第一章基本知能检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是导学号 96660761 ( )
A．任何两个变量都具有相关关系
B．球的体积与该球的半径具有相关关系
C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性的关系
D．某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系
[答案] D
[解析] 从相关关系定义出发知A、B、C不正确，B是函数关系，C是相关关系．
2．若A与B相互独立，且B与C也相互独立，则导学号 96660762 ( )
A．A与B相互独立
B．A与C可能相互独立，也可能不相互独立
C．A与相互独立
D.与相互独立
[答案] B
[解析] 由事件相互独立的含义可知，本题应选B.
3．下图中的两个变量，具有相关关系的是导学号 96660763 ( )
[答案] B
[解析] A、C是确定的函数关系，D不具备相关关系．
4．为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某高中学生中随机地抽取300名学生，得到下表：
喜欢数学课程
不喜欢数学课程
合计
男
37
85
122
女
35
143
178
合计
72
228
300
则可求得χ2等于导学号 96660764 ( )
A．3.335 B．12.624
C．4.514 D．8.597
[答案] C
[解析] χ2＝
≈4.514.
5．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A表示第一次摸到白球，B表示第二次摸到白球，则A与B是导学号 96660765 ( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
[答案] D
[解析] 由题意知，不放回地摸球，A、B两事件之间是相互影响的，因此不是相互独立的．
6．有一个回归直线方程为＝－2x＋3，则当变量x增加一个单位时，下面结论正确的是导学号 96660766 ( )
A．y平均增加2个单位 B．y平均减少2个单位
C．y平均增加3个单位 D．y平均减少3个单位
[答案] B
[解析] 由回归直线方程的斜率为－2可知，当变量x每增加一个单位时，变量y平均减少2个单位，故选B.
7．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是导学号 96660767 ( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
[答案] D
[解析] 本题考查线性回归方程．
D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．
8．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从某居民点抽取了1 000位居民进行调查，经过计算得χ2≈4.358，根据这一数据分析，下列说法正确的是导学号 96660768 ( )
A．有95%的人认为该栏目优秀
B．有95%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C．有95%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系
[答案] C
[解析] 由χ2≈4.358>3.841知有95%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．
9．根据下表，计算χ2≈导学号 96660769 ( )
又发病
未发病
做移植手术
39
157
未做移植手术
29
167
A.1.51 B．1.62
C．1.75 D．1.78
[答案] D
[解析] χ2＝≈1.78.
10．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则导学号 96660770 ( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
[答案] B
[解析] 作出散点图，数形结合解答．
作出散点图如图所示：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，＝a>0.故a>0，b<0.
11．已知x、y之间的一组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
1
4
2
6
7
其中拟合程度最好的直线是导学号 96660771 ( )
A．y＝1.5x－0.5 B．y＝3x＋2
C．y＝0.5x－2 D．y＝6x
[答案] A
[解析] ＝＝3，＝＝4，
回归直线必过点(，)，只有选项A中的直线过点(3,4)，故选A.
12．某甲上大学前把手机号码抄给同学乙．后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复，则拨号不超过2次而拨对甲的手机号码的概率是导学号 96660772 ( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 拨号不超过2次拨对这个事件包含了2个事件，第i(i＝1,2)次拨对，第一次拨对的概率是，第二次拨对的是在第一次没有拨对的情况下发生的，故其概率是×＝，故拨号不超过2次而拨对甲的手机号码的概率是＋＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．导学号 96660773
[答案] 0.254
[解析] 本题考查了对线性回归知识的理解和应用．
回归直线方程中的斜率就是平均增长率．
14．假设生男孩和生女孩是等可能的，设事件A为“一个家庭中既有男孩，又有女孩”，事件B为“一个家庭中最多有一个女孩”．某一家庭有三个小孩，则事件A与B________独立(填“相互”、“不相互”)．导学号 96660774
[答案] 相互
[解析] 家庭中有三个小孩，对应样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共8个基本事件，由等可能性知，每个基本事件发生的概率均为，A中有6个基本事件，B中有4个基本事件，AB中有3个基本事件，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.故P(A)P(B)＝＝P(AB)，从而事件A与B是相互独立的．
15．有2×2列联表如下： 导学号 96660775
B
合计
A
a
21
73
2
25
27
合计
b
46
n
由上表可计算χ2≈________.(精确到0.000 1)
[答案] 32.323 8
[解析] 由列联表的定义，可知a＝73－21＝52，
b＝a＋2＝52＋2＝54，n＝73＋27＝100，
∴χ2＝≈32.323 8.
16．有下列关系： 导学号 96660776
(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
(3)苹果的产量与气候之间的关系；
(4)森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
(5)学生与他(她)的学号之间的关系．
其中有相关关系的是________．
[答案] (1)(3)(4)
[解析] 经判断(1)(3)(4)有相关关系．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)为调查学生对国家大事的关心是否与性别有关，在学生中随机抽样调查，结果如下： 导学号 96660777
关心
不关心
合计
男生
182
18
200
女生
176
24
200
合计
358
42
400
试据上表的数据作出统计推断．
[解析] 由公式得：
χ2＝＝0.957 7，
因为0.957 7<3.841，
因此推断学生对国家大事的关心与性别无关．
18．(本题满分12分)在关于人体脂肪含量Y(百分比)和年龄x关系的研究中，得到如下一组数据 导学号 96660778
年龄(x)
23
27
39
41
45
50
脂肪含量(Y)
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
28.2
(1)画出散点图，判断x与y是否具有相关关系．
(2)通过计算可知＝0.651 2，＝－2.74.请写出Y对x的回归直线方程，并计算出23岁和50岁时的脂肪含量．(保留两位小数)
[解析] (1)作散点图如图，从图中可看出x与Y具有相关关系，且为线性相关．
(2)Y对x的回归直线方程为：＝0.651 2x－2.74，
当x＝23时，＝12.2376≈12.24.
当x＝50时，＝29.82.
故23岁和50岁时的脂肪含量分别为12.24%,29.82%.
19．(本题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．
导学号 96660779
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
[解析] (1)2×2列联表为：
性别休闲方式
看电视
运动
合计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
(2)由列联表中的数据，计算
χ2＝≈6.201，因为6.201>5.024，所以有99.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．
20．(本题满分12分)考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据．在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病，未经过药物处理的185株发生青花病，200株没有发生青花病，试推断药物处理跟发生青花病是否有关系． 导学号 96660780
[解析] 由已知得到下表：
药物处理
药物未处理
合计
青花病
25
185
210
无青花病
60
200
260
合计
85
385
470
根据公式χ2＝≈9.788.
由于9.788>6.635，所以我们有99%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．
21．(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ文，18)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014．
(Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：i＝9．32，iyi＝40．17，＝0．55，≈2．646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－ ．
[解析](Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4， (ti－)2＝28，＝0．55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40．17－4×9．32＝2．89，
r≈≈0．99．
因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(Ⅱ)由＝≈0．331及(Ⅰ)得＝＝≈0．103，＝－ ≈1．331－0．103×4≈0．92．
所以y关于t的回归方程为＝0．92＋0．10t．
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0．92＋0．10×9＝1．82．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1．82亿吨．
22．(本题满分14分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：导学号 96660782
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温
差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人
数Y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出Y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
(参考公式：＝)＝，＝－)
[解析] (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.
因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种．
所以P(A)＝＝.
(2)由数据求得＝11，＝24，
由公式求得＝，再由＝－＝－，所以Y关于x的线性回归方程为
＝x－.
(3)当x＝10时，＝，|－22|<2；
同样当x＝6时，＝，|－12|<2，
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
第二章基本知能检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的方法是导学号 96660927 ( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．演绎推理 D．合情推理
[答案] C
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理，当前提为真时，结论必然为真，上述推理是演绎推理．
2．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，
展开得5＋2>5，即2>0，
显然成立，
所以不等式＋>.
上述证明过程应用了导学号 96660928 ( )
A．综合法 B．分析法
C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法
[答案] B
[解析] 根据证明过程可以看出符合执果索因的证法，故为分析法．
3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(αβ)类比，则有sin(αβ)＝sinα＋sinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是导学号 96660929 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 只有③正确，故选B.
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝导学号 96660930 ( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案] D
[解析] 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．
5．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为导学号 96660931 ( )
A．8 B．4
C．1 D．
[答案] B
[解析] (3)2＝3a·3b ＝3a＋b，∴a＋b＝1
＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4
当且仅当＝即a＝b时等号成立，故选B.
6．a、b、c、d均为正实数，设S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是导学号 96660932 ( )
A．0
C．2[答案] B
[解析] 令a＝b＝c＝d＝1知S＝＋＋＋＝，因1<<2，故选B.
7．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是导学号 96660933 ( )
A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角
[答案] C
[解析] 逻辑中“最多有n个”的反面是“至少有(n＋1)个”，故选C.
8．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为导学号 96660934 ( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
[答案] A
[解析] 由a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，故猜an＝3n－1.
9．在十进制中，2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2 004折合成十进制为导学号 96660935 ( )
A．29 B．254
C．602 D．2 004
[答案] B
[解析] 2 004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.
10．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是导学号 96660936 ( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a、b大小不定
[答案] B
[解析] 如果a>b，则－>－.
