《弧长和扇形面积》
《弧长和扇形面积》是在学生学习了圆的有关性质、与圆有关的位置关系、正多边形和圆的相关知识之后继续学习的《圆》这章的最后一部分内容。在此之前，学生已经掌握了弧、圆心角等圆的相关概念以及圆的周长和面积公式等知识，这些知识为本节课探究圆的弧长公式和扇形的面积公式打下了坚实的基础。
弧长和扇形面积是在小学学过的圆周长、圆的面积公式的基础上推导出来的，在此基础上，进一步得出圆锥的侧面积和全面积，应用这些公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积。这些计算是几何中中基本的计算，在日常生活中也经常用到，运用这些知识可以解决生产和生活中的许多实际问题。
本节内容中通过展开圆锥的侧面得出圆锥的侧面积公式，这些内容可以培养学生的空间观念，教学时要十分重视。
【知识与能力目标】
1、探索并掌握弧长的计算公式和扇形的面积计算公式；
2、会计算圆的弧长和扇形的面积；
3、会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题。
【过程与方法目标】
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力。
【情感态度价值观目标】
?引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生的空间观念，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
【教学重点】
掌握弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，会用公式解决问题。
【教学难点】
探索弧长、扇形面积及圆锥的侧面积等计算公式。
教学过程
一、创设情境，引入新课
问题1 （1）圆的周长如何计算？
（2）圆的面积如何计算？
（3）圆的圆心角是多少度？
归纳：若圆的半径为r，则周长，面积，圆的圆心角是360°。
问题2 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到 )
设计意图：问题1回顾圆的周长、面积、圆心角等知识，为本节课研究弧长公式和扇形面积公式作好知识储备；问题2通过创设制作圆锥形圣诞帽的现实情景，激发学生研究本节内容的兴趣和热情。
二、探索发现，形成新知
问题3 （1）我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
（2）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是，即。于是n°的圆心角所对的弧长为。
问题4 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？
追问：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分。想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是。
问题5 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
（1）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r+l)。
三、运用新知，深化理解
例1：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）。
解：由弧长公式，得的长
（mm）。
因此所要求的展直长度
L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）。
例2：如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m。求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。
解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC。
∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）。∴ OD＝DC。
又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线。∴ AC＝AO＝OC。从而 ∠AOD＝60°，∠AOB＝120°。
有水部分的面积
。
例3：蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12 ，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
解：右图是一个蒙古包的示意图。
根据题意，下部圆柱的底面积为12 。高＝1.8 m；上部圆锥的高＝3.2－1.8＝1.4(m)。
圆柱的底面圆的半径r＝≈1.945(m)，侧面积为2π×1.945×1.8≈22.10。
圆锥的母线长l＝≈2.404(m)，侧面展开扇形的弧长为2π×1.945≈12.28(m)，圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76。
因此，搭建20个这样的的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738。
追问：现在会求课前提出的圣诞帽问题了吗？
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则，
cm，
。
638.87×20＝12 777.4。
所以，至少需要12 777.4的纸。
四、学生练习，巩固新知
练习1 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1)
解：的长＝π×12≈25.1cm。
（）。
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7。
练习2 如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm，的长为10π cm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积。
分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差。根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可。
解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：
得。
∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18。
∴OC＝18＋12＝30。
∴。
所以阴影部分的面积为96π。
练习3 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积。
解：∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=
∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm，底面半径=cm
∴圆锥的高为（cm），
∴圆锥的轴截面积S=（）。
五、课堂小结，梳理新知
今天学习了什么？有什么收获？
本节课应该掌握：
1、弧长的计算公式。
2、扇形的面积公式。
3、弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方。
4、探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题24.4第2题，第4题，第5题；（必做题）
2、教科书习题24.4第6题，第8题，第9题。（选做题）
课件13张PPT。问题引入问题1 （1）圆的周长如何计算？
（2）圆的面积如何计算？
（3）圆的圆心角是多少度？归纳：
若圆的半径为r，
则周长 ，
面积 ，
圆的圆心角是360°。问题引入问题2 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到 )探究新知问题3 （1）我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？
（2）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，即 。于是n°的圆心角所对的弧长为 。探究新知问题4 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？追问：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分。想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？问题5 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？探究新知例1：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）。应用新知解：由弧长公式，得弧AB的长
（mm）。
因此所要求的展直长度
L＝2×700＋1 570＝2 970（mm）。例2：如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3 m。求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。应用新知解：如图，连接OA，OB，作AB的垂直平分线，垂足为D，交弧AB于点C，连接AC。
∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴ OD＝OC－DC＝0.3（m）。∴ OD＝DC。
又 AD⊥DC，∴ AD是线段OC的垂直平分线。∴ AC＝AO＝OC。从而 ∠AOD＝60°，∠AOB＝120°。
有水部分的面积 。例3：蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如果想用毛毡搭建20个底面积为12 ，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？应用新知追问：现在会求课前提出的圣诞帽问题了吗？练习1 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 )
练习2 如图，两个同心圆被两条半径截得的弧AB的长为6π cm，弧CD的长为10π cm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积。巩固新知练习3 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积。巩固新知解：∵扇形的半径为18cm，圆心角为240°，
∴扇形的弧长L=
∵扇形弧长等于底面圆周长，
∴圆锥的母线长为18cm，底面半径= cm
∴圆锥的高为 （cm），
∴圆锥的轴截面积S= （ ）。课堂小结今天学习了什么？有什么收获？
本节课应该掌握：
1、弧长的计算公式。
2、扇形的面积公式。
3、弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方。
4、探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算。课外作业1、教科书习题24.4第2题，第4题，第5题；（必做题）
2、教科书习题24.4第6题，第8题，第9题。（选做题）
