《圆周角和圆心角的关系》教学设计
一、创设情景 激发兴趣 导入新课
《数学课程标准》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定
挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中。
问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？21·cn·jy·com
二、数学思考 师生互动 启发猜想
⑴教师引导学生把实际问题抽象成数学问题：“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”。导入新课
⑵引导学生通过画图测量，发现：∠C、∠D的度数相等。
⑶教师引导，问题转化为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系”
⑷美国教育心理学家奥苏伯尔说：“影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道什么。要探明这一点并应据此进行教学”为此，教师直观演示启发由已学“直径所对的圆周角的特征”这一特殊情况猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．【来源：21·世纪·教育·网】
三、动手实践 分类化归 验证猜想
由实验、观察等方法得出的猜想的正确性需要进一步验证。
学生动手实践：在圆形硬纸片上任取一段弧，画出该弧所对的圆心角和任意一个圆周角。并根据所画的图形，探索说明“该弧所对的圆周角等于圆心角的一半”成立的理由。21*cnjy*com
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”数学教学模式强调：以学生的独立学习为基础的小组合作，全班交流，教师启导。本活动的设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间。学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决，在这个过程中教师深入课堂对学生适时的点拨、指导（如：经过圆周角的顶点把硬纸片对折，启发学生作辅助线等。）适时的评价、激励和有度的批评、督促。师生互动，彼此形成一个“学习共同体”，
⑴ 充分的活动交流后,教师挑选有代表性的几个小组派代表在黑板上展示图片、并说理、验证。
⑵ 教师引导学生对展示硬纸片分类：
图 (a)、(e) 同类， 图 (b)、(d) 同类， 图 (c) 一类
⑶ 教师用“几何画板”动画直观演示，归纳分类如下：
⑷ 教师总结各小组验证成果：
学生在小组交流探索中发现：三类情况的验证方法各不相同，第二、三类困难。教师适时引导学生认识到：“分类验证的必要性”，并归纳学生的说理的成果：21·世纪*教育网
学生探索发现：第一类情况最特殊容易验证。由圆的轴对称性联想到把硬纸片对折、发现过圆周角的顶点C作辅助线“直径”，可以把第二、第三类情况转化为第一类来验证。教师提议把第一类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第二类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊。学生豁然开朗。教师总结说理如下：【来源：21cnj*y.co*m】
第一类：圆心在圆周角一边上
（一面三角旗） 【∠C=∠AOB∠A=∠COA=OC】
第二类：圆心在圆周角内部
+
（两面三角旗合并）
【∠C=∠AOB∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD )∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】【出处：21教育名师】
第三类：圆心在圆周角外部
-
（两面三角旗叠成）
【∠C=∠AOB∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD )∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】【版权所有：21教育】
⑸教师精讲：猜想成立，就可以把情景中研究“同弧所对的圆周角的大小问题”化归为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系问题”
本环节以学生活动为核心。本环节首先让学生自主探究、合作交流,突出了重点,然后教师通过引导,环环相扣把难点突破,其间有机渗透了“分类” 、“化归”等数学思想21教育名师原创作品
四、阅读教材 深入思考 联想建构
阅读教材第19页蓝体字
判断：⑴同弧或等弧所对的圆周角相等……（ ）
⑵等弦所对的圆周角相等……………（ ）
⑶相等的圆周角所对的弧相等………（ ）
思考：在同一圆内，若两条弧相等，则你可以得到哪些结论？
精讲： 对于两个相等的圆，有相同的结论。
本环节加深学生了对知识的了解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构圆周角、圆心角、弧、弦的关系。2·1·c·n·j·y
五、变式例题：
（1）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。
（2）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆内，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。21教育网
六、关注差异 分层练习 巩固提高
A层（基础题）
图1：试找出图甲中所有相等的圆周角
⑵在圆中一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x + 100)0和(5x – 30)0则这条弧所对的圆心角的度数为 、圆周角的度数为 。www-2-1-cnjy-com
B层（中等题）
⑴图2中互余的圆周角共有…………………………………………（ ）
A、4对 B、6对 C、8对 D、10对
⑵ 如图3所示，AD平分∠BAC，那么图中相似的三角形有………（ ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、6对
C层（提高题）
如图4，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5= .
如图5：已知弦AB、CD相交于P点，且∠AOC=44、∠BOD=46 求∠APC的度数
A层 课本20页的随堂练习，意在让多数学生参与，巩固知识。
B层（1）题是课本练习题的变式题，意在培养学生的分类思想。
C层 意在培养学生的化归思想
七、课堂反思 师生小结 触类旁通
师生互动，针对本堂课学生自主探索、合作交流的情况，练习的效果进行评价，引导学生对本课探索学习中所运用的数学思想、方法，得到的新知识、新旧知识的联系等进行小结、反思。这样可以充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！21世纪教育网版权所有
八、学以致用 作业适量 分层要求
尊重学生的个体存在差异的客观事实，为了尽可能地让所有的学生都能主动的参与，都能在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的发展。练习、作业的设计分层要求。21cnjy.com
A层（基础题）
如图6所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=100o，则∠BAC= 度，∠BDC= 度.www.21-cn-jy.com
如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠D=25，则∠AOC=
如图8，已知AB=AC=2cm, ∠BDC=60，则△ABC的周长是 。
如图9：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数.
B层（中等题）
在⊙O中，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角是 度.
如图10，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°，求∠B的度数.
