高中同步测试卷(一)
单元检测 正弦定理及其应用
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝75°，c＝3，则a＝( )
A．2 B．2
C．2 D．3
2．在△ABC中，已知a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B.
C．－ D.
3．已知△ABC，不解三角形，下列判断中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 D．b＝9，c＝10，B＝60°，无解
4．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若asin A＝bsin B，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝30°，则B的度数为( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于( )
A．－ B.
C．－1 D．1
8．在△ABC中，a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)的值为( )
A．1 B．0
C. D．π
9．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝m∶(m＋1)∶2m，则m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
10．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．4sin＋3 B．4sin＋3
C．6sin＋3 D．6sin＋3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝________．
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________．
13．在△ABC中，若tan A＝，C＝120°，BC＝2，则AB＝________．
14．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，则三角形的形状为________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在△ABC中，已知c＝，b＝，B＝45°，解此三角形．
16．(本小题满分10分)在三角形ABC中，若C＝3B，求的取值范围．
17.(本小题满分10分)在△ABC中，已知D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD.
18．(本小题满分10分)在△ABC中，已知tan A＝，tan B＝，且最长边为1.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC最短边的长．
附加题
19．(本小题满分10分)在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
20．(本小题满分10分)在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围．
参考答案与解析
1．[导学号99450000] 【解析】选B.由三角形内角和定理可知C＝60°.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴a＝＝2.
2．[导学号99450001] 【解析】选D.由正弦定理得sin B＝·sin A＝×sin 60°＝.
又∵a＞b，故A＞B，∴cos B＝ ＝.
3．[导学号99450002] 【解析】选B.对于A，bsin A＝a＝7，有一解；对于B，a＞b，有一解；对于C，bsin A＝＞a＝6，无解；对于D，csin B＜b＜c，有两解．故选B.
4．[导学号99450003] 【解析】选A.由asin A＝bsin B及正弦定理得：a×＝b×?a2＝b2?a＝b，∴三角形ABC为等腰三角形，故选A.
5．[导学号99450004] 【解析】选A.由正弦定理得＝，
于是sin A∶sin B＝a∶b＝5∶3.
6．[导学号99450005] 【解析】选D.由正弦定理得sin B＝＝，故B＝60°或120°.
7．[导学号99450006] 【解析】选D.∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin Bsin B，即sin Acos A－sin2B＝0，∴sin Acos A－(1－cos2B)＝0，
∴sin Acos A＋cos2B＝1.
8．[导学号99450007] 【解析】选B.根据正弦定理，原式＝2Rsin A(sin B－sin C)＋2Rsin B(sin C－sin A)＋2Rsin C(sin A－sin B)＝0.
9．[导学号99450008] 【解析】选B.根据正弦定理得：a∶b∶c＝m∶(m＋1)∶2m，令a＝mk，b＝(m＋1)k，c＝2mk(k＞0)，则：
解得m＞，故选B.
10．[导学号99450009] 【解析】选C.在△ABC中，＝＝＝2，
∴AC＝2sin B，AB＝2sin C＝2sin，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝2sin＋2sin B＋3
＝2＋3
＝6sin＋3，故选C.
11．[导学号99450010] 【解析】由正弦定理得a＝＝＝.
【答案】
12．[导学号99450011] 【解析】在△ABC中，A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝.又sin A＝＝，∴A＝或(舍去)，∴C＝，sin C＝1.
【答案】1
13．[导学号99450012] 【解析】∵tan A＝＝，sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝.
由正弦定理，得＝，∴AB＝＝5.
【答案】5
14．[导学号99450013] 【解析】由正弦定理，设＝＝＝k(k≠0)，得b＝ksin B，c＝ksin C，已知题中的等式可化为k2sin2Bsin2C＋k2sin2Csin2B＝2k2·sin Bsin Ccos Bcos C.
∵sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C，即cos(B＋C)＝0.
又0＜B＋C＜π，∴B＋C＝，
∴A＝.∴△ABC为直角三角形．
【答案】直角三角形
15．[导学号99450014] 【解】由正弦定理得
sin C＝＝＝.
又∵0°＜C＜180°，且b＜c，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
a＝＝＝1＋；
当C＝120°时，A＝180°－(45°＋120°)＝15°，
a＝＝＝1－.
16．[导学号99450015] 【解】＝＝
＝
＝3－4sin2B.
又∵C＝3B，∴A＝π－4B＞0，∴0＜B＜，
∴0＜sin2B＜，∴1＜3－4sin2B＜3，
即1＜＜3.
故的取值范围是(1，3)．
17．[导学号99450016] 【解】由cos∠ADC＝＞0，知B＜.
又由已知可得cos B＝，sin∠ADC＝.
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B
＝×－×＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝25.
18．[导学号99450017] 【解】(1)tan C＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)
＝－＝－1，∴C＝.
(2)tan A＝＞＝tan B，
C＝，∴C为最大角，B为最小角．
又tan B＝，∴sin B＝.
由正弦定理得b＝＝.
19．[导学号99450018] 【解】由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
得a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]，
∴a2·cos Asin B＝b2sin Acos B.
由正弦定理，得sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B.
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴sin A＞0，sin B＞0，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
20．[导学号99450019] 【解】设R为△ABC外接圆的半径．
∵a＝2bsin A，∴2Rsin A＝4Rsin Bsin A，∴sin B＝.
∵B为锐角，∴B＝.
令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin[π－(B＋A)]
＝cos A＋sin
＝cos A＋sin cos A＋cos sin A
＝cos A＋sin A＝sin.
由锐角△ABC知，－B＜A＜，∴＜A＜.
∵＜A＋＜，∴＜sin＜，
∴＜sin＜，即＜y＜.
∴cos A＋sin C的取值范围是.
高中同步测试卷(七)
章末检测 数 列
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3 B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2 D．它的首项是3，公差是－2
2．函数y＝的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )
A. B.
C. D.
3．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等于( )
A．45 B．50
C．75 D．60
4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是( )
A．13 B．－76
C．46 D．76
5．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8 100元的计算机，则15年后，价格为( )
A．2 200元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
6．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为( )
A．10 B．11
C．10或11 D．12
7．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
8．已知等差数列前n项和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是( )
A．3 B.
C. D.
10．在数列{xn}中，＝＋(n≥2)，且x2＝，x4＝，则x10等于( )
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有a3＋a99＝________．
12．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________．
13．在公差不为零的等差数列{an}中，a3＋a11＝a，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________．
14．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝，a3＝，则＋＋＋＋＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(2)令bn＝，证明：数列{bn}为等差数列．
16．(本小题满分10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
17.(本小题满分10分)设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1－Sn，问是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，说明理由．
18．(本小题满分10分)已知数列{an}，Sn是其前n项和，且满足3an＝2Sn＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋}为等比数列；
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn的表达式．
附加题
19．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝log2x－x＋1(x∈[2，＋∞))，数列{an}满足a1＝2，＝2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)．
20．(本小题满分10分)已知数列{xn}，x1＝2，且2xn＋1＋xn·xn＋1－4xn＝3.
(1)设bn＝xn－3，试用bn表示bn＋1，并证明为等比数列；
(2)设数列{xn}的前n项和为Sn，证明：3n－＜Sn＜3n.
参考答案与解析
1．[导学号99450120] 【解析】选A.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则，解得.
2．[导学号99450121] 【解析】选D.函数等价于(x－5)2＋y2＝9，y≥0，表示圆心为(5，0)，半径为3的上半圆，圆上的点到原点的最小距离为2，最大距离为8，若存在三点到原点的距离构成等比数列，则最大的公比q应满足8＝2q2，即q2＝4，q＝2，最小的公比q应满足2＝8q2，即q2＝，q＝，所以公比q的取值范围为≤q≤2.
3．[导学号99450122] 【解析】选B.由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.
∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.
4．[导学号99450123] 【解析】选B.∵S15＝1－5＋9－13＋…＋57＝1＋4×7＝29，
S22＝1－5＋9－13＋…＋81－85＝(－4)×11＝－44，
S31＝1－5＋9－13＋…＋121＝1＋4×15＝61，∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．[导学号99450124] 【解析】选C.价格降了3次，则价格为8 100×＝2 400.
6．[导学号99450125] 【解析】选C.令an≥0得n2－10n－11≤0，∴1≤n≤11.
即1≤n≤10时，an＞0，当n≥12时，an≤0，而a11＝0，
故前10项和等于前11项和，它们都最大．
7．[导学号99450126] 【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
则由a2·a3＝2a1知a1q3＝2，即a4＝2.
又a4＋2a7＝，∴a7＝.
由此可解得a1＝16，q＝.
故S5＝＝＝31.
8．[导学号99450127] 【解析】选C.??，∴绝对值最小的项为第7项．
9．[导学号99450128] 【解析】选C.∵由已知得a1a9＝a，
即a1(a1＋8d)＝(a1＋2d)2，∴a1d＝d2，d≠0.
因此a1＝d.
于是an＝nd.
故＝＝.
10．[导学号99450129] 【解析】选A.由已知得数列是等差数列，设该数列的公差为d，
∴－＝2d＝1，∴d＝，∴＝＋(10－2)×d＝，
∴x10＝.
11．[导学号99450130] 【解析】由题意，得a1＋a2＋…＋a101＝×101＝0，所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.
【答案】0
12．[导学号99450131] 【解析】由题意，知数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中，四项－24，36，－54，81成等比数列，公比为q＝－，则6q＝－9.
【答案】－9
13．[导学号99450132] 【解析】由已知得a＝a3＋a11＝2a7，解得a7＝0或a7＝2.又{bn}是等比数列且a7＝b7，所以b7＝a7＝2，从而b6b8＝b＝4.
【答案】4
14．[导学号99450133] 【解析】设{an}的公比为q，由已知得a3(＋＋1＋q＋q2)＝，所以＋＋1＋q＋q2＝，所以＋＋＋＋＝(q2＋q＋1＋＋)＝31.
【答案】31
15．[导学号99450134] 【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，
则12＝2＋2d，所以d＝5，
故数列{an}的通项公式为an＝5n－3，
前n项和为Sn＝.
(2)证明：因为bn＝＝5n－1，所以bn＋1－bn＝5，
所以数列{bn}是公差为5的等差数列．
16．[导学号99450135] 【解】(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
17．[导学号99450136] 【解】(1)由题意可得2Sn＝an＋1－a1，∴当n≥2时，有
两式相减得an＋1＝3an(n≥2)．
又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，∴{an}是以首项为a1，公比q＝3的等比数列．∴an＝a1·3n－1.
(2)∵Sn＝＝－a1＋a1·3n，
∴bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.
要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋a1＝0，
即a1＝－2，此时bn＝3n.∴{bn}是首项为3，公比为q＝3的等比数列．
∴{bn}能为等比数列，此时a1＝－2.
18．[导学号99450137] 【解】(1)证明：n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1，∴a1＝1.
当n≥2时，由3an＝2Sn＋n，①
得3an－1＝2Sn－1＋n－1，②
①－②得3an－3an－1＝2Sn＋n－2Sn－1－n＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1，
即an＝3an－1＋1，∴an＋＝3an－1＋1＋＝3，
又a1＋＝≠0，∴是首项为，公比为3的等比数列．
(2)由(1)得an＋＝·3n－1，
即an＝·3n－1－，将其代入①得
Sn＝·3n－(2n＋3)，∴Tn＝S1＋S2＋…＋Sn
＝(3＋32＋33＋…＋3n)－(5＋7＋…＋2n＋3)
＝·－＝(3n－1)－.
19．[导学号99450138] 【解】(1)∵＝2，a1＝2，∴{an}是公比为2，首项为2的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n(n＝1时，此式亦满足)．
(2)由(1)知f(an)＝log22n－2n＋1＝(n＋1)－2n，
∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)
＝[2＋3＋…＋(n＋1)]－(2＋22＋…＋2n)
＝－
＝－2n＋1＋2＝n2＋n＋2－2n＋1.
20．[导学号99450139] 【解】(1)xn＋1＝?xn＋1－3＝－3＝，
所以，bn＋1＝?＝＋1?＋
＝5.
所以{＋}为等比数列．
(2)证明：令Cn＝＋，C1＝－，
所以Cn＝－·5n－1.
