线的作图步骤
作一个角α的三角函数线的步骤：
(1)画单位圆，且设其与x轴正半轴交于点A．
(2)作角α的终边，且设其与单位圆的交点为P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线和余弦线．
(3)过点A作x轴的垂线，与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是角α的正切线．
自主思考3角α＝x(rad)，且0提示：取x＝，则sin x＝，tan x＝．
因为＝＝，＝＝，
所以tan >sin ．又＝<，所以sin <．
又tan ＝＝>，所以tan >．
从而可知，tan >>sin ．
证明：如图所示，0M为角x的正弦线，A为角x的正切线，由于S△OPA所以若x∈，则必有sin x自主思考4 如何利用单位圆解形如sin α≥(或≤)a，cos α≥(或≤)a(|a|≤1)型不等式．
提示：(1)利用单位圆解sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)型不等式的具体方法为：
①如图甲，画出单位圆；
图甲
②在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分即为满足sin α≤a的角α的范围，剩余部分即为满足sin α≥a的角α的范围．
(2)利用单位圆解cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)型不等式的具体方法为：
①如图乙，画出单位圆；
图乙
②在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P，P′，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分即为满足cos α≤a的角α的范围，剩余部分为满足cos α≥a的角α的范围．
特别提示此类题型在写角α的范围时，不要忘记加上2kπ(k∈Z)，因为与角α终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍．
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
基础知识
基本能力
1．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(重点)
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等．(重点、难点)
1．已知一个角的一个三角函数值，会求这个角的其他三角函数值．(重点)
2．熟练掌握(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α在化简、求值、证明中的应用．(难点)
1．同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，
tan α＝.
名师点拨(1)同角三角函数的基本关系式，反映了同角三角函数之间的内在联系．这里的“同角”，应作广义的理解，例如与，3α与3α是同角，5β＋与5β＋也是同角．
(2)同角三角函数的基本关系式有着广泛的应用．比如可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值；还可以化简三角函数式以及证明有关的三角恒等式等．
【自主测试1－1】若sin α＝－，α∈，则tan α等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
解析：因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝＝.
所以tan α＝－.
答案：D
【自主测试1－2】(tan x＋cot x)·cos2x等于( )
A．tan x B．sin x
C．cos x D．cot x
解析：(tan x＋cot x)·cos2x＝·cos2x＝·cos2x＝＝cot x.
答案：D
2．同角三角函数的基本关系式成立的条件
当α∈R时，sin2α＋cos2α＝1成立；
当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝tan α成立.
【自主测试2】＝cot α成立的条件是__________．
答案：α≠kπ(k∈Z)
1．探索sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间的关系
剖析：∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋2sin αcos α.
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
同理可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
∴(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－＝－(sin α－cos α)2.
∴sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值．这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视．
2．同角三角函数关系式的应用指南
剖析：(1)已知角α的一个三角函数值，求α的其余三角函数值时，要特别注意角α所在的象限，以确定三角函数值的符号．一般有以下三种情况：
①已知三角函数值且角在某一确定的象限，这时只有一组解；
②已知三角函数值，但没有给出角所在的象限，这时一般有两组解，需对角所在的象限分两种情况讨论．如已知sin α＝，求cos α，tan α；
③所给三角函数值为字母，这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论．如已知sin α＝t，求cos α，tan α.
(2)在计算、化简或证明三角函数式时，常用的技巧有：“1”的代换，减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件或结论的重新整理、配置或改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．
(3)运用三个基本关系式进行化简、求值、证明时，主要是灵活运用公式，思考方向可归纳为三点：
①寻找差异：观察角、函数、关系结构的差异；
②寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
③合理转化：选择恰当的公式实现差异的转化．
题型一 利用同角三角函数基本关系式求值
【例题1】已知α是第四象限的角，且tan α＝－，求sin α.
解：由
解得sin α＝±.
又∵α为第四象限的角，
∴sin α＜0.
∴sin α＝－.
反思在利用同角三角函数基本关系式时，一定要注意角所在的象限，若没有象限的限制，则要进行分类讨论；再者，要注意关系式中的角必须是同角，否则不能使用此公式．
〖互动探究〗若将本例中条件“α是第四象限的角”改为“α是△ABC中的内角”，结论又如何？
解：sinα＝.
题型二 含字母的求值问题
【例题2】已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值．
分析：可先由cos α＝±，根据正、负号的选取情况对α作出讨论，再求tan α.
解：(1)当m＝0时，tan α＝＝0.
(2)当m＝±1时，α的终边落在y轴上，此时tan α无意义．
(3)当α在第一、四象限时，cos α＞0，
∴cos α＝＝，
∴tan α＝＝＝.
当α在第二、三象限时，cos α＜0，
∴cos α＝－，
∴tan α＝＝＝.
反思通过本例的求解可得出含参类问题通常用分类讨论的思想来解决．注意分类讨论时，要做到“不重不漏”．
题型三 关于sin α，cos α齐次式的求值问题
【例题3】已知tan α＝－，求下列各式的值．
(1)2sin2α－sin α·cos α＋5cos2α；
(2).
分析：将原式化为含tan α的式子，然后整体代入即可．
解：(1)原式＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝＝
＝＝.
题型四 重要关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的应用
【例题4】已知sin θ＋cos θ＝，0＜θ＜π，求sin θ－cos θ的值．
分析：欲求sin θ－cos θ的值，可先求(sin θ－cos θ)2，为此需由已知条件求出sin θcos θ的值，解题中要注意sin θ－cos θ的符号．
解：∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－.
∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＞0.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝.
反思
常见错误
错误原因
∵sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
得sin θcos θ＝－.
(sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝±.
