1.1 任意角的概念与弧度制
典题精讲
例1 在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个属于区间(-360°，360°)内的角？
思路分析:本题主要考查对α=k·90°+45°,(k∈Z)所表示的角的认识.从代数角度看，取k=…，-2，-1，0，1，2，…，可以得α为…，-135°，-45°，45°，135°，225°，…；从图形角度看是以45°角为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，所得各角如图1-1-2所示.21教育网
图1-1-2
解:(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.分别是与45°、135°、225°、315°角终边相同的角.21世纪教育网版权所有
(2)令-360°＜k·90°+45°＜360°，得-＜k＜.
又∵k∈Z，∴k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.
∴属于区间(-360°，360°)的角共有8个.
绿色通道:把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，这样做会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的最重要的方法之一，做题时要注意自觉地应用.
变式训练 1 (经典回放)集合M={x|x=+,k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z},则有( )
A.M=N B.NM
C.MN D.M∩N=
思路解析:集合M是与、、、终边相同的角，连同这四个角组成的集合；N是与0、、、、π、、、终边相同的角，连同这八个角组成的集合.因此选项A、B、D均不正确，只有选项C正确.21cnjy.com
答案:C
变式训练 2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-2π≤β＜4π的元素β写出来.21·cn·jy·com
思路分析:先在［0,2π)范围内找出终边在直线y=x上的角，即可写出S；利用不等式求出k的值，即可写出β.www.21-cn-jy.com
解:如图1-1-3所示，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是，在［0,2π)范围内，终边在直线y=x上的角有两个：和.2·1·c·n·j·y
图1-1-3
所以终边在直线y=x上的角的集合为
S={β|β=2kπ+,k∈Z}∪
{β|β=2kπ+,k∈Z}
={β|β=2kπ+,k∈Z}∪
{β|β=(2k+1)π+,k∈Z}={β|β=kπ+,k∈Z}.
令-2π≤kπ+＜4π,
得k=-2,-1,0,1,2,3.
∴S中适合不等式-2π≤β＜4π的元素β是：
-2π+=-，-π+=-,0×π+=,π+=,2π+=,3π+=.
例2 如图1-1-4所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要经过几秒钟才能把物体W的位置向上提升100厘米？【来源：21·世纪·教育·网】
图1-1-4
思路分析:考查弧长公式以及应用数学知识解决实际问题的能力.轮子按逆时针方向旋转，A点转过的弧的长等于B点上升到B′时的距离.这是本题中潜藏的等量关系.
解:当BB′=100厘米时，的长为100厘米，所对的圆心角∠AOA′==.因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过的弧度数是=，则t秒转过的弧度数为t.故t=，解得t=≈4(秒).21·世纪*教育网
所以经过4秒钟才能把物体W的位置向上提升100厘米.
绿色通道:在实际生活中，滑轮是一种重要的省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上的点转过的弧长与跟它连接的绳索上的点移动的距离是相等的，在分析中要注意图形的作用，数形结合是解决此类问题的有效办法.www-2-1-cnjy-com
变式训练 如图1-1-5所示，已知单位圆上一点A(1，0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过弧度数是θ(0＜θ≤π)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，则θ的弧度数是___________________.2-1-c-n-j-y
图1-1-5
思路解析:因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜，即＜θ＜.由14θ=2kπ(k∈Z)，可得θ=(k∈Z)，所以＜＜，即＜k＜.所以k=4或5，则θ=或.21*cnjy*com
答案:或
例3 已知扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积取最大值？
思路分析:本题考查扇形面积公式、最值等知识，以及分析问题和解决问题的能力.建立周长与圆心角、半径、弧长、面积之间的关系，转化为求二次函数的最值.
解:设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的面积为S.
由题意，得l+2r=20，则l=20-2r.由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr.
∴＜r＜10.∴S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25(＜r＜10).
∴当r=5时，S取最大值25，此时l=10，α==2,
即当扇形的圆心角为2时，扇形的面积取最大值25.
绿色通道:当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积表示为半径的二次函数，转化为求二次函数的最值.但要注意扇形的弧长和半径的取值范围.
变式训练 已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？
思路分析:把周长表示为半径的函数，利用函数的单调性求最值.
解:设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的周长为y，则y=l+2r.
由题意,得lr=25，则l=.∴y=+2r(r＞0).
利用函数单调性的定义可以证明：当0＜r≤5时，函数y=+2r是减函数；当r＞5时，
函数y=+2r是增函数.∴当r=5时，y取最小值20，此时l=10，α==2.
故当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值20.
问题探究
问题1 根据α的象限，如何确定所在的象限(n＞1,n∈N*)？
导思:这类问题有两种方法：不等式法和八卦图法.
探究:方法一：(不等式法)下面以α为第一象限的角，确定所在的象限为例.
∵α是第一象限角，∴α可以表示为k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z.
∴k·180°＜＜k·180°+45°.
当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，
即当α是第一象限角时，是第一象限角或第三象限角.
同理，可得当α为其他象限角时，的终边所在象限：
当α是第二象限角，是第一象限角或第三象限角；
当α是第三象限角，是第二象限角或第四象限角；
当α是第四象限角，是第二象限角或第四象限角.
方法二：(八卦图法)以确定所在的象限为例.
如图1-1-6所示，作出各个象限的平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域就是α为第几象限角时终边落在的区域，于是所在象限可以直观地看出来，这种方法称为八卦图法，它的优点是直观形象，特别是它还能清晰地显现的更具体范围.
由图1-1-6可得：
当α是第一象限角时，是第一象限角或第三象限角；
当α是第二象限角时，是第一象限角或第三象限角；
当α是第三象限角时，是第二象限角或第四象限角；
当α是第四象限角时，是第二象限角或第四象限角.
图1-1-6 图1-1-7
图1-1-8
以上两种方法还适用于确定、、…、的终边所在象限，图1-1-7是用八卦图法确定的终边所在象限.作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域.从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域就是α为第几象限角时终边落在的区域，于是所在的象限就可根据图形直观地看出来了.一般地，要确定所在的象限，就需要n等分每个象限.
对于，还有如下的简便作法：首先在直角坐标系中画出α的终边，然后将其与x轴正半轴所成的两个角分别平分，平分线所在象限即的终边所在象限.如图1-1-8所示，α是第二象限角，则的终边在第一、三象限.这种方法称为直接平分法.
问题2 若α、β的终边关于坐标轴、原点对称，则α、β的大小有何关系？
导思:这类题目的解决策略是由特殊到一般，先将α、β的范围限制在［0,360°)内，再推广到任意角.
探究:在平面直角坐标系中，画出终边关于y轴对称的α、β，以终边所代表的最小正角为例，可得α+β=180°或α+β=360°+180°，推广到任意角有α+β=k·360°+180°，即终边关于y轴对称的α、β的大小关系为α+β=k·360°+180°,k∈Z.
同理，可得：
当α、β的终边关于x轴对称时，则α+β=k·360°,k∈Z；
当α、β的终边关于坐标原点对称时，则β-α=k·360°+180°,k∈Z；
当α、β的终边互相垂直时，则β-α=k·360°±90°,k∈Z.
1.2 任意角的三角函数
典题精讲
例1 已知角α的终边经过点P(3，4)，求角α的六个三角函数值；
思路分析:本题考查三角函数的定义.分别写出x,y,r的值，应用定义求得.