＝－·5n－1－?xn＝3－，
所以，Sn＝x1＋x2＋…＋xn?Sn＞3n－＋＞3n－.又因为xn＝3－＜3?Sn＜3n，
综上可得，3n－＜Sn＜3n.
高中同步测试卷(三)
单元检测 应用举例
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
2．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C.或 D.或
3．在一座20 m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )
A．20 m B．20(1＋) m
C．10(＋) m D．20(＋) m
4．在△ABC中，sin C＝，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，A＝60°，b＝16，S△ABC＝220，则c等于( )
A．10 B．75
C．55 D．49
6. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(30＋30) m B．(30＋15) m
C．(15＋30) m D．(15＋3) m
7. 解放军某部举行实弹演习，其中炮兵阵地位于地面A处，两观测点分别位于地面C处和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，则炮兵阵地到目标B的距离是( )
A．5 000m B．6 000 m
C．1 000 m D．1 000 m
8．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile C处的乙船，乙船立即沿直线CB前往救援，则sin∠ACB＝( )
A. B.
C. D.
9．有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，行人仰望气球中心的仰角为30°，测得气球的视角为2°，若θ的弧度数很小时，可取近似值sin θ≈θ，则估计气球高度大约为( )
A．70 m B．76 m
C．86 m D．118 m
10．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A. B．5
C．6 D．7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
12. 如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
13．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20分钟后测得海盗船距观测站20 n mile，再过________分钟，海盗船到达商船．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3，则△ABC的面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线d海里以内的海域，设B和C是我国设在海边的两个观测站，B与C之间的距离为m海里，假设海岸线是过B、C的直线．一外国船只在点A处，现测得∠ABC＝α，∠ACB＝β，试求α，β满足什么关系时，应向未经特许的外国船只发出警告？
16．(本小题满分10分)已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
17.(本小题满分10分) 某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是多少米？
18．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
附加题
19．(本小题满分10分)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机．
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．
20．(本小题满分10分)半圆O的直径长为2，点A为直径延长线上一点，OA＝2，点B为半圆上一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形CAOB的面积最大，并求最大值．
参考答案与解析
1．[导学号99450040] 【解析】选D.
如图，A在B的北偏东55°，则B在A的南偏西55°.
2．[导学号99450041] 【解析】选D.由余弦定理得，
1＝3＋BC2－2××BC×cos 30°，
即BC2－3BC＋2＝0，
∴BC＝2或BC＝1，
∴S△ABC＝××2×sin 30°＝或S△ABC＝××1×sin 30°＝.
3．[导学号99450042]
【解析】选B.如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线．依题意，AB＝20，∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，∴MD＝20，AM＝20，CM＝20，CD＝20(1＋) m.
4．[导学号99450043] 【解析】选C.∵sin C＝，
∴由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b.
再由余弦定理得c×＝a＋b，
∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0.∴c2＝a2＋b2.∴△ABC是直角三角形．
5．[导学号99450044] 【解析】选C.由面积公式得×b×csin A＝220，
即×16×c×＝220，
所以c＝55.
6．[导学号99450045] 【解析】选A.由正弦定理可得＝，
PB＝＝，h＝PBsin 45°＝(30＋30) m.
7．[导学号99450046] 【解析】选C.在△ACD中，易求得∠CAD＝60°.又∵CD＝6 000，∠ACD＝45°，由正弦定理有：AD＝＝CD；同理，在△BCD中，易求得∠CBD＝135°.
由正弦定理得，BD＝＝CD；又在△ABD中，易知∠ADB＝90°，∴AB＝＝ CD
＝CD＝1 000(m)．
8．[导学号99450047] 【解析】选A.在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC＝20，由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
9．[导学号99450048] 【解析】选C.
如图．在Rt△ADC中，
AC＝＝≈×180.
则BC＝AC＝≈86(m)．故选C.
10．[导学号99450049] 【解析】选B.连接BD(图略)，在△BCD中，由余弦定理可得
BD2＝22＋22－2×2×2·cos 120°＝12，
即BD＝2.∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°.
∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．
故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD
＝×2×2×sin 120°＋×4×2＝＋4＝5.
11．[导学号99450050] 【解析】如图，根据正弦定理＝，故MN＝34，所以船的航行速度为＝.
【答案】
12．[导学号99450051]
【解析】如图，∠SAB＝45°－30°＝15°.
又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝30°，AS＝1 000.由正弦定理可知＝，∴BS＝2 000sin 15°.∴BD＝BS·sin 75°＝2 000sin 15°cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC＝1 000sin 30°＝500.从而BC＝DC＋DB＝1 000米．
【答案】1 000
13．[导学号99450052]
【解析】如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝
＝＝，∴∠ADC＝60°.
在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°.∴BD＝AD＝20，×60＝(分钟)．
【答案】
14．[导学号99450053] 【解析】因为cos A＝2cos2－1＝，所以sin A＝.又·＝3，则bccos A＝3，所以bc＝5.因此，△ABC的面积S＝bcsin A＝2.
【答案】2
15．[导学号99450054]
【解】如图，作AD⊥BC，垂足为D，在△ABC中，∠BAC＝180°－(α＋β)，∴sin∠BAC＝sin(α＋β)．
由正弦定理，得＝＝.
故有AB＝，AC＝.
由于S△ABC＝BC·AD＝m·AD，
且S△ABC＝AB·AC·sin(α＋β)，
∴···sin(α＋β)＝m·AD.
从而有AD＝.因此，当AD≤d，
即≤时，应向外国船只发出警告．
16．[导学号99450055] 【解】如图，
连接AC.
∵B＋D＝180°，∴sin B＝sin D，
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BCsin B＋
AD·DCsin D＝14sin B.
由余弦定理有，
AB2＋BC2－2AB·BCcos B
＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D，
即40－24cos B＝32－32cos D.
又cos B＝－cos D，∴56cos B＝8，cos B＝.
∵0°＜B＜180°，∴sin B＝＝.
∴S四边形ABCD＝14sin B＝8.
17．[导学号99450056] 【解】
如图，根据题意可得，∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°.∴AC＝AB＝40 m.
在△ADC中，∠BDC＝120°，由正弦定理得，
＝，∴CD＝＝(m)，
即转播塔的高度是 m.
18．[导学号99450057] 【解】(1)证明：由已知及正弦定理，
得sin Bsin(＋C)－sin Csin(＋B)＝sin A，
化简得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
即sin(B－C)＝1.
由于0＜B，C＜，从而B－C＝.
(2)B＋C＝，B－C＝，所以B＝，C＝.
由正弦定理，
得b＝＝2sin ，c＝＝2sin .
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin
＝cos sin ＝sin ＝.
19．[导学号99450058]
【解】(1)如图，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t h后与汽车在C处相遇，在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300.
设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝.
由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α，∴v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·.
整理，得v2＝－＋10 000
＝250 000＋10 000－
＝250 000＋3 600.
当＝，即t＝时，v＝3 600，vmin＝60(km/h)，
即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中．
(2)当v＝60 km/h时，在△ABC中，
AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375，
由余弦定理，得cos∠ABC＝＝0，∴∠ABC＝90°，
故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东行驶．
20．[导学号99450059] 【解】
如图所示，设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理，得
AB2＝OB2＋OA2－2OB×OA×cos α＝1＋4－4cos α＝5－4cos α.
∵△ABC为等边三角形，∴S△ABC＝AB2＝(5－4cos α)．
∵S△AOB＝OA×OBsin α＝sin α，
∴S四边形CAOB＝sin α＋－cos α＝2sin＋.
∵0＜α＜π，∴α＝时，S四边形CAOB取最大值，为2＋.
高中同步测试卷(九)
单元检测 一元二次不等式的解法
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞－b D.＞
2．不等式x(x－2)＞0的解集是( )
A．(－2，0) B．(0，2)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
3．若x＞1＞y，下列不等式不一定成立的是( )
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
4．不等式2x2－x＋1＜0的解集为( )
A．? B．R
C. D.
5．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜}，则ab的值为( )
A．－6 B．6
C．－5 D．5
6．不等式x2－ax－12a2＜0(其中a＜0)的解集为( )
A．(－3a，4a) B．(4a，－3a)
C．(－3，4) D．(2a，6a)
7．不等式组的解集为( )
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|0＜x＜3}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
8．对任意实数x，不等式＞k恒成立，则k的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．(2，＋∞)
C. D．(2，＋∞)∪(－∞，－)
9．实数α，β是方程x2－2mx＋m＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )
A．8 B．14
C．－14 D．－
10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去左端点的值．若关于x的不等式x2－x－6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长度，则实数a的取值范围是( )
A．(－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C．(0，1] D．[－24，1)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．二次函数y＝x2－4x＋3，当y＜0时，x的取值范围是________．
12．不等式＞1的解集是________．
13．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．
14．下列语句中正确的是________．
①若a＞b，则alg＞blg；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则a2－＞b2－；
③若a＞b，且a，b∈R，则()a＜()b；
④若α∈[－π，]，则1－sin α＞0.
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)设a∈R且a≠－1，试比较与1－a的大小．
16．(本小题满分10分)(1)求函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域；
(2)若不等式x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．
17.(本小题满分10分)m为何值时，方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0满足下列条件：
(1)没有实数解；
(2)有实数解；
(3)有两个不相等的实数解．
18．(本小题满分10分)如图，有一长AM＝30 m，宽AN＝20 m的矩形地块，业主计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x m.
(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；
(2)若要求仓库占地面积不小于144 m2，则AB的长度应在什么范围？
附加题
19．(本小题满分10分)设a＞0，b＞0，求证()＋()≥a＋b.
20．(本小题满分10分)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2≤0，a∈R.
参考答案与解析
1．[导学号99450160] 【解析】选D.因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，故－＜－，所以＞，＞，|a|＝－a＞－b，故A、B、C成立．因为－＝＜0，所以＜，故D不成立．
2．[导学号99450161] 【解析】选D.由x(x－2)＞0?x＞2或x＜0.
3．[导学号99450162] 【解析】选A.因为x＞1＞y，故x－1＞0，1－y＞0，x－y＞0，
所以x－1－(y－1)＝x－y＞0，x－y－(1－y)＝x－1＞0，1－x－(y－x)＝1－y＞0.所以B、C、D成立．因为x－1－(1－y)＝x＋y－2符号不定，故A不一定成立．
4．[导学号99450163] 【解析】选A.因为2x2－x＋1＝0的Δ＝(－1)2－4×2×1＜0，且开口向上，所以2x2－x＋1＜0的解集为?.
5．[导学号99450164] 【解析】选B.由已知得ax2＋bx＋1＝0的两个根为－1，
所以，解得，
所以ab＝6.
6．[导学号99450165] 【解析】选B.x2－ax－12a2＜0?(x－4a)(x＋3a)＜0.又a＜0，∴4a＜x＜－3a.
7．[导学号99450166] 【解析】选C.??0＜x＜1.
8．[导学号99450167] 【解析】选C.不等式＞k等价于2x＋2＞k(x2＋x＋1)，kx2＋(k－2)x＋(k－2)＜0对任意x∈R均成立；注意到k＝0时该不等式不恒成立，于是有由此解得k＜－，因此k的取值范围是.
9．[导学号99450168] 【解析】选A.∵Δ＝(－2m)2－4(m＋6)≥0，
∴m2－m－6≥0，
∴m≥3或m≤－2.
而(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2
＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2
＝(2m)2－2(m＋6)－2(2m)＋2
＝4m2－6m－10
＝4－，
∵m≥3，或m≤－2，∴当m＝3时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为8.
10．[导学号99450169] 【解析】选A.因为关于x的不等式x2－x－6a＜0有解，所以Δ＝1＋24a＞0，即a＞－.设方程x2－x－6a＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝1，x1x2＝－6a，又|x1－x2|≤5，即＝＝≤5，解得a≤1，故选A.
11．[导学号99450170] 【解析】∵y＜0，∴x2－4x＋3＜0，即x2－8x＋6＜0，4－＜x＜4＋，∴x的取值范围为{x|4－＜x＜4＋}．
【答案】(4－，4＋)
12．[导学号99450171] 【解析】由＞1得－1＝＞0，
解得x＜－2或x＞2.
【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)
13．[导学号99450172] 【解析】若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个负根，
则，
解得m≥9.
