2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂探究
探究一 与数量积有关命题的判断
两向量方向相同时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为 (或90°)，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线．
【例1】 已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|＝|a|·|b|?a∥b；
②a，b反向?a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；
④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为a·b＝|a|·|b|·cos θ，所以由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②中若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|．反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题；④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|．故命题④是假命题．
答案：C
探究二 求向量的正射影或数量积
向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负，也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角．因此在正确理解正射影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意“共起点”这一前提条件．
【例2】 如图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)在方向上的正射影．
解：(1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因为∥，且方向相反，
所以与的夹角是180°，
所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16．
(3)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6．
(4)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||cos 120°＝4×＝－2．
反思 两向量夹角的范围是[0°，180°]，当两向量平行时，夹角可能为0°(同向时)或180°(反向时)．若与的夹角为θ，则与的夹角是180°－θ．
探究三 向量数量积的性质
求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观地得出．
【例3】 已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解．
解：(1)因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
所以|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|
＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6．
又|a|＝3，|b|＝4，
所以|cos〈a，b〉|＝＝＝，
所以cos〈a，b〉＝±．
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或．
(2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，
所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为．
探究四 易错辨析
易错点：因未分清夹角而致误
【例4】 已知平面上三点A，B，C满足||＝6，||＝8，||＝10，则·＋·＋·的值等于( )
A．100 B．96 C．－100 D．－96
错解：由题意知AB⊥BC，·＋·＋·＝0＋8×10×＋6×10×＝100．选A．
错因分析：向量的夹角理解错误．
正解：由题意，可得连接A，B，C三点可构成直角三角形，且B＝90°．
所以·＋·＋·＝0＋·(＋)＝·＝－||2＝－100．
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
基础知识
基本能力
1．理解平面向量数量积的含义、物理意义及其几何意义．(重点)
2．掌握向量数量积的运算性质．(重点、难点)
1．能识别平面向量的数量积与向量投影的关系．(易错点)
2．能正确地利用数量积的运算性质解决与长度、夹角、垂直等有关的问题．(重点、难点)
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a，b(如下图所示)，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.
规定零向量与任意向量垂直．
【自主测试1】在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，则〈，〉＝__________，〈，〉＝__________.
答案：90° 135°
2．向量在轴上的正射影
(1)已知向量a和轴l(如下图所示)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)．该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则有al＝|a|cos θ.
(2)当θ为锐角时，al＞0；当θ为钝角时，al＜0；当θ＝0时，al＝|a|；当θ＝π时，al＝－|a|.
名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量；向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标，与向量a和轴l所成的角有关．
【自主测试2】已知|p|＝2，|q|＝3，且p与q的夹角θ为120°，则向量p在向量q方向上的数量为__________；向量q在向量p方向上的数量为__________．
解析：向量p在向量q方向上的数量为|p|cos θ＝2×cos 120°＝－1.同理，向量q在向量p方向上的数量为|q|cos θ＝3×cos 120°＝－.
答案：－1 －
3．向量的数量积(内积)
(1)定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)理解：两个向量的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．
【自主测试3】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3 B．－6 C．6 D．12
解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.
答案：B
4．向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是单位向量，则有：
(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥b ?a·b＝0，且a·b＝0?a⊥b；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
【自主测试4－1】若m·n≤0，则m与n的夹角θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案：C
【自主测试4－2】若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )
A． B． C． D．2
解析：a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.
答案：B
向量的数量积与实数的乘法的区别
剖析：(1)如果两个数a，b满足ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而a·b＝0可推导出以下四种可能：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)对于数量，有实数a，b，c满足ab＝ac，且a≠0?b＝c.但对于向量，这种推理不正确，即a·b＝a·c，且a≠0推不出b＝c.例如，|a|＝1，|b|＝，|c|＝，a与b的夹角为，a与c的夹角为0，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.
(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，不可混淆．
知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关．当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；当θ＝90°时，a·b＝0；当90°＜θ≤180°时，a·b＜0.
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的数量|b|cos θ的乘积．知道了数量积的几何意义，可以帮助大家正确认识向量的数量积．如：当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
题型一 求平面向量的数量积
【例题1】已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
分析：解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算．
解：(1)∵a∥b，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则a与b的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，a与b的夹角θ＝90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
a·b＝|a||b|cos 60°＝4×5×＝10.
反思(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，0°≤θ≤180°；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
(2)非零向量a和b，a⊥b?a·b＝0.
(3)非零向量a与b共线的充要条件是a·b＝±|a||b|.
题型二 求平面向量的夹角
【例题2】已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解．
解：(1)∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，
∴|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|＝6.
又∵|a|＝3，|b|＝4，
∴|cos〈a，b〉|＝＝＝，
∴cos〈a，b〉＝±.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为或.
(2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作平行四边形OACB，使||＝||，
∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，∴∠AOB＝，∠AOC＝∠AOB＝，即a与a＋b的夹角为.
反思求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ＝，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观．
题型三 求平面向量的模
【例题3】已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．
分析：利用向量数量积的公式及根与系数的关系求解．
解：∵a2＝4，∴|a|2＝4，∴|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，
得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，
则a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，解得|b|＝3.
