安徽省长丰县高中数学全一册教案（打包28套）新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理
项目
内容
课题
1.1.1 正弦定理
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；?
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．?
二、过程与方法?
1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；?
2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；?
3.进行定理基本应用的实践操作．?
三、情感态度与价值观?
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；?
2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．
教学重、
难点
教学重点1.正弦定理的概念；? 2.正弦定理的证明及其基本应用．
教学难点1.正弦定理的探索和证明；? 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．?
师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？?
生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．?
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？?
师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，
.
推进新课
[合作探究]?
师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）?
生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：?
如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.
（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）?
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即?
.?
师是否可以用其他方法证明这一等式？?
生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．?
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.
在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，
∴sinC=sinB′=.?
∴.?
同理,可得.?
∴.?
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式?
.?
点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.?
[知识拓展]?
师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢??
生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角.?
师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢??
生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.?
师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.?
师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得?

而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与?、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.?
师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.?
点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.?
(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.?
向量法证明过程:?
(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°?-A,j与的夹角为90°-C.?
由向量的加法原则可得?
,?
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到
由分配律可得
.?
∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).?
∴AsinC=CsinA.?
∴.?
另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.?
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)?
∴.?
(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与?的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.?
由,得j·?+j·=j·,?
即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°),?
∴AsinC=CsinA.?
∴
另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为?90°+B.
同理,可得.?
∴（形式1）.?
综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.?
师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.?
[教师精讲]?
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；?
（2）
等价于 (形式2).?
我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.
①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P4的例1就属于此类问题.?
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．?
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．?
师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.?
［例题剖析］?
【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.?
分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.?
解：根据三角形内角和定理，?
C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;?
根据正弦定理，?
b=≈80.1(cm);?
c=≈74.1(cm).?
[方法引导]?
(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.?
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.?
【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．?
分析:此例题属于BsinA＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.?
解：根据正弦定理，?
sinB =≈0.899 9.?
因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.?
（1）当B≈64°时，?
C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，?
C =≈30(cm).?
（2）当B≈116°时，?
C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，?
C=≈13(cm).?
[方法引导]?通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.?
变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.?
解：已知B∵sinB=≈0.513 1,?
∴B≈31°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.?
∴C=≈91.?
[方法引导]?
同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.?
变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形.?
解：∵sinB=≈0.618 6,?
∴B≈38°或B≈142°(舍去).?
∴C =180°-（A+B）=22°.?
∴ C =≈12.
[方法引导]?(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.?
(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.?
(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.?
师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：?
1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，?
(1)已知C =,A =45°,B=60°，求B;?
(2)已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.?
解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，?
，?
∴B =≈1.6.?
(2)∵，?
∴A =≈6.9.?
点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.?
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):?
(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;?
(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.?
解： (1) ∵.?
∴sinA =≈0.909 1.?
∴A1≈65°，A2≈115°.?
当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，?
∴C1=≈22.?
当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,?
∴C2=≈13.?
(2)∵sinB=≈0.505 1,?
∴B1≈30°，B2≈150°.?
由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角).?
∴C=180°-(45°+30°)=105°.?
∴C=≈38.?
(3)∵,?
∴sinB=≈0.654 6.?
∴B1≈41°,B2≈139°.?
由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去.?
∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,?
A=≈24.?
(4) sinB= =1.212＞1.?
∴本题无解.?
点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.?
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.?
布置作业
（一）课本第10页习题1.1　第1、2题.?
（二）预习内容：课本P5～P 8余弦定理
[预习提纲]?
(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.?
(2)余弦定理如何与向量产生联系.?
(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.?
板书设计
正弦定理?
1.正弦定理:? 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:
(1)平面几何法? (1)已知两角和一边?
(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角
教学反思
本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．
1.1.2　余弦定理
项目
内容
课题
1.1.2　余弦定理（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;?
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;?
3.能利用计算器进行运算.?
二、过程与方法?
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;?
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.?
三、情感态度与价值观?
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；?
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．?
教学重、
难点
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. ?
教学难点
1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;?
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;?
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．?
教学
准备
投影仪、幻灯片两张?
第一张:课题引入图片(记作1.1.2?A?)?
如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2?
问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a??
第二张:余弦定理(记作1.1.2B)?
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.?
形式一: a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,?
形式二:cosA=,cosB=,cosC=
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.?
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.?
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.?
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得?
A2=CD2+BD2.?
∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,?
又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,?
∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.?
又∵在Rt△ADC中,AD=B·COsA,?
∴a2=b2+c2-2abcosA.?
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.?
c2=a2+b2-2abcosC.?
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)?
推进新课?
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.?
在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:?
形式一:?
a2=b2+c2-2bccosA,?
b2=c+a2-2cacosB,?
c2=a2+b2-2abcosC.?
形式二:?
,?
,?
.?
师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.?
[合作探究]?
2.向量法证明余弦定理?
(1)证明思路分析?
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？?
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢??
生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角.?
师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.?
(2)向量法证明余弦定理过程:?
如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.?
由向量加法的三角形法则，可得,?
∴即B2=C2+A2-2AC?COs?B.?
由向量减法的三角形法则，可得,?
∴即a2=b2+c2-2bccosA.?
由向量加法的三角形法则,可得,?
∴即c2=a2+b2-2abcosC.?
[方法引导]?
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.?
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A;与是首尾相接,则夹角为角B的补角180°-B;与是同终点,则夹角仍是角C.?
[合作探究]?
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？?
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：?
.?
师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？?
生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．?
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．?
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)?
通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:?
(1)已知三边,求三个角.?
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况.?
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.?
这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.?
接下来,我们通过例题来进一步体会一下.?
［例题剖析］?
【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.?
解：根据余弦定理，?
a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82?,所以A≈41 cm.?
由正弦定理得sinC=≈≈0.544 0,?
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C≈33°,?
B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.?
【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.?
解：由余弦定理的推论,得?
cosA=≈0.554 3,A≈56°20′;?
cosB=≈0.839 8,B≈32°53′;?
C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.?
[知识拓展]?
补充例题：?
【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)?
分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.?
解：∵,?
∴A≈44°.?
∵cosC=≈0.807 1,?
∴C≈36°.?
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.?
[教师精讲]?
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.?
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.?
【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).?
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.?
解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′,
得c≈4.297.?
∵cosA=≈0.776 7,?
∴A≈39°2′.?
∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′.?
[教师精讲]?
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.?
【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC.?
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=acsinB可以求出.?
若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的.?
下面给出两种解法.?
解法一:由正弦定理得,?
∴A1=81.8°,A2=98.2°,?
∴C1=38.2°,C2=21.8°.?
由,得c1=3,c2=5,?
∴S△ABC=或S△ABC=.?
解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,?
∴72=c+82-2×8×ccos60°,?
整理得c2-8c+15=0,?
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=或S△ABC= .?
[教师精讲]?
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.?
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.?
课堂练习?
1.在△ABC中:?
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A;?
(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;?
(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B;?
(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.?
解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.?
(2)由,得.∴B=90°.?
(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b=7.?
(4)由,得.∴A=45°.?
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.?
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).?
(1)a=31,b=42,c=27;?
(2)a=9,b=10,c=15.?
解：(1)由,得≈0.675 5,∴A≈48°.?
由≈-0.044 2,∴B≈93°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(48°+93°)≈39°.?
(2)由得≈0.813 3,?
∴A≈36°.?
由≈0.763 0,
∴B≈40°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.?
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.?
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:?
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；?
（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．?
布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.?
板书设计
余弦定理
1.余弦定理　　　　 2.证明方法:? 3.余弦定理所能解决的两类问题:
(1)平面几何法;? (1)已知三边求任意角;
教学反思
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
1.1.3　解三角形的进一步讨论
项目
内容
课题
1.1.3　解三角形的进一步讨论（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．?
二、过程与方法?
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．?
三、情感态度与价值观?
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．?
教学重、
难点
教学重点
1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；?
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．?
教学难点
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;?
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；?
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．?
教学
准备
投影仪、幻灯片?
第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)?
正弦定理:；?
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC，?
, ,.?
第二张:例3、例4(记作1．1．3?B?)?
[例3]已知△ABC, BD为角B的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.?
[例4]在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.?
第三张:例5(记作1．1．3C)?
[例5]在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.?
