《直线和圆的位置关系》
《直线和圆的位置关系》这节内容是继点与圆的位置关系之后进行的，本节研究的切线的判定定理、性质定理，切线长定理等知识，是研究直线和圆的有关问题时常用的定理，同时，本节知识也为后续学习圆与圆的位置关系等知识的基石。
本节教材首先讨论了直线与圆的三种位置关系，然后重点研究了直线与圆相切的情况，给出了直线和圆相切的判定定理、性质定理，探索并证明了切线长定理，并在此基础上介绍了三角形的内切圆等知识。教学时，可以首先复习点与圆的不同位置关系以及各种位置关系的数量表示，同时，引导学生从运动变化的观点以及量变到质变的过程理解直线和圆相交、相切、相离等概念。
【知识与能力目标】
1、了解直线和圆的位置关系；
2、掌握切线的概念，探索并掌握切线的判定和性质定理；
3、探索并证明切线长定理；
4、了解三角形的内心，会利用基本作图作三角形的内切圆。
【过程与方法目标】
学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力。
【情感态度价值观目标】
?通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。
【教学重点】
探索并掌握直线和圆的三种位置关系及判定方法；
2、探索并证明圆的切线的判定定理和性质定理。
【教学难点】
探索直线和圆三种位置关系及圆的切线的判定定理和性质定理的过程。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆一下它们的位置关系有哪些？如何根据点到圆心的距离与圆的半径的关系来判断点的位置？
点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内。
问题2 唐朝诗人王维在《使至塞上》写道：
单车欲问边，属国过居延。
征蓬出汉塞，归雁入胡天。
大漠孤烟直，长河落日圆。
萧关逢候骑，都护在燕然。
其中第三句后半部分“长河落日圆”描写的是“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”。如果从数学的角度来分析，把黄河当作一直线，太阳当作一个圆，如何用几何图形来刻画这个落日的过程呢？请同学们动手画一画。
设计意图：问题1回顾“点和圆的三种位置关系”，为学习“直线和圆的位置关系打下基础；问题2通过唐诗引出“直线和圆的位置关系”，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”和对我国古典文学的热爱之情。
二、探索发现，形成新知
问题3 从问题2落日的画图过程中，你能总结出直线和圆有哪几种位置关系吗？
直线和圆有三种位置关系，如下图：
追问1：以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？
当直线与圆有两个公共点时，称之为直线和圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称之为直线与圆相切；当直线与圆没有公共点时，称之为直线和圆相离。
追问2：你能根据点和圆的位置关系，类似得出直线和圆的三种位置关系中到直线的距离d和半径r之间的大小关系吗？
设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
问题4 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么关系？
可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线。这样，我们得到了切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
追问1：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应该如何证明？
分为两步进行：（1）这条直线经过圆上的一点；（2）过这点的半径垂直于这条直线。
追问2：反之，如果知道一条直线是圆的切线，那么它是否垂直于经过切点的半径呢？
假设OA与l不垂直，过点O作，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
问题5 在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
从上面的操作几何我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长（这点与切点之间的线段长）相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
问题6 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使载下来的圆与三角形的三条边都相切？
我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等。因此，分别作出∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们交于点I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等。以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
三、运用新知，深化理解
例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝8，AC＝4。
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2和4的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离。
解：（1）如上图，过点C作AB的垂线段CD。
∵AC＝4，AB＝8；∴。
又∵，∴，。
因此，当半径长为时，AB与⊙C相切。
（2）由（1）可知，圆心C到AB的距离d＝，所以，当r＝2时，d＞r，⊙C与AB相离；当r＝4时，d＜r，⊙C与AB相交。
例2：如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB。
求证：AT是⊙O的切线。
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°。由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB。
证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°。∴∠ATB＝∠ABT＝45°。
∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°。∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线。
例3：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切与点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的长。
解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x，
由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4。
因此AF=4，BD=5，CE=9。
四、学生练习，巩固新知
练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2。4cm； （3）r=3cm。
练习2 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 ， y轴与⊙A的位置关系是 。
练习3 已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°。
证明：连结OD。
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4。∴∠3＝∠4。
∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC。∴∠ODC＝∠OBC。
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°。∴∠ODC＝90°。∴DC是⊙O的切线。
练习4 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3。求内切圆的半径r。