解:由题意知x=3，y=4，得r==5.∴sinα==，cosα==，tanα==，cotα==，secα==，cscα==.www.21-cn-jy.com
绿色通道:如果已知角的终边上的点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解.
变式训练 1 若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|=，则m-n等于( )21*cnjy*com
A.2 B.-2 C.4 D.-4
思路解析:因为sinα＜0，所以角α的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上.y=3x经过第一象限和第三象限，所以角α的终边在第三象限.可得m＜0，n＜0.又因为P(m，n)在直线y=3x上，所以满足n=3m；同时|OP|=10，可得m2+n2=10.解方程组得或(舍去).所以m-n=-1-(-3)=2.21教育网
答案:A
变式训练 2 已知角α的终边经过点P(3，4t)，且sin(π-α)=-，则t=________________.
思路解析:应用三角函数的定义求解.由题意得t＜0,sinα=，所以有=-,解方程得t=-.
答案:-
变式训练 3 已知角α的终边经过点P(3t，4t)，t≠0，求角α的六个三角函数值.
思路分析:应用三角函数的定义.
解:由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t＞0时，r=5t.
因此sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，secα=，cscα=；
当t＜0时，r=-5t.
因此sinα=-，cosα=-，tanα=-，cotα=-，secα=-，cscα=-.
例2 已知cosα=，且角α是第四象限角，求sinα和tanα.
思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和三角函数值的符号.α是第四象限角，于是可利用平方关系式求出sinα，进而利用商数关系式求出tanα.2-1-c-n-j-y
解:∵cosα=，且α是第四象限角，
∴sinα=-=-=-.
∴tanα===-.
绿色通道:已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用sin2α+cos2α=1求出另一弦函数值，再利用tanα=求出切函数值.【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练 1 已知sin(π+α)=-，那么cosα的值为( )
A.± B. C. D.±
思路解析:由已知得sinα=，所以cosα=±=±.
答案:D
变式训练 2 已知tanα=2，求sinα和cosα的值.
思路分析:应用方程的思想，列方程组求得.
解:由题意得
解之，得
或sinα=
变式训练 3 已知θ∈［0，2π)，而sinθ、cosθ是关于x的方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.
思路分析:利用一元二次方程根与系数的关系，得到sinθ、cosθ与k的关系式，再结合平方关系式，就可建立k的方程，求出k之后再计算θ的值.
解:由题意得Δ=k2-4(k+1)≥0，解得k≤2-或k≥2+.
∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，
∴
∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，
∴k2=1+2(k+1)，即k2-2k-3=0.
∴k=-1或k=3(舍去).
解方程组
得或
∵θ∈［0，2π)，∴θ=π或θ=.
例3 (2006河南新乡第四次调研卷，文2)已知tanα=2，则的值为( )
A. B. C.3 D.5
思路解析:考查同角三角函数基本关系式的应用.
∵tanα=2，∴cosα≠0.
∴==3.
答案:C
绿色通道:(1)已知tanα=m，求关于sinα、cosα的齐次式之值的问题，需注意以下几点：
①解决此类问题的策略是先化简再求值(用tanα来表示)；
②一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；
③因为cosα≠0，可用cosnα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα=m的值，从而完成求值任务；
(2)形如或的分式，分子、分母同时除以cosα、cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)同角三角函数基本关系式的应用：化简三角函数式.
黑色陷阱:如果先求出sinα和cosα的值，那么运算量会很大，问题就会变得很烦琐.
变式训练 1 (2006河南新乡第四次调研卷，理2)已知tanα=，π＜α＜，则cosα-sinα的值为( )21cnjy.com
A.- B. C. D.
思路解析:求出α的值，即可得解.∵tanα=，π＜α＜，∴α=.
∴cosα-sinα=cos-sin=.
答案:C
变式训练 2 已知tanα=3，求sin2α+4sinαcosα-2cos2α的值.
思路分析:先化简再求值.
解:原式=
=
==.
例4 若sinθtanθ＜0，则θ在( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
思路解析:考查三角函数值的符号.思路1：
∵sinθtanθ＜0，∴sinθ＞0，tanθ＜0或sinθ＞0，tanθ＜0.当sinθ＜0，tanθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，tanθ＞0时，θ在第三象限.综上可知θ在第二、三象限.
思路2：sinθtanθ＜0＜0cosθ＜0，θ在第二、三象限.
答案:D
绿色通道:已知同角的某两个三角函数积或商的符号，可通过分类讨论来确定此角所在的象限；还可以把已知两个三角函数积或商的符号化归为此角的另一个三角函数值的符号后，再判断此角所在的象限.此种类型的题目要用三角函数值的符号来解决.
变式训练 1 (2006江苏徐州一模，2)若θ是第一或第四象限角,则有( )
A.＜0 B.＞0
C.＞0 D.＜0
思路解析:考查三角函数值的符号.思路1：当θ在第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，tanθ＞0，排除A、D；当θ在第四象限时，sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0，排除C；思路2：∵θ是第一或第四象限角，∴cosθ＞0，sinθ的符号不确定.又∵=cosθ，=，∴仅有＞0.21·cn·jy·com
答案:B
变式训练 2 已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则|tan|等于( )
A.tan B.-tan C.±tan D.
思路解析:由于点P在第三象限，则tanα＜0,cosα＜0，所以α的终边在第二象限，则在第一、三象限，|tan|=tan.2·1·c·n·j·y
答案:A
问题探究
问题1 三角函数式的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数式的化简与证明有哪些常用方法？
导思:探究思路是明确什么是三角函数式的化简与证明.
探究:三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.而三角函数的证明是证明等式两边相等，它是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些.21世纪教育网版权所有
化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.【来源：21·世纪·教育·网】
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：www-2-1-cnjy-com
(1)直接法：从不等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；【出处：21教育名师】
(2)综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想；
(3)中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子.其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；【版权所有：21教育】
(4)分析法：即从结论出发，逐步推向已知条件.其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立.21教育名师原创作品
例如：求证=.
证法一：(分析法)
要证明原等式成立，只需cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα)成立，
即cos2α=1-sin2α,sin2α+cos2α=1,
上式显然成立，故原等式成立.
证法二：(综合法)
∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=1-sin2α.
∴cosα·cosα=(1+sinα)(1-sinα).
∴=.
证法三：(直接法)
左边=====右边.
∴原等式成立.
证法四：(中间量法)
左边=,
右边=.
∵左边=右边，∴原等式成立.
三角恒等式的证明的关键是选择适当的证明方法，而三角函数式的化简的关键是选择适当的变形手段.
问题2 sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间有什么关系？
导思:这三个三角函数式都含有sinα和cosα，因此探究思路是从sinα和cosα的关系式sin2α+cos2α=1开始讨论.21·世纪*教育网
探究:∵sin2α+cos2α=1，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα.
∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα.
同理，可得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.
∴(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2，
sinαcosα=(sinα+cosα)2-=-(sinα-cosα)2.
∴sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视.21*cnjy*com
例如：已知sinθ+cosθ=，θ∈(0,π)，求sin2θ-cos2θ的值.
思路分析:由sinθ+cosθ的值求出sinθ-cosθ的值，从而求得sin2θ-cos2θ的值.
解:∵sinθ+cosθ=，
∴sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2-=×-=-＜0.
∴sinθ和cosθ的符号相反.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈(,π).
