《正多边形和圆》
《正多边形和圆》是在学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识之后继续学习的内容，是这些知识的综合运用和提高。正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它具有一些类似于圆的性质；研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础。
教材首先回顾了学生已经了解的正多边形概念的基础上，以正五边形为例，证明了利用等分圆周得到正五边形的方法，接下来介绍了正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，并通过例题展示了如何对特殊的正多边形进行相关的计算，最后进一步介绍了利用圆规和直尺画特殊的正多边形的方法。
本节内容利用正多边形和圆的位置关系，通过正多边形和圆的相关计算，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。
【知识与能力目标】
1、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；
2、能运用正多边形和圆的知识解决有关计算问题；
3、会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
【过程与方法目标】
通过正多边形和圆的关系教学，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从部分到整体的认识事物规律的能力，以及数形结合的方法解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
?通过等分圆周的方法画正多边形，让学生感受正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱数学，热爱生活。
【教学重点】
了解正多边形的有关概念，并能进行计算。
【教学难点】
能进行正多边形和圆的有关计算。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 （1）等边三角形的边、角各有什么性质？
（2）正方形的边、角各有什么性质？
（3）等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？
各边相等、各角相等。
问题2 （1）我们已知学过正多边形，符合什么条件的多边形叫正多边形？
（2）你能举出几个正多边形的实例吗？正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形吗？
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
设计意图：问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的；问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件。
二、探索发现，形成新知
问题3 正多边形在日常生活中无处不在。你能举出一些这样的例子吗？
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案。
问题4 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。这个五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形吗？
证明：∵ ，∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA，。∴ ∠A＝∠B。同理 ∠B＝∠C＝∠D＝∠E。
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆。
追问1：你知道什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距吗？
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）。
问题5 我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形。如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？
因为在同圆中，相等的弧所对的弦相等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等。又n边形的每个内角对圆的(n－2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，由相等的弧所对的圆周角相等，又证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性。
定理：把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
追问：为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？
问题6 你能用圆心角来等分圆周吗？
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为1。5 cm的正六边形时，可以以1。5 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）。
追问：你会用用圆规和直尺来作正方形吗？
用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）。
三、运用新知，深化理解
例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。
解： 如图，连接OB，OC。由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。
因此，亭子地基的周长（m）。
作OP⊥BC垂足为P。在Rt△OPC中，OC=4m，（m），利用勾股定理，可得边心距（m）。
所以亭子地基的面积。
例2：用等分圆周的方法画出下列图案。
提示：
第1幅图案：以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧。
第2幅图案：以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，就得到这幅图案。
第3幅图案：作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条弧。
四、学生练习，巩固新知
练习1 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
答案：C
练习2 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）
A.36° B.60° C.72° D.108°
答案：C
练习3 如图，A、B、C是⊙O的三等分点，A、D、E、F、G是⊙O的五等分点，求证：BE是⊙O的内接正十五边形的一边。
分析：如果能证出的度数是，就说明B、E是⊙O的相邻的十五等分点，问题就解决了。
证明：由题意，，且它们的度数为，而的度数为，，所以的度数为，即BE是⊙O的内接正十五边形的一边。
五、课堂小结，梳理新知
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距。
2、正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系。
3、画正多边形的方法。
4、运用以上的知识解决实际问题。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题24.3第2题，第3题，第4题；（必做题）
2、教科书习题24.3第5题，第7题，第8题。（选做题）
课件14张PPT。问题引入问题1 （1）等边三角形的边、角各有什么性质？
（2）正方形的边、角各有什么性质？
（3）等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？问题2 （1）我们已知学过正多边形，符合什么条件的多边形叫正多边形？
（2）你能举出几个正多边形的实例吗？正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形吗？各边相等、各角相等。
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。探究新知问题3 正多边形在日常生活中无处不在。你能举出一些这样的例子吗？日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案。探究新知问题4 把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。这个五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形吗？证明：∵ ，
∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA， 。∴ ∠A＝∠B。同理 ∠B＝∠C＝∠D＝∠E。
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆。追问1：你知道什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距吗？探究新知我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）。问题5 我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形。如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？探究新知因为在同圆中，相等的弧所对的弦相等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形
的各边都相等。又n边形的每个内角对圆的(n－2)条弧，而每一内角所对的弧都
相等，由相等的弧所对的圆周角相等，又证明了n边形的各角都相等，因此圆内
接正五边形的证明具有代表性。
定理：把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。问题6 你能用圆心角来等分圆周吗？探究新知由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为1。5 cm的正六边形时，可以以1。5 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如图）。追问：你会用用圆规和直尺来作正方形吗？探究新知用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）。例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。应用新知解： 如图，连接OB，OC。由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。
因此，亭子地基的周长 （m）。
作OP⊥BC垂足为P。在Rt△OPC中，OC=4m， （m），利用勾股定理，可得边心距 （m）。
所以亭子地基的面积 。例2：用等分圆周的方法画出下列图案。应用新知第1幅图案：以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧。
第2幅图案：以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，就得到这幅图案。
第3幅图案：作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条弧。练习1 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
练习2 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）
A.36° B.60° C.72° D.108°巩固新知CC练习3 如图，A、B、C是⊙O的三等分点，A、D、E、F、G是⊙O的五等分点，求证：BE是⊙O的内接正十五边形的一边。巩固新知分析：如果能证出的度数是 ，就说明B、E是⊙O的相邻的十五等分点，问题就解决了。课堂小结1、正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距。
2、正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系。
3、画正多边形的方法。
4、运用以上的知识解决实际问题。本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
课外作业1、教科书习题24.3第2题，第3题，第4题；（必做题）
2、教科书习题24.3第5题，第7题，第8题。（选做题）
