1 电荷及其守恒定律
答案：（1）正电荷 （2）负电荷 （3）排斥 （4）吸引 （5）摩擦起电 （6）接触起电 （7）感应起电 （8）电子的转移 （9）创生 （10）消灭 （11）总量 （12）代数和 （13）库仑 （14）库 （15）电荷量 （16）元电荷 （17）1.60×10－19 C
1．两种电荷
（1）两种电荷
自然界中只存在两种电荷，即正电荷和负电荷。
①正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷叫做正电荷。
②负电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷叫做负电荷。
（2）自由电子和离子
①自由电子：金属中离原子核最远的电子往往会脱离原子核的束缚而在金属中自由活动，这种电子叫做自由电子。
②离子：失去电子的原子便成为带正电的离子，称为正离子；得到电子的原子便成为带负电的离子，称为负离子。
（3）物体带电
物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说它带了电，或带了电荷。
①物质由中性的原子组成，原子由原子核和核外电子组成，电子带负电，原子核带正电；由中性原子组成的物体，对外表现为不带电状态，物体呈电中性；呈电中性的物体失去电子带正电，得到电子带负电，物体带电的实质是电子的得失。
②在物体内部，原子核是相对固定的，内部的质子更不能脱离原子核而移动，而离核较远的核外电子容易受到外界的作用而脱离原子，所以起电过程中转移的都是核外的电子。
析规律 （1）当物体不带电时，物体内部也存在电荷，只不过正电荷数量与负电荷数量相等。
（2）当物体相互吸引时，至少有一个物体带电；当两带电物体相互排斥时，二者必定带同种电荷。
【例1】下列判断小球是否带电的说法中正确的是（ ）
A．用一个带电体靠近它，如果能够吸引小球，则小球一定带电
B．用一个带电体靠近它，如果能够排斥小球，则小球一定带电
C．用验电器的金属球接触它后，如果验电器的金属箔能改变角度，则小球一定带电
D．如果小球能吸引小纸屑，则小球一定带电
解析：用一个带电体靠近它，如果能够吸引小球，小球可能带异种电荷，也可能不带电；如果能够排斥小球，则小球一定带同种电荷。用验电器的金属球接触它时，还需知道验电器金属球的带电情况才能予以判断。能吸引轻小物体是带电体的性质。
答案：BD
2．摩擦起电
（1）摩擦起电的过程
由于两个物体互相摩擦时，一些束缚得不紧的电子往往从一个物体转移到另一个物体，于是原来呈电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电。如玻璃棒与丝绸摩擦时，玻璃棒容易失去电子而带正电；硬橡胶棒与毛皮摩擦时，硬橡胶棒容易得到电子而带负电。
（2）摩擦起电的本质
摩擦起电时，电荷并没有凭空产生，其本质是发生了电子的转移，所以两个相互摩擦的物体一定是同时带上性质不同的电荷，且电荷量相等。
【例2】用棉布分别与丙烯塑料板和乙烯塑料板摩擦，实验结果如图所示，由此对摩擦起电的说法正确的是（ ）
A．两个物体摩擦时，表面粗糙的易失去电子
B．两个物体摩擦起电时，一定同时带上种类及数量不同的电荷
C．两个物体摩擦起电时，带上电荷的种类不同但数量相等
D．同一物体与不同种类物体摩擦，该物体的带电荷种类可能不同
解析：
选项
正误
解析
A
×
两物体摩擦时得失电子取决于原子对电子的束缚力大小
B
×
由于摩擦起电的实质是电子的得失，所以两物体带电种类一定不同，数量相等
C
√
D
√
由题中例子不难看出同一物体与不同种类物体摩擦，带电种类可能不同
答案：CD
3．感应起电
（1）静电感应：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷的现象。
（2）感应起电：利用静电感应使导体带电的过程。
（3）感应起电的操作步骤：
步骤Ⅰ
①如图甲所示，使带电体C（如带正电）靠近相互接触的两导体A、B。
②保持C不动，用绝缘工具分开A、B。
③如图乙所示，移走C，则A带负电，B带正电。
如果先移走C，再分开A、B，结果会怎样？
若先移走C，再分开A、B，则A、B原来在C的作用下感应出的异种电荷会立即中和，A、B分开后都不带电。
步骤Ⅱ
感应起电也可按下面的步骤进行，如图所示。（1）将一个带电体A靠近导体球B。（2）用手接触一下导体球B（相当于将B球接地），再将手拿开。（3）移去带电体A，则这时B带上了和带电体A异种的电荷。
【例3】绝缘细线上端固定，下端挂一轻质小球a，a的表面镀有铝膜。在a的近旁有一绝缘金属球b，开始时，a、b都不带电，如图所示。现使b带正电，则（ ）
A．b将吸引a，吸住后不放开
B．b先吸引a，接触后又把a排斥开
C．a、b之间不发生相互作用
D．b立即把a排斥开
解析：
答案：B
4．接触起电
（1）定义：一个物体带电时，电荷之间会相互排斥，如果接触另一个导体，电荷会转移到这个导体上，使这个导体也带电，这种带电方式称为接触起电。
（2）本质：接触起电的本质是电荷的转移。
（3）电荷量分配规律：接触起电时，两个物体最终电荷量的分配很复杂，但两个原来相同的导体球相互接触后，总电荷量平均分配。例如，将一个带电的金属小球跟另一个完全相同的不带电的金属小球接触后分开，它们平分了原来的电荷而带上等量同种电荷。
思考：若给你几个完全相同的金属球，使其中一个带上＋Q的电荷，你有什么办法使金属球带上、…的电荷？
方法：我们可以让三个小球一起相互接触，然后分开，这样就可以使每个小球带＋的电荷，同理可以得到＋或者其他数量的电荷。
（4）验电器的工作原理
验电器的原理是根据同种电荷相排斥，异种电荷相吸引的规律设计而成的。当带电体接触验电器的金属小球时，使金属小球带上电荷，这些电荷可以转移到金属箔片上，由于同种电荷的排斥作用，金属箔片张开一定角度。
注意：当带电体靠近但不接触验电器的金属球时，金属箔片也可张开。因为带电体会使近端金属球上感应出异种电荷，而远端箔片上会感应出同种电荷（感应起电），在斥力作用下箔片张开。
【例4】两个完全相同的带电绝缘金属小球A、B，分别带有电荷量QA＝6.4×10－9 C，QB＝－3.2×10－9 C，让两绝缘金属小球接触，在接触过程中，电子如何转移？转移了多少？
解析：两小球接触时，电荷量少的负电荷先被中和，剩余的正电荷再重新分配。即接触后两小球的电荷量QA′＝QB′＝＝ C＝1.6×10－9 C
在接触过程中，电子由B球转移到A球，自身的净电荷全部中和后，继续转移，直至其带QB′的正电，这样，共转移的电子电荷量为ΔQ＝|QB|＋QB′＝（3.2×10－9＋1.6×10－9）C＝4.8×10－9 C
则转移的电子数n＝＝个＝3.0×1010个。
答案：见解析
点评：（1）同种电荷和异种电荷的电荷量分配结果不同。应用q1′＝q2′＝时，既要注意“完全相同”的条件，又要注意电性“＋”、“－”的区别。
（2）金属导体内能自由移动的是电子，正电荷的“移动”实质是电子转移的等效结果。
（3）任何带电体的带电荷量都应是元电荷的整数倍。
5．电荷守恒定律
（1）内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷总量保持不变，这个结论叫做电荷守恒定律。
（2）电荷守恒定律的另一种表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和总是保持不变的。
这个由实验总结出来的定律是自然界的重要规律之一，它既适用于静电荷，也适用于流动电荷；不仅在宏观领域中成立，在微观领域中同样成立。与机械能守恒定律、能的转化与守恒定律一样，电荷守恒定律有着广泛的应用。
（3）电荷中和现象：当两个带异种电荷的导体接触时，会发生电荷中和现象，电荷的中和是正负电荷对外表现的电性相互抵消，使得净电荷减少或为零，但正负电荷本身依然存在，并不是正负电荷消失，电荷不会消失，也不能被创造出来。
（4）正、负电子对的湮没与电荷守恒定律不矛盾
因为这种情况下带电粒子总是成对湮没和产生的，两种电荷数目相等，正负相反，而光子或中子都是中性的，本身不带电，所以电荷的代数和不变。
【例5】如图所示，左边是一个原来不带电的导体，右边C是后来靠近的带正电的导体球，若用绝缘工具沿图示某条虚线将导体切开，分导体为A、B两部分，这两部分所带电荷量的数值分别为QA、QB，则下列结论正确的是（ ）
A．沿虚线d切开，A带负电，B带正电，且QA＞QB
B．只有沿虚线b切开，才有A带正电，B带负电，且QA＝QB
C．沿虚线a切开，A带正电，B带负电，且QA＜QB
D．沿任意一条虚线切开，都有A带正电，B带负电，而QA、QB的值与所切的位置有关
解析：导体原来不带电，只是在C所带正电荷的作用下，导体中的自由电子向B部分移动，使B部分多了电子而带负电；A部分少了电子而带正电。根据电荷守恒可知，A部分转移的电子数目和B部分多出的电子数目是相同的，因此无论从哪一条虚线切开，两部分的电荷量总是相等的，不过从不同位置切开时，QA、QB的值是变化的，故只有D正确。
答案：D
6．元电荷
（1）电荷量：电荷的多少叫电荷量。其国际单位为库仑，符号是C。
（2）元电荷：科学实验发现的最小电荷量，就是电子所带的电荷量，这个最小的电荷量叫元电荷，用e表示，这是电荷的最小单位。
（3）元电荷的数值：e＝1.60×10－19 C。
元电荷的数值最早是由美国科学家密立根用实验测得的。
（4）比荷：电子的电荷量e和电子的质量me之比叫电子的比荷。电子的比荷为＝ C/kg＝1.76×1011 C/kg。
谈重点 （1）元电荷不是指某电荷。
（2）物体带的电荷量是不能连续变化，只能是元电荷的整数倍。
（3）比较带电的多少，要比较的是其电荷量的绝对值，绝对值大的带电多，尽管电荷量有正负值（正号一般省略），要知道这里的“＋”“－”号不表示电荷量的大小，只代表电荷的性质（种类）。
【例6】一个α粒子（He）所带电荷量是多少库仑？一个带正电荷量为0.32 μC的灰尘粒子是得到还是失去电子？得到或失去电子的个数是多少？
解析：He带有两个元电荷的正电，所以带电荷量为2×1.6×10－19 C＝3.2×10－19 C。因灰尘带正电，故是失去电子。又因为带电体的电荷量总是元电荷的整数倍，而电子的电荷量恰好为一个元电荷，故失去电子的个数为n＝＝＝2×1012（个）。
答案：3.2×10－19 C 失去电子 2×1012个
7．电荷间的相互作用规律及应用
（1）电荷间有相互作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷相互吸引，两电荷间的相互作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
（2）发生相互作用时未必都带电，要注意带电体不管正负，都有吸引轻小物体的性质，无论轻小物体是导体还是绝缘体，带电体对其中的自由电子都有吸引力或排斥力。
如果轻小物体是电介质（即绝缘体），由于电介质里的每个分子都是由带负电的电子和带正电的原子核组成的，并且正、负电荷结合得比较紧密，处于束缚状态，几乎没有自由电荷。在带电体的作用下，电介质的表面上会出现束缚电荷的现象，叫做电介质的极化。
由于电介质极化，使其在靠近带电体的一面出现与带电体异种的电荷，远的一端出现与带电体同种的电荷，这样带电体对异种电荷的吸引力大于对同种电荷的排斥力，从而可以吸引轻小物体。
（3）检验物体是否带电的方法
①用待测物体去接近轻小物体，看它是否能吸引轻小物体。
②让待测物体接触验电器上的金属球，根据金属箔片是否张开来判断待测物体是否带电。
8．三种起电方式的理解和应用
（1）物体的起电方式有三种：摩擦起电、感应起电和接触起电，从物体起电的各种方式不难看出，它们都不是创造了电荷，只是电荷从一个物体转移到了另一个物体，或者从物体的一部分转移到了另一部分，这三种起电方式的本质都是电荷的转移，电荷总量保持不变。
（2）对于摩擦起电问题，要明确正电荷被束缚在原子核内，不能脱离原子核而随便移动，即相互摩擦的两个物体中转移的不可能是正电荷，只能是负电荷即电子。
（3）接触起电过程中电子转移的规律
①带正电荷的物体与带负电荷的物体接触，电子由带负电荷的物体转移到带正电荷的物体上。
②带正电荷的物体与不带电的中性物体接触，电子由中性物体转移到带正电荷的物体上。
③带负电荷的物体与不带电的中性物体接触，电子由带负电荷的物体转移到中性物体上。
（4）接触起电电荷量分配原则
①形状完全相同的两个小球
A．若一个带电，一个不带电，两小球接触后再分开，则电荷量平分。
B．若两小球分别带同种电荷q1、q2，两者接触后再分开，则每个小球带电荷量为。
C．若两小球分别带异种电荷q1、q2，两者接触后再分开，则每个小球带电荷量为。
②不完全相同的金属物体接触后电荷分配规律：
不一定均分，分配的比例与两个导体的大小及形状有关，如果两个导体的大小形状确定，则分配比例一定。
（5）感应起电的判断方法
①当一个带电体靠近导体时，产生静电感应现象，导体靠近带电体的一端带异种电荷，远离带电体的一端带同种电荷。
②凡是遇到接地问题时，该导体与地球可视为一体，而且该导体可视为近端物体，带异种电荷，地球就成为远端导体，带同种电荷。
（6）绝缘体不能被感应起电：感应起电的实质是导体中的正负电荷在带电体的作用下，发生了分离，只有导体中的电子才能自由移动，而绝缘体上的电子不能自由地移动，所以导体能够发生感应起电，而绝缘体不能。
【例7－1】把两个完全相同的金属球A和B接触一下，再分开一小段距离，发现两球互相排斥，则A、B两球原来的带电情况可能是（ ）
A．A和B原来带有等量异种电荷
B．A和B原来带有同种电荷
C．A和B原来带有不等量异种电荷
D．A和B原来只有一个带电
解析：
选项
正误
解析
A
×
A和B接触后正负电荷将中和，分开后都不带电，自然不会排斥
B
√
A和B原来带有同种电荷，接触后总电荷量均分，带有等量同种电荷，所以互相排斥
C
√
A和B原来带有不等量异种电荷，接触后正负电荷将先中和，剩余电荷分开后将均分，分别带有等量同种电荷，所以互相排斥
D
√
A和B原来只有一个带电，接触后电荷量均分，带有等量同种电荷，所以互相排斥
答案：BCD
【例7－2】挂在绝缘细线下的两个轻质小球，表面镀有金属薄膜，由于电荷的相互作用而靠近或远离，分别如图甲、乙所示，则（ ）
A．甲图中两球一定带异种电荷 B．乙图中两球一定带同种电荷
C．甲图中两球至少有一个带电 D．乙图中两球只有一个带电
解析：题目中的小球都是镀有金属薄膜的轻质小球，带电物体具有吸引轻小物体的性质，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，所以可以判断出甲图的现象可以是两个带异种电荷的小球，也可以是一个小球带电而另一个小球不带电；两个小球由于相互排斥而出现乙图中的现象，则必须都带电且是同种电荷。
答案：BC
【例8－1】M和N是两个都不带电的物体。它们互相摩擦后，M带正电荷3.2×10－9 C，下列判断正确的有（ ）
A．在摩擦前M和N的内部没有任何电荷
B．摩擦过程中电子从M转移到N
C．N在摩擦后一定带负电荷3.2×10－9 C
D．M在摩擦过程中失去2×1010个电子
解析：
选项
正误
解析
A
×
在摩擦前，物体内部存在着等量的异种电荷，对外不显电性。
B
√
M失去电子带正电，N得到电子带负电，所以电子是从M转移到N。
C
√
在摩擦起电过程中，得失电子数目是相等的，根据电荷守恒定律，M带正电荷3.2×10－9 C，则N一定带负电荷3.2×10－9 C
D
√
M失去的电子数为n＝＝个＝2×1010个
答案：BCD
【例8－2】完全相同的两个金属小球A、B带有等量同种电荷，相隔一定的距离，现让第三个相同的不带电金属小球先后与A、B接触后再移开。求接触后A、B两球所带的电荷量之比。
解析：设A、B两球所带电荷量为q，第三个小球先与A接触，电荷量平均分配，各带电荷量，第三个小球再与B球接触，两球电荷量之和平均分配，各带q，因此A、B带电荷量之比＝＝。
答案：2∶3
【例8－3】如图所示，不带电的枕形导体的A、B两端各贴有一对金箔。当枕形导体的A端靠近一带电导体C时（ ）