∴sinθ＞0,cosθ＜0.∴sinθ-cosθ＞0.
∴sinθ-cosθ===.
∴sin2θ-cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=×=.
又如：已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα-sinα的值是______________.
思路解析:利用三角函数线可得：当＜α＜时，cosα＜sinα，则cosα-sinα==-.
答案:-
1.3 三角函数的图象与性质
典题精讲
例1 已知函数y=3sin(x-)，
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
(3)求此函数的周期、振幅、初相；
(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.
思路解析:本题考查三角函数的图象与性质.五点法画函数y=3sin(x-)的图象时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ=0，，π，，2π来确定对应x的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.21cnjy.com
答案:(1)列表：
x-
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描点：在直角坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，-3)，(，0).21教育名师原创作品
连线：将所得五点法用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图1-3-2所示.
图1-3-2
这样就得到了函数y=3sin(x-)在一个周期内的图象，再将这部分向左或向右平移4kπ(k∈Z)得函数y=3sin(x-)的图象.
(2)方法一：(相位变换在周期变换的前面)
①把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象；
②把y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象；
③将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象.
方法二：(周期变换在平移变换的前面)
①把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin()的图象；
②把y=sin()的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin(-)的图象；21世纪教育网版权所有
③将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象.
(3)周期T===4π，振幅A=3，初相是-.
(4)令x-=+kπ，解得x=+2kπ，k∈Z，
即函数的对称轴是直线x=+2kπ(k∈Z).
令x-=kπ，解得x=2kπ+，k∈Z，
即对称中心为(+2kπ，0)(k∈Z).
令-+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z，
解得-+4kπ≤x≤+4kπ，
即函数的单调递增区间为［-+4kπ，+4kπ］(k∈Z).
绿色通道:(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)，应明确A、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x的变化，向左或向右平移||个单位；
(2)画y=Asin(ωx+φ)的图象常用五点法和变换法；
(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=
进行求周期，有时还利用图象法求周期；
(4)对于函数y=Asin(ωx+φ)+b的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx来讨论，问题自然就迎刃而解.
变式训练 1 (2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间［-,］上的最小值是-2，则ω的最小值等于( )21·cn·jy·com
A. B. C.2 D.3
思路解析:思路一：根据函数f(x)=2sinωx(ω＞0)
图象的大致位置可得≤,又T=，所以有2ω≥3，即ω≥.
思路二：(代入验证法)当ω=时，f(x)=2sin(x)，画图象得在区间［-,］上的最小值是f(-)=2sin(-)＞-2，故排除A项；当ω=时，f(x)=2sin(x)，画图象得在区间［-,］上的最小值是f(-)=-2，故排除C、D两项.
答案:B
变式训练 2 (2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图象的一部分是图1-3-3的是( )
图1-3-3
A.y=sin(x+) B.y=sin(2x-)
C.y=cos(4x-) D.y=cos(2x-)
思路解析:从图象看出，T=+=，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2.∴排除A、C两项；∵图象过点(-，0)，代入B项，有f(-)=sin(--)=-1≠0
.∴排除B.
答案:D
变式训练 3 (2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx的图象，只需将函数y=2sin(2x+)的图象上所有的点的( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
思路解析:由于y=cosx=sin(x+)，则将函数y=sin(2x+)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得函数y=sin(x+)的图象；再将函数y=sin(x+)的图象向左平行移动个单位长度得到函数y=sin(x+)，即函数y=cosx的图象.2·1·c·n·j·y
答案:C
变式训练 4 (2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ；
(2)求函数y=f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.
思路分析:主要考查三角函数图象及性质，以及推理和运算能力.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值.
解:(1)∵x=是函数y=f(x)图象的对称轴，
∴sin(2×+φ)=±1.
∴+φ=kπ+,k∈Z.
∴φ=kπ+,k∈Z.
∵-π＜φ＜0，
∴-π＜kπ+＜0.
∴-＜k＜-∴k=-1.
∴φ=-.
(2)由(1)知y=sin(2x-).
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z，
∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z，
即函数y=sin(2x-)的单调递增区间是［kπ+,kπ+］(k∈Z).
(3)由y=sin(2x-)知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象如图1-3-4所示.
图1-3-4
例2 已知sinα=-，α∈［0，2π］，求角α.
思路分析:考查由已知三角函数值求角.由正弦函数的图象可知在区间［0，2π］内符合条件的角有两个.
解:∵sinα=-＜0，
∴α是第三或第四象限角.
又∵α∈［0，2π］，
∴在区间(π，)和(，2π)内各有一个符合题意的角.
∵0＜arcsin＜，∴π＜π+arcsin＜，＜2π-arcsin＜2π.
∵sin(π+arcsin)=-sin(arcsin)=-，
sin(2π-arcsin)=-sin(arcsin)=-，
∴α=π+arcsin或2π-arcsin.
绿色通道:由已知三角函数值求角，所得的解可能不是唯一的.一般地说，在0—2π内有两个角(特殊情况，若是象限界角，可能只对应一个角)，其解法步骤：
(1)由已知三角函数值的符号，确定α所在象限；
(2)先求出与其函数值的绝对值对应的锐角α1，再根据α所在象限，得出0—2π的角；
(3)写出所求角的大小.
黑色陷阱:书写所求的角时，不要将弧度与角度混在一起写，如180°-,π+40°的写法都是错误的.
变式训练 A为△ABC的内角，且满足sinA=，求角A的值.
思路分析:由角A的范围和三角函数值来确定.
解:∵A为△ABC的内角，
∴0＜A＜π.
由正弦函数的图象知，在(0,π)内有两个角和的正弦值等于，
∴A=或.
例3 (2006浙江金华一模设)x∈(0，π)，则sin+的最小值是__________________.
思路解析:本题考查三角函数的值域和函数的最值.利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t，∵x∈(0,π),∴0＜t≤1.∴+=+.可以证明当0＜t≤1时，函数y=+是减函数.∴当t=1时，y取最小值，即+的最小值是.
答案:
绿色通道:求三角函数最值的方法是换元法，化归为求常见函数的最值.
变式训练 设a＞0，对于函数f(x)=(0＜x＜π)，下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
思路解析:利用换元法.令t=sinx，0＜x＜π,则t∈(0,1］，那么函数f(x)=(0＜x＜π)的值域为函数y=1+,t∈(0,1］的值域，又a＞0，可以证明y=1+,t∈(0,1］是减函减，所以函数f(x)有最小值而无最大值.21教育网
答案:B
例4 已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)是周期函数.
思路分析:考查周期函数的定义.只需找到一个非零实数T，满足f(x+T)=f(x).
解:令x-2=t，则x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2)，
得f(t)=f［(t+2)+2］=f(t+4).
∴f(t)=f(t+4).
∴f(x+4)=f(x).
∴函数y=f(x)是周期函数，4是一个周期.
绿色通道:证明周期函数最常用的是定义法，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立，其难点是如何找到T，要想能够找到T，需靠平时经验的积累.而此类问题中常结合换元法共同解决.www.21-cn-jy.com
变式训练 1 已知函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x，总有f(x)=f(x-1)+f(x+1)，求证：f(x)为周期函数.21·世纪*教育网
思路分析:周期函数的定义是证明一个函数为周期函数的重要方法，证明的关键是依据题设条件找到定义中的不为零的常数T.21*cnjy*com
解:由题意得：对任意实数x，有
f(x+2)=f(x+1)+f(x+3)=［f(x)+f(x+2)］+f(x+3).