教学过程
导入新课
师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.?
推进新课
思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）?
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．?
【例1】在△ABC中，已知A,B,A，讨论三角形解的情况.?
师 分析：先由可进一步求出B；则C =180°-(A+B),从而.?
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．?
1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．?
2.当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；?
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：?
（1）若a＞bsinA，则有两解；?
（2）若a=bsinA，则只有一解；?
（3）若a＜bsinA，则无解．?
（以上解答过程详见课本第9到第10页）?
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．?
（1）A为直角或钝角?
（2）A为锐角?
【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．?
分析：由余弦定理可知?
a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，?
a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，?
a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。?
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形 ）?
解：∵72＞52+32,即a2＞b2+c2，?
∴△ABC是钝角三角形．?
[教师精讲]?
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．?
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．?
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．?
2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替．?
3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．?
（1）已知三边，求三个角．?
（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．?
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或?cosA．?
师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B)?
［例题剖析］?
【例3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶BC＝AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.?
证明:在△ABD内,利用正弦定理得,即,?
在△BCD内,利用正弦定理得,即,?
∵BD是角B的平分线,∴∠ABD=∠DBC?
∴sin∠ABD=sin∠DBC.?
∵∠ADB+∠BDC=180°,?
∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC.?
∴.?
∴.?
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.?
［例题剖析］?
【例4】分析:此题所证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.?
另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinbcosB
等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.?
证明一: (化为三角函数)?
a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinB·COsB+(2RsinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinA?cosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.?
所以原式得证.?
证明二: (化为边的等式)?
左边=A2·2sinBcosB+B2·2sinAcosA= =
=
[教师精讲]?
由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA·cosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.?
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.?
【例5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析.
解法一:利用余弦定理将角化为边.?
∵bcosA=acosB,∴.∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2.
∴a=b.?
故此三角形是等腰三角形.?
解法二:利用正弦定理将边转化为角.?
∵bcosA=acosB,又B=2RsinB，A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.?
∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0＜A,B＜π,∴-π＜A-B＜π.?
∴A-B=0,即A=B.?
故此三角形是等腰三角形.?
评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.?
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinBcosA=sinAcosB两端同除以sinAsinB,得cotA=cotB,再由0＜A,B＜π,而得A=B.?
课堂小结?
通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.?
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形形状的判定方法.?
布置作业
1.在△ABC中,已知,求证: a2、b2、c2成等差数列.?
证明: 由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),?
cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,?
2cos2B=coOs2A+cos2C,2·=
∴2sin2B=sin2A+sin2C.?
由正弦定理,可得2b2=a2+c2,?
即a2、b2、c2成等差数列.?
2.在△ABC中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC.?
(1)求证:△ABC为等腰三角形;(提示B =C =75°?)?
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与边AC的交点,且AB＝2,求AD∶CD的值.?
答案: (1)略；(2)1∶3.?
板书设计
解三角形的进一步讨论?
一、三角形形状判定? 二、三角形问题证明思路 三、学生练习
1.等腰三角形:a＝b或? 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业
A＝B 2.向角转化?
利用正弦定理
2.直角三角形:a2+b2=c2或C =90°?
3.钝角三角形:C＞90°?
教学反思
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．?
1.2.1　解决有关测量距离的问题
项目
内容
课题
1.2.1　解决有关测量距离的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等.?
二、过程与方法?
1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．?
2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.?
三、情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；?
2.通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
教学重、
难点
教学重点 分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师 前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．
推进新课?
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.?
［例题剖析］?
【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m?)?
师（启发提问）1：△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？?
师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．?
生 从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理．?
生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．?
解：根据正弦定理，得?
，?
≈65.7(m).?
答:A、B两点间的距离为65.7米.?
[知识拓展]?
变题：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于A km,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？?
老师指导学生画图，建立数学模型．?
解略：km.?
【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法
[教师精讲]?
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离．?
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD =β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得?
，?
.?
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离?
.
[活动与探究]?
还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．?
[知识拓展]?
若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°,略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206.?
[教师精讲]?
师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．?
〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕?
师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.?
下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.?
【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.（精确到1 mm）?
　　
师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与A0重合，故A0C=AB＋CB＝425 mm，且A0A=A0C-AC．?
师 通过观察你能建立一个数学模型吗？?
生 问题可归结为：已知△ABC中， BC＝85 mm，AB＝34 mm，∠C＝80°，求AC．?
师 如何求AC呢？?
生 由已知AB、∠C、BC，可先由正弦定理求出∠A，再由三角形内角和为
180°求出∠B，最后由正弦定理求出AC．?
解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得?
≈0.246 2.?
因为BC＜AB，所以A为锐角.?
∴A=14°15′，∴ B＝180°-（A＋C）＝85°45′.?
又由正弦定理，?
≈344.3(mm).?
∴A0A =A0C –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).?
答：活塞移动的距离为81 mm．?
师 请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成.?
[知识拓展]?
变题：我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏
西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航
行才能用2小时追上敌舰？
师 你能根据方位角画出图吗？?
生（引导启发学生作图）?
师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．?
生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.?
解：如图，在△ABC中,由余弦定理得?
BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC
=202+122-2×12×20×(-)=784,?
BC =28,?
∴我舰的追击速度为14海里/时.?
又在△ABC中,由正弦定理得?
∴.?
答：我舰航行的方向为北偏东50°-arcsin.?
[方法引导]?
师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？?
生
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．?
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．?
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．?
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．?
生 即解斜三角形的基本思路：?
?
师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？?
生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．?
生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．?
生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．
某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？?
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得?
,则,
,所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC -cos120°sinC =.?
在△MAC中，由正弦定理得?
，从而有MB= MC-BC=15.?
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．?
课堂小结
通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
板书设计
解决有关测量距离的问题?
1.提出问题?
2.分析问题　　　　　　　　　演示反馈?
3.解决问题　　　　　　　　　总结提炼
教学反思
解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．
1.2.2　解决有关测量高度的问题
项目
内容
课题
1.2.2　解决有关测量高度的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.?
二、过程与方法?
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.?
三、情感态度与价值观?
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
教学重、
难点
教学重点
1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；?
2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．?
教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教学
准备
直尺和投影仪?
教学过程
导入新课
师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.?
推进新课
【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．?
[合作探究]?
师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？?
生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.?
师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE？?
生 由解直角三角形的知识，在△ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．?
师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说？?
生 应该设法借助解三角形的知识测出CA的长．?
生 为了求CA的长，应该把CA放到△DCA中，由于基线DC可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA的长．?
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h.?
师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？?
生 要测量某一高度AB，只要在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、D两点测出AB的仰角α、β，则高度，其中h为测角器的高．?
【例2】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).
[合作探究]?
师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？?
生 需求出BD边．?
师 那如何求BD边呢？?
生 可首先求出AB边，再根据∠BAD=α求得．?
解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.
根据正弦定理,?
=，所以.?
在Rt△ABD中,得BD =ABsin∠BAD=.?
将测量数据代入上式,得≈177(m),?
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).?
答:山的高度约为150米.?
师 有没有别的解法呢？?
生 要在△ACD中求CD，可先求出AC．?
师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？?
生 同理，在△ABC中，根据正弦定理求得．（解题过程略）?
【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.?
[合作探究]?
师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？?
生 在△BCD中.?
师 在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？?
生BC边.?
解：在△ABC中, ∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,?
,≈ 7.452 4(km),?
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈1 047(m).?
答:山的高度约为1 047米.?
课堂练习
用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度.?
分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC中有较多已知条件,故可在△EAC中考虑EA边长的求解,而在△EAC中有角β,
∠EAC=180°-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA.?
解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得
.在Rt△AEG中，EG=AEsinα=.?
∴EF=EG+b=.?
答:气球的高度是.?
评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα表示AG,而Rt△EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求.?
课堂小结?
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．?
布置作业
课本第17页练习第1、3题.
板书设计
解决有关测量高度的问题?
例1?
练习? 例2 课堂练习
小结　　　　　　　? 例3 布置作业
教学反思
本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．?
1.2.3　解决有关测量角度的问题
项目
内容
课题
1.2.3　解决有关测量角度的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.??
二、过程与方法?
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．?
三、情感态度与价值观?
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.
教学重、
难点
教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．?
教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
设置情境设问?
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？?
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. ?
生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.?