【答案】[9，＋∞)
14．[导学号99450173] 【解析】lg ＜0，①是错误的；a＞b＞0，a2＞b2，c＞d＞0，＞＞0，－＜－，a2－＞b2－，②正确；y＝()x是减函数，a＞b，则()a＜()b，③正确；④中α＝时1－sin α＝0，不正确．
【答案】②③
15．[导学号99450174] 【解】－(1－a)＝＝.
又∵a≠－1∴当a＞－1时，＞0，∴＞1－a.
当a＜－1时，＜0，∴＜1－a.
16．[导学号99450175] 【解】(1)由－x2＋2x＋3＞0得，x2－2x－3＜0，
即(x－3)(x＋1)＜0，
所以－1＜x＜3，
所以f(x)＝log2(－x2＋2x＋3)的定义域为(－1，3)．
(2)法一：若x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，
则Δ＝(－2)2－4(k2－1)≤0?k2≥2?k≥或k≤－.
即实数k的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
法二：若x2－2x＋k2－1≥0对一切实数x恒成立，
即k2≥－x2＋2x＋1对一切实数x恒成立．
因为－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，
所以当k2≥2时，x2－2x＋k2－1≥0恒成立，
所以k≤－或k≥.
即实数k的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
17．[导学号99450176] 【解】当m＝0时，原方程可化为x＝0；当m≠0时，Δ＝[－(2m＋1)]2－4m2＝4m＋1＜0，即m＜－时，原方程没有实数解；由Δ＝4m＋1＞0，得m＞－且m≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m≥－且m≠0.
综上，(1)当m＜－时，原方程没有实数解．
(2)当m≥－且m≠0时，原方程有实数解．
(3)当m＞－且m≠0时，原方程有两个不相等的实数解．
18．[导学号99450177] 【解】(1)由题意知，△NDC∽△NAM，则＝，
即＝，解得AD＝20－x.
所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x2(0＜x＜30)．
(2)由题意得20x－x2≥144，即x2－30x＋216≤0，
解得12≤x≤18.
故AB的长度的取值范围是[12，18]．
19．[导学号99450178] 【证明】左边－右边＝－(＋)
＝
＝＝≥0，
∴原不等式成立．
20．[导学号99450179] 【解】原不等式可以变形为(ax－1)(x－2)≤0.
(1)当a＝0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为－(x－2)≤0，∴x≥2.
(2)当a＜0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为(x－)(x－2)≥0.
∴x≤或x≥2.
(3)当a＞0时，(ax－1)(x－2)≤0可化为(x－)(x－2)≤0，对应方程的两个根分别为和2，
①当＞2，即0＜a＜时，(x－)(x－2)≤0?2≤x≤；
②当＝2，即a＝时，(x－)(x－2)≤0?(x－2)2≤0，∴x＝2；
③当0＜＜2，即a＞时，(x－)(x－2)≤0?≤x≤2.
综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为{x|x≤或x≥2}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥2}；
当0＜a＜时，原不等式的解集为{x|2≤x≤}；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝2}；
当a＞时，原不等式的解集为{x|≤x≤2}．
高中同步测试卷(二)
单元检测 余弦定理及其应用
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos B等于( )
A. B.
C. D．－
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2
C.－1 D.
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则A＝( )
A. B.
C. D.或
4．在△ABC中，三边长分别为5，6，8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
5．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A. B.
C. D．3
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(2b－c)cos A＝acos C，则A的度数是( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
7．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
8．△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为( )
A. B.
C. D.
9．△ABC是不等边三角形，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10．△ABC的三边长是三个连续整数，且最大角是最小角的2倍，则此三角形的三边长为( )
A．5，6，7 B．4，5，6
C．3，4，5 D．2，3，4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．若△ABC的三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角的度数为________．
12．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________，sin B＝________．
13．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝________．
14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在△ABC中，
(1)若b＝3，c＝1，A＝60°，试求a；
(2)若a＝，b＝1，c＝2，试求A.
16．(本小题满分10分)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c的长．
17.(本小题满分10分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2 ，BC边上的中线AM的长为.求角A和角B的大小．
18．(本小题满分10分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足＝2＋2cos(A＋B)．
(1)证明：b＝2a；
(2)若c＝a，求角C的大小．
附加题
19．(本小题满分10分)在△ABC中，AB＝2，cos C＝，D是AC上一点，AD＝2DC且cos∠DBC＝.求：
(1)∠BDA的大小；
(2)·.
20．(本小题满分10分)在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A＋C)的值．
参考答案与解析
1．[导学号99450020] 【解析】选A.由余弦定理得cos B＝＝＝.
2．[导学号99450021] 【解析】选B.由余弦定理得3＝1＋c2－2×c×1×cos ，
即c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)，
故c＝2.
3．[导学号99450022] 【解析】选C.由a2＝b2＋bc＋c2得，
b2＋c2－a2＝－bc＝2bccos A，
解得cos A＝－，A＝.
4．[导学号99450023] 【解析】选C.设边长为8的边所对的角为θ，
则cos θ＝＝－＜0，
所以＜θ＜π，所以△ABC是钝角三角形．
5．[导学号99450024] 【解析】选B.由余弦定理可得
cos A＝＝＝.∴sin A＝，
则AC边上的高h＝AB·sin A＝3×＝.
6．[导学号99450025] 【解析】选C.由余弦定理得，
(2b－c)·＝a·，
化简得b2＋c2－a2－bc＝0，
即＝，
∴cos A＝.又0＜A＜180°，∴A＝60°.
7．[导学号99450026] 【解析】选D.由余弦定理得cos B＝＝＝，
∴·＝－·＝－||||cos B＝－7×5×＝－19.
8．[导学号99450027] 【解析】选B.∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，
又p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，可得cos C＝＝＝.
又∵0＜C＜π，∴C＝.
9．[导学号99450028] 【解析】选C.由A＞B且A＞C，A＋B＋C＝π得，3A＞π，A＞.又cos A＝＞0，故A＜，即角A的取值范围是.
10．[导学号99450029] 【解析】选B.依题意，设该三角形的三边长分别为k－1，k，k＋1，有k∈N*，且这三边所对的角分别为A，B，C，则有C＝2A，sin C＝sin 2A＝
2sin A cos A，则c＝2acos A．∴k＋1＝2(k－1)·
解得k＝5，则此三角形三边长分别为4，5，6.
11．[导学号99450030] 【解析】由题设，可得a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－，
∴C＝150°，∴三角形的最大内角为150°.
【答案】150°
12．[导学号99450031] 【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋()2－2×1×cos ＝1，所以a＝1，所以a＝b.
所以A＝B＝，所以sin B＝.
【答案】1
13．[导学号99450032] 【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)，
所以＝＝.
【答案】
14．[导学号99450033] 【解析】∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴由余弦定理得，
cos C＝＝＝.
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝30°.
在△ADC中，由正弦定理得＝，
即AD＝＝＝＝.
【答案】
15．[导学号99450034] 【解】(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以a＝.
(2)由余弦定理的推论，
得cos A＝＝＝.
又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
16．[导学号99450035] 【解】由题意，得a＋b＝5，ab＝2，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25－4＝21.
∴c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝21－2＝19.
∴c＝，∴边c的长为.
17．[导学号99450036] 【解】由a2－(b－c)2＝(2－)bc，
得a2－b2－c2＝－bc，
∴cos A＝＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
由sin Asin B＝cos2 ，得sin B＝，
即sin B＝1＋cos C，
则cos C＜0，即C为钝角，
∴B为锐角，且B＋C＝，
则sin(－C)＝1＋cos C，化简得cos(C＋)＝－1，
解得C＝，∴B＝.
18．[导学号99450037] 【解】(1)证明：由已知得，
sin(2A＋B)＝2sin A＋2cos(A＋B)sin A，
即sin(A＋π－C)＝2sin A－2sin Acos C，
sin(C－A)＝2sin A－2sin Acos C，
sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A，
sin(A＋C)＝2sin A，sin B＝2sin A，
由正弦定理知b＝2a.
(2)由余弦定理知cos C＝＝
＝－，
所以C＝120°.
19．[导学号99450038] 【解】(1)∵cos∠DBC＝，cos C＝，
∴sin∠DBC＝，sin C＝，∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋C)
＝×－×＝，∴∠BDA＝.
(2)设DC＝x，则AD＝2x，AC＝3x.
又设BC＝a，则在△DBC中，
由正弦定理得＝，∴a＝x.
在△ABC中，由余弦定理得，
4＝(3x)2＋(x)2－2×3x×x×，∴x＝1，∴||＝2，||＝，∴·＝||||cos(π－C)＝2××＝－4.
20．[导学号99450039] 【解】(1)由条件可以直接利用余弦定理求出AB的值，即AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝4＋1－2×2×1×＝2，∴AB＝.
(2)由cos C＝，且0＜C＜π，得sin C＝＝.
由正弦定理得＝，解得sin A＝＝，所以cos A＝.
由倍角公式得sin 2A＝2sin A·cos A＝，且cos 2A＝1－2sin2A＝，故sin(2A＋C)＝sin 2Acos C＋cos 2Asin C＝.
高中同步测试卷(五)
单元检测 数列的概念及表示方法和等差数列
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中不正确的是( )
A．数列a，a，a，…是无穷数列
B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值
C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列
D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列
2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
3．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a，则d＝( )
A．0 B.
C．2 D．0或
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7＝( )
A．49 B．42
C．35 D．28
5．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013＝( )
A．2 B．4
C. D．14
6．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份面包的个数为( )
A．2 B．8
C．14 D．20
7．已知在数列{an}中，a1＝1，对n≥2且n∈N*都有a1a2·…·an＝2n，则a2a3＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
8．已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是( )
A．18 B．19
C．20 D．21
9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞)
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则( )
A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006 B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006
C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006 D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知数列2，，，，4，…，，…，则2是它的第________项．
12．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________．
13．已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列的第10项是________．
14．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝的图象上．
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想数列{an}的一个通项公式．
16．(本小题满分10分)已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n.
(1)求an；
(2)设an＝2λ－1，试求λ的取值范围．
17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
18．(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝[3－]2，求证：数列{an}是等差数列．
附加题
19．(本小题满分10分)已知数列{an}满足：a1＝2t，t2－2an－1t＋an－1an＝0，n＝2，3，4…(其中t为常数，且t≠0)．求数列{an}的通项公式．
20．(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额规定不超过6 000元．某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．工作后，王某计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
(1)用x和n表示王某第n个月的还款额an元；
(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值．
参考答案与解析
1．[导学号99450080] 【解析】选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．
2．[导学号99450081] 【解析】选C.从第三项起，每一项都等于前面连续两项的和即an＋an＋1＝an＋2，所以x＝5＋8＝13.
3．[导学号99450082] 【解析】选B.由已知得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2，
即2a1＋10d＝a＋4a1d＋4d2.
又a1＝2，∴4d2－2d＝0，∴2d(2d－1)＝0，∴d＝0或d＝.
又∵{an}中各项都不相等，∴d＝.
4．[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{an}是等差数列，所以2a6＝a4＋a8＝a8＋6，
所以a4＝6，所以S7＝＝
＝7·a4＝7×6＝42.
5．[导学号99450084] 【解析】选C.因为f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(4＋x)＝f(－x)．
又因为f(x)为偶函数，
所以f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)．
所以a2 013＝f(2 013)
＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝.
6．[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d＞0，
则有解得
7．[导学号99450086] 【解析】选D.∵a1·a2·…·an＝2n(n≥2)，∴a1·a2＝22＝4，∴a2＝4.
又a1·a2·a3＝23，∴a3＝2，∴a2·a3＝8.
8．[导学号99450087] 【解析】选C.由a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，两式相减得3d＝－6，即d＝－2.又a1＋a3＋a5＝105，∴a1＝39，∴Sn＝39n－n(n－1)＝
－(n－20)2＋400，∴当n＝20时，Sn有最大值400，故选C.
9．[导学号99450088] 【解析】选D.由an＋1＞an，
得(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
所以k＞－(2n＋1)．
因为当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，
只要k＞－3，则都有an＋1＞an.
10．[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1且(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，∴a1 006－1与1－a1 008是方程x3＋2 013x－1＝0的两根．设f(x)＝x3＋2 013x－1，则f(x)是单调递增函数，
∴a1 006－1＝1－a1 008，即a1 006＋a1 008＝2，
∴S2 013＝＝＝2 013.又(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝(a1 006－1)[(a1 006－1)2＋2 013]＝1＞0，
∴a1 006－1＞0，即a1 006＞1，同理可得a1 008＜1，即a1 006＞a1 008，故选B.
