1．下列对象能构成集合的序号是________．
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．
2．给出下列6个关系：，,0∈{0}，tan45°∈Z，0∈N*，π∈Q，其中，正确的个数为________．
3．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．
(2)设集合，用列举法表示为____________．
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是________．
5．下列结论中，正确的个数是________．
①cos30°∈Q；②若，则a∈N；③方程x2＋4＝4x的解集中含有2个元素；④若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值为2；⑤|－3|∈N*.
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x＞x的实数x组成一个集合；③方程的解集为{2，－2}；④方程(x－1)2(x＋5)(x－3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．
7．已知二元素集A＝{a－3,2a－1}，若－3∈A，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
9. 设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则，请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，则；(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
参考答案
1．②③ 解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．
2．3 解析：,0∈{0}，tan45°＝1∈Z正确；，0∈N*，π∈Q不正确．
3．(1){x|x＝3n＋1，n∈Z} (2){0,1,2}
4．±1 解析：由A＝B得x2＝1，∴x＝±1.
5．1 解析：只有⑤正确．∵ Q，∴①不正确．取a＝0.1，则－0.1N,0.1N，∴②不正确；∵方程x2＋4＝4x的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a∈N*，∴a的最小值为1，∵b∈N，∴b的最小值为0，∴a＋b的最小值为1，故④不正确．
6．①②④ 解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x＞x，得x为全体实数．故x构成实数集R，②正确；方程的解为x＝2且y＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．
7．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时A＝{－3，－1}，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时A＝{－4，－3}，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
8．解：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0.此时，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0时，
即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)A中最多含有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，原方程无实数解，结合(1)知，
当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ＞0得a＜1，结合(1)可知，a≤1.
9.解：(1)∵2∈S,2≠1，∴.∵－1∈S，－1≠1，∴.∵，，∴，∴－1，，即集合S中另外两个数分别为－1和.
(2)证明：∵a∈S，∴，∴(a≠0，若a＝0，则，不合题意)．
(3)集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴.因此集合S不能只有一个元素．
1．给出下列关系
①{3}∈{3,4}；②；③{3,5}＝{3,1,5}；④{2}；⑤{1}{x|x＜2}；⑥．其中正确的序号是________．
2．设集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A，B，C之间的关系是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是______________．
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则M＝________.
5．若集合M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，则集合M与N的关系是________．
6．设全集为R，A＝{x|x＜0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若AB，则a的取值范围是________．
7．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且P＝{－1}，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，全集U＝R.
(1)当x∈N*时，求集合A的子集个数．
(2)若，求实数m的取值范围．
9.
已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x＜2，x∈P}，B＝{x|－a＜x≤1，x∈P}(－1＜a＜1).
(1)若P＝R，求A中最大元素m与B中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求B和A中所有元素之和及(B)．
参考答案
1．②④⑥
2．A＝BC
3．7 解析：当n＝0,1,2时，得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．其真子集有23－1＝7个，分别是，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3, 5}．
4．{x|x＜－2，或x＞2} 解析：因为集合M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，全集U＝R，∴．
5．M＝N 解析：方法一：∵M＝{…，－5，－3，－1,1,3,5，…}，N＝{…，－5，－3，－1,1,3,5…}，∴M＝N.
方法二：∵n∈Z，∴当n为偶数时，令n＝2m，m∈Z.则M＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，当n为奇数时，令n＝2m－1，m∈Z，则M＝{x|x＝2(2m－1)＋1，m∈Z}＝{x|x＝4m－1，m∈Z}．∴M＝N.
方法三：M为奇数集合，而N中元素均为奇数，∴有，任取x∈M，则x＝2n＋1，当n为偶数2m时，有x＝4m＋1∈N，当n为奇数2m－1时，仍有x＝4m－1∈N，∴.∴且，故M＝N.
6．a≥1 解析：∵A＝{x|x＜0，或x≥1}，∴A＝{x|0≤x＜1}，∵B＝{x|x≥a}，∴B＝{x|x＜a}，将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∵A?B，∴a≥1.
7．解：∵P＝{－1}，∴－1∈U，且.
∴解得a＝2.经检验，a＝2符合题意．
故实数a的值为2.
8．解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤6}．
∴当x∈N*时，A＝{1,2,3,4,5,6}．
∴集合A的子集个数为26＝64(个)．
(2)∵BA，∴分与讨论．
①当时，m－1＞2m＋1，即m＜－2.
②当时，由BA，借助数轴(如图所示)．
得
解得.
综上所述，m的取值范围是m＜－2或.
9.
解：(1)由已知得A＝{x|－1≤x＜0，或x＝2}，B＝{x|－1≤x≤－a，或1＜x≤2}，∴m＝2，n＝－1；∴m－n＝2－ (－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x＜2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．∴B＝{0}或．即B中元素之和为0，又A＝{－1,2}．其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.∵B＝{0}，或，∴(B)＝{－1,1,2}或(B)＝＝U＝{－1,0,1,2}．
1．设A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝________.
