2.1 向量的线性运算
典题精讲
例1 下列说法正确的是( )
A.∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
思路解析：考查向量的基本概念.∥包含的基线与的基线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；按定义零向量长度等于0，故C正确；共线向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.21世纪教育网版权所有
答案：C
绿色通道:熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.
变式训练 下列命题正确的是( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
思路解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.21教育网
答案：C
例2(2006安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=__________________.(用a,b表示)21cnjy.com
思路解析:考查向量的线性运算.由=3,得4=3=3(a+b)，即=(a+b).又=a+b，所以=-a+b.www.21-cn-jy.com
答案:-a+4b
绿色通道:用已知向量表示未知向量时，通常是结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算.21·世纪*教育网
变式训练1 若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是( )
A. B.
C. D.3
思路解析：设D、E、F分别为三边中点，根据点M是△ABC的重心，=()=()=0，而零向量与任何向量都共线，所以与共线.www-2-1-cnjy-com
答案：C
变式训练 2 如图2-1-4，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，求.
图2-1-4
思路分析：所给图形是平行四边形，为了应用图形的性质，将向量、、、都转化到四条边上来，由向量加法的三角形法则得，，于是根据BA与CD互为相反向量的关系可得结论.21·cn·jy·com
解：因为，，，所以，.所以=a-b+c.
问题探究
问题 课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗？或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然”成立的.到底这种“显然”是否正确，如何逻辑地说明这个问题？2·1·c·n·j·y
导思:判断作出的向量是否相等，主要从相等向量的定义上来分析.
探究:如图2-1-5，在平面内任取一点A，以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b.再任取一点A′,以A′为始点依次作向量=a，=b，连结向量.【来源：21·世纪·教育·网】
图2-1-5
∵=a，∴四边形AA′B′B为平行四边形.
∴AA′∥BB′,且AA′=BB′.
∵=b，
∴四边形BB′C′C为平行四边形.
∴BB′∥CC′且BB′=CC′.
∴AA′∥CC′,且AA′=CC′,
即四边形AA′C′C为平行四边形，
∴AC∥A′C′,且AC=A′C′.
又∵与方向相同，∴=.
故选择不同的始点作出的向量和都相等,于是你所认为的“显然”是正确的.
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
典题精讲
例1 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.21cnjy.com
思路分析:考查平面向量共线的条件及其应用.转化为证明向量∥.
解:依题意，知i=(1，0)，j=(0，1)，
则=(1，0)-2(0，1)=(1，-2)，
=(1，0)+m(0，1)=(1，m).
∵、共线，∴1×m-1×(-2)=0.
∴m=-2.即当m=-2时，A、B、C三点共线.
绿色通道:点共线问题通常化归为向量共线问题，坐标法实现了向量的代数化，运算时方便、简洁，因此坐标法是解决向量问题的重要方法.21·cn·jy·com
变式训练1(2005全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=______________.【来源：21·世纪·教育·网】
思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.
答案：-
变式训练 2 已知向量a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为( )
A. B.- C. D.-
思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，所以3cosα=4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.www.21-cn-jy.com
答案:A
变式训练 3(2006山东临沂二模，理5)已知向量a=(8，x)，b=(x，1)，其中 x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为( )21·世纪*教育网
A.4 B.8 C.0 D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.
∵(a-2b)=(8-2x,x-2),(2a+b)=(16+x,x+1),
∴(8-2x)(x+1)-(x-2)(16+x)=0.
∴x=4或x=-5(舍去).
答案:A
例2 如图2-2-1所示，ABCD的两条对角线交于点M，且=a,=b,用a,b表示,,和.www-2-1-cnjy-com
图2-2-1
思路分析：考查平面向量基本定理及其应用.把,,和放入三角形，利用三角形法则或平行四边形来解决.21世纪教育网版权所有
解：∵=a+b,=a-b,
∴=-=-(a+b)=-a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
=-=-a+b.