反思利用向量的数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，主要利用b2＝b·b＝|b|2或|b|＝.
题型四 易错辨析
【例题4】已知|a|＝3，|b|＝4，且〈a，b〉＝60°，试求a在b方向上正射影的数量．
错解：根据正射影的定义可知所求数量为a·b，即a·b＝|a||b|cos 60°＝6.
错因分析：把a·b错误地理解成了a在b方向上正射影的数量，其实只有a·e才表示a在e方向上正射影的数量．
正解：根据正射影的定义，可知所求的数量为|a|cos 60°＝3×＝.
【例题5】已知在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝8，∠ACB＝60°，求·C.
错解：如图，因为||＝a＝5，||＝b＝8，∠ACB＝60°，所以·＝||·||·cos∠ACB＝5×8×cos 60°＝20.
错因分析：对向量的夹角理解有误，其实与的夹角应为120°.
正解：因为||＝a＝5，||＝b＝8，〈，〉＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以·＝||·||·cos〈，〉＝5×8×cos 120°＝－20.
1．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·等于( )
A．16 B．8 C．－16 D．－8
解析：∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴BA＝4，∠ABC＝45°.
∴·＝4×4×cos 45°＝16.
答案：A
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，〈a，b〉＝135°，则|b|＝( )
A．12 B．3 C．6 D．3
解析：∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝－12，
∴|b|＝＝6.
答案：C
3．在△ABC中，·＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：∵·＝||||cos A＜0，∴cos A＜0.
∴∠A是钝角．∴△ABC是钝角三角形．
答案：C
4．(2012·广东揭阳测试)如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则·(＋)的值为( )
A．－1 B．1
C． D．0
解析：·(＋)＝·(＋)＝·＝0，故选D．
答案：D
5．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的数量是__________．
解析：b在a上的数量是|b|cos 60°＝2×＝1.
答案：1
6．已知|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则a与b的夹角为__________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝10×12cos〈a，b〉＝－60，
∴cos〈a，b〉＝－.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴a与b的夹角为120°.
答案：120°
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂导学
三点剖析
一、平面向量的数量积
关于向量的数量积,注意:
(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;
(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;
(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;
(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“·”不能省略;
(6)当〈a,b〉为锐角时,a·b>0;当〈a,b〉为直角时,a·b=0;当〈a,b〉为钝角时,a·b<0;
(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功.
【例1】 已知|a|=4，|b|=5，且a与b的夹角为60°.
求：（1）a·b；（2）（a+b）2；
（3）（a-b）2；（4）a2-b2.
思路分析：利用两向量数量积公式a·b=|a||b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算.
解析:（1）a·b=|a||b|cosθ=4×5×cos60°=10.
（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=42-20+52=21.
（4）a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.
类题演练 1
已知|a|=4，|b|=5.当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
思路分析:确定夹角θ运用数量积的公式列式求解.
解:（1）a∥b.若a与b同向，则θ=0,a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.
若a与b反向，则θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时，θ=90°,a·b=|a||b|cos90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos30°=.
变式提升 1
在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求·.
思路分析:要求、,关键是确定与的夹角.
解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,所以直角边AB==2.
∴||=2,||=.
如图(2),与的夹角∠BAC=45°,
∴·=·(-)=-(·)
=-||||cos∠BAC=-2×cos45°=-2××=-4.
二、两向量的夹角
关于两向量的夹角,注意:
(1)已知两个非零向量a、b(如图所示),作=a,=b,则∠AOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)两向量夹角的范围是［0,π］,且〈a,b〉=〈b,a〉.
(3)当〈a,b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向.
【例2】 已知单位向量e1、e2的夹角为60°,求向量a=2 e1+ e2与b=2 e2-3 e1的夹角θ.
思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件.
解:∵e1·e2=|e1||e2|cos60°=cos60°=,
∴a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)=-6e12+e1·e2+2e22=.
又a2=(2 e1+e2)2=4 e12+4e1·e2+e22=7,
b2=(2e2-3e1)2=4 e22-12e1·e2+9e12=7.
∴|a|=|b|=,则cosθ==-,
又∵0≤θ≤π,∴θ=π.
类题演练 2
已知|a|=5，|b|=4，且a·b=-10，求a与b的夹角θ.
思路分析:用夹角公式,即数量积公式变形.
解:cosθ==-,又θ∈［0,π］,∴θ=.
变式提升 2
在△ABC中,=a,=b,且a·b>0,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°-∠B.
因为a·b=|a||b|cos(180°-B)=-|a||b|cosB>0,
所以cosB<0.
又因为B∈(0°,180°),所以角B为钝角.
所以△ABC为钝角三角形.
答案:C
温馨提示
此题主要考查两向量夹角的概念,应避免a·b=|a||b|cosB>0得cosB>0,进而得角B为锐角,从而无法确定,错选D.
三、向量在轴上的投影
这部分内容要注意:
(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1、A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).
(2)a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作a,a=|a|cosα.
(3)射影的坐标是数量,当α为锐角时,a为正值;当α为钝角时,a为负值;当α=0时,a=|a|;当α=π时,a=-|a|.
