学习目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
学习过程
导入新课
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
提出问题
（1）阅读教材第3页“鸡兔同笼”问题，思考解二元一次方程组有几种方法？
（2）结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
（3）结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤，并理解“高斯消去法”；
（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.
（6）请同学们总结算法的特征.
（7）请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
（1）代入消元法和加减消元法.
（2）回顾二元一次方程组
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x=.
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④，得y=.
第五步，得到方程组的解为
(3)用代入消元法解二元一次方程组
我们可以归纳出以下步骤：
第一步，由①得x=2y－1.③
第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④
第三步，解④得y=.⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2×－1=.
第五步，得到方程组的解为
(4)对于一般的二元一次方程组
其中a11a22－a21a12≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，假定a11≠0,①×+②，可得方程
（a11a22－a21a12）y= a11b2－a21b1.③
第二步，解③，得y=.④
第三步，将④代入①得x=
第四步，输出结果x,y
(5)算法的定义理解：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
例题解析
例1 写出一个求有限整数序列中的最大值的算法.
点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……
例2 写出对任意3个数a,b,c求出最大值的算法。
知能训练
设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.
解：算法步骤如下：
第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.
第二步，计算Δ=b2－4ac的值.
第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.
点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.
拓展提升
中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.
解：算法分析：
数学模型实际上为：y关于t的分段函数.
关系式如下：
y=
其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.
算法步骤如下：
第一步，输入通话时间t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z是否成立，若成立执行
y=0.2+0.1×(t－3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.
第三步，输出通话费用c.
课堂小结
正确理解算法这一概念.
算法的表示有哪些？
结合例题掌握算法的特点，能够写出简单的算法.
学习目标
1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.
2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.
3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.
重点难点
数学重点：程序框图的概念及画法.
数学难点：程序框图中的符号的意义.
学习过程
导入新课
用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图.
新知探究
提出问题
（1）什么是程序框图？
（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.
（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.
（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.
（5）说出判断框的图形符号与功能.
（6）说出流程线的图形符号与功能.
（7）说出连接点的图形符号与功能.
（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.
讨论结果：
（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.
（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口．
（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．
（4）矩形框： 表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口．
（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．
（6）流程线：表示程序的流向．
（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起．
（8）总结如下表.
图形符号
名称
功能
应用示例
例1左图所示的是一个算法的流程图，已知a1=3，输出的b=7,求a2的值.
画出由直角三角形的两条直角边a, b,求斜边长的程序框图
课堂小结
（1）掌握程序框的画法和功能.
（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.
（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.
学习目标
在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.
学习过程
提出问题
（1）请大家再次观察上节课中所画的一些程序框图例子.
（2）回答什么是顺序结构？什么是条件分支结构？什么是循环结构、循环体？
（3）试用程序框图表示循环结构.
（4）指出三种基本逻辑结构结构的相同点和不同点.
讨论结果：
很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.
三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：
顺序结构 条件结构 循环结构
应用示例
例1 阅读以下程序框图，分析其所实现的算法功能？.
算法分析：通常，我们按照下列过程计算1+2+……+100的值.
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6.
第4步，6+4=10.
……
第100步，4 950+100=5 050.
显然，这个过程中包含重复操作的步骤，可以用循环结构表示.分析上述计算过程，可以发现每一步都可以表示为第（i-1）步的结果+i=第i步的结果.
为了方便、有效地表示上述过程，我们用一个累加变量S来表示第一步的计算结果，即把S+i的结果仍记为S，从而把第i步表示为S=S+i，
其中S的初始值为0，i依次取1，2，…，100，由于i同时记录了循环的次数，所以也称为计数变量.解决这一问题的算法是：
第一步，令i=1，S=0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.
第三步，S=S+i.
第四步，i=i+1，返回第二步.