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，
∵AE=2，CD=1，BF=3，
∴AF=2，EC=1，BD=3，
∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径。
五、课堂小结，梳理新知
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念。
2、设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：
直线L和⊙O相交d直线L和⊙O相切d=r；
直线L和⊙O相离d>r；
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
4、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
5、圆的切线长概念及定理；
6、三角形的内切圆及内心的概念。
六、布置作业，优化新知
⒈教科书习题24.2第3题，第4题，第5题；（必做题）
⒉教科书习题24.2第11题，第12题，第14题。（选做题）
课件17张PPT。问题引入问题1 我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆一下它们的位置关系有哪些？如何根据点到圆心的距离与圆的半径的关系来判断点的位置？点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。
也可以把点与圆心的距离和半径作比较：
（1）若距离大于半径在圆外，
（2）等于半径在圆上，
（3）小于半径在圆内。问题引入问题2 唐朝诗人王维在《使至塞上》写道：
单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。
大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。其中第三句后半部分“长河落日圆”描写的是“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”。如果从数学的角度来分析，把黄河当作一直线，太阳当作一个圆，如何用几何图形来刻画这个落日的过程呢？请同学们动手画一画。探究新知问题3 从问题2落日的画图过程中，你能总结出直线和圆有哪几种位置关系吗？追问1：以上三种情况中，直线和圆分别有几个交点？直线和圆有三种位置关系，如下图：当直线与圆有两个公共点时，称之为直线和圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，
称之为直线与圆相切；当直线与圆没有公共点时，称之为直线和圆相离。探究新知追问2：你能根据点和圆的位置关系，类似得出直线和圆的三种位置关系中到直线的距离d和半径r之间的大小关系吗？设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，
当直线与圆相交时，d＜r；
当直线与圆相切时，d＝r；
当直线与圆相离时，d＞r。
因此可以用d与r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系。问题4 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么关系？探究新知可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线。这样，我们得到了切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。追问1：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应该如何证明？
追问2：反之，如果知道一条直线是圆的切线，那么它是否垂直于经过切点的半径呢？探究新知两步：（1）这条直线经过圆上的一点；（2）过这点的半径垂直于这条直线。
假设OA与l不垂直，过点O作，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O
的切线矛盾。因此，半径OA与直线垂直。
因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。问题5 在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？探究新知从上面的操作几何我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长（这点与切点之间的线段长）相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。问题6 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使载下来的圆与三角形的三条边都相切？探究新知与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝8，AC＝4。
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2和4的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？应用新知分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离。例2：如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB。
求证：AT是⊙O的切线。应用新知分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°。由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB。例3：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切与点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的长。应用新知解：设AF=x，则AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x，
由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4。
因此AF=4，BD=5，CE=9。练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2。4cm； （3）r=3cm。
练习2 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 ， y轴与⊙A的位置关系是 。巩固新知练习3 已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。巩固新知分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°。练习4 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3。求内切圆的半径r。巩固新知证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，∵AE=2，CD=1，BF=3，∴AF=2，EC=1，BD=3，∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，
∴△ABC是直角三角形，
∴内切圆的半径 。课堂小结
1、直线和圆相交、相切、相离等概念。
2、设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：直线L和⊙O相交 dr；
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
4、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
5、圆的切线长概念及定理；
6、三角形的内切圆及内心的概念。本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？课外作业⒈教科书习题24.2第3题，第4题，第5题；（必做题）
⒉教科书习题24.2第11题，第12题，第14题。（选做题）