错误原因是忽略了角θ的取值范围，根据0＜θ＜π这一条件，再由sin θcos θ＜0，可以确定sin θ－cos θ的符号．解此类问题的关键是确定符号.
题型五 三角恒等式的证明
【例题5】求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ＝＋.
分析：采用切化弦的方式，将等式左边的正切值用正弦值和余弦值的关系式表示．
证明：原式左边＝sin θ＋cos θ
＝sin θ＋＋cos θ＋
＝＋
＝＋
＝＋＝右边．
故原式成立．
反思证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边．
(2)证明左右两边都等于同一个式子．
(3)变更论证．采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
题型六 易错辨析
【例题6】若sin α＝，cos α＝(k≠3)，求的值．
错解：由tan α＝，得tan α＝×＝，
故＝＝.
错因分析：没有利用sin α与cos α之间的内在关系式sin2α＋cos2α＝1求出k值．
正解：∵sin α＝，cos α＝，sin2α＋cos2α＝1，
∴2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，解得k＝－7或k＝1.
∵当k＝1时，cos α＝0，∴tan α不存在，∴k＝1舍去．
∵当k＝－7时，sin α＝，cos α＝，∴tan α＝，
故＝－.
1．若α∈，且cos2α＝，则tan α的值等于( )
A． B． C． D．
解析：∵α∈，∴cos α＝，∴α＝，∴tan＝.
答案：D
2．已知sin α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )
A． B． C．± D．±
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，α∈(0，π)，
∴cos α＝±＝±.
∴tan α＝＝±.
答案：C
3．已知sin α－cos α＝，则sin3α－cos3α＝( )
A． B． C． D．
解析：∵sin α－cos α＝，
∴上式两边平方得1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝.
∴sin3α－cos3α
＝(sin α－cos α)(sin2α＋sin αcos α＋cos2α)
＝(sin α－cos α)(1＋sin αcos α)
＝×＝.
答案：B
4．A为△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
解析：由sin A＋cos A＝两边平方得sin A·cos A＝－＜0.
∵A为△ABC的一个内角，
∴0＜A＜π，结合sin Acos A＜0，
知sin A＞0，cos A＜0，
∴＜A＜π.
∴△ABC为钝角三角形．
答案：B
5．已知sin θ＜0，tan θ＞0，则化简的结果为__________．
答案：－cos θ
6．若f(tan x)＝sin xcos x，则f的值是__________．
解析：∵f(tan x)＝sin xcos x＝＝，
∴f(x)＝，
∴f＝＝.
答案：
7．已知tan α＝2，先化简，再求值：
(1)＝________；
(2)＝________.
解析：(1)∵tan α＝2，∴cos α≠0.
∴原式的分子、分母同除以cos α，得
＝＝＝－1.
(2)∵cos2α≠0，
∴原式的分子、分母同除以cos2α，得
＝＝＝.
答案：(1)－1 (2)
8．若sin θ，cos θ是关于x的方程4x2＋2mx＋m＝0的两个根，且m＜0.试求m的值．
解：由根与系数的关系，得
由①2－②×2，得1＝－，
即m2－2m－4＝0，解得m＝1±.
又m＜0，故m＝1－.
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
课堂导学
三点剖析
一、对基本关系的理解
(1)公式sin2α+cos2α=1(平方关系)和=tanα(商数关系),称为同角三角函数的基本关系式.
这里,“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立.
(2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α的平方的正弦,两者是不同的.应弄清它们的区别,并能正确书写.
(3)公式sin2α+cos2α=1,=tanα的应用极为广泛,它们还有如下等价形式:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sinα=cosαtanα,cosα=.
【例1】 若sinθ+cosθ=-1(θ≠,k∈Z),则θ所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：记f(θ)=sinθ+cosθ.
(1)当θ在第一象限时,sinθ>0,cosθ>0.
∴f(θ)=1;
(2)当θ在第二象限时,sinθ>0,cosθ<0.
∴f(θ)=sin2θ-cos2θ;
(3)当θ在第三象限时,sinθ<0,cosθ<0.
∴f(θ)=-1;
(4)当θ在第四象限时,sinθ<0,cosθ>0.
∴f(θ)=-sin2θ+cos2θ.
答案:C
各个击破
类题演练 1
若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ,则β的取值范围是( )
A.［0,］ B.［,π］
C.［π,］ D.［,2π］
解析:由已知得|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
则又β∈［0,2π),
∴β∈［,π］.
答案:B
变式提升 1
设函数y=(tanx+sinx)·(cotx+cosx),且x≠(k∈Z),则关于y的取值范围的判定正确的是( )
A.y的值恒大于零
B.y的值恒小于零
C.有时大于零,有时等于零,但不小于零
D.有时小于零,有时等于零,但不大于零
解析:y=(tanx+sinx)·(cotx+cosx)=(+sinx)·(+cosx)
=
=(1+cosx)(1+sinx),
又∵x≠(k∈Z),
∴-1∴(1+cosx)(1+sinx)>0,即y>0.
答案:A
二、求一个角的三角函数值的问题
已知角α的一个三角函数值,求α的其余三角函数值时,要特别注意角所在的象限,以确定三角函数值的符号.一般有以下三种情况:
(1)已知三角函数值且角在某一确定象限,这时只有一组解.如sinα=,α在第二象限,求cosα,tanα;
(2)已知三角函数值,但没有给出角所在象限,这时一般有两组解,需对角所在象限分两种情况讨论.如sinα=,求cosα,tanα;
(3)所给三角函数值为字母,这时必须对字母的各种取值情况进行分类讨论.如sinα=m,求cosα,tanα.