11．[导学号99450090] 【解析】由＝2，得3n＋1＝40，
所以n＝＝13.
【答案】13
12．[导学号99450091] 【解析】由a1＝0，an＋1＝(n∈N*)知：a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，每3项一循环，故a20＝a6×3＋2＝a2＝－.
【答案】－
13．[导学号99450092] 【解析】由已知得12m＝2m＋10，所以m＝1，
故a1＝1，a2＝6，a3＝11，
所以d＝5，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4，
所以a10＝5×10－4＝46.
【答案】46
14．[导学号99450093] 【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)
＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10
＝＝＝＝20.
【答案】20
15．[导学号99450094] 【解】(1)∵(an，an＋1)在函数f(x)＝的图象上，∴an＋1＝.
∵a1＝2，∴a2＝，
a3＝，a4＝.
(2)由a1＝2＝，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想得an＝.
16．[导学号99450095] 【解】(1)由递推关系式知a1＝1，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n，
当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－1，
两式相减得：3n－1an＝n－(n－1)＝1，
故an＝，当n＝1时a1＝1也符合此式．
所以an＝(n∈N*)．
(2)由(1)知，数列{an}为递减数列，0＜an≤a1＝1，
即0＜2λ－1≤1，解得＜λ≤1，
即λ的取值范围为(，1]．
17．[导学号99450096] 【解】(1)依题意
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
把③分别代入①②，得解得－＜d＜－3，
即公差d的取值范围是(－，－3)．
(2)法一：由d＜0可知{an}是递减数列，
因此若在1≤n≤12中，
使an＞0且an＋1＜0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
可得a6＞－a7＞0，a7＜0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
法二：Sn＝na1＋d＝n(12－2d)＋d
＝－，
因为d＜0，
所以最小时，Sn最大．
因为－＜d＜－3，6＜＜，
所以当n＝6时，最小，S6最大．
18．[导学号99450097] 【解】(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，
得f(x)(ax－1)＝b，
若ax－1＝0，则b＝0，不合题意，
故ax－1≠0，∴f(x)＝.
f(1)＝＝2，得2a－2＝b.①
由f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立，
得＝－，
解得a＝，②
把②代入①，可得b＝－1，∴f(x)＝＝(x≠2)．
(2)证明：由(1)得f(an)＝，
又Sn＝[3－]2，∴Sn＝(an＋1)2，∴a1＝(a1＋1)2，
∴a1＝1.
当n≥2时，Sn－1＝(an－1＋1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＞0，∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，∴数列{an}是等差数列．
19．[导学号99450098] 【解】∵t2－2an－1t＋an－1an＝0，
∴(t2－an－1t)－(an－1t－an－1an)＝0，∴t(an－1－t)＝an－1(an－t)．
由a1－t≠0知an－t≠0，
∴＝＝＝＋，
即－＝，n＝2，3，4，…，t≠0.∴数列{}为等差数列，公差为，∴＝＋(n－1)＝，∴an＝t＋＝.
20．[导学号99450099] 【解】(1)由题意得，
an＝
(2)由已知，每个月的还款额为an，从第13个月开始，还款额构成等差数列，其中a13＝500＋x，公差为x.
从而，到第36个月，
王某共还款12×500＋24a13＋x.
令12×500＋(500＋x)×24＋x＝24 000，
解得x＝20(元)，
即要在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．
高中同步测试卷(八)
单元检测 不等式的性质 均值不等式
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A.＜＜ B.≥≥
C.＞＞ D.＜＜
2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．8
3．若x＞0，f(x)＝＋3x的最小值为( )
A．12 B．－12
C．6 D．－6
4．已知x＞1，y＞1，且lg x＋lg y＝4，则lg x·lg y的最大值是( )
A．4 B．2
C．1 D.
5．点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为( )
A. B．3＋2
C．6 D．9
6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
7．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
8．a＞0，b＞0，a与b的等比中项是1，则的最大值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
9．若x，y是正数，则＋的最小值是( )
A．2 B.
C．4 D.
10．给出下列语句：
①若a，b∈R＋，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；
②若a，b，m∈R＋，a＜b，则＜；
③若＞，则a＞b；
④当x∈时，sin x＋的最小值为2，其中结论正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知x＞，则函数y＝4x＋－2的最小值为________．
12．函数f(x)＝lg x＋(0＜x＜1)的最大值是________，当且仅当x＝________时取等号．
13．当0＜x＜π时，y＝＋的最小值为________．
14．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)(1)已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知x＞2，求y＝x＋的最小值；
(3)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
16．(本小题满分10分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求△AOB的面积S的最小值．
17.(本小题满分10分)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8.
(1)求＋的最小值；
(2)求a2＋16b2－4ab的最小值．
18．(本小题满分10分) 2013年春季住博会于4月19日－4月22日在西安举行．某房地产开发商为吸引客户，设计建造了样板模型．如图所示，他们计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m.
(1)设休闲区的长A1B1＝x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
附加题
19．(本小题满分10分)已知a，b为正数，求证：＋≥.
20．(本小题满分10分)若函数f(x)＝tx2－(22t＋60)x＋144t(x＞0)．
(1)要使f(x)≥0恒成立，求t的最小值；
(2)令f(x)＝0，求使t＞20成立的x的取值范围．
参考答案与解析
1．[导学号99450140] 【解析】选C.a＞b＞0，＞，＜＝.从而＞＞.
2．[导学号99450141] 【解析】选B.2a＋2b≥2·＝2＝4，
当且仅当a＝b时，即a＝b＝时取等号．
3．[导学号99450142] 【解析】选A.因为x＞0，
所以f(x)＝＋3x≥2 ＝12，
当且仅当＝3x，即x＝2时取等号．
4．[导学号99450143] 【解析】选A.x＞1，y＞1，lg x＞0，lg y＞0，4＝lg x＋lg y≥2，lg x·lg y≤4.
5．[导学号99450144] 【解析】选D.因为x＋3y＝2，
所以z＝3x＋33y＋3≥2·＋3＝2＋3＝9.
当且仅当x＝3y即x＝1，y＝时取等号．
6．[导学号99450145] 【解析】选B.A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤＝，∴x≤.
7．[导学号99450146] 【解析】选C.(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，解得得≥2或≤－4(舍去)，
所以a≥4，即a的最小值为4.
8．[导学号99450147] 【解析】选A.∵ab＝1，∴＝(2b－1)·(2a－1)＝4ab－2(a＋b)＋1＝5－2(a＋b)≤5－4＝5－4＝1，故应选A.
9．[导学号99450148] 【解析】选C.＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当x＝y＝时，式子取得最小值4.
10．[导学号99450149] 【解析】选C.本题①中作差变形后可得：a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)2(a＋b)，由于a，b∈R＋，a≠b，所以(a－b)2(a＋b)＞0，即①正确；对于②用赋值法很容易判断其错误，如a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.
11．[导学号99450150] 【解析】因为x＞，所以4x－5＞0，
所以y＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
【答案】5
12．[导学号99450151] 【解析】∵0＜x＜1，∴lg x＜0，∴－lg x＞0，
f(x)＝lg x＋＝－
≤－2＝－4.
当且仅当－lg x＝，
即lg x＝±2时，取“＝”．
又∵lg x＜0，∴lg x＝－2，此时x＝.
【答案】－4
13．[导学号99450152] 【解析】令sin x＝t，则y＝＋，0＜t≤1.
设0＜t1＜t2≤1，则y1－y2＝＋－－＝＋＝(t2－t1)·＞0.
当t∈(0，1)时，函数为减函数，∴当t＝1时，ymin＝2＋＝.
【答案】
14．[导学号99450153] 【解析】因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】[，＋∞)
15．[导学号99450154] 【解】(1)∵x＞0，∴x＋≥4，∴y＝2－≤2－4＝－2，∴当且仅当x＝(x＞0)，即x＝2时，ymax＝－2.
(2)∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.∴当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时，ymin＝4.
(3)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，∴y＝×2x(1－2x)≤＝，∴当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时，ymax＝.
16．[导学号99450155] 【解】设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(显然k存在，且k≠0)．
令y＝0，可得A(2－，0)；
令x＝0，可得B(0，1－2k)．
∵A，B都在正半轴上，∴2－＞0且1－2k＞0，可得k＜0.
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝(2－)(1－2k)
＝＝－2k＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－时，S△AOB取得最小值4.
17．[导学号99450156] 【解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：ax＋by＝0，
平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.
(1)因为a＞0，b＞0，则＋＝(a＋4b)·(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝(5＋4)＝，
当且仅当＝＝2，即a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
(2)因为a＋4b＝8，a＞0，b＞0，
所以a＋4b≥2＝4，
所以ab≤4.
又因为a2＋16b2≥＝32，
所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，当且仅当a＝4b＝4，即a＝4，b＝1时取等号，
所以a2＋16b2－4ab的最小值为16.
18．[导学号99450157] 【解】(1)A1B1＝x m，SA1B1C1D1＝4 000 m2，∴B1C1＝ m，∴S(x)＝(x＋20)(＋8)(x＞0)．
(2)由(1)得S(x)＝8(x＋20)(＋1)＝8(500＋x＋＋20)≥8(520＋2 )＝5 760，
当且仅当x＝，即x＝100时取等号．∴当休闲区长A1B1＝x m＝100 m，宽B1C1＝ m＝40 m时，公园ABCD所占总面积最小为5 760 m2.
19．[导学号99450158] 【证明】因为a＞0，b＞0，
所以(2a＋b)(＋)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4＝2(＋1)2，
即得＋≥.
20．[导学号99450159] 【解】(1)因为x2－22x＋144＞0，所以要使不等式f(x)≥0式恒成立，即tx2－(22t＋60)x＋144t≥0(x＞0)恒成立，等价于t≥(x＞0)恒成立，
由＝≤＝30(x＞0)，
当且仅当x＝，即x＝12时，上式等号成立，
所以t≥30时，不等式tx2－(22t＋60)x＋144t≥0恒成立，t的最小值为30.
(2)由t＞20，得＞20，整理得x2－25x＋144＜0，即(x－16)(x－9)＜0，解得9＜x＜16，
所以使t＞20成立的x的取值范围为(9，16)．
高中同步测试卷(六)
单元检测 等比数列及数列的综合应用
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各数列是等比数列的是( )
①0，0，0，0 ②1，－1，1，－1，1，－1 ③－，2，－2，4 ④a－1，a－2，a－3，a－4
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②③④
2．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则a3和a5的等比中项为( )
A．8 B．4
C．±8 D．±4
3．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则其前9项和等于( )
A．50 B．70
C．80 D．90
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
6．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝22n－1 B．an＝2n
C．an＝22n＋1 D．an＝22n－3
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝8，则a10等于( )
A．－512 B．1 024
C．－1 024 D．512
8．已知α∈(0，)∪(，π)且sin α，sin 2α，sin 4α成等比数列，则α的值为( )
A. B.
C. D.
9．已知方程(x2－mx＋2)·(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝( )
A. B.或
C．23 D．以上都不对
10．某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率增长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3.为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是( )
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在等比数列{an}中，Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝________．
12．若等比数列{an}的前n项和Sn＝()na＋，则a＝________．
13．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．
14．已知在各项为正的数列{an}中，a1＝1，a2＝2，log2an＋1＋log2an＝n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a2 013－21 008＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＝32(＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．(本小题满分10分)设数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝2，Sn＋1－Sn＝Sn＋2＝bn(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
17.(本小题满分10分)某企业在地震中损失严重，为恢复企业盈利能力，从今年起要扩大招聘员工．该企业现有员工b人，以后员工人数年增长率为0.49%.该企业今年年初有旧生产设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半，企业决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．
(1)如果10年后该企业的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换掉所有需要更换的旧设备？
(参考数据：1.004 910≈1.05，1.110≈2.6)
18．(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2n(n∈N*)，等比数列{bn}满足b1＝1，前4项和为40.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，求数列{Tn}的前n项和．
附加题
19．(本小题满分10分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
20．(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.
