第三章 圆单元检测B卷
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圆单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共12小题）
已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 不确定
如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
如图，点A．B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．3π C． D．2π
圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，以顶点B为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2 B． C． D．
如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是( )
A． B． C． D．
将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
2 、填空题（本大题共6小题）
扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 ．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= ．
如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE= ．
如图，⊙O是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，∠ABP=22°，则∠BCP的度数为 度．
如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A．B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 ．
3 、解答题（本大题共8小题）
一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的全面积（结果保留π）；
（2）圆锥的高．
如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
求证：CA是圆的切线．
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．
如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 ；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
答案解析
1 、选择题
【分析】 根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．
解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，
∴3.5＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选A．
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故选A．
【分析】先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠B=25°．
∵AC∥OB，
∴∠B=∠CAB=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°．
故选B．
【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．
解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，
圆形的空白部分的面积之和S==π=π=π．
所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π=5π﹣π=π．
故选：C．
【分析】根据弧长的公式l=进行计算．
解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得 r=18，
故选：C．
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．
解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==70°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选：A．
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴∠ACE=∠ABC，BD=DC，
∵∠ACE=25°，
∴∠ABC=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DBC=∠DCB=90°-25°=65°，
∴∠D=50°．
故选A．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：×1×=．
故选：A．
【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
解：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC==，
∴cos∠A=cos∠BOC=．
又∵cos∠A=，AB=4，
∴AD=．
故选B．
【分析】连接AC交BD于O，由正方形的性质得出OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB=，求出△AOB的面积、扇形AOE的面积、扇形ABF的面积，即可得出图中阴影部分的面积．
解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，
∴BD===2，
∴OA=OB=，
∴△AOB的面积=××=1，
∵以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，AC⊥BD，
∴O为切点，
∵扇形AOE的面积==，扇形ABF的面积==，
∴图中阴影部分的面积=﹣（1﹣）=﹣1；
故选：D．
【分析】把图形拼凑，即可得出图中阴影部分的面积S=+×，求出即可．
解：
∵四边形都是正方形，
∴边长都等于1，∠EHG=90°，∠ABD=∠ABC=45°，
∵如图（II）和（IIII）的面积相等，
∴把图形（II）补到图形（IIII）上，
∴图中阴影部分的面积S=+×=，
故选B．
解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF=OA，
设B1F=x，则AF=﹣x，
故（﹣x）2+x2=（2x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．
故选：B．
2 、填空题
【分析】 直接利用弧长的计算公式计算即可．
解：弧长是：=6π．
故答案是：6π．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
解：∵∠BOD=120°，
∴∠A=∠BOD=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠A=60°．
故答案为：60°．
15. 【分析】有条件可得AD=CD，再有切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题的解．
解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AD=CE，
∵AD=2，
∴CE=2．
故答案为：2．
【分析】根据圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCP=∠ACB﹣∠ABP．
解：∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠BAC=60°，∠ABP=22°，
∴∠BCP=∠ACB﹣∠ABP=38°．
【分析】 （1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；
（2）过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，就可以相应的结论；
（3）根据条件就是求扇形A2OA的面积即可．
解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为：=．
故答案为：．
【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．
解：当OP⊥AB时，OP的值最小，
则AP′=BP′=AB=4，
如图所示，连接OA，
在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，
则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．
3 、解答题
【分析】 （1）圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长；
（2）利用勾股定理直接求得圆锥的高即可．
解：（1）圆锥的全面积=π×102+π×10×20=300πcm2．
（2）圆锥的高==10（cm）
【分析】由BC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△BDC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由已知的角相等，等量代换可得出AC与BC垂直，进而确定出CA为圆的切线．
证明：∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
又∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC为圆的直径，
∴CA为圆的切线．
【分析】 （1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．
（1）证明：如图．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
【分析】（1）证明△BOD≌△EOA，得到∠OAE=90°，根据切线的判定定理得到答案；
（2）求出∠AOE=45°，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到答案．
解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，
则阴影部分的面积=×4×4﹣=8﹣．
【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；
（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为．
【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴=，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，
∴=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．
【分析】1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；
（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA．MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
解：（1）①如答图1，连结，线段就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示，
由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2=(dm)；
在Rt△A'B'C1中， A'GC1=(dm)
∵＞，∴路线A'GC1更近.
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，
∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100，
当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3,
此时MP=30+20=50，
∴PQ=(dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4,
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，.
∴在Rt△PQM中，PQ=(dm).
综上所述， 长度的取值范围是
E
B′
A′
A
B
F
C
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圆单元检测B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共12小题）
已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 不确定
如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
如图，点A．B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．80°
如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．3π C． D．2π
圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，以顶点B为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2 B． C． D．
如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是( )
A． B． C． D．
将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得正方形，交CD于点E，AB=,则四边形的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
2 、填空题（本大题共6小题）
扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 ．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= ．
如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，则CE= ．
如图，⊙O是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，∠ABP=22°，则∠BCP的度数为 度．
如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A．B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 ．
3 、解答题（本大题共8小题）
一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的全面积（结果保留π）；
（2）圆锥的高．
如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
求证：CA是圆的切线．
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．
如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 ；
问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．
图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与相切，圆心M到边的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.
