2.1.1 向量的概念
基础知识
基本能力
1．了解向量的实际背景．
2．理解向量的有关概念．(重点)
3．掌握向量的几何表示及共线(平行)向量．(重点、难点)
1．会用字母表示向量，用向量表示点的位置．(重点)
2．会判断向量间平行(共线)、相等的关系．(难点、易错点)
3．理解零向量的特殊性．(易混点)
1．位移的概念
位移是表达“一点相对于另一点位置”的量，是一个既有大小又有方向的量．
名师点拨对于位移概念的理解要把握三点：
(1)位移由“方向”和“距离”唯一确定；
(2)位移只与质点的始、终点间的位置关系有关，而与质点实际运动的路线无关；
(3)相同(相等)的位移：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．
【自主测试1】某人由A点出发向正北方向行走1km至B点，然后再向东拐弯沿正东方向行走2 km至C点，则此人的行走路程共__________ km，总位移的大小为__________ km.
答案：3
2．向量的概念
(1)向量：具有大小和方向的量称为向量．
(2)自由向量：向量是一种新的量，与以前的数量不同．我们把只有大小和方向，而无特定位置的量叫做自由向量．
(3)有向线段：具有方向的线段，叫做有向线段．
如下图，从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向，点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点，以A为始点，以B为终点的有向线段记作.
(4)向量的表示方法：向量的图形表示和向量的符号表示．
①向量的图形表示．
向量常用一条有向线段来形象直观地表示(如下图)，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
②向量的符号表示．
如，表示从点A到点B的向量(即A为始点，B为终点的向量)，因为两个字母是有顺序的，所以向量与向量是两个不同的向量．
通常在印刷时，向量用黑体小写字母a，b，c…表示，手写时，可写成带箭头的小写字母，，…
有向线段是向量吗？
答：有向线段不是向量，它只是用来表示向量而已．
(5)向量的长度：的长度，记作||；如果＝a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.
向量能比较大小吗？向量的模呢？
答：向量既有长度，又有方向，不能比较大小；但向量的模是指向量的长度，能比较大小．
(6)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量，即两非零向量a，b相等的等价条件应是a，b的方向相同且模相等．
若向量a与向量b相等，记作a＝b.
(7)共线向量或平行向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b.
(8)零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行．
【自主测试2－1】下列各量中是向量的是( )
A．密度 B．电流
C．面积 D．速度
解析：主要考虑各量是否具备向量的两个要素，即大小和方向．密度、电流和面积都只有大小，没有方向，只有速度既有大小，又有方向．
答案：D
【自主测试2－2】下图中，小正方形的边长均为1，则||＝________，||＝__________，||＝__________.
解析：根据勾股定理，可得||＝3，||＝，||＝2.
答案：3 2
3．用向量表示点的位置
任给一定点O和向量a(如下图)，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量．
【自主测试3】已知，A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位置是__________．
答案：西北方向5 km
1．向量与有向线段的联系与区别
剖析：从概念的内涵和外延上来讨论．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了始点和终点的线段．
它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度是向量的模，有向线段的方向是向量的方向．
它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的始点是任意的，而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．
2．向量与矢量、数量的关系
剖析：(1)向量与物理中的矢量既有区别又有联系，如，力是矢量，力的作用效果不仅与大小、方向有关，而且还与力的作用点有关；数学中所说的向量与大小和方向有关，而与表示向量的有向线段的始点无关，这就是数学中所研究的自由向量．
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，而向量不能比较大小．向量的模可以比较大小．
(3)向量的表示方法：
①几何表示法：优点是便于用向量处理几何问题；
②字母表示法：优点是便于向量的运算．
3．教材中的“思考与讨论”
在四边形ABDC中，如果＝，那么四边形ABDC是平行四边形吗？如果四边形ABDC是平行四边形，那么＝吗？
剖析：在四边形ABDC中，若＝，则有AB∥CD，且AB＝CD，从而可以断定四边形ABDC是平行四边形；反之，如果四边形ABDC是平行四边形，则有AB∥CD且AB＝CD，从而有＝.
题型一 有关向量概念的问题
【例题1】下列几种说法：
(1)若非零向量a与b共线，则a＝b；
(2)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(3)若两向量有相同的基线，则两向量相等；
(4)若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的是__________．(填序号)
解析：(1)错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．
(2)错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．
(3)错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．
(4)错误．当b＝0时，a与c不一定平行．
答案：(1)(2)(3)(4)
反思对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．解答本题(4)时，易忽略零向量与任意向量共线．
题型二 相等向量与共线向量
【例题2】如下图，D，E，F分别是等腰Rt△ABC的各边的中点，∠BAC＝90°.
(1)分别写出图中与向量，相等的向量；
(2)分别写出图中与向量，共线的向量．
分析：相等向量要考虑两个向量的方向和大小是否都相同，共线向量只考虑方向是否相同或相反．
解：(1)＝＝；＝＝.
(2)∥∥∥；∥∥∥.
反思向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量的模相等且方向相同时才称它们为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．
题型三向量在几何中的应用
【例题3】如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，证明：四边形DNBM是平行四边形．
证明：∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．又∵＝，
∴四边形CNAM为平行四边形，
∴AN∥MC，且AN＝MC，∴DN∥MB，且DN＝MB，
∴四边形DNBM是平行四边形．
反思向量的方向反映了形的特征，利用向量知识可以判定图形的形状及线段间的相等关系．将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．
题型四 向量的实际应用
【例题4】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地．
(1)在图中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
分析：按要求用直尺作出向量．作图时，既要考虑向量的大小，又要考虑其方向．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
即AD∥BC且AD＝BC，所以，四边形ABCD为平行四边形．
则有＝，则B地相对于A地的位置向量为＝“北偏东60°，6 km”．
反思用向量知识解决物理问题，关键是将物理问题转化成数学模型．
题型五 易错辨析
【例题5】设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．平行向量
C．模相等的向量 D．方向相同的向量
错解：∵，，都表示△ABC的外接圆半径，
∴＝＝.故选A．
错因分析：忽视了向量是有方向的，要知道只有同向且等长的向量才是相等向量．
正解：∵O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，
即||＝||＝||.故选C．
1．下列命题中，正确的是( )
A．若两个向量相等，则表示它们的有向线段的始点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若向量a和b的模都为1，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
答案：D
2．如图所示的四边形ABCD中，＝，则下列四组向量中，相等的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：由＝，可以判断出四边形ABCD为平行四边形，可以判断选项中的四组向量，只有＝是正确的．
答案：D
3．把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始点上，那么它们的终点所构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立点 D．一个圆
解析：如果把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始点上，则所有的终点到这个始点的距离都等于1，即所有的终点构成的图形是一个圆．
答案：D
4．如图，在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD为__________．
解析：由＝，可得AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||，所以AB＝AD，
所以四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
5．如图所示，ABCD是边长为3的正方形，P，M，E，G，N，Q，H，F分别为各边的三等分点，图中共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是__________．
解析：由题意知，每一个小正方形的边长为1，则其对角线的长为，如图所示，与平行且长度为2的向量有，，，，，，，.故共8个．
答案：8
6．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中：
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与平行的向量有：，，；
(2)与的模相等的向量有：
，，，，，，，，.
2.1.1 向量的概念
课堂导学
三点剖析
一、向量的有关概念
关于向量,要注意:
1.向量的模:向量的大小——长度称为向量的模,记为||.我们也可以用|a|来表示向量a的大小.模是可以比较大小的.
2.零向量:长度(模)为零的向量,叫做零向量,记作0,零向量的方向不确定,是任意的.
【例1】 下列物理量,其中不是向量的有( )
①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路分析:一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.
解:由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.∴应选D.
答案:D
各个击破
类题演练 1
判断下列说法正确与否,并说明理由.
(1)温度有零上温度,有零下温度,所以温度是向量;
(2)作用力与反作用力是一对大小相等,方向相反的向量;
(3)线段是向量,数轴也是向量.
思路分析:依据向量的定义来判断.
解:(1)不正确.虽然温度有上下,但这指的不是方向,故不是向量.
(2)正确.作用力与反作用力是作用于同一点,且大小相等方向相反的两个力,因而是向量.
(3)不正确.线段只有大小没有方向,故不是向量;数轴只有方向,但没有大小,也不是向量.
变式提升 1
下列命题中,假命题是( )
A.向量与的长度相等
B.两个相等的向量若起点相同,则终点必相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析:据向量的有关概念知A,B,C正确,而向量相等需要模相等且方向相同,共线不一定同向,故D是假命题.
答案:D
二、向量的表示方法
1.向量的几何表示法
以A为始点,以B为终点的有向线段记作(如图).应注意,始点一定要写在终点的前面.
已知,的长度记作||.
如果有向线段表示一个向量,通常我们就说向量.
2.用字母表示向量
向量除了用上面的符号表示外,通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量.手写时,可写成带箭头的小写字母,,,…
用字母表示向量便于向量运算.
【例2】 热带风暴“麦莎”从A点出发向西行驶了150公里到达B点,然后又改变方向向西北60°走了200公里到达C点,最后又改变方向,向东行驶了150公里到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.
