25.2 用列举法求概率学案（附答案）

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25.2.2用列举法求概率
知识梳理
1.列表法求概率：
当一次试验涉及 ，并且可能出现的结果数目较多时，为 ，通常采用 来计算概率．
2.画树状图法求概率：
当一次试验要涉及 的因素时，为不重不漏地列出 ，用 求概率.
3.用列举法求概率的一般步骤：
(1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于 计算；画树状图法适用于 求概率；
(2) 的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性 ；
(3)确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；
(4)用公式 求事件A发生的概率．
重点突破
知识点一 列表法求概率
1.一条布袋中装有红、黄、黑、白四种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都相同，小明从布袋中摸出一球记下颜色后放回去摇匀，再摸出一个，求小明两次都摸出黑球的概率
【解析】本题主要考查列表法求概率知识，解题的关键是将两次摸出的各种结果正确搭配出来.先根据题意列出表格，继而求得所有等可能的结果与小明两次都摸出黑球的情况，最后利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：列表如下:
第一次第二次 红 黄 黑 白
红 （红，红） （黄，红） （黑，红） （白，红）
黄 （红，黄） （黄，黄） （黑，黄） （白，黄）
黑 （红，黑） （黄，黑） （黑，黑） （白，黑）
白 （红，白） （黄，白） （黑，白） （白，白）
从表中可以看出，摸出各种结果共有16种，其中两次都摸到黑球的只有一种，所以P（两次都摸到黑球）=，故答案为：.
知识点二 画树状图法求概率
1.我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是多少．
【解析】本题主要考查画树状图法求概率的知识.首先分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得：
从树状图中可以看出，共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种情况，所以小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是：．故答案为：.
基础过关
1.数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签法确定一个小组进行展示活动.则第3小组被抽到的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有“1”，“2”，“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
3.三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于 3 的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.有5张背面完全相同的卡片，正面分别写有，，，，2－1，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
6.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.在－2，－1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
9.质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数都是偶数　 B．点数的和为奇数　
C．点数的和小于13　 D．点数的和小于2
10.现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是（ ）
A． B． C． D．
11.同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是 ．
12.从2016年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观。听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为________.
13.一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为 ．
14.现有6个质地，大小完全相同的小球上分别标有数字－1，0.5，，1，1，2．先将标有数字－1，0.5，1的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球，则取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为 ．
15.甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局.
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果：
（2）求出现平局的概率.
16.某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和．若两次所得数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得数字之和为5，则可获得15元代金券一张，其他情况都不中奖．
(1)请用列表或树状图(树状图也称树形图)的方法(选其中一种即可)，把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
(2)假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
能力拓展
1.已知一个围棋盒子中装有7颗围棋子，其中3颗白棋子，4棵黑棋子．若往盒子中再放入x颗白棋子和y颗黑棋子，从盒子中随机取出一颗白棋子的概率为，则y与x之间的关系式是_____________________．
2.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字－2，－1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同. 现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋2x＋5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是多少？
3.在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
分 组 频数 频率
第一组（） 3 0.15
第二组（） 6 a
第三组（） 7 0.35
第四组（） b 0.20
4.有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
参考答案
知识梳理
1.两个因素，不重不漏地列出所有可能的结果，列表法；
2.两个或两个以上，所有可能的结果，画树状图法.
3.两步，两步及两步以上；不重不漏，是否相等；P(A)＝．
基础过关
1.A
2.A
3.A
4.A
5.C
6.D
7.A
8.D
9.C
10.C
11.
12.
13.
14.
15.解：（1）列表：
甲A 甲B 甲C
乙A （甲A，乙A） （甲B，乙A） （甲C，乙A）
乙B （甲A，乙B） （甲B，乙B） （甲C，乙B）
乙C （甲A，乙C） （甲B，乙C） （甲C，乙C）
或画树状图：
（2）由列出的表格或画出的树状图，得甲、乙两人一次游戏的所有等可能的结果有9种，其中出现平局的结果有3种，所以出现平局的概率为＝.
16.解：(1)列表如下：
第一次第二次 1 2 3 4
1 (1，1)2 (2，1)3 (3，1)4 (4，1)5
2 (1，2)3 (2，2)4 (3，2)5 (4，2)6
3 (1，3)4 (2，3)5 (3，3)6 (4，3)7
4 (1，4)5 (2，4)6 (3，4)7 (4，4)8
树状图(树形图)如下：
由列表或画树状图可知，所有可能结果一共有16种，并且每种出现的可能性都相等．
(2)其中两次所得数字之和为8，6，5的结果有8种，所以抽取一次中奖的概率P＝＝．
能力拓展
1.y＝3x＋5
2.如图，
-2，-1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4．
点P的坐标为（-2，4），（-1，1），（0，0），（1，1），（2，4）；
描出各点：-2＜1- ，不合题意；
把x=-1代入解析式得：y1=2，1＜2，故（-1，1）在该区域内；
把x=0代入解析式得：y2=5，0＜5，故（0，0）在边界上，不在区域内；
把x=1代入解析式得：y3=6，1＜6，故（1，1）在该区域内；
把x=2代入解析式得：y4=5，4＜5，故（2，4）在该区域内．
所以5个点中有3个符合题意，
点P落在抛物线y=-x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是 ．
3.解：（1）由频率分布表可知第一组的频数与频率，可知有3÷0.15=20个数据，则a=6÷20=0.3，b=20×0.20=4；故答案：a=0.3，b=4
（2）（人）
（3） 甲 乙1 乙2
甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙
4.解：（1）列表如下：
幸运数积吉祥数 1 2 3 4
0 0 0 0 0
1 1 2 3 4
3 3 6 9 12
由表知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，
∴积为0的概率为。
（2）不公平。理由如下：
∵由表知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种。
∴积为奇数的概率为，积为偶数的概率为。
∵，∴该游戏不公平。
游戏规则可修改为：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢。
1
2
3
4
2
3
4
5
1
2
3
开始
4
1
2
3
4
3
4
5
6
1
2
3
4
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
和
第一次
第二次
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