2.2.1 平面向量基本定理
基础知识
基本能力
1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点、难点)
2．理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．(易错点)
1．会利用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示．(重点、难点)
2．在向量之间的线性表示中，能灵活地选好基底进行表示．(难点、易错点)
3．能正确地应用线段中点的向量表达式来解决与中线、中位线等相关的几何问题．(重点)
1．平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
平面向量的基底唯一吗？
答：不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底．
【自主测试1－1】如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( )
A．对平面α中任一向量a，使a＝a1e1＋a2e2的实数a1，a2有无数对
B．对实数a1，a2，a1e1＋a2e2不一定在平面α内
C．空间任一向量a可以表示为a＝a1e1＋a2e2，这里a1，a2是实数
D．若实数a1，a2使a1e1＋a2e2＝0，则a1＝a2＝0
答案：D
【自主测试1－2】在四边形ABCD中，设＝a，＝b，用基底a，b表示＝__________.
解析：＝－＝a－b.
答案：a－b
2．直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{，}的分解式为＝(1－t)＋t，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
当t＝时，P为线段AB的中点，则＝(＋)．这是线段AB的中点的向量表达式．
名师点拨上述的向量参数方程式与P，A，B三点共线的条件是完全一致的，学习了向量的正交分解后，可以进一步地认识它与解析几何中直线方程的联系．
【自主测试2】M为线段AB的中点，O为平面上任一点，＝x＋y，则有x＝__________，y＝__________.
解析：由线段AB的中点的向量表达式，知x＝y＝.
答案：
正确理解平面向量基本定理
剖析：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．
(2)对给定的向量a，实数λ1，λ2存在且唯一．实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．
(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．
(5)这个定理体现了转化与化归思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
题型一 用基底表示向量
【例题1】已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
解：由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
反思用基底表示向量主要有以下两种类型：
(1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解；
(2)若直接利用基底表示比较困难，则依据“正难则反”的原则，采用方程思想求解．
【例题2】如图，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示.
分析：本题要求用c，d表示，所以可以将c，d看作基底，把和表示出来，再由＝＋得到.
解：设＝a，＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点，得＝b，＝a.在△ABN和△ADM中，解得
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
所以，＝＋＝(2d－c)＋(2c－d)＝(d＋c)．
反思从解答本题的过程来看，策略性较强：
(1)为使问题表达简单，采用了＝a，＝b的代换；
(2)直接用c，d表示，困难，反过来改用，表示c，d，然后将和看成是未知量，利用方程组的知识解得和 ，进一步求出.
题型二 直线的向量参数方程式
【例题3】如图，设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠－1)，O是平面上任意一点，则( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：解答本题可直接利用直线的向量参数方程式判断；或利用向量的加、减运算法则进行转化，作出判断．
解析一：∵P，A，B三点共线，
∴一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t，
则t满足(1－t)＋t＝1，只有选项A：＋＝＝1符合，故选A．
解析二：由＝λ(λ≠－1)，
得－＝λ(－)，
故＝(λ≠－1)．
答案：A
反思本题采用了两种解题方法．解法一是应用直线的向量参数方程式判断．由直线的向量参数方程式得，若P在直线AB上(或P，A，B共线)，则一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t，注意(1－t)＋t＝1；解法二直接利用向量减法的几何意义，构造向量方程，解出.
〖互动探究〗设，不共线，P点在线段AB上，求证：＝λ＋μ，且λ＋μ＝1(λ，μ∈R)．
证明：∵P点在线段AB上，∴与共线．
∴＝t(t∈R)．
∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t.令λ＝1－t，μ＝t，则有＝λ＋μ，λ＋μ＝1(λ，μ∈R)．
1．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式是唯一确定的．
A．① B．② C．③ D．②③
答案：C
2．已知ABCD的对角线的交点为O，下列各组向量中，可作为这个平行四边形所在的平面内所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④与.
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底．通过画图可得：①与不共线；②＝，则∥；③与不共线；④＝，则∥.于是仅①③可以构成平面内所有向量的基底．
答案：B
3．O为平面上任一点，＝x＋y，若A，B，C三点共线，则必有( )
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．x＝－y D．x，y为任意实数
解析：若A，B，C三点共线，则＝(1－t)＋t，知x＋y＝1－t＋t＝1.
答案：A
4．已知向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：＝－＝r－p，＝－＝q－r，
又∵＝－3，∴r－p＝－3(q－r)，∴r＝－p＋q.
答案：A
5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__________.
解析：∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb，
即k2e1＋e2＝λ(2e1＋3e2)＝2λe1＋3λe2，即解得k＝或－2.
答案：或－2
6．如图所示，在ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上的点且＝，用a，b表示向量与.
解：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b.
7．已知，D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点．
求证：四边形BDEF为平行四边形．
证明：如图，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴＝，＝，
∴＝－＝(－)＝.
又∵F是BC的中点，∴＝.
∴＝.∴DE∥BF且DE＝BF，
∴四边形BDEF为平行四边形．
2.2.1 平面向量基本定理
课堂导学
三点剖析
一、基底
(1)基底的特征:①两个向量,②不共线.