程序框图如右：
（1）（2）
点评：在数学计算中，i=i+1不成立，S=S+i只有在i=0时才能成立．在计算机程序中，它们被赋予了其他的功能，不再是数学中的“相等”关系，而是赋值关系．变量i用来作计数器，i=i+1的含义是：将变量i的值加1，然后把计算结果再存贮到变量i中，即计数器i在原值的基础上又增加了1．变量S作为累加器，来计算所求数据之和．如累加器的初值为0，当第一个数据送到变量i中时，累加的动作为S=S+i，即把S的值与变量i的值相加，结果再送到累加器S中，如此循环，则可实现数的累加求和．
变式训练
已知有一列数，设计框图实现求该列数前20项的和．
练习1：设计框图实现1+3+5+7的算法．
练习2：高中某班一共有40名学生，设计算法流程图，统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的人数．
课堂小结
（1）熟练掌握三种基本逻辑结构的特点及功能.
（2）能用循环结构画出求和等实际问题的程序框图，进一步理解学习算法的意义.
学习目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
教学过程
导入新课
前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图，我们开始学习算法语句.
提出问题
（1）指出赋值语句的格式、功能、
（2）要求指出输入语句的格式、功能、要求.
（3）指出输出语句的格式、功能、要求.
讨论结果：
(1) 赋值语句的一般格式：________________.
赋值语句中的“______”称作赋值号.
功能：将表达式所代表的值赋给变量.
要求：
1°赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.如：2=x是错误的.
2°赋值号的左右两边不能对换.赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量.如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的，如x=5是对的，5=x是错的，A+B=C是错的，C=A+B是对的.
3°不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等），如y=x2－1=(x－1)(x+1)，这是实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值.
(2) 输入语句的格式：_______________
功能：实现算法的输入变量信息（数值或字符）的功能.
要求：
1°输入语句要求输入的值是具体的常量.
2°提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开.
3°一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔.
形式如：INPUT(“a=，b=，c=，”；a，b，c);
(3) 输出语句的一般格式：_____________
功能：实现算法输出信息（表达式）的功能.
要求：
1°表达式是指算法和程序要求输出的信息.
2°提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开.
3°如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔.
(4) 指出三种语句与框图的对应关系如下图.
应用示例(阅读及补全)
例1 给一个变量重复赋值.
解：程序：
A=10
A=A+15
PRINT A
END
点评：给一个变量重复赋值，变量只保存最后一次赋值，比如此程序的输出值是25.
例2 编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
算法分析：
先写出解决本例的算法步骤：
第一步，_____________________________________________________
第二步，____________________________.
第三步，输出__________________________.
程序框图如下：
这个算法可以写成下列程序.
程序：
例3 变换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值.
解：程序：
知能训练
请写出下面运算输出的结果.
（1）a=5
b=3
c=(a+b)/2
d=c*c
PRINT“d=”;d
(2)a=1
b=2
c=a+b
b=a+c-b
PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c
(3)a=10
b=20
c=30
a=b
b=c
c=a
PRINT “a=,b=,c=” ;a,b,c
课堂小结
（1）输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法.
（2）用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句.
教学目标：
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会条件语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
教学重点：条件语句的基本用法.
教学难点：算法语句的写法.
提出问题
1．回忆程序框图中的条件结构.
2．指出条件语句的格式及功能.
3．揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系.
讨论结果：
1.一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件分支结构就是处理这种过程的结构.处理条件分支逻辑结构的的算法语句就叫条件语句
2.条件语句的一般格式
1°包含一个“分支”的条件语句
（1）对应的条件语句为：
if 表达式
语句序列1；
end
（2）语句功能：如果表达式结果为真，则执行语句序列1；如果表达式结果为假时，则跳过语句序列1
2°包含两个“分支”的条件语句
（1）对应的条件语句为：
if 表达式
语句序列1；
else
语句序列2；
end
（2）语句功能：首先对if后的条件进行判断如果表达式结果为真，则执行语句序列1；当表达式结果为假时，则执行else后面的语句序列2
小结:
1．条件语句是一个语句，if，else都是语句的一部分
2．条件语句必须以if语句开始，以end语句结束，一个if语句必须和一个end语句对应
3．如果我们的程序只需对条件为真时作出判断，不需要条件为假的情况，则条件语句省略else分句，格式由if—else语句变为if语句
3.分支嵌套:分支嵌套是指在分支结构的某一部分中又包含分支结构
对应的条件语句为：
if 条件1
语句序列1；
else
if条件2
语句序列2；
else
语句序列3；
end
…
end
应用示例
例1 编写一个程序，求实数x的绝对值.