【例3】 已知轴l,如图:
(1)向量||=5,〈,l〉=60°,求在l上的正射影OAl;
(2)向量||=5,〈,l〉=120°,求在l上的正射影OBl.
思路分析：向量a在轴l上的正射影为al=|a|cosθ.
解:(1)OAl=5cos60°=5×=,
(2)OBl=5cos120°=5×(-)=.
类题演练 3
设a,b是两非零向量，λ是a在b方向上的投影，μ是b在a方向上的投影，若a与b的夹角为钝角，则（ ）
A.λ=μ＞0 B.λ=μ＜0
C.λ、μ∈(-∞,0) D.λ、μ∈（0，+∞）
解析：λ=|a|cosθ,μ=|b|cosθ,θ为钝角，
∴λ＜0,μ＜0.
而|a|与|b|不一定相等，故选C.
答案：C
变式提升 3
已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为( )
A. B.3 C.4 D.5
解析:由已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,又a·b=|a||b|cosθ,
所以cosθ=.
而a在b上投影为|a|cosθ=3×,故选A.
答案:A
温馨提示
向量a在向量b上的投影为|a|cosθ,应用公式时要分清|a|与|b|,不能套错公式.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
预习导航
课程目标
学习脉络
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．知道平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．
注意问题：(1)规定零向量与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图，在△ABC中，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．
(3)正射影在轴l上的坐标al是一个数量，当0≤θ<时，al>0；当θ=时，al=0；当<θ≤π时，al<0．
(4)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
(6)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°．注意三种特殊情况：当θ=0°时，a与b同向；当θ=90°时，a⊥b；当θ=180°时，a与b反向．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当θ=90°时，a·b=0；当90°<θ≤180°时，a·b<0．
(7)若a≠0，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，因为当a⊥b(b≠0)时，a·b＝0．
自主思考 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算在定义和表示方法上有何区别？
提示：(1)从定义上看：两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．
(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．
2.3.2 向量数量积的运算律
基础知识
基本能力
1．掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式．(重点)
2．理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．(难点、易错点)
1．能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明．(重点)
2．要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．(难点、易错点)
向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
a·b＝b·a
λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
【自主测试1】下列命题正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b|
B．a·b≠0?|a|＋|b|≠0
C．a·b＝0?|a||b|＝0
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
答案：D
【自主测试2】向量m和n满足|m|＝1，|n|＝，且m⊥(m－n)，则m与n夹角的大小为( )
A．30° B．45° C．75° D．135°
解析：设m与n的夹角为θ，则由m⊥(m－n)，知m·(m－n)＝0，即m2－m·n＝0，
∴m·n＝m2＝|m|2＝1，
∴cos θ＝＝＝，∴θ＝45°.
答案：B
【自主测试3】已知|a|＝4，|b|＝5，且a，b的夹角为60°.
求：(1)a2－b2；
(2)(2a＋3b)·(3a－2b)．
解：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9；
(2)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×16＋5×4×5cos 60°－6×25＝－4.
向量数量积的运算不满足结合律
剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，下面给出说明：
思路一：举反例．
如图所示，设＝a，＝b，＝c，且||＝1，||＝2，||＝3，〈，〉＝，〈，〉＝，则〈，〉＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，
b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝3.
∴(a·b)·c＝c，a·(b·c)＝3a.
很明显c＝3a不成立，
∴(a·b)·c＝a·(b·c )不成立．
故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析．
由于向量的数量积是实数，则设a·b＝λ，b·c＝μ.
则(a·b)·c＝λc，a·(b·c)＝μ a.
由于c，a是任意向量，则λc＝μa不一定成立．
故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
题型一 有关向量的数量积、模、垂直等的计算
【例题1】设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是( )
A．1 B．2 C． D．
解析：由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知，D为边BC的中点，将变形为(＋)，再利用数量积的运算律求解．
答案：A
反思求解本题时，要注意几何性质的应用，将向量进行适当转化，转化的目的是用上已知条件．
另外，求平面向量的数量积时，常用到以下结论：
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c.
【例题2】已知|a|＝1，|b|＝，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|.
分析：(1)根据数量积的定义求解；(2)利用关系式a2＝|a|2可使向量的长度与向量的数量积互相转化．
解：(1)∵a∥b，
∴a与b的夹角为0或π.
当a与b的夹角为0时，a·b＝|a|·|b|cos 0＝1××cos 0＝；
当a与b的夹角为π时，a·b＝|a|·|b|cos π＝1××(－1)＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos 60°＝12＋()2＋2×1××＝3＋.
故|a＋b|＝.
反思利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)|a±b|＝＝.
【例题3】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，若向量ka－b与a＋2b垂直，求k的值．
分析：由(ka－b)⊥(a＋2b)，得(ka－b)·(a＋2b)＝0，展开求解即可．
解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0.解得k＝，故若向量ka－b与向量a＋2b垂直，则k的值为.
反思(1)对数量积的运算律要熟练掌握．
(2)非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性质，对于解决平面几何图形中的垂直问题有很大帮助，应熟练掌握．
题型二 有关几何证明问题
【例题4】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高．
求证：AD，BE，CF相交于一点．
分析：解答本题可先设两条高交于一点，再利用向量的数量积证明第三条高也过此点．
证明：设BE，CF交于点H，设＝a，＝b，＝h，则＝h－a，＝h－b，＝b－a.
