第1章 二次函数单元检测A卷
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二次函数单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共12小题 ）
下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2；②y= ( http: / / www.21cnjy.com )；③y=x（1﹣x）；④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A． y=2（x﹣2）2﹣1 B． y=2（x﹣4）2+32
C． y=2（x﹣2）2﹣9 D． y=2（x﹣4）2﹣33
关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
心理学家发现：学生对概念的接受能力y与 ( http: / / www.21cnjy.com )提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A． y=﹣（x﹣13）2+59.9 B． y=﹣0.1x2+2.6x+31
C． y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D． y=﹣0.1x2+2.6x+43
把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）2-1-c-n-j-y
A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6
已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定
如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3；其中正确的有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+1
以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
2 、填空题（本大题共6小题 ）
写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：________________．
如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．21*cnjy*com
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二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为 ．
如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（只填写序号）【出处：21教育名师】
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二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①（a+c）2＜b2；②3a+c＜0；③2c+b＞0；④如果一元二次方程ax2+bx+c=﹣3有两个实根x1、x2，那么x1+x2=1．其中结论错误的是______．（只填写序号）
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3 、解答题（本大题共8小题 ）
已知，抛物线经过点（0，﹣1），（1，﹣2），（﹣2，7），求其解析式及其顶点坐标．
已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
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工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）21*cnjy*com
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的 ( http: / / www.21cnjy.com )底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
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直辖市之一的重庆，发展的速度是不容置 ( http: / / www.21cnjy.com )疑的．很多人把重庆作为旅游的首选之地．“不览夜景，未到重庆”．乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．
（1）若该游轮每晚获得10000元利润，则票价应定为多少元？
（2）端午节期间，工商管理部门规定 ( http: / / www.21cnjy.com )游轮船票单价不能低于42元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于560张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最大？最大利润是多少？
为了解甲、乙两种车的刹车距离，经试验发现，甲车的刹车距离s甲是车速v的 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙车的刹车距离s乙等于反应距离与制动距离之和，二反应距离与车速v成正比，制动距离与车速v2成正比，具体关系如下表：
车速v（km/h） 40 50
刹车距离s乙（m） 12 17.5
（1）分别求出s甲、s乙与车速v的函数关系式；
（2）若乙车在限速120km/h的高速公路上行驶，乙车的最长刹车距离是多少m？
（3）刹车速度是处理交通事故的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )重要因素，请看下面一个交通事故案例：甲、乙两车在限速为80km/g的道路上相向而行，等望见对方，同时刹车时已晚，两车还是相撞了，事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离超过16m，但小于18m，乙车的刹车距离是24m，请你比较两车的速度，并判断哪辆车超速？
如图，二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为（0，2），矩形ABCD的顶点B．C在x轴上，A．D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内点A在点D的左侧．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
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某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
答案解析
1 、选择题
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+1，是二次函数；
②y= ( http: / / www.21cnjy.com )，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故选C．
【分析】 利用配方法整理即可得解．
解：y=2x2﹣8x﹣1，
=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，
=2（x﹣2）2﹣9，
即y=2（x﹣2）2﹣9．
故选C．
【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．
解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．
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A．∵a=1，
∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选D．
【分析】根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断．
解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5），
故选C．
【分析】 利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30﹣13）2+59.9，
解得：a=﹣0.1，
故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【分析】抛物线平移不改变a的值．
解：原抛物线的顶点坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y=﹣2（x+1）2+6．
故选C．
7. 【分析】 本题中已知了二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解：根据题意得：m（m﹣2）=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2．
