2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用
2.4.2 向量在物理中的应用
基础知识
基本能力
1．掌握用向量的方法解决实际问题的步骤．(重点)
2．熟记平面向量的相关概念及运算法则．(重点、难点)
1．会用向量的方法计算或证明平面几何和解析几何的相关问题．(重点)
2．会用向量的方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解问题．(难点)
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；
(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；
(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零；
(4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．
【自主测试1－1】在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
解析：由＝?AB∥CD，且AB≠CD，故四边形ABCD为梯形，故选B．
答案：B
【自主测试1－2】在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是__________．
解析：∵·＝||||cos∠BAC＝8，∴4×4×cos∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又||＝||，
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
2．向量在解析几何中的应用
(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(m，n)平行于l，则k＝＝＝tan α；反之，若直线l的斜率k＝，则向量(m，n)一定与该直线平行．
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行．
(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0.
(4)过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0.
【自主测试2－1】已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．－1或2
答案：D
【自主测试2－2】过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是__________．
答案：5x－3y－21＝0
3．向量在物理中的应用
(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．
(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．
【自主测试3】已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5 N B．5 N C．10 N D．5N
答案：B
1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法
剖析：(1)要证两线段AB＝CD，可转化为证明||＝||或2＝2；
(2)要证两线段AB∥CD，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ成立；
(3)要证两线段AB⊥CD，可转化为证明·＝0；
(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.
2．对直线Ax＋By＋C＝0的方向向量的理解
剖析：(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)及与其共线的向量λ均为直线的方向向量．显然当x1≠x2时，向量与共线，因此向量＝(B，－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A)为直线l的方向向量．
(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量．
3．教材中的“探索与研究”
利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．
结论：
l1∥l2(或重合)?A1B2－A2B1＝0.
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
cos θ＝.
剖析：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0的方向向量为n1＝(－B1，A1)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方向向量为n2＝(－B2，A2)．
若l1∥l2，则n1∥n2，从而有－B1A2＝－A1B2，即A1B2－A2B1＝0.
若l1⊥l2，则n1·n2＝0，从而有B1B2＋A1A2＝0.
所以直线l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，
直线l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
由于n1·n2＝A1A2＋B1B2，
|n1|＝，|n2|＝，
所以cos〈n1，n2〉＝.
所以直线l1与l2夹角θ的余弦值为
cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
题型一 向量在平面几何中的应用
【例题1】已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
分析：→→→
证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB＝2，则有A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．
∵·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，
∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥得y＝－2x＋4，
由得
∴点P坐标为.
则||＝＝2＝||，即AP＝AB．
反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．
〖互动探究〗正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，求cos∠DOE.
解：建立平面直角坐标系如图，则向量＝，＝，
∴·＝×1＋1×＝1.
又||＝||＝，
∴cos∠DOE＝＝＝.
题型二 向量在解析几何中的应用
【例题2】过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
分析：在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)．根据∥a和⊥b解题即可．
解：设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)．
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意，知∥a，则(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0.
故所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，则(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
故所求直线方程为x－2y＋4＝0.
反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.
【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．
解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则⊥.
所以·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．
题型三 向量在物理中的应用
【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.
(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)；
(2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？
分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．
解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以
|ν|＝＝≈9.2(km/h)，
ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t＝＝≈0.054 3(h)≈3.3 min.
(2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d＝0.5 km，从而所用的时间t＝.显然，当θ＝90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t＝＝0.05(h)．
反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．
题型四 易错辨析
【例题5】在直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.
(1)求证：A，B，C三点共线；
(2)已知A(1，cos x)，B(1＋sin x，cos x)，x∈，f(x)＝·－||的最小值为，求实数m的值．
错解：(1)∵＝－，＝－＝＋－＝－＝，
∴∥，∴A，B，C三点共线．
(2)∵A(1，cos x)，B(1＋sin x，cos x)，
∴＝，
＝(sin x,0)，从而||＝|sin x|.
故f(x)＝－(sin x＋m2)2＋m4＋2.
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)有最小值，
即－(1＋m2)2＋m4＋2＝，
解得m＝±.
错因分析：错解中忽略了题目中x的取值范围，造成正弦值的范围扩大．
正解：(1)∵＝－，
＝－＝＋－＝－＝，∴∥，∴A，B，C三点共线．
(2)∵A(1，cos x)，B(1＋sin x，cos x)，
∴＝，
＝(sin x,0)，故||＝sin x，
从而f(x)＝－(sin x＋m2)2＋m4＋2.
又当x∈时，sin x∈[0,1]，
∴当sin x＝1时，f(x)有最小值，
即－(1＋m2)2＋m4＋2＝，
化简得m2＝，解得m＝±.