绿色通道:用已知向量(通常是向量基底)表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.2-1-c-n-j-y
变式训练 4(2006安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3,M为BC的中点，则=___________.(用a,b表示)21*cnjy*com
思路解析:把向量放在△AMN中，利用三角形法则转化为其他向量的线性表示. 如图2-2-2所示，由=3,得4=3AC，【来源：21cnj*y.co*m】
图2-2-2
即==(a+b).
在△ABM中，=a+b,
则==(a+b)-(a+b)=-a+b.
答案：-a+b
问题探究
问题 在几何中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？2·1·c·n·j·y
导思:线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.
探究:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P分有向线段AB的比为λ.
∴+λ=0.
∴()+λ()=0.
∴=.
如图2-2-3所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
图2-2-3
因为=λ,
所以+λ=0,
于是有()+λ()=0,
即(1+λ)=+λ.
所以=.
则有(x,y)==(,),
即,
所以P点的坐标为(,).
此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1,即点P是线段AB的中点时,点P的坐标为(,),此坐标又称为线段的中点坐标公式. 下面探讨其应用.
典题精讲
例1 设△ABC的重心(三条中线的交点)为G，并且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求G的坐标.
思路分析:求出BC中点坐标，再利用定比分点的坐标公式得G的坐标.
解:设点G(x,y)，BC的中点为D，则
由题意，得,则
即
∴G的坐标是().
上面的结论称为三角形重心坐标公式，可以作为结论直接应用.
例2 已知M(2，7)和A(6，3)，若点P在直线MA上，且=，求点P的坐标.
思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法.
解法一：(利用定比分点的坐标公式)
设P(x,y),由定比分点坐标公式，得x==3,y==6,即P(3,6).
解法二：(利用两点间的距离公式)
设P(x,y),由题意得||=4||,||=||.
则有
解方程组，得即P(3，6).
解法三:设P(x,y),则=(2-x,7-y),=(x-6,y-3).
∵=,
∴(2-x,7-y)=(x-6,y-3).
∴
解方程组得 x=3,y=6,即P(3,6).
通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们的重视.21教育网
2.3 平面向量的数量积
典题精讲
例1 (2006全国高考卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为( )www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.
∵cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，
∴〈a，b〉=.
答案:C
绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：
(1)计算b·a，|a|，|b|；
(2)计算cos〈a，b〉；
(3)根据范围确定夹角的大小.
变式训练1 (2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.90° D.135°
思路解析:设a与b的夹角为θ，∵(a-b)·a=0，
∴ |a|2-b·a=0.∴b·a=1.
∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.
答案:B
变式训练 2 已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?
思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.
解：设a与b的夹角为θ，
∵a=(1，)，b=(+1，-1)，
∴a·b=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.
∴cosθ==.又∵0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是.
变式训练 3 已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.21cnjy.com
思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.
解： ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，
∴(a+3b)·(7a-5b)=0.
∴7a2+16a·b-15b2=0.①
又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，
∴(a-4b)·(7a-2b)=0.
∴7a2-30a·b+8b2=0.②
①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.
代入①式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，
故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.
∴cos〈a，b〉===.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.
变式训练4 已知△ABC中，a=5，b=8，BC·CA=-20，试求∠C.有位同学求解如下：
解：如图2-3-5，∵||=a=5，||=b=8，
图2-3-5
∴cos∠C===-.
又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.
这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？
思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉，
而是∠C+〈，〉=180°，则cos〈，〉===-.
又∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉=120°.∴∠C=60°.
答案:这位同学的解答不正确，∠C=60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.21·世纪*教育网
例2 已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).
思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.
证法一：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，
∴(a+b)⊥(a-b).
证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.21世纪教育网版权所有
图2-3-6
则有2a+b=，
a+2b=，
a+b=,a-b=，
∵|2a+b|=|a+2b|，
∴||=||.
∴△OMN是等腰三角形.
可证F是MN的中点.
∴OE⊥BA.∴⊥.
∴⊥.∴(a+b)⊥(a-b).
绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练 已知向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a+b).
思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.
证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，
图2-3-7
设=a,=b，则a-b=，a+b=.
∴||=||.
∴四边形OACB是菱形.
∴OC⊥BA.∴⊥，
即(a-b)⊥(a+b).
证法二：∵|a|=|b|，∴(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∵a、b均为非零向量，
∴a-b≠0，a+b≠0.
∴(a-b)⊥(a+b).
例3 (2004湖北高考，理19)如图2-3-8，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.
图2-3-8
思路分析:本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系法解决.2·1·c·n·j·y
解法一：(基向量法)
∵⊥，∴·=0.
∵=-，，，
∴·=()·()
=·-·-·+·
=-a2-··
=-a2-·()
=-a2+·
=-a2+·
=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
解法二：(坐标法)
如图2-3-9所示，以A为原点，以ＡＢ所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
图2-3-9
设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，
且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P(x,y),则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),
=(-c,b),=(-2x,-2y),
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵||2=x2+y2,∴x2+y2=a2.
∵cosθ==，
∴cx-by=a2cosθ.
∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
绿色通道:解决向量问题的两种方法：(1)基向量法：选择不共线(最好垂直)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.21·cn·jy·com
变式训练 正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈，〉的值.
思路分析：最优解法为坐标法.
解法一：(坐标法)如图2-3-10所示.
图2-3-10
以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则有A(1，0)，C(0，1)，B(1，1)，
∴=(1，)，=(，1)，
故cos∠DOE===.
解法二：(基向量法)以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b，
则有|a|=|b|=1，〈a,b〉=，a·b=0.
∴+=+=a+b，
+=+=a+b.
∴||===，
||2===，
·=(a+b)(a+b)=a2+a·b+b2=1.
∴cos∠DOE==.
问题探究
问题 在直角坐标系中，将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？21教育网
导思:探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.
探究:如图2-3-11所示，在单位圆中，设=(a1，a2)，=(x，y)，
图2-3-11
∵⊥，且||=||=1，
∴有
整理得或
即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a2，a1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a2，-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.www-2-1-cnjy-com
例如：求证：cos(α+90°)=-sinα，sin(α+90°)=cosα.
证明：设α的终边与单位圆交于点A，
则A(cosα，sinα)，所以=(cosα，sinα).
∴||=1，即是单位向量.
当按逆时针方向旋转90°后到，
则点B(cos(α+90°)，sin(α+90°))，
由结论可得B(-sinα，cosα).
∴(cos(α+90°)，sin(α+90°))=(-sinα，cosα).
∴cos(α+90°)=-sinα，sin(α+90°)=cosα.
2.4 向量的应用
典题精讲
例1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.2·1·c·n·j·y
解：已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：||2+||2=2||2+2||2.
证法一：如图2-4-1所示，设=a,=b，
图2-4-1
∴=a+b，=b-a.
∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2，
||2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.
∴||2+||2=2a2+2b2.
又∵2||2+2||2=2a2+2b2，
∴||2+||2=2||2+2||2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
图2-4-2
设A(0，0)、D(a，b)、B(c，0)，
∴
==(c，0)+(a，b)=(a+c，b)，
=
=(a，b)-(c，0)=(a-c，b).
∴||2=(c+a)2+b2，||2=(a-c)2+b2.
∴||2+||2=2a2+2c2+2b2.
又∵2||2+2||2=2||2+2||2=2a2+2c2+2b2，
∴||2+||2=2||2+2||2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
绿色通道:(1)向量法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种)，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜(建算译).
(2)平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.21教育网
变式训练 如图2-4-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明EF∥BC.21·世纪*教育网
图2-4-3
思路分析:证明EF∥BC，转化为证明∥，选择向量基底或建立坐标系均可解决.
证法一：(基向量法)设=a，=b，则有=b-a.
∵∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb.
∵E为BD的中点，∴==(b-a).
∵F为AC的中点，
∴+=+()=()=()=(λb-a).