A．A端金箔张开，B端金箔闭合
B．用手触摸枕形导体后，A端金箔仍张开，B端金箔闭合
C．用手触摸枕形导体后，将手和C都移走，两对金箔均张开
D．选项A中两对金箔分别带异种电荷，选项C中两对金箔带同种电荷
解析：根据静电感应现象，带正电的导体C放在枕形导体A端附近，在A端出现了负电荷，在B端出现了正电荷。金箔因带同种电荷相斥而张开。
用手触摸枕形导体后，B端不再是最远端了，人是导体，人的脚部连接的地球是最远端，这样B端不再有电荷，B端金箔闭合。
用手触摸导体时，只有A端带负电荷，将手和C移走后，不再有静电感应现象，A端所带负电荷便分布在枕形导体上，A、B端均带有负电荷，两对金属箔均张开。
综合以上分析可看出，D也正确。
答案：BCD
9．元电荷不是最小的微粒
（1）元电荷e又称“基本电荷量”，是由实验测定的自然界存在的最小电荷量，是电荷量的单位（1.60×10－19 C作为一个电荷量单位），是物理学的基本常量之一。
不能说元电荷就是电子电荷量或一个电子，在研究原子、原子核及其他基本粒子时，为了方便，常用元电荷作为电荷量的单位。
电荷量不能连续变化，电子和质子的电荷量均为e，所有带电体的电荷量或者等于e，或者是e的整数倍。
（2）1964年提出了夸克模型，夸克模型的提出是物理学发展中的一个重大突破，它指出元电荷e不再是电荷的最小单元，即存在分数电荷。
科学家们还未捕捉到自由的夸克，夸克不能以自由的状态单个出现，这种性质称为夸克的“禁闭”，能否解放被禁闭的夸克，是物理学发展面临的一个重大课题。这也说明科学正是由于一个个的突破，才得到进一步发展的。
（3）电荷守恒定律是自然界主要的基本规律之一，虽然近代物理学中夸克理论的出现打破了元电荷e的界限，但是电荷守恒仍是我们解题的重要思路。
【例9】目前普遍认为，质子和中子都是由被称为u夸克和d夸克的两类夸克组成的。u夸克带电荷量为e，d夸克带电荷量为－e，e为基元电荷。下列论断可能正确的是（ ）
A．质子由1个u夸克和1个d夸克组成，中子由1个u夸克和2个d夸克组成
B．质子由2个u夸克和1个d夸克组成，中子由1个u夸克和2个d夸克组成
C．质子由1个u夸克和2个d夸克组成，中子由2个u夸克和1个d夸克组成
D．质子由2个u夸克和1个d夸克组成，中子由1个u夸克和1个d夸克组成
解析：→→→
→→→
答案：B
2 库仑定律
答案：（1）角度 （2）反比 （3）正比 （4）形状 （5）大小 （6）形状 （7）正比 （8）距离的二次方 （9）连线 （10）F＝k （11）真空中 （12）点电荷
1．点电荷
（1）概念
在研究带电体间的相互作用时，如果带电体本身的线度远小于它们之间的距离，以至于带电体本身的形状、大小及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可以忽略不计时，可把带电体视为一几何点，并称它为点电荷。
（2）对点电荷的两点理解
①点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
②带电体能否看做点电荷，不取决于带电体的大小，而取决于它们的形状、大小与距离相比能否忽略。即将带电体看做点电荷的前提条件是带电体间的距离远大于带电体本身的尺寸。
比如，一个半径为10 cm的带电圆盘，如果考虑距它100 m处的某个电子的作用力，圆盘可以看做点电荷；而如果这个电子离圆盘只有1 cm，那么带电圆盘又相当于无限大的带电平面，就不能够看做点电荷。
【例1】下面关于点电荷的说法正确的是（ ）
A．只有体积很小的带电体才能看做点电荷
B．体积很大的带电体一定不能看做点电荷
C．当两个带电体的形状对它们相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看做点电荷
D．任何带电球体，都可看做电荷全部集中于球心的点电荷
解析：本题考查对点电荷的理解。带电体能否看做点电荷，和带电体的体积无关，主要看带电体的体积对所研究的问题是否可以忽略，如果能够忽略，则带电体可以看做点电荷，否则就不能。
答案：C
2．库仑的实验
（1）装置
库仑做实验用的装置为库仑扭秤，如图所示，细银丝的下端悬挂一根绝缘棒，棒的一端是一个带电的金属小球A，另一端有一个不带电的球B与A所受的重力平衡，当把另一个带电的金属球C插入容器并把它靠近A时，A和C之间的作用力使悬丝扭转。
（2）实验技巧
①小量放大——通过悬丝扭转角度可以比较力的大小。
②电荷量的确定——在库仑那个年代，还不知道怎样测量物体所带的电荷量，甚至连电荷量的单位都没有。库仑发现，两个相同的小球一个带电，一个不带电，互相接触后，它们对相隔同样距离的第三个带电小球的作用力相等，所以他断定这两个小球所带的电荷量相等。用这个方法，可把带电小球的电荷量q分为，，，…这样库仑巧妙地解决了小球带电荷量的测量问题。
（3）研究方法：控制变量法
（4）实验步骤
①保持两球上的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。
②保持两球间的距离不变，改变A和C的带电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。
（5）实验结论
①力F与距离r的二次方成反比，即F∝。
②力F与q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。所以F∝或F＝k。
【例2】在库仑扭秤实验中，对于库仑力的研究，用到了下述哪些思想方法（ ）
A．均分思想 B．放大法
C．控制变量法 D．补偿法
解析：在研究F与q、r的关系时，用到了控制变量法；为了改变点电荷的电荷量，用到了电荷量均分的思想，把带电小球的电荷量q分为，，，…为了比较力的大小，通过改变悬丝扭转的角度可以使较小的力得到放大，所以正确选项为ABC。
答案：ABC
3．库仑定律
（1）内容
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上，这个规律叫库仑定律。电荷间的相互作用力叫做静电力或库仑力。
（2）公式
（3）适用条件：①在真空中；②点电荷。
（4）静电力常量
公式中的比例常数k叫做静电力常量，在国际单位制中，k＝9.0×109 N·m2/C2，其意义是两个电荷量是1 C的点电荷在真空中相距1 m时，相互作用力是9.0×109 N。
（5）方向：在两个点电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
谈重点 （1）对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。
（2）对于两个带电金属球，要考虑金属表面电荷的重新分布。
（3）库仑力是短程力，在r＝10－15～10－9 m的范围内有效。
当两个点电荷间的距离r→0时，其库伦力F→∞，是这样吗？
当然不是啦！当r→0时，“点”电荷就不能再视
为点电荷了，库仑定律适用的条件被破坏，自然就不再成立。利用F＝k去判断F的大小，也就不再正确了！
【例3－1】真空中有两个点电荷Q和q，它们之间的库仑力为F，下面哪些做法可以使它们之间的库仑力变为1.5F（ ）
A．使Q的电荷量变为2Q，使q的电荷量变为3q，同时使它们的距离变为原来的2倍
B．使每个点电荷的电荷量都变为原来的1.5倍，距离也变为原来的1.5倍
C．使其中一个点电荷的电荷量变为原来的1.5倍，距离变为原来的1.5倍
D．保持电荷量不变，使距离变为原来的
解析：根据库仑定律F＝k，设原来两点电荷间距离为r，
则原来两点电荷间的库仑力大小为F＝k.
当电荷量或距离变化时，根据库仑定律，对A有FA＝k＝，可见符合要求；
对B有FB＝k＝F，不符合要求；
对C有FC＝k＝，不符合要求；
对D有FD＝k＝，不符合要求。
综上所述，A正确。
答案：A
【例3－2】真空中两个相同的带等量异种电荷的小球A和B，分别固定在两处，两球间静电力为F。用不带电的相同小球C先和A接触，再与B接触，然后移去C，则A、B间的静电力应为（ ）
A．F/2 B．F/4
C．F/8 D．3F/8
解析：设A、B两球带电荷量分别为Q、－Q，相距为r，那么它们之间的库仑力F＝k，且为引力。
答案：C
解技巧 在本题中，若球C继续与A接触又与B接触，同学们可以发现，接触越多，A、B所带电荷量越少，最终A、B、C三小球带电都趋于零。一般地，两相同的金属小球分别带电q1、q2，利用第三个相同的金属小球来回与它们接触无限多次后，三小球所带电荷量趋于相等，即q1′＝q2′＝q3′＝。
4．库仑力的叠加原理
对于两个以上的点电荷，其中每一个点电荷所受的总的库仑力，等于其他点电荷分别单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。库仑力的合成和分解仍满足力的平行四边形定则。
任一带电体都可以看成是由许多点电荷组成的，如果知道带电体上的电荷分布，根据库仑定律和力的合成法则，可以求出带电体间的静电力的大小和方向。
【例4】中国的FY－3A卫星上可观测到高能质子和高能电子。如图所示，分别在A、B两点放置点电荷Q1=+2×10－14 C和Q2=－2×10－14 C。在AB的垂直平分线上有一点C，且AB=AC=BC=6×10－2 m。如果有一高能电子在C点处，它所受的库仑力的大小和方向如何？
解析：电子带负电，在C点同时受A、B点电荷的作用力FA、FB，如图所示。由库仑定律F＝k得
FA=FB=k=9.0×109×N=8.0×10－21 N
由矢量的平行四边形定则和几何知识得
静止在C点的电子受到的库仑力F＝FA＝FB＝8.0×10－21 N，方向平行于AB向左。
答案：8.0×10－21 N 方向平行于AB向左
5．确定库仑力的基本环节
（1）确定研究对象q1或q2，特别是电性和电荷量关系；
（2）画出q1与q2连线的示意图，标明距离r。
（3）根据库仑定律F＝k列方程。
（4）根据同种电荷相斥、异种电荷相吸确定方向。
6．应用库仑定律解题应注意的问题
（1）真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两电荷的电荷量及间距有关，跟它们的周围是否有其他电荷等无关。
（2）两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律，即两带电体间的库仑力是一对作用力与反作用力。不要认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。
（3）库仑力也称为静电力，它具有力的共性。它与学过的重力、弹力、摩擦力是并列的。它具有力的一切性质，它是矢量，合成分解时遵循平行四边形定则，可与其他的力平衡，使物体发生形变，产生加速度。
（4）可将计算库仑力的大小与判断库仑力的方向两者分别进行。即用公式计算库仑力大小时，不必将表示电荷q1、q2的带电性质的正、负号代入公式中，只将其电荷量的绝对值代入公式中从而算出力的大小；力的方向再根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引加以判别。也可将q1、q2带符号运算，F为“＋”表示斥力，F为“－”表示引力。
7．三个自由点电荷的共线平衡问题
若要使三个自由点电荷均处于平衡状态，三个电荷的电荷量大小、电性关系及相对位置关系有如下特点：
（1）三自由点电荷电性必为“两同一异”。若三者均带同种电荷，无论怎么放，外侧点电荷都不可能平衡。
（2）异种电荷必放中间。若异种电荷B放外侧，它本身就不可能平衡。
（3）放在内侧的异种电荷B电荷量最小。因为若QB＞QC，则FBA＞FCA，A不能平衡；若QB＞QA，则FBC＞FAC，C不能平衡。
可形象地概括为“三点共线、两同夹异，两大夹小，近小远大”。即三个电荷必须在同一直线上，且中间的电荷量小，与旁边两个为异种电荷，两边电荷靠近中间近的电荷量较小，远的电荷量较大。
解技巧 同一直线上力的平衡问题可用代数法处理；若为三个互成角度的力的平衡问题，常用直接合成法，即两个力的合力和第三个力等大反向，也可用正交分解法处理；若为多个互成角度的共点力的平衡问题，首先用正交分解法，也可用平行四边形法。
【例5】真空中有两个点电荷，当它们相距1.0 m时，相互吸引力为1.8×10－3 N。若其中一个带电荷量是－4.0×10－7 C，则另一个带电荷量是多少？当它们相距10 cm时，相互吸引力是多大？
解析：本题考查库仑力的计算，关键是准确应用公式F＝k。由F＝k知另一个点电荷带电荷量的绝对值为q2＝＝C＝5.0×10－7 C。因两点电荷相互吸引，故另一点电荷带正电。当相距10 cm时，引力为F2＝k＝N＝0.18 N。
答案：5.0×10－7 C 0.18 N
【例6】“真空中两个静止的点电荷相距10 cm，它们之间的相互作用力大小为9×10－4 N，当它们结合在一起时，成为一电荷量为3×10－8 C的点电荷，问原来两电荷的电荷量大小。”某同学求解如下：
根据电荷守恒定律q1＋q2＝3×10－8 C＝a①
根据库仑定律q1q2＝F＝×9×10－4 C2＝1×10－15C2＝b，
将q2＝b/q1代入①式得q－aq1＋b＝0，
解得q1＝（a±）＝（3×10－8± C。
根号中的数值小于0，经检查，运算无误。试指出求解过程中的问题并给出正确解答。
解析：以上题中求解的数学过程没问题，但应从物理意义入手。两个带电的点电荷合二为一后，总电荷量是它们的代数和，而题中并没有指明二者的电性，设它们所带电荷量的绝对值分别为q1、q2，则当电性相同时，q1＋q2＝3×10－8 C＝a，已证明无解。当电性相反时，q1－q2＝3×10－8 C＝d②
将q2＝b/q1代入②式得q－dq1－b＝0，
解得q1＝[d±]＝（3×10－8±C＝（3×10－8±7×10－8）C，
因为假设q1、q2均为绝对值，取正，则q1＝5×10－8 C，
q2＝q1－3×10－8 C＝2×10－8 C，
所以原来两电荷电荷量分别是5×10－8 C和2×10－8 C，且一个是正电荷，一个是负电荷，至于哪个为正哪个为负无关紧要。
答案：5×10－8 C 2×10－8 C
【例7】如图所示，q1、q2、q3分别表示在一条直线上的三个点电荷，已知q1与q2之间的距离为l1，q2与q3之间的距离为l2，且每个电荷都处于平衡状态。
（1）如果q2为正电荷，则q1为________电荷，q3为________电荷。
（2）q1、q2、q3三者电荷量大小之比是________。
解析：空间中存在三个点电荷，任意一个点电荷受另外两个点电荷的静电力作用，要处于平衡状态，则这两个静电力的矢量和为零。
（1）若q2为正电荷，对q1而言要让其平衡，q3必为负电荷，但对q2而方，q1和q3必为同性电荷，所以q1与q3都为负电荷。
（2）由库仑定律和平衡条件知
对q1：k＝k①
对q2：k＝k②
由②式得：＝，③
由①式得：＝（）2，④
由③④两式得：q1∶q2∶q3＝（）2∶1∶（）2。
答案：（1）负 负 （2）（）2∶1∶（）2
8．库仑定律的灵活应用
（1）库仑定律适用于真空中的两个点电荷间的相互作用。当两个点电荷均静止或只有一个点电荷运动时，库仑定律适用；当两个点电荷均运动时，库仑定律不适用。
（2）对于不能看做点电荷的带电体，就无法直接应用库仑定律求解，但是我们可以用一组点电荷来代替实际的带电体，从而完成问题的求解。
（3）在有些情况下，如果无法直接使用库仑定律时，还可以采用填补法巧妙地使库仑定律由不能用变为能用。
比如绝缘球壳挖去一个小圆孔后，在高中阶段无法直接用库仑定律去求剩余部分对球心点电荷的作用力，可利用填补法，将挖去的小圆孔补上，小圆孔部分电荷对球心点电荷的作用力跟剩余部分对球心点电荷的作用力是一对平衡力，这样，根据对称关系，求剩余部分电荷的作用力问题就转化为求挖去部分的作用力的问题。
9．库仑定律与万有引力定律的比较
（1）库仑定律和万有引力定律都遵从二次平方反比规律，人们至今还不能说明它们的这种相似性。
（2）两个定律列表比较如下：
公式
F＝Gm1m2/r2
F＝kq1q2/r2
产生原因
只要有质量就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力