∴＋>2，
∴c＋1＋c－1＋2>4c；
即>c矛盾，∴选B.
11．观察下列等式：
1＝1， 13＝1，
1＋2＝3, 13＋23＝9，
1＋2＋3＝6, 13＋23＋33＝36，
1＋2＋3＋4＝10, 13＋23＋33＋43＝100，
1＋2＋3＋4＋5＝15, 13＋23＋33＋43＋53＝225.
… …
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3可表示为导学号 96660937 ( )
A.n(n＋1) B.n2(n＋1)2
C.n2(n－1)2 D．n2(n＋1)2
[答案] D
[解析] 由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2＝，故选D.
12．如果函数f(x)对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f(x)|≤M|x|恒成立，那么就称函数f(x)为有界泛函数，下面四个函数：①f(x)＝1；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x；④f(x)＝.其中属于有界泛函数的是导学号 96660938 ( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
[答案] D
[解析] ∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，
∴存在常数M≥成立|sinx＋cosx|≤M，
∴|x(sinx＋cosx)|≤M|x|，
即|f(x)|≤M|x|成立，
∴③是有界泛函数；
∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，
∴||≤，
∴存在常数M≥，
使≤M|x|，
即|f(x)|≤M|x|成立，
∴④是有界泛函数，因此选D.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_____________．
导学号 96660939
[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大
[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．
14．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝1且b＝1”，用反证法证明时应假设为________．导学号 96660940
[答案] a≠1或b≠1
[解析] 因为“p且q”的否定为“非p或非q”，所以“a＝1且b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”．
15．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2、a3、a4、a5分别为______________，猜想an＝____________.导学号 96660941
[答案] ，，，
[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．
16．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am、an使得＝4a1，则＋的最小值为________．导学号 96660942
[答案]
[解析] ∵{an}为等比数列，an>0，a7＝a6＋2a5，
∴a1q6＝a1q5＋2a1q4，
∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2.
∵an>0，∴q＝2.
∵＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a，∴qm＋n－2＝16，
即2m＋n－2＝24，
∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)(＋)＝·(5＋＋)≥，等号在＝，即m＝2，n＝4时成立．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．导学号 96660943
[证明] 假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．
∴a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，
这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，
从而a一定是偶数．
18．(本题满分12分)观察下列数表： 导学号 96660944
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 015是第几行的第几个数？
[解析] (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 015是在第11行中，由等差数列的通项公式得2 015＝1 024＋(n－1)·1，所以n＝992，所以2 015是第11行的第992个数．
19．(本题满分12分)已知a、b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1导学号 96660945
[证明] ∵a3－b3＝a2－b2，a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b.
又∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2＝a＋b，
即(a＋b)2>a＋b，且a>0，b>0，
∴a＋b>1.要证a＋b<，
只需证3(a＋b)<4，
即证3(a＋b)2<4(a＋b)，
也就是要证3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)，
即需证(a－b)2>0.
而(a－b)2>0显然成立，∴120．(本题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC. 导学号 96660946
(1)求证：a、b、c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
[解析] (1)在△ABC中，
由于sinB(tanA＋tanC)＝tanAtanC，
所以sinB(＋)＝·，
所以sinB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAsinC.
所以sinBsin(A＋C)＝sinAsinC.
又A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB，
所以sin2B＝sinAsinC.
由正弦定理得b2＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝.
由余弦定理得：
cosB＝＝＝.
因为0故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
21．(本题满分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．导学号 96660947
(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；
(2)求证：满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．
[证明] (1)∵f′(x)＝－3x2－1
＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，
∴y＝f(x)是定义域上的减函数．
(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1、x2∈R，
f(x1)＝f(x2)＝0.
∵y＝f(x)在R上单调递减，
∴当x1f(x2)，
当x1>x2时，f(x1)所以f(x)＝0至多只有一个实数根．
22．(本题满分14分)(1)已知x、y∈R，求证下列不等式：导学号 96660948
①x2＋y2≥2；
②x2＋y2≥2；
③x2＋y2≥2.
(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．
[解析] (1)证明：①x2＋y2－2
＝x2＋y2－x2－xy－y2
＝x2－xy＋y2＝2≥0，
∴x2＋y2≥2.
②x2＋y2－2＝x2＋y2－xy＝(x2－2xy＋y2)＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
③x2＋y2－2
＝x2＋y2－＝(x－y)2≥0，
∴x2＋y2≥2.
(2)一般的结论是：已知x、y∈R，a、b都是正数，且a＋b＝1，则(ax2＋by2)≥(ax＋by)2.
证明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0.
∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，
又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，
∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，
即ax2＋by2≥(ax＋by)2.
第三章基本知能检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·四川文，1)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )
A．0 B．2
C．2i D．2＋2i
[答案] C
[解析] (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i．
2．已知复数z＝1－2i，那么＝导学号 966601067 ( )
A.＋i B.－i
C.＋i D.－i
[答案] D
[解析] 考查复数的运算及其共轭复数的概念．
＝＝，∴选D.
3．如果复数的实部和虚部互为相反数，则b等于导学号 966601068 ( )
A. B.
C．－ D．2
[答案] C
[解析] ＝
＝，
由题意得＝，
∴b＝－.
4．复数等于导学号 966601069 ( )
A．i B．－i
C.＋i D.－i
[答案] A
[解析] ＝＝＝i.
5．设a、b、c、d∈R，若为实数，则导学号 966601070 ( )
A．bc＋ad≠0 B．bc－ad≠0
C．bc－ad＝0 D．bc＋ad＝0
[答案] C
[解析] ＝＋i，因为为实数，所以其虚部＝0，即bc－ad＝0，故选C.
6．若复数z＝(a＋i)2对应的点在虚轴的下半轴上，则实数a的值为导学号 966601071 ( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
[答案] C
[解析] ∵z＝(a＋i)2＝a2＋2ai＋i2＝(a2－1)＋2ai
由题意知，∴a＝－1.
7．设复数z的共轭复数满足(1＋i)＝2，则z等于导学号 966601072 ( )
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．2－2i
[答案] A
[解析] ∵(1＋i)＝2，∴＝＝＝＝1－i，
∴z＝1＋i.
8．设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的导学号 966601073 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由a＋为纯虚数，可知a＝0，b≠0，因此，a＝0，b≠0?ab＝0，而ab＝0a＝0，b≠0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
9．已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
[答案] B
[解析] |z|2＝a2＋1，∵010．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为
导学号 966601075 ( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
[答案] A
[解析] 由定义＝zi＋z，
∴zi＋z＝4＋2i.∴z＝＝3－i.
11．i是虚数单位，若＝a＋bi(a、b∈R)，则ab的值是导学号 966601076 ( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
[答案] B
[解析] ＝＝＝－1＋3i，∴ab＝－3.
12．设f(z)＝1－，z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f()＝导学号 966601077 ( )
A．－4－4i B．4＋4i
C．4－4i D．－4＋4i
[答案] C
[解析] ∵z1＝2＋3i，z2＝5－i，∴z1－z2＝－3＋4i，
∴f()＝1－(－3＋4i)＝4－4i.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m＋6)i}，m∈R，N＝{－1,3}，满足M∩N≠?，则m＝______.导学号 966601078
[答案] 3
[解析] 由M∩N≠?，
∴或，
解得m＝3.
14．(2015·天津文，9)i是虚数单位，计算的结果为________．导学号 966601079
[答案] －i
[解析] ＝＝＝－i.
15．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝____________.导学号 966601080
[答案] 6－2i
[解析] ∵z·＝|z|2＝5，∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i.
16．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________________．导学号 966601081
[答案]
[解析] z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝(2－m)＋(3m－1)i.依题意，设2－m＝3m－1，∴m＝，适合题意．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，求实数m，使复数z分别是
(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数． 导学号 966601082
[解析] z＝(2＋i)m2－(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为零，则，
解得m＝2.
(2)若z为虚数，则m2－3m＋2≠0，∴m≠1且m≠2.
(3)若z为纯虚数，则，
解得m＝－.
18．(本题满分12分)已知复数z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a、b的值．
导学号 966601083
[解析] ＝
＝＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)(－2＋i)＝－1＋3i，
∴，解得.
即实数a、b的值分别为a＝1，b＝－2.
19．(本题满分12分)已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
导学号 966601084
[解析] 设z＝a＋bi，∴＝a－bi，
∴z·－3i·z＝(a2＋b2＋3b)－3ai＝＝1＋3i，
∴，∴或.
∴z＝－1或z＝－1－3i.
20．(本题满分12分)复平面内有A、B、C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．导学号 966601085
[解析] 因为向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，所以表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以B点对应的复数为5－2i.
21．(本题满分12分)若复数z满足|z＋1|＝2|z－1|，试判断复数z在复平面上对应点的轨迹图形，并求使|z|最大时的复数z. 导学号 966601086
[解析] 设复数z＝x＋yi(x、y∈R)，则
|x＋1＋yi|＝2|x－1＋yi|，
∴＝2，
化简得2＋y2＝.
∴z在复平面上对应点的轨迹图形是以为圆心，半径为的圆，如图．由图形可知当z＝3时，|z|最大．
22．(本题满分14分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2. 导学号 966601087
(1)求复数z；
(2)设z、z2、z－z2在复平面内对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi.