∴=(λb-a)-(b-a)=(λ-)b.
∴=［(λ-)·］.
∴∥.∴EF∥BC.
证法二：(坐标法)如图2-4-4所示，以BC为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0).2-1-c-n-j-y
图2-4-4
设A(a，b)，D(c，b)，C(d，0)，
∴E(，)，F(，).
∴=(，)-(，)=(，0)，=(d，0).
∵×0-d×0=0，
∴∥.∴EF∥BC.
例2 如图2-4-5，一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
图2-4-5
思路分析:考查向量在物理中的应用.船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.www.21-cn-jy.com
解:设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b，21*cnjy*com
∵|a|=2，|b|=2 ,a·b=0，
∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即||=4.
∵·=(a+b)·b=a·b+b2=4，
∴cos〈,〉===.
又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°，
即船的实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速度间的夹角为60°.
绿色通道:用向量法解决物理问题的步骤(类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤)：
(1)把物理问题中的量用向量来表示；
(2)将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；
(3)把结果还原为物理问题.
变式训练 如图2-4-6所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子的质量)【出处：21教育名师】
图2-4-6
思路分析:由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模||和||.A和B处所受力的合力是10 N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.
解:由题意得四边形CEWF是矩形，
则有,
⊥，||=10，∠FCW=60°.
∴·=0.
∴||2=()2=||2+2·+||2.
∴||2+||2=100.
又∵·=0，〈，〉=60°，
∴·=·(+)=+·=.
∴cos〈，〉===.
∴||=||=5，||=5，
即A和B处所受力分别是5 N和5 N.
例3 (2006湖南高三百校第二次考试，文9)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ()，λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )www-2-1-cnjy-com
A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
思路解析:本题主要考查向量的概念、运算与性质等基础知识，考查运用向量解决几何问题的能力.+λ(+)可以化为=λ(+)，所以∥(+).又+所在直线平分BC，所以AP所在直线也平分BC.所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:D
绿色通道:判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心(内心、外心、重心、垂心)的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.21教育名师原创作品
变式训练1 在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( ).
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
思路解析:由·=0得AB⊥BC,又=,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.
答案:C
变式训练2 (2005全国高考卷Ⅰ，文12)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是三角形ABC的( )21cnjy.com
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
思路解析:由·=·，得·-·=0，∴·(-)=0，即·=0.∴⊥.
同理，可证⊥,⊥.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.
答案:D
变式训练3 (2006辽宁高考卷，理12)设O(0，0),A(1，0),B(0，1),点P是线段AB上的一个动点,=λ,若·≥·,则实数λ的取值范围是( )
A.≤λ≤1 B.1-≤λ≤1 C. ≤λ≤1+ D.1-≤λ≤1+21·cn·jy·com
思路解析:∵=λ=(1-λ)+λ=(1-λ，λ)，=-=(1-λ)=(λ-1，1-λ)，=λ=(-λ，λ)，
∴·≥·(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)2λ2-4λ+1≤0.【版权所有：21教育】
∴1-≤λ≤1+.又∵点P是线段AB上的一个动点,∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1-≤λ≤1.21*cnjy*com
答案:B
问题探究
问题 (1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简||2+||2-2||·||cos〈，〉；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)在等边△ABC中，化简||2+||2-2||·||cos〈，〉；
(3)由(1)和(2)你发现了什么结论，并加以证明.
导思:探究思路是归纳、猜想、证明，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.
探究:(1)∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.
∴||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2+||2=||2.
(2)∵||2=||2=||2，
∴||2+||2-2||·||cos〈，〉
=||2+||2-||2=||2=||2.
(3)可发现如下结论：在△ABC中，有
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
可以用语言叙述：三角形任一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍.此结论又称为余弦定理.21世纪教育网版权所有
证明：如图2-4-7，在△ABC中，
有-=，
∴(-)2=，
∴+-2·=，
即||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
同理，可证||2+||2-2||·||
cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