参考答案与解析
1．[导学号99450100] 【解析】选D.由等比数列的意义可知，等比数列不存在为0的项，所以①不对，②③④都是等比数列．
2．[导学号99450101] 【解析】选A.a3＝22＝4，a5＝24＝16，
所以a3和a5的等比中项为a4＝±＝±＝±8.
由题意知{an}为递增数列，∴a4＝8.
3．[导学号99450102] 【解析】选B.由通项公式的定义得＝×()n－1，
所以n－1＝3，故n＝4.
4．[导学号99450103] 【解析】选B.因为数列{an}是等比数列，
所以a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列．
所以a7＋a8＋a9＝40×()2＝10，
所以S9＝40＋20＋10＝70.
5．[导学号99450104] 【解析】选B.已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，两式作差可得3a3＝a4－a3，∴4a3＝a4，
∴q＝＝4，故选B.
6．[导学号99450105] 【解析】选A.由a－3an＋1an－4a＝0，
得(an＋1－4an)(an＋1＋an)＝0.
因为{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，
所以＝4，∴an＝2×4n－1＝22n－1.
7．[导学号99450106] 【解析】选D.由S2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，可知q≠1，由等比数列的前n项和公式可知，＝3，∴1＝，∴q＝2，而a1a2a3＝8＝a，∴a2＝2，∴a10＝a2q8＝2×28＝29＝512，故选D.
8．[导学号99450107] 【解析】选B.由题意，sin22α＝sin α·sin 4α，∴sin22α＝2sin α·sin 2α·cos 2α，即sin 2α＝2sin α·cos 2α，∴2sin α·cos α＝2sin α·cos 2α，即cos α＝cos 2α，∴2cos2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0.∵cos α≠1，
∴cos α＝－，∴α＝，故选B.
9．[导学号99450108] 【解析】选B.设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或，故选B.
10．[导学号99450109] 【解析】选C.一次砍伐后木材的存量为S(1＋25%)－x，二次砍伐后木材的存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x.
由题意知()2S－x－x＝S(1＋50%)，解得x＝.
11．[导学号99450110] 【解析】设等比数列{an}的公比为q，
因为Sn＝48，S2n＝60，所以q≠1，
于是得方程组
②÷①，得1＋qn＝，解得qn＝，则q3n＝.
又1－qn＝，则＝48×＝64.
所以S3n＝＝64×(1－)＝63.
【答案】63
12．[导学号99450111] 【解析】由Sn＝＝－·qn(q≠1)可知，
qn前的系数与常数项互为相反数，所以a＝－.
【答案】－
13．[导学号99450112] 【解析】显然公比q≠1，设首项为a1，则由S3＋3S2＝0，得＝
－3×，化简得q2＋4q＋4＝0，解得q＝－2.
【答案】－2
14．[导学号99450113] 【解析】由题意log2an＋1＋log2an＝n?log2(an＋1·an)＝n?an＋1an＝2n?anan－1＝2n－1(n≥2)?＝2，所以数列{an}的奇数项构成首项为1，公比为2的等比数列，偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，所以a1＋a2＋…＋a2 013－21 008＝(a1＋a3＋…＋a2 013)＋(a2＋a4＋…＋a2 012)－21 008＝＋－21 008＝－3.
【答案】－3
15．[导学号99450114] 【解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
则an＝a1qn－1，且an＞0，
由已知，得
化简，得
即
又a1＞0，q＞0，所以
所以an＝2n－1.
(2)由(1)，知bn＝a＋log2an＝4n－1＋n－1，
所以Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋[0＋1＋2＋3＋…＋(n－1)]
＝＋＝＋.
16．[导学号99450115] 【解】(1)证明：∵Sn＋1－Sn＝Sn＋2＝bn，∴Sn＋1＝2Sn＋2，
∴Sn＋1＋2＝2(Sn＋2)，即bn＋1＝2bn.
又b1＝S1＋2＝4，∴数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可得bn＝4×2n－1＝2n＋1，∴Sn＝bn－2＝2n＋1－2，
∴Sn－1＝2n－2，(n∈N*且n≥2)．
两式相减得an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n(n∈N*且n≥2)．又a1＝S1＝2，∴an＝2n(n∈N*).
17．[导学号99450116] 【解】(1)由题意可知，该企业现有员工b人，则10年后员工人数为b×(1＋0.49%)10≈1.05b.
由题设可知，1年后的设备套数为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，
2年后的设备套数为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，10年后的设备套数为1.110a－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)≈2.6a－x×≈2.6a－16x，
由题意知＝2·，解得x＝.
即每年更换旧设备为套．
(2)全部更换旧设备还需a÷＝16(年)．
故按此速度全部更换新设备还需16年．
18．[导学号99450117] 【解】(1)∵数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n(n∈N*)，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1.
又当n＝1时，a1＝S1＝3，满足上式，∴an＝2n＋1(n∈N*)．
设等比数列{bn}的公比为q，则S4＝＝40，
解得q＝3，∴bn＝3n－1.
(2)由(1)知anbn＝(2n＋1)·3n－1，∴Tn＝3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n＋1)·3n－1，
3Tn＝3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)·3n，
两式作差得－2Tn＝1＋2×(30＋31＋32＋…＋3n－1)－(2n＋1)·3n＝1＋2×－(2n＋1)·3n＝1＋3n－1－(2n＋1)·3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n，
再次利用错位相减法求和可得，
数列{Tn}的前n项和为.
19．[导学号99450118] 【解】(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
解得或(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝＝－.
20．[导学号99450119] 【解】(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，
两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，
又a1＝2a1－2，∴a1＝2，∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.
∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.
(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1，②
①－②得：
－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1
＝2＋2·－(2n－1)2n＋1
＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1
＝(3－2n)·2n＋1－6，∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
高中同步测试卷(十一)
章末检测 不等式
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若＞，则a＜b D．若＜，则a＜b
2．不等式x2－5x－36＜0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(9，＋∞) B．(－9，－4)
C．(－∞，－9)∪(4，＋∞) D．(－4，9)
3．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1，6] D.
5．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14
C．16 D．18
7．不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4＜0对于一切x∈R恒成立，那么a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(－1，3]
C．(－∞，－3] D．(－3，3)
8．不等式log2≥1的解集为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
9．已知a，b为正实数，若函数f(x)＝ax3＋bx＋ab－1是奇函数，则f(2)的最小值是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
10．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件 B．5 000件
C．2 500件 D．1 000件
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．函数f(x)＝的定义域为________．
12．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为________．
13．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
14．当实数x满足约束条件(其中k为小于零的常数)时，的最小值为2，则实数k的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)解下列不等式：
(1)x2＋2x－15＞0；
(2)x2＞2x－1；
(3)x2＜2x－2.
16．(本小题满分10分)某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力(个)
煤(t)
电(kW·h)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t，并且供电局只能供电200 kW·h，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
17.(本小题满分10分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a＞0，解关于x的不等式f(x)≤0.
18．(本小题满分10分)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
(1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数；
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
附加题
19．(本小题满分10分)已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a5＋b5＞a2b3＋a3b2.
20．(本小题满分10分)已知f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝2lg(2x＋t)(t∈R，t是参数)．
(1)当t＝－1时，解不等式f(x)≤g(x)；
(2)如果当x∈[0，1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围．
参考答案与解析
1．[导学号99450200] 【解析】选D.因为c的符号不定，故A不正确，又因为a，b的符号不定B、C不正确，所以只有D正确．
2．[导学号99450201] 【解析】选D.因为x2－5x－36＝0的两个根为－4，9，所以x2－5x－36＜0的解集为{x|－4＜x＜9}．
3．[导学号99450202] 【解析】选C.若x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，则Δ＝m2－4＞0，所以m＜－2或m＞2.
4．[导学号99450203] 【解析】选A.作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.故选A.
5．[导学号99450204] 【解析】选D.由已知得mx2＋8mx＋28＝0的两个根为－7，－1，则－7×(－1)＝，所以m＝4.
6．[导学号99450205] 【解析】选D.∵＋＝1(x＞0，y＞0)，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋
≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝6，而y＝12时取等号，所以x＋y的最小值为18.
7．[导学号99450206] 【解析】选B.当a＝3时，原不等式变为－4＜0对一切x∈R恒成立，故排除A、C、D.
当a≠3时，若(a－3)x2＋2(a－3)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则，
解得－1＜a＜3.
综上，a的取值范围为(－1，3]．
8．[导学号99450207] 【解析】选C.由log2≥1得，
??－1≤x＜0.
9．[导学号99450208] 【解析】选C.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，所以ab＝1.又因为a，b为正实数，所以f(2)＝8a＋2b＋ab－1＝2(4a＋b)≥2×2＝8，当且仅当4a＝b时取等号，故选C.
10．[导学号99450209] 【解析】选D.设每次进货x件，费用为y元．由题意y＝100×＋2×＝＋x≥2＝2 000，当且仅当x＝1 000时取等号，y最小，故选D.
11．[导学号99450210] 【解析】若f(x)＝有意义，
则－x2＋4x－3≥0，即x2－4x＋3≤0，所以1≤x≤3.
故原函数的定义域为[1，3]．
【答案】[1，3]
12．[导学号99450211] 【解析】因为x＞0，
所以y＝2－(3x＋)≤2－2
＝2－4，
当且仅当3x＝，即x＝时取等号，
所以y＝2－3x－的最大值为2－4.
【答案】2－4
13．[导学号99450212] 【解析】x2－ax－a≤－3的解集不是空集，即x2－ax－a＋3≤0有解，所以Δ＝(－a)2－4(3－a)≥0，即a2＋4a－12≥0，解得a≥2或a≤－6.
【答案】(－∞，－6]∪[2，＋∞)
14．[导学号99450213] 【解析】可行域如图所示．
解方程组，得∴＝2，∴k＝－3.
【答案】－3
15．[导学号99450214] 【解】(1)∵x2＋2x－15＞0?(x＋5)(x－3)＞0?x＜－5或x＞3，∴原不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
(2)∵x2＞2x－1?x2－2x＋1＞0?(x－1)2＞0?x≠1，∴原不等式的解集是{x∈R|x≠1}．
(3)x2＜2x－2?x2－2x＋2＜0.
∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0，∴方程x2－2x＋2＝0无解．
故原不等式x2＜2x－2的解集是?.
16．[导学号99450215] 【解】
设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，利润为z万元，则
z＝7x＋12y作出可行域，如图阴影所示．
当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，
经过M(20，24)时z取最大值．∴该企业生产A、B两种产品分别为20 t和24 t时，才能获得最大利润．
17．[导学号99450216] 【解】(1)当a＝时，不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
即(x－2)≤0，解得≤x≤2.
故原不等式的解集为.
(2)∵不等式f(x)＝(x－a)≤0，
当0＜a＜1时，有＞a，∴原不等式的解集为；
当a＞1时，有＜a，∴原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为{1}．
18．[导学号99450217] 【解】(1)由题意，每小时的燃料费用为0.5x2(0＜x≤50)，从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本y＝0.5x2·＋800·(0＜x≤50)，
故所求的函数为y＝0.5x2·＋800·＝150(x＋)(0＜x≤50)．
(2)由(1)得y＝150(x＋)≥150×2
＝12 000，当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
19．[导学号99450218] 【证明】(a5＋b5)－(a2b3＋a3b2)＝(a5－a3b2)＋(b5－a2b3)
＝a3(a2－b2)－b3(a2－b2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)．
∵a，b都是正数，∴a＋b，a2＋ab＋b2＞0.
又∵a≠b，∴(a－b)2＞0.
故(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)＞0，
即a5＋b5＞a2b3＋a3b2.
20．[导学号99450219] 【解】(1)当t＝－1时，f(x)≤g(x)，
即为lg(x＋1)≤2lg(2x－1)，
此不等式等价于，
解得x≥，∴原不等式的解集为{x|x≥}．
(2)当x∈[0，1]时，f(x)≤g(x)恒成立，∴当x∈[0，1]时，
恒成立，
∴当x∈[0，1]时，恒成立，
即当x∈[0，1]时，t≥－2x＋恒成立，
于是转化为求－2x＋(x∈[0，1])的最大值问题．
令u＝，则x＝u2－1，由x∈[0，1]，知u∈[1，]．
∴－2x＋＝－2(u2－1)＋u＝－2(u－)2＋.