由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1，或a＝b＝－1，
因此z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
则S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)、B(0,2)、C(－1，－3)，则S△ABC＝1.
第四章基本知能检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一工厂的组成情况应用导学号 966601154 ( )
A．程序框图 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
[答案] D
[解析] 描述一个工厂的组成情况应用组织结构．
2．根据“二分法”原理求方程x2－2＝0的解的程序框图可称为导学号 966601155 ( )
A．工序流程图 B．程序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
[答案] B
[解析] “二分法”解方程是一种算法，即程序流程图．
3．复数引入后，数系的结构图为导学号 966601156 ( )
[答案] A
[解析] 由数系的从属关系可知只有A正确．
4．如图所示的程序框图表示的算法是导学号 966601157 ( )
A．边长为3,4,5的直角三角形的面积
B．边长为3,4,5的直角三角形内切圆的面积
C．边长为3,4,5的直角三角形外接圆的面积
D．以3,4,5为弦的圆的面积
[答案] B
[解析] 由直角三角形的内切圆半径r＝可知．
5．下列说法正确的有导学号 966601158 ( )
①结构图中基本要素之间一般为概念的从属关系或逻辑关系；
②在工序流程图中一定要出现循环回流；
③工序流程图中的流程线表示相邻两工序之间的衔接关系；
④画工序流程图类似于算法的流程图，自上而下，逐步细化．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 只有②不正确．
6．下列框图中，属于流程图的是导学号 966601159 ( )
A.→→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
[答案] C
[解析] 选项C是工序流程图．
7．如图是集合运算的知识结构图，则在框②中应填入导学号 966601160 ( )
A．空集 B．全集
C．子集 D．补集
[答案] D
[解析] 集合的运算包括交、并、补三种．
8．下列关于工序流程图的说法中错误的是导学号 966601161 ( )
A．工序流程图又称统筹图
B．开始时工序流程图可以画得粗疏，然后再对每一框细化
C．工序流程图中用平行四边形框表示一道工序
D．工序流程图中两相邻工序之间用流程线相连
[答案] C
[解析] 工序流程图中，并不限定用平行四边形表示一道工序．
9．关于算法的逻辑结构中，下列说法正确的是导学号 966601162 ( )
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有三种逻辑结构
D．一个算法可以含有三种逻辑结构的任意组合
[答案] D
[解析] 一个算法可以含有三种逻辑结构的任意组合．
10．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为导学号 966601163 ( )
A．26 B．24
C．20 D．19
[答案] D
[解析] 3＋4＋6＋6＝19，故选D.
11．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于导学号 966601164 ( )
A．－3 B．－10
C．0 D．－2
[答案] A
[解析] 本题考查了程度框图的应用．
(1)k＝1,1<4，S＝2×1－1＝1；
(2)k＝2,2<4，S＝2×1－2＝0；
(3)k＝3,3<4，S＝2×0－3＝－3；
(4)k＝4，直接输出S＝－3.
对于程序框图要看清楚属于哪种循环，是直到循环，还中当型循环，还要注意跳出循环时各变量的最新状态．
12．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是导学号 966601165 ( )
A
B
C
D
E
A
0
5
4
5
6
B
5
0
7
6
2
C
4
7
0
9
8.6
D
5
6
9
0
5
E
6
2
8.6
5
0
A.20.6 B．21
C．22 D．23
[答案] B
[解析] A→C→D→B→E
4＋9＋6＋2＝21 故选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．如图为有关函数的结构图，由图我们可知基本初等函数包括__________．
导学号 966601166
[答案] 指数函数、对数函数、幂函数
[解析] 由结构图可知，“基本初等函数”的下位要素是指数函数、对数函数、幂函数，故基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数．
14．已知流程图符号，写出对应名称：①____________，②____________，③____________.导学号 966601167
[答案] 起止框 处理框 判断框
[解析] 根据程序流程图的符号来判断．
15．(2015·山东文，11)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．导学号 966601168
[答案] 13
[解析] 第一次执行程序，满足条件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x＜2，y＝3×22＋1＝13，输出y＝13，结束．答案为13.
16．对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图所示，则lg1 000?()－2＝________.
导学号 966601169
[答案] 1
[解析] ∵a＝lg1 000＝3，b＝()－2＝4且3<4，
∴输出＝＝1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设计判断数列{an}是否为等比数列的流程图．导学号 966601170
[解析] 判断数列{an}是否为等比数列的流程图如图所示．
18．(本题满分12分)根据我们所掌握的知识，设计一个结构图，表示“圆的方程”的知识结构图．导学号 966601171
[解析] 圆与方程的知识内容包括圆的方程、直线与圆的位置关系，其知识结构图如图所示：
19．(本题满分12分)某银行推出了95599电话银行代缴费业务，具体业务流程如图所示．导学号 966601172
如果要缴电费，按照这个流程图，应该怎样操作？如果要进行手机充值呢？
[解析] S1 拨通95599电话；
S2 注册客户服务按1；
S3 代缴费按5；
S4 代缴公共事业费按1；
S5 代缴电费按2.
S1 拨通95599电话；
S2 注册客户服务按1；
S3 代缴费按5；
S4 手机充值缴费按2；
S5 手机充值按1.
20．(本题满分12分)按如图所示的程序框图操作： 导学号 966601173
(1)写出输出的数所组成的数集，若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{an}，请写出数列{an}的通项公式；
(2)如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数例{3n}的前8项？
[解析] (1)输出的数组成的集合为{1,4,7,10,13,16,19,22}；
数列{an}的通项公式为an＝3n－2，n∈N＋且n≤8.
(2)将A框内的语句改为“a＝3”即可．
21．(本题满分12分)十·一国庆节即将到来，小强一家准备通过旅游公司到张家界旅游，联系旅行社的任务由小强完成．小强为了详细了解景色、费用、居住、饮食、交通等方面的信息，在打电话之前想画一个电话咨询的流程图，请你帮他完成．导学号 966601174
[解析] 如图所示：
→→→→
↓
←←←←
22．(本题满分14分)某药厂生产某产品工艺过程：导学号 966601175
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装．
(2)提取环节经检验，合格，进入下工序，否则返回前处理．
(3)包衣、颗粒分装两环节检验合格进入下工序，否则为废品．
画出生产该产品的工序流程图．
[解析] 该产品工序流程图如图：
第一章 1.1
一、选择题
1．掷一枚硬币，记事件A：“出现正面”，B：“出现反面”，则有导学号 96660703 ( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)·P(B)
C．A与不相互独立 D．P(AB)＝
[答案] C
[解析] ∵事件A与事件B是对立事件，故排除A、B、D，∴应选C.
2．事件A、B相互独立，下列四个式子
①P(AB)＝P(A)·P(B) ②P( B)＝P()·P(B)
③P(A )＝P(A)·P() ④P( )＝P()·P()
其中正确的有( )个( ) 导学号 96660704
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 经验证①②③④都正确．
3．在一次独立性检验中，根据计算结果，认为A与B无关的可能性不足1%，那么χ2的一个可能取值为( ) 导学号 96660705
A．6.635 B．5.024
C．7.897 D．3.841
[答案] C
[解析] 由χ2的数值与两个临界值3.841、6.635进行对比．
4．对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是导学号 96660706 ( )
A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小
B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大
C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小
D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小
[答案] C
[解析] 由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．
5．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是
导学号 96660707 ( )
A．100个吸烟者中至少有99个患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
[答案] D
[解析] 有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，但吸烟的人不一定会患肺癌，可信度是就整体而言的，对具体的样本不具有准确的判断性．
6．如果有95%的把握说事件A和B有关，那么具体算出的数据满足
导学号 96660708( )
A．χ2>3.841 B．χ2<3.841
C．χ2>6.635 D．χ2<6.635
[答案] A
[解析] 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A和B有关时，统计量χ2>3.841，故选A.
二、填空题
7．以下关于独立性检验的说法中，错误的是________．(填序号) 导学号 96660709
①独立性检验的依据是小概率原理；
②独立性检验得到的结论一定正确；
③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；
④独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法．
[答案] ②
[解析] 独立性检验得到的结论不一定正确，如我们得出有90%的把握认为A与B有关，只是说明这种判断的正确性为90%，实际上，事件A与事件B可能有关，也可能无关．
8．下面列联表中，a、b的值分别为________.导学号 96660710
Y1
Y2
合计
X1
a
21
73
X2
2
25
27
合计
b
46
[答案] 52 54
[解析] 根据所给的列联表，可得a＋21＝73，
∴a＝73－21＝52.
∵a＋2＝b，∴b＝54.
三、解答题
9．某旅游景点为了确定今年五一黄金周票价上浮后游客人数与游客年龄的关系，请设计一种方法帮助该景点进行分析．导学号 96660711
[解题提示] 问题的实际背景为独立性检验，可按年龄区分为两类：年轻人、老年人．设计为2×2列联表，用χ2进行检验．
[解析] 依情况设计2×2列联表如下：
年轻人
老年人
合计
去年
a
b
a＋b
今年
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
建立数学模型：χ2＝.根据调查的数据求模型的值，进行独立性检验，得出结论.
一、选择题
1．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
合计
26
24
50
则喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( ) 导学号 96660712
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
[答案] B
[解析] 由表中数据计算χ2＝≈5.059>3.841.