1．若向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量，则直线x＋2y＋3＝0的一个法向量为( )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(2,1) D．(2，－1)
解析：可以确定已知直线l的斜率k＝－，所以直线的方向向量a＝.由a·n＝0，可知应选A．
答案：A
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案：C
3．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
答案：A
4．在重600 N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A．300N,300N B．150 N,150 N
C．300N,300 N D．300 N,300N
解析：如图，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，
所以||＝||cos 30°＝300N，
||＝||sin 30°＝300 N，
||＝||＝300 N.
答案：C
5．通过点A(3,2)且与直线l：4x－3y＋9＝0平行的直线方程为__________．
答案：4x－3y－6＝0
6．已知两个粒子a，b从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的正射影为__________．
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为
cos θ＝＝.
所以va在vb上的正射影为|va|cos θ＝5×＝.
答案：
7．平面上不共线的三点A，B，C使得＋所在的直线和－所在的直线恰好互相垂直，则△ABC必为__________三角形．
解析：如图所示，作ABCD，易知＋＝，－＝－＝.依题意，知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而△ABC为等腰三角形，且∠ABC为顶角．
答案：等腰
8．如图所示，已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD．
证明：证法一：∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
∴⊥.
∴AC⊥BD．
证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．
设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，
则由||＝||，得a2＋b2＝c2.
∵＝－＝(c－a，－b)，
＝＋＝(a＋c，b)，
∴·＝c2－a2－b2＝0.
∴⊥，
∴AC⊥BD．
2.4.1 向量在几何中的应用
课堂导学
三点剖析
一、向量在平面几何中的应用
因为向量有两个特征——长度和方向.所以成为数学中一个典型的数与形的有机结合.如全等、相似、长度、夹角、平行、垂直等问题.在解决这些问题时可考虑应用向量的线性运算和数量积问题.通过对问题的深入分析，认识向量的工具性作用，培养创新精神和解决实际问题的能力.
【例1】 如下图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M、N、C三点共线.
思路分析：共线问题，一般情况下可化成向量共线，再利用向量共线的条件证明.
证明：设=e1，=e2，
∵=-=e2-e1，=，
∴=e1.∴=+=e1+e2.
又=，∴=（e2-e1）.
∴=+=e1+（e2-e1）
=e1+e2.
∴=3.∴M、N、C三点共线.
各个击破
类题演练 1
如图，已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：
=（++）.
证明：设三条中线分别为AD、BE、CF.所以有=.由向量的中线公式有=（+），
=（+），
所以+=（+）.①
同理，+=（+），②
+=(+)，③
①+②+③得2（++）=(+++++)=0.
所以++=0.
所以3=++=（+）+（+）+（+）=（++）+（++）=++.
所以=（++PC）.
变式提升 1
如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++.求证：⊥.
思路分析：要证⊥，即证·=0，选取基底{，}，将，表示出来即可.
证明：∵=-，=-=（++）-=+，
∴·=（-）·（+）=||2-||2.
∵O为外心，∴||=||，即·=0.
∴⊥.
二、向量在解析几何中的应用
一般地，对于直线方程Ax+By+C=0而言，向量a=（B，-A）为该直线的方向向量，向量n=（A，B）与直线垂直，又称n=（A，B）为直线的法向量，有了方向向量和法向量，我们就可以用向量来研究平面内两条直线的位置关系，即两直线平行、垂直、夹角等问题.
【例2】 求过点A（-1，2）且平行于向量a=（3，2）的直线方程.
思路分析：利用向量法来解决几何问题时，要将线段看成向量并用端点坐标来表示.
解法一：直线与a=（3，2）平行，
∴直线斜率k=.
∴直线方程为y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.
解法二：过点A且平行于向量的直线是唯一确定的，把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y），则∥a.
如果点P不与点A重合，由向量平行，它们的坐标满足的条件,整理，得方程为2x-3y+8=0.
解法三：设P(x,y)为所求直线上任意一点，由题意知∥a，
而=（x+1,y-2）,a=(3,2),
∴(x+1)·2-(y-2)·3=0,
化简得2x-3y+8=0，即为所求直线的方程.
类题演练 2
在△ABC中，已知A（-1，2），B（3，1），C（2，-3），求AC边上的高所在的直线方程.
思路分析：在过A点的直线上任取一点P，由已知直线l的方向坐标得法向量n的坐标，利用·n=0求出直线方程.
解：与AC边平行的向量为=（3，-5），设P（x,y）是所求直线上任一点，=（x-3,y-1）,所以AC边上的高所在直线方程为·（x-3,y-1）=0,即3x-5y-4=0.