2．设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则(A∪B)＝________.
3．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)| 3x＋2y＝7}，则满足C(A∩B)的集合C的个数为________．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
5．已知S＝{x|x2－px＋6＝0}，M＝{x|x2－2x＋q＝0}，且S∩M＝{3}，则p＋q＝________，S∪M＝________.
6．若集合A＝{1, 3，x}，B＝{1， x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的值为________．
7．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，，求A∩B，A∪B，(B)∪P，(A∩B)∩(P)，并用区间表示．
8．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
9.
已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足BA，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的取值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(－1,0) 解析：A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜0}＝{x|－1＜x＜0}．
2．{2,4} 解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴(A∪B)＝{2,4}．
3．2 解析：．
∵C?A∩B，∴集合C的个数有2个，分别为?，{(1,2)}．
4．(2,4] 解析：∵A∪B＝A，∴B?A，又B≠?，∴
解得2＜m≤4.∴实数m的取值范围是(2,4]．
5．2 {－1,2,3} 解析：∵3∈S，∴32－3p＋6＝0，解得p＝5，
由3∈M，得32－2×3＋q＝0，∴q＝－3. ∴p＋q＝2，将p＝5，q＝－3.
代入原方程，得S＝{2,3}，M＝{－1,3}，∴S∪M＝{－1,2,3}．
6．0或 解析：∵A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}．
∴A∪B＝A，即B?A ∴x2＝3，或x2＝x.
①当x3＝3时，，，则，B＝{1,3}，符合题意；
若，则，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，x＝0，或x＝1，若x＝0；则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．综上可知，x的值为0或.
7．解：A∩B＝{x|－1＜x＜2}，用区间表示为A∩B＝(－1,2)；
A∪B＝{x|－4≤x≤3}，用区间表示为A∪B＝；
∵B＝{x|x≤－1，或x＞3}，，
∴，用区间表示为；
(A∩B)∩(P)＝{x|0＜x＜2}，用区间表示为(A∩B)∩(P)＝(0,2)．
8．解：∵A∩B＝{9}．∴9∈A ∴2a－1＝9，或a2＝9.
(1)若2a－1＝9，则a＝5.此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}．
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
(2)若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}．
B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．
综上可知，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
9.
解：存在．∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)}，
又∵BA，∴a－1＝1，∴a＝2.
∵A∪C＝A，∴CA.∴有以下三种情况：
①当C＝时，方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8＜0，∴.
②当C＝{1}或C＝{2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－8＝0，∴.此时，或，不符合题意，舍去．
③当C＝{1,2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个不相等的实数根，由根与系数的关系知，b＝1＋2＝3.两根之积为2.
综上所述，存在a＝2，b＝3，或满足条件．
1．给出下列四种说法：①函数就是从定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因为f(x)＝5这个数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；(4)f(x)表示的意义是与自变量x对应的函数值，而不是f与x的乘积，其中正确的个数是________．
2．给出下列对应：①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→|x|；②A＝B＝N，f：x→|x－3|；③A＝Z，B＝Z，f：x→x的平方根；④A＝B＝Z，f：x→x2；⑤A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：“对A中的三角形求面积与B中元素对应”，其中能够表示从A到B的函数的序号是__________．
3．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图形中，能表示f(x)的图象的只可能是________(填序号)．
4．下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①f(x)＝x，；②f(x)＝x，；③f(x)＝3x＋1，g(t)＝3t＋1；④f(x)＝|x|，；⑤f(x)＝x＋3，.
5．根据函数f(x)＝x2的图象可知，当f(m)＞f(2)时，实数m的取值范围为________．
6．已知函数，则f(x)的定义域为________，f(x)的值域为____________．
7．画出下列函数的图象：
(1)y＝x2－2，x∈Z，且|x|≤2；
(2)y＝x－1，x∈；
(3)y＝－2x2＋3x，x∈(0,2]．
8．(1)求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求f(x＋2)的定义域．
9.
