7 二次根式
第1课时 二次根式
【知识与技能】
1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式.
2.正确运用公式：
.
【过程与方法】
1.经历观察、比较、总结二次根式基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力.
2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.
【情感态度】
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.
【教学重点】
二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简.
【教学难点】
二次根式的化简.
一、创设情境，导入新课
观察下列代数式：
这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？
【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备.
【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！
二、思考探究，获取新知
二次根式的概念与化简
做一做：
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.
【归纳结论】
即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
注意：a、b的取值范围不能忽略.
【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例1比较容易理解，教师对于例2可以适当点拨.
【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
三、运用新知，深化理解
1.下列式子是二次根式的有（ ）个.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
3.化简：
4.一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为15，求另一条直角边长.
【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.
2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流.
【教学说明】通过对新学知识点的回顾，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有利于共同提高.
1.习题2.9第1、2、3题.
2.完成中本课时练习部分.
这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比较直观一些的二次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够达到灵活自如，有待在今后的学习中加大训练力度.
7 二次根式
第1课时 二次根式
【知识与技能】
1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式.
2.正确运用公式：
.
【过程与方法】
1.经历观察、比较、总结二次根式基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力.
2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.
【情感态度】
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.
【教学重点】
二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简.
【教学难点】
二次根式的化简.
一、创设情境，导入新课
观察下列代数式：
这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？
【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备.
【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.
二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！
二、思考探究，获取新知
二次根式的概念与化简
做一做：
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.
【归纳结论】
即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.
注意：a、b的取值范围不能忽略.
【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例1比较容易理解，教师对于例2可以适当点拨.
【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
三、运用新知，深化理解
1.下列式子是二次根式的有（ ）个.
A.2 B.3 C.4 D.5
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
3.化简：
4.一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为15，求另一条直角边长.
【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.
2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流.
【教学说明】通过对新学知识点的回顾，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有利于共同提高.
1.习题2.9第1、2、3题.
2.完成中本课时练习部分.
这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比较直观一些的二次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够达到灵活自如，有待在今后的学习中加大训练力度.
课件12张PPT。二次根式第1课时 二次根式复习导入它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.概念：二次根式有什么性质呢？思考探究，获取新知计算下面各式你发现什么？根据上面的猜想，估计下面魅族两个式子是否相等，
借助计算器验证。结论即积的算术平方根，等于各个因式算术平方极的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术根. 注意：a、b的取值
范围不能忽略试一试一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.?
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.归纳运用新知，深化理解1.回顾二次根式，最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.?
2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？
与同学们交流.师生互动，课堂小结1.习题2.9 1、2、3题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业第2课时 二次根式的运算
【知识与技能】
1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算.
2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用.
3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并.
【过程与方法】
1.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想.
2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力.
【情感态度】
通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重点】
二次根式加减乘除的运算.
【教学难点】
探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算.
一、创设情境，导入新课
前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即
现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则：
【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气.
二、思考探究，获取新知
二次根式的加减、乘除运算
依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？
例1计算：
【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨.
注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式.
同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流.
例2计算：
【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师再作矫正、强调.
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数.
通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能独立做吗？
例3计算：
【教学说明】通过前面两个例题的学习，学生进行二次根式的运算有了一定的基础，让学生体验成功的喜悦.
三、运用新知，深化理解
1.化简：
2.计算：
3.一个直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm,求这个直角三角形的面积.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次根式运算方法和技巧的掌握，提高他们运算的正确率和计算速度.特别要结合式子的特点运用公式和法则使计算简便.
.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法.
【教学说明】鼓励学生用自己的语言进行总结、归纳，特别是运算过程中要注意的几个细节，教师可以适度提醒.
1.布置作业：习题2.10中的1、3题.
2.完成本课时练习部分.
二次根式的运算并非一时就能熟练地掌握的，有待在今后的教学中花时间加大训练，以达到又准又快的目的.
课件12张PPT。二次根式第2课时 二次根式的运算复习导入前面我们学习了二次根式的两个性质：
积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，
即现在把等号的左边与右边交换，就可得到
二次根式的乘法法则和除法法则：思考探究，获取新知计算下面各式根据上面的猜想，估计下面魅族两个式子是否相等，
借助计算器验证。注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式发现同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用。试一试注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并。根号前面是带分号的要化成假分数.?你行吗？运用新知，深化理解通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的?想法。师生互动，课堂小结1.习题2.10 1、3题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业第3课时 二次根式的混合运算
【知识与技能】
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.
【过程与方法】
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
【情感态度】
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想.
【教学重点】
混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.
【教学难点】
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便.
一、创设情境，导入新课
已知：矩形的长是，宽是，求它的面积.
你能求出这个矩形的面积吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.
【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望.
二、思考探究，获取新知
二次根式的混合运算
例1计算：
【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系.
注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议：
化简 ，其中a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流.
【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流.
【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算律的能力再次得到深化，达到事半功倍.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的.
【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引以为戒，互相取长补短，达到整体提高.
1.布置作业：习题2.11中的第1、2题.
2.完成本课时练习部分.
二次根式的混合运算是学生的一大弱点，在计算过程中稍不留心很容易出错.在教师的正确引导和适度训练下会有很大的提高.