∴f(x+3)+f(x)=0.
∴f(x+3)=-f(x).
∴f(x+6)=f［(x+3)+3］=-［f(x+3)］=-［-f(x)］=f(x).
∴f(x+6)=f(x).
∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期.
变式训练 2 (2006山东高考卷，理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )www-2-1-cnjy-com
A.-1 B.0 C.1 D.2
思路解析:∵f(x+2)=-f(x)，∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.∴f(6)=f(4+2)=f(2).
又f(2)=f(0+2)=-f(0)，∴f(6)=-f(0).
又∵f(-0)=-f(0)，∴f(0)=0.∴f(6)=0.
答案:B
问题探究
问题1 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，那么具备什么特征的函数是周期函数？所有周期函数都有最小正周期吗？2-1-c-n-j-y
导思:探究思路是从周期函数的定义和图象的特点上分析的.
探究:对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说f(x)是周期函数.例如函数f(x)=x2-2x，f(-1+4)=f(-1)=3，但是f(1+4)=15≠f(1)=-1，所以函数f(x)=x2-2x不是周期函数.【来源：21cnj*y.co*m】
那么具备什么特征的函数是周期函数呢？这要从周期函数的定义来分析：只要存在非零常数T，对定义域中的每一个x值总有f(x+T)=f(x)成立，就称函数y=f(x)是周期函数.T就是函数的一个周期；从周期函数的图象上来分析：如果函数的图象每隔“一段”重复出现，那么这个函数就是周期函数.【版权所有：21教育】
要注意：从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+)］=f(2x)，则是f(x)的周期.
对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)=f(x)，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以此函数f(x)没有最小正周期.
再如狄利克莱函数：
D(x)=
设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，就是说D(x)与D(x+r)或者同时等于1或者同时等于0，因此总有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期.
对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，就是说，周期函数的定义域一定无上界也无下界.
问题2 在学习正切函数性质时，与正弦、余弦函数对比，要注意些什么问题？
导思:探究思路1：分析定义域；探究思路2：分析图象；探究思路3：分析图象的画法；探究思路4：分析定义.
探究:正切函数y=tanx，其定义域不是R，而是x≠kπ+(k∈Z)，值域不是［-1,1］，而是R.又正切函数与正弦、余弦函数的定义不同，因此一些性质与正弦、余弦函数的性质有了较大的差别.如正弦、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正弦、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在其定义域上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+(k∈Z)，图象被这些渐近线分割开来；正余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数仅有单调递增区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)，没有单调递减区间.
同作为三角函数，它们也存在许多相同点：如均为周期函数，且对y=Atan(ωx+φ)(ω＞0)而言，T=,y=tanx是奇函数，它的图象既可以用三角函数线作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为(kπ,0),(kπ+,1),(kπ-，-1),直线x=kπ+，直线x=kπ-(其中k∈Z)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到y=tanx在一个周期上的简图.
还需注意的是，对正弦、余弦函数的结论作一般的推广到正切函数，需论证后加以应用.例如y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|与y=tanx的周期却相同，均为π，再如y=sinωx+cosax的周期可用最小公倍数法求，而y=tanωx+cotax的周期用最小公倍数计算时不一定是最小正周期.函数y=Asin(ωx+φ)的周期是，而函数y=Atan(ωx+φ)的周期是.21*cnjy*com
问题3 观察正弦函数y=sinx的图象，你发现有什么对称性？并证明你的结论.
导思:探究思路是由特殊到一般，利用归纳推理，先归纳，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证明.也可以用计算机探究.
探究:观察正弦函数y=sinx的图象，发现正弦函数对称轴为直线x=±，±,±,…；对称中心为(0,0),(±π,0),(±2π,0),(±3π,0)，….由此可猜想正弦函数的对称轴为直线x=kπ+(k∈Z)，并且每条对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值；对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，并且正弦函数图象与x轴的交点均是正弦函数图象的对称中心.下面给出证明：
设点P(x,sinx)是正弦函数y=sinx的图象上任意一点，点P关于直线x=kπ+(k∈Z)的对称点M(2kπ+π-x,sinx),点P关于点(kπ,0)的对称点Q(2kπ-x,-sinx).
∵sin(2kπ+π-x)=sinx,sin(2kπ-x)=-sinx，
∴点M和点Q均在正弦函数y=sinx的图象上.
∴正弦函数对称轴为直线x=kπ+(k∈Z)；正弦函数对称中心为(kπ,0)(k∈Z).
∵sin(kπ+)=±1，∴对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值.
∵sin(kπ)=0，
∴正弦函数的图象与x轴的交点均是正弦函数的对称中心.
按同样方法可探索出以下结论：
余弦函数y=cosx图象的对称轴为x=kπ，并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是函数的最值.对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)，余弦函数的图象与x轴的交点均是余弦函数的对称中心.【出处：21教育名师】
正切函数y=tanx图象的对称中心为(,0)(k∈Z).不存在对称轴.
在具体问题中该如何求对称轴与对称中心？其解决的策略是整体思想.如正弦型函数y=Asin(ωx+φ)，求对称轴方程时，令ωx+φ=kπ+，即ωx+φ=kπ+，得x=，所以对称中心为(,0)，其中k∈Z，对于y=Acos(ωx+φ)与y=Atan(ωx+φ)同样可得.
例如：(2006湖北黄冈一模)下列函数中，图象关于直线x=对称的是( )
A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(2x+) D.y=sin(+)
思路解析:对称轴与正弦或余弦曲线的交点的纵坐标是它们的最值.当x=时，仅有选项B中的函数y=sin(2x-)取得最大值，f()=sin(-)=sin=1，故函数y=sin(2x-)关于直线x=对称.
答案:B
又例如：求函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标是__________________.
思路解析:利用整体策略.令2x+=(k∈Z)，得x=-，所以函数的对称中心坐标为(-,0)(k∈Z).
答案:(-,0)(k∈Z)
3.1 和角公式
典题精讲
例1 计算：.
思路分析:考查两角和与差的三角函数.10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简.
解:=
=.
绿色通道:本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：
(1)将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；
(2)化为正负相消的项，消项，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分求值；
(4)利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0，］内的三角函数；
(5)特别注意诱导公式±α的应用；
(6)化切函数为弦函数；
(7)善于逆用和变形三角函数的和差公式.
在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练1(2006陕西高考卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________________.2-1-c-n-j-y
思路解析:原式=
cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:-
变式训练2 求sincos-sinsin的值.
思路分析:观察分析这些角的联系，会发现=-，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sinπ9变为cos,进而用和差角的正余弦公式求解.
解:sincos-sin
sin=sincos-sin(-)sin
sincos-cossin
=sin(-)
=sin=.
例2(2006重庆高考卷，理13)已知α、β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则cos(α+)=________________.21教育网
思路解析:考查三角函数求值以及角的变换.利用α+=(α+β)-(β-)来求值.∵α、β∈(,π),∴(α+β)∈(,2π).【出处：21教育名师】
∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=.又(β-)∈(,)，∴cos(β-)=-.【版权所有：21教育】
∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］
=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)=(-)+(-)=-.
答案:-
绿色通道:本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在于三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β),α+2β=(α+β)+β等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.21教育名师原创作品
黑色陷阱:求解时如果将sin(α+β)和sin(β-)展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量会很大，会因解方程组而陷入困境.21*cnjy*com
变式训练1 已知cosα=,cos(α+β)=-,且α、β∈(0,),求cosβ的值.