∵⊥，⊥，
∴(h－a)·b＝0，(h－b)·a＝0.
∴(h－a)·b＝(h－b)·a，
化简得h·(b－a)＝0.
∴⊥.
∴AH与AD重合，即AD，BE，CF相交于一点．
反思向量作为一种工具在解决几何问题时有着广泛的应用，几何问题向向量的转化是关键一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如向量的夹角与直线的夹角就不相同．
题型三 易错辨析
【例题5】已知O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状．
错解：由已知(－)·(＋－2)＝0，
可得(－)·[(－)＋(－)]＝0，即(－)·(＋)＝0，
∴＝或＝－，即||＝||，
∴△ABC为等腰三角形．
错因分析：误认为a·b＝0?a＝0或b＝0.实际上当a⊥b时，a·b＝0也成立．
正解：－＝＝－，
＋－2＝(－)＋(－)＝＋.
∵(－)·(＋－2)＝0，
∴(－A)·(＋)＝0.
由数量积的运算律可化为－＝0，
即＝，
即||2＝||2，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
1．有下面四个关系式：①0·0＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·b＝b·a；④0a＝0.其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：①错误，因为向量数量积的结果是数量而不是向量；②错误，因为向量数量积不满足结合律；③显然正确；④错误，因为实数与向量的积结果应是向量．
答案：D
2．如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
解析：选项A显然正确；
选项B中，＋＝，＋＝，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴⊥，∴选项B正确；
选项C中，－＝，－＝，
而⊥，∴选项C正确；
选项D中，·＝||||cos∠BAD，
·＝||||cos(π－∠BAD)
＝－||||cos∠BAD＝－·，
∴选项D错误．
答案：D
3．已知|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为60°，则|2a－b|＝__________.
答案：2
4．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：解析一：根据已知条件，知|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，从而可知a与b同向，c与a，b反向．
所以有a·b＋b·c＋c·a＝3×1×cos 0＋1×4×cos π＋4×3×cos π＝3－4－12＝－13.
解析二：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，所以a·b＋b·c＋c·a
＝
＝
＝＝－13.
答案：－13
5．在△ABC中，若·＝·＝·，求证：点O是△ABC的垂心．
证明：由·＝·，得·(－)＝0，
∴·＝0.
∴⊥，即OB⊥CA．
同理，OC⊥AB，OA⊥BC．
∴O为△ABC的垂心．
6．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
解：由已知条件得
∴
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，
设向量a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
故a与b的夹角为.
2.3.2 向量数量积的运算律
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的交换律和分配律
【例1】 已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°,求证:(a-b)⊥c.
证法一:∵|a|=|b|=|c|=1且a、b、c之间夹角均为120°,∴(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0.∴(a-b)⊥c.
证法二:如右图,设=a,=b,=c,
连结AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC,O为△ABC的中心,
∴OC⊥AB.
又∵=a-b,∴(a-b)⊥c.
各个击破
类题演练 1
若a、b、c为任意向量，m∈R,则下列等式不一定成立的是( )
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.m（a+b）=ma+mb
C.（a+b）·c=a·c+b·c
D.（a·b）c=a（b·c）
解析:A项是向量加法结合律.B项是向量数乘分配律.C项是向量数量积分配律.故A、B、C项均正确.D项中，（a·b）c表示与c共线的向量，a（b·c）表示与a共线的向量，而c与a一般不共线，∴（a·b）c≠a(b·c）.
故选D.
答案:D
变式提升 1
（2006湖南高考,理5） 已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )
A.［0,］ B.［,π］
C.［,］ D.［,π］
解析:据题意,x2+|a|x+a·b=0有实根,∴Δ=|a|2-4a·b≥0.
∴|a|2≥4a·b.
cosθ==.∴θ∈［,π］.
答案:B
二、向量的数量积的应用
【例2】 (本例是一组应用本节知识的题目)
1.（2006重庆高考,理7） 与向量a=(,),b=(,)的夹角相等,且模为1的向量是( )
A.()
B.()或()
C.()
D.()或()
解析：由题意知a与b垂直,设所求向量为m,则m与a或b所成角为45°或135°,排除A、C.
验证B或D中任一个值即可迅速得解.
答案:B
2.(2006重庆高考,文8) 已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若||=||,则与的夹角为( )
A.arccos() B.或arccos
C.arccos D.或π-arccos
解析:由||=||,得k=0或6.
∴=(-3,-4),=(4,-3)或=(4,3).
∴||=||=5.
又∵cos〈,〉=,代入坐标,
∴与的夹角为或π-arccos.
答案:D
3.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=4,|b|=2,求(1)|3a-4b|;(2)(a-b)·(a+2b).
解:(1)因为|3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2
=9×16-24×4×2×cos60°+16×4=16×7,
所以|3a-4b|=.
(2)(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=16+4×2×-2×4=12.
类题演练 2
已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为,求|a+b|、|a-b|的值.