思路分析:解答本题应先确立指向标,再由行驶方向确定有关向量来求解.
解:(1)如图所示.
(2)易知与方向相反,故与共线.
又||=||=150,
∴ABCD,
即四边形ABCD为平行四边形.
∴||=||=200(公里).
类题演练 2
对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形?
(1)把所有单位向量的起点平移到同一点P;
(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点P;
(3)把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点P.
解:(1)是以P点为圆心,以1个单位长为半径的圆.
(2)是直线l上与点P的距离为1个单位长的两个点.
(3)是直线l.
变式提升 2
一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点,再从B点向东飞行 km到达C点,再从C点向东南60°飞行了 km到达D点,求飞行从D点飞回A点的位移.
思路分析:利用平面几何三角函数正确画出图形.
解:如图所示.由|BC|=,知C在A的正北,
又由|CD|=,∠ACD=60°知∠CDA=90°,
即∠DAC=30°,故的方向为南偏西30°,长度为 km.
温馨提示
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段表示向量是数形结合思想的具体应用.
(2)要注意运用向量观点将实际问题抽象为数学模型,“数学建模”能力是今后能力培养的重要方面.在平日学习中要不断积累经验.
三、相等向量与共线向量
共线向量也就是平行向量.任一向量a都与它自身是平行向量,并规定,零向量与任一向量是平行向量.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
共线向量要求几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
【例3】 如图所示,D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,AC的中点.
(1)与相等的向量有____________;
(2)与共线的向量有____________;
(3)与的模相等的向量有____________.
解析：根据相等向量,共线向量,向量的模的概念来解题.
(1)相等向量必须满足方向相同,模相等两个条件.
∴与相等的向量有,.
(2)共线向量即是平行向量,其方向相同或相反,且与向量的模无关.
∴与共线的向量有.
(3)向量的模相等是指向量的长度相等,与方向无关.
∴与的模相等的向量有.
答案:(1), (2) (3)
类题演练 3
判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向,且|a|＞|b|,则a＞b.
(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反.
(3)对于任意向量a和b,若|a|=|b|且a与b的方向相同,则a=b.
(4)由于零向量方向不确定,故0不能与任意向量平行.
(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
(6)向量与向量是共线向量,则A、B、C、D四点在一条直线上.
(7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
解:(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小.故(1)不正确.
(2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能判断方向.
(3)正确.∵|a|=|b|且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b.
(4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
(6)不正确.若向量与向量是共线向量,则向量与所在直线平行或重合,因此,A、B、C、D不一定共线.
(7)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向.是可以任意移动的.
变式提升 3
设O为△ABC的外心,则,,是( )
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
解析:作出图形,利用三角形外心的性质进行判断.
因为O为△ABC的外心,
所以OA=OB=OC,
即||=||=||.
答案:C
2.1.1 向量的概念
课堂探究
探究一 有关向量概念的问题
解有关向量的基本概念的题，首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、相等向量、零向量有深入的理解，分别掌握它们的特征，共线向量又称平行向量，前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任一向量平行；相等向量是两向量大小相等且方向相同；零向量的大小为零，它的方向是任意的．
【例1】 给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中不正确的命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．
答案：C
反思 对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．
探究二 向量的表示
(1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．(2)画图时可以按比例画图，要注意题中是否规定有向线段的始点和终点．
【例2】 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．
(1)作出向量，，；
(2)求||．
解：(1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．
又因为||＝||，
所以在四边形ABCD中，AB綉CD．
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以||＝||＝200(千米)．
探究三 相等向量和共线向量
向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．
(1)找出与向量相等的向量；
(2)找出与向量共线的向量．
解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和．
(2)由图可得：，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，．
警示误区 找一个向量的共线向量时，易忽视找出与其方向相反的向量，尤其是与本身方向相反的向量，如本题中易把漏掉．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视与本身相反的向量而致错
【例4】 如右图，A1，A2，…，A8是⊙O上8个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O 9个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？
错解：(1)模等于半径的有(i＝1,2,3，…，8)共8个．
(2)模等于半径倍的向量为正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的边共8个．
错因分析：忽略了向量的方向．
正解：(1)模等于半径的向量只有两类：一类是(i＝1,2，…，8)共8个，另一类是(i＝1,2，…，8)也有8个，两类合计16个．
(2)以A1，A2，…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个正方形A2A4A6A8，在题目中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍，所以模为半径倍的向量共有4×2×2＝16个．
2.1.1 向量的概念
预习导航
课程目标
学习脉络
1．了解位移的概念及相关的物理背景．
2．理解平面向量的概念及其几何表示．
3．理解零向量的含义．
4．理解相等向量、共线向量的概念．
1．位移的概念
位移只表示质点位置的变化，起、终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关，是一个既有大小又有方向的量．
名师点拨 对于位移概念的理解要把握三点：
一是位移由“方向”和“距离”唯一确定．
二是位移只与质点的始点、终点的位置关系有关，而与质点实际运动的路线无关．
三是相同(相等)的位移：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．
2．向量的概念
向量的定义：具有大小和方向的量称为向量(如图所示)．
向量的长度：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||．
自由向量：只有大小和方向，而无特定的位置．
自主思考1 向量的数量和向量的模有何区别？
提示：将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，它有正、负和0之分，可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，因此a>b就没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．有向线段的概念
有向线段：具有方向的线段，叫做有向线段．
如右图，物体从点A移动到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向，记为．
自主思考2 向量与有向线段有何联系和区别？
提示：它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的模，有向线段的方向就是向量的方向．
它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的始点是任意的，而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．
4．向量的表示
5．零向量和单位向量
长度等于零的向量，叫做零向量，记作0．零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．
名师点拨 (1)零向量是有方向的，其方向是任意的．
(2)若用有向线段表示零向量，则其终点与始点重合．
(3)要注意0与0的区别及其联系，0是一个实数，0是一个向量，且有|0|＝0．
(4)在今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中向量的条件是“任意向量”还是“任意非零向量”，要多加考虑零向量．
6．相等向量和共线向量
相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，即两非零向量a，b相等的等价条件应是a，b的方向相同且模相等．
若向量a与向量b相等，记作a＝b．
共线向量或平行向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b．
自主思考3 两个非零向量共线或平行有哪四种情况？
提示：共线向量可分为如下四种情况：(1)方向相同、模相等；(2)方向相同、模不等；(3)方向相反、模相等；(4)方向相反、模不等．
自主思考4 向量平行是否具有传递性？
提示：平面几何中直线的平行具有传递性：若a∥b，且b∥c，则a∥c．但在向量的平行中并不适用，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c．这是因为当b＝0时，a，c均可以是任意向量，a与c不一定平行，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c?a∥c．解题过程中要充分考虑0的特殊性．
2.1.2 向量的加法
基础知识
基本能力
1．了解向量加法的引入背景．
2．理解向量运算的三角形法则与平行四边形法则．(难点)
3．掌握向量的加法运算及其几何意义．(重点)
1．能正确表述向量加法的交换律和结合律，并能运用它们进行向量的运算、化简．(重点)
2．能正确地选用三角形法则、平行四边形法则和多边形法则进行向量加法运算．(重点、易混点)
1．向量加法的三角形法则
已知向量a，b(如图)，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
【自主测试1】在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A． B． C． D．
答案：C
2．向量求和的平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
【自主测试2】在四边形ABCD中，＋＝，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．正方形 D．平行四边形
答案：D
3．向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
【自主测试3】在五边形A1A2A3A4A5中，＋＋＋＝__________.
答案：
4．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【自主测试4－1】在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A． B． C． D．
答案：D
【自主测试4－2】下列等式不正确的是( )
A．c＋d＝d＋c
B．＝＋＋
C．＋＝2
D．a＋(a＋b)＝(a＋a)＋b
答案：C
1．对向量加法的理解
剖析：(1)两个向量的和仍是一个向量．
(2)当两个非零向量a与b不共线时，则a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示．
(3)特殊位置关系的两向量的和．
①向量a与b共线且方向相同时，则a＋b的方向与a(或b)的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|，如图(1)所示．
②向量a与b反向且|a|＜|b|时，则a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|，如图(2)所示．
③在求n个向量a1，a2，…，an的和时，把这n个向量依次首尾相连，若第n个向量an的终点与第一个向量a1的始点重合，则这n个向量的和为零向量，即a1＋a2＋…＋an＝0.
知识拓展三角形的中线公式与重心公式：
①在△ABC中，若点D为BC的中点，则＝(＋)．②在△ABC中，若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．向量加法与实数加法的异同
剖析：讨论两种运算的异同，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析．
(1)运算法则：向量加法法则主要指三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是数的运算．
(2)运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数．
(3)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证．
(4)运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．
3．教材中的“思考与讨论”
在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和，你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，显然，作出的向量和都是相等的．当然，这里你的“显然”是对的．你能根据下图逻辑地证明这个结论吗？
剖析：如图所示，将向量平移到向量，则＝.同理＝.由＝知，四边形AA′B′B为平行四边形，则AA′BB′.由＝知，四边形BB′C′C是平行四边形，则BB′CC′，所以AA′CC′，即四边形AA′C′C为平行四边形，则ACA′C′.又与的方向相同，所以＝.即选择不同的始点作出的向量和都相等．
题型一 作图法求向量和
【例题1】已知向量a，b，c，如图，运用三角形法则求作a＋b＋c.
