《圆周角》
《弧、弦、圆心角》是在学生学习了垂径定理后继续学习圆的又一个重要性质。本节教材主要研究的是弧、弦、圆心角之间的关系。教材中充分利用了圆的对称性，通过观察，实验探究出圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的关系，并利用这些性质解决了有关证明和计算的问题。
教材在证明弧、弦、圆心角之间的关系这个性质时运用了圆的旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。在证明圆的许多重要性质时都要用到圆的旋转不变性。同时，弧，弦，圆心角之间的关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，为后续证明线段相等、角相等、弧相等提供了又一种解决问题的方法。
【知识与能力目标】
1、理解圆的旋转对称性；
2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角；
3、掌握圆心角、弦、弧之间的相等关系，并能运用这些关系解决问题。
【过程与方法目标】
经历探索圆心角、弦、弧之间的相等关系的过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。
【情感态度价值观目标】
?通过对圆的旋转变换的实验、操作、观察、逻辑思维推理等过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。
【教学重点】
弧、弦、圆心角之间的关系。
【教学难点】
利用弧、弦、圆心角之间的关系解决有关的证明、计算等问题。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 （1）平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？圆绕圆心O旋转180度后你发现了什么？
（2）平行四边形绕对角线交点旋转任意一个角度后，你发现了什么？把圆绕圆心O旋转度任意一个角度后，你发现了什么？
设计意图：第（1）个问题的设置是引导学生回忆平行四边形和圆是中心对称图形。第（2）个问题设置转动不同角度时，平行四边形和圆转动的结果是不同的，这样就把圆与一般的中心对称图形区别开来，引导学生得出圆的特有性质——旋转不变性。
二、探索发现，形成新知
问题2 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，这样的角叫做什么角？
结论：顶点在圆心的角叫做圆心角。
追问：下列哪个图形中阴影部分的角是圆心角？
答案：中间的图形。
问题4 如图所示的☉O中，分别作相等的圆心角∠AOB和'，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到的位置时，由于，那么A点与点重合，B点与点重合，所以有：，。
归纳：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
追问1：在等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦仍然相等吗？请同学们现在动手做一做。
因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
追问2：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提条件，还有同样的结论吗？请画图说明。
三、运用新知，深化理解
例1：如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC。
分析：由，得到AB=AC，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC。
证明：∵ ，∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形。
又 ∠ACB＝60°，∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA。
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC。
例2：如图，在☉O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF。理由如下：
∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴2AE=AB，2CF=CD。∴AE=CF。
又∵OA=OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴OE=OF。
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，，∠AOB=∠COD。理由如下：
∵OA=OC，OE=OF，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴AE=CF。
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴2AE=AB，2CF=CD，∴AB=CD，∴，∠AOB=∠COD。
四、学生练习，巩固新知
练习1 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数。
分析：由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到。
练习2 如图，MN是☉O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM。
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。
（2）如图，若交点P在☉O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。
五、课堂小结，梳理新知
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、圆心角概念；
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
强调：运用本节知识时不能忘记其成立的条件“在同圆或等圆中”，这个知识点是证明弧相等，弦相等常用的方法。
六、布置作业，优化新知
⒈教科书习题24.1第3题，第4题；（必做题）
⒉教科书习题24.1第13题。（选做题）
课件11张PPT。问题引入问题1 （1）平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？圆绕圆心O旋转180度后你发现了什么？
（2）平行四边形绕对角线交点旋转任意一个角度后，你发现了什么？把圆绕圆心O旋转度任意一个角度后，你发现了什么？探究新知问题2 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，这样的角叫做什么名字呢？
结论：顶点在圆心的角叫做圆心角。
追问：下列哪个图形中阴影部分的角是圆心角？
问题3 如图所示的☉O中，分别作相等的圆心角∠AOB和 ，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？探究新知根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 的位置时，由于 ，那么A点与 点重合，B点与 点重合，所以有：
， 。
归纳：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。探究新知追问1：在等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦仍然相等吗？请同学们现在动手做一做。
因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
追问2：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提条件，还有同样的结论吗？请画图说明。证明：∵ ，∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形。
又 ∠ACB＝60°，∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA。
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC。例1：如图，在⊙O中， ，∠ACB＝60°。
求证：∠AOB=∠AOC=∠BOC。应用新知例2：如图，在☉O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？应用新知解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF。理由如下：
∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴2AE=AB，2CF=CD。∴AE=CF。
又∵OA=OC，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴OE=OF。
（2）如果OE=OF，那么AB=CD， ，∠AOB=∠COD。理由如下：
∵OA=OC，OE=OF，∴Rt△OAE≌Rt△OCF，∴AE=CF。
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴2AE=AB，2CF=CD，∴AB=CD，∴ ，∠AOB=∠COD。练习1 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数。巩固新知分析：由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到 。练习2 如图，MN是☉O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM。
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。
（2）如图，若交点P在☉O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。巩固新知课堂小结本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、圆心角概念；
2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
强调：运用本节知识时不能忘记其成立的条件“在同圆或等圆中”，
这个知识点是证明弧相等，弦相等常用的方法。课外作业1、教科书习题24.1第3题，第4题；（必做题）
2、教科书习题24.1第13题。（选做题）