点评：通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图，程序框图可以转化为算法语句.本题揭示了它们之间的内在联系，只要理解了程序框图与算法语句的对应关系，把程序框图转化为算法语句就很容易了.
例2 编写程序，输出两个不相等的实数a、b的最大值.
例3 高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为y=试编写程序输入x的值，输出y的值.
课堂小结
条件语句的基本用法.
学习目标
1．理解学习基本算法语句的意义.
2．学会循环语句的基本用法.
3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法.
重点难点
重点：循环语句的基本用法.
难点：循环语句的写法.
学习过程
一、问题提出
两种条件语句的一般格式分别是什么？
二、导入新课
一位同学不小心违反了学校纪律，班主任令其写检查，他写完后交给班主任，班主任看后说：“认识不深刻，拿回去重写，直到认识深刻为止”.这位同学一想，这不是一个循环结构吗？可惜我还没学循环语句，不然可以写一个算法语句输入计算机了.同学们，今天我们开始学习循环语句.
三、新课
Scilab程序语言中提供了两种循环语句：for 循环和while 循环
for循环语句
for 循环语句的一般格式：
例1. 实现求1+2+3+…+1000=? 的算法
算法思想：可以采用重复计算，而且数字1、2、3、…、1000是有规律的一列数，逐渐循环递增，每次增幅为1.
解答：
在例1的程序中，如果我们将初值、步长、终值、循环体分别改变，情形又如何呢?
1. 将初值改变，如改为“i=100：1：1000”则该程序描述的算法实现什么功能？
2. 终值改变的情形类似.
如改为“i=1：1：100”则该程序描述的算法实现什么功能？
3.将步长改变，如改为“i=1：2：1000，则表示求和1+3+5+……+999；
如改为“i=1：3：1000”，则表示求和________________________________________________.
4.将循环体改变，如改变为“S=S+1/i”，则该程序描述的算法实现什么功能？
例2.画出计算 值的算法程序框图，并写出程序。
例3. 一球从100m高度落下，每次落地后反跳为原高度的一半，再落下。在第10次落地时，共经过多少路程？第10次下落多高？，写出程序
2、 while循环语句
While 循环语句的一般格式为：
例4:实现求1+2+3+…+1000=?算法（用另一种循环结构）
例5.写出平方值小于1000的最大整数的程序。
例6.用while循环语句编写一个程序，计算1×3×5×……×99.
课堂小结
“For循环”和“while循环”的区别？
四、知识巩固
1．循环语句中的步长( )
A．可以省略 B．不能省略C．只有步长为1时才可省略 D．以上全错
2．下列对while语句的说法不正确的是( )
A．当计算机遇到while语句时，先判断是否满足条件，如果符合条件，就执行循环体
B．当条件不符合时，将不执行循环体直接跳出循环
C．while语句的格式为：while—表达式—循环体—end
D．while语句的特点是“后测试”，即先执行循环体，然后判断是否满足条件
3．下列关于for循环的说法错误的是( )
A．在for循环中，循环表达式也称为循环体
B．在for循环中，步长为1，可以省略不写；若为其他值，则不可省略
C．理解for循环关键是理解为循环变量设定初值、步长、终值
D．在for循环中，“end”控制结束一次循环，开始一次新的循环
课后作业
1．下面程序的作用是( )
A．求1＋3＋…＋9＋11 B．求1＋2＋3＋…＋10
C．求1×3×5×…×11 D．求1×2×3×4×…×10
2．以下程序运行后的输出结果为( )
A．21 B．13 C．17 D．25
3．将求1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的程序补充完整：
三维目标
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
2．引导学生得出自己设计的算法程序.
3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
重点难点
教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.
教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
案例1 辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.
案例2更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
应用示例
例1 用辗转相除法求288与123的最大公约数
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数
点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．
拓展思考（选做）：
用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.
例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.
（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.
点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.
案例3割圆术
阅读教材28页-----30页
案例4 秦九韶算法
提出问题
（1）求多项式f(x)=4x3+3x2+2x+1当x=2时的值有哪些方法？比较它们的特点.