当已知一个三角函数式的值,求另外一个三角函数式的值时,要对已知和结论进行化简,使两者联系起来.
【例2】 已知tanα=2，求下列各式的值:
（1）sin2α-3sinαcosα+1;
(2);
(3).
解析：（1）原式=
=.
(2)原式==-1.
(3)原式=.
温馨提示
(1)已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将1=sin2α+cos2α代入，转化为关于tanα的函数后，再求值.
（2）已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值，需注意以下两点：
①被求式必须是关于sinα,cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
②由cosα≠0，可用cosnα（n∈N*)除之.这样可以将被求式化为关于tanα的式子，整体代入tanα=m，就能求出被求式的值.
类题演练 2
已知cosα=,且α为第二象限角,求tanα的值.
思路分析:由于α为第二象限角,故tanα的值一定为负值.
解:∵α为第二象限角,
∴sinα=.
∴tanα==.
温馨提示
已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值，且角所在象限已经确定，求另外两个三角函数值，只有一组结果.
变式提升 2
已知sinα=,求tanα的值.
思路分析:由于α可以有两种情况,故应分两种情况讨论.
解：∵sinα=>0，
∴α是第一象限或第二象限的角.
若α是第一象限角，则cosα>0,tanα>0.
∴cosα=,tanα==.
若α是第二象限角，则cosα<0，tanα<0
∴cosα=,tanα==.
温馨提示
（1）要注意根据问题需要运用sin2α+cos2α=1的变形sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α；
（2）已知一个角的某一个三角函数值，但不知其终边位置，要先根据已知的三角函数值确定终边位置，然后分不同情况求解.
三、三角函数式的化简与证明
【例3】 化简下列各式:
(1);
(2).
思路分析:对(1)应用公式想方设法将无理式化为有理式,将结果化为最简形式.对(2)遇到高次,要通过基本关系式降次,将1代换为sin2θ+cos2θ,再因式分解.
解：(1)原式=
(2)原式=
=.
温馨提示
(1)去掉绝对值符号时,一般需要进行分类讨论.
(2)注意公式sin2α+cos2α=1具有“降幂”的作用.
类题演练 3
化简：sin2αtanα+cos2α·+2sinαcosα.
解法一：原式=sin2α·+cos2α·+2sinαcosα
=
解法二：原式=（sin2αtanα+sinαcosα）+(+sinαcosα)
=tanα(sin2α+cos2α)+(cos2α+sin2α)
=tanα+=+.
温馨提示
化简三角函数的目的是为了简化运算.本题两种解题思路不同，但都用到了公式tanα=.法一是顺用公式.法二是逆用，即sinα=tanα·cosα,cosα=.解题时要注意灵活运用公式.
变式提升 3
如果=tanα-,那么角α的范围是（ ）
A.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}
B.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}
C.{α|2kπ<α<(2k+1)π,k∈Z}
D.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}
解析：.
tanα-=.
由已知=tanα-,得|cosα|=-cosα.
又cosx≠0（否则tanα无意义），
∴cosα<0.
∴2kπ+<α<2kπ+,k∈Z.故选A.
答案:A
【例4】 求证:.
思路分析:本题可以从5种不同的角度分析.
证法一：左边=
=右边.
证法二:∵
=-secα-tanα
=
==0.
∴.
证法三:左边=
=tanα+secα
==右边.
证法四:∵
==1
∴.
证法五:∵tan2α-sec2α=-1,
即(tanα+secα)(tanα-secα)=-1.
∴.
由等比定理可得
.
∴.
类题演练 4
证明下列三角恒等式.
(1).
(2).
分析:(1)切化弦;(2)左边入手,利用平方差公式.
证明:(1)左边=
=右边.
所以原命题成立.
(2)左边=
.
所以原命题成立.
变式提升 4
求证：
证法一：左边=
=右边.
证法二：右边=
=左边.
所以等式成立.
温馨提示
三角恒等式的证明有以下方法:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合方法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法.
(4)比较法,即设法证明“左边－右边＝0”或“=1”.
(5)分析法,从被证的等式出发,逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
课堂探究
探究一 利用同角三角函数基本关系式求值
在求值时，要注意恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：
(1)已知一个角的一个三角函数值及这个角的终边所在象限，此类情况只有一组解；
(2)已知一个角的一个三角函数值，但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值的符号确定这个角的终边所在象限，然后求解，一般有两组解；
(3)已知一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此时既要对角的终边所在的象限进行分类讨论，也要对表示其值的字母的正负进行分类讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
分析：先利用平方关系求出sin α的值，再利用商关系求出tan α的值．在求sin α的值时，先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论．
解：因为cos α＝－<0，
所以α是第二或第三象限的角．
若α是第二象限的角，则
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
若α是第三象限的角，则
sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝＝．
易错警示 在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出．如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负．应用正切公式时，要看tan α是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角α可能是一个集合．
【例2】 已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值．
解：当m＝0时，tan α＝0；
当m＝±1时，角α的终边落在y轴上，此时tan α不存在；
当α为第一、四象限的角时，
cos α＝＝，
tan α＝＝＝；
当α为第二、三象限的角时，
cos α＝－＝－，
tan α＝＝－．
【例3】 已知tan α＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α；
(3) ．
分析：由于已知条件为切，所求式为弦，故应想办法将切化弦，或将弦化切(这是一种分析综合的思想)；若切化弦，应把条件tan α＝＝－代入所求式，消去其中一种函数名，再进一步求值；若弦化切，应把所求式化成用tan α表示的式子，代入化简即可．
解：(1)由tan α＝＝－得cos α＝－3sin α，代入所求式得
＝＝－．
(2)原式＝·cos2α
＝·．
将tan α＝－代入得
原式＝×＝．
(3)原式＝
＝＝＝．
方法总结 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式或整式的齐次式(每一项中的次数相同)．
(1)对分式齐次式，因为cos α≠0，一般可在分子和分母中同时除以cosnα，使所求代数式化成关于tan α的代数式，从而得解；