(2)就像平面上可选取不同的坐标系一样,同一平面可以有不同的基底.因此,要表示一个向量时基底不唯一,但是基底给定时,向量的表示法唯一,即若a=λ1 e1+λ2 e2=λ1′e1+λ2′e2,则λ1=λ1′且λ2=λ2′.
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解.
【例1】 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析：平面内向量的基底不唯一.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案：B
各个击破
类题演练 1
设点O是ABCD两对角线交点,下列向量组:①与;②与;③与;④与.可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
解析:①与不共线;
②=-,∥,与共线;
③与不共线;
④=-,∥,与共线.
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案:B
变式提升 1
e1、e2是平面内的一组基底,则下面四组向量中,不能作为一组基底的是( )
A.e1和e1+ e2
B.e1-2e2和e2-2e1
C.e1-2e2和4e2-2e1
D.e1+e2和e1-e2
解析:∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),
∴e1-2e2与4e2-2e1共线,不能作为基底.∴选C.
答案:C
二、平面向量基本定理及其应用
关于定理的说明:
(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；
(2)平面内的任一向量都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的；
(3)对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的不共线向量都可作为基底；
(4)当平面内取定一组基底a0、b0后，任一向量m都被a0、b0唯一确定，其含义是存在唯一实数对（λ1,λ2),使m=λ1a0+λ2b0.若还有m=λ1′a0+λ2′b0.则必有λ1=λ1′且λ2=λ2′.
【例2】 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
思路分析：解决本题有两个关键点:一是由题意证明三线交于一点,需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重合的方法是构造以同一点为起点,这两点为终点的两向量相等,从而得这两点重合.
证明:设D、E、F分别是△ABC的三边BC、AC、AB的中点,
令=a,=b为基底,
则=a-b,=a-b,=-a+b,
设AD与BE交于点G1,且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb.
又有=+=(1-)a+(μ-1)b,
∴
解得λ=μ=,
∴=,
再设与交于G2,
同理求得=,
∴G1点、G2点重合,即AD、BE、CF交于一点.
∴三角形三条中线交于一点.
温馨提示
平面向量基本定理是向量法的理论基础,这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线向量“生成”的,或者说,任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示的实质,它不仅提供了向量的几何表示方法,同时也使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁.如我们已经证明过的结论:若A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任一点P,存在实数t,使OP关于基底{,}的分解式为=(1-t) +t(*)并且满足(*)式中点P一定在l上.
实际上,向量等式(*)叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.
类题演练 2
已知向量a、b,求作向量3a-2b.
方法一:如图,(1)取一点O,作=3a,=-2b.
(2)作△OAB,则就是求作的向量.
方法二:如图,(1)取一点O,作=3a,=-2b.
(2)作OABC,则就是求作的向量.
（1） (2)
温馨提示
（1）已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量.
（2）本题是平面向量基本定理的简单应用，除可运用平行四边形法则外，还可用向量加法的三角形法则求作向量.
变式提升 2
如图所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC边上的中点,且BC=3AD,=a,=b,试以a、b为基底分别表示、和.
解:∵AD∥BC且AD=BC,
∴==b.
∴==b.
又∵=,
∴=b.
∴=-=a-b.
∴=+=--=-b-(a-b)=b-a.
=+=+=-+=-b+b-a=b-a.
=+=-(+)=-(b-a+b)=a-b.
温馨提示
(1)本例实质上是平面向量基本定理的应用，由于与不共线，因此，平面内的所有向量都可用它们表示出来.
（2）任一平面直线型图形，根据平面向量基本定理，都可以表示为某些向量的线性组合.这样解答几何问题，应先把已知和结论线段表示为向量形式,然后通过向量的运算，达到解决问题的目的.
三、两向量的夹角与垂直
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.
说明:（1）向量a与b的夹角定义中强调的是作=a，=b，即强调a、b同起点.在研究具体问题时，涉及到不同起点的夹角问题，要把起点移到同一点；
（2）向量a与b夹角范围是0°≤θ≤180°.当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时,a与b反向；
（3）向量a⊥b是两向量夹角的特殊情况，在今后学习中会经常用到.
【例3】 如下图,在Rt△ABC中，边AB、BC、AC的长分别为、2、1，求向量与的夹角.
思路分析：由于向量与的夹角不是∠C，应是∠C的补角,因此，我们应先求∠C，然后再求与的夹角.
解:∵||2+||2=||2，
∴∠BAC=90°.
∵cos∠BCA=,
∴∠BCA=60°.
∴平移向量使点B与点C重合，则与的夹角为120°.
类题演练 3
在正△ABC中,向量和的夹角是多少度?向量与的夹角是多少度?
思路分析:作出图形,根据向量夹角的定义求出即可.
解:由图形可知向量与夹角为120°;向量与夹角为60°.
变式提升 3
已知向量a与b的夹角是60°,那么向量a与-b的夹角是多少度?向量-a与-b的夹角是多少度?
解:根据向量夹角的定义,可以得到a与-b的夹角是120°;向量-a与-b的夹角为60°,如图所示.