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．??
推进新课
【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°?
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)
[合作探究]?
学生看图思考．?
师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．?
生 这是方位角．?
生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．?
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.?
生解：在△ABC中，∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，
≈113.15.?
根据正弦定理, ,?
≈0.325 5,?
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.?
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.?
师这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]?
师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）?
生甲 如右图．?
师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢??
生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.?
生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理，可得?
(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,∴化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去).
所以BC = 10x =15,AB =14x =21.?
又因为sin∠BAC =,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去）.?
∴38°13′+45°=83°13′.?
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.?
师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？?
生 同上解得BC=15,AB=21,?
在△ABC中，由余弦定理，得?
≈0.785 7,?
∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.?
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．??
课堂练习
课本第18页练习.?
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23?°?.?
[方法引导]?
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]?
1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？?
解：在△ABC中，BC=30，B=30°，?
∠ACB=180°-45°=135°,
∴A=15°.?
由正弦定理知,∴.
∴.∴A到BC所在直线的距离为
AC·sin45°=（15+15）·=15（+1）≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．?
答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．?
2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，?
（1）起初，两人的距离是多少？?
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；?
（3）什么时候两人的距离最短？?
解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，
则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,?
∴起初，两人的距离是千米．?
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t,BQ=4t,?
当0≤t≤时，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;?
当t＞时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,
所以，PQ =48t2-24t+7．?
（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,?
∴当t=时，即在第15分钟末，PQ最短．?
答：在第15分钟末，两人的距离最短．?
课堂小结?
在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．?
布置作业?
课本第22页习题1.2第9、10、11题.?
板书设计
解决有关测量角度的问题?
例1　　　　　　　　　　例2　　　　　　　　　　课堂练习?
布置作业
教学反思
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．?
1.2.4　解决有关三角形计算的问题
项目
内容
课题
1.2.4　解决有关三角形计算的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;?
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．?
二、过程与方法?
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;?
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．?
三、情感态度与价值观?
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；?
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学重、
难点
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.?
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
[设置情境]?
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？?
生hA=bsinC=csinB,?
hB=csinA=asinC,?
hC=asinB=BsinA.?
师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？?
生 同理，可得,.?
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？?
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.?
推进新课
【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）.?
（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°;?
（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;?
（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.?
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．?
〔生口答，师书写过程〕?
解：（1）应用，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).?
(2)根据正弦定理，,?
.?
A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,?
≈4.0(cm2).?
(3)根据余弦定理的推论，
得≈0.769 7,?
≈0.638 4,?
应用得S=×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).?
生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．?
【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？?
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？?
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．?
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕?
解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，?
≈0.753 2,?
≈0.657 8,?
应用S= acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2).?
答：这个区域的面积是2 840.38 m2．?
【例3】在△ABC中，求证：?
（1）;?
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）.?
[合作探究]?
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点??
生
等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明.?
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法．?
证明：（1）根据正弦定理，可设?
,?
显然 k≠0，所以?
左边==右边.?
师 那对于第二小题又该怎么化呢？?
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.?
师 很好，哪位来板演一下？?
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，?
右边=?
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.?
1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C=6,求A及△ABC的面积S.?
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.?
答案：A=6,S=9;A=12,S=18.?
2.判断满足下列条件的三角形形状，?
(1)acosA = bcosB;?
(2)sinC =.?
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.?
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．?
生（余弦定理）得,?
∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).?
∴a2=b2或c2=a2+b2.?
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.?
生（正弦定理）得?
sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.?
∴根据角的关系易得是等腰三角形.?
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？?
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.?
(2)（解略）直角三角形.?
[知识拓展]?
如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC =，求：?
(1)AB的长;?
(2)四边形ABCD的面积.?
略解：（1）因为∠BCD=75°,∠ACB=45°，
所以∠ACD=30°.?
又因为∠BDC=45°，?
所以∠DAC=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD=DC =.?
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+ 45°）=60°，所以?
.?
在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=.?
(2)S△ABD=×AD×BD×sin75°=.同理，S△BCD=.?
所以四边形ABCD的面积.?
课堂练习?
课本第21页练习第1、2题.
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯．?
布置作业
课本第22页习题1.2第12、14、15题.?
板书设计
解决有关三角形计算的问题?
例1　　　　　　　例2　　　　　　　例3　 变题1?
补充练习:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 变题2
教学反思
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题. ?
1.3　实习作业
项目
内容
课题
1.3　实习作业
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.解斜三角形应用;?
2.测角仪原理;?
3.数学建模.
二、过程与方法?
1.进一步熟悉解斜三角形知识;?
2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;?
3.加强动手操作的能力;?
4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; ?
5.增强数学应用意识.?
三、情感态度与价值观?
1.认识数学在生产实际中的作用;?
2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.?
教学重、
难点
教学重点 数学模型的建立.?
教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用.?
这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题.
推进新课?
（1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.?
问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离??
问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量？?
(1)
(2)?
（2）分析问题：?
师 问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？?
生 根据实际情况，应该采取下列措施：?
1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测量,但改变测量点;4.填写实习报告;5.总结改进方案.?
实习报告（1）?
　　　　年　　　　月　　　　日
题目
测量底部不能到达的烟囱AB的高度
测量目标
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
EF长(m)
ED长(m)
α1
α2
计算
∵α3=α2-α1，
，
AC =AD·sinα2，
∴AB=AC +BC=AC+EF
减少误差措施
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
师 对于问题二、问题三中的A、B两点都不能直达，无法用皮尺直接量出，如何间接量出？应再取点C，借助△ABC来测量计算．?
在△ABC中要计算AB的长，应采集哪些数据？如何采集？?
生 问题二中，先选适当位置C，用经纬仪器测出角α，再分别量出AC、BC的长B、A，则可求出A、B两点间的距离．?
生 问题三中，可在小河的一侧，如在点B所在的一侧，选择点C，为了算出AB的长，可先测出BC的长A，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据A、α、β的值，就可算出AB的长．?
生 数据运算：?
问题二　计算方法如下：?
在△ABC中，已知AC=B，BC=A,C=α,则由余弦定理得
问题三　计算方法如下：?
在△ABC中，由正弦定理可得，所以.?
实习报告（2）?
题目
测量一水塘两侧A、B两点间的距离
测量目标（附图）
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
AC的长（m）
42.3
41.9
42.1
BC的长（m）
34.8
35.2
35
α
109°2′
108°58′
109°
计算
A、B两点间距离 （精确到0.1m），
AC=42.1 m，?
BC =35 m，?
α=109°?
∴
=
算得AB≈62.9(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
实习报告（3）是对一小河两岸两点实际测量的情况．
实习报告（3）?
题目
测量一小河两侧A、B两点间的距离
测量目标（附图）
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
a的长（m）
48.3
47.9
48.1
α
42°54′
43°6′
43°
β
70°7′
69°53′
69°
计算
A、B两点间距离 （精确到0.1m）：
A=48.1 m，
α=43°，
β=69°
∴
算得AB≈48.4(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
课堂小结?
通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用,增强学习数学的兴趣.?
布置作业: 完成实习报告
板书设计
实习作业?
提出问题?
分析问题?
实习报告
　　　　　　　　　　　　　　　 课堂小结?
布置作业
教学反思
本节适当安排了一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．?
3.1.1　不等关系与不等式(一)
项目
内容
课题
3.1.1　不等关系与不等式（一）（共1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；?
2.了解不等式或不等式组的实际背景；?
3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.
教学重、
难点
教学重点
1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；?
2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；?
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.?
教学难点
1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；?
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.?
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺?
教学过程
导入新课?
师 日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？?
生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.?
生 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xa＜xb.?
(老师协助画出数轴草图)　
生 实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.?
实例4:两点之间线段最短.?
实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.?
(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)?
推进新课
师 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.?
(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)
实例6:限时40 km/h?的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.?
实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
［过程引导］?
师 能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢??
生 可以用不等式或不等式组来表示.?
师 什么是不等式呢??
生 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.?
（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）?
师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.?
（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）?
［合作探究］?
生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.?
师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢??
（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）?
生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.?
生 可以表示为x≥0.?
（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）?
（老师顺便画出三角形草画）?
生 |AC|+|BC|＞|AB|
(只需结合上述三角形草图).?
生 |AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.?
生 |AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.?