故选C．
【分析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．
解：根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )=±3，
解得c=8或14．
故选C．
【分析】把点（1，1）代入函数解析式即可求出a+b的值．
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣3=1，
∴a+b=4，
故选：C．
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y=a﹣b+c=3，
∴y=a﹣2a+c=3，
即c﹣a=3，故④正确；
故选（B）
【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．21·世纪*教育网
解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入解析式得10=4a﹣2，
解得a=3，
则抛物线的解析式为：y=3（x+1）2﹣2=3x2+6x+1．
故选A．
【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，
当抛物线在x轴的上方时，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，
解得b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )；
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，
∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1＞0，③
由①得b＜ ( http: / / www.21cnjy.com )，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A．
2 、填空题
【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．
解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案为：y=x2（答案不唯一）．
【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．21cnjy.com
解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，
∴曲线CMB在平移过程中扫过的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )OC OB+ ( http: / / www.21cnjy.com )OC BD= ( http: / / www.21cnjy.com )×3×3+ ( http: / / www.21cnjy.com )×3×3=9，
故答案为9．
【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
解：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】将一次函数解析式代入到二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．【版权所有：21教育】
解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，
得：4x=3x2+c，即3x2﹣4x+c=0．
∵两函数图象只有一个交点，
∴方程3x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×3c=0，
解得：c= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
【分析】根据函数的图象，可以得到 ( http: / / www.21cnjy.com )a＜0，b＞0，c＜0，对称轴x=1，x=1时和x=﹣1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照即可解答本题．
解：由图象可得，
( http: / / www.21cnjy.com )，a＜0，b＞0，c＜0，
∴b=﹣2a，a+c＜0，﹣b＜0，
∵x=1时，y=a+b+c＞0；x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＞﹣b，a﹣（﹣2a）+c＜0，
∴|a+c|＜|﹣b|，3a+c＜0，故②正确，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，
即（a+c）2＜b2，故①正确，
又∵x=1时，y=a+b+c＞0，b=﹣2a，
∴a+b+c= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴b+2c＞0，故③正确，
如果一元二次方程ax2+bx+c=﹣3有两个实根x1、x2，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，故④错误，
故答案为：④．
3 、解答题
【分析】 先设一般式y=ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐标．
解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1，
因为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，
所以抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
【分析】（1）把一般式利用配方法化为顶点式即可；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．
解：（1）y=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1；
（2）图象的顶点坐标是（2，﹣1），
对称轴是：x=2．
【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．
【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
解：
（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
【分析】（1）设票价应定为x元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润建立方程求出其解即可；www.21-cn-jy.com
（2）设每晚获得的利润为W元，售票数 ( http: / / www.21cnjy.com )量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润表示出W与x之间的关系，由二次函数的性质求出其解即可．
解：（1）设若该游轮每晚获利10000元，票价为x元
（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000
x2﹣130x+4000=0
（x﹣50）（x﹣80）=0
x1=50，x2=80；
答：设若该游轮每晚获利10000元，票价为50元，或票价为80元．
（2）设票价为m元，利润为W元
( http: / / www.21cnjy.com )
解得42≤m≤44
W=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]
=﹣10x2+1300x﹣30000
=﹣10（x2﹣130x）﹣30000
=﹣10（x﹣65）2+12250
当42≤m≤44时，W随m的增大而增大
∴m=44时，W最大=7840
答：票价定为44元时，才能使每晚获得最大的利润，最大利润为7840元．
【分析】（1）根据“甲车的刹车距离s甲是车速v的 ( http: / / www.21cnjy.com )”可以求得s甲与车速v的函数关系式．设s乙=k1v+k2v2，把（40，12），（50，17.5）分别代入该函数解析式，列出关系系数的方程组，通过解方程组求得它们的值；21世纪教育网版权所有
（2）利用（1）中的函数关系式，结合抛物线的性质来求其顶点坐标即可；
（3）根据（1）中的函数关系式可以求得甲、乙的速度．然后结合限速80km/h判定它们是否超速．
解：（1）依题意得：s甲= ( http: / / www.21cnjy.com )v，
∵反应距离与车速v成正比，制动距离与车速v2成正比
∴设s乙=k1v+k2v2，
由题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴s乙= ( http: / / www.21cnjy.com )v2+ ( http: / / www.21cnjy.com )v；