(1) (2)
2.2.1 平面向量基本定理
课堂探究
探究一 基底的判断
两个向量能否作为基底关键是判断这两个向量中是否有零向量或这两个向量是否共线．
【例1】 已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)·e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．2
解析：由得故x－y＝3．
答案：A
名师点拨 若a，b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
【例2】 已知e1和e2不共线，则下列各组向量可以作为基底的是________．(填序号)
①a＝2e1，b＝－2e1；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
解析：①a＝－b；②b＝－2a；③a＝4b，所以①②③不能作基底．
答案：④
探究二 用基底表示向量
用基底来表示向量主要有以下两种类型：
(1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解．
(2)若直接利用基底表示比较困难，则利用“正难则反”的原则，采用方程思想求解．
【例3】 已知在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，．
分析：把，，分别放在一个封闭三角形中，利用线性运算不断地向基底靠拢．
解：由题意，得
＝＋＝＋＝＋ (－)
＝a＋ (b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋ (b－a)＝a＋b．
探究三 直线的向量参数方程式的应用
直线的向量参数方程式＝(1－t)＋t (t为实数)包含两层意思：(1)当点P在直线AB上时满足该式；(2)反之，当点P满足该式时，点P一定在直线AB上．
【例4】 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A． B． C． D．
解析：因为＝，
所以＝4．又＝m＋，
所以＝m＋．
因为P，B，N三点共线，
所以由直线的向量参数方程式知m＋＝1，
所以m＝．
答案：C
探究四 向量法证明几何问题
选取合适的基底，将待证的向量用基底表示，可以证明线段平行等位置关系．
【例5】 如图所示，点M是AB边上的中点，E是CM的中点，AE的延长线交BC于点F，MH∥AF，且MH交BC于点H．
求证：＝＝．
证明：设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝＋＋
＝－＋2＋2
＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，
＝＋＝＋
＝－＋＋
＝－b＋＋－
＝－b＋a＋2－
＝－b＋a＋2b－b
＝a＋b．
综上可得：＝＝．
探究五 确定两直线交点的位置问题
基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适．
【例6】 如图所示，在△ABC中，点M在边BC上，且BM＝MC，点N在边AC上，且AN＝3NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．
分析：选择一组合适的向量作为基底，用这组基底表示平面内的有关向量，再由向量共线的条件列出等式，用待定系数法解之．
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－4e2－2e1，
＝＋＝3e1＋e2．
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝－2λe1－4λe2，＝μ＝3μe1＋μe2，
所以＝－＝－＋＝(2λ＋3μ)e1＋(4λ＋μ)e2．
又因为＝＋＝3e1＋4e2，
所以由平面向量基本定理，得解得
所以＝，即AP∶PM＝9∶1．
2.2.1 平面向量基本定理
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量基本定理的应用．
3．了解直线的向量参数方程．
内容
注意问题
平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2．我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量；
(2)该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；
(3)对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为一组基底；
(4)教材中定理的证明，是用作图法证明了存在性，又用反证法证明了唯一性．
直线的向量参数形式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{， }的分解式为＝(1－t)＋t，这个等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
(1)直线l的向量参数方程式也可以写成＝ (其中t为实数)．
(2)在直线l的向量参数方程式＝(1－t)＋t中，与的系数之和一定为1．
(3)对于平面内任意一点O，若存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，则P，A，B三点共线．
(4)对于平面内任意一点O，若P，A，B三点共线，则一定存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
基础知识
基本能力
1．理解平面向量的正交分解及其作用．(重点)
2．了解向量的坐标表示与平面直角坐标系中点的坐标的异同．(易错点)
3．掌握平面向量的坐标运算法则．(重点、难点)
1．结合平面向量正交分解的意义，能够写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．(重点)
2．能熟练地运用向量的加法、向量的减法及实数与向量的积的坐标运算法则进行有关运算．(难点)
3．理解平面直角坐标系内任一点的坐标，只与以原点为始点以该点为终点的向量的坐标相同，并且相等向量的坐标相同，但始点和终点坐标却可以不同．(易错点)
1．向量的坐标
(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．
(2)如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
(3)在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.
(4)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．
名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．
与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？
答：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即b＝(0，y)；与y轴平行的向量的横坐标为0.
【自主测试1】已知{e1，e2}为正交基底，且e1，e2为单位向量，a在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a＝xe1＋ye2，则x＝__________，y＝__________.
答案：2 011 －2 012
2．向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；
若λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则＝(3,3)，＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标却不相同．
(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．
【自主测试2－1】已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于( )
A．(5,3) B．(4，－1) C．(－2，－1) D．(－3，－3)
答案：D
【自主测试2－2】已知向量＝(9，－7)(O为原点)，则点N的坐标为( )
A．(9，－7) B．(9,7)
C．(－9,7) D．(－9，－7)
答案：A
对平面向量的坐标表示的理解
剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．
(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．
(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．
题型一 求向量的坐标
【例题1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为线段AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
分析：→→
解：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，
∴D，
则＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．
(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．
〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E为线段AB的中点，G为三角形ABC的重心”，求向量，，，的坐标．
解：＝(0，－)，＝，＝，＝.