思路分析:观察得β=(α+β)-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.
解:∵α、β∈(0，)，
∴0＜α+β＜π.
∵cosα=，cos(α+β)=-，
∴sinα=1-cos2α==，
sin(α+β)= =-=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=-×+×=.
∴cosβ=.
变式训练2 已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求cos(α-β)的值.
思路分析:由于cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos(α-β)的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方再相加,即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.21·cn·jy·com
解:∵(sinα+sinβ)2=,(cosα+cosβ)2=,
∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=，①
cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.②
①+②得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1，
∴2+2cos(α-β)=1.
∴cos(α-β)=-.
例3 已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=，求α+β.
思路分析:本题是考查两角和与差余弦公式的应用,及已知三角函数值求角的问题.要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.
解:∵α、β是锐角，
∴cosα===,
sinβ===.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=·-·=.
由于0＜α＜，0＜β＜，得到0＜α+β＜π,
∴α+β=.
绿色通道:本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数；若角的范围是(0,)，有时选正弦函数，有时选余弦函数；若角的范围是(-,)，选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.2·1·c·n·j·y
黑色陷阱:本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β有两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了.21·世纪*教育网
变式训练1 已知sinα=，sinβ=,且α、β均为钝角，求α+β的值.
思路分析:先求cos(α+β)的值，再确定α+β的值.
解:∵α和β均为钝角，
∴cosα=-=-,cosβ=-=-.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×(-)-×=.
由α和β均为钝角得π＜α+β＜2π，
∴α+β=.
变式训练2 已知tan(α-β)=，tanβ=-，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值.
思路分析:转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α.
解:∵tan(α-β)==，
∴=.∴tanα=.∴0＜tanα＜tan=1.
又∵α∈(0,π)，∴α∈(0,).
∴2α∈(0,).∵β∈(0,π)，tanβ=-，
∴β∈(,π).∴-π＜2α-β＜0.
∵tan(2α-β)=tan［(α-β)+α］===1＞0，
∴2α-β=-.
例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin(x+)-2cosx,x∈［,π］.
(1)若sinx=，求函数f(x)的值；
(2)求函数f(x)的值域.
思路分析:本题主要考查三角函数的性质和三角恒等变换.先将f(x)的解析式恒等变形，再解决其他问题.
解:(1)∵sinx=,x∈［,π］,∴cosx=-,
f(x)=2(sinx+cosx)-2cosx=sinx-cosx.
∴当sinx=时，函数f(x)=×-(-)=+.
(2)f(x)=2sin(x+)-2cosx
=sinx-cosx
=2sin(x-).
∵≤x≤π，∴≤x-≤5π[]6.
∴≤sin(x-)≤1.
∴函数f(x)的值域为［1,2］.
绿色通道:讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.21世纪教育网版权所有
变式训练1(2006广州二模，11)函数y=sin2x-cos2x的最大值是_________________.
思路解析:化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，则最大值为2.www.21-cn-jy.com
答案:2
变式训练2 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，
(1)若x∈R，求函数的最大值和最小值；
(2)若x∈［0，］，求函数的最大值和最小值.
思路分析:将sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.21*cnjy*com
解:(1)设t=sinx+cosx=sin(x+).
∵x∈R，∴-≤t≤.
则t2=1+2sinxcosx，∴2sinxcosx=t2-1.
∴y=t2+t+1=(t+)2+，-≤t≤.
∴当t=时，y取最大值3+；
当t=-时，y取最小值.∴ymax=3+，ymin=.
(2)若x∈［0，π2］，则t∈［1，］.
∴y∈［3，3+］，即ymax=3+,ymin=3.
问题探究
问题1(1)试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC的值:
①在等边三角形ABC中；②A=210°,B=120°,C=30°；③A=-150°,B=30°,C=-60°.
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.
(3)利用(2)的结论计算的值.
导思:从A+B+C的结果上归纳并猜想出结论.
探究:(1)①由题意得A=B=C=60°.
tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60°
=++-××=0；
②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30°
=+(-)+-×(-)×=0；
③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
=tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°)
=++(-)-××(-)=0.
(2)在(1)①中A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；21cnjy.com
在(1)②中A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；
在(1)③中A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；
猜想：当A+B+C=k·180°(k∈Z),A,B,C≠k·180°+90°时，
有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明：∵A+B+C=k·180°(k∈Z)，∴A+B=k·180°-C，
∴tan(A+B)=tan(k·180°-C)∴=tanC.
∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB).∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.www-2-1-cnjy-com
(3)∵10.2°+93.5°+76.3°=180°，
∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°.
∴=.
3.2 倍角公式和半角公式
典题精讲
例1 求下列各式的值：
(1)coscos；
(2)(cos-sin)(cos+sin)；
(3)-cos2；(4)-+cos215°.
思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.21教育网
解:(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；
(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；
(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=-；
(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.
绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.21cnjy.com
变式训练1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.21·cn·jy·com
解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°
=
=
=
==.
解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，
N=cos10°cos30°cos50°cos70°，
则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50° cos50°)(sin70° cos70°)
=sin20° sin60° sin100° sin140°
=cos10° cos30° cos50° cos70° =N，
∴M=，即sin10° sin30° sin50° sin70°=.
例2(2005江苏高考卷，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于( )
A.- B.- C. D.
思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=-.【来源：21·世纪·教育·网】
答案:A
绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.
变式训练1 已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4α的值.
思路分析:发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.www-2-1-cnjy-com
解:∵(+α)+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α).
∵sin(+α)sin(-α)= ，∴2sin(+α)cos(+α)=.
∴sin(+2α)=.
∴cos2α=.
又∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).
∴sin2α=-=-.∴sin4α=2sin2αcos2α=-.
变式训练2 设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于( )
A.- B.- C.- D.-
思路解析: 显然是的一半，可以直接应用公式.∵5π＜θ＜6π，∴＜＜3π，＜＜.
∴sin=-=-.
答案:D
例3(2006全国高考卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )
A.2π B.4π C. D.
思路解析:考查三角函数的周期性.将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x，则T==.21世纪教育网版权所有
答案:D
绿色通道:讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式.化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用公式T=得周期.2·1·c·n·j·y
变式训练(2006陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
思路分析:将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论周期和最值.
解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
=2［sin2(x-)-cos2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1，
∴T==π.
(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+(k∈Z).
∴x=kπ+，
即使函数f(x)取得最大值的x的集合为{x∈R|x=kπ+(k∈Z)}.
问题探究
问题1 试用tan表示sinα,cosα,tanα.
导思:看到α和，联想到α=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.
探究:可以由倍角公式直接获得
tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再将分子、分母同除以cos2可得：
sinα=2sincos==，
cosα=cos2-sin2=
=.
用tan来表示sinα、cosα和tanα的关系式如下：
sinα=，cosα=，
tanα=.
这三个公式统称为“万能公式”.其优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便，也为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.www.21-cn-jy.com
所谓的“万能”是指：不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式.这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.21·世纪*教育网
例1：求tan15°+cot15°的值.
解法一：tan15°=tan(45°-30°)===2-，
∴tan15°+cot15°=2-+=4.
解法二：tan15°+cot15°=+===4.