当u＝1，即当x＝0时，－2x＋有最大值为1.∴参数t的取值范围是[1，＋∞)．
高中同步测试卷(十三)
数列微专题
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－
C. D．－
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )
A．58 B．88
C．143 D．176
6．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A. B.
C. D.
8．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0
D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列
9．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
10．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．43 D．43＋1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
12．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
13．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．
14.如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
16．(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
17.(本小题满分10分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
18．(本小题满分10分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
附加题
19．(本小题满分10分)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
20．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.
参考答案与解析
1．[导学号99450240] 【解析】选B.a1＋a5＝2a3＝10，则a3＝5，所以d＝a4－a3＝7－5＝2.
2．[导学号99450241] 【解析】选D.根据题意得，?或?或，
所以当a1＝1，q3＝－2时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当a1＝－8，q3＝－时，a1＋a10＝－8[1＋(－)3]＝－7，所以选D.
3．[导学号99450242] 【解析】选C.由S3＝a2＋10a1得a3＝9a1.
所以q2＝9，所以a1＝＝＝.
4．[导学号99450243] 【解析】选C.设首项为a1，公差为d，由题意可知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1，又Sm＝＝0，故a1＝－am＝－2.
又Sm＝ma1＋d＝0，∴－2m＋＝0，解得m＝5.
5．[导学号99450244] 【解析】选B.S11＝＝＝88.
6．[导学号99450245] 【解析】选C.显然，{bn}不可能是等比数列；{cn}是等比数列．证明如下：
cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m，
cn＋1＝amn＋1·amn＋2·…·amn＋m，
＝＝qmqm·…·qm
＝(qm)m＝qm2.
7．[导学号99450246] 【解析】选A.由S5＝5a3＝15得a3＝3.
又a5＝5，∴d＝1，an＝n.
＝＝－，∴＋＋…＋＝＋＋…＋＝.
8．[导学号99450247] 【解析】选C.由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，根据二次函数的图象与性质知当d＜0时，数列{Sn}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{Sn}是递增数列，那么d＞0，但对任意的n∈N*，Sn＞0不成立，即选项C错误；反之，可知选项D是正确的．故应选C.
9．[导学号99450248] 【解析】选D.由于数列{an}是公差为d(d＞0)的等差数列，∴an－an－1＝d＞0，即p1是真命题；而nan－(n－1)an－1＝an＋(n－1)(an－an－1)＝an＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)d，由于不知a1取值，故不能判断nan－(n－1)·an－1的正负，故p2是假命题；又－＝＝不能判断正负，故p3是假命题；由(an＋3nd)－[an－1＋3(n－1)d]＝4d＞0，故p4是真命题，故选D.
10．[导学号99450249] 【解析】选A.因为，
则an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)(n≥2)，得an＋1＝4an(n≥2)，
即数列{an}从第2项起是公比为4的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝，∴a6＝3×44.
11．[导学号99450250] 【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.
法二：a3＋a8＝2a5＋5d＝10，3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.
【答案】20
12．[导学号99450251] 【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
则由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①
由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②
由①②解得q＝2，a1＝2.
故Sn＝＝＝2n＋1－2.
【答案】2 2n＋1－2
13．[导学号99450252] 【解析】∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0.
∵d≠0，∴d＝2.∴S8＝8×1＋×2＝64.
【答案】64
14．[导学号99450253] 【解析】设OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ，
记S△OA1B1＝×1×ysin θ＝S，
那么S△OA2B2＝×2×2ysin θ＝4S，
S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S，
…
S△OAnBn＝x·xysin θ＝(3n－2)S，
∴＝＝，
∴＝，∴x＝.
即an＝(n≥3)．
经验证知an＝(n∈N*)．
【答案】an＝
15．[导学号99450254] 【解】设该数列的公差为d，前n项和为Sn.
由已知可得，2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，
所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，
解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.
所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.
16．[导学号99450255] 【解】设{an}的公差为d.
由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得，S＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
17．[导学号99450256] 【解】(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
则当n≤11时，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11
＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
18．[导学号99450257] 【解】(1)在＝an＋1－n2－n－中，
令n＝1得2a1＝a2－2.
又a1＝1，所以a2＝4.
(2)由＝an＋1－n2－n－，
得2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
所以2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，n≥2，
两式相减化简得－＝1，n≥2.
又－＝1，
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以＝n，故an＝n2.
(3)证明：设Tn＝＋＋…＋.
当n＝1时，T1＝＝1<；
当n＝2时，T2＝＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，
此时Tn＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
19．[导学号99450258] 【解】(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
20．[导学号99450259] [解](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，
得
解得
因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由题意知Tn＝λ－，
所以当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.
故cn＝b2n＝＝(n－1)()n－1，n∈N*.
所以Rn＝0×()0＋1×()1＋2×()2＋3×()3＋…＋(n－1)()n－1，
则Rn＝0×()1＋1×()2＋2×()3＋…＋(n－2)×()n－1＋(n－1)×()n.
两式相减得
Rn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)×()n＝－(n－1)×()n＝－()n，
整理得Rn＝(4－)．
所以数列{cn}的前n项和Rn＝(4－)．
高中同步测试卷(十二)
解三角形微专题
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )
A. B．－
C．± D.
7．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
8．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B．2
C. D.
9．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
10. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝( )
A. B.
C. D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11. 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________.
13．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
14．在△ABC中，D为BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
16．(本小题满分10分)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
17.(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
18．(本小题满分10分)
如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
附加题
19．(本小题满分10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
20．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
参考答案与解析
1．[导学号99450220] 【解析】选C.由余弦定理得，
AC＝
＝ ＝.
又由正弦定理得，
＝，∴sin∠BAC＝＝.
2．[导学号99450221] 【解析】选D.由题意2asin B＝b，
化为2sin Asin B＝sin B.
∵0＜B＜π，sin B≠0，∴sin A＝.又∵△ABC为锐角三角形，
∴A＝.
3．[导学号99450222] 【解析】选B.由正弦定理得，
sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sin A＝sin2A.
又∵0＜A＜π，sin A≠0，∴sin A＝1，∴A＝90°.故三角形为直角三角形．
4．[导学号99450223] 【解析】选A.∵(a＋b)2－c2＝4，
即a2＋2ab＋b2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab，∴＝＝cos 60°＝，∴ab＝.
5．[导学号99450224] 【解析】选A.由正弦定理得，
sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
即sin Acos C＋sin Ccos A＝(∵sin B≠0)，∴sin(A＋C)＝，
即sin B＝.
由于a＞b，所以B为锐角，故B＝.
6．[导学号99450225] 【解析】选A.由8b＝5c得8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，
∴cos B＝，∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
7．[导学号99450226] 【解析】选A.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
又因为a＝c，
所以b2－2bccos A＝b2－2b(＋)cos 75°＝0，
而cos 75°＝，
所以b2－2b(＋)·＝b2－2b＝0，
解得b＝2或b＝0(舍去)．
8．[导学号99450227] 【解析】选D.由正弦定理得，
sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，∴sin B＝sin A，∴＝＝.
9．[导学号99450228] 【解析】选D.由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝.
又6sin A＝4sin B＝3sin C，∴6a＝4b＝3c.
设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k＞0)，
在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝，故选D.
10．[导学号99450229] 【解析】选B.根据题意可知
EC＝，DE＝，DC＝1.
在三角形CDE中，由余弦定理得，
cos∠CED＝＝，
所以sin∠CED＝＝.
11．[导学号99450230] 【解析】sin∠BAC＝＝sin(＋∠BAD)
＝cos∠BAD.
在△BAD中，BD2＝(3)2＋32－2×3×3×＝3，
所以BD＝.
【答案】
12．[导学号99450231] 【解析】由3sin A＝5sin B，可得3a＝5b.
又b＋c＝2a，所以可令a＝5t，b＝3t，
c＝7t(t＞0)，
所以cos C＝＝－，所以C＝.
【答案】
13．[导学号99450232] 【解析】设BC＝a，AC＝1，
则tan∠BAC＝a，tan∠MAC＝，
由sin∠BAM＝，得tan∠BAM＝.
又∠BAC＝∠BAM＋∠MAC，
故有tan∠BAC＝a＝＝，
解得a＝，∴AB＝，∴sin∠BAC＝＝.
【答案】
14．[导学号99450233] 【解析】
画出示意图如图所示．设BD＝x，则由题意可得CD＝2x，由∠ADB＝120°得∠ADC＝60°，在△ACD中，S＝3－＝×2×2xsin 60°，得x＝－1.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝4＋(2－2)2－2×2×(2－2)×cos 60°＝24－12，即AC＝(－1)．在△ABD中，同理可得AB＝，根据余弦定理得cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°.
【答案】60°
15．[导学号99450234] 【解】(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得，
PA2＝3＋－2××cos 30°＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，
化简得，cos α＝4sin α，
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
16．[导学号99450235] [解](1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，
所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝＋2×＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.
17．[导学号99450236] 【解】(1)∵0＜A＜π，cos A＝，∴sin A＝＝.
又cos C＝sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝cos C＋sin C，∴tan C＝.
(2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝.
于是sin B＝cos C＝.
由a＝及正弦定理＝，得c＝.
设△ABC的面积为S，则
S＝acsin B＝.
18．[导学号99450237] 【解】由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝
＝＝
＝10海里．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30海里，则需要的时间t＝＝1小时．
所以救援船到达D点需要1小时．
19．[导学号99450238] 【解】(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－.
故C＝.
(2)由题意得，
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝.
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos A·cos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得，tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
20．[导学号99450239] 【解】(1)由题设并利用正弦定理，得
解得或
(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝p2b2－b2－b2cos B，
即p2＝＋cos B.
因为0＜cos B＜1，所以p2∈(，2)，
由题设知p＞0，所以＜p＜，
即p的取值范围是(，)．
高中同步测试卷(十五)
模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )
A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2
3．在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )
A．一解 B．两解
C．一解或两解 D．无解
4．等比数列{an}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{an}的首项为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
5．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c且sin B＝，sin C＝，则a∶b∶c＝( )
A．1∶∶2 B．1∶1∶
C．1∶2∶ D．2∶1∶或1∶1∶
6．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0
C. D.
7．已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
8．已知f(x)＝，则f(x)>－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
9．函数y＝(x＞1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
10．已知数列{an}共有m项，定义{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)．若S(n)是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当n＜m时，an等于( )
A．－ B.
C．－ D.
11．在使f(x)≥M成立的所有常数M中，把M的最大值叫做f(x)的“下确界”，例如f(x)＝x2＋2x≥M，则Mmax＝－1，故－1是f(x)＝x2＋2x的下确界，那么(其中a，b∈R，且a，b不全为0)的下确界是( )
A．2 B.
C．4 D.
12．在△ABC中，若·＝|－|＝8，则△ABC的面积的最大值为( )
A．8 B．16
C．10 D．8
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．
14．已知a＞0，b＞0，且＋≤a，＋≤b，则＋的最大值为________．
15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若sin B＋sin C＝2sin A，3a＝5c，则角B＝________．
16．不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)在△ABC中，cos B＝－，cos C＝，
(1)求sin A的值；
(2)设△ABC的面积S△ABC＝，求BC的长．
18．(本小题满分12分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，求d的取值范围．
19.(本小题满分12分)已知下列不等式①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0.要使①②成立的x也满足③，请你找一个这样的a值．
20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
21.(本小题满分13分)在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsin C＝(a2＋c2－b2)sin B.
(1)若C＝，求A的大小；
(2)若a≠b，求的取值范围．
22.(本小题满分13分)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m2，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝|AB|，tan∠FED＝，设|AB|＝x m，|BC|＝y m.
(1)求y关于x的表达式；
(2)如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？
参考答案与解析
1．[导学号99450280] 【解析】选B.∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝M.
2．[导学号99450281] 【解析】选A.∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.
又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.
∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.
3．[导学号99450282] 【解析】选B.∵bsin A≈100×0.7＜a，且b＞a，∴有两解．
4．[导学号99450283] 【解析】选C.S4－(a2＋a4)＝60?a1＋a3＝60.
∴q＝＝3，a1＝6.
5．[导学号99450284] 【解析】选D.若B、C均为锐角，则B＝30°，C＝60°，
∴A＝90°，则a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 90°∶sin 30°∶sin 60°＝1∶∶＝2∶1∶.
