同角三角函数的基本关系教学设计

《同角三角函数的基本关系》教学设计
课型
同课异构
地点
绥阳中学高一（
）班
时间
2017.11.15
执教人
儒中卢玉康
课
题
同角三角函数的基本关系
教学目标
知识与技能：（1）能根据三角函数的几何和代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）会利用同角三角函数的两个基本关系式及变形公式，通过一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.过程与方法：（1）通过数形
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"欢迎登陆21世纪教育网 )结合的思想探究同角三角函数关系式；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，回归定义，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（2）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，在学习中的相互交流，形成合作学习的习惯.情感态度与价值观：通过教学，使学生学会运用观察.猜想.类比.数形结合.回归定义检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.
教学重难点
重点：公式和的推导及其应用难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用
教学方法
生生互动，合作探究，讲练结合学习法
教学准备
导学案学生提前预习
是否使用多媒体
是
教学内容及过程
教师活动
学生活动
设计意图
一.导入新课由蝴蝶效应引入事物之间都是有联系的，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:sin290°+cos290°；
(2)sin260°+cos260°；(3)；
(4).（1）从以上过程中，你能发现什么一般规律吗？你能用代数式表示这个规律吗
你能用语言叙述这个规律吗？（2）你还能举出类似于题目形式的例子吗？（3）你能证明自己所得到的规律吗？二.回归定义，新知探究提出问题
（1）在上述两个等式中的角是否都可以是任意角 若不能,角α应受什么影响
图1先请学生回忆任意角的三角函数定义,如图1点P（x,y),以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理OM2+MP2=1.因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当,
k∈Z时,有
(等式2).这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：①注意“同角”指相同的角，与形式无关例如：；，；
；。②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如中，且需有意义等，如无意义，上述等式就不成立.
（2）对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.
三.典例分析：例1
已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.
解析:因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=1-()2=.又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα==,故tanα==.点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tanα=中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
(变式)例2.已知cosα=,求sinα,tanα的值.解析:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么
如果α是第三象限角,那么sinα=,tanα=.小结：sina,cosa,tana三者可以“知一求二”，另外
1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.例2
求证:
解析:算式右边的非零因式1+sinx,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;证法一（化繁为简法）从一边开始，证得它等于另一边，一
般由繁到简；:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是左边所以原式成立.证法二（比例化积法）:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以教师引导学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三（等式作差法）即证明左边-右边=0:因为a=b等价于a-b=0，所以：所以变式练习：（1）
（2）化简:
.（3）（4）化简引导学生探究:原式结果为cos440°是不是最简形式,还应怎么办？答案:（1）见课本例6，（2）cos40°-sin40°解析:（4）用诱导公式一将4400化简到锐角。原式====cos80°.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.四.巩固提高训练第20页课本本节练习第1.4.5题.解答:1.sinα=,tanα=4.(1)cosθtanθ=cosθ=sinθ;5.(1)左=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右;(2)左=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1=右.五.课堂小结先由学生回顾本节所学的方法知识:同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值，先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切,则构造方程组求值（简称“弦切互化，知一求二”）.
③教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.六.作业布置课本习题1.2A组第11.12.13题七.板书设计
学生运用特殊角的函数值进行计算后进行猜想，你能得到一个什么结论。学生复习三角函数的定义和勾股定理内容。学生讨论后总结:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以任意角,在第二个等式中,k∈Z.本题难度不大，学生可先行独立完成，可能忽略α是第二象限角，比较例1、例2题设条件的相异之处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.学生讨论完成后，教师提醒:
cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用二个等式2求出正切.学生通过独立完成练习，总结平方关系公式的变形师生共同完成两种证明方法学生在教师的引导下进行第三种方法证明自主完成变式（3）教师引导学生变式（4）中运用诱导公式一化简为cos80°,由cos80°>0,=cos80°学生完成课后练习题巩固提高学生讨论总结本节课的收获
学生观察各题的结构和所得结果,进行猜想。教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.通过用定义推导出学生所猜想结论的一般性，普遍性.启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从算式一边到另一边的证法在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.通过此题让学生掌握证明三角恒等式的几种常见证明方法变式（3）难度不大，主要是巩固化繁为简法通过变式练习让学生熟练运用平方关系并知道平方关系式的变形公式的重要性.通过课堂练习巩固提高学生自行总结，学会自我反思总结
课题：同角三角函数的关系新课导入练习：（1）（2）
（3）（4）同角三角函数的关系（1）（2）三角函数关系的变形式（1）（2）三角恒等式的证明方法（1）（2）（3）
课件展示区
学生板演区学生尝试小结（1）（2）作业布置