思路分析:求向量的模的问题往往转化为求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模及数量积联系起来了.
解:因为a·b=|a||b|cosθ=1×1×cos=,
所以|a+b|=
.
同理,可得|a-b|==1.
变式提升 2
若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|,则α与β的夹角为_________.
解析一:如图所示,以α、β为邻边作出OACB,则=α+β,=α-β,又|α+β|=|α-β|,即平行四边形OACB的对角线长相等,所以OACB为矩形,所以α⊥β,即它们的夹角为90°.
解析二:因为|α+β|=|α-β|,
所以α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2,即α·β=0.
所以α⊥β,即α、β的夹角为90°.
答案:90°
温馨提示
向量问题的几何意义很重要.本题的解法一就是向量运算的几何解法,解法二则运用了向量数量积的代数运算.
2.3.2 向量数量积的运算律
课堂探究
探究一 向量数量积的计算
求平面向量的数量积时，常用到以下结论：
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2．
解：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝．
(2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2
＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2
＝－6＋－2＝－．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝＋e1·e2＋e2·e1＋
＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．
误区警示 利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2时，不要将式中的a·b写成|a||b|．
探究二 求向量的模
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝．
【例2】 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值．
分析：通过数量积a·b来探求已知条件|3a－2b|＝3与目标式|3a＋b|之间的关系．
解：因为|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2＝1．
又因为|3a－2b|＝3，所以(3a－2b)2＝9，
所以9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，
将|a|2＝|b|2＝1，代入有a·b＝，
而(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋6×＋1＝12，
所以|3a＋b|＝．
探究三 向量在几何中的应用
向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，将几何问题转化为向量问题是极其关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如，向量的夹角与直线的夹角．
【例3】 在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE．
证明：如图．
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=-＋·＋·
＝－＋||·||·＋||·||·
＝－＋||··||·＋||··||·
＝－＋＋＝0，
所以⊥，即AD⊥CE．
【例4】 △ABC三边长为a，b，c，以A为圆心，r为半径作圆，如图所示，PQ为直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值？
分析：由三角形法则构造与的数量积，然后转化为在实数范围内求最大值．
解：因为＝－，＋＝，
即＝－－＝－－，
所以·＝(－)·(－－)
＝－·＋·－＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·．
当与同向时，·最大且最大值为||·||＝ra．
即当与共线且同方向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．
探究五 易错辨析
易错点：向量与实数的混用
【例5】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．求a与b的夹角．
错解：由题意，得
即
①－②得46a·b＝23b2．
因为b≠0，所以a＝，
把它代入②得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°．
错因分析：在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合．
正解：因为a＋3b与7a－5b垂直，
所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0．
同理由a－4b与7a－2b垂直可得
7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0，
则
①－②得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝，
代入①得|a|2＝|b|2．所以|a|＝|b|．
设a，b夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
所以θ＝60°．
2.3.2 向量数量积的运算律
预习导航
课程目标
学习脉络
1．掌握平面向量数量积的运算律，并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别．
2．会应用运算律进行相关的计算或证明等问题．
1．向量数量积的运算律
已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律
a·b＝b·a
结合律
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
自主思考1 若a·b＝b·c，能否得到a＝c?
提示：若a，b，c(b≠0)为实数，则ab=bc?a=c；但对于向量，就不正确，即a·b=b·cD?/a=c．由图知a·b=b·c，但a≠c．
自主思考2 向量数量积的运算是否满足结合律，即(a·b)c＝a(b·c)?
提示：由于向量的数量积是实数，
则设a·b＝λ，b·c＝μ，
则(a·b)c＝λc，a(b·c)＝μa．
由于c，a是任意向量，
则λc＝μa不一定成立．
所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
2．由(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得向量的三个运算公式：
(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；
(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2．
注意：|a|2＝a·a，|b|2＝b·b．
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
基础知识
基本能力
1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2．熟记与数量积有关的一些常用度量公式．(重点、易混点)
1．能熟练地求解具有坐标的两个向量的数量积．(重点)
2．能运用数量积来表示两个向量的夹角，并会用数量积来判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)
3．能够运用坐标表达式解决与长度、夹角、垂直、正投影等有关的实际问题．(难点)
1．向量内积的坐标运算
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.
知识拓展非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：
(1)θ为锐角或零角?x1x2＋y1y2＞0；
(2)θ为直角?x1x2＋y1y2＝0；
(3)θ为钝角或平角?x1x2＋y1y2＜0.
【自主测试1】若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝，则x等于( )
A．3 B． C．－ D．－3
解析：由题意，得2x－6x＝，解得x＝－.
答案：C
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b ?a1b1＋a2b2＝0.
名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a＝(m，n)与b＝k(n，－m)总是垂直的，当两向量的长度相等时，k取±1.
【自主测试2】已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝__________.
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝.
答案：
3．向量的长度、距离和夹角公式
(1)向量的长度：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
(2)两点之间的距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)向量的夹角的余弦公式：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则两个向量a，b的夹角的余弦为cos〈a，b〉＝.
你会求出与向量a＝(m，n)同向的单位向量a0的坐标吗？
答：a0＝＝(m，n)＝.