题型二 平面向量的坐标运算
【例题2】已知a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中M(－1,3)，N(1,3)，求x的值．
分析：先用坐标表示出向量，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x的关系式．
解：∵M(－1,3)，N(1,3)，∴＝(2,0)．
又∵a＝，∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．
∴解得x＝－1.
故x的值为－1.
反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【例题3】已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋.
分析：首先由点A，B，C的坐标求得向量，，，，等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式＋＋＝m＋n，再列出关于m，n的方程组，进而解方程求出m，n的值．
解：＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，即(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
可得解得
∴＋＋＝32－22.
反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．
题型三 用向量法证明几何问题
【例题4】如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可．
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．
设|D|＝λ(λ＞0)，则F，
P，E，
∴＝，＝.
∵||2＝λ2－aλ＋a2，||2＝λ2－aλ＋a2，
∴||＝||，即PA＝EF.
反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．
题型四 易错辨析
【例题5】已知A(3,5)，B(－2，－3)，将线段AB向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A′B′，则向量的坐标为__________．
错解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，
∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．
错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．
正解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，
∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．
又∵＝，
∴＝(－5，－8)．
1．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a＋b与a－b的坐标分别为( )
A．(0,0)，(－2,4)
B．(0,0)，(2，－4)
C．(－2,4)，(2，－4)
D．(1，－1)，(－3,3)
答案：A
2．已知＝(x，y)，点B的坐标为(－2,1)，则的坐标为( )
A．(x－2，y＋1) B．(x＋2，y－1)
C．(－2－x,1－y) D．(x＋2，y＋1)
解析：∵＝－，
∴＝－＝(－2－x，1－y)．
答案：C
3．已知a＝(－7,24)，|λa|＝50，则λ等于__________．
解析：∵|λa|＝|λ||a|＝|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.
答案：±2
4．已知A(，－1)，则所在的直线与x轴所夹的锐角为__________．
解析：易知点A在第四象限，如图，作AH⊥x轴于点H，则在Rt△AHO中，AH＝1，HO＝，则tan∠HOA＝，故∠HOA＝30°.
答案：30°
5．若作用在坐标原点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则作用在原点的合力F1＋F2＋F3的坐标为__________．
答案：(8,0)
6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．
(1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；
(2)向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；
(3)向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．
解：如题图所示，设＝a，＝b，＝c，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)．
x轴、y轴正方向上的单位向量分别为e1，e2.
(1)因为∠POP′＝45°，||＝2，
所以a＝＝＋＝e1＋e2.
所以a＝(，)．
(2)因为∠QOQ′＝60°，||＝4，
所以b＝＝＋＝－2e1＋2e2.
所以b＝(－2,2)．
(3)因为∠ROR′＝30°，||＝6，
所以c＝＝＋＝3e1－3e2.
所以c＝(3，－3)．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课堂导学
三点剖析
一、向量a=的坐标
如图,在直角坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
我们把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)
其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
【例1】 在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.
思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a=(a1,a2),a的方向相对于x轴正向的转角为θ,则有
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos45°=2×=,
a2=|a|sin45°=2×=,
b1=|b|cos120°=3×(-)=,
b2=|b|sin120°=3×,
c1=|c|cos(-30°)=4×,
c2=|c|sin(-30°)=4×(-)=-2,
因此a=(,),b=(),c=(,-2).
各个击破
类题演练 1
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||=，∠xOA=60°,求向量的坐标.
思路分析:要求向量的坐标，就是要求在x、y轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.
解:设点A的坐标为（x,y),则x=||·cos60°=×,
y=||sin60°=×=6,即A（，6）.
∴=（，6）.
变式提升 1
如图,正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PECF是矩形,用向量证明PA=EF.
思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA与EF的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D点为坐标原点,以DC、AD边所在直线分别为x、y轴,建立坐标系.
证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0),
则A(0,a),P(λ,λ),E(a,λ),F(λ,0),
∴=(λ,a-λ),=(λ-a,λ).
∵||2=λ2-aλ+a2,||2=λ2-aλ+a2,
∴||2=||2,故PA=EF.
二、向量的直角坐标运算
(1)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
(2)若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
(4)若a=(a1,a2),λ∈R,则λa=(λa1,λa2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.
【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.
思路分析：根据题意可设C(x1,y1),D(x2,y2),然后利用=和=-相等关系可得关于x1、y1及x2、y2的方程组,可得C、D点坐标及坐标.
解:设C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6), =(-1-x2,2-y2),=(-3,-6),
∵=,=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),也就是(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴∴
∴C、D的坐标分别为(0,4)、(-2,0).
因此=(-2,-4).
类题演练 2
(1)设向量a、b的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a-b+c的坐标.
解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).
(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).
变式提升 2
用坐标法证明++=0.
思路分析:先设出点A、B、C的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式.
证明:设A（a1,a2)、B（b1,b2)、C(c1,c2),则
=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2),
∴++=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)
=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)=(0,0).