生 如果用v表示速度，则v≤40 km/h.?
生 f≥2.5%或p≥2.3%.?
(此时,一片安静,同学们在积极思考)?
生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为
生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.?
师 同学们看这两位同学的观点是否正确??
生 (齐答)大家齐声说，都可以.?
师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.?
课堂练习?
教科书第83页练习1、2.?
(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）?
【问题1】 设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.?
［活动与探究］?
师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.?
(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)?
［方法引导］?
师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以??
(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|.?
师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.?
师 请同学们继续来处理问题2.?
［合作探究］?
【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢??
生 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本.?
师 那么销售量变为多少呢？如何表示？?
生 可以表示为万本，则总收入为万元.?
〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为x≥20〕?
师 是否有同学还有其他的解题思路？?
生 可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N *)，?
（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）?
师 为什么可以这样设？?
生 我只考虑单价的增量.?
师 很好，请继续讲.?
生 那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.?
师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.?
（留下让学生思考的时间）?
师 请同学们继续思考第三个问题.?
［合作探究］?
【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式??
师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？?
生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.?
生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.?
生 截得两种钢管的数量都不能为负.?
师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？?
生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.?
生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N.?
师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？?
生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：?
师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.?
课堂练习?
练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组??
分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是：?
（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）?
课堂小结
师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？?
生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.?
生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.?
生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.?
师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.?
（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）?
布置作业
第84页习题3.1A组4、5.?
板书设计
不等关系与不等式（一）
实例? 方法引导 方法归纳
如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结
实际问题中不等量关系？ 示范解题
教学反思
对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.?
3.1.2　不等关系与不等式(一)
项目
内容
课题
3.1.2　不等关系与不等式（一）（共1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;?
2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;?
3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.?
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学重、
难点
教学重点
1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；?
2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；?
3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教学难点
1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；?
2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺?
教学过程
导入新课
师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.?
推进新课
师 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？?
生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.?
师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？?
（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）?
师 一般地说，不等式的基本性质有三条：?
性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）
性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）?
性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）?
［过程引导］?
师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）?
性质1：a＜b?a+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞b?a+c＞b+c（或a-c＞b-c）.?
性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0?ac＞bc(或).?
性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0?ac＜bc(或).?
（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）?
师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？?
生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.?
师 很好，c可以为零吗？?
生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.?
师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.?
师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.?
（学生已迫不及待）?
生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.?
（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）?
师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.?
（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）?
［教师精讲］?
师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？
生 显然正确.?
师 类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,?
a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.?
师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.?
师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？?
生 只要考察它们的差就可以了.?
师 很好.请同学们思考下面这个问题.?
(此时，老师用投影仪给出问题)?
［合作探究］?
【问题1】 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.?
（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)??
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，?
由x≠0，得x2＞0，从而(x2+1)2＞x4+x2+1.?
（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）?
师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
【例1】 比较下列各组数的大小（a≠b）.?
(1)与 (a＞0,b＞0);?
（2）a4－b4与4a3（a－b）.?
师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.?
解：（1），?
∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.?
∴.?
（2）a4-b4-4a3(a-b)?
=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)?
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)?
=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］?
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)?
=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,?
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),?
又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.?
∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.?
∴a4-b4＜4a3(a-b).?
师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.?
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
［合作探究］?
【问题2】 求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；?
（2）a＞b?a+c＞b+c.?
师 请同学们思考第一小问该如何证明？?
生 可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.?
师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？?
生 ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.?
师 这位同学证明得是否正确？?
生 正确.?
师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.?
生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.?
师
回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.?
（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）?
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？?
生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.?
师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？
生（齐声）没问题.?
师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.?
师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）?
(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)?
［例题剖析］?
已知a＞b＞0, c＜0，求证：.?
师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？?
生 可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴.?
师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.??
课堂小结?
常用的不等式的基本性质及证明：?
（1）a＞b,b＞c a＞c;?
a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0 (a-b)+(b-c)＞0a-c＞0?a＞c.?
（2）a＞b?a+c＞b+c;?
a＞ba-b＞0 (a-b)+(c-c)＞0 (a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.?
（3）a＞b,c＞0ac＞bc;?
a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0 (a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.?
（4）a＞b,c＜0ac＜bc.?
a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0 (a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.
布置作业
课本第84页习题3.1?A组3,?Ｂ组1.（3）（4）、2.?
板书设计
不等关系与不等式（二）
引入? 方法引导 方法归纳
不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结
示范解题
教学反思
在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.
3.2.1　一元二次不等式的概念和一元二次不等式的解法
项目
内容
课题
3.2.1　一元二次不等式的概念和一元二次不等式的解法（1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;?
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;?
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观
1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;?
2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.?
教学重、
难点
教学重点
1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.?
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.?
教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.?
教学
准备
多媒体及课件，幻灯片三张
教学过程
导入新课
师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.?
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）?
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？?
假设一次上网x小时，则A公司收取的费用为1.5x，那么B公司收取的费用为多少？怎样得来？?
生 结果是元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x的和，即?
师 如果能够保证选择A公司比选择B公司所需费用少，则如何列式？?
生 由题设条件应列式为＞1.5x(0＜x＜17)，整理化简得不等式x2-5x＜0.??
推进新课
师 因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.?
什么叫做一元二次不等式？?
含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.?
那么如何求解呢？?
师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？?
思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，?
y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？?
它的对应值表与图象如下：?
x
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
由对应值表与图象（如上图）可知：?
当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；?
当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0；?
当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.?
师 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果：?
（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；?
（2）①当a＞0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.?
②当a＜0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.?
师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？?
生 函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.
a＞0
a＜0
一次函数?
y=ax+b(a≠0)?
的图象
一元一次方程ax+b=0的解集
{x|x=}
{x|x=}
一元一次不等式ax+b＞0的解集
{x|x＞}
{x|x＜}
一元一次不等式ax+b＜0的解集
{x|x＜}
{x|x＞}
师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？?
在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？?
生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.?
二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
由对应值表与图象（如上图）可知：?
当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；?
当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；?
当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.?
这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),?
则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.?
一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.?
［教师精讲］?
由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.?
如何讨论一元二次不等式的解集呢？?
我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.?
（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.?
（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x≠}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.?
(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.
Δ=b2-4ac
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象
ax2+bx+c=0的根
x1=x2=
ax2+bx+c＞0的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠}
R
ax2+bx+c＜0的解集
{x|x1＜x＜x2}
对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.?
［知识拓展］?
【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0.?
生 解：因为Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜，或x＞3}.?
【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.?
生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.?
【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.?
生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.?
【例4】 解不等式-x 2?+2x-3＞0.?
生 解：整理化简，得x2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是.?
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？?
生 归纳如下：?
（1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).?
（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：?
①Δ＞0时，求根x1＜x2，
②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，
③Δ＜0时，方程无解，
（3）写出解集.?
师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.?
［学生活动过程］
［方法引导］?
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.?
课堂小结
1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.?
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.?
布置作业
1.完成第90页的练习.?
2.完成第90页习题3.2第1题.?
板书设计
一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法
多媒体演示区 一元二次不等式概念
一元二次不等式解题步骤 例题
教学反思
一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤。.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
3.2.2　一元二次不等式的解法的应用(一)
内容
课题
3.2.2　一元二次不等式的解法的应用(一)?（1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；?
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；?
3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；?
4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；?
2.培养学生分析问题和解决问题的能力；?
3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.?
教学重、
难点
教学重点
1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.?
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.?
3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:?
(1)＞0f(x)·g(x)＞0;?
(2) ＜0f(x)·g(x)＜0;?
(3) ≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0;?
(4) ≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.?
解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解.?
教学难点
1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.?
2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.?
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道，一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图象的关系.如果一个一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个根x1＜x 2，则x 1、x 2就把实数（x轴）分成了三部分，要解ax2+bx+c＞0，就要找这三部分中使ax 2+bx+c大于0的部分；同样，解ax 2+bx+c＜0，就是要找这三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.解一元二次不等式的程序是什么？?
生 (1)将二次项系数化为“+”：y=ax2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).?
(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：?
①Δ＞0时，求根x1＜x2，若y＞0，则x＜x1或x＞x2;?
若y＜0,则x1＜x＜x2;?
②Δ=0时，求根x1=x 2=x0，若y＞0，则x≠x0的一切实数；?