存在于电荷间，两带电体的库仑力既有引力，也有斥力，由电荷的性质决定
相互作用
吸引力与它们质量的积成正比
库仑力与它们电荷量的积成正比
相似
遵从牛顿第三定律
与距离的关系为平方反比
都有一个常量
（3）对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。
【例8】一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为＋Q的电荷，另一电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷所受的力为零。现在球壳上挖去半径为r（r?R）的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受力的大小为______________（已知静电力常量为k），方向______________________________________________________________。
解析：设被挖去的小圆孔部分的电荷量为q′，q′对点电荷q的作用力为F，球壳上其余部分的电荷（Q－q′）对q的作用力为F′，由题意可知，F与F′大小相等，方向相反。因为q′＝×πr2＝
所以由库仑定律得F＝k＝k
F′＝F＝k，方向由球心指向小孔中心。
答案：k 由球心指向小孔中心
【例9－1】不带电的金属球A的正上方有一点B，该处有带电液滴自静止开始落下，到达A球后电荷全部传给A球，不计其他阻力的影响，则下列叙述中正确的是（ ）
A．第一个液滴做自由落体运动，以后的液滴做变加速直线运动，而且都能到达A球
B．当液滴下落到重力等于库仑力位置时，速度为零
C．当液滴下落到重力等于库仑力位置时，开始做匀速运动
D．一定有液滴无法到达A球
解析：当液滴下落到重力等于库仑力位置时，所受合外力为零，加速度为零，但速度不为零，继续下落时，库仑力将增大，合外力不为零，液滴将做减速运动，所以B、C均错误。
液滴落在A上后，A上的电荷量变多，A球与液滴间斥力逐渐增大，设某液滴下落过程中在库仑力和重力作用下，先加速再减速到达A球时速度刚好为零。则以后再滴下的液滴将无法到达A球。
答案：D
【例9－2】设某星球带负电荷，一电子粉尘悬浮在距星球表面1 000 km的地方，若将同样的电子粉尘带到距星球表面2 000 km的地方，相对于该星球无初速度释放，则此电子粉尘（ ）
A．向星球下落
B．仍在原处悬浮
C．推向太空
D．无法判断
解析：设电子粉尘距球心的距离为r，电子粉尘的质量为m，星球的质量为M，电子粉尘的电荷量为q，星球的电荷量为Q，则粉尘在距星球表面1 000 km的地方悬浮，有G＝k，等式两边都有r2，可以消掉，这就意味着即使r发生变化，等式依然成立，因此正确选项为B。
答案：B
3 电场强度
答案：（1）电荷 （2）特殊物质 （3）放入其中的电荷有力的作用 （4）静电力 （5）电荷量 （6）强弱 （7）F/q （8）牛（顿）每库（仑） （9）N/C （10）正电荷 （11）k （12）矢量和 （13）切线方向 （14）正电荷 （15）无穷远 （16）无穷远 （17）负电荷 （18）相交 （19）越密 （20）匀强电场
1．电场
（1）内涵：电荷之间的相互作用是通过特殊形式的物质——电场发生的，电荷的周围都存在电场。如图所示。
①电场的特殊性：不同于生活中常见的物质，看不见、摸不着、无法称量、可以叠加。
②电场的物质性：是客观存在的，具有物质的基本属性——质量和能量。
（2）特征：电场具有力和能的特征。
①电场最基本的性质是对放入其中的电荷（不管是静止的还是运动的）有力的作用，且同一点电荷在电场中不同点处受到的电场力的大小或方向都可能不一样。
②电场能使放入其中的导体产生静电感应现象 （详见第7节）。
③当带电体在电场中移动时，电场力能对带电体做功，这表示电场具有能量（详见第4节）。
【例1】关于电场，下列说法正确的是（ ）
A．静电力是一种超距力，因此电场实际不存在
B．电荷的作用是通过电场传递的
C．电场看不见、摸不着，因此电场不是物质
D．电场对放入其中的任何电荷都有力的作用
解析：静电力实际上就是电场对电荷的作用力，并不是超距作用，故A错误；电荷间的作用力是通过电场传递的，故B、D正确；电场看不见、摸不着，但它是一种物质的存在形式，故C错误。
答案：BD
2．电场强度
（1）试探电荷与场源电荷
①试探电荷：如图所示，带电小球是用来检验电场是否存在及其强弱分布情况的，称为试探电荷，或检验电荷。
②场源电荷：被检验的电场是电荷Q所激发的，电荷Q称为场源电荷，或源电荷。
破疑点 （1）试探电荷的电荷量和尺寸必须充分小，放入试探电荷后不引起原电场的明显变化。（2）试探电荷有电荷量，但是要忽略它所产生的电场。
（2）电场强度
①定义：放入电场中某点的电荷所受的静电力F跟它的电荷量q的比值，叫做该点的电场强度。
②定义式：E＝；
③单位：牛/库（N/C），伏/米（V/m）。1 N/C＝1 V/m。
④方向：电场中某点的电场强度的方向跟正电荷在该点所受的静电力的方向相同。
⑤物理意义：电场强度是描述电场力的性质的物理量，与试探电荷受到的静电力大小无关。
⑥由E＝变形为F＝qE，表明：如果已知电场中某点的电场强E，便可计算在电场中该点放任何电荷量的带电体所受的静电力的大小。
哦，能不能说电场中某点的电场强度E∝F，E∝呢？
不能这样说！公式E＝是电场强度的比值定义式，适用于一切电场，电场中某点的电场强度仅与电场及具体位置有关，与试探电荷的电荷量、电性及所受电场力F大小无关。
（3）电场力和电场强度的区别和联系
【例2】在真空中O点放一个点电荷Q＝＋1.0×10－9 C。今在M点放一个点电荷q＝－1.0×10－10 C，OM的距离r＝30 cm，如图所示。求：
（1）q在M点受到的作用力；
（2）M点的场强；
（3）拿走q后M点的场强；
（4）M、N两点的场强哪点大。
解析：根据题意知Q是场源电荷，q为检验电荷，为了方便，只用电荷量的绝对值计算，力和场强的方向可通过电荷的正、负判断。
（1）
（2）
（3）
（4）根据公式E＝k知，M点场强大。
答案：（1）1.0×10－8 N，方向由M指向O （2）100 N/C，方向由O指向M （3）100 N/C，方向由O指向M （4）M点场强大
3．点电荷周围的场强
（1）公式：E＝k，Q为真空中场源点电荷的带电荷量，r为考察点到点电荷Q的距离。
（2）方向：若Q为正电荷，场强方向沿Q和该点的连线指向该点；若Q为负电荷，场强方向沿Q和该点的连线指向电荷Q。
（3）适用条件：真空中点电荷Q产生的电场。
谈重点 （1）孤立的点电荷在真空中形成的电场是非均匀电场，其决定式E＝k，场强的方向在该点和电荷的连线上。
（2）从表达式E＝k，说明电场中任意一点的电场强度的大小和方向与检验电荷无关，完全由场源电荷Q和该点的位置所决定。
【例3】图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，图乙则是电场线上P、Q处的试探电荷所受电场力的大小与其电荷量间的函数关系图象，下列说法可能的是（ ）
A．场源电荷在P点左侧
B．场源电荷在P、Q之间
C．场源电荷在Q点右侧
D．因不知场源电荷的电性，所以无法确定场强方向
解析：
选项
正误
解析
A
√
由F＝Eq和图乙可知，EP＞EQ，故场源电荷离P点较近，因为图甲中AB是一个点电荷形成电场的一条电场线，如果场源电荷在P、Q之间，那就是两条电场线了，所以场源电荷在P点左侧
B
×
C
×
D
√
如果场源电荷为正电荷，则场强方向由P指向Q；如果场源电荷为负电荷，则场强方向由Q指向P。由于不知道点电荷的电性，故无法确定场强方向
答案：AD
4．电场强度的叠加
（1）概念：电场中某点的电场强度为各个场源点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这种关系叫做电场强度的叠加。例如，图中P点的电场强度，等于＋Q1在该点产生的电场强度E1与－Q2在该点产生电场强度E2的矢量和。
（2）计算：若一个较大的带电体不能看做点电荷，在计算它的电场时，可以把它分成若干足够小的小块，每一个小块可以看做一个点电荷，分别计算各小块产生的电场强度，然后用电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。
（3）一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，即E＝k，其中r是球心到该点的距离（r?R），Q是整个球体所带的电荷量。
谈重点 （1）电场强度是矢量，场强的叠加本质是矢量叠加，所以应该用平行四边形定则。（2）电场的可叠加性也是电场与普通物质的重要区别。
【例4】如图所示，A、B、C三点为一直角三角形的三个顶点，∠B＝30°，现在A、B两点放置两点电荷qA、qB，测得C点场强的方向与AB平行，则qA带________电，qA∶qB＝________。
解析：放在A点和B点的点电荷在C处产生的场强方向在AC和BC的连线上，因C点场强方向与BA方向平行，故放在A点的点电荷和放在B点的点电荷产生的场强方向只能如图所示，由C→A和由B→C，故qA带负电荷，qB带正电荷，且EB＝2EA，即k＝2k，又由几何关系知BC＝2AC，所以qA∶qB＝1∶8。
答案：负 1∶8
5．电场线
（1）定义：在电场中画出的一系列从正电荷出发到负电荷终止的曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点电场方向相同，这些曲线就叫电场线。
（2）几种常见电场的电场线分布特征
①正、负点电荷形成的电场线。（如图所示）
a．离电荷越近，电场线越密集，场强越强。方向是正点电荷由点电荷指向无穷远，而负点电荷则由无穷远处指向点电荷。
b．在正（负）点电荷形成的电场中，不存在场强相同的点。
c．若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小处处相等，方向处处不相同。
②等量异种点电荷形成的电场线。（如图所示）
a．两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷，场强大小可以计算。
b．两点电荷连线的中垂面（中垂线）上，电场线方向均相同，即场强方向均相同，且总与中垂面（线）垂直。在中垂面（线）上到O点等距离处各点的场强相等（O为两点电荷连线的中点）。
c．在中垂面（线）上的电荷受到的电场力的方向总与中垂面（线）垂直，因此，在中垂面（线）上移动电荷时电场力不做功。
③等量同种点电荷形成的电场线。（如图所示）
a．两点电荷连线中点处场强为零，此处无电场线。
b．两点电荷中点附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零。
c．两点电荷连线中垂面（中垂线）上，场强方向总沿面（线）远离 （等量正电荷）。
d．在中垂面（线）上从O沿面（线）到无穷远，是电场线先变密后变疏，即场强先变强后变弱。
e．两个带负电的点电荷形成的电场线与两个正电荷形成的电场线分布完全相同，只是电场线的方向相反。
④带等量异种电荷的平行板间的电场线（即匀强电场的电场线）。（如图所示）
a．电场线是间隔均匀、互相平行的直线。
b．电场线的方向是由带正电荷的极板指向带负电荷的极板。
⑤点电荷与带电平板间的电场线。（如图所示）
（3）电场线的性质
①电场线是为形象描述电场而引入的假想的线，而不是真实存在的线；显示电场线分布的实验，也只是模拟了电场线的分布，而不是证实电场线的存在。电场线也不是任意画出的，它是根据电场的性质和特点画出的曲线。
②两条电场线不相交。如果相交，则在交点处的切线方向将有两个，这与电场中任一点的电场强度方向是唯一的相矛盾。
③在静电场中，电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷，电场线不闭合。
④电场线如何形象地描述场强？
电场线的切线方向——场强的方向。电场线上某点的切线方向是那点的电场强度方向，是放在那点检验电荷＋q的受力方向，也是检验电荷＋q在那里所获得的加速度方向。
电场线的疏密程度——场强的大小。电场线越密的地方，场强越大，电场线越疏的地方，场强越小。
（4）匀强电场
①定义：电场中各点场强的大小相等、方向相同的电场就叫匀强电场。
②匀强电场的电场线：是一组疏密程度相同（等间距）的平行直线。例如，两等大、正对且带等量异种电荷的平行金属板间的电场中，除边缘附近外，就是匀强电场。
【例5】如图所示为电场中的一条电场线，在该电场线上有a、b两点，用Ea、Eb分别表示两点电场强度的大小，则（ ）
A．a、b两点的场强方向相同
B．因为电场线由a指向b，所以Ea＞Eb
C．因为电场线是直线，所以Ea＝Eb
D．不知道a、b附近电场线的分布情况，Ea、Eb的大小不能确定
解析：电场线上某点的切线方向表示该点电场强度的方向，本题中的电场线是直线，因此a、b两点的电场强度方向相同；电场线的疏密表示电场强度的大小，一条电场线不能确定a、b两点的电场强度的大小关系。
答案：AD
6．两个场强公式E＝和E＝k的比较
E＝
E＝k
电场强度的定义式（又叫量度式）
点电荷形成的电场的决定式
q是试探电荷产生的电荷量
Q是场源电源的电荷量
适用于任何电场
适用于真空中点电荷产生的电场
E与试探电荷q和F无关，不能说E与F成正比，与q成反比
若r一定，E∝Q；或Q一定，E∝
析规律 在点电荷Q的电场中不存在E相同的两个点。r相等时，E的大小相等但方向不同；两点在以Q为圆心的同一半径上时，E的方向相同而大小不等。
【例6】在真空中有两个点电荷q1和q2分别位于A和B，如图所示相距20 cm，q1为4×10－8 C，q2为－8×10－8 C。则：
（1）在AB连线上A点的外侧离A点20 cm处的D点场强大小、方向如何？
（2）能否在D点处引入一个带负电的点电荷－q，通过求出－q在D处受到的合电场力，然后根据E＝F/q求出D处的场强大小和方向？
解析：（1）q1在D点产生的场强
E1＝k＝9×109× N/C＝9×103 N/C，方向向右。
q2在D点产生的场强
E2＝k＝9×109× N/C＝4.5×103 N/C，方向向左。
D点的合场强E＝E1－E2＝4.5×103 N/C，方向向右。
（2）可以。因为电场中某点的场强由电场本身决定，与放入电荷无关，无论放入电荷的带电荷量是多少，也不论放入电荷的正、负，该点的场强大小、方向是确定的。
答案：（1）4.5×103 N/C，方向向右 （2）见解析
7．若已知一条电场线上的a、b两点，则a、b两点的场强有几种可能
如图：
（1）若是正点电荷周围的电场线。
则Ea＞Eb，如图：
（2）若是负点电荷周围的电场线。
则Ea＜Eb，如图：
（3）若是等量异种电荷间的电场线，则有三种可能。
①若a、b到连线中点O的距离相等，则Ea＝Eb，如图：
②若a、b在O点靠近正电荷一侧，则Ea＞Eb，如图：
③若a、b在O点靠近负电荷一侧，则Ea＜Eb，如图：
（4）若在匀强电场中，则Ea＝Eb，如图：
【例7】如图所示，MN是电场中的一条电场线，一电子从a点运动到b点速度在不断地增大，则下列结论中正确的是（ ）
A．该电场是匀强电场
B．电场线的方向由N指向M
C．电子在a处的加速度小于在b处的加速度
D．因为电子从a到b的轨迹跟MN重合，所以电场线就是带电粒子在电场中的运动轨迹
解析：
选项
结论
解析
A
×
仅从一条直的电场线不能判断出该电场是否为匀强电场，因为无法确定电场线的疏密程度，所以该电场可能是匀强电场，可能是正的点电荷形成的电场，也可能是负的点电荷形成的电场
B
√
电子从a到b做的是加速运动，表明它所受的电场力方向是由M指向N，由于负电荷所受的电场力方向跟场强方向相反，所以电场线的方向由N指向M
C
×
由于无法判断电场的性质，因此不能比较电子在a、b两处所受电场力的大小，即不能比较加速度的大小
D
×
电场线不是电荷运动的轨迹，只有在特定的情况下，电场线才可能与电荷的运动轨迹重合
答案：B