分析：→→→
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
反思(1)根据向量加法的三角形法则，必须平移向量使之首尾相连，那么始点与终点所确定的向量就是两个向量的和向量，推广到向量加法的多边形法则仍然适用．
(2)向量加法的平行四边形法则，必须平移向量使之共始点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么过始点的对角线为两个向量的和向量．
〖互动探究〗若本例中的向量a，b，c不变，如何运用平行四边形法则求作a＋b＋c?
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作?OAMB，如图，则由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同理作?OMNC，使＝c，则＝a＋b＋c.
题型二 向量的加法运算
【例题2】化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋；
(3)＋＋＋＋.
分析：多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算(必要时，注意利用向量加法的运算律)．
解：(1)＋＋＝(＋)＋＝0＋＝.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝0.
反思解答本题(3)时，易出现＋＋＋＝0的情况，导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量．
题型三 利用向量的加法证明几何问题
【例题3】如图，已知在△ABC中，AC的中点为E，AB的中点为F，延长BE至点P，使BE＝EP，延长CF至点Q，使CF＝FQ，连接AP，AQ.试用向量方法证明P，A，Q三点共线．
分析：用向量法证明三点共线的一般思路是证两个有公共点的向量是平行向量．
证明：∵E是AC的中点，F是AB的中点，
∴＝，＝.
又∵BE＝EP，CF＝FQ，
∴＝，＝.
∴＝ ＋＝＋＝.
∴＝.
而＝＋＝＋＝，
∴＝.∴＝.
∴P，A，Q三点共线．
反思(1)由于本题要求用向量方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误地转换为平面向量的语言．如本题中BE＝EP?＝，不能写成BE＝EP?||＝||.后面的写法为向量的模相等，但仍是传统方法中的线段相等，所以不属于向量法的范畴．
(2)从本题可以看出，平面几何问题用向量方法来证明比较容易．针对平面几何问题，向量法可以使我们从错综复杂的位置关系中解脱出来，化繁琐的思维为定量的计算(如本例，只需计算两向量是否相等)，缩短了思维的过程，简化了运算步骤．
题型四 向量在物理中的应用
【例题4】如图所示，一艘船从河的南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的速度为向东5 km/h.
(1)试用向量表示水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水的速度方向间的夹角表示)．
分析：首先要正确画出水速、船速的速度合成图，然后再借助三角知识解决．
解：(1)如图所示，表示船速，表示水速．
易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，
则表示船实际航行的速度．
(2)在Rt△ABC中，||＝5，||＝5，
所以||＝＝＝＝10.
因为tan∠CAB＝＝，
所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与水的速度方向间的夹角为60°.
反思平面向量与物理学中的力的合成与分解，速度的合成与分解等内容相互呼应．用向量方法解决此类问题，先要根据题意把物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，转化为数学中向量的加法，然后由已知条件进行计算(常用到三角函数知识)．
题型五 易错辨析
【例题5】用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
错解：如图，设＝a，＝b，则＝＝a，＝＝b，
∴＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a，
∴＝，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
错因分析：错解中犯了两个错误，一是没有写出已知和求证，二是没有说明点B不在上，证明不严谨．
正解：已知：四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：如图，设＝a，＝b，则＝＝a，＝＝b.
∴＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a.
∴＝.
又∵点B不在上，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1．(＋)＋(＋)＋等于( )
A． B．
C． D．
解析：原式＝(＋)＋(＋M)＋＝＋＋＝＋＝A.
答案：C
2．(2012·天津期末)如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，则＋＋＝( )
A． B． C． D．
答案：B
3．下列向量运算，结果为零向量的是( )
A．＋
B．＋＋
C．＋＋＋
D．＋＋＋
解析：对于选项A，＋＝＋＝≠0；对于选项B，＋＋＝＋＋＝≠0；对于选项C，＋＋＋＝(＋＋)＋＝0＋＝≠0；对于选项D，＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
答案：D
4．下列命题中，正确的命题的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不正确，当a＋b＝0时，命题不成立；②正确；③不正确，当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0；④不正确，只有当a与b方向相同时|a＋b|与|a|＋|b|才相等．
答案：B
5．设a表示“向东走3 km”，b表示“向北走3 km”，则a＋b表示__________．
解析：如图，由题意得|a＋b|＝3，θ＝45°.
答案：向东北方向走3km
6．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|＋|＝__________.
答案：
7．若点P为△ABC的外心，且＋＝，则△ABC的内角∠ACB＝__________.
解析：∵＋＝，
∴四边形APBC是平行四边形．
又∵点P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||.因此∠ACB＝120°.
答案：120°
8．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出向量a＋b＋c，并求其模．
解：如图所示，
根据向量加法的三角形法则可得，a＋b＝＋＝，
又＝c，延长AC到E，使||＝||，则a＋b＋c＝，
||＝2||＝2，即|a＋b＋c|＝2.
2.1.2 向量的加法
课堂导学
三点剖析
一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则
学习这部分内容时要注意:
①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.
②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.
③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.
④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=,b=,则a+b=+=.
⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.
【例1】 设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?
思路分析：画图求解.
解:如图,作=a,=b,
则=+=a+b.
∵△ABO为直角三角形,
且||=||=2,
∴||=且∠AOB=45°.
∴a+b表示向西北方向走了 km.
各个击破
类题演练 1
已知向量a和非零向量b,求作向量a+b.
思路分析:已知中明确了b是非零向量,没有明确a是否是非零向量,所以,应就a=0和a≠0两种情况分类讨论.
解:(1)若a=0,则a+b=b,见图(1).
(2)若a≠0,则
①当a与b不共线时,a+b,见图(2).
②当a与b共线时,有
(ⅰ)a与b同向共线,a+b,见图(3).
(ⅱ)a与b反向共线,
|a|<|b|,a+b,见图(4);
|a|=|b|,a+b,见图(5);
|a|>|b|,a+b,见图(6).
变式提升 1
如图所示,向量++++=________.
解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即.
答案:
温馨提示
更一般地,.特别地当A1和An重合时,=0.
二、向量加法的平行四边形法则
三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和.三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则.
【例2】 两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40 N,方向向东,F2=30 N,方向向北,求它们的合力.
解：如图,表示F1,表示F2.
以OA,OB为邻边作ABCD,则表示合力F.
在Rt△OAC中,||=|F1|=40,||=||=|F2|=30.
由勾股定理,得|F|=||==50.
设合力F与F1的夹角为θ,
则tanθ==0.75.
所以θ≈37°.
所以合力大小为50 N,方向为北偏东53°.
类题演练 2
已知向量a、b(如图),求作a+b.
思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.
解:在平面内任取一点O,如图,作=a,=b,则=a+b.
变式提升 2
已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.
解:如图,设||=a,||=b,
以AB,AD为邻边作ABCD,
则=a+b,=a-b.
∵|a+b|=|a-b|,
即||=||,
∴ABCD为矩形,故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,||=6,||=8,
由勾股定理,得
|=10.
∴|a+b|=|a-b|=10.
三、向量加法的运算性质
(1)对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.
(2)向量加法的交换律:a+b=b+a.
(3)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(4)三角形不等式:对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A出发先位移向量a,接着再位移向量b与先位移向量b再位移向量a一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.
(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了.
【例3】 化简:
(1);
(2);
(3).
解:(1).
(2)=0.
或=0.
(3)
=0.
类题演练 3
如图所示,已知△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,且AD与BE交于O点.求
证:=0.
思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得.
证明:,
又,
∴,
同理,可证,,
∴=0.
变式提升 3
下列命题:
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;
②△ABC中,必有=0;
③若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①假命题.当a+b=0时,命题不成立.
②真命题.
③假命题.当A,B,C三点共线时也可以有=0.
④假命题.只有当a与b同向时相等,其他情况均为|a|+|b|>|a+b|.
答案:B
【例4】 已知A,B,C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明：
如图所示,因为=0,
所以.
以,为邻边作平行四边形BGCD,
则有=+,
所以=.
又因为在BGCD中,BC交GD于点E,
所以.
所以AE是△ABC的边BC的中线,
且||=2||.
所以G是△ABC的重心.
温馨提示
(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.通过本例题知,若G为△ABC的重心,则有++=0.
类题演练 4
在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.
解:
作OACB,如图所示,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,
在△AOC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.
||=||cos30°=(N),
||=||sin30°=150(N).
||=||=150(N),
∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是 N,与铅垂线成60°角的绳子拉力是150 N.
变式提升 4
用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于O,且AO=OC,DO=OB.
求证:ABCD是平行四边形.
证明:根据向量加法的三角形法则,
有.
又∵.
∴AB与DC平行且相等.
∴ABCD为平行四边形.