【自主测试3－1】已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
解析：由＝(1,1)，＝(－4,2)，＝(3，－3)，
得2＝2，2＝20，2＝18.
∵2＋2＝2，
即AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．
答案：B
【自主测试3－2】已知m＝(3，－1)，n＝(x，－2)，且〈m，n〉＝，则x等于( )
A．1 B．－1 C．－4 D．4
解析：cos＝，
解得x＝1.
答案：A
【自主测试3－3】已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝__________.
解析：由|a|2＝9＋x2＝25，解得x＝±4.
答案：±4
1．向量模的坐标运算的实质
剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得＝a＝(x，y)，∴||＝|a|＝，即|a|为点A到原点的距离；同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，∴||＝，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．
2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b)·c＝a·(b·c)”不恒成立
剖析：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，
则a·b＝x1x2＋y1y2, b·c ＝x3x2＋y3y2.
∴(a·b)·c＝(x1x2＋y1y2)(x3，y3)＝(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，
a·(b·c)＝(x1，y1)(x3x2＋y3y2)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3 y1＋ y1y2y3)．
假设(a·b)·c＝a·(b·c)成立，
则有(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)＝(x1x3x2＋x1y2y3，x2x3 y1＋ y1y2y3)，
∴x1x2x3＋y1y2x3＝x1x3x2＋x1y2y3，
x1x2y3＋y1y2y3＝x2x3 y1＋y1y2y3.
∴y1y2x3＝x1y2y3，x1x2y3＝x2x3 y1.
∴y2(y1x3－x1y3)＝0，x2(x1y3－x3y1)＝0.
∵ b是任意向量，
∴x2和y2是任意实数．
∴y1x3－x1y3＝0.
∴a∥c.
这与a，c是任意向量，即a，c不一定共线相矛盾．
∴假设不成立．
∴(a·b)·c＝a·(b·c )不恒成立．
3．教材中的“思考与讨论”
在直角坐标系xOy中，任作一单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？
cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.
反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．
剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则△BNO≌△OMA．
∴||＝||，||＝||.
当点A在第一象限时，点B在第二象限，
∴||＝－cos β，||＝sin β，
||＝cos α，||＝sin α，
从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α，
sin β＝sin(α＋90°)＝cos α，
即cos(α＋90°)＝－sin α，
sin(α＋90°)＝cos α.
题型一 向量数量积的坐标运算
【例题1】已知a＝(－6,2)，b＝(－2,4)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉．
分析：直接套用基本公式a·b＝x1x2＋y1y2，|a|＝，cos〈a，b〉＝即可．
解：a·b＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20.
|a|＝＝
＝＝2，
|b|＝＝＝2.
∵cos〈a，b〉＝＝＝，
且〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.
反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．
〖互动探究〗设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标表示和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
解：(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝＝.
题型二 平面向量垂直的坐标运算
【例题2】在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．
分析：对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．
解：当A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0.∴k＝－.
当B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0.
∴k＝.
当C＝90°时，·＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
因此，△ABC有一个角为直角时，k＝－，或k＝，或k＝.
反思(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．
题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用
【例题3】已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)若四边形ABCD为矩形，
则⊥，＝.
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴C点的坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2),
∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．
题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式
【例题4】证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
分析：设m＝(a，b)，n＝(c，d)，用m·n≤|m|·|n|即可，要注意等号成立的条件．
证明：设m＝(a，b)，n＝(c，d)，两向量夹角为θ，则m·n＝|m||n|cos θ，∴ac＋bd＝··cos θ，
∴(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
当且仅当m与n共线时等号成立．
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)得证．
反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．
题型五 易错辨析
【例题5】设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C． D．
错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b＜0，
即－2λ－1＜0，解得λ＞－.故选C．
错因分析：a·b＜0?a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．
正解：a·b＜0?(－2,1)·(λ，－1)＜0?λ＞－.又设b＝ta(t＜0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，所以λ∈∪(2，＋∞)．故选A．
1．设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中，与m⊥n等价的个数为( )
①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②中的等式显然与m⊥n等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是与m⊥n等价的，故选D．
答案：D
2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(－2，－3)，则向量a在向量b方向上的投影的数量为( )
A．－ B．
C．0 D．1
答案：B
3．(2012·广东广州测试)已知向量a＝(1，n)，b＝(n,1)，其中n≠±1，则下列结论正确的是( )
A．(a－b)∥(a＋b)
B．(a＋b)∥b
C．(a－b)⊥(a＋b)
D．(a＋b)⊥b
解析：∵a－b＝(1－n，n－1)，a＋b＝(1＋n，n＋1)，
∴(a－b)·(a＋b)＝0，
∴(a－b)⊥(a＋b)．
答案：C
4．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝b－ka，若c⊥a，则c＝__________.
解析：根据a和b的坐标，求c的坐标，再利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.
答案：
5．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，给出下列命题：
①若a与b的夹角为锐角，则m＜；②当且仅当m＝时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m＝－2.其中正确的命题的序号是__________．
答案：①②③
6．设向量a＝(1，－1)，b＝(3，－4)，x＝a＋λb，λ为实数，证明：使|x|最小的向量x垂直于向量b.