很明显解法二比解法一较方便地解决了问题，体现了万能公式的“万能”之处，值得我们借鉴.
例2:求函数y=的值域.
思路分析:先利用换元法，再利用判别式法求函数的值域.
解:令tan=t，则t∈R，
利用万能公式有sinx=，cosx=，
∴y==(t∈R).
整理得(2y+1)t2+2yt+2y-1=0.
当2y+1=0即y=-时，t=-1∈R.
∴y=-符合题意.
当2y+1≠0即y≠-时，关于t的一元二次方程(2y+1)t2+2yt+2y-1=0必有实数根.
∴Δ=4y2-4(2y+1)(2y-1)≥0.
解得-≤y≤，即此时-≤y≤且y≠-.
综上所得函数的值域是{y|-≤y≤}.
例3：(2005江西高考卷，文2 已知)tan=3,则cosα等于( )
A. B.- C. D.-
思路解析:cosα===-.
答案:B
问题2(1)观察代数式x2+y2=1，联想sin2α+cos2α=1，你发现了什么结论？
(2)利用(1)解答下面的问题：已知实数x,y满足x2+y2=1，求xy的最大值和最小值.
导思:如果两个实数的平方和等于1，那么这两个实数恰好是同一个角的正弦值和余弦值.
探究:(1)可得结论：当实数x,y满足x2+y2=1时，可换元为
x=cosα,y=sinα.
(2)设x=cosα,y=sinα,α∈R，
则有xy=sinαcosα=sin2α.
∵α∈R，∴-1≤sin2α≤1.
∴xy的最大值是，xy的最小值是-.
这种求最值的方法称为三角代换法.在高考中经常用到，我们要逐步学会应用.
例如：(2005重庆高考卷，文14)若x2+y2=4,则x-y的最大值是____________________.
思路解析:三角代换法.
∵x2+y2=4,
∴()2+()2=1.
∴可设=cosα,=sinα(α∈R)，
即x=2cosα,y=2sinα,
∴x-y=2cosα-2sinα=sin(-α).
∴x-y的最大值是.
答案:
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
典题精讲
例1 已知cosα-cosβ=，sinα-sinβ=-，求sin(α+β)的值.
思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan的值，再用万能公式求sin(α+β)的值.
解:∵cosα-cosβ=，∴-2sinsin=.①
∵sinα-sinβ=-，∴2cossin=-.②
①÷②得-tan=-.
∴tan=.
∴sin(α+β)===.
绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.21cnjy.com
黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1联立方程组，分别解得sinα,cosα,sinβ,cosβ的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境.
变式训练1 已知tanα、tanβ是方程x2+3x-4=0的两个根，求的值.
思路分析:利用根与系数的关系，得到tanα+tanβ和tanαtanβ，进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β，sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形.21世纪教育网版权所有
解:由韦达定理得tanα+tanβ=-3，tanαtanβ=-4.
∴=
===-.
变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.
思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx和cos4x组到一起，将cos2x和cos3x组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.www.21-cn-jy.com
解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos)=4coscosxcos.2·1·c·n·j·y
例2(2005重庆高考卷，文17)若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3，试确定常数a的值.【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(ωx+φ)的形式，再确定常数a的值.21·世纪*教育网
解:f(x)=+sinx+a2sin(x+)
=+sinx+a2sin(x+)=sinx+cosx+a2sin(x+)
=sin(x+)+a2sin(x+)=(+a2)sin(x+).
∵f(x)的最大值为+3,sin(x+)的最大值为1，∴+a2=+3.∴a=±.
绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为
y=Asin(ωx+φ)的形式求解，有时化归为二次函数求解.
变式训练 求函数y=cos3x·cosx的最值.
思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值.www-2-1-cnjy-com
解:y=cos3x·cosx
=(cos4x+cos2x)
=(2cos22x-1+cos2x)
=cos22x+cos2x-=(cos2x+)2-.
∵cos2x∈［-1，1］，
∴当cos2x=-时，y取得最小值-；
当cos2x=1时，y取得最大值1，
即函数y=cos3x·cosx的最大值是1，最小值是-.
问题探究
问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sinsinsin的值.
①在等边三角形ABC中；②A=60°,B=90°,C=30°；③A=120°,B=30°,C=30°.
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.
(3)利用(2)的结论计算-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值.21·cn·jy·com
导思:从A+B+C上归纳并猜想出结论.
探究:(1)①由题意得A=B=C=60°，
cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30°2-1-c-n-j-y
=++-4×××=1;
②cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60°+cos90°+cos30°-4sin30°sin45°sin15°21*cnjy*com
=+0+-4×××=1；
③cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos120°+cos30°+cos30°-4sin60°sin15°sin15°【来源：21cnj*y.co*m】
=-++-4×sin215°
=-+-×(1-cos30°)=1.
(2)在(1)①中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1；
在(1)②中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1；
在(1)③中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1.
猜想：当A+B+C=180°时，有cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin.
证明：当A+B+C=180°时，有A+B=180°-C,即=90°-，
∴cosA+cosB+cosC=2coscos+1-2sin2
=2cos(90°-)cos+1-2sin2
=2sincos-2sin2+1
=2sin(cos-sin)+1
=2sin(cos-cos)+1
=2sin(-2)sinsin(-)+1
=4sinsinsin+1.
∴cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin.
(3)∵10°+99.8°+70.2°=180°，
∴cos10°+cos99.8°+cos70.2°-4sin5°sin49.9°sin35.1°=1.21教育网
∴-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°=-2.
2.1 向量的线性运算
典题精讲
例1 下列说法正确的是( )
A.∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
思路解析：考查向量的基本概念.∥包含的基线与的基线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；按定义零向量长度等于0，故C正确；共线向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.21cnjy.com
答案：C
绿色通道:熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.
变式训练 下列命题正确的是( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
思路解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，这与a与b不共线矛盾，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.21教育网
答案：C
例2(2006安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=__________________.(用a,b表示)www.21-cn-jy.com
思路解析:考查向量的线性运算.由=3,得4=3=3(a+b)，即=(a+b).又=a+b，所以=-a+b.2·1·c·n·j·y
答案:-a+4b
绿色通道:用已知向量表示未知向量时，通常是结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当选择向量的加法、减法和数乘运算.【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练1 若M是△ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是( )
A. B.
C. D.3
思路解析：设D、E、F分别为三边中点，根据点M是△ABC的重心，=()=()=0，而零向量与任何向量都共线，所以与共线.21世纪教育网版权所有
答案：C
变式训练 2 如图2-1-4，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，求.
图2-1-4
思路分析：所给图形是平行四边形，为了应用图形的性质，将向量、、、都转化到四条边上来，由向量加法的三角形法则得，，于是根据BA与CD互为相反向量的关系可得结论.21·世纪*教育网
解：因为，，，所以，.所以=a-b+c.
问题探究
问题 课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗？或许你会认为，这还需要理由吗，这是“显然”成立的.到底这种“显然”是否正确，如何逻辑地说明这个问题？www-2-1-cnjy-com
导思:判断作出的向量是否相等，主要从相等向量的定义上来分析.
探究:如图2-1-5，在平面内任取一点A，以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b.再任取一点A′,以A′为始点依次作向量=a，=b，连结向量.21·cn·jy·com
图2-1-5
∵=a，∴四边形AA′B′B为平行四边形.
∴AA′∥BB′,且AA′=BB′.