已知函数 (a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f (x)＝x有惟一解．
求(1)a，b的值；
(2)f(f(－3))的值；
(3)f(x)的定义域和值域．
参考答案
1．4 解析：∵函数是从定义域到值域的对应，∴当定义域中只有一个元素时，值域也只能有一个元素，所以①②正确．∵f(x)＝5是常数函数，解析式与x无关，∴对任意x∈R，都有f(x)＝5，∴③正确；由f(x)的符号意义知，④正确．
2．②④ 解析：①0∈A， |0|＝0?B，∴f：x→|x|不表示从A到B的函数；③当输入值为4∈A，则有两个值±2输出(对应)，∴f：x→x的平方根不是从A到B的函数；⑤A中的元素不是数集，所以该对应不是从A到B的函数．
3．④ 解析：图①中，当时，y∈时，y∈ 解析：要使函数f(x)有意义，只需∴－1≤x≤1.即f(x)的定义域为．∵f(x)≥0，∴.∵－1≤x≤1，∴x2∈，1－x2∈，∴2≤2≤4，∵f(x)≥0.∴，即f(x)的值域为．
7．解：(1)∵x∈Z，且|x|≤2，∴函数图象为5个孤立的点分布在抛物线y＝x2－2上．如图(1)．
(2)图象为直线y＝x－1在上的一段，即一条线段，如图(2)．
(3)∵x∈(0,2]，∴函数图象是抛物线y＝－2x2＋3x介于0＜x≤2之间的一部分．如图(3)．
8．解：(1)要使函数有意义，则需∴
∴x≤1，且x≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)∵的定义域为，∴0≤x≤3，则1≤x＋1≤4.
∴，故f(x)的定义域为，∴使f(x＋2)有意义的条件是1≤x＋2≤2.即－1≤x≤0，∴f(x＋2)的定义域为．
9.
解：(1)由已知条件f(2)＝1，得，∴2a＋b＝2①.又方程f(x)＝x，即有惟一解．∴x(ax＋b－1)＝0有惟一解．∵ax2＋(b－1)x＝0 (a≠0)的判别式Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，∴解得b＝1，将b＝1代入①式，得.∴a、b的值分别为，1.
(2)由(1)知，.
∴.
∴.
(3)∵，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
∵，∴f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
1．已知x，y值的数据如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
－4
－3
－2
－1
0
1
2
则由表中数据可知，表中表示的函数关系式是________．
2．设，则f(x)＝________.
3．下列所给的四个图象中，可以作为函数y＝f(x)的图象的序号是________．
4．设 则＝________.
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
6．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
7．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且，φ(1)＝8，求φ(x)的解析式，并指出定义域．
8．已知函数
(1)求下列各函数值：f(－8)，，，；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
9.
如图所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
参考答案
1．y＝x－1
2. 解析：令.则，∴，∴.
3．③④ 解析：由函数概念知，对定义域内的每一个x值，y都有惟一的值与之对应，所以由图象知，①中当1＜x＜2时，y值不惟一；②中当x＝0时，y值不惟一，故①②不能作为函数y＝f(x)的图象．
4. 解析：∵，∴，
∵，∴.
5．∪＝．
(1)∵－8?，∴f(－8)无意义．
∵－1≤x＜0时，f(x)＝－x，∴.
∵0≤x＜1时，f(x)＝x2，∴.
∵1≤x≤2时，f(x)＝x，∴.
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为．
9.
解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即，半圆直径为2x.
半径为x，∴面积.
根据实际意义知，又x＞0，解得.
即函数的定义域为．
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
① (x＞0)；②；③；④.
2．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在(a，b)上递增．
②定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在(a，b)上递增．
③若f(x)在区间I1上是单调增函数，在区间I2上也是单调增函数，则f(x)在I1∪I2上也一定是单调增函数．
④若f(x)在区间I上单调递增，g(x)在区间I上单调递减，则f(x)－g(x)在区间I上单调递增．
4．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图：
则函数y＝f(x)的单调增区间是________；函数y＝g(x)的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目：写出满足在(－∞，0)上递减，在．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间上是单调函数．
9.
已知函数，问此函数在区间上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．④ 解析：在(0，＋∞)上是单调减函数在，，(0，＋∞)
5．y＝x2＋2或y＝|x|＋2 解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y＝ax2＋2，y＝a|x|＋2(a＞0)．
6．④ 解析：①因为函数在上为单调增函数，所以在(0，＋∞)上也是单调增函数，故①错．②函数在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自是单调减函数，但不能说函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1＜x2，但，，f(x1)＜f(x2)，显然不满足单调减函数定义，所以要把这两个区间分开写，不能取并集写成一个区间．③∵函数的定义域是, 故③错．④∵f(x)在R上为单调增函数，又a＋b＞0，∴有a＞－b，或b＞－a，则有f(a)＞f(－b)，或f(b)＞f(－a)．两式相加得f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故④正确．
7．解：(1)∵二次函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6的图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴此函数在区间(－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f(x)在(－∞，－1)上为单调减函数，其对称轴x＝2a－1必须在x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，∴a≥0.∴f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14≤14，即f(2)∈(－∞，14]．
(2)∵当x＝2a－1时，二次函数f(x)取得最小值，
∴f(2a－1)≤f(0)．
8．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈．
∵f(x)的对称轴为x＝1，∴当x＝1时f(x)取得最小值为1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a.∵f(x)在上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5，∴a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}．
9.