4 电势能和电势
答案：（1）无关 （2）电场 （3）减少量 （4）EpA－EpB （5）比值 （6）φ＝ （7）伏特 （8）V （9）相对 （10）标量 （11）降低 （12）电场线 （13）场强方向 （14）电势高 （15）电势低 （16）相交 （17）不做功
1．静电力做功的特点
（1）电荷在电场中移动时，静电力做功跟重力做功相似，只与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
（2）正电荷顺着电场线移动时电场力做正功，负电荷顺着电场线移动时电场力做负功。
【例1】如图所示，一绝缘细杆的两端各固定着一个小球，两小球带有等量异种电荷，处于匀强电场中，电场方向如图中箭头所示。开始时，细杆与电场方向垂直，即在图中Ⅰ所示的位置；接着使细杆绕其中心转过90°，到达图中Ⅱ所示的位置；最后，使细杆移到图中Ⅲ所示的位置。以W1表示细杆由位置Ⅰ到位置Ⅱ过程中电场力对两小球所做的功，W2表示细杆由位置Ⅱ到位置Ⅲ过程中电场力对两小球所做的功，则有（ ）
A．W1＝0，W2≠0 B．W1＝0，W2＝0
C．W1≠0，W2＝0 D．W1≠0，W2≠0
解析：电场力做功只与带电小球的始末位置有关，设细杆长L，细杆由Ⅰ位置转到Ⅱ位置，电场力对正、负带电小球都做正功，大小都为Eq，所以W1＝2·Eq＝EqL≠0，杆由Ⅱ位置移动到Ⅲ位置，电场力对带正电荷的小球做正功，对带负电荷的小球做负功，设上移距离为x，则功的大小都为xEq，W2＝xEq－xEq＝0，所以C选项正确。
答案：C
2．电势能
（1）定义：由于移动电荷时静电力做功与移动的路径无关，电荷在电场中也具有势能，这种势能叫做电势能。用Ep表示，单位是J。
（2）静电力做功与电势能变化的关系
①电场力对电荷做正功时，电荷电势能减少；电场力对电荷做负功时，电荷电势能增加。
②若用WAB表示电荷从A点移动到B点的过程中静电力做的功，EpA和EpB表示电荷在A点和B点的电势能，则有WAB＝EpA－EpB。
（3）电势能的大小
若规定电荷在B点电势能为0，即EpB＝0，则EpA＝WAB。即电荷在电场中某点处电势能的大小，等于把它从该点移动到零势能位置时静电力做的功。
谈重点 （1）电势能是电场中的电荷和电场共同具有的，并不是电场中的电荷所独有，只是我们习惯说“电荷的电势能”。
（2）表达式WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，既适用于正电荷，也适用于负电荷。
（3）每一种势能都对应一种特定的力，势能的变化只与这个特定的力的功有关，电场力的功与电势能的变化相对应。静电力做的功只能决定电势能的变化量，而不能决定电荷的电势能数值。
（4）电势能的相对性
①通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为0，或把电荷在大地表面上的电势能规定为0。
②电荷在电场中某点的电势能的大小与零电势能点的选取有关，但电荷在某两点之间的电势能之差与零电势能点的选取无关。
【例2】如图为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点。在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，电场力做的功为1.5 J。则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点多0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
解析：
选项
结论
解析
A
×
粒子从A点运动到B点，电场力做正功，且沿着电场线，故粒子带正电
B
×
粒子从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，故粒子在A点的电势能比在B点多1.5 J
C
√
由动能定理，WG＋W电＝ΔEk，－2.0 J＋1.5 J＝EkB－EkA
D
√
由其他力（此处指电场力）做功等于机械能的增加
答案：CD
3．电势
（1）定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势，用φ表示。
（2）定义式：φ＝。
根据电势φ定义式，能说φ与Ep成正比，与q成反比吗？
与电场强度一样，电场中某点处φ的大小事由电场本身的条件决定的，与在该点处是否放置电荷、电荷的电性、电荷量均无关。
（3）在国际单位制中，电势的单位是伏特（V），1 V=1 J/C。
（4）电势是标量，只有大小，没有方向，但有正值和负值之分，是表示电场能量性质的一个物理量。
①在规定了电势零点后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值。正值表示该点电势高于零电势；负值表示该点电势低于零电势。显然，电势的符号只表示大小，不表示方向。
②在利用φ＝计算电势时，Ep、q可代入正、负号运算，计算结果的正、负号恰好反映了电势的高低。
（5）电势的相对性
①电势是相对的，只有先确定了电势零点以后，才能确定电场中其他位置的电势。电场中某点的电势跟电势零点的选择有关。
②对不是无限大的带电体产生的电场，通常取无限远处的电势为零；在实际处理问题中，又常取大地电势为零。
（6）电势与电场线的关系：无论什么电场，沿电场线方向电势是逐渐降低的，且是电势降落最快的方向。
【例3】如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远移至电场中的A点，需要克服电场力做功W＝1.2×10－4 J，选取无穷远处为势能零点，那么：
（1）A点的电势及q在A点的电势能各是多少？
（2）q未移入电场前A点的电势是多少？
解析：（1）据电势能的改变量等于电场力做的功，所以q在A点的电势能：EpA＝W＝1.2×10－4 J。正电荷在电势高处具有的电势能大，即A点的电势φA＞0
φA＝＝＝1.2×104 V。
（2）A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q未移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V。
答案：（1）1.2×104 V 1.2×10－4 J （2）1.2×104 V
4．等势面
（1）定义：电场中电势相等的点构成的面叫等势面。
（2）几种典型电场的等势面
①点电荷电场中的等势面：以点电荷为球心的一簇球面。如图甲所示。
②等量异种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面。如图乙所示。
③等量同种点电荷电场中的等势面：是两簇对称曲面。如图丙所示。
④匀强电场中的等势面是垂直于电场线的一簇平面。如图丁所示。
⑤形状不规则的带电导体附近的电场线及等势面。如图戊所示。
带方向的线段表示电场线，无方向的线表示等势面。
图中的等势“面”画成了线，即以“线”代“面”。
【例4】在如图所示的四种电场中，分别标记有a、b两点。其中a、b两点的电势相等，电场强度相同的是（ ）
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异号电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同号电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中匀强电场中的a、b两点
解析：场强大小相同，方向不同；电势φa＝φb。
场强大小、方向皆相同；电势φa＝φb。
场强大小相同，方向相反；电势φa＝φb。
场强大小、方向皆相同；电势φa＜φb。
答案：B
点评：（1）电场强度是矢量，场强相同必须是大小、方向皆相同。
（2）熟悉几种典型电场的电场线及等势面的空间分布特点，可迅速对场强和电势的分布情况作出判断。
5．等势面的性质及应用
（1）等势面的性质
①等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直。
②电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永远不会相交。
③如果两个等势面间的电势差是相等的，在匀强电场中，两个等差等势面间的距离相等；但在非匀强电场中，两个等差等势面间的距离并不恒定，场强大的地方，两等势面间的距离小，场强小的地方，两等势面间的距离大。
④在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功。因为电场强度E与等势面垂直，即电场力总与运动方向垂直。若某一电荷q由A点经过任意路径移动到同一等势面上的B点，整个过程电场力做功为零，但分段来看，电场力可能先做正功，后做负功，也可能先做负功，后做正功。
（2）等势面的用途
①等势面的密集程度也可以反映电场的强弱。若相邻的两个等势面的电势差相等，则等势面越密集的区域，其场强越大。
②知道等势面就知道电场中各点电势的高低差别情况，电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面。
③能求出电荷在不同等势面间移动时电场力做的功，即Wab＝qUab＝q（φa－φb）。
④已知等势面的形状和分布，可根据电场线与等势面相互垂直，绘出电场线的分布，确定电场的分布。
【例5】如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是（ ）
A．三个等势面中，等势面a的电势最高
B．带电质点一定是从P点向Q点运动
C．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小
D．带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
解析：
答案：D
点评：带电粒子在电场中运动的轨迹反映出粒子所受静电力的大小、方向等情况，所以解决本题的合理步骤就是首先根据带电粒子的运动轨迹分析静电力的方向，然后分析电场强度、电场线的方向，再根据电场的性质进一步分析电场中各点电场强度、电势等物理量的大小关系。
6．电势和电势能的比较
电势φ
电势能Ep
①
反映电场能的性质
反映电场和处于其中的电荷共同具有的能量
②
电场中某一点的电势φ的大小，只跟电场本身有关，跟点电荷q无关
电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的
③
电势沿电场线逐渐下降，取定零电势点后，某点的电势高于零时，为正值；某点的电势低于零时，为负值
正点电荷（＋q）：电势能的正负跟电势的正负相同。负点电荷（－q）：电势能的正负跟电势的正负相反
④
单位：伏特
单位：焦耳
⑤
联系：Ep＝qφ
【例6】（上海模拟）如图所示，真空中存在范围足够大的匀强电场，虚线A、B为该匀强电场的两个等势面。现有三个完全相同的带等量正电荷的小球a、b、c，从等势面A上的某点同时以相同速率v0向不同方向开始运动，其中a的初速度方向垂直指向等势面B；b的初速度方向平行于等势面；c的初速度方向与a相反。经过一段时间，三个小球先后通过等势面B，已知三个小球始终在该匀强电场中运动，不计重力，则下列判断正确的是（ ）
A．等势面A的电势高于等势面B的电势
B．a、c两小球通过等势面B时的速度相同
C．开始运动后的任一时刻，a、b两小球的动能总是相同
D．开始运动后的任一时刻，三个小球电势能总是相等
解析：
选项
正误
解析
A
√
由a、b、c三球经过一段时间后均通过等势面B，可知它们所受的电场力向下，则电场方向竖直向下
B
√
由动能定理得，三个小球通过等势面B时，电场力做功相等，三球的速度大小相同，且a、c方向相同
C
×
对a、b两球，由于运动方向不同，同一时间，电场力做功不同，因此同一时刻的动能不相同
D
×
三个小球运动的方向不同，大小也不相同，不可能在同一时刻位于同一等势面上，故电势能不可能相等
答案：AB
7．电势和电场强度的比较
电势φ
电场强度E
①
描述电场的能的性质
描述电场的力的性质
②
电场中某点的电势等于该点跟选定的标准位置（零电势点）间的电势差。φ＝，φ在数值上等于单位正电荷在电场中该点具有的电势能
电场中某点的场强等于放在该点点电荷所受的电场力F跟点电荷电荷量q的比值，E＝，E在数值上等于单位正电荷在该点所受到的静电力
③
标量
矢量
④
单位：V/m
单位：N/C
⑤
关系：电势沿着电场强度的方向降落
⑥
大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高
【例7】如图所示，AC、BD为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O，半径为r，将带等电荷量的正、负点电荷放在圆周上，它们的位置关于AC对称，+q与O点的连线和OC夹角为30°，下列说法正确的是（ ）
A．A、C两点的电势关系是φA=φC
B．B、D两点的电势关系是φB=φD
C．O点的场强大小为
D．O点的场强大小为
解析：
选项
正误
解析
A
√
由等量异种点电荷的电场分布和等势面的关系可知，等量异种点电荷的连线的中垂线为一条等势线，故A、C两点的电势关系是φA＝φC
B
×
空间中电势从左向右逐渐降低，故B、D两点的电势关系是φB＞φD
C
√
＋q点电荷在O点的场强与－q点电荷在O点的场强的大小均为，方向与BD方向向上和向下均成60°的夹角，合场强方向向右，根据电场的叠加原理知合场强大小为
D
×
答案：AC
8．利用等量电荷形成的电场中电势的特点解题
（1）等量异种电荷
①两电荷的连线的中垂线上：规定无穷远处为零电势点，中垂线上每一点到两电荷的距离相等，正、负电荷在每一点上产生的电势的大小都为零。正电荷产生的电场在该处电势为正，负电荷产生的电场在该处电势为负，故每一点的合电势为零。
②两电荷的连线上：电场线的方向由正电荷指向负电荷，故从正电荷到负电荷的连线上电势逐渐降低，且以中垂线零电势为界，含正电荷的一边的电场中每点的电势都为正，含负电荷一边的电场中每点的电势都为负。
（2）等量同种电荷
①两电荷的连线的中垂线上：如图所示，规定无限远处为零电势点，O点的电势最高，从O点向中垂线的两端逐渐减小，到无穷远时变为零；中垂线上任一点a的电势与该点关于O点的对称点b的电势大小相等。
②两电荷的连线上：在两电荷的连线上，O点的电势最低。
【例8－1】（2012·安徽质检）x轴上有两点电荷Q1和Q2，Q1和Q2之间各点对应的电势高低如图中的曲线所示，规定无限远处电势为零，下列推理与图象信息不符合的是（ ）
A．Q1一定大于Q2
B．Q1和Q2一定是同种电荷，但不一定是正电荷
C．电势最低处P点的电场强度为0
D．Q1和Q2之间各点的电场方向都指向P点
解析：两个点电荷间的电势都为正，因此两点电荷都为正电荷，B错误；两个正点电荷的连线上有一点场强为零，正的试探电荷从两个电荷中的任一电荷附近沿连线向场强为零的点移动时电势都降低，到场强为零的点，电势最低，C正确；场强为零的点离Q1远，故Q1一定大于Q2，A正确；Q1和Q2之间各点的电场方向都指向P点，D正确。
答案：B
【例8－2】如图所示，a、b带等量异种电荷，MN为ab连线的中垂线。现有一个带电粒子从M点以一定初速度v0射入，开始时一段轨迹如图中实线所示，不考虑粒子重力，则在飞越该电场的整个过程中（ ）
A．该粒子带负电
B．该粒子的动能先增大，后减小
C．该粒子的电势能先减小，后增大
D．该粒子运动到无穷远处后，速度的大小一定仍为v0
解析：根据粒子开始时一段轨迹可以判断，粒子在该电场中受到大致向右的电场力，因而可以判断粒子带负电，A正确。因为等量异种电荷连线的中垂面是一个等势面，又由两个电荷的电性可以判断，由a到b电势逐渐升高，由b到无穷远电势逐渐降低，所以电场力先做正功后做负功，粒子的电势能先减小后增大，动能先增大后减小，所以B、C正确。从M点到无穷远处，电势变化为零，电场力做功为零，粒子的动能变化为零，速度仍为v0，D正确。