答案解析
1 、选择题
【分析】 根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．
解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，
∴3.5＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选A．
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故选A．
【分析】先根据OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°，根据圆周角定理即可得出结论．
解：∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠B=25°．
∵AC∥OB，
∴∠B=∠CAB=25°，
∴∠BOC=2∠CAB=50°．
故选B．
【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．
解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，
圆形的空白部分的面积之和S==π=π=π．
所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π=5π﹣π=π．
故选：C．
【分析】根据弧长的公式l=进行计算．
解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得 r=18，
故选：C．
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=40°，根据线段垂直平分线的性质推知AD=BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．
解：∵∠BFC=20°，
∴∠BAC=2∠BFC=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==70°．
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选：A．
【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴∠ACE=∠ABC，BD=DC，
∵∠ACE=25°，
∴∠ABC=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DBC=∠DCB=90°-25°=65°，
∴∠D=50°．
故选A．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：×1×=．
故选：A．
【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
解：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC==，
∴cos∠A=cos∠BOC=．
又∵cos∠A=，AB=4，
∴AD=．
故选B．
【分析】连接AC交BD于O，由正方形的性质得出OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB=，求出△AOB的面积、扇形AOE的面积、扇形ABF的面积，即可得出图中阴影部分的面积．
解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，
∴BD===2，
∴OA=OB=，
∴△AOB的面积=××=1，
∵以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，AC⊥BD，
∴O为切点，
∵扇形AOE的面积==，扇形ABF的面积==，
∴图中阴影部分的面积=﹣（1﹣）=﹣1；
故选：D．
【分析】把图形拼凑，即可得出图中阴影部分的面积S=+×，求出即可．
解：
∵四边形都是正方形，
∴边长都等于1，∠EHG=90°，∠ABD=∠ABC=45°，
∵如图（II）和（IIII）的面积相等，
∴把图形（II）补到图形（IIII）上，
∴图中阴影部分的面积S=+×=，
故选B．
解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，
则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，
故B1F=OF=OA，
设B1F=x，则AF=﹣x，
故（﹣x）2+x2=（2x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．
故选：B．
2 、填空题
【分析】 直接利用弧长的计算公式计算即可．
解：弧长是：=6π．
故答案是：6π．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
解：∵∠BOD=120°，
∴∠A=∠BOD=60°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠A=60°．
故答案为：60°．
15. 【分析】有条件可得AD=CD，再有切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题的解．
解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AD=CE，
∵AD=2，
∴CE=2．
故答案为：2．
【分析】根据圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCP=∠ACB﹣∠ABP．
解：∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠BAC=60°，∠ABP=22°，
∴∠BCP=∠ACB﹣∠ABP=38°．
【分析】 （1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论；
（2）过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，就可以相应的结论；
（3）根据条件就是求扇形A2OA的面积即可．
解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为：=．
故答案为：．
【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．
解：当OP⊥AB时，OP的值最小，
则AP′=BP′=AB=4，
如图所示，连接OA，
在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，
则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．
3 、解答题
【分析】 （1）圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长；
（2）利用勾股定理直接求得圆锥的高即可．
解：（1）圆锥的全面积=π×102+π×10×20=300πcm2．
（2）圆锥的高==10（cm）
【分析】由BC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△BDC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由已知的角相等，等量代换可得出AC与BC垂直，进而确定出CA为圆的切线．
证明：∵BC为圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
又∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC为圆的直径，
∴CA为圆的切线．
【分析】 （1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．
（1）证明：如图．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE=CD=×4=2，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2）2+（r﹣2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．
【分析】（1）证明△BOD≌△EOA，得到∠OAE=90°，根据切线的判定定理得到答案；
（2）求出∠AOE=45°，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到答案．
解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，
则阴影部分的面积=×4×4﹣=8﹣．
【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；
（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为．
【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
（2）连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴=，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；
（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．
（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．
解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，
故答案为4．
（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，
∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，
∴=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，
∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．
【分析】1）①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线；
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①，运用勾股定理求出AC长；Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②，运用勾股定理求出A′C长，然后将两个长度进行比较，就可解决问题；
（2）过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA．MB，如图3．由⊙M与D′C′相切于点Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根据勾股定理可得PQ=．要求PQ的取值范围，只需先求出MP的取值范围，就可解决问题．
解：（1）①如答图1，连结，线段就是所求作的最近路线.
②两种爬行路线如答图2所示，
由题意可得：
在Rt△A'C'C2中， A'HC2=(dm)；
在Rt△A'B'C1中， A'GC1=(dm)
∵＞，∴路线A'GC1更近.
（2）如答图，连接MQ，
∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点，
∴MQ⊥PQ.
∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100，
当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3,
此时MP=30+20=50，
∴PQ=(dm).
当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如答图4,
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵由题意可得 PN=25，MN=50，
∴在Rt△PMN中，.
∴在Rt△PQM中，PQ=(dm).
综上所述， 长度的取值范围是
E
B′
A′
A
B
F
C
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