(2)对整式(一般是指关于sin2α，cos2α)齐次式，把分母看为“1”，用sin2α＋cos2α替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2α，即可得关于tan α的代数式，从而得解．
探究二 利用同角三角函数关系式化简
1．三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值．
2．同角三角函数式化简过程中常用的方法：
(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；
(2)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【例4】 化简：
(1) ；
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β．
解：(1)
＝
＝|sin 40°－cos 40°|，
因为sin 40°所以|sin 40°－cos 40°|＝cos 40°－sin 40°．
(2)sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β
＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β
＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β
＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β
＝cos2β＋sin2β＝1．
点评 (1)含根号的三角函数式的化简，关键是将被开方式化为完全平方式，再根据符号去掉根号，从而达到化简的目的．
(2)注意公式sin2α＋cos2α＝1有“降幂”的作用．
探究三 利用同角三角函数关系式证明
证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左右两边都等于同一个式子；
(3)变更论证．采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．
【例5】 求证： ＝．
证明：证法1：因为左边＝
＝
＝＝＝＝右边．
所以原式成立．
证法2：由证法1知，左边＝，
右边＝＝，
所以左边＝右边，原式成立．
反思 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁为简的原则，即从较复杂的一边推向较简单的一边，还可以将左右两边同时推向一个中间结果．有时还可以证明其等价命题成立．无论采用哪种方法，证明时都要“盯住目标，执果变形”．当从左边推向右边时，右边就是“目标”，也就是变形要得到的“果”，变形的措施要以它为依据来进行变形，方法要得当，推理要合理，最终达到目标。
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α及其公式的证明．
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行相关的化简、求值、证明等．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1．
(2)商数关系：＝tan α．
即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切．
(3)倒数关系：tan_α·cot_α＝1．
即同一个角的正切、余切之积等于1(或同一个角的正切、余切互为倒数)．
提示：(1)同角三角函数的基本关系式反映了同角三角函数之间的内在联系．这里的“同角”，应作广义的理解，例如，与是同角，3α与3α是同角，5β＋与5β＋也是同角．
(2)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”号的选取．
(3)上述三角函数关系式只需利用三角函数定义即可推导出来．
2．同角三角函数的基本关系式成立的条件
当α∈R 时，sin2α＋cos2α＝1成立；
当α≠kπ＋ (k∈Z)时，＝tan α成立．
3．关系式的变形
sin2α＋cos2α＝1?
tan α＝?
特别提醒 (1)使用变形公式sin α＝±，cos α＝±时，“±”号由角α终边所在象限来确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变式用)．
自主思考 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间有何关系？
提示：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋2sin αcos α＋cos2α
＝1＋2sin αcos α．
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α．
同理可得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α．
所以(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，
sin αcos α＝ (sin α＋cos α)2－
＝－ (sin α－cos α)2．
所以sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值．这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视．
第一课时 诱导公式(1)
基础知识
基本能力
1．会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式．(难点)
2．掌握角α与α＋k·2π(k∈Z)、α与－α的三角函数间的关系．(重点、易错点)
能用公式解决简单的三角函数的化简、求值和有关三角函数命题的证明等问题．(重点)
1．角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos(α＋k·2π)＝cos_α，
sin(α＋k·2π)＝sin_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α.
通常，称上述公式为诱导公式(一)．
名师点拨我们可以根据终边相同的角的三角函数值相等来概括和理解诱导公式(一)．
【自主测试1－1】(2012·江苏盐城期末)sin 390°＝______.
答案：
【自主测试1－2】tan 405°＝__________.
答案：1
2．角α与－α的三角函数间的关系
cos(－α)＝cos_α，
sin(－α)＝－sin_α，
tan(－α)＝－tan_α.
通常，称上述公式为诱导公式(二)．
名师点拨因为α与－α角的终边关于x轴对称，故结合三角函数线可得到诱导公式(二)．
【自主测试2】已知cos(12π－3)＝p，用p表示tan(－3)＝__________.
解析：∵cos(12π－3)＝cos(－3)＝cos 3＝p，
又∵＜3＜π，
∴sin 3＝＝.
∴tan(－3)＝－tan 3＝－＝－.
答案：－
三角函数的诱导公式(一)与诱导公式(二)的作用
剖析：(1)诱导公式(一)的作用是将任意角的三角函数求值问题转化为0～2π之间角的三角函数求值问题．
(2)诱导公式(二)的作用是将任意负角的三角函数求值问题转化为正角的三角函数求值问题．
名师点拨在运用诱导公式时，要注意角的合理拆分．解答三角函数问题的时候，除了掌握特殊角的三角函数值外，还要能够把某些数值恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题的目的．如，
求解sin(－300°)，可以用sin(－300°)＝－sin 300°＝－sin(360°－60°)＝－sin(－60°)＝sin 60°＝；也可以用sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin 60°＝.
题型一 直接利用诱导公式化简、求值
【例题1】求下列各三角函数式的值：
(1)msin＋ntan(－4π)＋pcos；
(2)a2sin 810°＋b2tan 765°＋(a2－b2)tan 1 125°－2abcos 360°.
分析：利用诱导公式(一)、(二)求值即可．
解：(1)∵sin＝sin＝sin＝－1，
tan(－4π)＝tan 0＝0，
cos＝cos＝cos＝0，
∴原式＝－m.