变式提升 2
设A（-1，0），B（1，0），点C在直线2x-3=0上，且2·=·+·，求cos〈,〉.
思路分析：本题利用向量的数量积运算与解析几何的联系.
解：设C（x0,y0），∵点C在直线2x-3=0上，
∴2x0-3=0，∴C（，y0）.
则=（，y0）,=(2,0),=(-,-y0).
∴·=5，·=+y02,·=-1，
又∵2·=·+·，
∴2（+y02）=5+(-1).
∴y02=.解得y0=±.
∴cos〈,〉=.
2.4.2 向量在物理中的应用
课堂导学
三点剖析
一、用向量解决运动学问题
【例1】 如图，一条河的两岸平行，河宽为d米.一船从A出发航行到河的对岸，航行的速度大小为|v1|,水流的速度大小为|v2|，且|v1|>|v2|,那么|v1|与|v2|的夹角θ多大时，船才能垂直到达河岸B处？船航行多少时间？
思路分析：解题时要注意速度是一个向量，应用向量的三角形或平行四边形法则解决时，关键是“水速+船速=船的实际速度”是向量的加法运算.
解：|v|=,所以船航行的时间t=,又因为t=,
所以=.所以sinα=.所以θ=π-arcsin.
答：当|v1|、|v2|的夹角为π-arcsin时，船才能垂直到达河岸B处,船航行时间为.
各个击破
类题演练 1
一艘船从A点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小和方向.
解：如图，|v1|=,|v2|=2,且v1⊥v2.所以|v|==4,所以cos∠BAC=.所以∠BAC=60°.所以船实际航行的速度大小为4 km/h，方向与水流方向的夹角为60°.
变式提升 1
在风速为75（） km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行.求没有风时飞机的航速和航向.
解：设v0=风速，va=有风时飞机的航行速度，vb=无风时飞机的航行速度（如图）.则vb=va-v0,∴vb,va,v0构成三角形.
设|AB|=|va|,||=|v0|,||=|vb|,
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD=45°.
设||=150，则||=75（），
∴||=||=||=，||=.
从而||=，∠CAD=30°,
∴vb= km/h，方向为西偏北30°.
二、用向量解决力学问题
用向量知识解决力学问题的步骤是用向量的三角形法则或平行四边形法则进行力的合成与分解，然后利用解直角三角形或解斜三角形的知识求得问题的解.
【例2】 已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m/s2)
思路分析：物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积.
解：如图所示，设木块的位移为s，则
F·s=|F||s|cos30°=50×20×(J)
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×=25( N).
所以，摩擦力f的大小为|f|=|μ（G-F1）|=（80-25）×0.02=1.1( N)，
因此，f·s=|f||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22( J),
即F和f所做的功分别为 J和-22 J.
温馨提示
在物理学中矢量与矢量运算，与数学中向量与向量运算是相通的，体现了数学知识与其他学科是紧密相连的.
类题演练 2
一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为东偏北30°；|F3|=6 N，方向为西偏北60°.如图，求合力F所做的功.
解：如图建立坐标系，则F1=（1，），F2=（，2），F3=（-3，），则F=F1+F2+F3=（-2，2+）.
又位移s=（，），
故合力F所做的功为W=F·s=（-2）×+(2+)×=×=(J).
答：合力F所做的功为 J.
变式提升 2
如右图，若物体重量为G，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A和B保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试研究f1和f2两个拉力的大小.
思路分析：物体处于静止状态，受重力平衡,即f1和f2的合力和物体重力是平衡力，可以应用力的分解来处理.
解：建立直角坐标系，则=，=，=，=.物体在水平方向和竖直方向上，如下图.
受力平衡
即
解得
故两根绳子的拉力大小为和.
2.4 向量的应用
知识梳理
1.向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；
(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；
(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；
(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题.
2.向量在解析几何中的应用
(1)若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=(m，n)平行于l，则k=tanα=，反之，若直线的斜率k=，则向量(m，n)一定与该直线平行；
(2)向量(1，k)与直线l：y=kx+b平行；
(3)与a=(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为
n(x-x0)-m(y-y0)=0；
(4)过点P(x0，y0)且与向量a=(m，n)垂直的直线方程为
m(x-x0)+n(y-y0)=0.
3.力向量与速度向量
(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，它们就不相等.但是在不计作用点的情况下，可用平行四边形法则计算两个力的合力.
(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形和平行四边形法则，求两个速度的合速度.
知识导学
这部分内容是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本、最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用，是本章的重点，又是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.
疑难突破
1.用向量处理问题时，如何选择平面向量基底？
剖析:难点是在已知图形中有很多不共线的向量，到底选择哪两个向量为基向量？其突破口是明确向量基底的含义和选择向量基底的原则.