2.1.2 向量的加法
课堂探究
探究一 作向量的和
应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的始点重合．
(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．
【例1】如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c．
分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
解：作法1：如图(1)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
图(1)
作法2：如图(2)所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b．
图(2)
再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
探究二 向量的加法运算
多个向量相加，可以利用向量加法的三角形法则，也可以观察向量的字母直接运算(必要时，注意利用向量加法的运算律)．
【例2】化简下列各式：
(1)＋＋．
(2)(＋)＋＋．
(3)＋＋＋＋．
解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋．
(2)(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝．
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
技巧点拨：求和的关键是利用三角形法则，将“首尾相接”的两个向量放在一组．
在解答本题(3)时，易出现＋＋＋＝0的情况，导致此种错误的原因是不清楚向量的和仍为向量．
【例3】如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A． (5e1＋3e2) B． (5e1－3e2) C． (－5e1＋3e2) D．－ (5e1＋3e2)
解析：由矩形的性质及向量加法的平行四边形法则得＝＝ (＋)＝ (＋)＝ (3e2＋5e1)．故选A．
答案：A
点评 结合图形分析，向量的平移常用向量相等来实现，此题也可用三角形法则＝＋＝＋．
探究三 利用向量的加法证明几何问题
利用向量加法可以证明线段相等和平行，可以证明三点共线，证明的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系转化为几何关系．
【例4】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F，E，使BE＝DF(如图所示)．用向量的方法判断：四边形AECF的形状．
解：如图所示，标记向量，=+，=+．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以=．
又=，
所以=，即AE，FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
反思 利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原为几何问题．
【例5】 已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋．
分析：用多边形法则把用不同的向量形式表示出来，然后相加即可得到结论．
证明：如图所示，在四边形CDEF中，+++=0，
所以＝－－－
＝＋＋．①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
所以＝＋＋．②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＋＝0，＋＝0．
所以＋＝＋．
探究四 向量的加法在实际问题中的应用
利用向量加法解决实际应用问题主要步骤如下：
(1)由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量；
(2)利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加法进行运算；
(3)构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形边和角的关系解题．
【例6】 雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s．现在有风，风使雨滴以3 m/s的速度水平向东移动，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解：如图所示，为雨滴无风时的下落速度，为雨滴有风时的水平速度，由平行四边形法则，雨滴实际下落的速度为：
＝＋，故||＝5(m/s)，
∠BCA≈53．1°．
即雨滴将沿与地面成53．1°的方向，以5 m/s的速度着地．
2.1.2 向量的加法
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．
2．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和．
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们来进行向量运算．
1．向量加法的三角形法则
已知向量a，b(如图)，在平面上任取一点A，作=a，=b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．
上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
名师点拨 (1)向量的和仍然是一个向量．
(2)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相接”(即前一个向量的终点与后一个向量的起点重合)，其和是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，简述为“加向量，首尾连；和向量，起点到终点”．
(3)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|．
(4)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|．
(5)当两个非零向量a与b不共线时，则a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|，这是三角形两边之和大于第三边的向量表示．
2．向量求和的平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b(如图)，作=a，=b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
名师点拨 (1)利用平行四边形法则的条件是这两个向量必须是从同一点出发的不共线的向量．
(2)向量求和的三角形法则与平行四边形法则的区别与联系：当两个向量不共线时，它们是一致的，但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．
(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
3．向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
名师点拨 (1)向量求和的多边形法则是向量求和的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”．
(2)当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，那么各向量的和就是0．
自主思考1 如何用向量证明A，B，C三点共线？
提示：(1)若∥，则A，B，C三点共线．
(2)若＝＋，则A，B，C三点共线．
自主思考2 在△ABC中，若D是BC的中点，则用，可以怎样表示？
提示：在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
证明如下：如图所示，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABD′C．
因为D为BC的中点，
所以D为平行四边形ABD′C对角线的交点．
所以AD=AD′．
又=+，
所以==．
自主思考3 在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋与有何关系？
提示：在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0．
证明如下：如图，延长GD至点H，使DH=DG，显然四边形GBHC是平行四边形，则有+=．
又G为△ABC的重心，
所以GA=2GD=GH．
因为与的大小相等，方向相反，
所以+=0．
所以＋＋＝0．
4．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主思考4 向量加法与实数加法从运算法则、运算结果、运算律和运算意义上来比较，有何异同？
提示：(1)运算法则：向量的加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是数的运算．
(2)运算结果：向量的和还是向量；实数的和还是实数．
(3)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则来验证：
如图，作=a，=b，=c，连接AC，BD，AD，
则=a+b，=b+c．
因为=+=a+(b+c)，
=+=(a+b)+c，
所以(a+b)+c=a+(b+c)．
(4)运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．
2.1.3 向量的减法
基础知识
基本能力
1．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(重点、难点)
2．理解向量的相反向量的意义，从而加深对向量减法的本质特征的领悟．(重点)
1．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(难点)
2．理解数的减法与向量的减法的联系与区别．(易混点)
1．向量减法的定义
(1)已知向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．
【自主测试1】如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量是( )
A．a－b B．b－a C．b＋2a D．b＋a
答案：B
2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解
(1)定义．
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图所示)．
(2)性质．
①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②－(－a)＝a；
③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0.
(3)向量减法的再理解．
从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．因此关于向量减法的作图，一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．
相反向量和相反数一样吗？
答：相反向量与相反数是不一样的，相反数是两个数的符号相反，大小相等；相反向量则是两个向量的方向相反，大小相等．
【自主测试2】若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：由平行四边形的对角线互相平分的性质，知＝－，即＝－a，所以＝－＝－a－b.
答案：B
1．向量减法的三角形法则与平行四边形法则的比较
剖析：a－b的作法从“相反向量”这个角度有两种：三角形法则和平行四边形法则．
(1)减法的三角形法则．
∵(a－b)＋b＝a＋(－b)＋b＝a＋0＝a，
∴在平面内取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．具体作法如图(1)(a，b不共线 )及图(2)(a，b共线 )．
(1)
(2)
(2)减法的平行四边形法则．
当a，b不共线时，如图(3)，在平面内任取一点O，作＝a，＝－b，
则由向量加法的平行四边形法则，可得＝a＋(－b)＝a－b，这是向量减法的平行四边形法则．
若a，b同向共线，如图(4)；
若a，b反向共线，如图(5)．
(3)
知识归纳(1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．
(2)以向量＝a与＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后的应用中非常重要．
2．教材中的“探索与研究”
在坐标纸上或用作图软件画两个向量，然后作它们的和，研究当两个向量的方向发生变化时，它们的和向量变化的情况．你从中能得到哪些结论？写出小论文谈谈你对向量和的认识，并与老师和同学交流．
剖析：设向量a和b，当向量a和b的方向发生变化时，其和向量a＋b会发生变化，当a与b共线且同向时，a＋b的模最大，|a＋b|＝|a|＋|b|；当a与b共线且方向相反时，不妨设|a|＞|b|，此时a＋b的模最小，|a＋b|＝|a|－|b|.
题型一 向量的减法运算
【例题1】化简：(1)－－；
(2)(－)－(－)．
解：(1)－－＝－－＝－＝.
(2)(－)－(－)＝(－)－(＋)＝－＝0.
反思(1)在运用交换律与结合律进行向量的减法运算时，要连同符号一起交换再结合．
(2)根据向量的加法与减法运算的关系知，减法运算可以转化为加法运算，即减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量．
题型二 向量加减法的几何作图
【例题2】如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
分析：首先在平面内选一始点，然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图(平移向量时要注意向量箭头的方向)．
解：解法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c，如图所示．
解法二：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，以B点为始点作＝－c，
则＝a＋b－c，如图所示．
反思求作向量的和与差要注意三角形法则和平行四边形法则的应用，求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行，如a－b，可以作出－b，然后再用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则两个向量的差向量是连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点．
〖互动探究〗已知向量a，b，c，如图，求作a－b－c.
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量减法的三角形法则，得＝a－b，＝a－b－c.
题型三 向量加减法的应用
【例题3】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
分析：要证明b＋c－a＝，可转化为证明b＋c＝＋a，从而利用向量加法证明；也可以从c－a入手，利用向量减法证明．
证明：证法一：∵b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
证法二：∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
1．下列等式中，正确的个数为( )
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
2．可以写成①＋；②－；③－；④－.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：由三角形法则，知①④正确，而－＝＋－2＝－2，－＝.
答案：D
3．如图所示，已知正六边形ABCDEF的中心为O，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b B．b－a
C．c－b D．b－c
解析：＝＝－＝b－c.
答案：D
4．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝__________.
解析：|a－b|＝|－|＝||＝＝13.
答案：13
5．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是__________．
答案：[3,13]
6．O是四边形ABCD所在平面内任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD的形状为__________．
解析：由|－|＝|－|，知||＝||，又∥，
所以，四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7．化简：(－)－(－)．
解：解法一：(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
解法二：(－)－(－)
＝(－)＋(－)
＝＋(－)＝＋＝0.
解法三：在平面上取一点O，则＝－，＝－，＝－，＝－，
故(－)－(－)
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
8．如图所示，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.