∵=b，
∴四边形BB′C′C为平行四边形.
∴BB′∥CC′且BB′=CC′.
∴AA′∥CC′,且AA′=CC′,
即四边形AA′C′C为平行四边形，
∴AC∥A′C′,且AC=A′C′.
又∵与方向相同，∴=.
故选择不同的始点作出的向量和都相等,于是你所认为的“显然”是正确的.
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
典题精讲
例1 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线.21世纪教育网版权所有
思路分析:考查平面向量共线的条件及其应用.转化为证明向量∥.
解:依题意，知i=(1，0)，j=(0，1)，
则=(1，0)-2(0，1)=(1，-2)，
=(1，0)+m(0，1)=(1，m).
∵、共线，∴1×m-1×(-2)=0.
∴m=-2.即当m=-2时，A、B、C三点共线.
绿色通道:点共线问题通常化归为向量共线问题，坐标法实现了向量的代数化，运算时方便、简洁，因此坐标法是解决向量问题的重要方法.21·cn·jy·com
变式训练1(2005全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=(k,12)，=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=______________.www.21-cn-jy.com
思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.
答案：-
变式训练 2 已知向量a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为( )
A. B.- C. D.-
思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=(3，4)，b=(sinα,cosα)，所以3cosα=4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.2·1·c·n·j·y
答案:A
变式训练 3(2006山东临沂二模，理5)已知向量a=(8，x)，b=(x，1)，其中 x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为( )21·世纪*教育网
A.4 B.8 C.0 D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.
∵(a-2b)=(8-2x,x-2),(2a+b)=(16+x,x+1),
∴(8-2x)(x+1)-(x-2)(16+x)=0.
∴x=4或x=-5(舍去).
答案:A
例2 如图2-2-1所示，ABCD的两条对角线交于点M，且=a,=b,用a,b表示,,和.【来源：21·世纪·教育·网】
图2-2-1
思路分析：考查平面向量基本定理及其应用.把,,和放入三角形，利用三角形法则或平行四边形来解决.www-2-1-cnjy-com
解：∵=a+b,=a-b,
∴=-=-(a+b)=-a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
=-=-a+b.
绿色通道:用已知向量(通常是向量基底)表示其他向量时，尽量把未知向量放入相关的三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则来解决.要培养画图意识，自觉应用数形结合的思想方法找到解题思路.21*cnjy*com
变式训练 4(2006安徽高考卷，理14)在ABCD中，=a，=b，=3,M为BC的中点，则=___________.(用a,b表示)【来源：21cnj*y.co*m】
思路解析:把向量放在△AMN中，利用三角形法则转化为其他向量的线性表示. 如图2-2-2所示，由=3,得4=3AC，2-1-c-n-j-y
图2-2-2
即==(a+b).
在△ABM中，=a+b,
则==(a+b)-(a+b)=-a+b.
答案：-a+b
问题探究
问题 在几何中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？21教育网
导思:线段的两个端点和其上的一个点共线，由此转化为向量共线的问题.
探究:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，当=λ时，称点P分有向线段AB的比为λ.
∴+λ=0.
∴()+λ()=0.
∴=.
如图2-2-3所示，如果在直角坐标系中，设O为坐标原点，P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
图2-2-3
因为=λ,
所以+λ=0,
于是有()+λ()=0,
即(1+λ)=+λ.
所以=.
则有(x,y)==(,),
即,
所以P点的坐标为(,).
此公式就叫做线段的定比分点的坐标公式.特别是当λ=1,即点P是线段AB的中点时,点P的坐标为(,),此坐标又称为线段的中点坐标公式. 下面探讨其应用.
典题精讲
例1 设△ABC的重心(三条中线的交点)为G，并且A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求G的坐标.
思路分析:求出BC中点坐标，再利用定比分点的坐标公式得G的坐标.
解:设点G(x,y)，BC的中点为D，则
由题意，得,则
即
∴G的坐标是().
上面的结论称为三角形重心坐标公式，可以作为结论直接应用.
例2 已知M(2，7)和A(6，3)，若点P在直线MA上，且=，求点P的坐标.
思路分析：有三种思路：利用定比分点的坐标公式，利用线段的长度关系，待定系数法.
解法一：(利用定比分点的坐标公式)
设P(x,y),由定比分点坐标公式，得x==3,y==6,即P(3,6).
解法二：(利用两点间的距离公式)
设P(x,y),由题意得||=4||,||=||.
则有
解方程组，得即P(3，6).
解法三:设P(x,y),则=(2-x,7-y),=(x-6,y-3).
∵=,
∴(2-x,7-y)=(x-6,y-3).
∴
解方程组得 x=3,y=6,即P(3,6).
通过上面三种解法可见，利用定比分点的坐标公式解决有关的线段问题，非常方便、快捷，应引起我们的重视.21cnjy.com
2.3 平面向量的数量积
典题精讲
例1 (2006全国高考卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为( )21·世纪*教育网
A. B. C. D.
思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.
∵cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，
∴〈a，b〉=.
答案:C
绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：
(1)计算b·a，|a|，|b|；
(2)计算cos〈a，b〉；
(3)根据范围确定夹角的大小.
变式训练1 (2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.45° C.90° D.135°
思路解析:设a与b的夹角为θ，∵(a-b)·a=0，
∴ |a|2-b·a=0.∴b·a=1.
∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.
答案:B
变式训练 2 已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?
思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.
解：设a与b的夹角为θ，
∵a=(1，)，b=(+1，-1)，
∴a·b=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.
∴cosθ==.又∵0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是.
变式训练 3 已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.www-2-1-cnjy-com
思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.
解： ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，
∴(a+3b)·(7a-5b)=0.
∴7a2+16a·b-15b2=0.①
又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，
∴(a-4b)·(7a-2b)=0.
∴7a2-30a·b+8b2=0.②
①-②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.
代入①式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，
故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.
∴cos〈a，b〉===.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.
变式训练4 已知△ABC中，a=5，b=8，BC·CA=-20，试求∠C.有位同学求解如下：
解：如图2-3-5，∵||=a=5，||=b=8，
图2-3-5
∴cos∠C===-.
又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.
这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？
思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉，
而是∠C+〈，〉=180°，则cos〈，〉===-.
又∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉=120°.∴∠C=60°.
答案:这位同学的解答不正确，∠C=60°.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.21·cn·jy·com
例2 已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).
思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.
证法一：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
∴4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，
∴(a+b)⊥(a-b).
证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.【来源：21·世纪·教育·网】
图2-3-6
则有2a+b=，
a+2b=，
a+b=,a-b=，
∵|2a+b|=|a+2b|，
∴||=||.
∴△OMN是等腰三角形.
可证F是MN的中点.
∴OE⊥BA.∴⊥.
∴⊥.∴(a+b)⊥(a-b).
绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.21世纪教育网版权所有
变式训练 已知向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a+b).
思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.
证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，
图2-3-7
设=a,=b，则a-b=，a+b=.
∴||=||.
∴四边形OACB是菱形.
∴OC⊥BA.∴⊥，
即(a-b)⊥(a+b).
证法二：∵|a|=|b|，∴(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∵a、b均为非零向量，
∴a-b≠0，a+b≠0.
∴(a-b)⊥(a+b).
例3 (2004湖北高考，理19)如图2-3-8，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.
图2-3-8
思路分析:本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系法解决.www.21-cn-jy.com
解法一：(基向量法)
∵⊥，∴·=0.