（2）什么是秦九韶算法？
（3）怎样评价一个算法的好坏？
讨论结果：
上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式：
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
=（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0
=（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0
=…
=（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0.
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v1=anx+an-1，
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2=v1x+an-2，
v3=v2x+an-3，
…
vn=vn-1x+a0，
这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.
上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.
应用示例
例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，
用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：
v0=5；
v1=5×5+2=27;
v2=27×5+3.5=138.5;
v3=138.5×5-2.6=689.9;
v4=689.9×5+1.7=3 451.2;
v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;
所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.
点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.
结论：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.
例2 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4+3x2－6x+7，求当x=2时的函数的值.
点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.
拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.
.小结：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.
学习目标
1. 结合具体的实际问题情景，理解随机抽样的必要性和重要性；
2. 掌握简单随机抽样和系统抽样；
3. 通过学习，增强学生的社会实践能力，培养学生解决问题的能力。
学习过程
一、课前准备
（预习教材49页~53页，找出疑惑之处）
二、新课导学
新知：
1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中____________地抽取n个个体作为___________（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体______________________，就把这种抽样方法叫做__________________.
2.一般地，抽签法就是把总体中的N个个体_________，把号码写在_________上，将号签放在一个容器中， ，每次从中抽取一个号签， n次就得到一个容量为n的样本。
3.利用 或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。
4.简单随机抽样的特点：
1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是
2）简单随机样本是从总体中逐个 抽取的
3）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为
提出问题：
1)抽签法有什么优点和缺点?
2)随机数表法有什么优点和缺点？
3)如何灵活运用这两种方法？
三、典型例题
例1.下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
(2)盒子中共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在进行操作时,从中任意抽出一个零件进行质量检查后吧它放回盒子里;
(3)某班45名同学,指定个子最高的5人参加某活动；
(4)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检测.
[变式训练1] 下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是 （ ）
A. 某电影有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了观
报告会结束以后听取观众的意见，要留下32名观众进行座谈
B. 从十台冰箱中抽取3台进行质量检验
C. 某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人.教
育部门为了解大家对学校机构改革的意见，要从中抽取容量为20的样本
D. 某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农
田 480 亩估计全乡农田平均产量
[变式训练2]一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第6列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是____________________．
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 64 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
四、巩固练习
1.为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）
A、总体是240 B、个体是每一个学生
C、样本是40名学生 D、样本容量是40
2.为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）
A、总体 B、个体是每一个学生 C、总体的一个样本 D、样本容量
3.用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是（ ）
B. C. D.
§2.1.2 系统抽样 撰稿教师：于丹
一、课前准备
（预习教材49页~ 53页，找出疑惑之处）
二、新课导学
一、新知：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体 ，然后按照 ，从每一部分抽取 ，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做 .
提出问题
1、当总体有什么特征时适合用系统抽样?
2、系统抽样的一般步骤是什么？
三、典型例题
例1．某单位在职职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取10%的工人进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本。
解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号；
第二步：从总体中用随机数表法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号（分别为000，001，002，， 619），并分成62段；
第三步：在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码；
第四步：将编号为的个体抽出，组成样本。
四、课堂练习
1、要从已编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,确定所选取的5枚导弹的编号可能是 ( )
A、5、10、15、20、25 B、3、13、23、33、43
C、1、2、3、4、5 D、2、4、8、16、22
2、人们打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体抽取一个13张的样本。问这种抽样方法是 （ ）
A．系统抽样 B．分层抽样
C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法
3、某营院有50排座位，每排30个座位，一次报告会后，留下所有座号为8的听众50人进行座谈。则采用这一抽样方法的是 （ ）
A．系统抽样 B．分层抽样
C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法
4、如果采用系统抽样，从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的概率为 ( )
A、B、C、D、
5、为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔为 ( )
A、40 B、30 C、20 D、12
6、了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除个体的数目是 ( )
A、2 B、3 C、4 D、5
7、5 0件产品编号为0到49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法虽抽样本的编号可以为 （ ）
A、5，10，15，20，25 B、5，13，21，29，37
C、8，22，23，1，20 D、0，10，20，30，40
8、对某商场做一简单统计：从某本50张的发票存根中随机抽取一张，如15号，然后按次序将65，115，165，……发票上的销售额作为一个样本，这种抽取方法为 （ ）
A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、其他
9、次商品促销活动中，某人可得到4件不同的奖品，这些奖品要从40件不同的奖品中抽取得到，用系统抽样的方法确定此人的所得的奖品的编号的，可能为 ( )
A、4,10,16,22 B、2,12,22,32 C、3,12,21,40 D、8,20,32,40
10、在一个容量为1003的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中的每个个体被抽到的概率为 ( )
A、 B、 C、 D、
11、N个编号中，用系统抽样抽取一个容量为n的样本，抽样间距为 （ ）
A、B、C、D、
学习目标
1. 学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
2．恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计.