解：根据向量减法的三角形法则或相反向量作图．
(1)
作＝a，＝b，则＝a－b，＝b－a(如图(1))．
对于－a－b，可有下列两种作法：
解法一：作＝－a，＝b，则＝－a－b(如图(2))．
解法二：作＝a，＝b，
再以，为邻边作平行四边形OACB．
则＝－a－b(如图(3))．
2.1.3 向量的减法
课堂导学
三点剖析
一、向量减法的定义及作图法
1.向量减法有两种定义
(1)将减法运算转化成加法运算:a-b=a+(-b).
(2)将减法运算定义为加法运算的逆运算,即若b+x=a,则x=a-b.
2.向量减法的几何作法
在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
【例1】 如下图,已知向量a、b,求作向量a-b.
解法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,连结AB,则=a-b.(如下图)
解法二:在平面内任取一点O,作=a,=-b,连OB,则=a+(-b)=a-b.(如下图)
各个击破
类题演练 1
已知向量a,b,c与d,求a-b,c-d(如下图).
思路分析:a-b可以由向量减法的三角形法则(或平行四边形法则)直接作出,也可以看作a+(-b),先作出-b,再利用加法的三角形法则(或平行四边形法则)作出.
解:作=a,=b,作,
则a-b=-=;
作=c,=d,作,
则c-d=-==.
变式提升 1
化简:(-)-(-)=___________.
解法一:(-)-(-)=--+
=+++=(+)+(+)
=+=0.
解法二:(-)-(-)
=--+
=(-)+(-)=+
=0.
答案:0
温馨提示
解法一是将向量减法转化为加法运算进行化简的.解法二是根据向量减法的几何意义进行化简的.
二、用已知向量表示其他向量
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是,第一步:观察各向量位置;第二步:寻找(或作)相应的平行四边形和三角形;第三步:运用法则找关系;第四步:化简结果.
【例2】 已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,用a,b,c表示.
思路分析:利用三角形法则,把向量互相表示.
解：
方法一:如图所示,
=+=a+
=a+(-)=a+c-b.
方法二:=+++=++(+)=++0=+(+)
=a+(-b+c)=a-b+c.
类题演练 2
已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,则向量=_______.
思路分析:可结合图形,利用向量相等的知识解决.
解:如图,=a,=b,=c,
则=+=+=+(-)=a+(c-b)=a+c-b.
答案:a+c-b
变式提升 2
如下图,在ABCD中,已知=a,=b,用a、b表示向量,.
解析:由于=+,而=-b,
所以=a-b.
由于四边形ABCD为平行四边形,
所以=+=a+a-b=2a-b.
三、向量减法的综合应用
【例3】 如图,ABCD中,=a,=b,用a,b表示向量,.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b,a-b互相垂直?
(2)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(3)a+b,a-b有可能是相等的向量吗?为什么?
思路分析:运用向量减法的几何意义作图求解.
解：
a+b,a-b恰对应ABCD的两条对角线,.
(1)由a+b与a-b相互垂直,即ABCD的两条对角线互相垂直,
所以ABCD为菱形,
故相邻边相等,即|a|=|b|.
(2)由|a+b|=|a-b|,知ABCD两条对角线相等,此时ABCD为矩形,所以a与b相互垂直.
(3)不可能.因为ABCD中两条对角线不可能平行,故对应两向量的方向不可能相同.
温馨提示
把向量的加,减法,向量的模与四边形的边的概念综合起来,拓广了思维的范围.
类题演练 3
给出下列命题,其中正确的是( )
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
②△ABC中,必有++=0
③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
④若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一方向相同
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
思路分析:一定要注意零向量的特别之处.
解:①中当a=0时,命题不正确.
④中当a+b=0时,命题不正确.故选D.
答案:D
温馨提示
记住常用关系、常用数据.如△ABC中,++=0,以向量a、b为邻边的平行四边形中,a±b表示的是两条对角线所在的向量.
变式提升 3
试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于O,AO=CO,DO=BO.求证:四边形ABCD为平行四边形.
证明:设=a,=b.
则=-=b-a,
=-=-a-(-b)=b-a.
所以=.
因此,四边形ABCD为平行四边形.
2.1.3 向量的减法
课堂探究
探究一 向量加减法的几何作图
求作向量的和与差要注意三角形法则和平行四边形法则的应用，求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行，如a－b，可以作出－b，然后再用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两个向量的始点重合，则两个向量的差向量是连接两个向量的终点，且指向被减向量的终点．
【例1】如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
分析：首先在平面内选一始点，然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图即可(平移向量时要注意向量箭头的方向)．
解：作法一：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
图(1)
则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c，如图(1)所示．
作法二：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
则＝a＋b，以B点为始点作＝－c，
则＝a＋b－c，如图(2)所示．
图(2)
探究二 化简向量表达式
向量的减法运算有如下方法：
(1)利用相反向量统一成加法(相当于代数和)；
(2)运用减法公式－＝(正用或逆用均可)；
(3)辅助点法：利用向量的定义将所有向量转化为以某一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
另外，应用向量减法的三角形法则需注意“共起点”的条件．
【例2】 化简：(－)－(－)＝________．
分析：本题主要运用加减法法则进行运算．
解：方法1：(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0．
方法2：(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0．
方法3：设O为平面内任意一点，则有
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－
＝0．
答案：0
反思 满足下列两种形式可以化简：
(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用．
探究三 用已知向量表示未知向量
用几个基本向量表示某向量的一般步骤是：
(1)先观察各个向量在图形中的位置；
(2)寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形；
(3)运用法则找关系；
(4)化简结果．
【例3】 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；
(3)－．
解：(1)－＝＝－＝d－b．
(2)＋＝(－)＋(－)＝b－a＋f－c．
(3)－＝＝－＝f－d．
探究四 证明向量恒等式
利用向量的加减法证明几何题关键是充分挖掘已知条件将未知向量放在三角形或平行四边形中进行运算和表示．
【例4】 如图所示，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心．
求证：＝＋＋．
证明：如图，作出△ABC外接圆的直径BD，
连接AD，CD，则＝－，DA⊥AB，DC⊥BC．
又因为AH⊥BC，CH⊥AB，
所以CH∥DA，AH∥DC．
所以四边形AHCD是平行四边形．所以＝．
又＝－＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋．
2.1.3 向量的减法
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握向量减法的运算，并理解其几何意义．
2．明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义．
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算，并且能化简含有向量的式子．
1．向量减法的定义
(1)已知向量a，b(如图)，作=a，=b，则b+=a，向量叫做向量a与b的差，记作a－b，即＝a－b＝－．
(2)向量的减法是向量加法的逆运算，如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记为“终点向量减始点向量”．
名师点拨 (1)向量的减法是向量加法的逆运算．求两个向量的差，必须把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为始点，以被减向量的终点为终点的向量．
(2)以向量＝a与＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后的应用中非常重要．
自主思考1试证明：对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．
提示：若a，b至少有一个是0，则不等式显然成立．
若a，b都不是0时，作＝a，＝b，则＝－＝a－b．
①当a，b不共线时，如图(1)所示，则|||－|||<||<||＋||，即||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|．
②当a，b共线时，若a，b同向，如图(2)所示，||＝|||－|||，即||a|－|b||＝|a－b|；若a，b反向，如图(3)所示，||＝||＋||，即|a－b|＝|a|＋|b|．综上可得||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．
图(1) 图(2) 图(3)
2．相反向量的定义和性质及向量减法的再理解
(1)定义．
与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图所示)．
(2)性质．
①a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②－(－a)＝a；
③零向量的相反向量仍是0，即0＝－0．
(3)向量减法的再理解．
从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量，因此关于向量减法的作图一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图．
名师点拨 (1)相反向量从两个方面进行定义，即“模长”与“方向”，这是考虑向量问题的基本出发点．
(2)相反向量必是平行向量．
2.1.4 向量数乘
课堂导学
三点剖析
一、向量数乘的概念及几何意义
1.对向量数乘定义的理解
注意:①λa中的实数,叫做向量a的系数.
②关于对向量数乘λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|>1)时,也可以缩小(当|λ|<1时),同时可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
③向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0,而λ≠0,若a=0,也有λa=0.
④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a就无法运算.
2.向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.
【例1】 已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
思路分析:利用λa中λ的作用.
解：(1)真命题.∵2>0,∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
-2<0,∴-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.
∴-2a与5a反向,且|-2a|=|5a|.
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
温馨提示
对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0时,λa与a同向,模是|a|的λ倍;λ<0时,λa与a反向,模是|a|的-λ倍;λ=0时,λa=0.
各个击破
类题演练 1
如图(1),已知非零向量a,求作向量2a,a,-3a,a.
思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.
作法:将向量a依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的倍,反向伸长到原来的3倍,反向缩短到原来的倍,得到图(2).
变式提升 1
已知点C在线段AB的延长线上,且.
(1)用表示;
(2)用表示.
思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.
解:如图①,由已知,点C在线段AB的延长线上,且,
∴,解得AB=3BC.
同理,可得AC=4CB.
(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3.
(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-4.