(2)∵sin 810°＝sin(90°＋2×360°)＝sin 90°＝1，
tan 765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan 45°＝1，
tan 1 125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan 45°＝1，
cos 360°＝cos 0°＝1，
∴原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab.
反思求三角函数式的值时，一般先用诱导公式(二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式(一)将其转化为[0,2π)内的角的三角函数值．
题型二 利用诱导公式证明三角恒等式
【例题2】求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin2α.
分析：解答本题可直接利用诱导公式把等式左边的式子进行化简，直到推出右边．
证明：原式左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α)
＝(－tan α)·(－sin α)·cos α
＝sin2α＝右边．
故原等式成立．
反思利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用．
题型三 给值求值问题
【例题3】已知tan(2 012π－α)＝，求下列各式的值．
(1)；(2)；
(3)2sin2α－sin αcos α＋5cos2α.
解：由tan(2 012π－α)＝，得tan α＝－，且cos α≠0.
(1)原式＝＝＝＝－.
(2)原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
反思已知tan α，求关于sin α，cos α的一次、二次齐次分式时，通常采用将分式的分子、分母同除以cos α，cos2α的方法化归为关于tan α的函数式，然后求解；求关于sin α，cos α的二次齐次整式时，常将整式通过除以“1”(用sin2α＋cos2α替代1)转化为二次齐次分式，然后求解．
题型四 易错辨析
【例题4】化简.
错解：原式＝
＝＝＝1.
错因分析：没有对sin θ－cos θ的正负进行分析，而认为＝sin θ－cos θ，其实＝|sin θ－cos θ|，如果继续化简，则需分类讨论．
正解：原式＝
＝＝
＝
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A．α一定是锐角
B．0≤α＜2π
C．α一定是正角
D．α是使公式有意义的任意角
答案：D
2．cos 315°＋tan 420°＋sin(－60°)＋tan(－60°)的值是( )
A． B．
C． D．
解析：原式＝cos(360°－45°)＋tan(360°＋60°)－sin 60°－tan 60°＝cos 45°＋tan 60°－sin 60°－tan 60°＝cos 45°－sin 60°＝－＝.
答案：A
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 010)＝－1，则f(2 012)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由已知，f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＝asin α＋bcos β＝－1，
则f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＝asin α＋bcos β＝－1.
答案：A
4．已知sin(2π＋α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为( )
A．－ B．
C．± D．
解析：因为sin(2π＋α)＝log8＝－，
所以sin α＝－.
而α∈，
所以cos α＝＝，
所以tan α＝＝－.
所以tan(2π－α)＝－tan α＝.
答案：B
5．cos(－1 380°)＝__________.
解析：cos(－1 380°)＝cos(－4×360°＋60°)＝cos 60°＝.
答案：
6．已知＝，则cos(2 012π－θ)＝__________.
解析：∵＝＝，
∴cos θ＝－.
∴cos(2 012π－θ)＝cos(－θ)＝cos θ＝－.
答案：－
第二课时 诱导公式(2)
基础知识
基本能力
1．会借助单位圆的直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式．(难点)
2．掌握角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)、α与α＋、α与－α＋的三角函数间的关系．(重点、易错点)
能利用诱导公式三、四解决简单的三角函数的化简、求值和证明等问题．(重点)
1．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α.
通常，称上述公式为诱导公式(三)．
归纳总结sin(α＋nπ)＝
cos(α＋nπ)＝
tan(α＋nπ)＝tan α，n∈Z.
【自主测试1－1】sin的值是( )
A．－ B． C．－ D．
答案：A
【自主测试1－2】化简为( )
A．－cos 80° B．－sin 80°
C．cos 80° D．sin 80°
答案：C
2．角α与α＋的三角函数间的关系
cos＝－sin α，sin＝cos α.
通常，将上述公式称为诱导公式(四)．
在诱导公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式
cos＝sin α，sin＝cos α.
由三角函数之间的关系又可得
tan＝－cot α，cot＝－tan α；
tan＝cot α，cot＝tan α.
我们知道，任意一个角都可表示为k·＋α的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题．
【自主测试2－1】化简所得的结果为( )
A．sin α B．－sin α C．cos α D．－cos α
答案：C
【自主测试2－2】若|cos α|＝sin，则角α的集合为__________．
解析：∵|cos α|＝sin＝cos α，
∴cos α≥0，∴2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z，
∴α的集合为.
答案：
诱导公式的作用与规律性
剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值．
(2)诱导公式存在的规律：
①α＋k·2π(k∈Z)，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”．如sin(300°＋180°)＝－sin 300°，我们把300°看成一个锐角α，则sin(300°＋180°)的符号为负，即sin 300°前面所带的符号为负．
②α＋，－α＋的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．如cos(100°＋90°)＝－sin 100°，我们把100°看成锐角α，则cos(100°＋90°)的符号为负，即sin 100°前面所带的符号为负．
③这两套公式可以归纳为α＋k·(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．
诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序：
①化负角为正角；
②大于360°的角化为[0°，360°)之间的角；
③把90°～360°的角转化为0°～90°之间的角．
题型一 利用诱导公式求值
【例题1】求sin(－1 920°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．
分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．
解：原式＝－sin(5×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
反思对于任意给定的角都要将其化成k·360°＋α，180°±α，360°－α等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．
题型二 利用诱导公式化简
【例题2】已知α是第三象限的角，
f(α)＝，
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)．
解：(1)f(α)
＝
＝＝－cos α.
(2)∵－1 860°＝－21×90°＋30°，∴f(－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－21×90°＋30°)＝－sin 30°＝－.
反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式．
题型三 利用诱导公式证明
【例题3】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：＝－.
分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得．
证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
所以－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.