C层（提高题）
如图11，AB是⊙O直径，点C在圆上，∠BAC的平分线交圆于点E，OE交BC于点H，已知AC=6，AB=10，求HE的长.2-1-c-n-j-y
D层（课外延拓）
如图12：“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，从射门的角度大小考虑，李应把球传给谁好？
请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。
本题的设计既与课堂引入的情景问题相呼应又为后继学习“点与圆的位置关系“埋下伏笔。问题的延拓渗透了分类思想、化归思想有助于培养学生的数学思想、应用意识，提高分析问题、解决问题的能力，让学生感悟数学来源于生活应用于生活，激发学生学习数学的热情。
《圆周角和圆心角的关系》评测练习
一、填空题:
1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.21教育网
(1) (2) (3)
2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.21·cn·jy·com
3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
(4)
二、选择题:
5.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )[来源
A.50° B.100° C.130° D.200°
(7) (8) (9) (10)
6.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )21世纪教育网版权所有
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
7.如图9,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )
A.100° B.80° C.50° D.40°
三、解答题:
9.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.
10.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
答案：
1.120° 2.3 1 3.160° 4.44° 5.A 6.C 7.B 8.C
9.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.[来源:.]21cnjy.com
10.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.
∵AD是直径,∴∠A.∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2=18,AC=3.
课件24张PPT。圆周角和圆心角的关系 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。观察：
（1）∠BAC 与∠BDC 有什么共同特征？
（3）在这个圆中是否还有圆周角？（2）上面的两个角和前面所学的圆心角有什么区别？能否给这样的角下个定义呢？辨一辨：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
如图5-23，在⊙O中，∠A0B = 80°.
（1）请你画出几个AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴交流.探究： （2）这些圆周角与圆心角∠A0B 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴交流.
（3）改变∠A0B的度数，上面的结论仍然成立吗？同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于该弧所对的圆心角的一半． 在圆形纸片上任画一个圆周角∠BAC, 沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会出现在圆周角的哪个位置？图2图1图3★圆心O在圆周角∠BAC的一边上 ★圆心O在圆周角∠BAC的内部★圆心O在圆周角∠BAC的外部★圆心O在圆周角∠BAC的一边上 证明: ∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC， ∴∠BOC＝2∠BAC，★圆心O在圆周角∠BAC的内部D证明：作直径AD， 于是★圆心O在圆周角∠BAC的外部D证明：作直径AD， 于是圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.或1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC＝35°,则
∠BDC ＝ °，理由是 ；
∠BOC ＝ °，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心的一半2、如图2，圆中相等的圆周角有 .∠A=∠ D、∠B=∠ C3、如图3，在圆O中,半径OA⊥OB,弦CA⊥DB于点E,求证AD//BC.图3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO∠BAC = ∠BDCABCO变式1：站在点D的小强向后退了几步，退到了圆外，此时从射门角度大小考虑，小明A、小强D谁的位置射门更有利？变式1：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。小强深入思考，变式例题例1：如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC 与∠BDC的大小，并说明理由。
解：∠BAC＞∠BDC∵∠BFC是△CDF的一个外角∴∠BFC＞∠BDC∵∠BAC ＝∠BFC∴∠BAC＞∠BDC（同弧所对的圆周角相等）连接CFABCO变式2：站在点D的小强向前进了几步，进到了圆内，仅从射门角度大小考虑，此时小明A、 小强D谁的位置射门更有利？深入思考，变式例题变式2：如图，移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC
的大小又如何？并说明理由。
E 数学
知识 数学
方法
圆周角的概念圆周角定理分类讨论思想 转化
思想 从特殊到一般思想圆周角和圆心角的关系
A组：
1、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2= ______ 图1图2 学以致用，分层达标3、已知⊙O中弦AB的等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数. 4、为什么有些电影的座位排列（横排）呈圆弧形？说说这种设计的合理性. 近代伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下了一个公式：A＝X＋Y＋Z。他解释道：A代表成功，X代表艰苦的劳动，Y代表正确的方法，Z代表少说空话。感谢聆听 恳请指导《圆周角和圆心角的关系》教学反思
《数学课程标准》中指出：“在掌握基础知识的同时，感受数学的意义”，提出了“重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学”使学生感受到数学就在我们身边，感受到数学的趣味、作用。反思这节课，我有以下体会：21cnjy.com
1、通过足球射门训练的实际问题情景直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近。重视联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。通过这个图形的形象演示，让学生直观看到真实的世界中的“圆周角和圆心角的关系”，加强学生的感性认识。
2、用多种感官感受数学，培养数学情感。学生在本课中不仅用耳朵听数学，而是还用眼睛观察、动手操作，通过几何画板的演示来理解数学知识，用数学知识解释身边的数学现象，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。
3、重视数学知识的形成过程，让学生感受到学习数学的快乐。通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系形成分类这一主要难点自然形成且直观；并且引导学生从三种情况进行分析，推导圆周角定理的证明过程。定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过程中体会到学习数学的快乐。21世纪教育网版权所有
在上述探索过程中，从特殊到一般，再从一般到特殊，直观感知、合情推理与严格验证相得益彰。以学生活动为核心，适时渗透了“分类”、“化归”、“归纳”等数学思想，有效提高了学生的推理能力，充分体现学生的主体性与教师的启导作用。21教育网
我的反思和改进方法：
1.小组合作与多媒体的使用要继续，尤其对电子白板的使用要更加的驾轻就熟，充分挖掘白板的“潜力”。
2.多钻研考题，备、授课前先做题，发现命脉，再制定教学目标。
3.注意集体备课的效果，充分挖掘别人的优点和擅长的领域，互补共进。