2．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下数据中，对于同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为导学号 96660713 ( )
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
[答案] D
[解析] 对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．
3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是导学号 96660714 ( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
[答案] A
[解析] 本题考查了独立性检验、解决实际问题的能力．
因为6.635<7.8<10.828，所以选A.
4．对于独立性检验，下列说法中错误的是导学号 96660715 ( )
A．χ2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．χ2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．χ2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关
D．χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关
[答案] C
[解析] χ2与两个临界值3.841、6.635比较．
二、填空题
5．若两个分类变量X和Y的列联表为： 导学号 96660716
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则X与Y之间有关系的概率约为________．
[答案] 99%
[解析] χ2≈16.13>6.635.故有99%的把握认为X与Y有关．
6．χ2＝，用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，如果x2值较大，就拒绝H0，即拒绝________．导学号 96660717
[答案] 事件A与B无关
[解析] 因为统计假设H0是假设事件A与B相互独立，即事件A与B无关．
三、解答题
7．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶．请用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？ 导学号 96660718
[解析] 根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：
患心脏病
患其他病
合计
秃顶
214
175
389
不秃顶
451
597
1048
合计
665
772
1437
根据表中的数据，得到：
χ2＝
≈16.373>6.635.
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”．
8．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？导学号 96660719
患心脏病
未患心脏病
合计
每一晚都打鼾
30
224
254
不打鼾
24
1 355
1 379
合计
54
1 579
1 633
[解析] 根据表中数据，得到
x2＝＝68.033.
∵68.033>10.828，∴有99.9%的把握说“每一晚都打鼾与患心脏病有关”．
第一章 1.2
一、选择题
1．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是导学号 96660730 ( )
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
[答案] C
[解析] 因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C.
2．已知x，y的一组数据如下表所示：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
y
2.25
2.37
2.40
2.55
则y与x之间的线性回归方程＝β0x＋β1必过定点导学号 96660731 ( )
A．(0,0) B．(，0)
C．(0，) D．(，)
[答案] D
[解析] 回归直线过样本点的中心(，)．
3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r的值如下，其中拟合效果最好的模型是导学号 96660732 ( )
①模型A的r为－0.98；②模型B的r为0.85；③模型C的r为0.61；④模型D的r为0.31.
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
[答案] A
[解析] 由相关系数r的意义知，|r|的值越接近1，说明模型拟合效果越好．
4．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则这两个相关变量的回归直线方程为导学号 96660733 ( )
A.＝0.56x＋997.4 B.＝0.63x－231.2
C.＝50.2x＋501.4 D.＝60.4x＋400.7
[答案] A
[解析] 由公式，得＝＝0.56，
＝－ ＝997.4，∴＝0.56x＋997.4.
5．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表所示，由此建立了身高对年龄的回归模型y＝7.1x＋79.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则下列叙述中正确的是导学号 96660734 ( )
年龄(岁)
3
4
5
6
7
8
9
身高(cm)
94.8
104.2
108.7
117.8
124.3
130.8
139.0
A.身高一定是150.93 cm B．身高在150.93 cm以上
C．身高在150.93 cm左右 D．身高在150.93 cm以下
[答案] C
[解析] 由回归直线方程所得的预报变量y的值，并不是预报变量的精确值，而是预报变量可能取值的平均值．
6．(2014·湖北文)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则导学号 96660735 ( )
A．a>0，b<0 B．a>0，b>0
C．a<0，b<0 D．a<0，b>0
[答案] B
[解析] 作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，＝a>0.故a>0，b<0.
二、填空题
7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．导学号 96660736
[答案] 相关
8．(2015·北京文，14)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
导学号 96660737
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
[答案] ①乙 ②数学
[解析] ①由左图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙．②由右图可知，丙的总成绩名次为倒数第5，从左图中找出总成绩为倒数第5的点，即丙对应的点，对比丙在两个图中的纵坐标，可知丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．
三、解答题
9．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
已知∑x＝90，∑y＝140.8，∑xiyi＝112.3，
≈8.9，≈1.4，n－2＝3时，r0.05＝0.878. 导学号 96660738
(1)求、；
(2)对x、y进行线性相关性检验；
(3)如果x与y具有线性相关关系，求出回归直线方程；
(4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
[解析] (1)＝＝4，
＝＝5.0.
(2)步骤如下：
①作统计假设：x与y不具有线性相关关系．
②n－2＝3时，r0.05＝0.878.
③∑xiyi－5·＝112.3－5×4×5＝12.3，
∑x－52＝90－5×42＝10，
∑y－52＝140.8－125＝15.8，
∴r＝＝＝≈0.987.
④|r|＝0.987>0.878，即|r|>r0.05，所以有95%的把握认为“x与y之间具有线性相关关系”，再求回归直线方程是有意义的．
(3)由于＝＝＝1.23，
＝－b ＝5－1.23×4＝0.08，
所以回归直线方程为＝1.23x＋0.08.
(4)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计用10年时间，维修费用约为12.38万元.
一、选择题
1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为导学号 96660739 ( )
A．－1 B．0
C. D．1
[答案] D
[解析] 本题考查了相关系数及相关性的判定．
样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝x＋1上，样本的相关系数应为1.
要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．
2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为导学号 96660740 ( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
[答案] C
[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数．
＝＝176，
＝＝176，
＝＝，＝－＝88，
所以y＝88＋x.
二、填空题
3．对四组变量y和x进行线性相关性检验，已知n是观测值组数，r是相关系数．已知①n＝7，r＝0.954 5；②n＝15，r＝0.381 2；③n＝17，r＝0.498 5；④n＝3，r＝0.987 0，则变量y与x具有线性相关关系的是________．导学号 96660741
[答案] ①③
[解析] ①r>r0.05＝0.754，②rr0.05＝0.482；④r4．图书馆工作人员想知道每天到图书馆的人数x(百人)与借出的图书本数y(百本)之间的关系，已知上个月图书馆共开放25天，且得到资料：∑xi＝200，∑yi＝300，∑x＝1 660，∑y＝3 696，∑xiyi＝2 436，则y对x的回归直线方程为__________．导学号 96660742
[答案] ＝7.2＋0.6x
[解析] 由已知可得＝7.2，＝0.6，故y对x的回归直线方程为＝7.2＋0.6x.
三、解答题
5．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率Y之间的关系：
导学号 96660743
时间x
1
2
3
4
5
命中率Y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
求：(1)小李这5天的平均投篮命中率；(2)用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率．
[解析] (1)取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5；
y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.6，y4＝0.6，y5＝0.4.
这5天的平均投篮命中率为
＝
＝＝0.5，
(2)∵＝＝＝3，
∴＝＝0.01，
∴＝0.5－0.01×3＝0.47，
从而得回归直线方程为＝0.01x＋0.47，
令x＝6得＝0.53.
预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为0.53.
6．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，y＝50，x＝720.
试对月收入x与家庭的月储蓄Y进行一元线性回归分析，并预测该居民区某家庭月收入为7千元时该家庭的月储蓄．
附：相关性检验的临界值表(部分) 导学号 96660744
n－2
小概率
0.05
0.01
8
0.632
0.765
9
0.602
0.735
10
0.576
0.708
[解析] 先对x与Y作相关性检验．
1．作统计假设：x与Y不具有线性相关关系．
2．由小概率0.05与n－2＝8查得r0.05＝0.632.
3．由数据可得：＝xi＝8，＝yi＝2，
x－102＝720－10×82＝80，
xiyi－10 ＝184－10×8×2＝24，
y－102＝50－10×4＝10，
因此，r＝＝≈0.849.
|r|≈0.849>0.632，即|r|>r0.05.
从而有95%的把握认为x与Y具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．
可求得回归系数＝0.3，＝－0.4.
故所求回归直线方程为＝0.3x－0.4.
将x＝7代入回归直线方程，可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
第二章 2.1 第1课时
一、选择题
1．关于合情推理，下列说法正确的是导学号 96660798 ( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．类比推理是一般到特殊的推理
C．类比推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论不一定成立
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．
2．观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝
导学号 96660799 ( )
A．28 B．76
C.123 D.199
[答案] C
[解析] 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
3．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是导学号 96660800 ( )
A．n2－1 B．(n－1)2＋1
C．2n－1 D．2n－1＋1
[答案] C
[解析] a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1，故选C.
4．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适
导学号 96660801 ( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
[答案] C
[解析] 只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.
5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是
导学号 96660802 ( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
[答案] D
[解析] 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2，故选D.
6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色导学号 96660803 ( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
[答案] A
[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．
二、填空题
7．观察下列式子： 导学号 96660804
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
由上可得出一般的结论为________．
[答案] 1＋＋＋…＋<
[解析] 因为3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋＋＋…＋<.
8．观察下列等式 导学号 96660805
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第五个等式应为______________________．
[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
[解析] 本题考查学生的推理能力．依据前4个等式的规律，第n个等式左侧是从n开始的2n－1个自然数的和，右侧是(2n－1)2，所以第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
三、解答题
9．在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，….
由此猜想凸n边形有几条对角线？ 导学号 96660806
[解析] 由题意知，f(5)－f(4)＝3，
f(6)－f(5)＝4，
……
f(n)－f(n－1)＝n－2，
将上面各式相加得：
f(n)－f(4)＝3＋4＋…＋(n－2)，
f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－2)
＝n(n－3).