∴++=0.
温馨提示
这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A、B、C是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.
三、向量坐标运算的应用
向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.
【例3】 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），以，为一组基底表示++.
思路分析:求解时，首先由点A、B、C、D的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++=m+n.最后列出关于m，n的方程组求解.
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）.
设++=m+n,
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).
∴++=32-22.
温馨提示
(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.
(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.
类题演练 3
已知向量a=(x+3,x-3y-4)与相等，若A（1，2），B（3，2），求x、y的值.
解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.
∵a=，
∴
故x=-1,y=.
温馨提示
由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.
变式提升 3
如图,在ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,=d,试用c、d表示和.
思路分析:直接用c、d表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c、d,再来解关于、的方程组.
解:设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得=b,=a.
+=,即b+a=c.①
+=,即a+b=d.②
由①②可得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课堂探究
探究一 向量的坐标表示
求向量的坐标有三种方法：(1)正交分解；(2)将向量的起点平移到原点，向量的终点，即为向量的坐标；(3)利用转角求横、纵坐标．
【例1】 如图所示，分别用基底i与j表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．
解：由题图可知，a＝＋＝2i＋3j，
所以a＝(2,3)．
同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；
c＝－2i－3j＝(－2，－3)；
d＝2i－3j＝(2，－3)．
点评 在直角坐标系中求向量的坐标，一般运用“数”与“形”相结合的方法求解．
【例2】 在平面直角坐标系xOy中，a，b如图所示，分别求它们的坐标．
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则a1＝|a|cos 45°＝4×＝，
a2＝|a|sin 45°＝4×＝．
b向量相对于x轴正方向的转角为120°．
所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝．
所以a＝(，)，b＝．
评注 公式a1＝|a|cos θ，a2＝|a|sin θ中θ是指a的方向相对于x轴正方向的转角，此点不容忽视．
探究二 向量的坐标运算
向量用坐标表示后，向量的线性运算都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为熟知的数量运算．
【例3】 已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，
因为＝，＝－，
所以(x1＋1，y1－2)＝×(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－×(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
所以和所以和
所以C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
方法技巧 此类题要充分利用向量相等的条件建立方程或方程组求待定参数，求一个向量坐标需求出向量始点与终点坐标．
探究三 向量坐标法的应用
通过建立适当直角坐标系从而求出向量的坐标，这是解决向量或几何问题的一种常用的方法．
【例4】 已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c．
分析：由题中条件建立适当平面直角坐标系，由向量的模及向量与x轴正半轴夹角求向量坐标，再利用向量的坐标运算用a，b表示c．
解：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
因为|a|=2，所以a=(2,0)．
设b=，
所以=|b|cos 150°=1×=-，
y1=|b|sin 150°=1×=．
所以b=．
同理可得c=．
设c= a+ b(，∈R)，
所以= (2,0)+ =(2 -，)．
所以解得
所以c=-3a-3b．
探究四 易错辨析
易错点：因忽视点的位置而漏解
【例5】 如图所示，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求顶点D的坐标．
错解：设顶点D(x，y)，
因为＝(－1，－4)，＝(1－x，－2－y)，＝，
所以解得
所以顶点D的坐标为(2,2)．
错因分析：没有注意到平行四边形四个顶点的顺序不同而漏解．
解：设顶点D(x，y)．
①若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，C，D，
则＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，
＝(1－x，－2－y)．
由＝，得
解得
故顶点D的坐标为(2,2)．
②若平行四边形四个顶点的顺序为A，C，B，D，
则＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)，＝(3－x，－1－y)．
由＝，得解得
故顶点D的坐标为(6,4)．
③若平行四边形四个顶点的顺序为A，B，D，C，
则＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)，＝(x－1，y＋2)．
由＝，得解得
故顶点D的坐标为(0，－6)．
综上，顶点D的坐标是(2,2)，(6,4)或(0，－6)．
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．
3．能借助向量坐标，用已知向量表示其他向量．
1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如，A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则＝(3,3)，＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标却不相同．
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
基础知识
基本能力
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
2．掌握两直线平行与两向量共线的判定方法．(易错点)
1．会用向量的坐标形式来判断向量平行、证明三点共线．(易错点)
2．会写过定点与已知向量平行的直线方程．(重点)
3．要理解零向量可与任一向量平行的规定，并在解决有关共线问题时，不要忽视它的存在．(难点)
两个向量平行的坐标表示
设向量a＝(a1，a2)，向量b＝(b1，b2)，则a∥b?a1b2－a2b1＝0；
如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b?＝，即两个向量平行的条件是：相应坐标成比例．
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？
答：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是：
当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．
【自主测试1】与向量a＝共线且方向相同的向量b的坐标是( )
A．(－1,2) B．(4,8)
C．(，) D．(－4，－8)
答案：B
【自主测试2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，t)三点共线，则t的值为( )
A．0 B．5 C．6 D．10
解析：＝(1,1)，＝(3，t－3)，
∵A，B，C三点共线，
∴1×(t－3)－1×3＝0，∴t＝6.