若y＜0，则x∈;?
若y=0，则x=x0；?
③Δ＜0时，方程无解，若y＞0，则x∈R;?
若y≤0，则x∈.?
(3)写出解集.?
师 利用这种思想，我们来研究一元二次不等式的应用.?
【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：?
.?
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）?
生 由题设条件应列式为，移项、整理、化简得不等式x 2+9x-7 110＞0.?
推进新课?
师 因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程?x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.
在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.?
师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？?
生 设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.?
［教师精讲］?
因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.?
［知识拓展］?
【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0.?
思路一：利用前节的方法求解.?
思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，?
∴原不等式的解集是下面两个不等式组与的解集的并集，即 ∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式：
解：∵(x-1)(x+4)＜0或x∈或-4＜x＜1-4＜x＜1，?
∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.?
思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.?
解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.?
②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：
（-∞，-4）
（-4，1）
（1，+∞）
x+4
-
+
+
x-1
-
-
+
(x-1)(x+4)
+
-
+
③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.?
点评：此法叫区间法，解题步骤是：?
①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……?
②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；?
③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；?
④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.?
练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.?
答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.?
教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.?
解：①检查各因式中x的符号均正；?
②求得相应方程的根为-2，1，3；?
③列表如下：?
（-∞，-2）
（-2，1）
（1，3）
（3，+∞）
x+2
-
+
+
+
x-1
-
-
+
+
x-3
-
-
-
+
各因式积
-
+
-
+
④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.?
思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.?
由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？?
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；?
②求根，并在数轴上表示出来；?
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；?
④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.?
这种方法叫数轴标根法.?
练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.?
教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.?
解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；?
②求得相应方程的根为-1，0，2，3；?
③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：?
④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.?
［合作探究］?
师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.?
解：①检查各因式中x的符号均正；?
②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；?
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：?
④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.?
说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根.?
∴在?B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶?不穿”.?
【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.?
解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2) 2≤0；?
②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；?
③在数轴上表示各根并穿线，如右图：?
④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.?
点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.?
［教师精讲］?
师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.?
师 分式不等式的解法.?
由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.?
解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)g(x)的形式.?
【例5】 解不等式：.?
解法一：化为两个不等式组来解.?
∵0或x∈或-7＜x＜3-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.?
解法二：化为二次不等式来解.?
∵-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.?
点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.?
【例6】 解不等式：.?
解法一：化为不等式组来解(较繁).?
解法二：∵
∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.?
练习：解不等式.?
答案：{x|-13＜x＜-5}.?
［方法引导］?
讲练结合法?
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.?
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.?
课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.?
2.求解一般的高次不等式的解法.?
特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.?
3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 (或的形式，转化为，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.?
布置作业
完成第90页习题3.2?A组第5、6题，?
习题3.2?B组第4题.?
板书设计
一元二次不等式的解法的应用（一）
例题
例题 练习
一元高次不等式解题步骤
教学反思
本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.
整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
3.2.3　一元二次不等式的解法的应用（二）
项目
内容
课题
3.2.3　一元二次不等式的解法的应用(二)
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与?联系;?
2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;?
3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及?技巧.?
二、过程与方法?
1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的?能力；?
2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；?
3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.?
教学重、
难点
教学重点
1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;?
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.?
教学难点
1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;?
2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.?
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.解分式不等式，切忌去分母.?
生 板演：?
1.解不等式：-x2+5x＞6({x|2＜x＜3}).?
2.解不等式：x2-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}).?
3.解不等式：x2+2x+3＜0(Δ=-8＜0,x∈).?
4.解不等式：（{x|-13＜x＜-5}）.?
师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.?
推进新课
师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab).?
生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b).?
讨论：当a＞b时，,∴x∈(,+∞).?
当a=b时，若a=b≥0时x∈；若a=b＜0时x∈R.?
当a＜b时，,∴x∈(-∞, ).?
师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0.?
生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0，?
若a＞-(a-1),即a＞,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).?
若a=-(a-1),即a=,则(x-12)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.?
若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).?
师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0.?
生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)＞0.?
②相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？?
③讨论：?
（ⅰ）当-a＞4，即a＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4或x＞-a}.?
（ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a或x＞4}.?
（ⅲ）当-a＜-3，即a＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3或x＞4}.?
（ⅳ）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.?
(ⅴ)当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|x＞4}.?
师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.?
师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.?
生 Δ=k2+8k=k(k+8).?
(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是?
{x|};?
(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{}，即{0,2}；?
(3)当Δ＜0,即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根，?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为?.?
练习　解不等式：mx 2-2x+1＞0.?
师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.?
解：∵Δ=4-4m=4(1-m),?
∴当m＜0时,Δ＞0,此时.?
∴解集为{ }.?
当m＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜},?
当0＜m＜1时,Δ＞0，此时,?
∴解集为{}.当m＝1时,不等式为(x-1)2＞0,?
∴其解集为{x|x≠1};?
当m＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.?
师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.?
［教师精讲］?
对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.?
（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.?
（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.?
总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.?
［知识拓展］?
【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞}，求关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集.?
师
由题设a＜0且，，从而ax2-bx+c＞0可以变形为，即x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}.?
引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围.??
师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax?2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.?
生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须
即
∴a的取值范围是a∈(-∞,).?
师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）?
师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围.?
显然k=0时满足.而k＜0时不满足.?
∴k的取值范围是 [0,1].?
练习：不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-＜x＜}，求a、b.()?
［教师精讲］?
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.?
［合作探究］?
【例3】 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.?
生 ∵
2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k＞0对x取任何实数均成立.?
∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0k 2-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范围是（1，3）.?
师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.?
【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.?
解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.?
①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：?
m∈.?
∴此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.?
②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：?
m＜5.?
∴此时m的取值范围是(-∞,5).?
③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：?
m＜2.∴此时m的取值范围是(-∞,2).?
④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：?
?m∈.?
∴此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.?
师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.?
练习：?
1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是……?（　　）
A. (,+∞)　　　　　　　　 B.(-∞, )?
C. [，+∞）? D.( ,0)∪(0,+∞)?
提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜，∴选D.?
答案：D??
2.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集为{x|＜x＜}，则a、b的值分别是__________.?
提示：由
答案：-6，-1?
3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.?
提示：由 k≤-6.?
师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.?
师 解：要原方程有两个负实根，必须?
-2＜k＜-1或＜k＜1.?
k＞23或k＜-1?
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.?
练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围.?
生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x＜}；?
若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，?
必须-＜a＜1.?
∴实数a的取值范围是(,1)∪{1}=(,1］.?
［方法引导］?
讲练结合法?
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.?
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.??
课堂小结
1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.?
2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：?
（1）确定讨论的对象及其范围；?
（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；?
（3）逐类讨论，分级进行；?
（4）归纳整合，作出结论.?
3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.?
4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.
布置作业
（1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14)?
（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})?
(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）
(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.?
解：要使原方程有两个负实根，必须?
-2＜k＜-1或＜k＜1.?
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.??
板书设计
一元二次不等式的解法的应用（二）
例3
例1、2
例4
教学反思
上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.
整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
项目
内容
课题
3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.?
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；?
2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；?
3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.?
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重、
难点
教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.?
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
第1课时?
导入新课
师 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一个实际例子.?
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？?
师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？?
生 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由资金总数为25 000 000?元，得到x+y≤25 000 000.①?
师 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以?
(12%)x+(10%)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.②?
师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是?
生 x≥0,y≥0.③?
师 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：?
师 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.?
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.?
师 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-1＞0的解为坐标的点的集合A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么图形呢？?
推进新课?
［合作探究］?
师 二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线.?
以二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点，也拼成一个点集.如x＝3，y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素.我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}.?
请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？?
生 x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平面区域.?
师 事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线x＋y－1＝0上.(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)点在直线x＋y－1＝0的左下方.??
因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立.?
师 下面对这一猜想进行一下推证.?
在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x 0，y 0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x 0，y＝y0两式相加.?
x＋y＞x 0＋y 0，则x＋y－1＞x0＋y0－1,P点在直线x＋y－1＝0上，x0＋y 0－1＝0.?
所以x＋y－1＞0.?
因为点P(x0，y0?)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以对于直线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y),x＋y－1＞0都成立.?
同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0都成立.?
