《圆周角》
《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续，圆周角定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。
圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一，圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念，紧接着安排了一个探究活动，从介绍圆周角概念的图形出发，让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨，达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时，还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。
圆内接四边形的四个内角都是圆周角，利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。
【知识与能力目标】
1、理解圆周角的概念；
2、掌握圆周角定理及其推论；
3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明；
4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。
【过程与方法目标】
在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。
【情感态度价值观目标】
?在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心。
【教学重点】
圆周角定理及其推论。
【教学难点】
圆周角定理证明方法的探讨。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？
顶点在圆心的角叫做圆心角。
问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。
问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？
设计意图：问题1和问题2的设置是让学生回忆圆心角的概念和在同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论，为这节课学习新知作准备；问题3的设置是激发学生学习新知的欲望。
二、探索发现，形成新知
问题4 上图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？这样的角称之为什么角？
顶点不同，圆心角的顶点在圆心，∠C、∠D的顶点在圆上。
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交。
追问：下列哪个图形中的角是圆周角？
答案：图形B中的角。
问题5 如图，画弧AB所对的圆心角，然后再画同弧AB所对的圆周角。你能画多少个同一条弧所对的圆心角？圆周角呢？
追问1：量一量你所画的不同的圆周角的度数，你有什么发现？
追问2：量一量你所画的圆心角的度数，又有什么发现？
追问3：你得出了什么猜想？
猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
追问4：如何验证你的猜想？
根据圆周角与圆心的位置，分成三种情况：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径，如图所示：
∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠AOC=2∠ABO，∴。
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧，那么吗?请同学们独立完成这道题的说明过程。
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧，那么吗?请同学们独立完成证明。
从（1）、（2）、（3）我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
问题6 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
归纳：∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8。
追问1：四边形ABCD中，∠A+∠C与∠B+∠D值分别等于多少度？
追问2：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形称作什么呢？
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
追问3：通过上面的分析，你能归纳一下圆的内接四边形有什么性质吗？
圆的内接四边形对角互补。
三、运用新知，深化理解
例1：如图，AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可。
解：BD=CD。理由如下：
连接AD。∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。又∵AC=AB，∴BD=CD。
例2：如图，⊙O的直径 AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
解：如图，连接OD。
∵AB是直径，∴。在Rt△ABC中，（cm）。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD。∴∠AOD=∠BOD。∴AD=BD。
又Rt△ABD中，，∴（cm）。
四、学生练习，巩固新知
练习1 （1）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
（2）移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由。
练习2 如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。
求证：△ABD为等腰三角形。
分析：此题可先由角平分线定义得出∠MCD=∠DCA，再由同弧所对的圆周角相等得出∠DCA=∠DBA，由等量代换得出∠MCD=∠DBA。最后由圆内接四边形的性质得出∠MCD=∠BAD，即可得出结论。
证明：∵CD平分∠MCA，∴∠MCD=∠DCA。
四边形ABCD内接于圆，∴∠DCA=∠DBA，∠DCB+∠DAB=180°。
∵∠MCD+∠DCB=180°，∴∠MCD=∠DAB。
∴∠DBA=∠DAB，∴DB=DA，即△ABD为等腰三角形。
五、课堂小结，梳理新知
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、圆周角的概念；
2、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
3、半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
六、布置作业，优化新知
⒈教科书习题24.1第5题，第6题；（必做题）
⒉教科书习题24.1第14题。（选做题）
课件16张PPT。问题引入问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？
问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弦也相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，
所对的弧也相等。问题引入问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？探究新知问题4 上图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？这样的角称之为什么角？顶点不同，圆心角的顶点在圆心，∠C、∠D的顶点在圆上。
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交。追问：下列哪个图形中的角是圆周角？问题5 如图，画弧AB所对的圆心角，然后再画同弧AB所对的圆周角。你能画多少个同一条弧所对的圆心角？圆周角呢？探究新知追问1：量一量你所画的不同的圆周角的度数，你有什么发现？
追问2：量一量你所画的圆心角的度数，又有什么发现？
追问3：你得出了什么猜想？同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是☉O的直径，如图所示：
∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠AOC=2∠ABO，
∴ 。追问4：如何验证你的猜想？
根据圆周角与圆心的位置，分成三种情况：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。探究新知（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的两侧，那么吗?请同学们独立完成这道题的说明过程。
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、BC在一条直径OD的同侧，那么吗?请同学们独立完成证明。探究新知从（1）、 （2）、 （3）我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。探究新知问题6 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？探究新知追问1：四边形ABCD中，∠A+∠C与∠B+∠D值分别等于多少度？
追问2：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形称作什么呢？
追问3：通过上面的分析，你能归纳一下圆的内接四边形有什么性质吗？定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形
叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆的内接四边形对角互补。
练习1 在以下所给的命题中，是真命题的有（? ?）。?
?①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧。
练习2 确定一个圆的要素有两个，即_______和_______；______决定圆的位置，_______决定圆的大小。?巩固新知例1：如图，AB是☉O的直径，BD是☉O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？应用新知分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可。例2：如图，⊙O的直径 AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。应用新知解：如图，连接OD。
∵AB是直径，∴ 。
在Rt△ABC中， （cm）。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD。∴∠AOD=∠BOD。∴AD=BD。
又Rt△ABD中， ，
∴ （cm）。练习1 （1）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
（2）移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由。巩固新知练习2 如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E。
求证：△ABD为等腰三角形。巩固新知分析：此题可先由角平分线定义得出∠MCD=∠DCA，再由同弧所对的圆周角相等得出∠DCA=∠DBA，由等量代换得出∠MCD=∠DBA。最后由圆内接四边形的性质得出∠MCD=∠BAD，即可得出结论。课堂小结本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、圆周角的概念；
2、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半；
3、半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
课外作业⒈教科书习题24.1第5题，第6题；（必做题）
⒉教科书习题24.1第14题。（选做题）