答案：C
解读向量平行的条件及用途
剖析：向量平行的条件有三种表示形式：
(1)a∥b(b≠0)?a＝λb；
(2)a∥b?a1b2－a2b1＝0，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)；
(3)a∥b?＝，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且b1≠0，b2≠0.
另外应用向量平行(共线)的条件，可以证明向量共线、三点共线等问题．
题型一 平面向量共线问题
【例题1】已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的取值范围．
分析：对于第(1)问，利用共线向量的坐标表示出关于x的方程即可；对于第(2)问，可先从反面入手．
解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)．
又因为u∥v，
所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
故实数x的值为3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，所以要使a，v不共线，{x|x∈R，且x≠3}即为所求．
反思利用向量共线的条件求值的问题的处理思路：
对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
〖互动探究〗已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，是否存在实数x，m，使(ma－b)∥(a＋b)？若存在，求实数x，m的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数x，m满足题意，得ma－b＝(mx＋3,3m－x)，a＋b＝(x－3,3＋x)，由(ma－b)∥(a＋b)，得(mx＋3)(x＋3)－(3m－x)(x－3)＝0，化简得(m＋1)·(x2＋9)＝0，故m＝－1，x∈R，即存在m＝－1，x∈R使(ma－b)∥(a＋b).
题型二 三点共线问题
【例题2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
分析：解答本题可直接利用共线条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．
解：解法一：∵A，B，C三点共线，即，共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，
即i－2j＝λ(i＋mj)．
于是∴m＝－2.
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
解法二：依题意，知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，
＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
而，共线，∴1×m－1×(－2)＝0.
∴m＝－2.
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
反思利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线．由于两向量还过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
题型三 向量共线在几何中的应用
【例题3】已知△ABC三个顶点分别是A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，试求AC与OB的交点坐标P(x，y)(其中O为坐标原点)．
分析：利用O∥，∥列出关于x，y的方程求解．
解：∵P点在线段OB上，∴与共线．
又＝(x，y)，＝(4,4)，∴4y－4y＝0，即x－y＝0.①
同理，与共线．
由＝(x－3，y)，＝(－1,1)，
得x－3＋y＝0.②
由①②解得x＝，y＝.
∴P点的坐标为.
反思解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解．
题型四 易错辨析
【例题4】已知点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上有一点P，且满足||＝||，试求点P的坐标．
错解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋4)，＝(－12,6)，＝(－9－x,2－y)．∵|A|＝||，
∴＝，
即(x－3，y＋4)＝(－12,6)＝(－4,2)，
解得x＝－1，y＝－2，
∴点P的坐标为(－1，－2)．
错因分析：根据||＝||，可以得到＝和＝－这两种情况，而错解中只考虑到了一种情况．
正解：在错解的基础上再补充上＝－这种情况，即(x－3，y＋4)＝－(－12,6)＝(4，－2)，
∴x＝7，y＝－6.∴点P的坐标为(7，－6)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的是( )
A．a＝(－1,2)，b＝(0,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)
解析：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．选项D中两个向量共线，故不能作为一组基底．
答案：D
2．以下命题错误的是( )
A．若i，j分别是与平面直角坐标系中x轴，y轴同向的单位向量，则|i＋j|＝|i－j|
B．若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有＝
C．零向量的坐标表示为(0,0)
D．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
解析：对于选项B，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不能写成比例式．
答案：B
3．(2012·山东济宁期末)已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a∥b，则x＝( )
A．9 B．－9 C．－3 D．3
答案：B
4．已知＝e1＋2e2，＝(3－x)e1＋(4－y)e2，其中e1，e2的方向分别与x轴、y轴的正方向相同，且为单位向量．若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．2x－y－2＝0 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．x－2y＋2＝0 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．
又与共线，则有＝，
即2x－y－2＝0.故选A．
答案：A
5．若a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x＝__________.
解析：∵a与b共线，∴－2＋x2＝0.
∴x＝±.
当x＝时，a＝(－1，)，b＝(－，2)＝(－1，)，
此时a与b同向；
当x＝－时，a＝(－1，－)，b＝(，2)＝(1，)＝－(－1，－)，
此时a与b反向．
答案：
6．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
其中，叙述正确的序号为__________．
解析：由于x2＝－9无实数解，故①不正确；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，此方程无实数解，故②不正确；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，
即x2＝－9，此方程无实数解，故③不正确；
由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正确．
答案：④
7．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
解：＝－＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)，
＝－＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0.
整理，得k2－9k－22＝0，
∴k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课堂导学
三点剖析
一、两向量共线的判断
利用a=λb和坐标表示x1y2-x2y1=0来判断.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线的条件是a=λb;用坐标表示可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0,也就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线.
【例1】 判断下列向量a与b是否平行:
(1)a=(,),b=(-2,-3);
(2)a=(0.5,4),b=(-8,64);
(3)a=(2,3),b=(3,4);
(4)a=(2,3),b=(,2).
思路分析：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥ba1b2-a2b1=0.
解：(1)×(-3)-×(-2)=+=0,
∴a∥b.