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x1，x2∈，且x1＜x2，则
.由2≤x1＜x2≤6，得x1－1＞0，x2－1＞0，∴(x1－1)(x2－1)＞0，又∵x1＜x2，∵x2－x1＞0，∵f(x1)＞f(x2)，∴函数在区间上是单调减函数．
∴函数在的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x＝2时，取最大值，且最大值为2；在x＝6时，取最小值，最小值为0.4.
1．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，下列式子中恒成立的序号是________．
(1) f(x)－f(－x)≥0；(2)f(x)－f(－x)≤0；(3)f(x)·f(－x)≤0；(4)f(x)·f(－x)≥0；(5)f(x)＋f(－x)＝0；(6).
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是，则a＝________，b＝________.
3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________.
4．已知奇函数f(x)在x＜0时，函数解析式为f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，函数解析式f(x)＝______________.
5．若f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是单调减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是______．
6．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x＋4)；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)，其中所有正确结论的序号是______．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4) (a∈R)．
8．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x＞2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3, 4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
参考答案
1．(3)(5) 解析：由奇函数的定义知，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝f(x)·＝－2≤0，且f(x)＋f(－x)＝0，∴(3)(5)正确，(1)(2)(4)错，(6)当f(－x)≠0时成立，故不恒成立．
2. 0 解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴，又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立，∴b＝0.
3．－26 解析：方法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数．∴f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
方法二：∵f(－x)＋f(x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f(－2)＋f(2)＝－16，又f(－2)＝10，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.
4．－x(x＋1) 解析：设x＞0时，则－x＜0，由条件，得f(－x)＝－x(－x－1)∵函数为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(－x－1)，∴f(x)＝－x(x＋1)(x＞0)．
5．(－2,2) 解析：方法一：f(2)＝0，f(－2)＝0，f(x)在(－∞，0]上单调递减，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在时，f(x)＜f(－2)＝0，当x∈上是单调减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，∵f(2)＝0，∴f(－2)＝f(2)＝0，由单调性易知使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)，借助图形更直观，如图．
6．①②④ 解析：由题意，知f(0)＝－f(2)，∴f(2)＝－f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2)＝0，故①正确；∵f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴②正确；∵f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，∴④正确．
7．解：(1)，但f(x)的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故此函数是非奇非偶函数．
(2)f (x)的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有，∴函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)∴对定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)∴函数f(x)为奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴函数f (x)为偶函数．当a≠0时，(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
8．解：(1)当x＞2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.又因为过A(2,2)，所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，解得a＝－2，所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x＞2，所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示，
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
1．下列对应中，能构成集合A到集合B的映射的序号是________．
①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2；③A＝R，B＝{y|y＞0}，f：；④A＝B＝R，f：x→2x＋1.⑤A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}；f：x→x2－2x＋2.
2．已知映射f：A→B，其中，集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是________．
3．已知f：x→|x|＋1是集合A＝R到集合B＝{x|x＞0}的一个映射，则B中的元素8在A中的原象是________．
4．已知A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________．
5．给出下列两个集合间的对应关系
①A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：x→2x；
③A＝B＝R，f：；
④A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→x4；
⑤A＝{江苏，浙江、山东、广东}，B＝{南京、杭州、济南、广州}，f：A中每个省对应B中的一个省会城市，其中映射的个数是________，是函数的序号为________．
6．为了确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b， c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到的密文为14,9,23,28时，对应的明文为________．
7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
8．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B.
9.设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f是A到B的映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原象；
(2)试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
(3)求当B中元素(a，b)在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
参考答案
1．①④⑤ 解析：∵A中元素0在B中无对应元素，
∴②不是集合A到B的映射，
∵0无倒数．
∴0∈A,0在B中无象，
∴③不能构成映射．
2．4 解析：由题意，知对应法则是f：a→|a|，
∴A中的3和－3对应的象是3，－2和2对应的象是2，－1和1对应的象是1,4对应的象是4，
∴B＝{1,2,3,4}，故B中元素有4个．
3．±7 解析：设原象为x，则|x|＋1＝8，即|x|＝7，∴x＝±7即8对应A中的原象为±7.
4．9 解析：∵A中有2个元素，B中有3个元素，∴A到B的映射共有32＝9个．
5．4 ②④ 解析：①⑤是映射，由于A、B不是数集，故不是函数，②④是映射，也是函数，③A中非正实数在B中无象，所以不是映射，更不是函数．
6．6,4,1,7 解析：由题意知 解得
∴对应明文为6,4,1,7.
7．解：(1)是A到B的映射．
(2)∵A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
(3)该对应是A到B的映射．
(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
8．解：∵1的象是4,7的原象是2，
∴可以判断A中的元素3的象要么是a4，要么是a2＋3a.
由a4＝3×3＋1＝10，且a∈N知，a不存在．
∴a2＋3a＝10，解得a＝－5(舍去)，a＝2.
又集合A中的元素k的象3k＋1＝a4＝16.，
∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
9.