若B为锐角，C为钝角，则B＝30°，C＝120°，∴A＝30°，
则a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝∶∶＝1∶1∶.
6．[导学号99450285] 【解析】选C.不等式组表示的可行域如图，设z＝x＋2y，可知z＝x＋2y在B处取最大值.故选C.
7．[导学号99450286] 【解析】选D.由题意可得∠B＝60°，
再由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
又三边a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
上式即为a2＋c2－2ac＝(a－c)2＝0，
则a＝c，所以△ABC是等边三角形．
8．[导学号99450287] 【解析】选B.依题意，若>－1，则x>0且x≠1；若>－1，则x<－1，综上所述，x∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)．
9．[导学号99450288] 【解析】选A.∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2.
10．[导学号99450289] 【解析】选C.∵n＜m，∴m≥n＋1.
又S(n)＝＝4－，∴S(n＋1)＝4－，
故an＝S(n)－S(n＋1)＝－＝－.
11．[导学号99450290] 【解析】选B.∵＝＝≥，
∴的下确界为.
12．[导学号99450291] 【解析】选D.S△ABC
＝
＝ ，
因为|－|＝8，所以||2＋||2＝80，由均值不等式可得||·||≤40，
所以S△ABC≤＝8，当且仅当||＝||时取等号．
13．[导学号99450292] 【解析】由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比 q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.
【答案】11
14．[导学号99450293] 【解析】由＋≤a，＋≤b，可得≥，≥，故≥＋，所以≤2，即＋≤.
【答案】
15．[导学号99450294] 【解析】由sin B＋sin C＝2sin A可得b＋c＝2a.又3a＝5c，
所以可令a＝5t，b＝7t，c＝3t(t＞0)，
可得cos B＝＝－，故B＝120°.
【答案】120°
16．[导学号99450295] 【解析】不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切x∈R恒成立．
若a＋2＝0，显然不成立；
若a＋2≠0，则?
??a＞2.
【答案】(2，＋∞)
17．[导学号99450296] 【解】(1)由cos B＝－，得sin B＝，由cos C＝，得sin C＝.
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝.
(2)由S△ABC＝，得×AB×AC×sin A＝，
由(1)知sin A＝，故AB×AC＝65.
又AC＝＝AB.
故AB2＝65，AB＝.
所以BC＝＝.
18．[导学号99450297] 【解】法一：由S5S6＋15＝0，
得·＋15＝0.
整理可得2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.
∵a1，d为实数，∴Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，
解得d≤－2或d≥2.
即d的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
法二：∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0.∴2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.∴d≤－2或d≥2.
即d的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
19．[导学号99450298] 【解】解①：x2－4x＋3＜0，即(x－1)(x－3)＜0，∴1＜x＜3.
解②：x2－6x＋8＜0，即(x－2)(x－4)＜0，∴2＜x＜4，∴①②同时成立的x的范围是2＜x＜3.
2x2－9x＋a＜0对应的二次方程为：2x2－9x＋a＝0，
对应的二次函数f(x)＝2x2－9x＋a的对称轴为x＝∈(2，3)．
∵3－＞－2，∴f(3)＞f(2)，∴只需f(3)≤0即可．
即2×32－9×3＋a≤0，∴a≤9.
这样a的值可取小于等于9中任一个，不妨取a＝9.
20．[导学号99450299] 【解】(1)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
当n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，故{an}的通项公式为an＝4n－2.
设{bn}的公比为q，由已知条件a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1知，b1＝2，b2＝，所以q＝，∴bn＝b1qn－1＝2×，即bn＝.
(2)∵cn＝＝＝(2n－1)4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1.
4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.
两式相减得：
3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n
＝[(6n－5)4n＋5]．∴Tn＝[(6n－5)4n＋5]．
21．[导学号99450300] 【解】(1)∵acsin C＝(a2＋c2－b2)sin B，
∴＝＝2＝2cos B，∴sin C＝sin 2B，
∴C＝2B或C＋2B＝π.
若C＝2B，C＝，则A＝(舍去)．
若C＋2B＝π，C＝，则A＝.故A＝.
(2)若三角形为非等腰三角形，则C＝2B且A＝π－B－C＝π－3B，
又∵三角形为锐角三角形，
∵0＜2B＜，0＜π－3B＜，故＜B＜.
而＝＝2cos B，∴∈(，)．
22．[导学号99450301] 【解】(1)过点D作DH⊥EF于H(图略)，
则依题意知|DH|＝|AB|＝x，
|EH|＝＝×x＝x，∴＝xy＋×x＝xy＋x2，∴y＝－x，
∵x＞0，y＞0，∴－x＞0，解得0＜x＜.
∴所求表达式为y＝－x.
(2)在Rt△DEH中，∵tan∠FED＝，∴sin∠FED＝.∴|DE|＝＝x×＝x.∴l＝(2x＋2y)＋2×x＋(2×x＋x)＝2y＋6x＝－x＋6x＝＋x≥2＝26，
当且仅当＝x，即x＝3时取等号．
此时y＝－x＝4，∴当|AB|＝3 m，|BC|＝4 m时，能使整个框架用材料最少．
高中同步测试卷(十四)
不等式微专题
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－2，1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
4.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
5．下列不等式一定成立的是( )
A．lg＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
6．不等式＜0的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50，0 B．30，20
C．20，30 D．0，50
8．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
9．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
10．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．不等式x2＋x－2<0的解集为________．
12．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
13．设函数f(x)＝x－.对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
14．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，求不等式f(x＋2)<5的解集．
16．(本小题满分10分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少单位的午餐和晚餐？
17.(本小题满分10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单元时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
18．(本小题满分10分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
附加题
19．(本小题满分10分)如图，
建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
20．(本小题满分10分)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
参考答案与解析
1．[导学号99450260] 【解析】选C.x2＋3x－4≤0?－4≤x≤1，所以T＝{x|－4≤x≤1}．
又?RS＝{x|x≤－2}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤1}．
2．[导学号99450261] 【解析】选B.∵0＜a＜b，∴a2＜ab＜b2，∴a＜＜b.
又∵0＜a＜b，∴a＋b＜2b，∴＜b.
又∵＜，故a＜＜＜b，故选B.
3. [导学号99450262] 【解析】选A.根据线性约束条件作出可行域，作出直线y＝2x.由图可知当直线y＝2x＋z经过A点时，z取得最小值，由，得，所以z＝3－10＝－7.故选A.
4．[导学号99450263] 【解析】选B.因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.
5．[导学号99450264] 【解析】选C.lg≥lg＝lg x，当且仅当x2＝，即x＝时，等号成立，因此A错；当sin x＜0时，不可能有sin x＋≥2，因此B错；由基本不等式，得x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，因此C对；因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，因此D错．
6．[导学号99450265] 【解析】选C.原不等式化为(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，∴原不等式的解集为(－2，1)．
7．[导学号99450266] 【解析】选B.设黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为x，y，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
线性约束条件为，
即
作出可行域，易求得A(0，50)，B(30，20)，C(45，0)．
作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至点B(30，20)，即x＝30，y＝20时，z取得最大值，此时z＝30＋0.9×20＝48(万元)，故选B.
8．[导学号99450267] 【解析】选B.因为可行域为三角形，且三顶点的坐标分别为(1，2)，(3，0)，(1，－2a)(a＞0)，所以把点的坐标代入到目标函数z＝2x＋y中，得在点(1，－2a)处取得最小值，即2－2a＝1，解得a＝，故选B.
9. [导学号99450268] 【解析】选C.作出不等式组表示的可行域，
由图可知点M取在A点处OM斜率最小，由，解得A点坐标为(3，－1)，所以OM斜率最小值为－，故选C.
10．[导学号99450269] 【解析】选B.＝＝≤1，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，则＋－＝－＝－(－1)2＋1≤1.
11．[导学号99450270] 【解析】x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)＜0，
所以－2＜x＜1.
【答案】{x|－2＜x＜1}
12．[导学号99450271] 【解析】作出曲线y＝|x－1|与y＝2所表示的平面区域(图略)，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点(－1，2)时，z取最小值为－4.
【答案】－4
13．[导学号99450272] 【解析】因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－－＜0恒成立，所以当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，x无解．综上所述，实数m的取值范围是m＜－1.
【答案】(－∞，－1)
14．[导学号99450273] 【解析】＋＝＋＝＋＋，
当a＞0时，＋＋≥＋2 ＝＋1＝，
当a＜0时，＋＋≥－＋1＝，
故最小值为，当且仅当＝，即b＝－2a时取等号，又因为a＋b＝2，所以a＝－2.
【答案】－2
15．[导学号99450274] 【解】由?0≤x＜5，又由偶函数知，f(x)＜5的解集为{x|－5＜x＜5}，∴不等式f(x＋2)＜5的解满足－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3，∴原不等式的解集为{x|－7＜x＜3}．
16．[导学号99450275] 【解】设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F＝2.5x＋4y，由题意知：，即，
画出可行域：
目标函数可转化为：y＝－x＋，
当目标函数过点A，即直线x＋y＝7与3x＋5y＝27的交点(4，3)时，F取得最小值．
即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．
17．[导学号99450276] 【解】(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得，
解得.
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝，
(2)依题意并由(1)可得，
f(x)＝.
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，
f(x)＝x(200－x)≤＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
18．[导学号99450277] 【解】(1)因为f(0)＝(－a)|－a|≥1，所以－a＞0，即a＜0.由a2≥1知a≤－1.
因此，a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)记f(x)的最小值为g(a)．
f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝
(ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.
(ⅱ)当a＜0时，f()＝a2.若x＞a，则由①知f(x)≥a2；若x≤a，则x＋a≤2a＜0，由②知f(x)≥2a2＞a2.此时g(a)＝a2.
综上，g(a)＝
19．[导学号99450278] 【解】(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以
炮弹可击中目标?存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
20．[导学号99450279] 【证明】(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
又x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要证明的不等式成立．
高中同步测试卷(十)
单元检测 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式2x－y＋1＞0表示的平面区域在直线2x－y＋1＝0的( )
A．左上方 B．左下方
C．右上方 D．右下方
2．已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a＜－7或a＞24 B．a＝7或a＝24
C．－7＜a＜24 D．－24＜a＜7
3．不等式组表示的平面区域的面积等于( )
A．16 B．28
C．32 D．46
4．有x辆6吨的汽车，y辆4吨的汽车，要运送最多的货物完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4y＋5y
5．设x，y满足约束条件则z＝3x＋5y的最大值是( )
A．17 B．11
C．9 D．8
6．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
7．已知x，y满足则z＝的取值范围是( )
A. B．[－2，3]
C．(－∞，－2] D.∪[3，＋∞)
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0＜a≤1
C．1≤a≤ D．0＜a≤1或a≥
9．若关于x，y的不等式组表示的平面区域为一个三角形及其内部，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(－1，1) D．(1，＋∞)
10．若x，y满足约束条件，目标函数z＝kx＋2y仅在点(－1，0)处取得最小值，则k的取值范围是( )
A．(－，2) B．(－，2)
C．(－4，2) D．(－2，4)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．若Ax－By＋3≥0表示的区域不包括点(1，2)，记λ＝A－2B，则λ的取值范围是________．
12．设实数x，y满足则 z＝x＋3y的最小值为________．
13．若x，y满足条件且z＝x＋2y的最大值是3，则实数a的值为________．
14．已知实数x，y满足，若 z＝kx＋y取得最小值的可行解有无穷多个，则实数k的值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)求不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积．
16．(本小题满分10分)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
17.(本小题满分10分)已知x，y满足条件求：
(1)z＝4x－3y的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
18．(本小题满分10分)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件；乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少？
附加题
19．(本小题满分10分)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q两点，且点P，Q关于直线x＋y＝0对称，求不等式组表示的平面区域的面积．
20．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正三角形ABC的中心，A点的坐标为(0，2)，动点P(x，y)是△ABC内的点(包括边界)．若目标函数z＝ax＋by的最大值为2，且此时的最优解(x，y)确定的点P(x，y)是线段AC上的所有点，求目标函数z＝ax＋by的最小值．
参考答案与解析
1．[导学号99450180] 【解析】选D.在坐标系上画出直线2x－y＋1＝0，且注意到原点的坐标适合不等式2x－y＋1＞0，因此不等式2x－y＋1＞0表示的平面区域应是含原点在内的区域，即直线2x－y＋1＝0的右下方区域．
2．[导学号99450181] 【解析】选C.只需(3×3－2×1＋a)×[3×(－4)－2×6＋a]＜0，解得－7＜a＜24，故选C.