(2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0,
∴ab.
(3)2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴ab.
(4)2×2-3×()=4+4=8≠0,∴ab.
温馨提示
由于a2≠0,b2≠0,因此也可以这样判定:
(1),∴a∥b.
(2),∴.
∴ab.
(3)≠,∴ab.
(4)≠,∴ab.
各个击破
类题演练 1
已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),判断与是否共线?
思路分析:判断两个向量是否共线,可直接利用坐标形式的条件x1y2-x2y1=0来判断.
解:=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),
=(-7,-4)-(1,4)=(-8,-8),
∵4×(-8)-4×(-8)=0,
∴∥,
即和共线.
变式提升 1
a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解得k=λ=-.
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b).
∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.
解法二:由解法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),
∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-,
此时ka+b=(--3,+2)=-(a-3b).
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
二、坐标法证三点共线问题
证明三点共线(或两直线平行、重合)
(1)证明两直线平行,可通过证这两直线上的两向量共线,且无公共点.
(2)证明三点共线,可通过证由这三点构成的两个向量共线,且有公共点.
(3)证三点共线常见的方法还有:证得两条较短的线段之和等于第三条线段的长度,以及利用斜率或直线方程,证明三点为顶点的三角形面积为零等.
【例2】 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.
思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.
解法一:∵A、B、C三点共线即、共线，
∴存在实数λ使
=λ,即i-2j=λ(i+mj).
∴
∴m=-2.
∴m=-2时，A、B、C三点共线.
解法二：依题意知：i=（1，0），j=（0，1），=（1，0）-2（0，1）=（1，-2），
=（1，0）+m(0,1)=(1,m).而，共线，
∴1×m+2=0.
∴m=-2.
故当m=-2时，A、B、C三点共线.
温馨提示
向量共线的几何表示与代数表示形式不同，但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用.
类题演练 2
向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线?
解:=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k),
∵A、B、C三点共线,
∴∥,
即(k-4)(12-k)-(k-10)×7=0,整理,得k2-9k-22=0,
解得k1=-2或k2=11,
∴当k=-2或11时,A、B、C三点共线.
变式提升 2
证明下列各组点共线:
(1)A(1,2),B(-3,-4),C(2,3.5);
(2)P(-1,2),Q(0.5,0),R(5,-6).
证明:(1)=(-3,-4)-(1,2)=(-3-1,-4-2)=(-4,-6),=(2,3.5)-(-3,-4)=(2+3,3.5+4)=(5,7.5).
∵-4×7.5-(-6)×5=0(或),
∴∥.
又∵、有公共点B,
∴A、B、C三点共线.
(2)=(0.5,0)-(-1,2)=(0.5+1,0-2)=(1.5,-2),
=(5,-6)-(0.5,0)=(5-0.5,-6-0)=(4.5,-6),
∴1.5×(-6)-(-2)×4.5=-9+9=0(或).
∴∥.
又∵、有公共点Q,
∴P、Q、R三点共线.
三、向量共线的坐标应用
平面向量共线的坐标表示常应用于:(1)求点的坐标;(2)确定参数的值(比值);(3)平面几何中的证明问题.向量共线的坐标表示与几何表示形式不同但实质一样,在解决问题时要不拘泥于形式,灵活运用.
【例3】 平面内给定三个向量a=（3，2），b=（-1，2），c=(4,1).
(1)求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)若a+kc∥（2b-a），求实数k；
（4）设d=（x,y）满足（d-c）∥（a+b）且|d-c|=1,求d.
思路分析：对于（1），可直接用坐标运算得出结果.对于（2），可将向量相等转化为关于坐标的方程组.对于（3）（4）,都可运用向量平行的条件，将其转化为关于坐标的等式求解.
解:（1）3a+b-2c=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）.
（2）∵a=mb+nc，∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).
∴
(3)∵(a+kc）∥（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
(4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴
解之，得
∴d=()或d=().
类题演练 3
已知a≠0,b≠0,且ab,求证:a+ba-b.
证明:令a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
假设a+b∥a-b,
则(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0,
即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0,
整理得2(x2y1-x1y2)=0,即x1y2-x2y1=0,
因为a≠0,b≠0,所以a∥b.
这与已知矛盾,故a+b与a-b不平行.
温馨提示
平面向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题，通过向量的代数运算使几何问题得到解决，这是数形结合思想的体现.