课件9张PPT。二次根式第3课时 二次根式的混合运算情景导入思考探究，获取新知如果在二次根式的运算中，把二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议小提示：对于被开方数是字母形式的，
先进行化简，再把字母的值代入求得.做一做如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积运用新知，深化理解通过今天的学习你有何收获？
本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的？师生互动，课堂小结1.习题2.11 1、2题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业课件12张PPT。二次根式第1课时 二次根式复习导入它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.概念：二次根式有什么性质呢？思考探究，获取新知计算下面各式你发现什么？根据上面的猜想，估计下面魅族两个式子是否相等，
借助计算器验证。结论即积的算术平方根，等于各个因式算术平方极的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术根. 注意：a、b的取值
范围不能忽略试一试一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.?
注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.归纳运用新知，深化理解1.回顾二次根式，最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.?
2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？
与同学们交流.师生互动，课堂小结1.习题2.9 1、2、3题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业第2课时 二次根式的运算
【知识与技能】
1.使学生能够利用积和商的算术平方根性质的反用进行二次根式的加减乘除运算.
2.让学生理解实数的运算法则和运算律对于二次根式同样适用.
3.学会运用把不是最简二次根式的要化成最简二次根式，如果被开方数相同，应当将这些项合并.
【过程与方法】
1.通过实数的运算与二次根式的运算比较体会类比的思想.
2.通过二次根式的运算培养学生的运算能力.
【情感态度】
通过对二次根式运算的学习使学生认识到事物之间是相互联系的.激发学生学习热情，让学生充分参与到数学学习过程中来，使他们体验到成功的乐趣.
【教学重点】
二次根式加减乘除的运算.
【教学难点】
探讨二次根式运算的方法，快速准确地运用公式和运算律进行二次根式的运算.
一、创设情境，导入新课
前面我们学习了二次根式的两个性质：积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，即
现在把等号的左边与右边交换，就可得到二次根式的乘法法则和除法法则：
【教学说明】通过回忆旧知识得出新知识，学生并不陌生，有一定的基础，掌握起来也很容易，增强了学生学习数学的自信心和勇气.
二、思考探究，获取新知
二次根式的加减、乘除运算
依据上面的法则，下面的式子你会计算吗？
例1计算：
【教学说明】教师引导学生尝试着直接运用法则进行二次根式的乘除法运算，可以作适当点拨.
注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式.
同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用.下面的计算不妨试一试？有困难的可以和同学交流.
例2计算：
【教学说明】对于有些二次根式的运算可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便，这就要在解题之前观察式子的特点，教师可以引导学生合作做题，错误较多的地方教师再作矫正、强调.
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并.根号前面是带分数的要化成假分数.
通过上面的学习，我们已经知道了怎样进行二次根式的加减乘除运算.下面的题，你能独立做吗？
例3计算：
【教学说明】通过前面两个例题的学习，学生进行二次根式的运算有了一定的基础，让学生体验成功的喜悦.
三、运用新知，深化理解
1.化简：
2.计算：
3.一个直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm,求这个直角三角形的面积.
【教学说明】学生自主完成，加深对二次根式运算方法和技巧的掌握，提高他们运算的正确率和计算速度.特别要结合式子的特点运用公式和法则使计算简便.
.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法.
【教学说明】鼓励学生用自己的语言进行总结、归纳，特别是运算过程中要注意的几个细节，教师可以适度提醒.
1.布置作业：习题2.10中的1、3题.
2.完成本课时练习部分.
二次根式的运算并非一时就能熟练地掌握的，有待在今后的教学中花时间加大训练，以达到又准又快的目的.
课件12张PPT。二次根式第2课时 二次根式的运算复习导入前面我们学习了二次根式的两个性质：
积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子，
即现在把等号的左边与右边交换，就可得到
二次根式的乘法法则和除法法则：思考探究，获取新知计算下面各式根据上面的猜想，估计下面魅族两个式子是否相等，
借助计算器验证。注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式发现同样的，二次根式也可以进行加减运算，它和以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用。试一试注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这些项合并。根号前面是带分号的要化成假分数.?你行吗？运用新知，深化理解通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的?想法。师生互动，课堂小结1.习题2.10 1、3题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业第3课时 二次根式的混合运算
【知识与技能】
在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.
【过程与方法】
1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.
2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.
【情感态度】
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想.
【教学重点】
混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.
【教学难点】
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便.
一、创设情境，导入新课
已知：矩形的长是，宽是，求它的面积.
你能求出这个矩形的面积吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.
【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望.
二、思考探究，获取新知
二次根式的混合运算
例1计算：
【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系.
注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议：
化简 ，其中a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流.
【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流.
【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算律的能力再次得到深化，达到事半功倍.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的.
【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引以为戒，互相取长补短，达到整体提高.
1.布置作业：习题2.11中的第1、2题.
2.完成本课时练习部分.
二次根式的混合运算是学生的一大弱点，在计算过程中稍不留心很容易出错.在教师的正确引导和适度训练下会有很大的提高.
课件9张PPT。二次根式第3课时 二次根式的混合运算情景导入思考探究，获取新知如果在二次根式的运算中，把二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.
议一议小提示：对于被开方数是字母形式的，
先进行化简，再把字母的值代入求得.做一做如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积运用新知，深化理解通过今天的学习你有何收获？
本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的？师生互动，课堂小结1.习题2.11 1、2题
2.完成创优作业中本课时的习题课后作业