一、选择题
1．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边；
(2)中位线长等于第三边的一半；
(3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)中位面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有导学号 96660807 ( )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[答案] C
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确，结论也不一定正确．
2．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为导学号 96660808 ( )
A．76 B．80
C．86 D．92
[答案] B
[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为导学号 96660809 ( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h
[答案] C
[解析] ∵三角形的面积S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，
∴四面体的体积V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径．
4．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形
那么下列图形中，
可以表示A*D、A*C的分别是导学号 96660810 ( )
A．(1)、(2) B．(2)、(3)
C．(2)、(4) D．(1)、(4)
[答案] C
[解析] 由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，C为——，D为.
二、填空题
5．(2016·山东文，12)观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
照此规律，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝________．
[答案] n(n＋1)
[解析] 根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．
6．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．导学号 96660812
[答案]
[解析] 两个正方形重叠部分的面积为()2＝，类比到空间后，两个正方体重叠部分的体积为()3＝.
三、解答题
7．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
导学号 96660813
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解析] (1)选择②式计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.
(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
8．已知{an}满足a1＝1,4an＋1－an·an＋1＋2an＝9，写出a1、a2、a3、a4，试猜想出这个数列的通项公式． 导学号 96660814
[解析] 由4an＋1－anan＋1＋2an＝9
得an＋1＝2－，
∴a2＝2－＝2＋，a3＝2－＝2＋，
a4＝2－＝2＋，猜想：an＝2＋.
9．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)中，F1、F2是两焦点，P是椭圆上任意一点(不与长轴端点重合)，设∠F1PF2＝θ，试用a、，b、θ表示△F1PF2的面积S；导学号 96660815
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)中，F1、F2是两焦点，P是双曲线上任意一点(不与实轴端点重合)，设∠F1PF2＝θ，试用a、b、θ表示△F1PF2的面积S.
[解析] (1)在△F1PF2中，2|PF1|·|PF2|cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2.
又|F1F2|＝2c，
所以2|PF1|·|PF2|cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－4c2. ①
又P在椭圆＋＝1上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1|·|PF2|. ②
将②代入①，可得|PF1|·|PF2|＝. ③
将③代入面积公式S＝|PF1|·|PF2|sinθ，
得S＝··sinθ＝b2·
＝b2·tan.
(2)类比(1)的解法，应用余弦定理、双曲线的定义和面积公式来解决．
在△F1PF2中 ,2|PF1|·|PF2|cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－4(a2＋b2)． ①
又||PF1|－|PF2||＝2a，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋2|PF1|·|PF2|. ②
联立①②，可得|PF1|·|PF2|＝，
所以S＝··sinθ＝b2·＝.
第二章 2.1 第2课时
一、选择题
1．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 96660826 ( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，因此，若∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
D．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°
[答案] A
[解析] 选项B是类比推理，选项C、D是归纳推理，只有选项A是演绎推理．
2．下列说法中正确的是导学号 96660827 ( )
A．演绎推理和合情推理都可以用于证明
B．合情推理不能用于证明
C．演绎推理不能用于证明
D．以上都不对
[答案] B
[解析] 合情推理不能用于证明．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是导学号 96660828 ( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
4．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是导学号 96660829 ( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 大前提y＝logax是增函数不一定正确．因为a>1还是05．完全归纳推理是( )的推理导学号 96660830 ( )
A．一般到个别 B．个别到一般
C．一般到一般 D．个别到个别
[答案] B
[解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理．
6．△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC一定是导学号 96660831 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[答案] C
[解析] ∵cosAcosB>sinAsinB，∴cos(A＋B)>0，
∴A＋B为锐角，即∠C为钝角．
二、填空题
7．以下推理过程省略的大前提为：____________.导学号 96660832
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
8．对于函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为实数，则a的取值范围是________．导学号 96660833
[答案] 0[解析] 要使f(x)定义域为R，则x2＋ax＋a≠0，即Δ＝a2－4a<0，解得0三、解答题
9．求证：对任意不相等正实数a、b，有()a－b>1. 导学号 96660834
[证明] 当a>b>0时，有>1，a－b>0，由指数函数的单调性知()a－b>()0＝1，
当b>a>0时，有0<<1，
a－b<0，则()a－b>()0＝1.
综上：()a－b>1.
一、选择题
1．三段论：“①雅安人一定坚强不屈；②雅安人是中国人；③所有的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是导学号 96660835( )
A．③② B．③①
C．①② D．②③
[答案] A
[解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③，小前提为②.
2．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提导学号 96660836( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”．
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是导学号 96660837( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
[答案] A
[解析] 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
二、填空题
4．(2016·全国卷Ⅱ文，16)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
[答案] 1和3
[解析] 由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
5．△ABC中，若＝，则△ABC的形状是________．导学号 96660839
[答案] 直角三角形或等腰三角形
[解析] 由正弦定理得，＝＝＝
＝，于是有＝
即sinA·cosA－sinB·cosB＝0，∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.
6．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N＋(m，n∈N＋)，且对任意m、n∈N＋都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________． 导学号 96660840
[答案] (1)(2)(3)
[解析] 由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)
＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
三、解答题
7．如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA.求证ED＝AF，写出“三段论”形式的演绎推理．导学号 96660841
[解析] 大前提：同角相等，两直线平行
∴前提：∠BFD＝∠A.结论：DF∥EA.
大前提：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
小前提：DE∥BA且DF∥EA，
结论：四边形AFDE是平行四边形．
大前提：平行四边形的对边相等，
小前提：ED和AF为平行四边形的对边，
结论：ED＝AF.
8．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
导学号 96660842
[分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论．
[证明] 对?x1、x2∈I，且x1设x1、x2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x1f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝ax1－ax2＋－
＝ax1－ax2＋，
∵a>1，且x1又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．结论
9．求证函数f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1的值恒大于零．导学号 96660843
[解析] 当x>0时，x6，x3，x2，x,1都为正数，
因为x>0时，f(x)>0恒成立．
当－1≤x≤0时，
f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1
＝x6＋x2(1＋x)＋(1＋x)>0恒成立．
当x<－1时，
f(x)＝x6＋x3＋x2＋x＋1
＝x3(x3＋1)＋x(x＋1)＋1，
∵x<－1，
∴x3<－1，x＋1<0，∴x3＋1<0，
∴x3(x3＋1)>0，x(x＋1)>0，又1>0，
∴x<－1时，f(x)>0恒成立．
综上所述，函数f(x)的值恒大于零．
第二章 2.2 第1课时
一、选择题
1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的导学号 96660855 ( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既非充分条件又非必要条件
[答案] A
[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．
2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的为导学号 96660856 ( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．归纳法
[答案] B
[解析] 要证明＋<2最合理的方法是分析法．
3．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是导学号 96660857 ( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥a＋b D.≥
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，∴≤.
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有导学号 96660858 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－)2≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，
只有当>0时，才有＋≥2，∴应选C.
5．若a、b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是导学号 96660859 ( )
A．ab>0 B．b>a
C．a[答案] C
[解析] 由a，
但>a∴a的一个充分不必要条件．
6．若x、y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为导学号 96660860 ( )
A．14 B．15
C．16 D．17
[答案] B
[解析] 由y2＝6x－2x2≥0得0≤x≤3，从而x2＋y2＋2x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝3时，最大值为15.
二、填空题
7．已知a、b是互不相等的正数，且a＋b＝1，则＋与4的大小关系是________．
导学号 96660861
[答案] ＋>4
[解析] ∵a、b是互不相等的正数，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝2＋＋>4.
8．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P1P2P3一定是________(形状)三角形．导学号 96660862
[答案] 等边
[解析] 由＋＋＝0，且||＝||＝||，∴△P1P2P3是等边三角形．
三、解答题
9．用分析法、综合法证明：若a>0，b>0，a≠b，则>.导学号 96660863
[证明] (1)分析法
为了证明>成立，需证明下面不等式成立：
a＋b>2
由于a>0，b>0，即要证(a＋b)2>4ab成立．
展开这个不等式左边，即得a2＋2ab＋b2>4ab
即证a2－2ab＋b2>0成立．
即证(a－b)2>0成立，以上证明过程步步可逆，
∵a≠b，∴(a－b)2>0成立．故>成立．
(2)综合法
由a>0，b>0，且a≠b知>0，>0，且≠
∴(－)2>0?a＋b>2?>.
一、选择题
1．设a与b为正数，并且满足a＋b＝1，a2＋b2≥k，则k的最大值为导学号 96660864 ( )
A. B.
C. D．1
[答案] C
[解析] ∵a2＋b2≥(a＋b)2＝(当且仅当a＝b时取等号)，∴kmax＝.
2．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为导学号 96660865 ( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ∵≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f()≤f()≤f()．
3．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为导学号 96660866 ( )
A．7＋2 B．2
C．7＋2 D．14
[答案] A
[解析] a＋2b＝(a＋2b)·＝7＋＋.
又∵a>0，b>0，∴由均值不等式可得：a＋2b＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.当且仅当＝且＋＝1，即3a2＝2b2且＋＝1时等号成立，故选A.