学习过程
一、课前准备
（预习教材58页~63页，找出疑惑之处）
二、新课导学
1、频率分布直方图：
（1）频率分布：是指一个样本数据在各个小范围内____________；一般用____________反映样本的频率分布.
（2）画频率分布直方图的一般步骤为：
（3）频率分布直方图的特征：
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；
②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,绘成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
③同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断.
（4）频率分布折线图：____________________________________________,就得到频率分布折线图.
（5）总体密度曲线：如果_________________不断增大，________________不断缩小，则______________________越来越接近总体的分布，它可以用______________________来描绘，这条_______________就叫做总体密度曲线。
2．茎叶图：
（6）茎叶图：当数据是____________时,用中间的数字表示__________，即第一个有效数字,两边的数字表示__________，即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.
（7）茎叶图的特征：
①用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的__________；二是茎叶图中的数据可以__________.
②茎叶图只便于表示__________有效数字的数据,只方便记录__________组的数据.
三、典型例题
例1.为了了解中学生的身体发育情况,对某中学17岁的60名女生的身高进行了测量,结果如下：（单位：cm）
167 154 159 166 169 159 156 166 162 158
159 156 166 160 164 160 157 151 157 161
158 158 153 158 164 158 163 158 153 157
162 162 159 154 165 166 157 151 146 151
158 160 165 158 163 163 162 161 154 165
162 162 159 157 159 149 164 168 159 153
列出样本的频率分布表；绘出频率分布直方图.
例2.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如下图),图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.
( 1 )第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
例3. 甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下,试比较这两位运动员的得分水平．
甲：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;
乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
四、巩固练习
1.下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据下图可知 （ ）
A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为0分
2.有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下：(12.5,15.5］,3;(15.5,?18. 5?］,8;(18.5,21.5］,9;(21.5,24.5］,11;(24.5,27.5］,10;(27.5,30.5］,4.由此估计,不大于27.5的数据约为总体的 （ ）
A.91% B.92% C.95% D.30%
3.一个容量为20的样本数据,数据的分组及各组的频数如下：
（10,20）,2；（20,30）,3；（30,40）,4；（40,50）,5；（50,60）,4；（60,70）,2.
则样本在区间（10,50）上的频率为 （ ）
A.0.5 B.0.7 C.0.25 D.0.05
4.一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如下图）,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭____________万盒．
快餐公司个数情况图 快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图
一、知识点归纳整理：
1. 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置 的一个数据或中间两数的平均数叫这组数据的中位数
2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数 (可能有多个或没有众数)
3.平均数：n个数x1,x2,…,xn,
= ( x1+x2+…+xn)
叫n个数的算术平均数,简称平均数
4. 方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征？
答： 方差和标准差分别用S 2和s表示．用 表示一组数据的平均数，x1、x2、… xn表示n个数据，则这组数据
方差的计算公式是
标准差的计算公式是
方差和标准差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度．
方差反映数据波动大小,方差越大,则波动越大, 越不稳定
标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数
练习1：这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 方差 标准差
1、2、3、4、5 3 2
11、12、13、14、15 13 2
3、6、9、12、15 9 18
撰稿人：赵志岩
练习2：请你用上面发现的结论来解决以下的问题。
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差Y, 标准差Z, 则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3平均数为---------，方差为-------，
标准差为----------。
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3平均数为 ----------，方差为--------，
标准差为----------。
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------，
标准差为----------。
④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 ----------，
方差为---------，标准差为----------。
二、典例分析：
例1 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):
甲
25.46 25.32 25.45 25.39 25.36
25.34 25.42 25.45 25.38 25.42
25.39 25.43 25.39 25.40 25.44
25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙
25.40 25.43 25.44 25.48 25.48
25.47 25.49 25.49 25.36 25.34
25.33 25.43 25.43 25.32 25.47
25.31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?