所以待求式的左边＝＝＝＝－＝右边，
所以＝－.
反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简．
1．cos＋sin的值为( )
A．－ B． C． D．
解析：cos＋sin＝cos－sin＝cos－sin＝－cos＋sin＝.
答案：C
2．在△ABC中，下列等式一定成立的是( )
A．sin＝－cos
B．sin(2A＋2B)＝－cos 2C
C．sin(A＋B)＝－sin C
D．sin(A＋B)＝sin C
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．
sin＝sin＝cos.
sin(2A＋2B)＝sin(2π－2C)＝－sin 2C．
答案：D
3．已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)的值是( )
A． B．－
C．－ D．
解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
又∵α是第四象限的角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－.
答案：C
4．下列三角函数：①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．其中函数值与sin的值相同的是( )
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：对于sin，当n为偶数时，sin＝sin＝－sin.
对于cos＝cos＝－cos＝－sin.
故①与④中的函数值不等于sin.
可以验证②③⑤中的函数值均与sin的值相同．
答案：C
5．已知f(cos x)＝cos 3x，则f(sin 150°)＝__________.
解析：∵sin 150°＝sin(60°＋90°)＝cos 60°，
∴f(sin 150°)＝f(cos 60°)＝cos 180°＝－1.
答案：－1
6．已知tan(π＋α)＝－2，求sin(3π－α)和sin的值．
解：∵tan(π＋α)＝－2，
∴tan α＝－2.
∴＝－2，
∴sin α＝－2cos α.
将sin α＝－2cos α代入sin2α＋cos2α＝1，
整理，得5cos2α＝1.
∴cos2α＝.
∴cos α＝±.
又∵tan α＝－2＜0，
∴α为第二或第四象限的角．
当α为第二象限的角时，sin＝cos α＝－，
sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝；
当α为第四象限的角时，sin＝cos α＝，
sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝－.
1.2.4 诱导公式
课堂导学
三点剖析
一、关于诱导公式的理解
【例1】 若α和β的终边关于y轴对称,则下列各式中正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ
C.tanα=tanβ D.cos(2π-α)=cosβ
解析：α,β终边关于y轴对称可得β=2kπ+π-α,故sinα=sinβ.
答案:A
温馨提示
(1)公式中的角α可以是任意角.
(2)这五组诱导公式可以叙述为:
①α+k·2π,-α,α+(2k+1)π的三角函数值,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
为了便于记忆,也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α+,-α+的三角函数值,等于α的余名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为“函数名改变,符号看象限”.
③这两套公式可以归纳为k·+α(k∈Z)的三角函数值,当k为偶数时,得α的同名函数值;当k为奇数时,得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.概括为“奇变偶不变，符号看象限”,这里的奇偶是指k的奇偶.
各个击破
类题演练 1
若α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是( )
A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ
C.tanα=tanβ D.sinα=cosβ
解析:α,β的终边关于x轴对称,则β=2kπ-α,故cosα=cosβ.
答案:B
温馨提示
给定一个角α.
(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为-α.
变式提升 1
对于诱导公式中的角α,以下理解中正确的是( )
A.α一定是锐角 B.α一定是正角
C.0≤α≤2π D.α是使公式有意义的任意角
解析:我们有时把α当作锐角来记忆公式,事实上,α是使公式有意义的任意角.
答案:D
二、诱导公式的应用
【例2】 化简:cos(π+α)+cos(π-α),其中k∈Z.
思路分析一：注意到π+α=kπ++α,π-α=kπ--α,必须对k进行讨论才能利用诱导公式进行化简.
解法一:当k=2n,n∈Z时,
原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)
=cos(2nπ++α)+cos(2nπ--α)
=cos(+α)+cos(--α)
=cos(+α)+cos(+α)
=2cos(+α).
当k=2n+1,n∈Z时,
原式=cos［(2n+1)π++α］+cos［(2n+1)π--α］
=cos(π++α)+cos(π--α)
=-cos(+α)-cos(+α)
=-2cos(+α).
思路分析二:注意到(kπ++α)+(kπ--α)=2kπ,
则有cos(kπ--α)=cos［2kπ-(kπ++α)］
=cos(kπ++α).
解法二:原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=2cos(kπ++α).
当k=2n,n∈Z时,
原式=2cos(2nπ++α)=2cos(+α).
当k=2n+1,n∈Z时,
原式=2cos(2nπ+π++α)=2cos(π++α)=-2cos(+α).
类题演练 2
求下列各三角函数的值:
（1）sin(）；(2)tan(-855°)；(3)cos210°.
思路分析：负角化正角，正角化周期(0°—360°)角，周期角化为锐角（0°—90°）.
解：（1）sin()=-sin=-sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=.
(2)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.
(3)cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数.若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数.若这时的角是90°—360°间的角，再利用180°-α或180°+α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的三角函数，做题时，一定要认真地审视问题，找出最佳的路径.
变式提升 2
已知cos(75°+α)=,其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
解：分别求cos(105°-α)和sin(α-105°)的值.
cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)=
-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=>0且α为第三象限角，
∴75°+α为第四象限角.
∴sin(75°+α)=.
∴sin(α-105°)=.
∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=.
温馨提示
观察一下每一组诱导公式的等号两边的角度,不难发现,这两个角度的和或差总是一个轴线角,即为kπ,k∈Z的形式.于是我们可以归纳出诱导公式的一个十分重要的功能是如果两个角的和或差是轴线角kπ,k∈Z的话,利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理,能认识到这一点,对于我们灵活利用诱导公式进行变形是十分重要的.