4．已知f(x)＝ax＋1,0A.≤f B.＝f
C.≥f D.>f
[答案] D
[解析] ∵＝>
＝a＋1＝f，
∴>f，∴选D.
二、填空题
5．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________．导学号 96660868
[答案] 1
[解析] ∵f(x)＝(x∈R)是奇函数
则f(－x)＋f(x)＝＋＝0
∴a＝1.
6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
导学号 96660869
[答案] p>q
[解析] ∵p＝a＋＝a－2＋＋2≥4(当且仅当a＝3时取“＝”)，q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2<4.∴p>q.
三、解答题
7．设a、b、c三个数成等比数列，而x、y分别为a、b和b、c的等差中项，求证＋＝2. 导学号 96660870
[证明] 已知a、b、c成等比数列，即＝.由比例性质有＝.又由题设x＝，y＝，有＋＝＋＝＋＝＝2，故等式成立．
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点．求证：AF∥平面PEC. 导学号 96660871
[证明] ∵四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.
又∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
9．已知a、b、c为△ABC的三边长，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
导学号 96660872
[证明] ∵a2＝b(b＋c)＝b2＋bc，∴cos A＝＝＝＝，cos B＝＝＝，∴cos 2B＝2cos2B－1＝2·2－1＝－1＝－1＝－1＝，∴cos A＝cos 2B.又∵A、B均为三角形的内角，
∴A＝2B.
第二章 2.2 第2课时
一、选择题
1．反证法是导学号 96660885 ( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
[答案] A
[解析] 反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．
2．(2013～2014学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 ( )
A．假设a、b、c中至少有一个小于1
B．假设a、b、c中都小于等于1
C．假设a、b、c至少有两个大于1
D．假设a、b、c都小于1
[答案] B
[解析] “至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”
3．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 ( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的定义可知为①②③.
4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 ( )
A．若x∈M则x?N
B．若x∈N则x∈M
C．存在x1∈M?x1∈N，又存在x2∈M?x2?N
D．存在x0∈M?x0?N
[答案] D
[解析] 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0?N.选D.
5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 ( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] “至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.
6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 ( )
A．a、b都是5的倍数 B．a、b都不是5的倍数
C．a不是5的倍数 D．a、b中有一个是5的倍数
[答案] B
[解析] “至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”．
二、填空题
7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891
[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
[解析] “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
导学号 96660892
[答案]
[解析] 假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于.”
三、解答题
9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893
[解析] 假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(，)在直线y＝ax上，
所以
由得(3－k2)x2－2kx－2＝0. ④
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2， ⑤
由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得ak＝3.
这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称.
一、选择题
1．设a、b∈(0，＋∞)，则a＋，b＋导学号 96660894( )
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
[答案] D
[解析] 假设a＋<2，b＋<2，则(a＋)＋(b＋)<4①.又a、b∈(0，＋∞)，所以a＋＋b＋＝(a＋)＋(b＋)≥2＋2＝4，这与①式相矛盾，故假设不成立，即a＋，b＋至少有一个不小于2.
2．已知x>0，y>0，x＋y≤4，则有导学号 96660895 ( )
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
[答案] B
[解析] 由x>0，y>0，x＋y≤4得≥，A错；x＋y≥2，∴≤2，C错；xy≤4，∴≥，D错．
3．已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是导学号 96660896 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
[答案] A
[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有a·n>b·n，从而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.故应选A.
4．如果两个数之和为正数，则这两个数导学号 96660897 ( )
A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数
C．至少有一个是正数 D．两个都是负数
[答案] C
[解析] 假设两个都是负数，其和必为负数．
二、填空题
5．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为___________________________．导学号 96660898
[答案] ∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP
[解析] 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.
6．设a、b是两个实数，给出下列条件： 导学号 96660899
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a、b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
[答案] ③
[解析] 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①不能推出．
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出．
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出．
对于③即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1.
则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
三、解答题
7．已知：非实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不可能成等差数列．导学号 96660900
[证明] 假设，，成等差数列．则＝＋.
∴2ac＝bc＋ab①
又a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c②
∴把②代入①得2ac＝b(a＋c)＝b·2b
∴b2＝ac.③
由②平方4b2＝(a＋c)2.
把③代入4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.
代入②得b＝a，∴a＝b＝c.
∴公差为0，这与已知矛盾．
∴，，不可能成等差数列．
8．已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． 导学号 96660901
[证明] 假设a、b、c、d都是非负数．
∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc>ac＋bd.
∴ac＋bd<1.这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
9．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，
用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根． 导学号 96660902
[证明] 假设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0.
则ax0＝－，且0所以0<－<1，
即第三章 3.1
一、选择题
1．下列命题中假命题是导学号 96660964 ( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件
[答案] D
[解析] 举反例：如：复数2和2i，它们的模相等，但不是共轭复数．
2．(2014·重庆文)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的导学号 96660965 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] 由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.
3．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是导学号 96660966 ( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
4．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的导学号 96660967 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．
5．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为导学号 96660968 ( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[答案] C
[解析] 验证：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A、B、D.
6．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是导学号 96660969 ( )
A．2－2i B．2＋i
C．－＋i D.＋i
[答案] A
[解析] ∵2i－的虚部是2，i＋2i2的实部是－2，∴选A.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.导学号 96660970
[答案] －1
[解析] 由已知得∴.
8．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______________..导学号 96660971
[答案] －2＋3i
[解析] 复数z1＝2－3i对应的点为P1(2，－3)，则复数z2对应的点为P2(－2,3)，故z2＝－2＋3i.
三、解答题
9．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．.导学号 96660972
[解析] 由题意，得，∴，
∴当m＝3时，原不等式成立.
一、选择题
1．已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部.导学号 96660973 ( )
A．不小于0 B．不大于0
C．大于0 D．小于0
[答案] B
[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋bi＝－，∴b＝0，a＝－|a|，∴a≤0，故不大于0.
2．在下列结论中正确的是.导学号 96660974 ( )
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的
D．－1的平方根是i
[答案] A
[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则.导学号 96660975 ( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
[答案] D
[解析] 由题意知a2－2a＝0且a2－a－2≠0，
解得a＝0.
4．若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在第几象限
.导学号 96660976 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数．
∴∴，∴z1＝－3－i，故选C.
二、填空题
5．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．.导学号 96660977
[答案]
[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
6．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________..导学号 96660978
[答案] ＋4i
[解析] 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，
则∴∴＝＋4i.
三、解答题
7．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．.导学号 96660979
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
∴＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.
由题意得，解得即实数m的取值范围是8．已知＋(x2－2x－3)i＝0(x∈R)，求x的值．.导学号 96660980
[解析] 由复数相等的定义得，
解得x＝3.∴x＝3为所求．
9．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
.导学号 96660981
[解析] 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得，
解得或.
∴方程的实根为x＝或x＝－，相应的k的值为k＝－2或k＝2.
第三章 3.2 第1课时
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ文，2)若z＝4＋3i，则＝( )
A．1 B．－1
C．＋i D．－i
[答案] C
[解析] 易知z＝3－2i，所以＝3＋2i．
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于导学号 96660994 ( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[答案] A
[解析] 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i
＝－1＋i.
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝导学号 96660995 ( )
A. B．2
C. D．4
[答案] B
[解析] ||＝|－|＝|1＋3i－1－i|＝|2i|＝2.
4．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于导学号 96660996 ( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
[答案] D
[解析] f(z1－z2)＝(z1－z2)－2i
＝(3＋4i＋2＋i)－2i＝5＋3i.
5．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2为纯虚数，则有导学号 96660997 ( )
A．a－c＝0且b－d≠0 B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0 D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案] D
[解析] z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，若z1＋z2为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即a＋c＝0且b＋d≠0.
6．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的
导学号 96660998 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，点(2,5)在第一象限．
二、填空题
7．在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1＋3i、－i、2＋i，则点D对应的复数为________．导学号 96660999
[答案] 3＋5i
[解析] 设D对应的复数为x＋yi，则由＝得：－i－1－3i＝2＋i－x－yi，整理得－1－4i＝(2－x)＋(1－y)i，所以有，x＝3，y＝5.
8．已知|z|＝1，则|1－i－z|的最大值是________，最小值是________．
导学号 966601000
[答案] 3 1
[解析] |z|＝1，所以z在半径为1的圆上，|1－i－z|＝|z－(－1＋i)|即圆上一点到点(－1，)的距离，dmax＝3，dmin＝1.
三、解答题
9．计算： 导学号 966601001
(1)(6＋2i)－(3＋5i)＋(－2－4i)；
(2)(4＋3i)－(1＋i)－(3＋i)．
[解析] (1)(6＋2i)－(3＋5i)＋(－2－4i)＝(6－3－2)＋(2－5－4)i＝1－7i.
(2)(4＋3i)－(1＋i)－(3＋i)＝(4－1－3)＋(3－－)i＝0.
一、选择题
1．已知?ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是导学号 966601002 ( )
A．2－3i B．4＋3i
C．4－8i D．1＋4i
[答案] C
[解析] 设点D对应的复数为z.由于四边形ABCD为平行四边形，故＝，即－＝－，故＝＋－，即z＝(4＋i)＋(3－5i)－(3＋4i)＝4－8i.