所以点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域，点集?{(x，y)|x＋y－1＜0}?是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域.?
师 一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.?
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0?，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.?
说明：x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧.?
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.?
师 提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的区域，应当理解为{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.??
师 另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.?
（1）A为直线l右上方的平面区域　　　
(2)B为直线l左下方的平面区域?
(3)C为直线l左上方的平面区域　　　
(4)D为直线l右下方的平面区域?
［教师精讲］?
师 二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域.?
（1）结论：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域.?
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.?
（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.?
［知识拓展］?
【例1】 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域.?
解:先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的异侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域.?
生 学生课堂练习.?
(1)x－y＋1＜0.?
(2)2x＋3y－6＞0.?
(3)2x＋5y－10≥0.?
(4)4x－3y≤12.?
【例2】 画出不等式组表示的平面区域.?
x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合.?
x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.?
在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.?
【例3】 画出不等式组表示的平面区域.?
师 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.?
生 解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x≤3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分.?
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.?
（1）x-y+1＜0;?
（2）2x+3y-6＞0;?
（3）2x+5y-10＞0;?
（4）4x-3y-12＜0;?
（5）
如下图：?
［合作探究］?
师 由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？?
生 归纳如下：?
1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类：?
（1）直线l上：{(x,y)|x+y-1=0}；?
（2）直线l的上方：{(x,y)|x+y-1＞0}；?
（3）直线l的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}.?
对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标,代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小于0.观察到所有大
于0的点都在直线l的右上方，所有小于0的点都在直线l的左下方，所有等于0的点在直线l上.?
2.一般地，
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.?
二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线.?
此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点）?
［方法引导］?
上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论.?
课堂小结
1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l分成三类：?
（1）直线l上；?
（2）直线l的上方；?
（3）直线l的下方.?
2.二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域.
布置作业
1.不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（　　）?
A.右上方　　　　　?B.右下方　　　　　?C.左上方　　　　D.?左下方?
2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是（　　）?
3.不等式组表示的平面区域是（　　）?
4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式___________表示.?
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是_______________.?
6.画出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的区域.?
答案：?
1.B?　2.D?　3.B?　4.x+2y-1＞0　5.（－1，－1）?
6.
第2课时?
导入新课
师 前一节课我们共同学习了二元一次不等式（组）的一些基本概念，并且从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，下面请同学回忆上述内容.?
生 一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.?
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y 0)，由Ax 0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.?
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.?
推进新课
［例题剖析］?
师 【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.?
师 解：先画直线x+4y-4＝0(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因为x+4y-4＜0，说明原点在要求的区域内，不等式x+4y-4＜0表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.?
师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.?
师 【例2】 用平面区域表示不等式组的解集.?
师 分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.?
生 解：不等式y＜-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x＜2y表示直线上方的区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.?
师【例3】 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格：(以班级为单位)
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.?
师 若设开设初中班x个,高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以应该有什么样的限制??
生 20≤x+y≤30.?
师 考虑到所投资金的限制,又应该得到什么??
生 26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200,即x+2y≤40.另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0.把上面四个不等式合在一起,得到?
师 用图形表示这个限制条件,请同学完成.?
生 得到图中的平面区域(阴影部分).?
师 例4　一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐4吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.?
师 若设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则应满足什么样的条件??
生 满足以下条件
师 在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域.?
生
生 课堂练习?
(1)
(2)
［方法引导］?
上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答.?
课堂小结
1.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要.?
2.在实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.?
布置作业
课本第97页练习4.
板书设计
第1课时
二元一次不等式（组）与平面区域
例1
课堂小结 例3
例2
第2课时?
二元一次不等式(组)与平面区域
例1
例3 例4
例2
教学反思
?
3.3.2　简单线性规划问题
项目
内容
课题
3.3.2　简单线性规划问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.?
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重、
难点
教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.?
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
第1课时?
导入新课
师 前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.?
（生回答）?
推进新课
［合作探究］?
师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.?
例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？?
生 由已知条件可得二元一次不等式组：
师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？?
生 （板演）?
师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？?
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？?
生 则z=2x+3y.?
师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？?
［教师精讲］?
师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.?
生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）?
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.?
由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.?
［知识拓展］?
再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.?
然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.?
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.?
作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
(1)
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.?
可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.?
而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.?
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin?=2×1+3=3.?
(2)
(3)
［合作探究］?
师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.?
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.?
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.?
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.?
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
2.设t=0，画出直线l0.?
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.?
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？?
分析：将已知数据列成下表：?
甲原料（吨）
乙原料（吨）
费用限额
成本
1 000
1 500
6 000
运费
500
400
2 000
产品
90
100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则?
z=90x+100y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：?
由得
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.?
由此得出t的值也最大，zmax?=90×+100×=440.?
答：工厂每月生产440千克产品.?
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？?
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，?
则
目标函数为z=2x+3y.?
作出可行域：?
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.?
解方程得M的坐标为（2，3）.?
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.?
3.课本106页习题3.3A组2.?
第2课时?
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.?
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.?
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;?
（2）设t=0，画出直线l0;?
(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;?
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.??
推进新课
师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.?
师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.?
解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
得C（,），令t=300x+900y，?
即?
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.?
师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.?
师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.?
解：可行域如图所示.?
四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组?
得点C的坐标为（,).?
因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,?y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.?
师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.?
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.?
解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；?
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.?
可行域如右图所示.?
作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).?
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.?
由图可知：?
当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.?
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.?
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
［教师精讲］?
师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：?
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，?
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.?
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.?
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.?
所以z max=2×2-1=3.?
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.?
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.?
所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.?
［知识拓展］?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？?
师 分析：将已知数据列成下表：?
消耗量 产品
资源
甲产品
（1 t）
乙产品
(1 t)
资源限额
（t）
A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石(t)
5
4
200
煤(t) 利润（元）
4
9
360
600
1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，?
那么
目标函数为z=600x+1 000y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l:600x+1 000y=0,?
即直线:3x+5y=0,?把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.?解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.?
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.?
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
（2）设t=0，画出直线l0.?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义?
布置作业
课本第105页习题3.3A组3、4.?
第3课时?
导入新课
师 前面我们已经学习了
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.?
推进新课?
师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg?脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？?
师 分析：将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
若设每天食用x kg食物A，y kg?食物B，总成本为z，如何列式？?
生 由题设条件列出约束条件
其目标函数z=28x+21y.?
二元一次不等式组①等价于
师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.?
生 考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.?
由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z28最小，即z最小.?
解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.?
由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.?
师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
师 由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元,?
此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图?
把z=7.2x+10.8y变形为，得到斜率为-，在y轴上截距为，随z变化的一组平行直线.?
由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.?
解方程组得点M（20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y取最大值，最大值为252.?
由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.?
师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？?
生 若设生产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，能够产生的利润z万元.目标函数?z=?x+0.5y,可行域如下图：?
把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z,随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.?
解方程组得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y取最大值，最大值为3.?
由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.?
［教师精讲］?
师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义.
课堂小结?
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；?
（2）设t=0，画出直线l0；?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义.
布置作业
课本第105页习题3.3 B组1、2、3??
板书设计
第1课时?
简单线性规划问题
图1
课堂小结 线性规划问题的相关概念
图2
第2课时?
简单线性规划问题
例1
课堂小结 例3
例2
第3课时?
简单线性规划问题
例5
课堂小结 例7
例6
教学反思
3.4.1　基本不等式的证明
项目
内容
课题
3.4.1　基本不等式的证明?
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?
2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；?
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.?
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
教学重、
难点
教学重点
1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?
教学难点
1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.?
教学
准备
多媒体及课件
教学过程
导入新课
探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?
推进新课
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?
（沉静片刻）?
生 应该先从此图案中抽象出几何图形.?
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？?
（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）?
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）?
师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.?
（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）
［过程引导］?
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？?
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.?
师 一定吗？?
（大家齐声：不一定，有可能相等）?
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.?
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？?
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.?
师 回答得很好.?
（有的同学感到迷惑不解）?
师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.?
（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）?
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.?
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.?
师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？?
生 正确.?
［教师精讲］?
师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.?
生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.?
师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.?
（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）?
生 作商，用商和“1”比较大小.?
师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.?
（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）?
［合作探究］?
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?
（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）?
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.?
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.?
师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.?