∵=-，，，
∴·=()·()
=·-·-·+·
=-a2-··
=-a2-·()
=-a2+·
=-a2+·
=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
解法二：(坐标法)
如图2-3-9所示，以A为原点，以ＡＢ所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
图2-3-9
设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，
且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P(x,y),则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),
=(-c,b),=(-2x,-2y),
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵||2=x2+y2,∴x2+y2=a2.
∵cosθ==，
∴cx-by=a2cosθ.
∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.
绿色通道:解决向量问题的两种方法：(1)基向量法：选择不共线(最好垂直)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.21cnjy.com
变式训练 正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈，〉的值.
思路分析：最优解法为坐标法.
解法一：(坐标法)如图2-3-10所示.
图2-3-10
以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则有A(1，0)，C(0，1)，B(1，1)，
∴=(1，)，=(，1)，
故cos∠DOE===.
解法二：(基向量法)以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b，
则有|a|=|b|=1，〈a,b〉=，a·b=0.
∴+=+=a+b，
+=+=a+b.
∴||===，
||2===，
·=(a+b)(a+b)=a2+a·b+b2=1.
∴cos∠DOE==.
问题探究
问题 在直角坐标系中，将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？21教育网
导思:探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.
探究:如图2-3-11所示，在单位圆中，设=(a1，a2)，=(x，y)，
图2-3-11
∵⊥，且||=||=1，
∴有
整理得或
即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a2，a1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a2，-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.2·1·c·n·j·y
例如：求证：cos(α+90°)=-sinα，sin(α+90°)=cosα.
证明：设α的终边与单位圆交于点A，
则A(cosα，sinα)，所以=(cosα，sinα).
∴||=1，即是单位向量.
当按逆时针方向旋转90°后到，
则点B(cos(α+90°)，sin(α+90°))，
由结论可得B(-sinα，cosα).
∴(cos(α+90°)，sin(α+90°))=(-sinα，cosα).
∴cos(α+90°)=-sinα，sin(α+90°)=cosα.
2.4 向量的应用
典题精讲
例1 用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.www.21-cn-jy.com
解：已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：||2+||2=2||2+2||2.
证法一：如图2-4-1所示，设=a,=b，
图2-4-1
∴=a+b，=b-a.
∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2，
||2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.
∴||2+||2=2a2+2b2.
又∵2||2+2||2=2a2+2b2，
∴||2+||2=2||2+2||2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
图2-4-2
设A(0，0)、D(a，b)、B(c，0)，
∴
==(c，0)+(a，b)=(a+c，b)，
=
=(a，b)-(c，0)=(a-c，b).
∴||2=(c+a)2+b2，||2=(a-c)2+b2.
∴||2+||2=2a2+2c2+2b2.
又∵2||2+2||2=2||2+2||2=2a2+2c2+2b2，
∴||2+||2=2||2+2||2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
绿色通道:(1)向量法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种)，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜(建算译).
(2)平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.21·cn·jy·com
变式训练 如图2-4-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明EF∥BC.【来源：21·世纪·教育·网】
图2-4-3
思路分析:证明EF∥BC，转化为证明∥，选择向量基底或建立坐标系均可解决.
证法一：(基向量法)设=a，=b，则有=b-a.
∵∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb.
∵E为BD的中点，∴==(b-a).
∵F为AC的中点，
∴+=+()=()=()=(λb-a).
∴=(λb-a)-(b-a)=(λ-)b.
∴=［(λ-)·］.
∴∥.∴EF∥BC.
证法二：(坐标法)如图2-4-4所示，以BC为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0).2·1·c·n·j·y
图2-4-4
设A(a，b)，D(c，b)，C(d，0)，
∴E(，)，F(，).
∴=(，)-(，)=(，0)，=(d，0).
∵×0-d×0=0，
∴∥.∴EF∥BC.
例2 如图2-4-5，一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
图2-4-5
思路分析:考查向量在物理中的应用.船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.www-2-1-cnjy-com
解:设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b，2-1-c-n-j-y
∵|a|=2，|b|=2 ,a·b=0，
∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即||=4.
∵·=(a+b)·b=a·b+b2=4，
∴cos〈,〉===.
又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°，
即船的实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速度间的夹角为60°.
绿色通道:用向量法解决物理问题的步骤(类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤)：
(1)把物理问题中的量用向量来表示；
(2)将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；
(3)把结果还原为物理问题.
变式训练 如图2-4-6所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子的质量)21世纪教育网版权所有
图2-4-6
思路分析:由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模||和||.A和B处所受力的合力是10 N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.
解:由题意得四边形CEWF是矩形，
则有,
⊥，||=10，∠FCW=60°.
∴·=0.
∴||2=()2=||2+2·+||2.
∴||2+||2=100.
又∵·=0，〈，〉=60°，
∴·=·(+)=+·=.
∴cos〈，〉===.
∴||=||=5，||=5，
即A和B处所受力分别是5 N和5 N.
例3 (2006湖南高三百校第二次考试，文9)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ()，λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )21·世纪*教育网
A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
思路解析:本题主要考查向量的概念、运算与性质等基础知识，考查运用向量解决几何问题的能力.+λ(+)可以化为=λ(+)，所以∥(+).又+所在直线平分BC，所以AP所在直线也平分BC.所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:D
绿色通道:判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心(内心、外心、重心、垂心)的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.21教育网
变式训练1 在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( ).
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
思路解析:由·=0得AB⊥BC,又=,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.
答案:C
变式训练2 (2005全国高考卷Ⅰ，文12)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是三角形ABC的( )【出处：21教育名师】
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
思路解析:由·=·，得·-·=0，∴·(-)=0，即·=0.∴⊥.
同理，可证⊥,⊥.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.
答案:D
变式训练3 (2006辽宁高考卷，理12)设O(0，0),A(1，0),B(0，1),点P是线段AB上的一个动点,=λ,若·≥·,则实数λ的取值范围是( )
A.≤λ≤1 B.1-≤λ≤1 C. ≤λ≤1+ D.1-≤λ≤1+21cnjy.com
思路解析:∵=λ=(1-λ)+λ=(1-λ，λ)，=-=(1-λ)=(λ-1，1-λ)，=λ=(-λ，λ)，
∴·≥·(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)2λ2-4λ+1≤0.【版权所有：21教育】
∴1-≤λ≤1+.又∵点P是线段AB上的一个动点,∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1-≤λ≤1.21*cnjy*com
答案:B
问题探究
问题 (1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简||2+||2-2||·||cos〈，〉；21*cnjy*com
(2)在等边△ABC中，化简||2+||2-2||·||cos〈，〉；
(3)由(1)和(2)你发现了什么结论，并加以证明.
导思:探究思路是归纳、猜想、证明，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.
探究:(1)∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.
∴||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2+||2=||2.
(2)∵||2=||2=||2，
∴||2+||2-2||·||cos〈，〉
=||2+||2-||2=||2=||2.
(3)可发现如下结论：在△ABC中，有
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
可以用语言叙述：三角形任一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍.此结论又称为余弦定理.21教育名师原创作品
证明：如图2-4-7，在△ABC中，
有-=，
∴(-)2=，
∴+-2·=，
即||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
同理，可证||2+||2-2||·||
cos〈，〉=||2；
||2+||2-2||·||cos〈，〉=||2.