解：(1)设(x，y)是(3，－4)的原象，于是解之，得或
∴(3，－4)在A中的原象是(－1,3)，(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，在A中有原象(x，y)应满足
由②式可得y＝x－b.代入①式得 x2－bx＋a＝0. ③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，③式有实数根，因此只有当B中元素满足b2－4a≥0时，在A中才有原象．
(3)由以上(2)的解题过程，知只有当B中元素满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原象，故a、b所满足的关系式为b2＝4a.
1．下列各式①；②；③c；④ (各式中的n∈N，a∈R)中，一定有意义的个数是________．
2．计算的结果是________．
3．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的序号是________．
① (x≠0) ②
③
④ ⑤(xy≠0)
⑥ (y＜0)
4．若，，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2的值是________．
5．下列结论中，正确的个数是________．
①当a＜0时，
② (n＞1且n∈N*)
③函数的定义域是(2，＋∞)
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
6．已知 (n∈N*)．则的值为________．
7．求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4) (a＞0，b＞0)．
8．化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)b.
参考答案
1．2 解析：①③两式一定有意义；∵(－4)2n＋1＜0，∴③无意义；当a＜0时④无意义．
2. 解析：原式.
3．②⑤ 解析：①(x≠0)，∴①错；
②，∴②对；③，∴③错；④，∴④错；⑤(xy≠0)，∴⑤对；⑥(y＜0)，∴⑥错．∴②⑤正确．
4. 解析：∵，.
∴
.
5．1 解析：①中，当a＜0时，，∴①不正确；当a＜0，n为奇数时，；∴②不正确；③中有即x≥2且，故定义域为，∴③不正确．④中，∵100a＝5,10b＝2，∴102a＝5,102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，∴2a＋b＝1.④正确．
6．2011 解析：由已知得
∴，
∴.
7．解：(1)原式.
(2)原式.
(3)原式
(4)原式
.
8．解：(1)原式
(2)原式
(3)原式.
(4)原式
1．指数函数y＝(2m－1)x是单调减函数，则m的取值范围是________．
2．(1)已知函数f(x)＝4＋ax－2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a＞1)的图象恒过点(1,10)，则m＝________.
3．下列四个图形中，能表示函数y＝a|x|(a＞1)的大致图象的序号是________．
4．已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是________．
5．(1)函数f(x)＝2x＋1与函数g(x)＝21－x的图象关于________对称．
(2)将函数y＝2x的图象上所有点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得函数图象对应的解析式是________．
(3)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过第________象限．
6．(1)函数的值域是________．
(2)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在上的最大值与最小值的和为6，则a的值为________．
7．解答下列各题：(1)已知3x≥9，求实数x的取值范围；
(2)已知：0.2x＋1＜5，求实数x的取值范围．
(3)已知函数若f(x0)＞1，求实数x0的取值范围．
参考答案
1． 解析：由题意知，0＜2m－1＜1，∴.
2．(1)(2,5) (2)9 解析：函数的图象随自变量x的变化而变化，但恒有当x＝2时，f(2)＝4＋a0＝5，∴P(2,5)．
(2)∵f(x)恒过点(1,10)，∴把 (1,10)点代入函数解析式有：，即a0＋m＝10，∴m＝9.
3．(2) 解析：函数f(|x|)是偶函数，应先画出x≥0时f(x)的图象，然后沿y轴翻折过去，得到x＜0时的函数图象，当x≥0时，y＝a|x|＝ax图象过(0,1)点，a＞1，在第一象限，图象下凸，是单调增函数．∴(2)符合．
4． 解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则0.957 6＝1·(1－t%)100
∴，∴.
5．(1)y轴 (2)y＝2x－3－1 (3)一 解析：(1)∵g(x)＝21－x的图象关于y轴对称的图象对应的函数为f(x)＝2x＋1，即f(－x)＝g(x)与f(x)关于y轴对称，故填y轴．(2)y＝2x的图象向右平移3个单位长度，得y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2x－3－1的图象． (3)∵0＜a＜1，b＜－1.∴y＝ax＋b的图象如下图所示．由图象知，函数y＝ax＋b的图象不过第一象限．
6．(1)[0,4) (2)2 解析：(1)∵4x＞0，∴－4x＜0，∴0≤16－4x＜16.∴0≤y＜4.
(2)∵y＝ax是单调函数，∴最大值与最小值在1,2处取得，∴f(1)＋f(2)＝6.
即a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3，又a＞0且a≠1，∴a＝2.
7．解：(1)∵3＞1，∴函数y＝3x在R上是单调增函数，由3x≥9＝32，得x≥2，即x的取值范围是[2，＋∞)．
(2)∵0＜0.2＜1，∴指数函数y＝0.2x在R上是单调减函数．
∵，∴0.2x＋1＜0.2－1，∴x＋1＞－1，∴x＞－2，即x的取值范围是(－2，＋∞)．
(3)当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1＞1，∴2－x0＞2，－x0＞1，x0＜－1；当x0＞0时，令，得x0＞1.综上可知，x0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．
2．下列结论中，正确的序号是________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a＞0且a≠1)；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
3．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a＞0且a≠1)则a2m－n＝________；
(2)若a＞0，，则________；
(3)若5lgx＝25，则x＝________.