1.2.4 诱导公式
课堂探究
探究一 直接利用诱导公式化简、求值
对于任意给定的角都要将其化成k·360°±α(k∈Z)，180°±α等形式进行求值，大体求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．
【例1】 求下列各三角函数式的值：
(1)msin＋ntan(－4π)＋pcos；
(2)a2sin 810°＋b2tan 765°＋(a2－b2)tan 1 125°－2abcos 360°．
分析：利用诱导公式(一)、(二)求值即可．
解：(1)因为sin＝sin＝sin＝－1，
tan(－4π)＝tan 0＝0，
cos＝cos＝cos＝0，
所以原式＝－m．
(2)因为sin 810°＝sin(90°＋2×360°)＝sin 90°＝1，
tan 765°＝tan(45°＋2×360°)＝tan 45°＝1，
tan 1 125°＝tan(45°＋3×360°)＝tan 45°＝1，
cos 360°＝cos 0°＝1，
所以原式＝a2＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2－2ab．
反思 解决本题，可以得出的一般规律：求值、化简时，一般先用诱导公式(二)把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值，再用诱导公式(一)将其转化为[0,2π)内的角的三角函数值．
探究二 利用诱导公式化简
利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为[0°，360°)范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．
即
【例2】 化简：．
分析：利用诱导公式将290°，110°，250°角的三角函数转化为20°角的三角函数，再通过约分进行化简．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1．
规律总结 充分观察三角函数式中各个角的内在联系，利用诱导公式进行角的转化，可达到统一角的目的，判断两个三角函数值的差的符号，一般先化为同名三角函数值，再结合单位圆中的三角函数线加以确定，一般地，如果α，β都是锐角，且α>β，则sin α>sin β，cos αtan β．
探究三 利用诱导公式证明问题
证明无条件恒等式的基本方法：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，可以由左边推至右边，或由右边推至左边，遵循的是由繁到简的原则．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．如左边＝A，右边＝A，则左边＝右边．
(3)作差或作商法：即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1，且右边≠0”．
例3】 求证：＝tan α．
分析：观察被证等式两端，左边较为复杂，右边较为简简，可以从左边入手，利用诱导公式进行化简，逐步推向右边．
证明：左边＝
＝＝tan α＝右边，
所以等式成立．
反思 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用．主要思路在于如何配角，如何分析角之间的关系．
探究四 给值(式)求值问题
给值(或式)求值，解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性，主要包括函数名称及角两个方面，然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解．有时还需对条件式或待求式作适当化简后再作处理．
【例4】 已知sin(π＋α)＝，求sin(2π－α)－cot(α－π)·cos α的值．
解：由sin(π＋α)＝可得－sin α＝，
即sin α＝－．
所以sin(2π－α)－cot(α－π)·cos α
＝－sin α－·cos α
＝－sin α－·cos α
＝－sin α－·cos α＝－sin α－
＝－＝－＝2．
反思 根据给值式、被求式的特点，发现它们之间的内在联系，恰当地选择公式，是做好本题的关键．
【例5】 已知cos＝，求cos－sin2的值．
分析：注意到＋＝π，可以把＋α化成π－，且α－＝－，利用诱导公式即可．
解：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以sin－sin2
＝－－＝－．
反思 对于不同形式的角，要特别注意留心观察看所求角与已知角是否具有互余，互补等特殊关系，在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．
1.2.4 诱导公式
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握诱导公式，并会应用公式求任意角的三角函数值．
2．会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明．
3．通过公式的运用，学会从未知到已知，复杂到简单的转化方法．
1．角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系(诱导公式(一))
cos(α＋k·2π)＝cos_α，sin(α＋k·2π)＝sin_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α．
说明：(1)利用公式(一)，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值．
(2)由公式可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现．说明了角和三角函数值的对应关系是一值对多角的关系，即如果给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
(3)公式(一)可概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．
2．角α与－α的三角函数间的关系(诱导公式(二))
cos(－α)＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan(－α)＝－tan_α．
说明：(1)由公式(一)和(二)可得
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α，tan(2π－α)＝－tan α．
(2)利用公式(二)，可以用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式(二)还可以看出，余弦函数是偶函数，而正弦函数、正切函数都是奇函数．
3．角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系(诱导公式(三))
cos[α＋(2k＋1)π]＝－cos_α，
sin[α＋(2k＋1)π]＝－sin_α，
tan[α＋(2k＋1)π]＝tan_α．
特别地，cos(π＋α)＝－cos_α，sin(π＋α)＝－sin_α，tan(π＋α)＝tan_α．
特别提醒 (1)由公式(一)和(三)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即
Tan(a+nπ)＝tan a，n∈z．
(2)因为任意角都可以化为α＋kπ(k∈Z)的形式，并使|α|≤，所以利用公式(一)、(二)、(三)，我们可以把任意角的三角函数的求值问题转化为0到之间的角的三角函数的求值问题．
(3)利用诱导公式(二)和(三)，可得到角α与π－α的三角函数间的关系：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α．
所以
4．角α与α＋的三角函数间的关系(诱导公式(四))
cos＝－sin_α，sin＝cos_α．
将上面公式中的α用－α替代，可得到角α与－α＋的三角函数间的关系
cos＝sin_α，sin＝cos_α．
由三角函数之间的关系又可得tan＝－cot_α，tan＝cot_α．
自主思考1 如何化简sin，cos，tan？
提示：(1)sin＝－cos α，cos＝－sin α，tan＝cot α；
(2)sin＝－cos α，cos＝sin α，tan＝－cot α．
自主思考2 试推导出， ，π，，2π的三角函数值？
提示：
角α的弧度数
π
2π
sin α
0
－1
0
cos α
－
－
－1
0
1
tan α
－
－
0
不存在
0
自主思考3 诱导公式的作用与规律性有哪些？
提示：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值．
(2)诱导公式的规律：
续表
说明：三角函数的诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系：诱导公式可以概括为角k·±α(k∈Z)的各三角函数值与角α的三角函数值之间的关系：当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．例如：
诱导公式有很多组合，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序：
①化负角为正角；
②大于360°的角化为[0°，360°)内的角；
③把90°～360°范围内的角转化为0°～90°范围内的角．
1.2任意角的三角函数
知识梳理
1.任意角的三角函数
(1)定义：如图1-2-1所示，α是一个任意大小的角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r，则有r=，规定：
图1-2-1
sinα=,cosα=;tanα=;
cotα=;secα=;cscα=.