（大家齐声）一致.?
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）?
板书：?
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
［过程引导］?
师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.?
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）?
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?
生 完全可以.?
师 为什么？?
生 因为不等式中的a、b∈R.?
师 很好，我们来看一下代替后的结果.
板书：?
即 (a＞0,b＞0).
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?
（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）?
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?
（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?
要证：，①?
只要证a+b≥2，②?
要证②，只要证：a+b-2≥0，③?
要证③，只要证：④?
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
［合作探究］?
老师用投影仪给出下列问题.?
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）?
［合作探究］?
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？?
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.?
生 由射影定理也可得.?
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？?
生表示半弦长，表示半径长.?
师 半径和半弦又有什么关系呢？?
生 由半径大于半弦可得.?
师 这位同学回答得是否很严密？?
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).?
课堂小结?
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）?
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.?
布置作业
活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论.?
分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?
（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.
板书设计
基本不等式的证明?
一、实际情景引入得到重要不等式　　　　　　课时小结?
a2＋b2≥2ab?
教学反思
本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，?
3.4.2　基本不等式的应用（一）
项目
内容
课题
3.4.2　基本不等式的应用
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；?
2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；?
3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式?教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.?
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
教学重、
难点
教学重点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；?
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.?
教学难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；?
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.?
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺?
教学过程
导入新课
师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式.?
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
推进新课?
问题1.已知x、y都是正数，求证：?
(1)；?
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.?
师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？?
（思考两分钟）?
生 不可以证明.?
师 是否可以用基本不等式证明呢？?
生 可以.?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即.?
师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？?
（齐声：完成）?
［合作探究］?
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？?
（引导同学们积极思考）?
生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.?
师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.?
生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3. ?
师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.?
（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）?
师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.?
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
问题3.求证：.?
（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）
师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键. ?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2.?
不等式两边同除以4，得≥，即.?
师 下面同学都是用这种思路解答的吗？?
生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.?
师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.?
［课堂练习］?
1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
∵a、b、c都是正数，?
∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.?
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc,?
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?
［合作探究］?
2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：.?
（老师先分析，再让学生完成）?
师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab?，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.?
(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)?
生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,?
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.?
∴ax－ay＋by－bx＞0.?
∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.?
∴（a－b）（x－y）＞0,?
即a－b与x－y同号.?
∴均为正数.?
∴ (当且仅当时取“＝”).?
∴.?
师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.??
课堂小结
师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？?
生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）?
师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（ab）及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：，.?
师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.?
布置作业
课本第116页，?Ｂ?组第1题.?
板书设计
基本不等式的应用（一）?
复习引入　　　　　　　　例1　　　　　　　　　　　　方法归纳
基本不等式 例2
方法引导 小结
实例剖析（知识方法应用）
示范解题
教学反思
利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决?问题?.
3.4.3　基本不等式的应用（二）
项目
内容
课题
3.4.3　基本不等式的应用?（1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.?
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
教学重、
难点
教学重点 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
教学难点 1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺?
教学过程
导入新课
师 前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.??
推进新课
师 已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？?
生 当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为2k.?
师 若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？?
生 当且仅当a＝b时，ab就有最大值（或ab有最大值）.?
师 同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.?
(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)?
最值练习：解答下列各题：?
(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值.?
(２)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值.?
(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.?
(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.?
(５)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值.?
［合作探究］?
师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. ?
（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）?
（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）?
解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，＞0.∴y＝2x2＋＝2x 2＋.?
当且仅当2x 2＝，即时等号成立.故当时，y有最小值.?
(2) ，当且仅当，即x＝±时，等号成立.
故当x＝±时，y有最小值.?
(3)∵0＜x＜,∴3－2x＞0.?
∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1.当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立.?
(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y 2＝x 2（1－x 2）2＝·2x 2（1－x2）（1－x2）≤ ()3＝.当且仅当2x2＝1－x 2,即时，等号成立.∴当时，y 2有最大值.
由题意可知y＞0，故当时，y有最大值.?
(5)∵a＞0，b＞0，且a 2＋＝1，∴ (a2+ +)=,
当且仅当,即，时取“＝”.?
故当，时，a1+b2有最大值.?
（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）?
［合作探究］?
师 若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？?
生 不一定.应当考虑等号成立的条件.?
师 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.?
(此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题)?
(１)∵y＝x＋≥2，∴y的最小值为2.?
生 解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).?
师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.?
（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）?
生 当x＜0时，y＝x＋＝-(-x-)≤-2.?
师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.?
(２)∵y＝3x2＋＝2x2＋x 2＋，∴y的最小值为.?
生 解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x2＝，显然这样的x不存在，故y没有最小值.?
师 很好.?
(3)∵y＝x（1－x＋x 2）≤［］2＝（）2，当且仅当x＝1－x＋x2，即x＝1时?等号成立.∴当x＝1时，y有最大值为1.?
生 解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时， 也越大，故y无最大值.?
师 很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.?
师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.?
(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)?
［课堂练习］?
（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）?
1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？?
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x+y≥2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０ m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０ m.?
2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？?
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.?
（学生完成情况很好，要注意对答的要求）?
师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.?
［例题精析］?
【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？?
分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.
设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.?
根据题意有z=150×+120(2×３x+2×3y)?
=240 000+720(x+y).?
由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０ m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７ ６００元.?
课堂小结
师 通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？?
生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.?
师 那么，大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢？?
（学生齐声：太值得了，太有用了）?
师 数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.?
布置作业
课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、４题.
板书设计
基本不等式的应用（二）?
复习引入　　　　　　　　　课堂练习　　　　　　　　　　　　?方法归纳
基本不等式 例
方法引导 小结?
实例剖析（知识方法应用）?
教学反思
在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.?
2.1.1　数列的概念与简单表示法(一)
项目
内容
课题
2.1.1　数列的概念与简单表示法(一)
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；?
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；?
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.?
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；?
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.?
教学重、
难点
教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师 课本图211中的正方形数分别是多少？?
生 1，3，6，10，….?
师 图212中正方形数呢？?
生 1，4，9，16，25，….?
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？?
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;?
无穷多个数排成一列数：1，1， 1，1，….?
生 一些分数排成的一列数：，，，，，….?
推进新课
［合作探究］?
折纸问题?
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).?
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.?
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？?
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①?
随着对折数面积依次为, , , ,…, ,….?
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1256式，再折下去太困难了.?
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？?
生 均是一列数.?
生 还有一定次序.?
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.?
［教师精讲］?
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.?
注意：?
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；?
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复?出现.?
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？?
生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.?
3.数列的分类：?
1)根据数列项数的多少分：?
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.?
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.?
2)根据数列项的大小分：?
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.?
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.?
常数数列：各项相等的数列.?
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.?
请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.?
［知识拓展］?
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？?
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.?
［合作探究］?
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，?
项　　　2　　4　　8　　16　　32?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓?
序号 1 2 3 4 5?
你能从中得到什么启示？?
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….?
师 说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.?
［例题剖析］?
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：?
(1)an=;(2)an=(-1)n·n.?
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.?
生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.?
(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.?
师 好！就这样解.?
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：?
(1)3，5，7， 9，11，…；(2)，，，，，…；?
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；?
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….?
师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)?
生老师，我写好了！?
解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；?
(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，?
∴an＝n＋；?
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，?
∴an＝(-1)n+1n(n＋1).?
师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.?
［合作探究］?
师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：?
函数
数列(特殊的函数)
定义域
R或R的子集
N*或它的有限子集{1，2，…，n}
解析式
y=f(x)
an=f(n)
图象
点的集合
一些离散的点的集合
师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:?
4，5，6，7，8，9，10…;②　1, , , ,…③的图象.?
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为?
师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？?
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.?
师 数列1, , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？?
生 与我们学过的反比例函数的图象有关.?
师 这两数列的图象有什么特点？?
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.?
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧?的点.?
本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.?
课堂小结?
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.?
布置作业
课本第38页习题2.1 A组第1题.?
板书设计
数列的概念与简单表示法(一)
定义
1.数列　　? 例1
2.项
3.一般形式? 例2 函数定义
4.通项公式
5.有穷数列
6.无穷数列
教学反思
2.1.2　数列的概念与简单表示法(二)
项目
内容
课题
2.1.2　数列的概念与简单表示法(二)?