（2）∵对称轴为v=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣10，
∴当0＜v≤120 时，s乙随v的增大而增大，即当v=120时，s乙最大值= ( http: / / www.21cnjy.com )×14400+ ( http: / / www.21cnjy.com )×120=842·1·c·n·j·y
∴乙车的最长刹车距离为84米．
（只要合理解释“当v=120时，s乙最大”均可）
（3）∵甲车的刹车距离超过16m，但小于18m，
∴16＜ ( http: / / www.21cnjy.com )v＜18，
即80＜v＜90，
又∵乙车的刹车距离是24m
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )v2+ ( http: / / www.21cnjy.com )v=24，
解得v1=60，v2=﹣80 （舍去），
∵限速80km/h
∴甲车超速．
【分析】 （1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m= ( http: / / www.21cnjy.com )，即可求得抛物线的解析式；www-2-1-cnjy-com
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；
（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2；
（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A．B对称．
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x＜2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞﹣2．
∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．
（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=﹣（x+2）2+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．
点评： 本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的．21教育网
【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据z=（x-20）y-40得出z与x的函数关系式，求出即可；
（3）首先求出40=- ( http: / / www.21cnjy.com )（x-50）2+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值范围．
解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
故函数解析式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x﹣20）y﹣40
=（x﹣20）（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8）﹣40
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+10x﹣200，
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x2﹣100x）﹣200
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（x﹣50）2﹣2500]﹣200
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
( http: / / www.21cnjy.com )
如上图，通过观察函数y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
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二次函数单元检测A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共12小题 ）
下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2；②y= ( http: / / www.21cnjy.com )；③y=x（1﹣x）；④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A． y=2（x﹣2）2﹣1 B． y=2（x﹣4）2+32
C． y=2（x﹣2）2﹣9 D． y=2（x﹣4）2﹣33
关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
心理学家发现：学生对概念的接受能力y与 ( http: / / www.21cnjy.com )提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（ ）
A． y=﹣（x﹣13）2+59.9 B． y=﹣0.1x2+2.6x+31
C． y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D． y=﹣0.1x2+2.6x+43
把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）2-1-c-n-j-y
A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6
已知二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定
如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3；其中正确的有（ ）个．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y=3x2+6x+1 B．y=3x2+6x﹣1 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=﹣3x2﹣6x+1
以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2 D．1≤b≤2
2 、填空题（本大题共6小题 ）
写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：________________．
如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A ( http: / / www.21cnjy.com )（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为 ．
如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（只填写序号）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①（a+c）2＜b2；②3a+c＜0；③2c+b＞0；④如果一元二次方程ax2+bx+c=﹣3有两个实根x1、x2，那么x1+x2=1．其中结论错误的是______．（只填写序号）
( http: / / www.21cnjy.com )
3 、解答题（本大题共8小题 ）
已知，抛物线经过点（0，﹣1），（1，﹣2），（﹣2，7），求其解析式及其顶点坐标．
已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )
工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）21*cnjy*com
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的 ( http: / / www.21cnjy.com )底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
直辖市之一的重庆，发展的速度是不容置 ( http: / / www.21cnjy.com )疑的．很多人把重庆作为旅游的首选之地．“不览夜景，未到重庆”．乘游船夜游两江，犹如在星河中畅游，是一个近距离认识重庆的最佳窗口．“两江号”游轮经过核算，每位游客的接待成本为30元．根据市场调查，同一时间段里，票价为40元时，每晚将售出船票600张，而票价每涨1元，就会少售出10张船票．
（1）若该游轮每晚获得10000元利润，则票价应定为多少元？
（2）端午节期间，工商管理部门规定 ( http: / / www.21cnjy.com )游轮船票单价不能低于42元，同时该游轮为提高市场占有率，决定每晚售出船票数量不少于560张，则票价应定为多少元，才能使每晚获得的利润最大？最大利润是多少？