4．已知lg(log2x)＝0，，则logxy＝________.
5．已知，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝________，________.
6．(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，则________.
(2)若2a＝5b＝10，则________.
7．求下列各式的值：
(1)2log525＋log264－2 011logπ1；
(2)log155·log1545＋(log153)2；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
8．2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2015年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)
参考答案
1. 解析：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴
2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．
3．(1) (2)3 (3)100 解析：(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴
(2)法一：∵a＞0，，∴
∴，即，∴
法二：∵a＞0，∴，∴ ∴
(3)∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.
4．－3 解析：∵lg(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，
又∵，
∴，∴，∴.
∴.
5．1 56 解析：由换底公式得.
，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴.
∴.
6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得.
，两式相除得：，
∴.
法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011 2＝3，∴.
法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，∴a＝log11.21 000，b＝log0.011 21 000.∴
(2)法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴.
法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，
∴.
7．解：(1)原式＝2log552＋log226－2011×0＝4＋6－0＝10.
(2)原式＝log155(1＋log153)＋(log153)2＝log155＋log153(log155＋log153)＝log155＋log153＝log1515＝1.
(3)原式＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.
(4)设，则＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.
(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.
(6)原式.
8．解：设经过x年后国民生产总值是2015年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即．
方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴ ．
答：约经过9年，国民生产总值是2015的两倍．
1．函数的定义域为________．
2．已知a＞0且a≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y＝ax与y＝loga(－x)的大致图象的序号是________．
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a、b、c的大小关系是________．
4．(1)若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.
(2)已知函数若f(a)≥2，则a的取值范围是________．
5．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是________．
6．(1)已知log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，则m的取值范围是________．
(2)函数的值域是________．
(3)方程的解是________．
7．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，如果对于任意x∈∪时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即，所以，即.
故由得.
(2)当a≤0时，，∴－a≥1，∴a≤－1；当a＞0时，f(a)＝log2(a＋2)≥2＝log24. ∴a＋2≥4. ∴a≥2. ∴a的取值范围是a≤－1或a≥2.
5．(0，－2) 解析：法一：函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数为g(x)＝ax－3，而g(0)＝a0－3＝－2.
∴g(x)的图象都过点(0，－2)．
法二：∵f(－2)＝loga1＝0，∴函数f(x)的图象都过点(－2,0)，
又∵原函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴其反函数的图象经过点(0，－2)．
6．(1)(1，＋∞) (2)上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值，∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也可认为当x＝2时，t有最大值4，而为单调减函数，∴y有最小值且)．
(3)原方程可化为即 ∴x＝2.
7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a＞1时，|f(x)|≥1f(x)≥1loga3≥1，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，|f(x)|≥1f(x)≤－1loga3≤－1，∴.
综上可知，a的取值范围是．
8．解：∵f(x)的图象是由y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到的，的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y＝log2x与的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．
学校名录参见：http://www. zxxk.com/wxt/list. aspx? ClassID=3060
1．设，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
2．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为______________．
①y＝x2 ② ③
④ ⑤
3．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
4．已知幂函数f(x)＝(2n2－n) xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则f(x)在区间上的最小值为________．
5．已知函数f(x)＝xα＋m的图象经过点(1,3)，又其反函数图象经过点(10,2)，则f(f(1))＝________.
6．(2010安徽高考，文7改编)设，，，则a，b，c的大小关系是________．
7．已知幂函数y＝f(x)过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
8．已知幂函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上是单调增函数，求满足的实数a的取值范围．
参考答案
1．1,3 解析：当α＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当α＝1或α＝3时满足题中条件．
2．3 解析：①⑤中函数定义域为R，值域为[0，＋∞)，②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞)，③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
3．2，，，－2 解析：由题图，知C1、C2表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调增函数，对应n值为正；C3、C4表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调减函数，对应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，，，，∴对应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，，－2.
4. 解析：∵f(x)为幂函数，∴2n2－n＝1，解得或n＝1，当时，符合题意；当n＝1时，f(x)＝x2在定义域上不具有单调性，舍去，∴，.f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，∴在上也为单调增函数．∴
5．29 解析：由互为反函数的两个函数图象之间的关系知，反函数过点(10,2)，则(2,10)必在原函数f(x)的图象上，∴2α＋m＝10，①
又f(x)过点(1,3)，∴1α＋m＝3，②
由②得m＝2，代入①得α＝3，∴f(x)＝x3＋2.
∴f(1)＝3，f(f(1))＝f(3)＝33＋2＝29.