证明：因为|x|2＝x·x＝|a|2＋λ2|b|2＋2λa·b，
所以x2＝25λ2＋14λ＋2＝2＋.
当5λ＋＝0，即λ＝－时，|x|最小．
此时x＝a－b＝.
又×3－×4＝0，所以向量x与b垂直．
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的坐标运算
若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.
【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.
(1)求D点的坐标;
(2)用、表示.
思路分析:求D点坐标要先设出D点的坐标,然后用待定系数法求之.
解：(1)设D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y),
所以·=x+1+2y=5,①
2=(x+1)2+y2=10.②
联立①②,解之,得
所以D点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)当D点的坐标为(-2,3)时,=(1,2),
=(-1,3),=(-2,1),设=m+n,
则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
所以所以m=-1,n=1.
所以=-+.
当D点的坐标为(2,1)时,设=p+q,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以所以p=1,q=-1.
所以=-.
综上,当D点的坐标为(-2,3)时,=-+.
当D点的坐标为(2,1)时,=-.
各个击破
类题演练 1
设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.
思路分析:运用(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°列出等式,解方程.
解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),
(a+tb)·b=(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,
|a+tb|=.
由(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,
得5t+5=,
即t2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.
温馨提示
本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.
变式提升 1
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)a.
思路分析:因为a与b同向,所以在设出a的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.
解:(1)∵a与b同向,∴可设a=(k,2k)(k>0).
又a·b=10,∴(k,2k)·(1,2)=10k=2.
∴a=(2,4).
(2)(b·c)a=［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.
二、两向量垂直条件的坐标表示
设a与b为两个非零向量,且a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1b1+a2b2=0.
【例2】 在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC为直角三角形,求k的值.
思路分析:题目中只给出了△ABC为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.
解：若∠A=90°,由已知得·=0,
∴2×1+3k=0,解得k=.
若∠B=90°,则·=0,
∵=-=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),
∴·=2×(-1)+3(k-3)=0,
解得k=.
若∠C=90°,则·=0.
∴1×(-1)+k(k-3)=0,
即k2-3k-1=0,解得k=.
综上可得k=或k=或k=.
类题演练 2
已知a=(1,0),b=(1,1),当λ为何值时,(a+λb)⊥a?
思路分析:先求出a+λb的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.
解:∵a=(1,0),b=(1,1),∴a+λb=(1+λ,λ).
又∵a+λb与a垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.
∴当λ=-1时,a+λb与a垂直.
变式提升 2
平面上三点A、B、C共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且⊥.求m、n的值.
思路分析:解答本题要注意A、B、C三点共线这个条件的运用,即与共线.
解:由题意得向量与共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.
∴
解得
三、向量的模、距离和夹角公式
1.设a=(a1,a2)，
则|a|=.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则=(x2-x1,y2-y1)，
∴||=.
3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
则cos〈a,b〉=.
【例3】 已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围.
思路分析：由于两个非零向量a、b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.
解:由题意cosα=,
∵90°<α<180°,∴-1∴-1<<0.
∴
即即
∴λ的取值范围是(-,2)∪(2,+∞).
类题演练 3
已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
思路分析:设出a与b的坐标,运用公式.
解:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
∵|a|=|b|,
∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2·(x12+y12)=3(x12+y12),
得|a+b|=.
设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=.
∴θ=30°.
变式提升 3
如右图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，试用向量法证明⊥.
证明:以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，||=λ，则A（0，1），P（λ，λ），E（1，λ），F（λ，0）.
于是=（λ，1-λ），=(λ-1,λ).
∵·=(λ)·(λ-1)+(1-λ)(λ)=0,
∴⊥.
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂探究
探究一 向量数量积的坐标运算
已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．
【例1】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．
解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，
所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，
所以|a＋b|＝．
(2)设向量a与b的夹角为x，
则cos ＝＝＝＝．
探究二 向量的模、夹角的坐标表示
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．
【例2】 已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝( )
A． B． C．20 D．40
解析：设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①
a－b＝(－2－x，－1－y)，
所以|a－b|＝＝．②
由①②可得x＝－4，y＝－2．
所以b＝(－4，－2)，|b|＝＝．
答案：A
反思 本题是利用公式|a|＝ (其中a＝(a1，a2))求解．
【例3】 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．
分析：要对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．
解：当A＝90°时，·＝0，
所以2×1＋3×k＝0．所以k＝－．
当B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0．所以k＝．
当C＝90°时，·＝0，所以－1＋k(k－3)＝0，
所以k＝．
因此，当k＝－，或k＝，或k＝时，△ABC的一个内角为直角．
探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用
用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．
【例4】 以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标．
解：设B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．
因为△ABO是等腰直角三角形，故⊥，且||＝||，
所以
解得或
所以＝或＝．
【例5】 已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由题意有|a|＝2，|b|＝1．
因为a·b＝×－1×＝0，所以a⊥b．
因为x·y＝0，所以[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，化简得k＝，所以＝(t2＋4t－3)＝ (t＋2)2－．
当t＝－2时，有最小值为－．
反思 本题的关键是注意到a⊥b，以此来化简x·y＝0．
探究四 易错辨析
易错点：因a·b<0理解不完全而致误
【例6】 设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A． ∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C． D．
错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，
即－2λ－1<0，解得λ>－．
错因分析：a·b<0?a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．
正解：a·b<0?(－2,1)·(λ，－1)<0?λ>－．
又设b＝ta(t<0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，
所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，
所以λ∈∪(2，＋∞)．故选A．
答案：A
2.3 平面向量的数量积
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课程目标
学习脉络
1．掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能利用平面向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、角度、垂直、正投影等实际问题．
向量的数量积(内积)的坐标运算
自主思考 如何用向量的数量积表示向量夹角的大小？
提示：非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系：
θ为锐角或零角?a·b>0?x1x2＋y1y2>0；
θ为直角?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0；
θ为钝角或平角?a·b<0?x1x2＋y1y2<0．
2.3 平面向量的数量积
知识梳理
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b(如图2-3-1所示)，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
图2-3-1
(2)范围：［0,π］，并且〈a，b〉=〈b，a〉.