解：用计算器计算可得
≈25.401，≈25.406;
s甲≈0.037,s乙≈0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm);从样本标准差看,由于s甲变式训练
某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.
请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）.
解：运用计算器计算得：
=79.40,
(12+30+18+24+12)÷100=96%,
所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.
例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为
［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.
乙品种的样本平均数也为10,样本方差为
［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.
因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
三、知能训练
（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.
（2）若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差是____________.
(3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
拓展提升
某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.
解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则
这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.
课堂小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.
用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.
2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确.
提出问题
（1）粮食产量与施肥量有关系吗？
（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？
（3）两个变量间的相关关系的判断.
讨论结果：
（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.
（2）相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系, 例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性的变量间的相关关系, 例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.
（3）两个变量间的相关关系的判断：①散点图: (散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图)
②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系. (a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系)
③正相关、负相关:正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）
应用示例
例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与体重之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
知能训练
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积（m2）
115
110
80
135
105
销售价格（万元）
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）指出是正相关还是负相关;
（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？
解：（1）数据对应的散点图如下图所示：
§2.3.2两个变量的线性相关
提出问题
（1）什么是线性相关？
（2）什么叫做回归直线？
（3）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？
讨论结果
（1）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.
（2）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程)
（3）实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式
其中，b是回归系数，a是截距.
推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，且所求回归方程是=bx+a,,其中a、b是待定参数.当变量x取xi(i=1,2,…,n)时可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的yi之间的偏差是yi-=yi-(bxi+a) (i=1,2,…,n).
这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（yi-）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 = ②
来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.
这样，问题就归结为:当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）.
应用示例
例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线的方程.
解：(1)散点图如下图．
(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:
序号
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4 950
6 900
9 125
12 150
15 575
18 000
20 475
故可得到
b=≈4.75,
a=399.3-4.75×30≈257.
从而得回归直线方程是=4.75x+257.
例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,测得数据如下：
零件个数x（个）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y（分）
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
请判断y与x是否具有线性相关关系,如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程．
解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.
直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：
=38 500,=87 777,=55 950.
b=≈0.668.
a==91.7-0.668×55≈54.96.
因此,所求线性回归方程为=bx+a=0.668x+54.96.
点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a,b的计算公式,算出a,b．求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算xi与yi的积,求∑xiyi；计算∑xi2；将结果代入公式求b；用a=求a；写出回归直线方程．
知能训练
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C.正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ）
A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75x
C.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x
3．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元）,有如下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
设y对x呈线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程=bx+a的回归系数a,b；
（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？
课堂小结
1．求线性回归方程的步骤：
（1）计算平均数；
（2）计算xi与yi的积，求∑xiyi;
（3）计算∑xi2,∑yi2，
(4)将上述有关结果代入公式
求b,a,写出回归直线方程．
2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
学习过程
一、课前准备
（预习教材95页~ 97页，找出疑惑之处）
二、新课导学
1、一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n 时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动的幅度 ，这时就把这个 叫做事件A的概率，记做 。
2、从概率的定义中，我们可以看出随机事件A的概率满足 。这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足 ，所以 ≤≤ ，当A是必然事件时， ，当A是不可能事件时 。
3、概率和频率的关系：概率是可以通过 来测量的，或者说频率是概率的一个 ，概率反映了一个事件发生的可能性的大小
注意 ⑴概率反映了事件发生的可能性。可以看做是频率在理论上的期望值，也可以看做随机事件中基本事件的个数与基本事件空间中基本事件个数之比。
⑵不可能时间和必然事件可以看做是随机时间的两个极端情况，概率分别为0和_____.