对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值与之对应，所以这六个对应法则都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，这六个函数统称为三角函数.
(2)定义域
正弦函数sinα的定义域是R；余弦函数cosα的定义域是R；
正切函数tanα的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z}.
2.三角函数值的符号
(1)用图形表示：如图1-2-2所示,
图1-2-2
(2)用表格表示
x的终边
x轴正半轴
第一象限
y轴正半轴
第二象限
x轴负半轴
第三象限
y轴负半轴
第四象限
sinα
0
+
+
+
-
-
-
-
cosα
+
+
0
-
-
-
0
+
tanα
0
+
不存在
-
0
+
不存在
-
(3)三角函数值在各象限的符号的记忆方法：
三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数).
3.单位圆与三角函数线
(1)单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.
(2)三角函数线
如图1-2-3，设单位圆与x轴正方向交于A点，与角α的终边交于P点(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的正半轴重合).
图1-2-3
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.当角α的终边落在x轴上时，M与P重合，A与T重合，此时正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，O与M重合，余弦线变成一个点，过A的切线平行于y轴，不能与角α的终边相交，所以此时正切线不存在.
(3)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：(如图123)正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
4.同角三角函数的基本关系
(1)基本关系式：sin2α+cos2α=1；tanα=.
还可以了解下面关系式(不要求掌握)：
1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α;cotα=；
tanα·cotα=1;sinα·cscα=1;cosα·secα=1.
(2)基本关系式成立的条件：
当α∈R时，sin2α+cos2α=1成立；
当α≠kπ+(k∈Z)时，=tanα成立.
(3)基本关系式的变形
sin2α+cos2α=1的变形：1=sin2α+cos2α；sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α；sinα=±；cosα=±.
tanα=的变形：sinα=cosαtanα；cosα=.
5.诱导公式
(1)α与2kπ+α(k∈Z)的三角函数间的关系：
cos(2kπ+α)=cosα,sin(2kπ+α)=sinα,tan(2kπ+α)=tanα.
(2)α与-α的三角函数间的关系：
cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα,tan(-α)=-tanα.
(3)α与(2k+1)π+α(k∈Z)的三角函数间的关系：
cos［(2k+1)π+α］=-cosα,sin［(2k+1)π+α］=-sinα,tan［(2k+1)π+α］=tanα.
特别地：cos(π+α)=-cosα,sin(π+α)=-sinα,tan(π+α)=tanα.
(4)α与+α的三角函数间的关系：
cos(+α)=-sinα,sin(+α)=cosα,tan(+α)=-cotα.
(5)α与-α的三角函数间的关系：
cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα,tan(-α)=cotα.
知识导学
1.学好本节要复习初中学过的锐角三角函数，本节是锐角三角函数的补充和延伸.
2.善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解决三角问题.
3.在运用诱导公式时，要仔细体会其中的转化与化归的数学思想，并在解题过程中自觉应用.
4.诱导公式的记忆方法
(1)(2)(3)组可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名改变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号.
(4)(5)组可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切.“符号看象限”同上.
因为任意一个角都可以表示为k·+α(其中|α|＜)的形式，所以以上五组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0—之间角的三角函数求值问题.2kπ+α、-α、(2k+1)π+α、+α、-α(k∈Z)都可以化为k·+α的形式，则这五组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·+α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀中的奇偶指k的奇偶.
5.诱导公式的选择方法：先用-α化为正角，再用2kπ+α(k∈Z)化为［0,2π)内的角，然后用π+α，+α化为锐角的三角函数，还可继续用-α化为［0，)内的角的三角函数.由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角(或更小角)的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化小.
疑难突破
1.在三角函数定义中，为什么三角函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小？
剖析:很多同学对此产生质疑，突破这个疑点的途径是联系相似三角形的知识来分析.设P0(x0、y0)是角α终边上的另一点，|OP0|=r0，由相似三角形的知识可知，只要点P0在α终边上，总有=,=,=,=,=，=.因此所得的比值都对应相等，所以三角函数值只依赖于角α的终边的位置即α的大小，而与点P在角α终边上的位置无关.
2.三角函数线有何作用？
剖析:难点是学习了三角函数线后，感到三角函数线没有什么用处，其实不然.其突破的路径是从形的角度看待三角函数线，三角函数线是当点P为终边与单位圆交点时，三角函数值的直观表达形式.三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的应用过程；用三角函数线表示三角函数反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.三角函数在各象限的符号，除从各象限点的坐标的符号及结合三角函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础.
例如：求函数y=log2(sinx)的定义域.
思路解析:转化为解不等式sinx＞0.
答案:要使函数有意义，x的取值需满足sinx＞0.
如图1-2-4所示，是角x的正弦线，
图1-2-4
则有sinx=MP＞0.∴的方向向上.
∴角x的终边在x轴的上方.
∴2kπ＜x＜2kπ+π(k∈Z).
即函数y=log2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π),k∈Z.
由以上可看出，利用三角函数线数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，要注意通过平时经验的积累，掌握其应用.