答案：ABCD
5 电势差
答案：（1）电势 （2）无关 （3）φB－φA （4）－UBA （5）标量 （6）电压 （7）伏特 （8）V （9）qUAB （10）UAB
1．电势差
（1）定义：电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压。
（2）表达式：设电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则A、B间电势差UAB＝φA－φB；B、A间电势差UBA＝φB－φA，显然UAB＝－UBA。
（3）单位：电势差和电势的单位都是伏特（1 V＝1 J/C）。
（4）矢标性：标量，但有正负，正负代表电势的高低。
如UAB＝－6 V，表示A点的电势比B点的电势低6 V。
谈重点 （1）电场中两点的电势差，由电场本身的初、末位置决定，与零势能面的选取无关。在确定的电场中，即便不放入电荷，任何两点间的电势差都有确定的值。
（2）谈到电势差时，必须明确所指的是哪两点（两位置）的电势差。A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA，UAB≠UBA，在这里一定要注意下标及下标顺序！
（3）电势差等于两点的电势之差，反过来，某点电势也可看成该点与零电势点的电势差，φA＝UAO，φO＝0。
【例1】在电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为（ ）
A．φA＞φB＞φC B．φA＜φC＜φB
C．φC＞φA＞φB D．φC＞φB＞φA
解析：UAB＝75 V，φA－φB＝75 V，φA＝φB＋75 V；UBC＝－200 V，φB－φC＝－200 V，φC＝φB＋200 V；φC＞φA＞φB。
答案：C
2．电势差与静电力做功的关系
（1）推导：电荷q从电场中从A点移到B点，由静电力做功与电势能变化的关系可得WAB＝EpA－EpB，由电势能与电势的关系φ＝可得EpA＝qφA，EpB＝qφB。所以WAB＝q（φA－φB）＝qUAB，所以有UAB＝。
即电场中A、B两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷q的比值。
（2）UAB＝的三点说明
①电势差UAB与q、WAB及移动电荷的路径均无关，仅与电场中A、B的位置有关，故电势差反映了电场本身的性质。不能认为UAB与WAB成正比，与q成反比，但可以利用WAB、q来测量A、B两点间的电势差UAB。
②UAB＝中，WAB为q从初位置A移动到末位置B的过程中静电力做的功，WAB可能为正值，也可能为负值；q为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值。在计算UAB时，WAB和q的正负可直接代入。
③由UAB＝可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点时电场力所做的功WAB。若电场力做正功，UAB为正值；若电场力做负功，则UAB为负值。
（3）电场力做功
在电场中A、B两点间移动电荷时，电场力做的功等于电荷量与两点间电势差的乘积，即WAB＝qUAB。
①公式WAB＝qUAB适用于任何电场，其中UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时，其他力所做的功。
②静电力做功与路径无关，只与初、末位置的电势差有关。
③公式WAB＝qUAB中各量均有正负，计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。另外，计算时各量也可用绝对值代入，而功的正负可借助于力与移动方向间的关系确定。
【例2】如图所示，匀强电场的场强E＝1.2×102 V/m，方向水平向右。一点电荷q＝4×10－8 C沿半径为R＝20 cm的圆周，从A点移动到B点。（已知∠AOB＝90°）求：
（1）这一过程静电力做的功；
（2）A、B间的电势差UAB。
解析：（1）点电荷从A点沿圆弧到达B点，静电力所做的功等效于沿A→O→B静电力所做的功。在A→O过程中，因静电力方向与运动方向垂直，所以静电力不做功，WAO＝0；在O→B过程中，静电力做功为W电＝F电·scos α＝qERcos 180°＝4×10－8×1.2×102×0.2×（－1）J＝－9.6×10－7 J，负号表示静电力做负功。
（2）UAB＝＝V＝－24 V。
答案：（1）－9.6×10－7 J （2）－24 V
3．电势差与电势的区别和联系
电势和电势差都是关于电场能的性质的重要物理概念，归结起来，两者的区别、联系如下：
【例3】有一带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从某电场中的A点移到B点，点电荷克服电场力做6×10－4 J的功，从B点移到C点，电场力对电荷做9×10－4 J的功，求A、C两点间的电势差并说明A、C两点哪点的电势较高。
解析：解法一（直接取代数值法）：从A点移到B点，据电场力做功的公式，有UAB＝＝V＝200 V，同理，将q从B点移到C点，有UBC＝WBC/q＝[9×10－4/（－3×10－6）] V＝－300 V，故A、C两点间的电势差为UAC＝φA－φC＝（φA－φB）＋（φB－φC）＝UAB－UBC＝[200＋（－300）] V＝－100 V，即A点电势比C点电势低100 V。
解法二（取绝对值法）：先求电势差的绝对值，再判断正负。由|UAB|＝＝V＝200 V，因负电荷从A移到B克服电场力做功，必从高电势点移到低电势点，即φA＞φB，UAB＝200 V，WAC＝WAB＋WBC＝（－6×10－4＋9×10－4） J＝3×10－4 J，因负电荷从B点移到C点电场力做正功，必从低电势点移到高电势点，即φB＜φC，UBC＝－300 V，UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋（－UAB）＝100 V。
解法三（整体法）：将电荷自A点移到B点，再移到C点看做一个全过程来分析，
WAC＝WAB＋WBC＝（－6×10－4＋9×10－4） J＝3×10－4 J，UAC＝＝V＝－100 V，即A点电势比C点电势低100 V。
答案：见解析
解技巧 （1）三种求电势差的方法各有利弊：求绝对值的方法，判断正负较为繁琐，但对“电场”这一章中的计算公式的记忆却较为容易——所有公式中的物理量均以绝对值代入计算（如库仑定律、场强公式等）；取代数值的方法无需判断正负，直接求出，但对“电场”这一章中的公式要区别记忆——有代入绝对值的，有代入代数值的，使用时要注意各量的物理意义。而整体法则更为简捷，也无需判断正负，可直接求出。
（2）对电势差要注意角标的排序，如：UAB＝－UBA，UAB＋UBC＋UCD＝UAD。
4．静电力做功的四种计算方法
①根据电势能的变化与静电力做功的关系计算：静电力做了多少功，就有多少电势能和其他形式的能发生相互转化。WAB＝EpA－EpB。
②应用公式WAB＝qUAB计算，可求变力做功。
符号规定：所移动的电荷若为正电荷，q取正值；若为负电荷，q取负值；若移动过程的始点电势φA高于终点电势φB，UAB取正值；若始点电势φA低于终点电势φB，UAB取负值。
③应用功的定义式求解匀强电场中静电力做的功W＝qEscos θ。注意：此法只适用于匀强电场。
④由动能定理求解静电力做的功W电＋W其他＝ΔEk。即若已知动能的改变量和其他力做功的情况，就可由上述式子求解静电力做的功。
【例4】如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB=h，小球滑到B点时的速度大小为。求：
（1）小球由A到B的过程中静电力做的功；
（2）A、C两点的电势差。
解析：（1）因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：静电力做功WE和重力做功mgh，由动能定理得WE＋mgh＝mv，代入已知条件vB＝得静电力做功WE＝·3mgh－mgh＝mgh。
（2）因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，又B、C在同一个等势面上，所以φB＝φC，即UAC＝UAB。由W＝qU得
UAB＝UAC＝＝－。
答案：（1）mgh （2）－
破疑点 因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的球面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件。由A点到B点的过程中电场力是变力，所以不能直接用W＝Fl求解，只能考虑运用功能关系。
5．有电场力做功时，功能关系的特点
（1）只有电场力做功
只发生电势能和动能之间的相互转化，电势能和动能之和保持不变，它们之间的大小关系为：
W电＝－ΔE电＝ΔEk。
（2）只有电场力和重力做功
只发生电势能、重力势能和动能之间的相互转化，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变，功和能的大小关系为：
W电＋WG＝－（ΔE电＋ΔEp）＝ΔEk.
（3）多个力做功
多种形式的能量参与转化，要根据不同力做功和不同形式能转化的对应关系分析，总功等于动能的变化，其关系为：
W电＋W其他＝ΔEk。
【例5－1】如图所示，在水平向右的匀强电场中，用一绝缘细线悬挂一个带电小球，其平衡位置为图中a点，现把小球拉到最低点b静止释放，则小球从b到a的过程中电势能和重力势能的改变量ΔE应为（ ）
A．ΔE＞0 B．ΔE＜0 C．ΔE＝0 D．无法确定
解析：平衡位置在a点，故从b至a过程，小球速度增大，动能增加了，那么电势能和重力势能的总量就应减少了，即ΔE＜0，B正确。
答案：B
【例5－2】如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等。一个正电荷在等势面L3处的动能为20 J，运动到等势面L1处时动能为零；现取L2为零电势参考平面，则当此电荷的电势能为4 J时，它的动能为（不计重力及空气阻力）（ ）。
A．16 J B．10 J C．6 J D．4 J
解析：正电荷在电场中只受电场力的作用，电荷的电势能和动能之和不变。在L3时，动能为20 J，运动到L2等势面时其动能一定是10 J，此时电势能为零，则此正电荷动能和电势能总和为10 J。
当它的电势能为4 J时，动能一定为6 J。
答案：C
6 电势差与电场强度的关系
答案：（1）Ed （2）降低最快 （3）Ed （4） （5）匀强电场 （6）电场强度 （7）电势
1．电势差与电场强度的关系
电场强度描述的是电场力的性质，电势差描述的是电场能的性质。E和U描述电场的角度虽不同，但作为反映同一电场的两个物理量，必然存在一定的关系。
（1）公式U＝Ed的推导
如图所示的匀强电场中，正电荷q在静电力作用下从A点沿电场方向移动到B点，A、B间距离为d，电势差为UAB，场强为E。把正电荷q从A点移到B点时，电场力qE所做的功为W＝qEd。利用电势差和做功的关系，这个功又可表示为W＝qUAB，比较这两个式子，可得W＝qEd＝qUAB，即UAB＝Ed。
结论：在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积。即电场强度与电势差的关系为UAB＝Ed。
（2）对U＝Ed的几点说明
①公式UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算；因为在非匀强电场中，电荷从A移至B的过程中，受的电场力为变力，W电场不能用Fs计算。
②公式中的“d”指电场中两点沿电场方向的距离，如果电场中两点不沿场强方向，d的取值应为两点连线在场强方向的投影，或为两点所在等势面间的垂直距离。
③在应用时，我们更多地把公式UAB＝Ed简化为U＝Ed，即我们只是把两点间的电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向我们根据题意另作判断，这样处理可以避免引起不必要的混淆。
④电场强度与电势差的关系式也可写作E＝UAB/d，它的意义是：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
⑤在非匀强电场中，E和U也有一定的关系，但不像在匀强电场中的关系式那么简单，虽然公式UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，但对一些非匀强电场的问题，也可以运用公式进行定性的判断。
【例1】如图所示的匀强电场场强为103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是（ ）
A．ab之间的电势差为40 V
B．ac之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abcd移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J
解析：
选项
正误
解析
A
√
由U＝Ed得Uab＝103×0.04 V＝40 V
B
×
a、c在同一等势面上，所以Uac＝0
C
×
将电荷沿abcd移动一周，位移为0，故电场力做功为0
D
×
Wad＝Wab＝qUab＝40×（－5×10－3） J＝－0.2 J
答案：A
2．电场强度E的另一种表述
（1）表达式：E＝。
（2）物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的比值。
（3）单位：由E＝得电场强度的另一个单位：伏每米（V/m）。
（4）适用范围：只适用于匀强电场。
电场强度的两个单位“V/m”与“N/C”应该是等值得！你能证明吗？
物理公式既代表量值关系，又代表单位关系。证明如下：
。
【例2】在匀强电场中，如图所示，分布着A、B、C三点，当把一个电荷量q=1.0×10－5 C的正电荷从A沿AB线移到B时，电场力做功为零；从B移到C时，电场力做功为－3.0×10－4 J。试判断该电场的方向，并计算场强的大小。
解析：电荷从A沿AB线移到B时，电场力做功为零，说明A、B两点必位于同一等势面上。因题中指明是匀强电场，等势面应为平面，且场强方向垂直于等势面，所以首先可以明确场强的方向应垂直于AB。电荷在从B移到C的过程中，因为WBC＝qUBC，所以有UBC＝＝－30 V，因为φB＜φC，所以场强方向垂直于AB且由C指向右下方。电场强度的大小E＝＝V/m＝125 V/m。
答案：垂直于AB斜向右下方 125 V/m
3．利用UAB＝Ed或E＝定性分析非匀强电场的电势差或场强
（1）如图是一非匀强电场，某一电场线上有A、B、C三点，且|AB|＝|BC|。
由电场线分布可知，AB段上任一点的场强都大于BC段上任一点的场强，故|AB|段场强的平均值E1大于|BC|段场强的平均值E2，又UAB＝E1·|AB|，UBC＝E2·|BC|，故UAB＞UBC。
（2）在一幅等势面图中，我们往往把每个相邻等势面间的电势差取为一个定值，相邻等势面的间距越小（等势面越密），场强E＝就越大。
【例3】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ）
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大
C．MN电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ|
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
解析：
选项
正误
解析
A
×
由带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的电场力方向，但因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质