三、※ 典型例题
例1、“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A、买1000张彩票就一定能中奖 B、买1000张彩票中一次奖
C、买1000张彩票，一次奖也不中。 D、买1张彩票，中奖的可能性是。
例2.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投栏的结果如下
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少
四、随堂练习
1、一对夫妇第一胎生的是女孩，则第二胎生男孩的概率是 （ ）
A．0 B．0.5 C．0.25 D．1
2、某气象局预报说，明天本地降雪概率为90%，则下列解释中正确的是 （ ）
A．明天本地有90%的区域下雪，10%的区域不下雪
B．明天下雪的可能性是90%
C．明天本地全天有90%的时间下雪，10%的时间不下雪
D．明天本地一定下雪
3、某位同学在做四选一的12道选择题时，他全不会做，只好在各题中随机选一个答案，若每道题选对得5分，选错得0分，你认为他大约得多少分 （ ）
A．30分 B．0分 C．15分 D．20分
4、下列说法中正确的是（ ）
A、一个篮球运动员三分球的命中率是10%，则当他投10个三分球时，必然要投进一个
B、一个篮球运动员三分球的命中率是10%，则当他投9球均未进时，第10个球一定进
C、掷一枚硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率一定大于0.5
D、掷一枚硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率仍然等于0.5
5、下列说法不正确的是 （ ）
A、必然事件的概率为1。 B、“直线过定点”是必然事件。
C、某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8。
D、先后抛掷两枚均匀硬币，两次都出现反面的概率是。
6、将一枚硬币掷2次，恰好出现一次正面的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、1
7、下列说法中正确的是（ ）
A、随机事件的概率为 B、必然事件的概率为1
C、不可能事件没有概率 D、频率等于概率
学习过程
一、课前准备
（预习教材98页~99页，找出疑惑之处）
二、新课导学
1．在10个杯子里，有5个一等品， 3个二等品，2个三等品。现在我们从中任取一个。
设：“取到一等品”记为事件A
“取到二等品”记为事件B
“取到三等品”记为事件C
分析：如果事件A发生，事件B、C就不发生，引出概念。
概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件。（如上述中的A与B、B与C、A与C）
一般的：如果事件A1、A2……An中，任意两个都是互斥事件，那么说A1、A2……An彼此互斥。
例1某人射击了两次。问：两弹都击中目标与两弹都未击中，两弹都未击中与至少有一个弹击中，这两对是互斥事件吗？
例2：P106，例1
2．再回想到第一个例子：P（A）= P（B）= P（C）=
问：如果取到一等品或二等品的概率呢？
答：P（A+B）==+=P（A）+P（B）
得到下述公式：
一般的，如果n个事件A1、A2、……An彼此互斥，那么事件“A1+A2+……+An”发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率之和，即P（A1+A2+……+An）=P（A1）+P（A2）+……+P（An）
3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件。
对立事件性质：P（A）+P（）=1或P（A）=1-P（）
例3：袋中有20个球，其中有17个红球，3个黄球，从中任取3个。求，至少有一个黄球的概率？
析：在上述各问题都理解后，这道题就可以多渠道来解。
解：记“至少有一个黄球”为事件A
记“恰好有一个黄球”为事件A1
记“恰好有二个黄球”为事件A2
记“恰好有三个黄球”为事件A3
法1
事件A1、A2、A3彼此互斥
P（A）=P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=
法2：（利用对立事件的概率关系）
对立事件是“没有黄球”
故P（A）=1-P（A0）=
小结：运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。
在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
随堂练习
1.一个人打靶时连续射击两次 ，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
2. 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )
A.对立事件B. 互斥但不对立事件C.必然事件 D. 不可能事件
3.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．是必然事件B.是必然事件 C.一定互斥 D.一定不互斥
4.若，则互斥事件A与B的关系是（ ）
A.A、B没有关系 B.A、B是对立事件 C.A、B不是对立事件 D.以上都不对
5.在第3，6，16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需要在5分钟之内乘上车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内乘上所需车的概率是（ ）
A、0.20 B、0.60 C、0.80 D、0.12。
6.甲乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，同甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）
A、60% B、30% C、10% D、50%
7.把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四个人，每人得到1张扑克牌，事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是（ ）
A、对立事件 B、不可能事件C、互斥但非对立事件 D、以上都不对
8.现在有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为
9.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
10.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为
11.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断
下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品； （2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品
12抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，
已知P（A）=，P（B）=， 求出现奇数点或2点的概率。
13. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
14.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，
0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率。
15.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率。
16.已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
学习目标
1.正确理解古典概型的两大特点；
2．归纳总结并掌握古典概型的概率计算公式。
学习过程
一、课前准备
（预习教材102页~106页，找出疑惑之处）
掷一枚质地均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上.这个试验有几个基本事件？每个基本事件发生的可能性是否相等？
一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,…,10,从中任取一球,观察其标号.这个试验有几个基本事件？每个基本事件发生的可能性是否相等？
思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？
二、新课导学
1.古典概型：
①
②
问题1：向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？
问题2：某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？
2．古典概型中概率的计算：
引例：抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率
根据上述模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
P（A）=.