6．a＞c＞b 解析：构造幂函数，∵该函数在(0，＋∞)上是单调增函数．
∴，即a＞c；构造指数函数，∵该函数在R上是单调减函数，∴，即b＜c，∴a＞c＞b.
7．解：设幂函数为y＝xα，又过点，得，∴.∴函数解析式为，定义域为(0，＋∞)．∴f(x)是非奇非偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数，图象为
8．解：由幂函数的定义知，m2＋2m－2＝1，即m2＋2m－3＝0.
解得m＝1或m＝－3，当m＝1时，y＝x3在(0，＋∞)上单调增函数．符合题意，当m＝－3时，y＝x－1在(0，＋∞)上是单调减函数，不合题意(舍)．
∴m＝1. ∵在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调减函数．
∴由，可得a＋1＞3－2a＞0，
或3－2a＜a＋1＜0，或a＋1＜0＜3－2a，
∴a＜－1或.
∴a的取值范围是．
1．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是________．
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是________．
3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
4．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则a的取值范围是________．
5．函数的零点个数为________．
6．设函数y＝x3与的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的端点为整数的区间是______．
7．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
8．已知函数y＝2x2＋bx＋c在上是单调减函数，在上是单调增函数，且两个零点是x1、x2，满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．
9 若函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
参考答案
1．2 解析：∵Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40＞0，∴方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实数根，即函数y＝2x2－4x－3有两个零点．
2．(1，＋∞) 解析：令f(x)＝2ax2－x－1，∵方程在(0,1)内恰有一个解，∴f(x)与x轴在(0,1)内恰有一个交点，∴f(0)·f(1)＜0，即－1·(2a－2)＜0，∴a＞1.
3．， 解析：由题意可知，2,3是方程x2－ax－b＝0的两根，由根与系数的关系知，a＝2＋3＝5，－b＝2×3，b＝－6，∴g(x)＝－6x2－5x－1＝－(2x＋1)(3x＋1)，
令g(x)＝0，得，或，∴函数g(x)的零点为，.
4．(－∞，1)
解析：方程一根比1大，一根比1小，即函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的零点一个在(1,0)点的右侧，一个在(1,0)点的左侧，画出f(x)的大致图象如图所示，由题意，得f(1)＜0，即1＋(a－1)·1＋(a－2)＜0，解得a＜1.
5．2 解析：由f(x)＝0，得或
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零点个数为2.
6．(1,2) 解析：法一：设，则，，，，由f(1)·f(2)＜0.
知f(x)在(1,2)上有零点(f(x)图象在(1,2)上连续)．
∴x0∈(1,2)．
法二(图象法)在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知x0∈(1,2)．
7．解：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
8．解：由题意，∴b＝6.故y＝2x2＋6x＋c.
又由韦达定理，得x1＋x2＝－3，，
∴.
∴.
经检验，符合题意．
∴所求二次函数为.
9．
解：∵f(0)＝1，∴(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1＝0的根为，适合题意；
(2)当m＜0时，f(x)的图象开口向下，且f(0)＝1＞0，∴f(x)的图象必与x轴正半轴有交点，满足题意；
(3)当m＞0时，要使f(x)图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，
必须满足 ∴
∴0＜m≤1.综上，可得m∈(－∞，1]．
1．下列函数中，在区间(1,2)上有零点的序号是________．
①f(x)＝3x2－4x＋5 ②f(x)＝x3－5x－5
③f(x)＝lnx－3x＋6 ④f(x)＝ex＋3x－6
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
3．函数的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有惟一零点(a＞0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为、、，则下列说法中正确的是________．(只填序号)
①函数f(x)在区间内有零点
②函数f(x)在区间或内有零点
③函数f(x)在内无零点
④函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
5．已知函数，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0, 则f(x1)的值与0的大小关系恒有________．
6．已知函数f(x)＝|x|，g(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝x(1＋x)，则方程f(x)＋g(x)＝1不相等的实数根的个数是________．
7．用二分法判断方程x3＋3x－1＝0在区间(0,1)内解的过程如下：
解：记f(x)＝x3＋3x－1，设方程x3＋3x－1＝0的实数解为x0，x0∈(0,1)；
第一次：f(0)＜0，f(0.5)＞0x0∈(0,0.5)；
第二次：f(0.25)＜0，f(0.5)＞0x0∈(0.25，0.5)；
第三次：f(0.25)＜0，f(0.375)＞0x0∈(0.25,0.375)；
第四次：f(0.312 5)＜0，f(0.375)＞0x0∈(0.312 5，0.375)；
第五次：f(0.312 5)＜0，f(0.343 75)＞0x0∈(0.312 5，0.343 75)；
第六次：f(0.312 5)＜0，f(0.328 125)＞0x0∈(0.312 5，0.328 125)；
第七次：f(0.320 312 5)＜0，f(0.328 125)＞0x0∈(0.320 312 5，0.328 125)；
第八次：f(0.320 312 5)＜0，f(0.324 218 75)＞0x0∈(0.320 312 5，0.324 218 75)．
问：若精确到0.1，算几次就可以了，解是多少？若精确到0.01呢？
参考答案
千里之行
1．④ 解析：∵f(1)＝e1＋3×1－6＜0，f(2)＝e2＋2×3－6＞0，∴f(1)·f(2)＜0，即函数f(x)＝ex＋2x－6在区间(1,2)上有零点，∴填④.其他三个函数在区间(1,2)上无异号零点，故不合题意．
2．(0,0.5) f(0.25) 解析：∵f(0)＜0，f(0.5)＞0，∴f(0)·f(0.5)＜0，∴f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，第二次应计算．
3．3 解析：如图所示，在同一直角坐标系内画出f(x)与g(x)的图象，结合图象知f(x)与g(x)的图象有3个交点
4．④ 解析：由所选区间可知，零点必在区间内，取中点，若，则零点就是；若，则零点要么在上，要么在上，二者必居其一，∴④正确．
5．f(x1)＞0 解析：∵，∴1＜x0＜2.