为了解甲、乙两种车的刹车距离，经试验发现，甲车的刹车距离s甲是车速v的 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙车的刹车距离s乙等于反应距离与制动距离之和，二反应距离与车速v成正比，制动距离与车速v2成正比，具体关系如下表：
车速v（km/h） 40 50
刹车距离s乙（m） 12 17.5
（1）分别求出s甲、s乙与车速v的函数关系式；
（2）若乙车在限速120km/h的高速公路上行驶，乙车的最长刹车距离是多少m？
（3）刹车速度是处理交通事故的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )重要因素，请看下面一个交通事故案例：甲、乙两车在限速为80km/g的道路上相向而行，等望见对方，同时刹车时已晚，两车还是相撞了，事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离超过16m，但小于18m，乙车的刹车距离是24m，请你比较两车的速度，并判断哪辆车超速？
如图，二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为（0，2），矩形ABCD的顶点B．C在x轴上，A．D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内点A在点D的左侧．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com )
某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
答案解析
1 、选择题
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
解：①y=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+1，是二次函数；
②y= ( http: / / www.21cnjy.com )，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故选C．
【分析】 利用配方法整理即可得解．
解：y=2x2﹣8x﹣1，
=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，
=2（x﹣2）2﹣9，
即y=2（x﹣2）2﹣9．
故选C．
【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．
解：画出抛物线y=x2﹣2x+1的图象，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∵a=1，
∴抛物线开口向上，A正确；
B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；
C、∵﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C正确；
D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确．
故选D．
【分析】根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断．
解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5），
故选C．
【分析】 利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30﹣13）2+59.9，
解得：a=﹣0.1，
故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【分析】抛物线平移不改变a的值．
解：原抛物线的顶点坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y=﹣2（x+1）2+6．
故选C．
7. 【分析】 本题中已知了二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．
解：根据题意得：m（m﹣2）=0，
∴m=0或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2．
故选C．
【分析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．
解：根据题意 ( http: / / www.21cnjy.com )=±3，
解得c=8或14．
故选C．
【分析】把点（1，1）代入函数解析式即可求出a+b的值．
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣3=1，
∴a+b=4，
故选：C．
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，
∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，
∵x=﹣3时，y＜0，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），
∴y=a﹣b+c=3，
∴y=a﹣2a+c=3，
即c﹣a=3，故④正确；
故选（B）
【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．21·世纪*教育网
解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入解析式得10=4a﹣2，
解得a=3，
则抛物线的解析式为：y=3（x+1）2﹣2=3x2+6x+1．
故选A．
【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，
当抛物线在x轴的上方时，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，
解得b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )；
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，
∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①
b﹣2＞0，②
b2﹣1＞0，③
由①得b＜ ( http: / / www.21cnjy.com )，由②得b＞2，
∴此种情况不存在，
∴b≥ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A．
2 、填空题
【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．
解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案为：y=x2（答案不唯一）．
【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，求得四边形OCBD的面积即可．21cnjy.com
解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，
∴曲线CMB在平移过程中扫过的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )OC OB+ ( http: / / www.21cnjy.com )OC BD= ( http: / / www.21cnjy.com )×3×3+ ( http: / / www.21cnjy.com )×3×3=9，
故答案为9．
【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．
解：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
所以最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】将一次函数解析式代入到二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数解析式中，得出关于x的一元二次方程，由两函数图象只有一个交点可得知该方程有两个相同的实数根，结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．【版权所有：21教育】
解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，
得：4x=3x2+c，即3x2﹣4x+c=0．
∵两函数图象只有一个交点，
∴方程3x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×3c=0，
解得：c= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
【分析】根据函数的图象，可以得到 ( http: / / www.21cnjy.com )a＜0，b＞0，c＜0，对称轴x=1，x=1时和x=﹣1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照即可解答本题．
解：由图象可得，