B
√
由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大
C
×
因为是非匀强电场，故MN电势差并不等于NQ两点电势差
D
×
但因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小
答案：B
4．匀强电场中电势差、电势、电势能的综合计算
（1）UAB＝Ed或E＝可用于确定电势差或场强；
在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等。
当线段与场强平行时，由U＝Ed可知，d相等，U相同；当线段与场强不平行时，只要沿场强方向的长度相等，U相同。如图所示，?ABCD中，UAB＝UDC，UBC＝UAD。
（2）UAB＝φA－φB可用于确定某点电势；若φB＝0，则φA＝UAB。
（3）Ep＝qφ用于确定某点电势能，在φ＝0处，Ep＝0。
（4）WAB＝qUAB或UAB＝用于确定移动电荷对电场力做功或电场中两点的电势差，但需注意各量正负号的意义。
【例4】如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V。则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的场强大小为10 V/m
B．匀强电场的场强大小为V/m
C．电荷量为1.6×10－19 C的正点电荷从E点移到F点，电荷克服电场力做功为1.6×10－19 J
D．电荷量为1.6×10－19 C的负点电荷从F点移到D点，电荷的电势能减少4.8×10－19 J
解析：对A、B选项，要找出等势面，求出两个等势面之间的距离。可以将A、C两点连接，则A、C中点电势为2.0 V，而且恰好在EB连线上，所以E点电势为2.0 V，F、D两点的电势分别为1.0 V、3.0 V。DF连线距离为10 cm，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系E＝U/d＝2/0.1 V＝20/3 V，所以A选项错误，B选项正确。
对C、D选项，直接利用计算电场力做功的公式和电场力的功与电势能的关系解决。UEF＝1 V，WEF＝qUEF＝1.6×10－19×1 J＝1.6×10－19 J，所以C选项错误。UFD＝－2 V，WFD＝qUFD＝1.6×10－19×（－2）J＝－3.2×10－19 J，负点电荷从F点移到D点，电荷的电势能增加3.2×10－19 J，因而D选项也错误。
答案：B
7 静电现象的应用
答案：（1）叠加 （2）减弱 （3）移动 （4）处处为零 （5）等势体 （6）等势面 （7）等势体 （8）没有 （9）外表面 （10）越大 （11）没有电荷 （12）强电场的作用下 （13）中和 （14）失去电荷 （15）封闭 （16）壳内场强 （17）产生影响
1．静电平衡状态下导体的电场
（1）静电感应现象
如图所示，将一不带电的金属导体ABCD放到场强为E0的电场中，导体内的自由电子在电场力的作用下，逆着电场线方向定向移动，使导体的一侧聚集负电荷，而导体另一侧却聚集等量的正电荷，这种现象就是静电感应现象。
（2）静电平衡状态
①定义：导体上（包括表面）处处无电荷定向移动的状态。
②特点：导体内部的合场强处处为零；电场垂直于导体的外表面；整个导体是一个等势体，外表面是一个等势面。
警误区 ①不要认为达到静电平衡需要很长时间，其实金属导体建立静电平衡状态的时间只有几微秒，相当快。
②达到静电平衡后，自由电子没有定向移动而不是说导体内部的电荷不动，内部的电子仍在做无规则的运动。
③导体达到静电平衡后，内部场强处处为零是指原电场的电场强度E0与导体两端感应电荷产生的场强E′的合场强为零。
④应该注意静电感应与感应起电的区别和联系，感应起电是运用静电感应现象使物体起电的一种方法，而静电感应则是电场中导体两端暂时出现等量相反电荷的现象。
【例1】如图所示，在真空中把一绝缘导体向带负电的小球缓慢地靠近（不相碰），则下列说法中正确的是（ ）
A．B端的感应电荷越来越多
B．导体内场强越来越大
C．感应电荷在M点产生的场强大于在N点产生的场强
D．感应电荷在M点和N点产生的场强相等
解析：
选项
正误
解析
A
√
绝缘导体向带电体移动过程中，导体中电荷受到的外电场的作用力变大，使电荷不断移动
B
×
由于导体缓慢移动，所以移动过程导体可视为总是处于静电平衡状态，其内部场强（感应电荷的场强与外电场的场强叠加）应等于零
C
√
要使合场强等于零，感应电荷在M、N两点的场强应与电荷Q在M、N两点产生的场强大小相等、方向相反，由E＝kQ/r2可知感应电荷在M点产生的场强大于在N点产生的场强
D
×
答案：AC
解技巧 本题中，正确理解“缓慢”二字的含义是分析和解决问题的关键。深刻理解静电平衡的特点，克服思维定势的负迁移和主观臆断的不良倾向，养成科学、严谨的学习方法，才能正确地分析、解决感应起电、静电屏蔽等实际问题。
2．导体上的电荷分布
（1）法拉第圆筒实验
①取两个验电器A和B，B上装一个金属圆筒C（法拉第圆筒），用起电机使法拉第圆筒带电后，验电器B的箔片张开。
②用带有绝缘柄的金属小球d跟C的外部接触，然后让d跟A的金属球接触，可看到A的箔片张开，同时B的箔片张角减小，如图甲所示，这说明C的外表面有电荷。
③让d接触C的内表面，重做上述实验，不论重复多少次，A的箔片都不张开，B的箔片张角也不减小，如图乙所示，这表明C的内壁无电荷。
（2）静电平衡时导体上的电荷分布特点
①处于静电平衡状态的导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体外表面上。
②静电平衡时，净电荷在导体表面的分布往往是不均匀的，越尖突的地方，净电荷分布的密度越大，外部附近的场强也越强，凹陷位置几乎没有电荷。
③“远近端”电荷的电性相反，电荷量相等。
一个孤立的带电体，在自身所带电荷的电场中，处于静电平衡状态，具有静电平衡的所有特点。人与大地都是导体，在人摸（触）导体的过程中，带电体、人、大地组成一个新导体，地球往往是新导体的远端。
【例2】如图所示，B是带有绝缘支架的空腔带电金属球壳，A是验电器，A、B相距较远，导线C的一端接验电器的金属球，下列现象正确的是（ ）
A．将C的另一端与B的外壳接触，验电器的金属箔张开
B．将C的另一端与B的内表面接触，验电器的金属箔张开
C．将C的另一端与B的外壳接触，验电器的金属箔不张开
D．将C的另一端与B的内表面接触，验电器的金属箔不张开
解析：假设B带正电，则正电荷分布在球壳B的外表面上，不管C接B的外壳还是内表面，验电器的金属球、导电杆和金属箔通过导线C与B就构成一个整体，静电平衡状态的带电体电荷只分布在外表面上，由于验电器在B的外部，也就成了这个整体的外表面的一部分，因此验电器的金属箔就带上了正电。假设B带负电，同理可证验电器金属箔带负电，因此，A、B正确。
答案：AB
警误区 有人认为金箔不会张开；理由是导线的右端与B的内壁接触，而内壁场强为零且不带电，所以金箔不会张开，这种认识是错误的，错在内外不分上。
3．尖端放电
（1）现象：如图所示，在导体尖端附近放一根点燃的蜡烛。当我们不断给导体充电的时候，火焰就好像被风吹动一样朝背离尖端的方向偏移，这就是尖端放电引起的效果。
（2）原理：在强电场作用下，物体曲率大的地方（如尖锐、细小的顶端，弯曲很厉害处），带电密集，等势面密，电场强度剧增，会把空气分子“撕裂”，变为离子，致使空气被电离而产生气体放电现象，即电晕放电。尖端放电为电晕放电的一种，专指尖端附近空气电离而产生气体放电的现象。
（3）尖端放电的应用和防止
①应用：
a．避雷针就是利用尖端放电的原理制成的，带电的云层接近地面时，由于静电感应，地面上的物体会出现异种电荷，并且密集在突出的物体上，如大树、铁塔、高层建筑物等。当电荷积累到一定程度时，带电云层和这些突出的物体之间发生强烈的放电，这就是雷击现象。避雷针是一个金属的尖端导体安在建筑物的顶端，用粗导线与埋在地下的金属板连接。保持与大地有良好的接触，通过避雷针可以不断放电，避免电荷的大量积累，从而达到避雷的目的。
b．燃气灶中的电子打火器的放电电极做成针状，加上电压时容易产生电火花。
②防止：高压设备中导体表面要尽量光滑。
夜间看到的高压电线周围笼罩着的一层绿色光晕（电晕）就是一种微弱的尖端放电现象。尖端放电致使高压线及高压电极上的电荷丢失，因此，凡对地有高压的导体（或两个相互有高压的导体），其表面都应尽量光滑。
【例3】每到夏季，各地纷纷进入雨季，雷雨等强对流天气频繁发生。当我们遇到雷雨天气时，一定要注意避防雷电。下列说法正确的是（ ）
①不宜使用无防雷措施的电器或防雷措施不足的电器及水龙头 ②不要接触天线、金属门窗、建筑物外墙，远离带电设备 ③固定电话和手提电话均可正常使用 ④在旷野，应远离树木和电线杆
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：表面具有突出尖端的导体，在尖端处的电荷分布密度很大，使得其周围电场很强，就可能使其周围的空气发生电离而引发尖端放电。固定电话和手提电话的天线处有尖端，易引发尖端放电造成人体伤害，故不能使用。
答案：B
4．静电屏蔽
（1）现象：如图所示，先使A带电，然后移近验电器B，由于静电感应，B的金属箔片张开；若把B置于金属网罩中，发现B的金属箔片并不张开。
（2）定义：具有空腔的金属导体在静电平衡状态下，不仅导体内部场强为零，腔内场强也为零，因而置于腔内的物体不受外界电场的影响，这种作用叫静电屏蔽。
（3）两种典型的静电屏蔽现象
①外屏蔽：如图所示，若空腔导体内有带电体，在静电平衡时，它的内表面将产生等量异号的感应电荷。如果外壳不接地，则外表面会产生与内部带电体等量而同号的感应电荷，此时感应电荷的电场将对外界产生影响，这时空腔导体只能对外电场屏蔽，却不能屏蔽内部带电体对外界的影响，所以叫外屏蔽。
②全屏蔽：如图所示，如果外壳接地，即使内部有带电体存在，这时内表面感应的电荷与带电体所带的电荷的代数和为零，而外表面产生的感应电荷通过接地线流入大地。外界对壳内无法影响，内部带电体对外界的影响也随之而消除，所以这种屏蔽叫做全屏蔽。
（4）静电屏蔽的应用和防止
①应用：为了防止外界信号的干扰，静电屏蔽被广泛地应用于科学技术工作中。许多电子仪器外面都套着金属罩；通讯电缆外面包着一层铅皮；高压带电作业人员穿金属网衣；又如电话线从高压线下经过，为了防止高压线对电话线的影响，在高压线与电话线之间装一金属网等，这些都是用来防止外界电场干扰的屏蔽措施。
②防止：静电屏蔽也可带来不利的影响。如通讯工具在钢筋结构建筑中接收信号较弱；宇宙飞船返回地球大气层时，与大气层的高速摩擦，在飞船周围形成一层等离子体，对飞船产生静电屏蔽作用，导致飞船和地面控制中心的通信联络暂时中断。
【例4－1】如图所示，金属壳放在光滑的绝缘水平垫上，能起到屏蔽外电场或内电场作用的是（ ）
解析：
选项
正误
解析
A
√
A图中，由于金属壳发生静电感应，内部场强为零，金属壳起到屏蔽外电场的作用
B
√
B图中金属壳同大地连为一体，同A一样，外壳起到屏蔽外电场的作用
C
×
C中电荷会引起金属壳内外表面带电，外表面电荷会在壳外空间中产生电场，即金属壳不起屏蔽作用
D
√
将金属壳接地后，外表面不带电，壳外不产生电场，金属壳起屏蔽内电场的作用
点评：静电屏蔽中导体壳并不是必须接地。①封闭导体壳内部电场不受壳外电荷或电场影响。封闭导体壳不论接地与否，内部电场都不受壳外电荷影响。②接地封闭导体壳外部电场不受壳内电荷的影响。
【例4－2】导体球壳B带有正电荷Q，其中心处放有导体球A，用细金属丝通过B上的小孔与地相连（细金属丝不与球壳B相碰），如图所示。则导体球A（ ）
A．不带电
B．带正电
C．带负电
D．可能带正电，也可能带负电
解析：球壳B带正电荷后，附近的大地因静电感应将带负电荷，由于导体球A与大地相连，相当于近端，因此，A上也会感应出一定量的负电荷。
答案：C
点评：不少同学常套用静电屏蔽原理，错选成A，这里的导体A实际上并没有被屏蔽，它与大地等电势，可看成是大地的一个组成部分。并且由于A的引入，球壳B的内壁也会带有一定量的正电荷，当球壳B下方的开孔很小，不计金属丝影响时，球壳B内壁上分布的正电荷总量与导体球A上感应的负电荷总量相等，电场线分布示意图如图所示。
5．解决静电平衡问题的方法
（1）解静电平衡问题可根据静电平衡状态下导体的特征即导体内部场强为零、导体是等势体、导体表面是等势面、导体表面场强方向垂直于导体表面、导体所带电荷分布在导体外表面等进行分析。
（2）静电平衡状态下导体带电的分析方法：在处理具体问题时，往往感到不能灵活运用，可以用“远近观”及“整体观”的观点来处理这类问题。
①“远近观”是指：处于静电平衡状态的导体，离场源电荷较近和较远的两端感应出等量的异种电荷，而导体的中间部分因感应电荷较少，可认为无感应电荷产生，如图甲所示。
②“整体观”是指：当两个或多个原来彼此绝缘的导体接触或用导线连接时，就可把它们看做是一个大导体，再用“远近观”判断它们的带电情况，如有些问题所提到的“用手触摸某导体”其实就是导体通过人体与大地构成一个大导体。
不要认为导体内部没有电荷，用导线连接带电体内部时，小球Q就不带电。其实连接后就已成为一个整体，故小球通过导线得到了电荷，如图乙所示。
【例5－1】如图所示，接地的金属板右侧有固定的点电荷+Q，a、b点是金属板右侧表面的两点，其中a到+Q的距离较小。下列说法正确的是（ ）
A．由于静电感应，金属板右侧表面带负电，左侧表面带正电
B．由于静电感应，金属板右侧表面带负电，左侧表面不带电
C．整个导体，包括表面上的a、b点，是一个等势体，且电势等于零
D．a、b两点的电场强度不为零，且a、b两点场强方向相同，但a点的场强比b点的场强要强（大）一些
解析：金属板若不接地，右侧表面将有感应的负电荷，左侧表面将有感应的等量正电荷；现金属板接地，正电荷通过接地导线移向大地，静电平衡时左侧表面不带电，整个金属板的电势都为零，所以选项A错误，选项B、C正确。金属板接地时，右侧表面上仍有感应负电荷，而且a点附近的电荷面密度（单位表面积的电荷量）比b点附近的电荷面密度要大些，场强要强（大）些，电场线也密一些；整个金属板是等势体，右侧表面是等势面，电场线与等势面垂直，可见a、b两点的场强方向都垂直指向右侧面，方向相同，所以选项D也正确。
答案：BCD
【例5－2】如图所示，原来不带电的金属球壳内壁接地，将一带正电的小球放入其中，但不与球壳接触，则（ ）
A．球壳内壁带负电
B．球壳外壁带正电
C．球壳外壁不带电
D．若将接地线去掉再移出正电荷，壳外壁带负电
解析：球壳内正电荷产生电场，使球壳处于静电平衡状态，在球壳的内壁出现等量异种电荷，球壳的外壁出现等量同种电荷，当球壳接地时，不论球壳内壁接地还是外壁接地，待稳定后球壳的电势必定为零。球壳的外壁无感应电荷，球壳外也没有静电场，这就是接地金属球壳的静电屏蔽作用。故A、C正确。若将接地线去掉再移出壳内正电荷时，壳内壁的负电荷就会分布到壳的外壁上，内壁不再带电，故D正确。
答案：ACD
6．关于静电平衡现象中场强、电场的比较问题
导体处于静电平衡状态时，内部场强处处为零，但表面各处的场强并不相同；整个导体是等势体，表面是等势面，场强和表面处处垂直。若能根据静电平衡状态时导体上的电荷分布，画出电场线的大体分布，再结合以上特点，就可以比较空间中一些点的场强、电势。
【例6】如图为空腔球形导体（不带电），现将一个带正电的小金属球A放入腔内，静电平衡时，图中a、b、c三点的场强E和电势φ的关系是（ ）
A．Ea＞Eb＞Ec，φa＞φb＞φc
B．Ea＝Eb＞Ec，φa＝φb＞φc
C．Ea＝Eb＝Ec，φa＝φb＞φc
D．Ea＞Ec＞Eb，φa＞φb＞φc
解析：
本题有很多同学认为Eb=0，所以φb=0，其实空腔球形导体处于静电平衡后导体是等势体，内外表面是等势面，如图所示，显然Ea＞Ec＞Eb＝0；再考虑到沿电场线方向电势降低，可以得到φa＞φb＞φc＞0，答案为D。
答案：D