3．[导学号99450182] 【解析】选A.由不等式x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的部分，x≤3表示x＝3及其左方的点，由交点坐标很容易求得可行域的面积为16.
4．[导学号99450183] 【解析】选A.因6吨的车辆x，4吨的车辆y，则运送货物的吨数为z＝6x＋4y.
5．[导学号99450184] 【解析】选A.作出可行域(图略)，易知为目标函数取得最大值的最优解，即zmax＝3×＋5×＝17.
6.
[导学号99450185] 【解析】选C.该不等式组表示平面区域如图阴影所示．
∵x，y∈N*，区域内与点P(，)最近的整点为(5，4)，则当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
7．[导学号99450186] 【解析】选D.作出可行域，如图所示．z＝表示直线PQ的斜率，由kPA＝3，kPO＝－，故z的取值范围是∪[3，＋∞)．
7题图 8题图
8．[导学号99450187] 【解析】选D.如图，直线x＋y＝0从原点向右移动，移动到(1，0)时，再往右移，不等式组所表示的区域就不能构成三角形了；又从点A向右移动时，不等式组所表示的区域为整个阴影部分的三角形，则0＜a≤1或a≥.
9．[导学号99450188] 【解析】选C.由得M(1，1)．因为不等式组表示的平面区域为一个三角形及其内部，如图可知－1＜a＜1，故选C.
9题图 10题图
10．[导学号99450189] 【解析】选B.不等式组所表示的平面区域如图所示，目标函数z＝kx＋2y变形为y＝－x＋，显然z是直线y＝－x＋在y轴上的截距的2倍，根据这个几何意义，直线只能与区域在点(－1，0)处有公共点，即直线y＝－x＋的斜率－∈(－1，)，求得k∈(－，2)，故选B.
11．[导学号99450190] 【解析】因为Ax－By＋3≥0表示的区域不包括点(1，2)，
所以A－2B＋3＜0，故λ＝A－2B＜－3.
【答案】(－∞，－3)
12．[导学号99450191] 【解析】在坐标平面内画出题中不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0(图略)，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(－2，－2)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值，最小值是z＝x＋3y＝－2＋3×(－2)＝－8.
【答案】－8
13．[导学号99450192] 【解析】画出满足条件的可行域(如图)，即当直线x＋2y－z＝0过点A(a，a)时，z＝x＋2y取得最大值3，即a＋2a＝3，即a＝1.
【答案】1
13题图 14题图
14．[导学号99450193] 【解析】画出满足条件的可行域(如图)，由z＝kx＋y，即y＝－kx＋z.因为使z＝kx＋y取得最小值的可行解有无穷多个，结合图形可知直线y＝－kx＋z与直线x＋y＋1＝0重合，即－k＝－1，即k＝1.
【答案】1
15．[导学号99450194] 【解】原不等式|x－2|＋|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域，它是边长为2的正方形，其面积为8.
15题图 16题图
16．[导学号99450195] 【解】(1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)，
结合图形可知x∈，y∈[－2，5]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；
当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点．
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)．
17.
[导学号99450196] 【解】不等式组表示的区域如图所示，其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)．
(1)z＝4x－3y，直线4x－3y＝0经过原点(0，0)，作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t，当l过点C时，z值最小；当l过B点时，z值最大．∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0，0)的距离，结合不等式组所表示的区域可知点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.∴(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x2＋y2)min＝0.
故x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
18.
[导学号99450197] 【解】设甲种设备需要租赁x天，乙种设备需要租赁y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况满足的关系为
即
作出不等式组表示的平面区域如图，当z＝200x＋300y对应的直线过两直线的交点(4，5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值，为2 300元．
19.
[导学号99450198] 【解】由点P，Q关于直线x＋y＝0对称，说明直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1.
又圆心坐标为，圆心必在直线x＋y＝0上，即－－＝0，∴m＝－1.则不等式组为
其可行域如图所示，
A点坐标为(－1，0)，B点坐标为(－，)，
∴S△AOB＝|OA|·|yB|＝×1×＝.
20．[导学号99450199] 【解】∵O是正三角形ABC的中心，A点的坐标为(0，2)，∴直线BC的方程为y＝－1.设B点的坐标为(－c，－1)．
由直线AB的斜率为，得＝，
∴c＝.∴B点的坐标为(－，－1)．
∵目标函数z＝ax＋by的最优解(x，y)确定的点P(x，y)是线段AC上的所有点，∴－＝－，∴a＝b，目标函数z＝ax＋by为z＝bx＋by.
又目标函数z＝ax＋by的最大值为2，∴2＝b·0＋b·2，
∴b＝1，∴z＝x＋y，把点B的坐标代入，得z的最小值为－4.
高中同步测试卷(四)
章末检测 解三角形
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝120°，则B的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．在△ABC中，若sin A＞sin B，则( )
A．a≥b B．a＞b
C．a＜b D．a，b大小不定
3．△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos A＝，且c－b＝1，bc＝156，则a的值为( )
A．3 B．5
C．2 D．4
4．在△ABC中，如果sin A＝sin C，B＝30°，角B所对的边长b＝2，则△ABC的面积为( )
A．1 B.
C．2 D．4
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＝＝，那么△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．非等腰直角三角形
6．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－)，q＝(cos B，sin B)，p∥q且bcos C＋ccos B＝2asin A，则C＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
7．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，则角B的大小为( )
A．150° B．30°
C．120° D．60°
8．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
9．在锐角△ABC中，设x＝sin A·sin B，y＝cos A·cos B，则x，y的大小关系是( )
A．x≤y B．x＜y
C．x≥y D．x＞y
10．海岛B上有一座海拔1千米的山，山顶A处设有观察站，上午11时测得一轮船在岛北偏东60°处，俯视角30°，11时10分又测得轮船在岛北偏西60°处，俯视角60°，则该轮船的速度为( )
A．2千米/小时 B.千米/小时
C.千米/小时 D.千米/小时
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，已知a＝5，b＝，A＝，则cos 2B＝________．
12．已知在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，且a＝1，则＝________．
13．在△ABC中，已知·＝9，△ABC的面积S△ABC＝6，BC＝4，则△ABC的周长为________．
14．在O点测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ＝________．
三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在△ABC中，已知a＝2，b＝2，S△ABC＝，求第三边c的长．
16．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2B＝A＋C，a＋b＝2c，求sin C的值．
17.(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2，2sin A＝sin C时，求b和c的长．
18．(本小题满分10分)在△ABC中，B＝60°，AC＝，求AB＋2BC的最大值．
附加题
19．(本小题满分10分)在△ABC中，＝c2，sin Asin B＝，试判断△ABC的形状．
20.(本小题满分10分)在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝24米，设灯柱高AB＝h米，∠ACB＝θ(30°≤θ≤45°)．
(1)求灯柱的高h(用θ表示)；
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S米，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．
参考答案与解析
1．[导学号99450060] 【解析】选A.由＝得sin B＝sin A＝×sin 120°＝.
又B＜A，所以B＝30°.
2．[导学号99450061] 【解析】选B.∵sin A＞sin B，由正弦定理得＞，∴a＞b.
3．[导学号99450062] 【解析】选B.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(c－b)2＋2bc－2bccos A
＝1＋2×156－2×156×＝25，
所以a＝5.
4．[导学号99450063] 【解析】选B.据正弦定理将角化边得a＝c，再由余弦定理得c2＋(c)2－2c2cos 30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝×2×2×sin 30°＝.
5．[导学号99450064] 【解析】选A.∵＝＝，
由正弦定理得＝＝，
∴sin(A－B)＝0，sin(B－C)＝0.∴A＝B＝C.∴△ABC是等边三角形．
6．[导学号99450065] 【解析】选A. ∵p∥q，∴－cos B＝sin B，即得tan B＝－，∴B＝120°.∵bcos C＋ccos B＝2asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，sin A≠0，得sin A＝，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝30°，故应选A.
7．[导学号99450066] 【解析】选A.由sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C及正弦定理可得b2－c2－a2＝ac，即得cos B＝＝－，∴B＝150°，故应选A.
8．[导学号99450067] 【解析】选B.设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，从而解出a＝k，b＝k，c＝k.∴a∶b∶c＝7∶5∶3，∴sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.
9．[导学号99450068] 【解析】选D.A＋B＞，∴cos(A＋B)＜cos ＝0，
即cos Acos B－sin Asin B＜0，∴x＞y，故应选D.
10．[导学号99450069] 【解析】选A.如图所示，已知AB＝1，∠ADB＝60°，∠ACB＝30°，由此可解得BC＝，BD＝，∠CBD＝120°，从而CD＝＝，船速为×6＝2(千米/小时)，故应选A.
11．[导学号99450070] 【解析】由正弦定理得sin B＝＝，
∴cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×()2＝.
【答案】
12．[导学号99450071] 【解析】由已知，可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，＝2，由正弦定理得，＝＝＝＝2.
【答案】2
13．[导学号99450072] 【解析】据已知得·＝bccos A＝9，S△ABC＝bcsin A＝6，两式相除可得＝，则?cos A＝，故bc＝15.又由余弦定理可得b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－18＝16，解得b＋c＝8，因此三角形周长为b＋c＋4＝12.
【答案】12
14．[导学号99450073] 【解析】
物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝
cos∠OPQ.在△OPR中，由正弦定理得＝＝.同理在△ORQ中，由正弦定理得＝＝，两式两边同时相除得×＝×＝tan∠OPQ?tan∠OPQ＝＝.
【答案】
15．[导学号99450074] 【解】∵S△ABC＝absin C＝.又a＝2，b＝2，∴×2×2sin C＝，sin C＝，
于是cos C＝或cos C＝－.
当cos C＝时，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝(2)2＋22－2×2×2×＝4，∴c＝2.
当cos C＝－时，由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝(2)2＋22－2×2×2×＝28，∴c＝2，
故第三边c的长为2或2.
16．[导学号99450075] 【解】∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°，∴0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，
且A＝120°－C.
∵a＋b＝2c，
由正弦定理，得sin A＋sin B＝2sin C，∴sin(120°－C)＋＝2sin C，
即cos C＋sin C＋＝2sin C，∴sin C－cos C＝，
∴sin(C－30°)＝.
∵－30°＜C－30°＜90°，∴C－30°＝45°，∴C＝75°，∴sin C＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝.
17．[导学号99450076] 【解】(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，得sin2C＝.
又C∈(0，π)，得sin C＞0，∴sin C＝.
(2)当a＝2，2sin A＝sin C时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由(1)得cos2C＝1－sin2C＝，∴cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得
b2±b－12＝0，解得b＝或b＝2，∴或
18．[导学号99450077] 【解】由正弦定理，知＝＝，∴AB＝2sin C，BC＝2sin A．又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)＝2(sin C＋cos C＋sin C)＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，其中tan α＝，α是第一象限角．由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.
19．[导学号99450078] 【解】由＝c2?a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2?a3＋b3－c2(a＋b)＝0?(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0.
∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0.①
由余弦定理①式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0，
得cos C＝.又0°＜C＜180°，得C＝60°.
由正弦定理＝＝，得sin A＝，
sin B＝，∴sin Asin B＝＝，∴＝1，即ab＝c2.
将ab＝c2代入①式得a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，a＝b.∴△ABC是等边三角形．
20．[导学号99450079] 【解】(1)∵∠ABC＝120°，∠ACB＝θ，∴∠BAC＝60°－θ.
∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°＋θ.
∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°－θ.
在△ACD中，由正弦定理得＝?AC＝＝16cos θ.
在△ABC中，由正弦定理得＝?AB＝＝16sin 2θ.∴h＝16sin 2θ，
即灯柱的高h为16sin 2θ米．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝?BC＝＝16cos2θ－16sin θcos θ＝8＋8cos 2θ－8sin 2θ，
则S＝AB＋BC＝8＋8cos 2θ＋8sin 2θ
＝8＋16sin(2θ＋60°)．
∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ＋60°≤150°，∴当2θ＋60°＝150°，即θ＝45°时，S取最小值，S的最小值为8＋8.