在使用古典概型的概率公式时,应该注意：
①要判断该概率模型是不是古典概型；
②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
3.概率的一般加法公式：（选学）
（1）互斥事件的概率加法公式：；
（2）引例：抛掷两枚骰子，记事件A={第一枚点数大于3}，事件B={第二枚点数大于3}，求事件C={至少有一枚点数大于3}发生的概率
根据以上引例可归纳出概率的一般加法公式为：
。
三、例题讲解：
例1: 同时掷两个骰子,计算：
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是5的概率是多少?
例2：假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?
小结：古典概型解题步骤:
（1）阅读题目,搜集信息；
（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；
（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
（4）用公式求出概率并下结论.
例3：某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?
例4：甲乙两门高射炮同时向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.8，甲、乙同时击中敌机的概率为0.48，求敌机被击中的概率.
四、课堂检测：
1.12个同类产品中,有10个正品,任意抽取3个产品概率是1的事件是?????????? (???? )
A. 3个都是正品??????????? B.至少有一个是次品
C.3个都是次品???????????? D.至少有一个是正品
? 2.下列是古典概型的是( )
A任意抛掷2枚骰子,所得点数之和作为基本事件时
B为求任意的一个正整数平方的个位数字是一的概率,将取出的正整数作为基本事件时
C从甲地到乙地有N条路线,求某人正好选中最短路线的概率
D抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
3.从甲乙丙三名同学中任意选一名当代表,甲被选中的概率为（ ）
A.1/2 B 1/3 C 2/3 D 1
4.100张卡片(标号从1到100)从中任取1张,取到的卡号是7的倍数的概率为( )
A 7/50 B 7/100 C7/48 D 15/100
5.荷花池中有一只青蛙在成”品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的2倍.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是( )
A 1/3 B 2/9 C 4/9 D 8/27
6.从一副扑克牌(54张)中抽一张牌，抽到牌“K”的概率是________。
7.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是________。
8.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为________。
9.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为________。
点数之和大于9的概率为________。
10.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是________。
11.先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为________。
12．一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两刀，可得27个小正方体，从中任取一个它恰有一个面涂有红色的概率是________。
13.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
14．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。
15．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色； （2）三次颜色全相同；
（3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。
16．已知集合，；
（1）求为一次函数的概率； （2）求为二次函数的概率。
17．连续掷两次骰子，以先后得到的点数为点的坐标，设圆的方程为；
（1）求点在圆上的概率； （2）求点在圆外的概率。
§3.3.1 几何概型
教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式，学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.
2.使学生养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
撰稿教师：李丽
三、知能训练：
1.与长度有关的几何概型
例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
2.与面积有关的几何概型
例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
3.与体积有关的几何概型
例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
4.与角度有关的几何概型
例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目
3.3.2 随机数的含义与应用------阅读教材110---114.
教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：
P（A）=,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.
2.本节课学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?
2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
撰稿教师：赵志岩
结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每
种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为.
(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.
第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.
在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的,
于是事件A发生的概率P(A)=.
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)==0.01.
(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.
(4)几何概型.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
(5)几何概型的概率公式：
P（A）=.
(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.
三、知能训练：
1.与长度有关的几何概型
例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
2.与面积有关的几何概型
例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
3.与体积有关的几何概型
例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
4.与角度有关的几何概型
例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.
注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.
3.3.2 随机数的含义与应用------阅读教材110---114.