析规律 如果取无穷远处的电势为零，则（1）处于正电荷激发的电场中的（原来）不带电的孤立导体，电势大于零；处于负电荷激发的电场中的不带电的孤立导体，电势小于零；（2）带正电荷的孤立导体，电势必为正值；带负电荷的孤立导体，电势必为负值。
8 电容器的电容
答案：（1）靠近 （2）绝缘 （3）等量异种 （4）失去 （5）极板 （6）比值 （7）C＝ （8）法拉 （9）F （10）106 （11）1012 （12）平行 （13）等量 （14）匀强电场 （15）U/d （16）电介质 （17）可变 （18）固定
1．电容器
（1）构造
任何两个彼此绝缘又相距很近的导体，就构成了一个电容器，它是一种重要的电学元件。
①电容器的极板：构成电容器的两个导体称为电容器的两个极板。
②电介质：两极板之间的绝缘物质称为电介质（空气也是一种电介质）。
③最简单的电容器——平行板电容器：在两个正对的平行金属板间夹上一层电介质（绝缘体）。
（2）功能
①电容器是一种储存电荷的装置，它在收音机、电视机、洗衣机、电冰箱等各种家用电器中是不可缺少的关键元件之一。例如收音机的“调台”就是利用电容器来实现的。②电容器是储存电场能的装置。
（3）电容器的充电和放电
①充电：如图甲所示，把电容器的两个极板分别与电源的正负极相连，两个极板就分别带上了等量的异号电荷，这个过程叫做充电。充电过程中从电源获得能量储存在电容器中。充电后，切断电容器与电源的连接，两个极板上的电荷由于互相吸引而保存下来，两极板间有电场存在。
②放电：如图乙所示，用导线将充电后电容器的两极板接通，两极板上的电荷会中和，这个过程叫做放电。放电后，电容器两极板之间不再有电场，电场能转化为其他形式的能量。
谈重点 （1）电容器充、放电的特点：充电——带电荷量Q增加，板间电压U增大，板间场强E增大，电能转化为电场能；放电——带电荷量Q减少，板间电压U减小，板间场强E减小，电场能转化为电能。
（2）电容器充电后，两板电荷等量异号，分布在正对两板的内侧。
（3）电容器的充电和放电过程，回路中有电流，充、放电完毕后，电路中无电流。
（4）击穿电压和额定电压
①击穿电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度，超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏，这个极限电压称为击穿电压。
②额定电压：电容器长期工作时所能承受的电压。电容器外壳上标的就是额定电压，它比击穿电压要低。
（5）电容器的电荷量：是指其中一个极板所带电荷量的绝对值。
【例1】下列关于电容器的叙述正确的是（ ）
A．电容器是储存电荷和电能的元件，只有带电的容器才称为电容器
B．任何两个彼此绝缘又相距很近的导体，都能组成一个电容器，这与两个导体是否带电无关
C．充电过程是将其他形式的能转化为电场能，储存在电容器中
D．放电过程是将储存在电容器中的电场能转化为其他形式的能
解析：无论带不带电，两个互相靠近又彼此绝缘的导体都构成电容器，A错误，B正确；电容器的充电和放电过程是能量转化的过程，C、D均正确。
答案：BCD
2．电容器的电容
（1）定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，叫做电容器的电容。
（2）定义式：用C表示电容，则有C＝Q/U。
（3）单位：国际单位制中，电容的单位是法拉（F）,1 F＝1 C/V。电容的其他两个常用单位是微法（μF）和皮法（pF），1 F＝106 μF＝1012 pF。
（4）物理意义：电容是反映电容器容纳电荷（储存能量）本领大小的物理量。电容器的电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时电容器带的电荷量，电荷量越大，电容器的电容越大。
破疑点 （1）电容器的电容等于两极板间每升高（或降低）单位电压时增多（或减少）的电荷量。C＝Q/U＝ΔQ/ΔU，对任何电容器都适用。
（2）一定不能根据C＝Q/U认为，电容器的电容与电容器所带电荷量成正比，与电容器两极板间的电势差成反比。电容是电容器本身的一种属性，大小由电容器自身的构成情况决定，与电容器是否带电、带多少电荷量均无关。
（3）电荷量Q＝CU，电荷量随电压的升高而增大，即所带电荷量与电压成正比。
【例2－1】有一充电的平行板电容器，两极板间电压为3 V，现设法使它的电荷量减少3×10－4 C，于是电容器两极板间的电压降到原来的，此电容器的电容是________μF，电容器原来所带的电荷量是________C，若电容器极板上的电荷量全部放掉，电容器的电容是________μF。
解析：电容器两极板间电势差的变化量为：
ΔU＝（1－）U＝×3 V＝2 V
由C＝，得C＝F＝1.5×10－4 F＝150 μF。
设电容器原来所带的电荷量为Q，则
Q＝CU＝1.5×10－4×3 C＝4.5×10－4 C
电容器的电容是由电容器本身决定的，与是否带电无关，所以电容器放掉全部电荷后，电容仍然是150 μF。
答案：150 4.5×10－4 150
【例2－2】某电容器上标有“25 μF 450 V”字样，下列对该电容器的说法中正确的是（ ）
A．要使该电容器两极板之间电压增加1 V，所需电荷量为2.5×10－5 C
B．要使该电容器带电荷量1 C，两极板之间需加电压2.5×10－5 V
C．该电容器能够容纳的电荷量最多为2.5×10－5 C
D．该电容器能够承受的最大电压为450 V
解析：
选项
正误
解析
A
√
由电容器电容的定义C＝Q/U可得C＝ΔQ/ΔU，ΔQ＝CΔU，要使该电容器两极板之间电压增加ΔU＝1 V，所需电荷量为ΔQ＝2.5×10－5 C
B
×
C
×
该电容器能够容纳的电荷量最多为Q＝CU＝2.5×10－5×450 C＝1.125×10－2 C
D
×
电容器上所标的450 V，是电容器的额定电压，是电容器长期工作时所能承受的电压，低于击穿电压，该电容器能够承受的最大电压大于450 V
答案：A
3．平行板电容器
（1）构造：在两个相距很近的平行金属板间夹上一层电介质，就组成了一个平行板电容器，它是最简单的电容器，也是最基本的电容器，几乎所有的电容器都是平行板电容器的变形。
（2）特点：两极板电荷等量异号，电荷分布在相对两板的内侧，板间电场可认为是匀强电场，E＝。
（3）实验：探究影响电容的几个因素
①实验方法：控制变量法。
②实验目的：探究影响平行板电容器电容的因素。
③实验导析：如图甲、乙、丙。
甲 保持Q和d不变，S越小，电势差U越大，表示电容C越小
乙 保持Q和S不变，d越大，电势差U越大，表示电容C越小
丙 插入电介质后，电势差U减小，电容C增大
④实验结论：
a．C∝S（Q、d不变）。
b．C∝（Q、S不变）。
c．两极板间插入电介质时比不插入电介质时电容大。
（4）平行板电容器的电容
①公式
②平行板电容器电容的决定因素，与两平行板正对面积S成正比，与介质的相对介电常数εr成正比，与板间距离d成反比。电容器是否带电、极板上电压多高对C都没有影响。
【例3－1】对于水平放置的平行板电容器，下列说法中正确的是（ ）
A．将两极板的间距加大，电容将增大
B．将两极板平行错开，使正对面积减小，电容将减小
C．在下板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的陶瓷板，电容将增大
D．在下板的内表面上放置一面积和极板相等，厚度小于极板间距的铝板，电容将增大
解析：
答案：BCD
【例3－2】如图所示是一个由电池、电阻R、电键K与平行板电容器组成的串联电路，电键闭合。在增大电容器两极板间距离的过程中（ ）
A．电阻R中没有电流
B．电容器的电容变小
C．电阻R中有从a流向b的电流
D．电阻R中有从b流向a的电流
解析：图中电容器被充电，A极板带正电，B极板带负电。根据平行板电容器电容的大小决定因素C∝εrS/d可知，当增大电容器两极板间距离d时，电容C变小，由于电容器始终与电池相连，电容器两极板间电压UAB保持不变，根据电容的定义C＝Q/UAB，当C减小时电容器两极板间所带电荷量Q要减小，A极板所带正电荷的一部分从a到b经电阻R流向电源正极，即电阻R中有从a流向b的电流。所以选项B、C正确。
答案：BC
解技巧 判断电容器充、放电过程中电流的方向，关键是看电容器极板的电荷量是增多还是减少。如果增多，则外电路中电流的方向从负极板到正极板；如果减少，则电流方向由正极板流向负极板。
4．常见的电容器
（1）电容器的种类
①按电容是否可变
a．固定电容器：固定电容器的电容是固定不变的，如聚苯乙烯电容器和电解电容器。
b．可变电容器：是一种可以改变电容大小的电容器，通常由两组铝片组成，其中一组固定不动的叫定片，另一组可以转动的叫动片，转动动片时，两组铝片的正对面积发生变化，电容就随着改变。可变电容器的绝缘物质通常为空气或塑料介质。
②按照电介质不同
有纸介电容器、陶瓷电容器和电解电容器等。
（2）电容器的符号
①固定电容器：符号为“”
②可变电容器：符号为“”
③电解电容器：符号为：“”
【例4】关于电容器，下列说法中正确的是（ ）
A．按电介质的不同，电容器分为纸介电容器、陶瓷电容器、固定电容器、电解电容器
B．电容器的额定电压是指加在电容器上的最大电压，超过这一电压，电容器会被击穿
C．可变电容器一般通过改变两极板间距离实现
D．电解电容器，两极板间距离很小，正对面积较大，电容较大
解析：
选项
正误
解析
A
×
固定电容器是按电容是否可变分类，不是按电介质的不同
B
×
额定电压是指电容器正常工作时的电压，不是击穿电压
C
×
改变可变电容器的电容时，一般通过改变正对面积实现
D
√
电解电容器两极板间介质氧化膜很薄，两极卷起来，面积较大，故电容较大
答案：D
5．平行板电容器两类问题的求解方法
（1）运用电容器定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路
①确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变。
②用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化。
③用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化。
④用E＝分析平行板电容器极板间匀强电场场强的变化。
（2）两种典型题型
①定电压问题
若电容器始终与电源相连，这时电容器两极板间的电压是不变的，以此不变量出发可讨论其他量的变化情况。
由C＝可知，C随εr、S、d变化而变化。
由Q＝UC＝可知，Q也随εr、S、d变化而变化。
由E＝知，E随d的变化而变化。
②定电荷量问题
若电容器在充电后与电源断开，这种情况是电容器的带电荷量保持不变，在此基础上讨论其他量的变化。
由C＝知，C随εr、S、d的变化而变化。
由U＝＝＝知，U随d、εr、S的变化而变化。
由E＝＝＝＝知，E随εr、S的变化而变化。
【例5－1】两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连接的电路如图所示。接通开关S，电源即给电容器充电。则（ ）
A．保持S接通，减小两极板间的距离，则两极板间电场的电场强度减小
B．保持S接通，在两极板的间插入一块介质，则极板上的电荷量增大
C．断开S，减小两极板间的距离，则两极板间的电势差减小
D．断开S，在两极板间插入一块介质，则两极板间的电势差增大
解析：
答案：BC
【例5－2】如图所示，水平放置的平行板电容器，闭合电键与稳压直流电源连接，下板固定，当上板在AB位置时，一个带电油滴刚好静止在电容器的中点，现在断开电键，使上板在AB位置与A′B′位置之间上下往复移动，以下关于带电油滴的运动描述正确的是（ ）
A．油滴在电容器两极板间上下往复运动
B．油滴始终向下极板运动最后到达下极板
C．油滴始终处于静止状态
D．上板向上移动时，油滴做加速运动；上板向下移动时，油滴做减速运动
解析：带电油滴刚好悬浮静止在电容器的中点，说明油滴所受重力和电场力等大反向，即qE＝mg。当上板在AB位置与A′B′位置之间上下往复移动时，不管上板在哪个位置（除AB位置外），两极板的带电荷量Q为定值，板间的电场强度为E＝＝不变化，所以总有qE＝mg，油滴所受的合力仍为零，始终处于静止状态。
答案：C
6．电容器在生活、科技中的应用
电容器在生产、生活和科技中的应用非常广泛，像话筒、计算机键盘和自动控制传感器等都用到电容器。关键是弄清这些元件的电容变化是由哪个因素引起的，发生怎样的变化规律，然后根据相关公式分析解题。
如图是电容式话筒的示意图，它是利用电容制作的传感器，话筒的振动膜前面镀有薄薄的金属层，膜后距膜几十微米处有一金属板，振动膜上的金属层和这个金属板构成电容器的两极，在两极间加一电压U，人对着话筒说话时，振动膜前后振动，使电容发生变化，导致话筒所在的电路中的其他量发生变化，使声音信号被话筒转化为电信号，其中导致电容变化的原因是电容式话筒中振动膜上的金属层和这个金属板构成的电容器相当于一个平行板电容器，当人对着话筒说话时，振动膜前后振动，使两极板间的距离发生变化，从而导致电容器的电容发生变化。
【例6－1】如图所示，当被测物体在左右方向发生位移时，电介质板随之在电容器两极板之间移动。如果测出了电容的变化，就能知道物体位移的变化。若电容器的电容变大，则物体的位移可能的变化是（ ）
A．加速向右移动 B．加速向左移动
C．减速向右移动 D．减速向左移动
解析：本题考查相对介电常数εr对平行板电容器电容的影响。电介质板插入电容器板间的部分越多，相对介电常数εr越大，电容C越大，故只有电介质板移动的方向会影响εr的大小，而与加速、减速无关。
根据C＝可知，当电容C变大时，εr应该增大，电介质板应向左移动，所以选项B、D正确。
答案：BD
【例6－2】利用传感电容器可检测矿井渗水，从而发出安全警报，避免事故的发生。如图所示是一种通过测量电容器电容的变化来检测液面高低的仪器原理图，电容器的两个电极分别用导线接到指示器上，指示器可显示出电容的大小。下列关于该仪器的说法中，正确的有（ ）
A．该仪器中电容器的电极分别是芯柱和导电液体
B．芯柱外套的绝缘层越厚，该电容器的电容越大
C．如果指示器显示电容增大，则容器中液面升高
D．如果指示器显示电容减小，则容器中液面升高
解析：类似于平行板电容器的结构，导线芯和液体构成电容器的两块电极，导线芯的绝缘层就是极间的电介质，其厚度d相当于两平行板间的距离，进入液体深度h相当于两平行板的相对面积（且h越大，则S越大）；所以d大时C就小，若C大时就表明h大。
答案：AC
9 带电粒子在电场中的运动
答案：（1）一条直线 （2）qU＝mv2－mv （3）垂直 （4）匀速直线 （5）匀加速直线 （6）电子枪 （7）偏转电极 （8）荧光屏
1．带电粒子在电场中的加速
（1）受力分析
仍按力学中受力分析的方法分析，只是多了一个电场力而已，如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）；如果在非匀强电场中，则电场力为变力。
（2）运动过程分析
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条直线上，做匀加（减）速直线运动。
（3）两种处理方法
①力和运动关系法——牛顿第二定律
根据带电粒子受到电场力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、时间和位移等。这种方法通常适用于受恒力作用下做匀变速运动的情况。
②功能关系法——动能定理
由粒子动能的变化量等于电场力做的功知：
a．若粒子的初速度为零，则mv2＝qU，v＝；
b．若粒子的初速度不为零，则mv2－mv＝qU，v＝。
这种方法既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，因为公式W＝qU适用于任何电场。
【例1】两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入电场，最远到达A点，然后返回，如图所示，OA间距为h，则此电子的初动能为（ ）
