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27.1.2 相似多边形
基础训练
1.如图,有三个矩形,其中是相似形的是( )
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A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
2.下列选项中的两个图形不一定相似的是( )
A.对角线对应成比例的两个菱形
B.各角相等,各对应边也相等的两个五边形
C.两个大小不一的等腰直角三角形
D.四边对应成比例的两个平行四边形
3.下列四组图形中,一定相似的是( )
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
4.将图中的箭头缩小到原来的,得到的图形是( )
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5.如图所示的两个四边形相似,则α的度数是( )
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A.87° B.60° C.75° D.120°
6.若一个三角形三边之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边的长为21,则最短边的长为( )
A.15 B.10 C.9 D.3
7.如图,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似,若AB∶FG=2∶3,则下列结论正确的是( )21世纪教育网版权所有
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A.2DE=3MN B.3DE=2MN
C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
8.一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它形状相同的四边形最短边长为6,则另一个四边形的周长是 . 21教育网
9.如果两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和2 cm,那么它们的相似比是( )
A. B. C. D.
10.六边形ABCDEF相似于六边形A' ( http: / / www.21cnjy.com )B'C'D'E'F',若对应边AB与A'B'的长分别为50厘米和40厘米,则六边形A'B'C'D'E'F'与六边形ABCDEF的相似比是( )www.21-cn-jy.com
A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2 D.2∶
11.如图,四边形ABCD与四边形EFGH相似吗 请说明理由.
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提升训练
12.在图①中有一个四边形,请在图②中画出一个与它相似的四边形.
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①
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②
13.已知四边形ABCD与四边形A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.2·1·c·n·j·y
14.如图所示,六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1均是正六边形,试说明∠1=∠2.
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15.市场上供应的某种纸有以下特征:每次对 ( http: / / www.21cnjy.com )折后(如图中虚线),所得的矩形均和原长方形相似,则纸样(矩形ABCD)的长与宽的比应满足什么条件 【来源：21·世纪·教育·网】
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16.如图是一张矩形纸片ABCD,E,F分别是BC,AD上的点(但不与顶点重合),如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分:21·世纪*教育网
(1)问得到的两个四边形是否相似 若相似,请求出相似比;若不相似,请说明理由.
(2)这样的直线可以作几条
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17.已知菱形A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为 . www-2-1-cnjy-com
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参考答案
基础训练
1.B 2.D
3.D
解析：A中,正方形的四条边都相等,而矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的四条边不一定相等,∴不一定相似;B中,正方形的四个角都是直角,菱形的四个角不一定都是直角,∴不一定相似;C中,菱形的四条边都相等,即两个菱形的对应边的比相等,但对应角不一定相等,∴不一定相似;D中,正五边形的五条边都相等,五个角都相等,故两个正五边形的对应边的比相等,对应角也相等,∴一定相似.故选D.
4.A
解析：根据题意可知,是把原题中的图形整体缩小到原来的.选项B中的图形与原图形全等;选项C中的图形是整体扩大到原来的2倍;选项D中的图形只是把原图形左右缩小到了原来的,上下没变.故选A.21cnjy.com
5.A 6.C 7.B
8.36
解析：根据对应边成比例,得出该四边形的另三条边的长分别是8,10,12.所以周长为6+8+10+12=36.21·cn·jy·com
9.C
10.B
11.解:在四边形ABCD中,由∠A=80°,∠B=90°,∠C=120°,得∠D=70°.
在四边形EFGH中,由∠F=90°,∠G=120°,∠H=70°,得∠E=80°,
∴∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.
∵根据已知条件无法判定对应边是否成比例,
∴四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似.
提升训练
12.解:如图:
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(第12题)
13.解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
A1B1∶B1C1=C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴四边形ABCD中四条边由小到大的比为7∶8∶11∶14.
设四边形ABCD的四条边的长分别为7m,8m,11m,14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40.∴m=1.
故四边形ABCD各边的长分别为7,8,11,14.
14.证明:∵六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1均是正六边形,
∴正六边形ABCDEF∽正六边形A1B1C1D1E1F1,
∴∠BAF=∠B1A1F1.
∵∠BAF=∠A1AF+∠1,∠B1A1F1=∠A1AF+∠2,
∴∠A1AF+∠1=∠A1AF+∠2,
∴∠1=∠2.
15.解:设矩形的长为a,宽为b.
由相似多边形的性质,得=,即a2=b2,
∴a2=2b2,∴a∶b=∶1,
即长与宽之比为∶1.
16.解:(1)设AF=a,DF=b,BE=m,EC=n,
AB=CD=h(a,b,m,n,h均大于零).
由题意知S梯形ABEF=S梯形CDFE,即(a+m)·h=(b+n)·h,所以a+m=b+n.①
又AD=BC,所以a+b=m+n,即a=m+n-b.②
把②代入①,得m+n-b+m=b+n,
所以m=b,即DF=BE.
所以AF=EC.故有====1.
