《二次函数y=ax2 的图象与性质》
《二次函数y=ax2 的图象与性质》是初中数学（人教版）九年级上第22章二次函数的一节内容。本节内容主要是作函数y=ax2 的图象，通过图象研究y=ax2 的开口方向，对称轴，顶点坐标等其他性质。本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2 的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2 的图象与性质，是进一步学习二次函数的基础。二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
【知识与能力目标】
会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。
【过程与方法目标】
通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。
【情感态度价值观目标】
1、通过作函数图象，认识数形结合的数学思想方法，体会数学中的特殊与一般的辨证关系；
2、培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。
【教学重点】
1、画出二次函数y=ax2的图象；
2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的性质。
【教学难点】
二次函数y=ax2的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
课前准备
多媒体课件等。
教学过程
一、提出问题
1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
二、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
（3）连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
三、合作与探究
（1） 在同一直角坐标系中，画出函y=x2,y=2x2的图象。。
（2）画出函数y=-x2,y=-2x2, y=-x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。
（3）归纳与总结
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) 。当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点,a越大,抛物线的开口 越小 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 。当a<0时,抛物线的开口向 下 ,顶点是抛物线的最 高 点,a越大,抛物线的开口越 大 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 。?
四、练习题
1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
3、已知 y =(m+1)xm2+m是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。
解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2
五、课堂小结
谈谈收获与困惑或发现。
课件15张PPT。温故知新1、二次函数是如何定义的？
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、（1）一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________。
（2）通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
直线 双曲线问题引入二次函数的图象是什么形状呢？
结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法。
我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般
二次函数的图象和性质。知识点详解画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1、 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2、根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3、连线如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2
的图象。
9 4 1 0 1 4 9y = x 2知识点详解二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 。
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下。 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
y = x2学科网知识点详解可以看出：
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点。
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。y = x2知识点详解在同一直角坐标系中，画出函数 的图象。
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8知识点详解
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函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
相同点：开口：向上，
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
不同点：a 值越大，抛物线的开口越小。
知识点详解
画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8知识点详解
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8知识点详解1、二次函数的图象都是抛物线。
2、 抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点。
（2）当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小;
练习题1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
向上 y轴 (0,0)向下 y轴 (0,0)练习题3、已知 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式。
解：依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2 。课堂小结