A． B．
C． D．
解析：电子从O点到达A点的过程中，仅在电场力作用下速度逐渐减小，根据动能定理可得－eUOA＝0－Ek
因为UOA＝h，所以Ek＝，所以正确选项为D。
答案：D
解技巧 应用电场力做功与电势差的关系，结合动能定理解决带电粒子在电场中的运动问题往往较为简单。要注意加减速电压U不一定是两极板间的电势差，应是粒子初末位置的电势差。另外，对于本例还有一种特殊的分析方法，仔细分析本例的四个选项，我们不难发现，只有选项D的单位是能量单位，当然这就是唯一的正确答案。这种方法是利用了单位制的知识，应用并不普遍，但它是解选择题，尤其是单项选择题时的一种特殊、简便且行之有效的方法。
2．带电粒子在电场中的偏转
（1）受力分析
带电粒子以初速度v0垂直射入匀强电场中，受到恒定的电场力作用（F＝qE），且方向与v0垂直。
（2）运动过程分析
带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入两带电平行板产生的匀强电场中，受到恒定的与初速度方向成90°角的电场力作用而做匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
（3）偏转运动的分析处理方法
平抛运动的研究方法是运动的合成和分解，带电粒子垂直进入电场中的运动也可采用运动的合成和分解的方法进行。若带电粒子仅受电场力作用以初速v垂直进入匀强电场，则做类平抛运动，分析时一般都是分解为两个方向的分运动来处理。
①沿初速度方向为速度为v0的匀速直线运动；
②沿电场力方向为初速度为零的匀加速运动。
（4）对粒子的偏移量和偏转角的讨论
如图所示，水平方向L=v0t，则粒子在电场中的运动时间t=L/v0
竖直方向加速度a=Eq/m=qU/md
偏转距离y=at2==U
粒子离开电场时竖直方向的速度为v1＝at＝
则合速度（如上图所示）为
v＝＝
粒子离开电场时的偏转角度θ为tan θ＝＝U。
谈重点 （1）时间相等是两个方向分运动间联系的桥梁！
（2）若带电粒子除受电场力作用之外，还受到重力作用或其他恒力作用，则同样要分解成两个不同方向的简单的直线运动来处理。
（3）如选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力还是变力，以及初态和末态的动能增量；如选用能量守恒定律，则要分清有多少种形式的能在转化，哪种能量是增加的哪种能量是减少的。
【例2】一束电子流在经U1=5 000 V的加速电压加速后，在与两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5 cm，那么，要使电子能从平行板间的边缘飞出，则两个极板上最多能加多大电压？
解析：在加速电压U一定时，偏转电压U′越大，电子在极板间的侧移就越大。当偏转电压大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压即为题目要求的最大电压。
答案：最多能加400 V的电压
解技巧 （1）此题是一个较典型的带电粒子先加速再偏转的题目，处理此类问题常用的方法是动能定理、运动的合成与分解、牛顿运动定律及运动学公式等。
（2）粒子恰能飞出极板和粒子恰不能飞出极板，对应着同一临界状态——“擦边球”，根据题意找出临界状态，由临界状态来确定极值，是求解极值问题的常用方法。
3．示波管
（1）示波管的构造
示波器是可以用来观察电信号随时间变化情况的一种电子仪器，其核心部分是示波管，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成（如图所示），管内抽成真空。
各部分作用为：
①电子枪：发射并加速电子；
②竖直偏转电极：使电子束竖直偏转（加信号电压）；
③水平偏转电极：使电子束水平偏转（加扫描电压）；
④荧光屏：显示图象。
（2）示波管的原理
示波器的基本原理是带电粒子在电场力作用下的加速和偏转。
①偏转电极不加电压：从电子枪射出的电子将沿直线运动，射到荧光屏的中心点形成一个亮斑。
②仅在XX′（或YY′）加电压，若所加电压稳定，则电子流被加速、偏转后射到XX′（或YY′）所在直线上某一点，形成一个亮斑（不在中心）。在图中，设加速电压为U1，电子电荷量为e，质量为m，由W＝ΔEk得eU1＝mv。
光斑在荧光屏上竖直偏移
在电场中的侧移y＝at2＝t2，其中d为两板的间距。
水平方向t＝L/v0，又tan φ＝＝＝
由以上各式得荧光屏上的侧移y′＝y＋L′tan φ＝（L′＋）＝tan φ（L′＋）（L′为偏转电场左侧到光屏的距离）。
③示波管实际工作时，竖直偏转板和水平偏转板都加上电压，一般加在竖直偏转板上的电压是要研究的信号电压，加在水平偏转板上的是扫描电压，若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压随时间变化的波形图。
【例3】如图是示波管的示意图，竖直偏转电极的极板长l＝4 cm，板间距离d＝1 cm。板右端距离荧光屏L＝18 cm。（水平偏转电极上不加电压，没有画出）电子沿中心线进入竖直偏转电场的速度是1.6×107 m/s，电子电荷量e＝1.60×10－19 C，质量m＝0.91×10－30 kg。
（1）要使电子束不打在偏转电极的极板上，加在竖直偏转电极上的最大偏转电压U不能超过多大？
（2）若在偏转电极上加U＝40 sin 100πt V的交变电压，在荧光屏的竖直坐标轴上能观测到多长的线段？
解析：（1）
（2）因为t＝＝s＝2.5×10－9 s，而T＝＝s＝s＝0.02 s?t，故进入偏转电场的电子均在当时所加电压形成的匀强电场中运动。
当Um＝40 V时，Em＝，Δy＝at2。
vx＝v，vy＝·t，tan θ＝＝0.11。
偏转量y＝（＋L）tan θ，得数轴上的观测量2y＝4.4 cm。
答案：（1）91 V （2）4.4 cm
4．解决带电粒子在电场中运动的基本思路
（1）受力分析
研究对象有两种：带电粒子和带电质点。前者不考虑重力，后者要考虑重力。
（2）运动轨迹和过程分析
带电粒子的运动形式决定于粒子的受力情况和初速度情况。
①在点电荷电场中：v0∥E时，做变加（或减）速直线运动；v0与E有夹角时，做曲线运动。②匀强电场中：v0∥E时，做匀加（或减）速直线运动；v0⊥E时，做匀变速曲线运动；v0与E有夹角时，做匀变速曲线运动。
（3）解题的依据
①力的观点：牛顿运动定律和运动学公式。
基本思路：先用牛顿第二定律求出粒子的加速度，进而确定粒子的运动形式，再根据带电粒子的运动形式运用相应的运动学规律求出粒子的运动情况。
②能量的观点：电场力做功与路径无关、动能定理、能的转化与守恒规律。
基本思路：根据电场力对带电粒子做功的情况，分析粒子的动能与势能发生转化的情况，运用动能定理或者在电场中动能与电势能相互转化而它们的总和守恒的观点，求解粒子的运动情况。
5．电偏转的几个重要结论
（1）若不同的带电粒子是从静止经过同一加速电压U0加速后进入偏转电场的，则由动能定理有qU0＝mv2，上面已经推导出tan θ＝＝U1，联立可得tan θ＝。
由此式可知，粒子的偏角与粒子的q、m无关，仅决定于加速电场和偏转电场，即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速进入同一偏转电场后，它们在电场中的偏转角度总是相同的。
（2）若不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入偏转电场，则由动能定理有qU0＝mv2，粒子从偏转电场中射出时，偏距y＝at2＝，联立可得：y＝。
显然偏转位移y与偏转电压U1成正比，与加速电压U0成反比，而与粒子的q、m无关。即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速进入同一偏转电场后，它们在电场中的偏转位移总是相同的。
（3）在图中，作粒子速度的反向延长线，设交于O点，O点与电场边缘的距离为x，则x＝＝/＝。
【例4－1】如图所示，两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，板间距离为d，在板右端L处有一竖直放置的光屏M，一带电荷量为q，质量为m的质点从两板中央射入板间，最后垂直打在M屏上，则下列结论正确的是（ ）
A．板间电场强度大小为mg/q
B．板间电场强度大小为2mg/q
C．质点在板间的运动时间和它从板的右端运动到光屏的时间相等
D．质点在板间的运动时间大于它从板的右端运动到光屏的时间
解析：当质点所受电场力方向向上且大于重力时，质点才可能垂直打到屏上。由运动的合成与分解知识，可知质点在水平方向上一直做匀速直线运动，所以质点在电场中做类平抛运动的时间和在重力场中做斜上抛运动的时间相等。由运动规律可知质点在水平方向上做匀速直线运动，vx=v0；在竖直方向上，在电场中vy=at，如上图所示，离开电场后质点做斜上抛运动，vy=gt，由此运动过程的对称性可知a=g，由牛顿第二定律得qE－mg=ma=mg，解得E=2mg/q。故选项B、C正确。
答案：BC
【例4－2】一颗质量为m、电荷量为q的微粒，从两块相距为d、水平放置的平行板中某点由静止释放，落下高度h后，在平行板上加上一定的电势差U，带电微粒经一定时间后速度变为零，若微粒通过的总位移为H，试问两板间的电势差为多少？
解析：方法1 用牛顿第二定律结合运动学公式，解答过程表示为：从位置1到位置2时（如图），设速度为v1，v＝2gh
从位置2到位置3有H－h＝
且a2＝g－
得U＝。
方法2 从全过程中所有外力的功与动能变化的关系，用动能定理，解答过程表示为mgH－（H－h）＝0得U＝。
方法3 从全过程中能的转化考虑，解答过程表示为
mgH＝q·（H－h） 得U＝。
答案：
【例5－1】真空中的某装置如图所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏，今有质子、氘核和α粒子均由A板从静止开始经加速电场加速后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上。已知质子、氘核和α粒子的质量之比为1∶2∶4，电荷量之比是1∶1∶2，则下列判断正确的是（ ）
A．三种粒子从B板运动到荧光屏经历的时间相同
B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同
C．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶2
D．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶4
解析：
选项
正误
解析
A
×
粒子加速过程qU1＝mv2，从B至M用时t＝，得t∝，所以t1∶t2∶t3＝1∶∶
B
√
偏转位移y＝（）2＝，所以三种粒子打到荧光屏上的位置相同
C
×
因W＝qEy，得W1∶W2∶W3＝q1∶q2∶q3＝1∶1∶2
D
×
答案：B,
由此式可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间的处沿直线射出似的。
（4）带电粒子从偏转电场中射出时，末速度与初速度之间的夹角φ（偏向角）的正切为tan φ，带电粒子位移与初速度之间的夹角α的正切值为tan α，二者的关系为tan φ＝2tan α。
点评：1．此方法的求解流程为：确定加速后的速度v0→确定偏移y→确定偏角θ→确定OP。需充分利用类平抛运动的位移关系、速度关系和几何关系。
2．此方法的求解流程为：确定加速后的速度v0→确定偏移y→确定OP。只需利用位移关系和几何关系即可，相对而言较简捷。
【例5－2】如图所示，一束电子从静止开始经加速电压U1加速后，以水平速度射入水平放置的两平行金属板中间，金属板长为l，两板距离为d，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L。若在两金属板间加直流电压U2时，光点偏离中线，打在屏光屏上的P点，求OP为多少？
解析：方法1 设电子射出偏转电场时偏移距离为y，偏转角为θ。则在加速电场加速的过程中，由动能定理有
eU1＝mv，且偏转位移y＝at2＝（）2
偏角θ满足tan θ＝＝＝
联立以上各式解得y＝，tan θ＝
所以OP＝y＋Ltan θ＝
方法2 根据（类）平抛运动的规律，电子射出电场时，速度方向的反向延长线与v0方向的交点在处。根据比例关系＝，所以OP＝y＝。
答案：
6．带电粒子在复合场中运动的分析方法
带电粒子在复合场中的运动是指带电粒子在运动过程中同时受到电场力及其他力的作用，较常见的是在运动过程中，带电粒子同时受到重力和电场力的作用。
首先要认识复合场的性质，先分析带电粒子在复合场中的受力情况，其次再分析带电粒子在复合场中的受力和运动的关系，然后依据受力和运动关系选取规律解题。研究时，主要有以下两种方法：
（1）力和运动的关系分析法
这条线索通常适用于恒力作用下做匀变速运动的情况。分析时具体有以下两种方法：
①正交分解法
处理这种运动的基本思想与处理偏转运动是类似的，可以将此复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动，而这两个直线运动的规律是可以掌握的，然后再按运动合成的观点去求出复杂运动的有关物理量。
②“等效重力”法
如图甲中的电场与重力场可等效于图乙的复合场，然后运用重力场中已熟知的一些结论来解题，可使问题的分析和解答更简捷。
（2）功能关系分析法
对受变力作用的带电体的运动，必须借助于能量的观点来处理，即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常显得简捷。
①如果选用动能定理，要分清有几个力做功，做正功还是负功，是恒力做功还是变力做功，以及初、末状态的动能，分析时注意电场力做功与路径无关。
②如果选用能量守恒定律解题，要分清有多少种形式的能参与转化，哪种能量增加，哪种能量减少，且增加的量等于减少的量。
【例6】在如图甲所示的xOy平面内（y轴的正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自坐标原点O沿y轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为5 J，不计空气阻力，当它上升到最高点M时，它的动能为4 J。
（1）试分析说明带电小球被抛出后沿竖直方向和水平方向分别做什么运动？
（2）若带电小球最后落回到x轴上的P点，在图中标出P点的位置。
（3）求带电小球到达P点时的动能。
甲
乙
解析：（1）在竖直方向，小球受重力作用，由于重力与小球的初速度方向相反，所以沿竖直方向，小球做匀减速直线运动（竖直上抛运动）；沿水平方向，小球受水平向右的恒定电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动。
（2）由匀加速运动的运动规律可知，OP ＝4OM，所以P点坐标如图乙所示。
（3）设粒子的质量为m，带电荷量为q，小球能上升的最大高度为h，OM之间的电势差为U1，MP之间的电势差为U2，对粒子从O到M的过程有v＝2gh，mv－mv＝qU1－mgh，所以mv＝mgh＝5 J，mv＝qU1＝4 J。从O到P的过程由动能定理得mv－mv＝q（U1＋U2），所以EkP＝mv＝mv＋qU1＋qU2＝9 J＋qU2。由于从O到M与从M到P的时间相同，在从O到M与从M到P的时间内，小球在x轴上移动的距离之比为1∶3，所以U1∶U2 ＝1∶3，因此qU2＝3qU1＝12 J，小球到达P点时的动能为EkP＝21 J。
答案：（1）（2）见解析 （3）21 J
警误区 本题采用正交分解法，依据运动的合成与分解将复杂的曲线运动化为直线运动处理。但在处理该题时，若用各方向的动能定理－mgh＝0－mv和qU1＝mv－0也可解出结果，看似正确，实际犯了一个很大的错误，动能是标量，动能定理是标量表达式，因此也就无分方向的动能定理的说法，故解题过程中要注意理论的正确性。