在矩形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,∠BEF=∠DFE.
所以四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似,且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条.
17.(,0)
解析：由题意,点A1的坐标为(1,0),
点A2的坐标为(3,0),即(,0),
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27.1.2 相似多边形
数学
九年级下
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
教学目标
导入新课
回顾交流：把下面相似的图形用线连起来.
B
C
A
D
E
F
教学目标
导入新课
1
知识点
相似多边形的定义
问 题
知1－导
图中的两个大小不同的四边形
ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠A=
∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D
=∠D1， ,因此四边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
教学目标
新课讲解
知1－讲
如果两个多边形的角分别相等，边成比例，
那么这两个多边形叫做相似多边形．
定义
教学目标
新课讲解
知1－导
判定相似多边形的条件：
(1)所有的角分别相等；
(2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相
似多边形必备的条件，缺一不可．
教学目标
新课讲解
例1 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD,
GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
知1－讲
导引：要判定两个多边形相似，从边和角两个方面
证明，即需证对应角相等，对应边的比相等．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠DAC
＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形．
∴ ，且∠EAF＝∠DAB，
∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
教学目标
新课讲解
总 结
知1－讲
判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否
分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例
如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，
两个正方形一定相似．
教学目标
巩固提升
1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
知1－练
解：相似. 由已知条件可知它们的角分别相等，
边成比例.
教学目标
巩固提升
2 下列说法中正确的是( )
A．对应角相等的多边形一定是相似多边形
B．对应边的比相等的多边形是相似多边形
C．边数相同的多边形是相似多边形
D．对应角相等、对应边成比例的两个边数相同
的多边形是相似多边形
知1－练
D
教学目标
巩固提升
3 如图，在三个矩形中，相似的是( )
A．甲和丙
B．甲和乙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
知1－练
A
教学目标
巩固提升
4 下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
知1－练
D
教学目标
巩固提升
两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个
菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形
的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相
等，那么两个图形不相似的一组是( )
知1－练
B
教学目标
新课讲解
2
知识点
相似多边形的性质
知2－讲
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等，
对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的
度数．
教学目标
新课讲解
知2－讲
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大
小和EF的长度x.
解：因为四边形ABCD和EFGH相
似，所以它们的对应角相等，
由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.
在四边形ABCD中，
β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.
因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边
成比例，由此可得
解得x=28.
教学目标
新课讲解
总 结
知2－讲
利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住
“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关
键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接
相等．
教学目标
巩固提升
1 如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，
d的值.
知2－练
解：a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6.
教学目标
巩固提升
知2－练
若一个三角形的三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为( )
A．15 B．10
C．9 D．3
2
C
教学目标
巩固提升
知2－练
如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB:FG＝2:3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
3
B
教学目标
巩固提升
知2－练
如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则C1D1的长是( )
A．10
B．12
C.
D.
4
C
教学目标
巩固提升
知2－练
【中考·济宁】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是( )
A．2 cm2
B．4 cm2
C．8 cm2
D．16 cm2
5
C
教学目标
巩固提升
知2－练
【2017·通辽】志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )
A．540元 B．1 080元
C．1 620元 D．1 800元
6
C
教学目标
新课讲解
知3－讲
3
知识点
相似比
相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比．
△ABC ∽△A B C
∠A = ∠A
∠B = ∠B
∠C = ∠C
对应角相等
对应边成比例
A B
A B
=
=
B C
B C
A C
A C
= 相似比
若△ABC ∽△A B C
教学目标
新课讲解
知3－讲
导引：相似多边形的对应边的比相等，其比值就是相似比．
解：(1)设AD＝x，则DM＝ .∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴x2＝32.
∴x＝4 或x＝－4 (舍去)，即AD的长为4 .
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与
矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
教学目标
新课讲解
总 结
知3－讲
利用相似多边形的性质求线段长及相似比的方法：
先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过
设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最
后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算．
这种巧用方程思想的方法在相似多边形的计算中经常
运用．
教学目标
巩固提升
1 如果两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm
和2 cm，那么它们的相似比是( )
A. B. C. D.
知3－练
C
教学目标
巩固提升
知3－练
六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似，若对应边AB与A′B′的长分别为50 cm和40 cm，则六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是( )
A．5:4 B．4:5
C．5:2 D．2:
2
B
教学目标
课堂小结
1
知识小结
相似相似形的性质：
（1）对应角 ；
（2）对应边的比等于 ；
相等
相似比
教学目标
课堂小结
一位同学经过研究发现：在等边三角形中，每条边都是相等的，两个等边三角形相似；在正方形中，每条边都是相等的，两个正方形相似．于是他进一步推广，认为如果多边形的各边都相等，那么这样的两个边数相同的多边形相似．你认为这种说法正确吗？为什么？
2
易错小结
教学目标
课堂小结
解：
这种说法不正确．比如，如图所示的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似．
易错点：对相似多边形定义理解不透而致错.
谢 谢！
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