24.4 弧长及扇形的面积学案（附答案）
图片预览
文档简介
21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
24.4 弧长和扇形面积
知识梳理
1.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长= .
2.扇形面积公式：
（1）在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ ____.
（2）半径为R，弧长为的扇形面积S扇形=________.
3.圆锥的侧面积及全面积：
（1）圆锥母线的定义：圆锥是由一个 和一个 围成的,连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线.
（2）圆锥侧面积及全面积公式：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的母线为，底面圆半径为，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ,圆锥的侧面积为 ；②圆锥全面积（含底面）为 .
知识梳理
知识点一 弧长和扇形面积的计算
1.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路线长是多少
(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少 (计算结果不取近似值)
【解析】本题主要专业考查旋转的性质以及勾股定理、弧长公式、扇形面积公式的应用，得出点A转过的路径是两段弧是解题关键.
（1）由勾股定理先求出AB=2,AC=,，再根据弧长计算公式分别求出两段弧的长，然后再把两段弧长相加即可。
（2）再根据扇形面积计算公式分别求出两个扇形的面积，然后再求和即可。
【答案】解：(1)∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=,
∴∠ABA′=120°,
∴==π, ==π,
∴点A经过的路线长为π+π=π.
(2)S扇形BAA′=××2=,
S扇形C′A′A″=××=,
S△A′BC′=×1×=,
∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=+.
知识点二 圆锥的计算
1.圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2
【解析】本题主要考查圆锥的侧面积和表面积，解题的关键是熟练掌握相关的公式并能转化立体图形与平面图形的量的对应关系. ①根据圆锥的底面半径和高求出母线长；②利用扇形面积公式及圆的面积公式求出圆锥的表面积为（4+16）πcm2，故选择D.
【答案】D
基础过关
1.一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（ ）
A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm
2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣4 B． C．π﹣2 D．
4.如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
5.如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
6.如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．Π C. D.
8.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D． +
9.如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
10.已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于 cm．
11.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C. 若OA=2，则阴影部分的面积为___________.
12.已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留π ）.
13.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分面积为 .
14.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积.
能力拓展
1.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
2.如图所示，正方形对角线所在直线上有一点，，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__________.
3.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为__________cm2．
4.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2 时，求的长．
参考答案
知识梳理
1..
2.；.
3.（1）底面，侧面，顶点，底面圆周上任意一点.
（2）扇形，，2πr，， S圆锥全=S侧+S底=π+π2.
基础过关
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.D
7.D
8.A
9.B
10.
11..
12.10π .
13.
14.解：（1）连接OB,
∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，
∴∠AOC=∠AOB=60°.
(2)
在Rt△BOE中，∠OBE+∠AOB=90°，
∴∠OBE=90°-∠AOB=90°-60°=30°.
能力拓展
1.A
2..
3.
4.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，∴,
∵M为中点,∴,
∴,∴.
（2）解：连接.
∵,∴∠BOM﹦∠COM,
∵正方形ABCD内接于⊙O，∴.∴.
由弧长公式，得的长
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
24.4 弧长和扇形面积
知识梳理
1.弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长= .
2.扇形面积公式：
（1）在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_ ____.
（2）半径为R，弧长为的扇形面积S扇形=________.
3.圆锥的侧面积及全面积：
（1）圆锥母线的定义：圆锥是由一个 和一个 围成的,连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线.
（2）圆锥侧面积及全面积公式：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的母线为，底面圆半径为，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ,圆锥的侧面积为 ；②圆锥全面积（含底面）为 .
知识梳理
知识点一 弧长和扇形面积的计算
1.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A经过的路线长是多少
(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少 (计算结果不取近似值)
【解析】本题主要专业考查旋转的性质以及勾股定理、弧长公式、扇形面积公式的应用，得出点A转过的路径是两段弧是解题关键.
（1）由勾股定理先求出AB=2,AC=,，再根据弧长计算公式分别求出两段弧的长，然后再把两段弧长相加即可。
（2）再根据扇形面积计算公式分别求出两个扇形的面积，然后再求和即可。
【答案】解：(1)∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=,
∴∠ABA′=120°,
∴==π, ==π,
∴点A经过的路线长为π+π=π.
(2)S扇形BAA′=××2=,
S扇形C′A′A″=××=,
S△A′BC′=×1×=,
∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=+.
知识点二 圆锥的计算
1.圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2
【解析】本题主要考查圆锥的侧面积和表面积，解题的关键是熟练掌握相关的公式并能转化立体图形与平面图形的量的对应关系. ①根据圆锥的底面半径和高求出母线长；②利用扇形面积公式及圆的面积公式求出圆锥的表面积为（4+16）πcm2，故选择D.
【答案】D
基础过关
1.一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（ ）
A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm
2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣4 B． C．π﹣2 D．
4.如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
5.如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
6.如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．Π C. D.
8.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D． +
9.如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
10.已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于 cm．
11.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C. 若OA=2，则阴影部分的面积为___________.
12.已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留π ）.
13.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分面积为 .
14.如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积.
能力拓展
1.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
2.如图所示，正方形对角线所在直线上有一点，，将正方形绕点顺时针旋转，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__________.
3.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为__________cm2．
4.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2 时，求的长．
参考答案
知识梳理
1..
2.；.
3.（1）底面，侧面，顶点，底面圆周上任意一点.
（2）扇形，，2πr，， S圆锥全=S侧+S底=π+π2.
基础过关
1.B
2.A
3.C
4.C
5.D
6.D
7.D
8.A
9.B
10.
11..
12.10π .
13.
14.解：（1）连接OB,
∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，
∴∠AOC=∠AOB=60°.
(2)
在Rt△BOE中，∠OBE+∠AOB=90°，
∴∠OBE=90°-∠AOB=90°-60°=30°.
能力拓展
1.A
2..
3.
4.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，∴,
∵M为中点,∴,
∴,∴.
（2）解：连接.
∵,∴∠BOM﹦∠COM,
∵正方形ABCD内接于⊙O，∴.∴.
由弧长公式，得的长
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录