(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.
2.向量在轴上的正射影
(1)已知向量a和轴l(如图2-3-2所示)，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1在轴l上的坐标叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影).a在轴l上的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作al，a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则有al=|a|cosθ.
图2-3-2
(2)当θ为锐角时，al＞0；当θ为钝角时，al＜0；当θ=0时，al=|a|；当θ=π时，al=-|a|.
3.向量的数量积(内积)
(1)定义：|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.
(2)理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数.
(3)几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积，或b的长度｜b｜与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.
(4)坐标运算：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
4.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
(1)e·a = a·e =|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥ba·b=0；
(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；
当a与b反向时，a·b=-|a||b|.
特别的a·a=|a|2或|a|=.
(4)cos〈a，b〉=；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律
交换律：a·b=b·a；
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R)；
分配律：(a+b)·c=a·c+b·c.
6.向量垂直的坐标表示
已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0(a1，a2)∥(-b2，b1).
7.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)
(1)向量的长度：已知a=(a1，a2)，则｜a｜=.即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.
(2)两点间距离公式：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=.
(3)夹角公式：已知a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a，b〉=.
知识导学
复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及其运算；本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.
疑难突破
1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？
剖析:难点是对这三种运算易混淆不清.其突破的途径是主要从定义、运算的表示方法、运算的性质、运算的结果和运算的几何意义上来分析对比.
(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，其符号由夹角的大小决定；向量数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.
(2)从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；考上大学后还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“· ”在向量数量积的运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量数乘的写法同单项式的写法；实数乘法的写法我们已经非常熟悉了.
(3)从运算的性质上看：
①在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a, b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则b=0.
②在向量的数量积中，a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a-c)〉=.在向量的数乘中，λa=λb(λ∈R)a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.
③在向量的数量积中：(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λｍ)a=λ(ｍa)(λ∈R,m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是ab到数轴原点的距离等于a、b到数轴原点距离的积.
2.为什么(a·b)c=a(b·c )不成立？
剖析:难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义表示来分析；突破路径3：利用反证法，通过向量数量积的坐标表示来分析.
思路一：举反例.
如图2-3-3所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈，〉=，〈，〉=，则〈，〉=.
图2-3-3
∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈a，b〉=3.
∴(a·b)c=c，a(b·c )=3a.
很明显c=3a不成立，∴(a·b)c=a(b·c )不成立.
再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),
则(a·b)c=[1×(-3)+2×4](6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),
a(b·c )=(1,2)[-3×6+4×(-5)]=(-38)(1,2)=(-38,-72).∴(a·b)c=a(b·c )不成立.
思路二：下面用向量数量积的几何意义来分析.
由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.
则(a·b)c=λc，a(b·c )=μa.
由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.
∴(a·b)c=a(b·c )不成立.
思路三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.
设a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，c=(x3, y3).
则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.
∴(a·b)c=(x1x2+y1y2)(x3, y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，
a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1, y1)=(x1x3x2+x1y2 y3, x2x3 y1+y1 y2y3).
假设(a·b)c=a(b·c)成立，
则有(x1x2x3+y1y2x3 ,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x3x2+x1y2 y3, x2x3 y1+y1 y2y3)，
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2 y3，x1x2y3+y1y2y3=x2x3 y1+y1 y2y3.
∴y1y2x3=x1y2 y3，x1x2y3=x2x3 y1.
∴ y2(y1x3-x1 y3)=0，x2(x1 y3-x3 y1)=0.
∵b是任意向量，∴x2和y2是任意实数.
∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c.
这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.
∴假设不成立.
∴(a·b)c=a(b·c )不成立.
3.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？
剖析:难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底或坐标系，转化为进行向量的有关运算.
例如：如图2-3-4所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.
图2-3-4
解：设=a，=b.
则|a|=3，|b|=1，〈a,b〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=.
又∵=a+b,=a-b，
∴||====，
||====.
∴AC=,DB=.
由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：
(1)建立平面向量基底或平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度；
(2)应用公式|a|=，通过向量运算求出向量的长度；
(3)把向量的长度还原成平面内两点间的距离.