温馨提示
确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小.
二、向量数乘的运算律及应用
设λ,μ为实数,则
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=(λμ)a;
(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
【例2】 设x,y为未知向量.
(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
(2)解方程组
解：
(1)原方程可化为5x+5a+3x-3b=0,
∴8x+5a-3b=0.
∴8x=3b-5a.∴x=b-a.
(2)
①×2-②得(x-2y)-(x-y)=2a-b,
∴y=2a-b.
∴y=b-a.
代入①得x=a+b-a,
∴x=2a+b-a=b-a.
类题演练 2
化简下列各式:
(1)［(2a+8b)-(4a-2b)］;
(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.
解:(1)原式=(a+4b-4a+2b)=［(1-4)a+(4+2)b］
=(-3a+6b)=2b-a；
(2)原式=(4a-3b+b-a+b)
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
温馨提示
(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.
(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.
变式提升 2
将［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为( )
A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a
思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.
解:原式=(4a+16b-16a+8b)
=［(4-16)a+(16+8)b］
=-a+2b=2b-a.
∴应选B.
答案:B
三、向量的线性运算
向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示,如2a,-3a,-a都是a的线性表示,2a+3b,-3a+5b,a-b等都可以由a,b线性表示.
【例3】 梯形ABCD(如图)中,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC与AB的中点.若=a,=b,试用a,b表示和.
解法一:连结CN,N为AB中点.
∵AN∥DC,AN=DC,
∴ANCD为平行四边形.
有=-b.
又∵=0,
∴==b-a.
∴=
=+=a-b.
解法二:梯形ABCD中,有+=0,
即a++(-a)+(-b)=0.
可得=b-a.
在四边形ADMN中,=0,
即b+a++(-a)=0.∴=a-b.
温馨提示
解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为0的结论.
类题演练 3
如图所示,△ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解:如图,设AG交BC于点M,则M是BC的中点.
=b-a,=c-a,=c-b,
=+=b-a+(c-b)=(c+b-2a),
=(c+b-2a),
所以=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).
变式提升 3
证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.
思路分析:数学语言分为三种形式:文字语言,符号语言,图形语言.解答用文字语言给出的数学问题,必须用符号语言写出已知,求(求证),然后再去解(证明),这是规矩.
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
求证:DEBC.
证明:如图,非零向量.
∵DE是△ABC的中位线,
∴D,E分别是BA,AC的中点.
∴=,=.
∵=++=(+)=,
即=,①
①式有两个方面的含义,即∥.
又DE与BC没有公共点,
∴DE∥BC.②
||=||,即DE=BC.③
由②和③,可知DEBC.
2.1.4 数乘向量
基础知识
基本能力
1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．(重点)
2．掌握数乘向量的运算律．(难点)
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(易混点)
1．会区分实数的乘法与数乘．(难点)
2．能灵活运用向量的线性运算解决相关问题．(重点、易错点)
1．数乘向量
(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(3)数乘向量的运算律．
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
名师点拨(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成λa＝0.
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无意义的．
【自主测试1－1】化简(－2)·3m－4(n－2m)的结果为( )
A．－14m－4n B．－6m－4n
C．2m－4n D．4n＋2m
解析：原式＝－6m－4n＋8m＝2m－4n.
答案：C
【自主测试1－2】若|a|＝3，b与a的方向相反，且|b|＝5，则a＝__________b.
解析：∵b与a的方向相反，且|a|＝|b|，
∴a＝－b.
答案：－
2．向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
向量的线性运算有哪几种？与以前所学的实数和代数式的运算有何关系？
答：(1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积.
??2?向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但意义却截然不同.因此，在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后才可使用.
【自主测试2－1】已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A．(a－b) B．(b－a)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
答案：C
【自主测试2－2】已知＝，＝，则＝________.
答案：
1．数乘向量的几何意义
剖析：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．具体如下：
|λ|＞1
|λ|＜1
λ＞1
λ＜－1
0＜λ＜1
－1＜λ＜0
将a沿原方向放大到λ倍，得到λa
将a沿反方向放大到|λ|倍，得到λa
将a沿原方向缩小到λ倍，得到λa
将a沿反方向缩小到|λ|倍，得到λa
2．教材中的“思考与讨论”
把教材例3中的数3改为任意实数k，你是否还能解这个问题？回想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例3的结论与判定定理有什么关系？
剖析：若＝k，＝k，
则＝＋＝k＋k＝k(＋)＝k，
所以与共线，的长度是的|k|倍．
这一结论可以认为是三角形判定定理的向量形式，其反映的本质是一样的．
题型一 概念辨析题
【例题1】已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍；
(2)3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的；
(3)－2a与2a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．
分析：根据数乘向量与相反向量的定义进行判断．
解：(1)真命题．理由：∵－2＜0，∴－2a与a的方向相反，两向量共线．
又|－2a|＝2|a|，∴－2a的模是a的模的2倍．
(2)真命题．理由：∵3＞0，
∴3a与a的方向相同，且|3a|＝3|a|.
∵5＞0，
∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|.
∴3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的.
(3)真命题．理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题．
(4)假命题．理由：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b与－(b－a)为相等的向量．
反思在解答本题的过程中，易把a－b与－(b－a)当作相反向量，导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化．
题型二 向量的线性运算
【例题2】(1)计算：8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)解方程(x－a)－(a－x－2b)＝0.
解：(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式可化为x－a－a＋x＋2b＝0，
2x－2a＋2b＝0，
x＝a－b.
反思向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．
题型三 向量之间的线性表示
【例题3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
解：解法一：设＝x，则＝x，
＝e1－x，＝e1－x.
又＝x，由＋＝得
x＋e1－x＝e2，解方程，得x＝e2－e1，
即＝e2－e1.
由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2.
解法二：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝得
用－2乘以②与①相加，得x－2x＝e1－2e2，
解得x＝(2e2－e1)，即＝(2e2－e1)＝e2－e1.
同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.
解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线相交于点E.
则△DLA≌△CLE，从而＝2，＝，＝.
由＝－，得
＝2e2－e1，即＝(2e2－e1)＝e2－e1.
同理可得，＝(－2e1＋e2)＝－e1＋e2.
反思解法一中设一个未知向量，列了一个向量方程；解法二中则是设两个未知向量，列了一个向量方程组，这和列一元一次方程、二元一次方程组解应用题相类似；解法三中是在原图形中添加辅助线后，直接观察到了所需要的向量关系，这显然要以较多的平面几何知识作基础，不过确实简便有效．
题型四 易错辨析
【例题4】如图所示，点A是线段BC的中点，且OD＝2BD，DC与OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a与b表示；
(2)若＝λ，＝m，求实数λ，m的值．
错解：(1)∵A是BC的中点，
∴＝.
∴＝＋＝＋＝a＋－＝2a－b.
(2)∵E在上，且＝m，
∴＝＋
＝b＋m
＝b＋m(－)
＝b＋m·b－m(2a－b)
＝－2ma＋b＝λa，
∴∴
错因分析：解题过程中出现了一处错误即＝－，记错了向量减法的运算公式，造成后继部分不得分．
正解：(1)∵A是BC的中点，
∴＝.
∴＝＋＝＋
＝a＋(－)＝2a－b.
(2)∵OD＝2BD，∴＝＝b，
已知＝m，
∴＝＋＝b＋m
＝b＋m(－)
＝b＋m
＝2ma＋b＝λa.
由此可得∴
1．已知λ，μ∈R，下列式子正确的是( )
A．λa与a同向 B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
答案：C
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )
A．＋ B．－＋
C．－－ D．－
答案：B
3．设P是△ABC所在平面内的一点，且＋＝3，则( )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
答案：D
4．化简：＝__________.
解析：原式＝[(a＋4b)－4a＋2b]＝(－3a＋6b)＝－a＋2b.
答案：2b－a
5．若2－(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝__________.
解析：原式可化为2x＋x＝a＋b－b＋c，
则x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
6．如图所示，已知＝3e1，＝3e2.
(1)如图(1)，C，D为AB的三等分点，求，；
(2)如图(2)，C，D，E为AB的四等分点，求，.
解：(1)∵＝－＝3e2－3e1，
∴＝＝e2－e1＝，
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2，
＝＋＝2e1＋e2＋(e2－e1)＝e1＋2e2.
(2)∵＝－＝3e2－3e1，
∴＝＝e2－e1，
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2.
此时，＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2.
