课件23张PPT。12.3角平分线的性质（一）角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角C平分线。C∠AOC =∠BOC∠AOB =2∠AOC =2∠BOC角平分线在△ADC和 △ABC中，AD= ABAC=ACDC=BC∴△ADC ≌ △ABC（SSS）∴ ∠DAE=∠DAE==尺规作图已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线. 角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________COBAPD=PE角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.结论：C已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E求证: PD=PEPC∵ PD⊥OA，PE⊥OB证明：∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°在△POD和△PEO中
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP∴ PD＝PE
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)几何语言:角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。4例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？例题讲解E例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。EFGMN例题讲解例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。例题讲解1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。2练习2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB 练习3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。ABCDE练习B如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. P 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD再见课件21张PPT。12.3.2角平分线的性质（2）P到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点知识回顾几何语言：∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB∴ PD= PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：不必再证全等反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．用数学语言表示为：角平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）总结角的平分线的性质OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定归纳、比较 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
思考DCS解：作夹角的角 平分线OC，截取OD=2.5cm , D即为所求。∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，知识运用 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等PMN 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，GHM∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC，∴FG=FM.又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 课堂练习P1P2P3P4l1l2l3 如图，△ABC中，D是BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
是E、F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线课堂练习 在△ABC中，AB=AC，
AD平分∠BAC ，DE⊥AB， DF⊥AC，
下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF;
(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的
距离相等，其中正确的结论有( )课堂练习 已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BACD课堂练习 已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.DEFCA课堂练习B小结 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。1、角平分线的判定：2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。3、角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。再 见如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，
BE、CF相交于D， BD=CD 。
求证： AD平分∠BAC课堂练习 如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. 课堂练习 如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC 课堂练习 如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB课堂练习
