《垂直于弦的直径》
《垂直于弦的直径》本节内容是根据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段或角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。
教材是在学生学习了圆的有关概念的基础上对垂直于弦的直径展开研究，通过圆的对称性，得出“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧?”这个重要性质。对于垂径定理的学习，要帮助学生分析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解。垂径定理相关推论的学习，可以按条件画出图形，让学生通过观察、思考、亲自得出结论。
【知识与能力目标】
1.研究圆的对称性，掌握垂径定理及其推论；
2.能够运用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及作图问题。
【过程与方法目标】
经历探索发现圆的对称性和证明垂径定理及其推论的过程，培养学生利用对称性解决问题的方法，锻炼学生的数学思维品质。
【情感态度价值观目标】
?在探索问题的过程中让学生感受圆的对称性，体会圆的对称美，增强学生的审美意识。
【教学重点】
垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。
【教学难点】
利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
课前准备
多媒体课件、教具等。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试。
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？
追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，?拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
设计意图：问题1由学生动手操作得出“圆是轴对称图形”这个初步结论；问题2激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望。
二、探索新知，形成定理
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？
结论：（1）圆是轴对称图形；
（2）经过圆心的每条直线（注：提醒学生说不能说直径）都是它的对称轴；
（3）圆的对称轴有无数条。
问题4 如图 ：是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥，垂足M。
（1）⊙O是轴对称图形，CD是它的对称轴吗？
（2）也是轴对称图形吗？CD也是它的对称轴吗？
（3）你能找出图中有哪些相等的线段和相等的弧？请说明理由。
（4）你能文字语言叙述你发现的这些结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（5）你能用几何方法证明这些结论吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，是弦，，垂足M。??
求证：，，。???
证明：连结OA、，则OA=。又∵，∴直线CD是等腰的对称轴，又是⊙O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和点重合，AM和重合，?、?分别和?、?重合。因此，AM=，，。??
（6）你能用符号语言表达这个结论吗？
问题５ 如上图，若直径CD平分弦，则直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
已知：在⊙O中，CD是直径，是弦，CD与交于点M，AM=。??
求证：，，。???
证明：连结OA、，则OA=。又已知AM=，由等腰三角形的“三线合一”得CD⊥，∴直线CD是等腰的对称轴，而CD又是⊙O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和点重合，?、?分别和?、?重合。因此，，，。
你能用一句话总结这个结论吗？
即推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
类似还有如下结论：
（1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；
（2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧。
三、运用新知，深化理解
例1：如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4 cm和10 cm两段，
（1）求圆心O到CD的距离；
（2）若⊙O半径为8 cm，求CD的长是多少?
分析：（1）作OG⊥CD于G，由垂径定理先求出AF的长，进而求得OG的长，就是圆心O到CD的距离；(2)在Rt△ODG中，由勾股定理可求DG的长，再由垂径定理可求得CD的长。
解：（1）作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F。
∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OG＝EF。
∵OF⊥AB，∴AF＝AB＝(4＋10)＝7 (cm)，∴OG＝EF＝AF－AE＝3 (cm)，即O到CD的距离是3 cm。
（2）连结OD，在Rt△ODG中，OD＝8 cm，OG＝3 cm，由勾股定理，得GD＝＝ cm。∵OG⊥CD，∴CD＝2GD＝2cm。
例2： 如图，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4，弦AB=16，求此圆的半径。
解：设圆的半径为R，由已知条件得到OD=R－4，AD=8。在Rt△ADO中，
，即。解得R＝10。即此圆的半径是10。
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？
解： 如上图，由题意可知，AB=37m，CD=7。23m，所以AD=AB＝18.5m，。
在Rt△OAD中，由勾股定理，得，即，解得（m）。
因此，赵州桥的主桥拱半径为27.3m。
四、学生练习，巩固新知
练习1 如图，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法。
作法：（1）连接AB；
（2）作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点。
练习2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。
解：如图，连接OC。
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m，∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）。
根据勾股定理，得：，即，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m。
练习3 如下左图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米。现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由。
解答：如上右图，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到OC⊥AB，OC⊥GF，根据勾股定理容易计算OE=1.5米，OM=3.6米。所以ME=2.1米，因此可以通过这座拱桥。
五、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了哪些数学知识？
在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
这些方法中你又用到了哪些数学思想？
六、布置作业，优化新知
⒈教科书习题24.1第8题，第9题；（必做题）
⒉教科书习题24.1第10题。（选做题）
课件15张PPT。问题引入问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试。
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？
追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题引入问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37。4m，?拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）探究新知问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？
结论：（1）圆是轴对称图形；
（2）经过圆心的每条直线（不是直径）都是它的对称轴；
（3）圆的对称轴有无数条。
问题4 如图 ： 是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥ ，垂足M。探究新知（1） ⊙O是轴对称图形，CD是它的对称轴吗？
（2） 也是轴对称图形吗？CD也是它的对称轴吗？
（3）你能找出图中有哪些相等的线段和相等的弧？请说明理由。
（4）你能文字语言叙述你发现的这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（6）你能用几何方法证明这些结论吗？
已知：在⊙O中，CD是直径， 是弦， ，垂足M。??
求证： ， ， 。???探究新知问题５ 如上图，若直径CD平分弦，则直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
已知：在⊙O中，CD是直径， 是弦， 。??
求证： ， ， 。???探究新知你能用一句话总结这个结论吗？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
类似还有如下结论：
（1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；
（2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧。探究新知分析： （1）作OG⊥CD于G，由垂径定理先求出AF的长，进而求得OG的长，就是圆心O到CD的距离；
（2）在Rt△ODG中，由勾股定理可求DG的长，再由垂径定理可求得CD的长。例1：如图，已知在⊙O中，AB、CD两弦互相垂直于E，AB被分成4 cm和10 cm两段， （1）求圆心O到CD的距离；
（2）若⊙O半径为8 cm，求CD的长是多少?应用新知例2： 如图， 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4，弦AB=16，求此圆的半径。应用新知解：设圆的半径为R，由已知条件得到OD=R－4，AD=8。在Rt△ADO中， ，
即 。解得R＝10。即此圆的半径是10。追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？练习1 如图，已知 ，请你利用尺规作图的方法作出 的中点，说出你的作法。
巩固新知作法：（1）连接AB；
（2）作AB的中垂线，交 于点C，点C就是所求的点。
练习2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 ，点O是 的圆心，其中CD=600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。巩固新知练习3 如下左图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7。2米，桥的最高处点C离水面的高度2。4米。现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由。巩固新知课堂小结本节课你学到了哪些数学知识？
在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
这些方法中你又用到了哪些数学思想？课外作业⒈教科书习题24.1第8题，第9题；（必做题）
⒉教科书习题24.1第10题。（选做题）