如图所示，当0＜x1＜x0时，函数的图象在y＝log2x的上方，即必有，∴f(x1)＞0恒成立．
6．2 解析：当x＞0时，－x＜0，
∴g(－x)＝－x(1－x)．
又∵g(x)为R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)．∴g(x)＝x(1－x)(x＞0)．
∵g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.
设F(x)＝f(x)＋g(x)，则
F(x)＝
即F(x)＝
∴当x＞0时，方程F(x)＝1，即－x2＋2x＝1，解得x＝1；当x＜0时，方程即为x2＝1，解得x＝－1或x＝1＞0舍去，当x＝0时，F(x)＝0≠1，综上，知方程f(x)＋g(x)＝1有两个不相等的实数根x＝±1.
7．解：第五次，两个端点精确到0.1的近似值都为0.3，故x0≈0.3；
第八次，两个端点精确到0.01的近似值都是0.32，故x0≈0.32.
1．某座高山，从山脚开始，海拔每升高100米气温就降低0.7℃，已知山顶温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则这座山的相对高度是________．
2．今有一组实验数据见下表：
t
1.99
3.01
4.02
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.51
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数序号是________．①v＝log2t ② ③ ④v＝2t－2
⑤v＝2t
3．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个商品销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
4．为了预防甲型H1N1流感的发生，某校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
5．2009年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则到________年我国人口总数将超过20亿．(注：lg1.012 5≈0.005 4，)．
6．如图所示，开始时桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶1和桶2中的水相等，则再过________分钟桶1中的水只有.
7．某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少车厢才能使运营人员最多？并求出每天最多运营人数．
8．某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，为了估测以后每个月的产量，以前三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，则在二次函数与指数函数模型(y＝abx＋c，a，b，c为常数)中，选用哪个函数作模拟函数好？请说明理由．
参考答案
1．1 700米 解析：由题意知，山高h(百米)与气温T(℃)为一次函数关系，则T＝－0.7h＋b，当h＝0时，T＝26℃，∴b＝26，即T＝－0.7h＋26.当T＝14.1℃时，h＝17(百米)．
∴此山的相对高度为1 700米，(也可直接得．
2．③ 解析：将表中数据代入各函数解析式中验证即可．
3．14 解析：设每个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)．
∴当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
4．0.6 解析：由题意可得即得或
解得或t≥0.6故至少需要经过0.6小时后学生才可回教室．
5．2 038 解析：设经过x年后我国人口总数恰好为20亿，由题意得14(1＋1.25%)x＝20(x∈N＋)，即，两边取常用对数，有.
∴，
即经29年后人口总数将超过20亿．由2009＋29＝2038知，到2038年我国人口总数将超过20亿．
6．10 解析：∵过5分钟时两桶中的水相等，∴ae－5n＝a－ae－5n，∴①.设过x分钟桶1中的水只有，则，即，由①可知，∴x＝15.
∴再过15－5＝10分钟，桶1中的水只有.
7．解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，得y＝kx＋b(k≠0)．
当x＝4时y＝16，当x＝7时y＝10，得下列方程组解得k＝－2，b＝24.
∴y＝－2x＋24.
由题意，知每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S节车厢，
则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72.
∴当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12.
则每日最多运营人数为110×6×12＝7 920(人)．
答：这列火车每天来回12次，每次应拖挂6节车厢才能使运营人数最多，每天最多运7 920人．
8．解：设y1＝f(x)＝mx2＋nx＋p(m≠0)则由前三个月的产量得
解之得
∴f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1. 3(万件)．
再设y2＝g(x)＝abx＋c.则
解得
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)，
经比较可知用y＝－0.8·(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．