7．如图所示，在△OAB中，延长BA到点C，使AC＝BA，在OB上取一点D，使DB＝OB．DC与OA交于点E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解：因为AC＝BA，所以＝(＋)，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
2.1.4 向量数乘
课堂探究
探究一 数乘向量的理解
【例1】 已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有( )
①当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；
③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；
④当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
⑤当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ<0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确．
答案：D
探究二 向量的线性运算
向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用，在运算过程中要注意多观察，恰当分组，简化运算．
【例2】 计算下列各题：
(1)化简；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；
(3)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0(x是未知向量)．
解：(1)原式＝
＝
＝
＝a－b．
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝＋
＝－＋
＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j．
(3)由5(x＋a)＋3(x－b)＝0，得8x＋5a－3b＝0．
所以8x＝3b－5a．
所以x＝b－a．
探究三 向量之间的线性表示
在求向量时要尽可能把未知向量转化到平行四边形或三角形中，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．
【例3】 如图，设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，求，，．
解：由平面几何知△APQ∽△ABC，
所以＝＝t，
所以＝t，＝t，＝＋＝＋t＝＋t(－)＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，
＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)a＋tc，
所以＝－＝(1－t)a＋tc－(1－t)a－tb
＝t(c－b)．
点评 点O位置的变化不影响本题的结果，将向量，分别转化为t(－)，t(－)是本题的关键．
2.1.4 向量数乘
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．
2．掌握数乘向量的运算律．
3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．数乘向量
(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|．若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．
(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
自主思考1试讨论λ的取值对λa的方向和长度的影响？
提示：若a≠0，当λ>1时，沿a的方向放大为原来的λ倍；当0<λ<1时，沿a的方向缩小为原来的λ倍；当λ<－1时，沿a的反方向放大为原来的|λ|倍；当－1<λ<0时，沿a的反方向缩小为原来的|λ|倍．由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题．
(3)数乘向量的运算律．
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
自主思考2数乘向量与实数的乘法有何区别？
提示：(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意当λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成λa＝0．
(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无意义的．
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
基础知识
基本能力
1．掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件．(重点、难点)
2．理解单位向量的含义．(重点)
3．理解轴上的基向量、向量的坐标及运算公式．(重点、易错点)
1．能利用平行向量基本定理解决有关的共线或平行问题．(重点、难点)
2．能正确地应用轴上向量坐标运算解决相关的几何问题．(重点、易错点)
3．会求一个向量的单位向量，熟记公式a0＝.(重点)
1．平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
在平行向量基本定理中，为什么要规定b≠0?
答：若b＝0，则0∥a，但λ0＝0，从而a＝λb中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ使得a＝λb.
归纳总结对定理的应用要从两个方面进行，由a∥b(b≠0)，可得a＝λb；由a＝λb，可得a∥b.要注意两向量平行与几何里的平行是有区别的，两向量平行包括两向量所在基线重合的情况．利用该定理可以解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题．
【自主测试1－1】设a，b是两个非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．8
解析：因为8a－kb与－ka＋b共线，故存在唯一的实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)．
所以有解得k＝±2.
答案：C
【自主测试1－2】下列选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
解析：对于选项A，b＝－2a；对于选项B，a＝4b；
对于选项D，a＝－b.所以选项A，B，D中的a与b一定共线．故选C．
答案：C
2．单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量．如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
3．轴上向量的坐标及其运算
(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．
已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向，根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe.反过来，任意给定一个实数x，总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．
单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．
(2)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．
(3)向量相等与两个向量的和：
设a＝x1e，b＝x2e，如果a＝b，则x1＝x2；反之，如果x1＝x2，则a＝b.
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．
(4)向量的坐标常用AB表示，即＝ABe.表示向量，而AB表示数量，且有AB＋BA＝0.
(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝x2－x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|＝|x2－x1|.
【自主测试2－1】在数轴上，A，B两点的坐标分别是3,5，则A，B两点的距离为( )
A．8 B．2 C．3 D．－2
答案：B
【自主测试2－2】数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( )
A．的坐标是2 B．＝－3
C．的坐标是4 D．＝2
答案：C
关于平行向量基本定理的深入分析
剖析：(1)对于向量a(a≠0)，b，如果存在一个实数λ，使b＝λa，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a与b同方向时，有b＝μa，当a与b反方向时，有b＝－μa.
(2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得b＝μa.
(3)判断A，B，C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数μ，使得＝μ.
(4)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.
(5)向量λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b可以用平行四边形法则作出，如下图．
题型一 轴上向量的坐标运算
【例题1】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明：∵＝＋＝－＋，
而＝－3，
∴＝－(－3)＋＝4.
∴3＝12.
又－4＝－4×(－3)＝12，
故3＝－4.
反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习向量计算的基础．解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．
题型二 平行向量基本定理的应用
【例题2】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)若ka＋b与a＋kb共线，求k的值．
分析：(1)若证A，B，D三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ即可．
(2)ka＋b与a＋kb共线，则一定存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，求出k值即可．
解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＋＝6a＋6b＝6(a＋b)＝6.
故与共线，且有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的非零向量，
所以解得k＝±1.
故k的值为±1.
反思对于问题(1)，证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
对于问题(2)，先利用共线得到关于k的方程，再用待定系数法解决问题．
【例题3】在平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA．
分析：证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线．
证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA．
设＝a，＝b，
则＝a，＝b＋a.
∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，
∴＝，
∴O，E′，D三点共线，即E，E′重合，
∴BE＝BA．
反思若a＝λb，则有|a|＝|λ|·|b|，当＝a，＝b时，||＝|λ|·||，从而OA＝λOB，即用平行向量基本定理可以证明两条平行或共线线段间的长度关系．
题型三易错辨析
【例题4】已知a＝－2c，b＝2c，求证：a与b共线．
错解：∵a＝－2c，b＝2c，
∴b＝－a.∴a与b共线．
错因分析：忽略当c＝0时的特殊情况，要知道平行向量基本定理中的b≠0.
正解：(1)当c＝0时，则a＝－2c＝0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，∴此时a与b共线．
(2)当c≠0时，则a＝－2c≠0，b＝2c≠0，
∴b＝－a(这时满足定理中的a≠0，及有且只有一个实数λ＝－1，使得b＝λa成立)．
∴a与b共线．
综合(1)(2)可知，a与b共线．
1．若e是a的单位向量，b与e的方向相反，且|b|＝3，|a|＝4，则＝( )
A． B． C．－ D．－
解析：由题意知b＝－3e，a＝4e，
所以a＝－b，＝－.
答案：D
2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，
∴有e1∥e2或λ＝0，故选D．
答案：D
3．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的基向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为__________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，
则AB＝3－(－3)＝6，即的坐标为6.
答案：6
4．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为__________．
解析：由题意，可设a＝kb(k∈R)，
则2e1－e2＝ke1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，∴解得λ＝－.
答案：－
5．下面给出三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．
其中真命题的序号为__________．
解析：①a与b所在的直线有可能在一条直线上，所以此命题错误；②若b＝0，则λb＝0，所以λ可取任意实数，所以此命题错误；③正确．
答案：③
6．如图所示，在△OAB中，AB上有一点P(点P不与A，B重合)，设＝a，＝b，＝xa＋yb(x，y均为非零实数)．求证：x＋y＝1，且＝.
证明：∵A，P，B三点共线，∴＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝λ·b＋(1－λ)a，∴1－λ＝x，λ＝y，
则＝xa＋yb，且x＋y＝1.
由＝λ＝λ(＋)，得(1－λ)＝λ，
∴＝＝.
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课堂导学
三点剖析
一、向量共线的概念及共线的条件
1.向量共线的概念
如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行.
2.向量共线的条件——平行向量定理
平行向量定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b(b≠0),则一定存在一个实数λ,使a=λb.
注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.
(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.
【例1】 判断向量a=-2e与b=2e是否共线.
思路分析：要分e=0与e≠0两种情况分析.
解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时a与b共线.
(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0.
∴b=-a(这时满足定理中的a≠0及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立).∴a与b共线.
综合(1)(2)可知,a与b共线.
各个击破
类题演练 1
已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?
思路分析:根据向量共线条件列式求解.
解:设存在λ,μ使得d与c共线,
并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),
则m=λ+μ且m=,
解得λ=-2μ,
即存在实数λ,μ,使得d=λa+μb与c共线.
变式提升 1
设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量.
思路分析:运用平行向量定理列式求解.
解:因为(ke1+e2)∥(e1+ke2),
所以存在唯一实数p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,
所以(k-p)e1=(pk-1)e2,
因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=±1.
温馨提示
(1)向量共线的充要条件:a与b共线存在唯一λ使b=λa(a≠0).
(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法.
二、轴上向量的坐标及其运算
关于这部分内容要注意:
1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
2.设e是轴l上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=ABe.
3.在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.
即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:
|AB|=|x2-x1|.
【例2】 已知轴上三点A,B,C,且AC=2,BC=-2,则AB等于( )
A.0 B.4 C.-4 D.非上述答案
解析：AB=AC-BC=2-(-2)=4.
答案:B
类题演练 2
已知数轴上两点M,N,且|MN|=4,若xm=-3,则xn等于( )
A.1 B.2 C.-7 D.1或-7
解析:据数轴上两点间的距离公式,得|MN|=|xn-xm|=4,
又xm=-3,∴|xn+3|=4.
∴xn=1或-7.
答案:D
变式提升 2
A,B,C,D是轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0.
证明:设轴l上的点A,B,C,D的坐标分别为x1,x2,x3,x4,
则AB+BC+CD+DA=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x1-x4)=0.
故原题得证.
三、三点共线问题
【例3】 如图所示,在ABCD中,=a,=b,M是AB中点,点N是BD上一点,| |=||.