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课堂探究
探究一 平面向量共线问题
利用平面向量坐标表示向量共线，可以将几何证明问题转化为代数运算．
【例1】 已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证∥．
证明：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意知：＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
所以＝＝，＝＝，
所以(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
所以(x1，y1)＝，
(x2，y2)＝，
所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝．
因为4×－(－1)×＝0，所以∥．
探究二 三点共线问题及其应用
利用向量证明三点共线的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ，使得两个向量共线．由于两个向量还过同一点，所以两个向量所在的直线必重合，即三点共线．若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线．
【例2】 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
分析：解答本题可直接利用向量共线的条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．
解：方法一：因为A，B，C三点共线，即，共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)．
于是所以m＝－2．
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
方法二：依题意，知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，
＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．
而，共线，所以1×m－1×(－2)＝0．
所以m＝－2．
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
【例3】 已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，点D在线段AB上，且满足＝．点E在BC上，若△BDE的面积是△ABC面积的一半，求点E的坐标．
解：如图，
因为=，所以=．
过点D作⊥BC于点，
过点A作⊥BC于点，
则∥，
且=．
于是S△BDE∶S△ABC
=
==．
所以=．
从而得=2，即=2．
因为B(-4,0)，C(5，-3)，设E(x，y)，
则(x+4，y)=2(5-x，-3-y)，解得
所以E点坐标为(2，-2)．
【例4】 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
分析：利用向量法证明几何问题，首先是建立适当的直角坐标系，将图中点的坐标转化为向量坐标．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
令||＝1，则||＝1，||＝2．
因为CE⊥AB，而AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形．
所以可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)因为＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
所以＝，所以∥，即DE∥BC．
(2)因为M为EC的中点，所以M，
所以＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝．
所以＝－，所以∥．
又MD与MB共点于M，
所以D，M，B三点共线．
点评 在建立直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的线与x轴、y轴平行．
探究五 易错辨析
易错点：因未分析共线时有同向和反向而致误
【例5】 设点A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n＋1)，D(2,2n＋1)，若向量与共线且同向，则n的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．1
错解：因为＝(n,1)，＝(4，n)，
所以由∥得n2－4＝0，即n＝±2．故选C．
错因分析：非零向量共线时有同向和反向两种情况，没有进行检验．
正解：由已知条件得＝(n,1)，＝(4，n)，
显然n≠0．
由与共线得n2－4＝0，
解得n＝±2．
当n＝2时，＝(2,1)，＝(4,2)，
则有＝2，满足与同向；
当n＝－2时，＝(－2,1)，＝(4，－2)，
则有＝－2，此时与反向，
不符合题意．
因此，符合条件的只有n＝2．
答案：A
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会用坐标表示平面向量共线的条件．
2．能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．
1．两个向量平行的坐标表示
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b?a1b2－a2b1＝0；
如果b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b ?＝，即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
注意：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．
自主思考1 如何判断共线的两个向量方向同向还是反向？
提示：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是：
当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．
自主思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标是，在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，猜想并证明△ABC的重心坐标公式？
证明：设G点的坐标为，
如图所示点D的坐标为，
又=，即
=，
解得=，=，
所以G点坐标为．
2.2向量的分解与向量的坐标运算
知识梳理
1.平面向量基本定理
如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝，a1e1+a2e2叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式.
2.直线的向量参数方程式
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t，使OP=(1-t)+t,这个等式又称为直线l的向量参数方程式.
3.向量的坐标
(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直.即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直.
(2)如果平面向量基底互相垂直，则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.
(3)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的向量e1、e2，对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底｛e1，e2｝下的坐标，即a=(a1,a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做向量a在y轴上的坐标分量.
(4)向量的坐标：设点A(x,y)，则=(x,y).符号(x, y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个点，又可以表示一个向量.因此要加以区分，在叙述中，就要指明点(x, y)或向量(x, y).
4.向量的坐标运算
(1)a=(x1,y1)，b=(x2,y2),
则a±b=(x1±x2,y1±y2)，即两个向量的和(差)的坐标，等于这两个向量的相应坐标的和(差)；
若λ∈R，则λa=(λx1,λy1)，即向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的积.
(2)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
5.两向量平行的坐标表示
设a=(a1,a2)，b =(b1,b2)，则a∥b a1b2-a2b1=0;
如果b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b=，即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例.
知识导学
1.学习本节要复习向量加法的运算法则和平行向量基本定理；
2.灵活、适当地选择一组平面向量基底是解决向量问题的关键；
3.在解决问题时，养成自觉画草图，结合图形来寻找解题思路，要重视数形结合思想的运用.
疑难突破
1.如何正确认识平面向量基本定理？
剖析:疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用,突破口是从定理的条件和结论来分析.
平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2(基底)的唯一线性组合形式 λ1e1+λ2e2.因此平面向量基本定理也是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好地掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.
2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？
剖析:很多同学对这两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法.
总起来看向量有两种表示方法：一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字(坐标)表示，称为代数法.那么相应地向量的运算也就分为图形上的几何运算(基向量法)和坐标下的代数运算(坐标法).这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.因此平面向量的解决思路有两种：基向量法和坐标法.
例如：已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
解:思路1：(基向量法)
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.∵e1和e2不共线,
∴∴k=±1.
思路2：设向量e1=(x1,y1),e2=(x2,y2),
∴ke1+e2=(kx1+x2,ky1+y2),
e1+ke2=(x1+kx2,y1+ky2).
∵ke1+e2和e1+ke2共线,
∴(kx1+x2)(y1+ky2)-(x1+kx2)(ky1+y2)=0.
∴(k2-1)(x1y2-x2y1)=0.
∵向量e1和e2不共线，
∴x1y2-x2y1≠0.
∴k2-1=0.
∴k=±1.