平面内任意不共线的两个向量构成了平面向量基底，因此要在图形中选择不共线的两个向量即可.但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量，要选择适当的向量基底，这样会减少计算量.选择基向量的基本原则是：
(1)不共线；
(2)基向量的长度最好已经确定；
(3)基向量的夹角最好明确(直角最合适)；
(4)尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
要会选择适当的平面向量基底，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.
2.用向量处理问题时，如何建立平面直角坐标系？
剖析:难点是建立平面直角坐标系时，到底选择哪两条直线为坐标轴，哪个点为原点.选择不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.其突破口是明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则.
具有公共原点的两条数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：
(1)尽量以已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；
(2)尽量选择已知图形中某一特殊点为原点；
(3)尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好.
与选择向量基底类似，要学会选择适当的平面直角坐标系，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.
2.4 向量的应用
课堂探究
探究一 向量在平面几何中的应用
用向量的方法证明有关平面图形中平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法：
(1)要证两线段AB＝CD，可转化为证明||＝||或＝；
(2)要证两线段AB∥CD，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ成立；
(3)要证两线段AB⊥CD，可转化为证明·＝0；
(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ．
【例1】 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC．
分析：借助向量的减法分别表示出向量，然后代入已知条件证明．
证明：设＝c，＝b，＝m，
则＝－＝m－c，＝－＝m－b．
因为AB2＋CD2＝AC2＋BD2，
所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，
c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，
所以2m·(c－b)＝0,2·(－)＝0．
所以·＝0，所以AD⊥BC．
反思基本思路就是将已知条件AB2＋CD2＝AC2＋BD2转化为与的关系，而又可表示为－，所以就变成了讨论和，的关系，因此可设这三个向量，再用它们来表示和，就能得到结论．
探究二 向量在解析几何中的应用
1．利用向量的方法来解决解析几何中有关直线平行、垂直等问题．
2．要掌握向量用坐标表示的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．
【例2】 过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．
分析：在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)．根据∥a和⊥b解题即可．
解：设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)．
因为A(－2,1)，所以＝(x＋2，y－1)．
(1)由题意，知∥a，
所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0．
所以所求直线方程为x－3y＋5＝0．
(2)由题意，知⊥b，
所以(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
所以所求直线方程为x－2y＋4＝0．
反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．
探究三 向量在物理中的应用
用向量方法解决物理问题的步骤：(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)把结果还原为物理问题．
【例3】 如图所示，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力分别为F1，F2，夹角为θ．
(1)求其中一根绳子受到的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系；
(2)求F1的最小值；
(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围．
解：(1)由力的平衡得F1＋F2＋G＝0，设F1，F2的合力为F，则F＝－G，由F1＋F2＝F且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，解直角三角形得cos1＝＝，
所以|F1|＝，∈[0°，90°)，由于函数y＝cos x在x∈[0°，90°)上为减函数，所以逐渐增大时，cos逐渐减小，逐渐增大，所以θ增大时，|F1|也增大．
(2)由(1)可知，当θ＝0°时，|F1|有最小值为．
(3)由题意，≤|F1|≤|G|，
所以≤≤1，即≤cos≤1．
由于y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，
所以0°≤≤60°．所以θ∈[0°，120°]为所求．
探究四 易错辨析
易错点：混淆向量平行与直线平行
【例4】 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，问AB与CD平行吗？
错解：因为＝(1，－1)，＝(3，－3)，
又因为1×(－3)－(－1)×3＝0，
所以∥，即AB∥CD．
错因分析：此题混淆了向量的平行与线段(直线)的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以当A，B，C，D四点共线时，与仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行．
正解：证明：因为＝(1，－1)，＝(3，－3)，
又因为1×(－3)－(－1)×3＝0，所以∥．
又因为＝(－1,1)，＝(1，－1)，
而－1×(－1)－1×1＝0，
所以∥，所以A，B，C，D四点共线，
所以AB与CD不平行．
2.4 向量的应用
预习导航
课程目标
学习脉络
1．会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题．
2．会用向量方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解的问题．
1．向量在平面几何中的应用
自主思考 用向量处理问题时，选择向量的基底应遵循哪些基本原则？
提示：选择适当的基向量的基本原则是：
(1)不共线；
(2)基向量的长度最好是确定的；
(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；
(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形．
2．向量在解析几何中的应用
(1)若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a ＝(m，n)平行于l，则k＝tan α＝；反之，若直线l的斜率k＝，则向量(m，n)一定与该直线平行；
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行；
(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0；
(4) 过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0．
3．向量在物理中的应用