2．(2015·福建文，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a、b的值分别等于导学号 966601003 ( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
[答案] A
[解析] 由已知得3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2，选A.
3．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是导学号 966601004 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] ∵|z＋2－2i|＝1，∴z在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上，而|z－2－2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为3，如图：
4．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的导学号 966601005 ( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案] D
[解析] 由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．
二、填空题
5．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.导学号 966601006
[答案] －(3＋2)＋i
[解析] ∵z＝1＋i，∴|z|＝，
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－2－4
＝－(3＋2)＋i.
6．在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到向量，则点P0对应的复数为________．导学号 966601007
[答案] －i
[解析] 由题意＝＋，而对应的复数是－1，对应的复数是1－i，所以对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.所以P0点对应的复数为－i.
三、解答题
7．在复平面内，?ABCO的顶点O是坐标原点，顶点A、C对应的复数分别是z1＝x＋i，z2＝－xi，若B点在单位圆内，求实数x的取值范围．导学号 966601008
[解析] 设点B对应的复数为z，∵＝＋，
即z＝z1＋x2＝x＋i＋－xi＝(x＋)＋(－x)i.
由已知|z|<1，∴|z|2<1，
∴(x＋)2＋(－x)2<1，
即x2<，∴－8．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z)．导学号 966601009
[解析] ∵f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.
又知f(＋i)＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3i，
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴2(a－bi)＋(a＋bi)－2i＝6－3i，
即3a－(b＋2)i＝6－3i，
由复数相等的定义得，，
解得：.
∴z＝2＋i.
故f(－z)＝f(－2－i)
＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.
9．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 导学号 966601010
[解析] 解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，代入方程z＋|z|＝2＋8i，得x＋yi＋＝2＋8i，
由复数相等的条件，得，
解得x＝－15，y＝8，所以复数z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i
因为|z|∈R，所以2－|z|是z的实部，于是有|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17，
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．(2015·山东文，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝导学号 966601022 ( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
[答案] A
[解析] 由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以，z＝1－i，故选A.
2．(2014·全国新课标Ⅰ文)设z＝＋i，则|z|＝导学号 966601023 ( )
A. B.
C. D．2
[答案] B
[解析] ∵z＝＋i＝＋i＝＋i，
∴|z|＝＝.
3．i是虚数单位，复数＝导学号 966601024 ( )
A．1＋2i B．2＋4i
C．－1－2i D．2－i
[答案] A
[解析] ＝＝＝1＋2i.
4．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为
导学号 966601025 ( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵z＝1＋i，∴＝1－i，z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，2＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z2＋2＝0.
5．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是导学号 966601026 ( )
A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1
C．x＝－1，y＝－1 D．x＝－1，y＝1
[答案] D
[解析] 由题意得，∴.
6．复数z＝－1在复平面内所对应的点在导学号 966601027 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵－1＝－1＝－1
＝－1＋i，
∴复数z对应的点在第二象限．
二、填空题
7．已知i是虚数单位，计算＝__________.导学号 966601028
[答案] －－i
[解析] ＝＝＝＝－－i.
8.－＝________.导学号 966601029
[答案] －i
[解析] 原式＝－＝－＝－＝－i.
三、解答题
9．复数z＝a＋bi(a、b∈R)满足z2＝3＋4i，求z. 导学号 966601030
[解析] ∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，z2＝3＋4i，
∴a2－b2＋2abi＝3＋4i.
∴，解得或.
∴z＝2＋i或z＝－2－i.
一、选择题
1．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的导学号 966601031 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；
当(a＋bi)2＝2i时，得，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
2．(2016·北京文，2)复数＝( )
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
[答案] A
[解析] ＝＝＝i．
3．复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为导学号 966601033 ( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] B
[解析] z2＝()2＝－1，
∴ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.
4．设复数z＝－＋i(i为虚数单位)，则满足等式zn＝z，且大于1的正整数n中最小的是导学号 966601034 ( )
A．3 B．4
C．6 D．7
[答案] B
[解析] z3＝1，zn＝z，即zn－1＝1，n－1应是3的倍数，n－1＝3时，n＝4，故n的最小值为4.
二、填空题
5．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·2在复平面内对应的点的坐标是________．
导学号 966601035
[答案] (2,4)
[解析] z1·＝(3＋i)(1＋i)＝(3－1)＋4i＝2＋4i.
∴z1·2对应点为(2,4)．
6．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
导学号 966601036
[答案] －20
[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．
∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，
∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.
∴复数(z1－z2)i的实部为－20.
三、解答题
7．若f(z)＝，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f()的值．导学号 966601037
[解析] ∵z1－z2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝3＋4i＋2－i＝5＋3i，
又∵f(z)＝，∴f()＝z1－z2＝5＋3i.
8．已知z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a、b的值．导学号 966601038
[解析] ∵z＝1＋i，则z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝12＋2i＋i2－1－i＋1＝i.
z2＋az＋b＝2i＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i.
∵＝1－i，
∴a＋b＋(2＋a)i＝i(1－i)＝1＋i，
∴，∴.
9．已知z＝(a>0，a∈R)，复数w＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数w. 导学号 966601039
[解析] 已知z＝，
则w＝(＋i)＝＋i.
根据题意，可得－＝.
整理，得a2＝4.
又∵a>0，∴a＝2，∴w＝＋3i.
第四章 4.1
一、选择题
1．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”，则正确的流程是导学号 966601098 ( )
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
[答案] C
[解析] 根据实际操作的顺序可判断．
2．流程图描述动态过程，关于其“终点”的描述中，较为恰当的是导学号 966601099 ( )
A．只允许有一个“终点” B．只允许有两个“终点”
C．可以有一个或多个“终点” D．以上皆不正确
[答案] C
[解析] 流程图可以有一个或多个“终点”．
3．计算函数y＝的值的流程图如图所示，则①②③的填充正确的是
导学号 966601100 ( )
A．①y＝0 ②x＝0 ③y＝1
B．①y＝0 ②x<0 ③y＝1
C．①y＝－1 ②x<0 ③y＝0
D．①y＝－1 ②x＝0 ③y＝0
[答案] C
[解析] 根据分段函数的性质即可判断．
4．(2015·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为导学号 966601101 ( )
A．2 B．7
C．8 D．128
[答案] C
[解析] 由题意得，该程序表示分段函数y＝则f(1)＝9－1＝8，故选C.
5．下图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入导学号 966601102 ( )
A．整理数据、求函数表达式 B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数表达式 D．整理数据、进行模型修改
[答案] C
[解析] 要清楚数据拟合的基本过程．
6．(2016·四川文，8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )
A．35 B．20
C．18 D．9
[答案] C
[解析] 根据程序框图有：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0，所以v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0，所以v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0，所以v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，不满足条件，跳出循环，输出v＝18．
二、填空题
7．小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需要2min；②洗菜需要6min；③准备面条及佐料需2min；④用锅把水烧开需要10min；⑤煮面条和菜共需3min.以上各道工序，除④之外，一次只能进行一道工序．小宁要将面条煮好，最少要用________min. 导学号 966601103
[答案] 15
[解析] 第一步，洗锅盛水用2min；第二步，用锅把水烧开用10min，同时洗菜用6min，准备面条及佐料用2min，总计10min；第三步，用烧开的水煮面条和菜用3min.总计2＋10＋3＝15(min)．
8．某工序流程图如下，则该工程的总工时数为________．导学号 966601104
[答案] 15
[解析] 由题意可知：①→②工序a工时数为5；②→④工序c工时数为1；④→⑥工序d工时数为4；⑥→⑦，工序f工时数为2；⑦→⑧工序g工时数为3，为工时最长的支路．故所用工程总工时数为5＋1＋4＋2＋3＝15.
一、选择题
1．如图是某工厂从工程设计B到试生产H的工序流程图，方框上方的数字是这项工序所用的天数，则从工程设计到结束试生产需要的最短时间为导学号 966601105 ( )
A．22天 B．23天
C．28天 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由工序流程图可得，
由A到H需要8＋7＋5＋2＝22(天)；
由B经C到H需要10＋4＋7＋5＋2＝28(天)；
由B经D到H需要10＋6＋5＋2＝23(天)；
由G到H需要4＋5＋2＝11(天)．
而从工程设计到结束试生产需要的最短时间为这几个时间中的最大值，故从工程设计到结束试生产需要的最短时间为28天．
2．有一算法流程图如右图，该算法解决的是
导学号 966601106 ( )
A．输出不大于990能被15整除的所有正整数
B．输出不大于66能被15整除的所有正整数
C．输出67
D．输出能被15整除的大于66的正整数
[答案] A
[解析] 由算法流程图知n＝1开始，a＝15n为15的倍数，又据n>66即结束．则a为从15开始到15×66的66个整数，由于15×66＝990，所以该算法解决的是：输出不大于990能被15整除的所有正整数．
二、填空题
3．已知函数f(x)＝|x－1|的流程图如图所示，将该流程图补充完整，则①处填________，②处填________．导学号 966601107
[答案] x<1 y＝x－1
[解析] 由绝对值的意义可知y＝1－x意味着x<1，所以①中应填 “x<1”，因此②中应填“y＝x－1”．
4．写出下面程序框图的运行结果．导学号 966601108
若a＝64，则输出结果是______．
[答案] 64
[解析] 因为64≥0，故结果为64.