( http: / / www.21cnjy.com )，a＜0，b＞0，c＜0，
∴b=﹣2a，a+c＜0，﹣b＜0，
∵x=1时，y=a+b+c＞0；x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＞﹣b，a﹣（﹣2a）+c＜0，
∴|a+c|＜|﹣b|，3a+c＜0，故②正确，
∴（a+c）2＜（﹣b）2，
即（a+c）2＜b2，故①正确，
又∵x=1时，y=a+b+c＞0，b=﹣2a，
∴a+b+c= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴b+2c＞0，故③正确，
如果一元二次方程ax2+bx+c=﹣3有两个实根x1、x2，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，故④错误，
故答案为：④．
3 、解答题
【分析】 先设一般式y=ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐标．
解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1，
因为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，
所以抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
【分析】（1）把一般式利用配方法化为顶点式即可；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．
解：（1）y=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1；
（2）图象的顶点坐标是（2，﹣1），
对称轴是：x=2．
【分析】（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1 或 x＞5时，y1＞y2．
【分析】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
解：
（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，
即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x=6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
【分析】（1）设票价应定为x元，售票数量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润建立方程求出其解即可；www.21-cn-jy.com
（2）设每晚获得的利润为W元，售票数 ( http: / / www.21cnjy.com )量为[600﹣10（x﹣40）]张，由票价﹣成本=利润表示出W与x之间的关系，由二次函数的性质求出其解即可．
解：（1）设若该游轮每晚获利10000元，票价为x元
（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000
x2﹣130x+4000=0
（x﹣50）（x﹣80）=0
x1=50，x2=80；
答：设若该游轮每晚获利10000元，票价为50元，或票价为80元．
（2）设票价为m元，利润为W元
( http: / / www.21cnjy.com )
解得42≤m≤44
W=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]
=﹣10x2+1300x﹣30000
=﹣10（x2﹣130x）﹣30000
=﹣10（x﹣65）2+12250
当42≤m≤44时，W随m的增大而增大
∴m=44时，W最大=7840
答：票价定为44元时，才能使每晚获得最大的利润，最大利润为7840元．
【分析】（1）根据“甲车的刹车距离s甲是车速v的 ( http: / / www.21cnjy.com )”可以求得s甲与车速v的函数关系式．设s乙=k1v+k2v2，把（40，12），（50，17.5）分别代入该函数解析式，列出关系系数的方程组，通过解方程组求得它们的值；21世纪教育网版权所有
（2）利用（1）中的函数关系式，结合抛物线的性质来求其顶点坐标即可；
（3）根据（1）中的函数关系式可以求得甲、乙的速度．然后结合限速80km/h判定它们是否超速．
解：（1）依题意得：s甲= ( http: / / www.21cnjy.com )v，
∵反应距离与车速v成正比，制动距离与车速v2成正比
∴设s乙=k1v+k2v2，
由题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴s乙= ( http: / / www.21cnjy.com )v2+ ( http: / / www.21cnjy.com )v；
（2）∵对称轴为v=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣10，
∴当0＜v≤120 时，s乙随v的增大而增大，即当v=120时，s乙最大值= ( http: / / www.21cnjy.com )×14400+ ( http: / / www.21cnjy.com )×120=842·1·c·n·j·y
∴乙车的最长刹车距离为84米．
（只要合理解释“当v=120时，s乙最大”均可）
（3）∵甲车的刹车距离超过16m，但小于18m，
∴16＜ ( http: / / www.21cnjy.com )v＜18，
即80＜v＜90，
又∵乙车的刹车距离是24m
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )v2+ ( http: / / www.21cnjy.com )v=24，
解得v1=60，v2=﹣80 （舍去），
∵限速80km/h
∴甲车超速．
【分析】 （1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m= ( http: / / www.21cnjy.com )，即可求得抛物线的解析式；www-2-1-cnjy-com
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；
（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2；
（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴D、C点关于y轴分别与A．B对称．
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x＜2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞﹣2．
∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．
（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=﹣（x+2）2+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．
点评： 本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的．21教育网
【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据z=（x-20）y-40得出z与x的函数关系式，求出即可；
（3）首先求出40=- ( http: / / www.21cnjy.com )（x-50）2+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值范围．
解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
故函数解析式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x﹣20）y﹣40
=（x﹣20）（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8）﹣40
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x2+10x﹣200，
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x2﹣100x）﹣200
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（x﹣50）2﹣2500]﹣200
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
( http: / / www.21cnjy.com )
如上图，通过观察函数y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
( http: / / www.21cnjy.com )
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