求证:M、N、C三点共线.
思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3.
证明:∵=a,=b,∴=-=a-b.
∴=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).
又∵=+=b+a=(2a+b),
∴=3.
又与有共同起点,
∴M、N、C三点共线.
温馨提示
几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的实数λ,使得一个向量等于另一个向量的λ倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.
类题演练 3
设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,
=2e1-e2.若A、B、D三点共线,求k的值.
解:∵=-=(2e1-e2)-( e1+3e2)= e1-4e2,
又由题设A、B、D三点共线,得存在实数λ,使=λ,
∴2e1+ke2e2=λ(e1-4e2).
∴λ=2,k=-4λ=-8.
变式提升 3
已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,
=4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.
证明:∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,
∴向量与共线.
又与有共同起点A,
∴A、B、D三点共线.
温馨提示
证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平行或重合时,两向量平行,因此证得两向量平行后,若两向量所在的两直线有公共点,则两直线必重合,从而可得三点共线.一般地,要证明A,B,C三点共线,只要用该三点任意构造两向量(如:,),证明它们共线就可以了.
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课堂探究
探究一 轴上向量的坐标运算
首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．
【例1】 已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d．
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4．
分析：解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明．
解：(1)因为AC＝5，所以c－(－4)＝5．所以c＝1．
(2)因为|BD|＝6，
所以|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
所以d＝4或d＝－8．
(3)证明：因为＝＋＝－＋，
而＝－3，
所＝－(－3)＋＝4．
所以3＝12．
又－4＝－4×(－3)＝12，
故3＝－4．
探究二 平行向量基本定理的应用
证明三点共线可以利用向量共线来解决，注意选取的向量要有公共点，利用向量共线条件求参数，主要是根据a＝λb列出方程(组)、解方程(组)．
【例2】 (1)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．
求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若有A，B，D三点共线，求k值．
分析：(1)若A，B，D三点共线，只需证明＝．
(2)由＝列出方程组求k．
(1)证明：因为＝＋＋
＝(2e1＋3e2)＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)，
又＝2e1＋3e2，
所以＝6．
所以与共线．
又因为AB，AD有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
(2)解：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
因为A，B，D共线，所以，共线，
所以存在λ使＝．
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以所以k＝－8．
点评 由以上解答可以看出，三点共线与向量共线是可以相互转化的．但是注意选取的两个向量一定要有一个公共点．
探究三 利用平行向量基本定理证明几何问题
应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时，关键是把一个向量用有关向量线性表示出来，即确定向量等式b＝λa(a≠0)，再结合图形完成证明．
【例3】 如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB，EF＝ (AB＋DC)．
分析：首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证．
证明：延长EF到点M，使得FM=EF，连接CM，BM，EC，EB得?ECMB，
由平行四边形法则得==．
因为AB∥DC，
所以，共线且同向，根据向量共线定理知，存在正实数λ，使=λ．
由三角形法则得=+，=+，
且+=0．
所以＝ (＋)＝ (＋＋＋)
＝ (＋)＝，
所以∥，由于，，没有公共点，
所以EF∥DC∥AB，
又||＝＝ (||＋||)，
所以EF＝ (AB＋DC)，
所以结论得证．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视0与任何向量平行而致误
【例5】 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
错解：因为a∥b，所以e1＋λe2＝2ke1，
所以(2k－1)e1＝λe2．
所以 e1∥e2．故选C．
错解分析：没有考虑2k－1可能为零而漏解．
正解：因为a∥b，b≠0，
所以存在实数k，使得a＝kb，
即(2k－1)e1＝λe2．
因为e1≠0，
所以若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，
又0与任何一个向量平行，
所以有e1∥e2或λ＝0，故选D．
答案：D
2.1 向量的线性运算
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解单位向量、基向量等基本概念．
2．掌握平行向量基本定理．
3．熟记轴上向量坐标运算公式，并会简单应用．
1．平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb．
自主思考1 条件“b≠0”是否可以去掉，若不能请说明理由？
提示：因为如果b＝0，则一定有a与b共线(零向量与任意向量共线)，此时a有两种情况：①a＝0；②a≠0．若a＝0，此时a＝λb中的λ有无数个，若a≠0，此时不存在λ使得a＝λb成立．以上两种情况违背λ的“存在且唯一性”．
自主思考2 对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b是否共线？
提示：共线．证明如下：若a，b中至少有一个为零向量，结论显然成立；若a，b均为非零向量，不妨设μ≠0，则b＝－a，说明a与b共线．但若向量a，b不共线，当λa＋μb＝0时，一定有λ＝μ＝0．
自主思考3 如何利用平行向量基本共线定理证明三点共线？
提示：利用向量的共线条件证明三点共线的一般步骤为：
①以三点中任意两个点为端点构造两个有一个共同端点的向量a，b；
②证明两个向量满足平行向量基本定理，即存在唯一实数λ，使b＝λa或a＝λb成立；
③由两条线段有共同的端点得出结论：三点共线．
2．三点共线的一个常用结论
向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝＋，反之也成立．
证明：如图所示，若，，的终点A，B，C共线，则∥，故存在实数m，使得=m．
又因为=-，=-，
所以-=m(-)，
所以=-m+(1+m) ．
令λ=-m，μ=1+m，则存在λ，μ，且λ+μ=1，
使得=λ+μ．
反之，若=λ+μ，其中λ+μ=1成立，
则μ=1-λ，=λ+(1-λ) ．
于是有-=λ(-)，即=λ，
所以A，B，C三点共线，即向量，，的终点在一条直线上．
3．单位向量
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0，a0＝．
4．轴上向量的坐标及坐标运算
2.1 向量的线性运算
知识梳理
1.向量的概念与表示
(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.
(2)向量的模：向量的长度叫做向量的模，向量a的模记作｜a｜.
(3)特殊的向量
零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0，其方向不确定，它可以朝向任意方向.
单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量.
(4)向量的表示方法
几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.
字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如、、、…，此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如：始点为A，终点为B的向量表示为.
2.向量间关系
(1)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.
(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作-a .
(3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线.如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.
3.向量的加法
(1)向量加法法则
①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.
②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图2-1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
图2-1-1
③多边形法则：已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点，第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.
(2)向量加法的几何意义
向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
(3)向量加法的运算律
①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
4.向量的减法
(1)向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.
(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.
5.向量的数乘
(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度｜λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时，λa=0.
(2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)向量数乘的运算律
设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=(λμ)a；③λ(a+b)=λa+λb.
6.向量的线性运算
(1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.
(2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.
7.平行向量基本定理
定理：如果a=λb，则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb.
8.轴上向量的坐标及坐标运算
(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同.在轴上选一定点O作为原点，轴就成了数轴.取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l上作一个向量a=xe，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量.
(2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.
(3)向量相等：设a=x1e，b=x2e，当x1=x2时，a=b.即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等.
(4)两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2)e.即轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.注意：①给定轴上向量的坐标，求两向量的和变成了实数的运算；②向量的坐标常用AB来表示，即=ABe.表示向量，而AB表示数量，且有AB+BA=0.
(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2-x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标,在运用此公式时要注意坐标顺序.
(6)数轴上两点间的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则｜AB｜=｜x2-x1｜.
知识导学
学好本节一定要弄清概念，注意类比、比较地去学习概念；时刻注意向量与数量的区别；一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决一类问题的关键；注意转化与化归的思想应用.疑难突破
1.向量和有向线段有何区别与联系？
剖析:疑点是向量和有向线段还有区别吗？其突破的方法是对概念的比较，通常是从概念的内涵和外延上来讨论.
向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向.它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的.而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念.
2.平行向量基本定理有何应用？
剖析:难点是学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.难以突破是因为对平行向量基本定理的理解不够彻底.下面分四方面来讨论.
(1)证明两向量共线：证明a∥b转化为证明a=λb(λ为实数).
例如：设=a，=b，=(a+b)，
求证：∥.
证明：由题意，得=a-b，
=(a+b)-b=(a-b)，
∴=.∴∥.
(2)证明三点共线：证明点A、B、C共线，转化为证明∥或∥或∥.
例如：=2a+10b，=-2a+8b，=3a-3b，求证：A、B、D三点共线.
证明：∵，
∴=-2a+8b+3a-3b=a+5b.
∴=2.∴∥.
∴A、B、D三点共线.
(3)证明两直线平行：证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.
例如：如图2-1-2，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB,AE=xAC,0＜x＜1.
图2-1-2
求证：DE∥BC.
证明：∵AD=xAB,AE=xAC,
∴=x,=x.
∴=x()=x.
∴∥.∴DE∥BC.
(4)证明两平行(或共线)线段间的长度关系:证明两平行(或共线)线段AB= λCD转化为证明=λ.
例如：如图2-1-3，平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.
图2-1-3
求证：BE=BA.
证明：设 E′是线段BA上的一点，且BE′=BA.设=a，=b，则=a，=b+a.∵=-b，=a-，3=,
∴3(-b)=a-.
∴=(a+3b)=(b+a).
∴=.
∴O、E′、D三点共线,即E、 E′重合，
∴BE=BA.