三、解答题
5．某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．导学号 966601109
[解析] 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：
第四章 4.2
一、选择题
1．如图所示的框图是某班级班委会的导学号 966601119 ( )
A．知识结构图 B．组织结构图
C．体系结构图 D．关系结构图
[答案] B
2．如图所示的框图中“幂函数的定义”、“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是导学号 966601120 ( )
A．并列关系 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
[答案] B
[解析] 从知识结构图中可判断为从属关系．
3．如图是“集合”一章的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在
导学号 966601121 ( )
A．“集合的概念”的下位 B．“集合的表示”的下位
C．“集合之间的关系”的下位 D．“集合运算”的下位
[答案] C
[解析] 子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．
4．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是
导学号 966601122 ( )
[答案] A
[解析] 理解函数的基本知识结构即可判断．
5．学校成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是
导学号 966601123 ( )
[答案] A
[解析] 弄清各要素之间的从属关系，是解题的关键．
6．关于细胞的结构图正确的是导学号 966601124 ( )
[答案] C
[解析] 细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，细胞核由核膜、染色质、核仁、核孔构成．
二、填空题
7．如图是某创意大赛分类图，导学号 966601125
由图可知，影视动画属于________．
[答案] 广告项
[解析] 由图知，影视动画属于广告项．
8．如图是王明家家谱的一部分：导学号 966601126
由此可推知，王明共有________个曾祖父母．
[答案] 8
[解析] 祖父、祖母、外祖父、外祖母分别有父亲、母亲，所以共有8个曾祖父母.
一、选择题
1．下列框图不是结构图的是导学号 966601127 ( )
[答案] C
[解析] 流程图指的是一个动态过程，应有先后顺序，而结构图描述的是静态的系统结构，所以只有C是流程图，不是结构图．
2．如图是选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图，如果要加入“综合法”，则应该放在导学号 966601128 ( )
A．“合情推理”的下位 B．“演绎推理”的下位
C．“直接证明”的下位 D．“间接证明”的下位
[答案] C
[解析] 因为综合法是一种主要的直接证明的方法，故综合法应是“直接证明”的下位，故选C.
二、填空题
3．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图：导学号 966601129
从图可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．
[答案] 3
[解析] 该题是一个实际问题，由审查流程图可知有三处判断框，即3处可能不被审查通过．
4．把两条直线的位置关系填入图中的M、N、E、F中，顺序较为恰当的是________．
导学号 966601130
①平行 ②垂直 ③相交 ④斜交
[答案] ①③②④或①③④②
[解析] 两直线的位置关系有相交和平行两种，而相交又分为斜交和垂直，故M，N，E，F的恰当顺序为①③②④或①③④②.
三、解答题
5．请画出《三角函数》一章的知识结构图．导学号 966601121
[解析] 《三角函数》一章的知识结构图如下：
6．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．请绘制出该公司的组织结构图．
导学号 966601132
[解析] 组织结构图如下：
7．据有关方面预测，我国将进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、新型食品、服务消费以及文化消费；农村居民消费热点主要为住房、家电、上学．请你画出消费结构图．导学号 966601133
[解析] 结构图如图所示：
选修1－2综合能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z＝1＋i，则z2－2z等于导学号 966601176 ( )
A．－3 B．3
C．－3i D．3i
[答案] A
[解析] ∵z＝1＋i，
∴z2＝(1＋i)2＝1＋2i－2＝－1＋2i.
∴z2－2z＝－1＋2i－2－2i＝－3.
简解：z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－2－1＝－3.
2．有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论显然是错误的，错误的原因是导学号 966601177 ( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
[答案] C
[解析] 整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，因为大前提不是对所有的有理数加以定义的，故推理形式错误．
3．对下列三种图形，正确的表述为导学号 966601178 ( )
A．它们都是流程图
B．它们都是结构图
C．(1)(2)是流程图，(3)是结构图
D．(1)是流程图，(2)(3)是结构图
[答案] D
[解析] 结合流程图和结构图的特征可知D选项正确．
4．在如图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是导学号 966601179 ( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(2)(3)
[答案] D
[解析] (1)为函数关系，(4)关系不明显，(2)(3)具有相关关系．
5．下列说法中，正确的是导学号 966601180 ( )
①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有时间性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
[答案] B
[解析] ①回归方程只适用于我们所研究的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．
6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是
导学号 966601181 ( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
[答案] D
[解析] 由归纳推理可知D正确．
7．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“＝＋(c≠0)”；
③“a、b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a、b∈C，若a－b＝0，则a＝b”(C为复数集)；
④“a、b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a、b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为导学号 966601182 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①显然错误；∵复数不能比较大小，∴④错误；②③正确．
8．观察：＋<2，＋<2，＋<2，…，对于任意的正实数a、b，使＋<2成立的一个条件可以是导学号 966601183 ( )
A．a＋b＝20 B．a＋b＝21
C．ab＝20 D．ab＝21
[答案] B
[解析] 由给出的三个不等式观察其特点可得a＋b＝21.
9．分类变量X和Y的列联表为下表，则下列说法正确的是导学号 966601184 ( )
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A.ad－bc越小，说明X和Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
[答案] C
[解析] χ2＝，
∴(ad－bc)2越大，说明X、Y关系越强．
10．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于导学号 966601185 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，
∴复数(2－i)2对应的点(3，－4)位于复平面内的第四象限．
11．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①Z＝i；②z＝－＋i；③z＝＋i；④z＝－i，那么输出的复数是导学号 966601186 ( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] D
[解析] |z|＝|－i|＝＝1.故选D.
12．已知a∵a∴2a－2b∴2(a－b)·(a－b)<(a－b)·(a－b)，
即2(a－b)2<(a－b)2.…③
∵a0，∴可证得2<1.…④
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] C
[解析] 步骤③，由于a二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．观察下列等式： 导学号 966601188
1＝1，
1－4＝－(1＋2)，
1－4＋9＝1＋2＋3，
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，
1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，
……
猜想第n个式子为________．
[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)．
14．设z＝，则|z|＝__________.导学号 966601189
[答案] 625
[解析] ∵z＝
∴|z|＝＝＝54＝625.
15．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．导学号 966601190
[答案] 127
[解析] 本题考查程序框图的基本知识．
输入a＝1，循环一次时，a＝3，循环二次时，a＝7，循环三次时，a＝15，循环四次时，a＝31，循环五次时，a＝63，循环六次时，a＝127，此时循环终止，输出127.
16．(2016·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′(，)；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．
[答案] ②③
[解析] 对于①，设A(0,3)，则A的“伴随点”为A′(，0)，但是A′(，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A不同，所以①错误；对于②，设单位圆C：x2＋y2＝1上的点P(x，y)，点P的“伴随点”为P′(x′，y′)，则有，所以x′2＋y′2＝＋＝＝1，所以②正确；对于③，设P(x，y)的“伴随点”为P′(，)，P1(x，－y)的“伴随点”为P′1(，)，易知P′(，)与P′1(，)关于y轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0，且P(x0，y0)为该直线上一点，P(x0，y0)的“伴随点”为P′(x′，y′)，其中P，P′都不是原点，且，则x0＝－(x＋y)y′，y0＝(x＋y)x′，将P(x0，y0)代入原直线方程，得－A(x＋y)y′＋B(x＋y)x′＋C＝0，则－Ay′＋Bx′＋＝0，由于x＋y的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：
导学号 966601192
采桑
不采桑
合计
患者人数
18
12
健康人数
5
78
合计
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
[解析] 因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，
所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.
所以χ2＝
＝≈39.6>6.635.
所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.
18．(本题满分12分)求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
导学号 966601193
[证明] ∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
∴≥|a＋b|≥(a＋b)，
同理≥(b＋c)，
≥(c＋a)，
∴＋＋≥(a＋b＋c)．
19．(本题满分12分)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元，请设计一个表示按人数收取卫生费的流程图．导学号 966601194
[解析] 流程图如图所示：
20．(本题满分12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
导学号 966601195
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则，
解得.∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
21．(本题满分12分)实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.
求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
导学号 966601196
[证明] 假设a、b、c、d中全都是非负数，
即a、b、c、d≥0，由a＋b＝c＋d＝1，得
(a＋b)(c＋d)＝1，即ac＋ad＋bc＋bd＝1，
∴ac＋bd＝1－ad－bc≤1.
与条件ac＋bd>1矛盾．
故a、b、c、d中至少有一个是负数．
22．(本题满分14分)化学反应中催化剂能加快化学反应，现统计一定量的高锰酸钾加热后生成的氧气的体积x与加热时间y的一组数据，如下表. 导学号 966601197
x
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y/分钟
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)作出散点图，你能从散点图中发现生成的氧气体积与加热时间的一般规律吗？
(2)求回归直线方程．
[解析] (1)用x轴表示生成的氧气体积，y轴表示加热时间，可作散点图，如图所示．
由图可知，各点分布在一条直线附近，它们呈线性相关关系．
(2)设所求的回归直线方程为＝x＋.
计算得＝159.8，＝172，iyi＝287 640，
＝265 448，
则＝≈1.267，
＝－ ＝172－1.267×159.8≈－30.47.
∴回归直线方程为＝1.267x－30.47.