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；?
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.?
二、过程与方法?
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观?
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.?
教学重、
难点
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.?
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？?
生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.?
师 你能举例说明吗？?
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*);?
1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3);?
1, , , ,…的通项公式为an= (n∈N*).?
［合作探究］?
数列的表示方法?
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？??
生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.?
师 说得很好，还有其他的方法吗？?
生 ……?
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法?
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.
生 模型一：自上而下?
第1层钢管数为4,即1?4＝1+3;?
第2层钢管数为5,即2?5＝2+3;?
第3层钢管数为6,即3?6＝3+3;?
第4层钢管数为7,即4?7＝4+3;?
第5层钢管数为8,即5?8＝5+3;?
第6层钢管数为9,即6?9＝6+3;?
第7层钢管数为10,即7?10＝7+3.?
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)?
生 模型二：上下层之间的关系?
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,?
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.?
依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7).?
师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解??
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.?
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.?
推进新课?
1.递推公式定义：?
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.?
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.?
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.?
递推公式为：a1=3, a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).?
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.?
［例题剖析］?
【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项.?
师 分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢??
生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.?
师 请大家计算一下!?
生 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=?
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.?
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.?
师 由例1的经验我们先求前5项.?
生 前5项分别为2，4，8，16，32.?
师 对，下面来猜想第n项.?
生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想an=2n.?
师 很好!?
生 老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢??
师 不能.必须有求解的过程.?
生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.?
师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.?
［知识拓展］?
已知a1=2，an+1=an-4,求an.?
师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求?解呢??
生1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…?
观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).?
生2 他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an.?
我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,?
an-a n-1=-4?
an-1-an-2=-4?
an-2-an-3=-4?
……?
∴an=2-4(n-1).?
师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.?
［教师精讲］?
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.?
例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,….?
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.?
［学生活动］?
根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)?
(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；?
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；?
(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).?
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)?
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1) 2.?
(2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝.?
(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，?
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.?
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.?
［合作探究］?
一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？?
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.?
爬一级梯子的方法只有一种.?
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.?
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,?
则an=an-1+an-2+an-3(n≥4),?
则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.?
课堂小结?
师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？?
生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.?
生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.?
(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)?
布置作业?
课本第38页习题2.1A组第4、6题.?
预习内容：课本P41～P 44.?
板书设计
数列的概念与简单表示法(二)
一、定义　　? 二、例题讲解 小结：
7.递推公式：?
例1? 通项公式与
例2 递推公式区别
教学反思
2.2.1　等差数列的概念、等差数列的通项公式
项目
内容
课题
2.2.1　等差数列的概念、等差数列的通项公式?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;?
2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
二、过程与方法?
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；?
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.?
三、情感态度与价值观?
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.?
教学重、
难点
教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.?
教学难点
(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;?
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)?
(1)0，5，10，15，20，25，…;?
(2)48，53，58，63，…;?
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;?
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….?
请你们来写出上述四个数列的第7项.?
生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.?
师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.?
生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.?
师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.?
生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.?
师 作差是否有顺序，谁与谁相减？?
生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.?
师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.?
这就是我们这节课要研究的内容.?
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).?
（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；?
（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.?
师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)?
生 从“第二项起”和“同一个常数”.?
师 很好！?
师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….
师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.?
［合作探究］?
等差数列的通项公式?
师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么??
生 a2-a1=d,即a2=a1+d.?
师 对，继续说下去!?
生 a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;?
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;?
……?
师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗??
生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.?
师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗??
生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：
因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.?
师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.?
［教师精讲］?
由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,?
即a1=am-(m-1)d.?
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,?
即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)?
由此我们还可以得到.?
［例题剖析］?
【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;?
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？?
分析（1）?
师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗??
生1 这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.?
师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.?
分析（2）?
生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).?
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.?
师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).?
说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.?
【例2】 已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？?
例题分析：?
师 由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么??
生 只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.?
师 说得对，请你来求解.?
生 当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕?
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,?
所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.?
师 这里要重点说明的是：?
(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….?
(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.?
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.?
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所?求项.
解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.?
评述：关键是求出通项公式.?
(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.?
解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.?
所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.?
评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.?
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.?
分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.?
解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.?
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.?
(4)-20是不是等差数列0， ，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.?
解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.?
令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.?
课堂小结
师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)?
生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).?
师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.?
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.?
板书设计
等差数列的概念、等差数列的通项公式
1.定义?
2.数学表达式? 例1.(略)?
3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习
教学反思
2.2.2　等差数列的通项公式
项目
内容
课题
2.2.2　等差数列的通项公式?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.明确等差中项的概念;?
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;?
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.?
二、过程与方法?
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;?
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;?
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.?
教学重、
难点
教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.?
教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？?
生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-a n-1=d(n≥2，n∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).?
师 对，我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么？?
生1 等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d.?
生2 等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).?
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：①d=an-a n-1；②；③.你能理解与记忆它们吗？
生3 公式②与③记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).?
［合作探究］?
探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？?
师 本题在这里要求的是什么??
生 当然是要用a，b来表示数A.?
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答??
生 由定义可得A -a=b-A，即.?
反之，若，则A-a=b-A,?
由此可以得a,A,b成等差数列.?
推进新课?
我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.?
根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.?
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.?
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.?
［方法引导］?
等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列?2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差?数列.?
［合作探究］?
师 在等差数列{an}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？?
生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.?
师 能把你的发现过程说一下吗？?
生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.?
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.?
师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？?
生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则?
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,?
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.?
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.?
师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.?
同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.?
师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗??
生 我举常数列就可以说明了.?
师举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.
［例题剖析］?
【例1】 在等差数列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.?
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？?
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.?
生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).?
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……?
师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？?
生4 因为{an}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9?a3=9-a4=9-7=2,?
所以可得d=a4-a3=7-2=5.?
又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.?
【例2】 (课本P44的例2)　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费??
师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？?
生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.?
师 为什么？?
生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.?
师 这个等差数列的首项和公差分别是多少??
生 分别是11.2，1.2.?
师 好，大家计算一下本题的结果是多少??
生 需要支付车费23.2元.?
(教师按课本例题的解答示范格式)?
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.?
课堂练习
1.在等差数列{an}中，?
(1)若a5=a,a10=b,求a15.?
解：由等差数列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.?
(2)若a3+a8=m,求a5+a6.?
解：等差数列{an}中，a5+a6=a3+a8=m.?
(3)若a5=6,a8=15,求a14.?
解：由等差数列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.?
从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.?
(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.?
解：等差数列{an}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……?
所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……?
从而(a11+a12?+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),?
因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)?
=2×80-30=130.?
2.让学生完成课本P45练习5.?
教师对学生的完成情况作出小结与评价.?
［方法引导］?
此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.?
课堂小结?
师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？?
生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)?
布置作业?
课本第45页习题2.2 A组第4、5题.?
预习内容：课本P48～P52.?
预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.?
板书设计
等差数列的通项公式
　　　　　　　　　　等差中项　　　　　　　　　　　　　　　　例题?
　　　　　　　　　　在等差数列{an}中,?
　　　　　　　　　　若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,?
　　　　　　　　　　则am+an=ap+aq
教学反思
2.3.1　等差数列的前n项和（一）
项目
内容
课题
2.3.1　等差数列的前n项和(一)?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.?
二、过程与方法?
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.?
三、情感态度与价值观?
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.?
教学重、
难点
教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.?
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
教师出示投影胶片1：
印度泰姬陵(?Taj Mahal?)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.?
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.?
师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.?
教师出示投影胶片2：
高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”?
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5 050.”?
教师问：“你是如何算出答案的？”?
高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.
师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？?
生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.?
师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.?
高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.?
作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.?
师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？?
生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.
师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.?
推进新课?
［合作探究］?
师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢??
生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.?
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢??
生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.?
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：?
1+2+3+…+21，?
21+20+19+…+1，?
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)?
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.?
现在我将求和问题一般化：?
(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)?
(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn??
生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，?
Sn=an+an-1+…+a2+a1，?
再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，?
所以.(Ⅰ)?
生2 对于问题(2)，我是这样来求的：?
因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，?
所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,?
即Sn=na1+ d.(Ⅱ)?
［教师精讲］?
两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.?
［方法引导］?
师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.?
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？?
生 每个公式中都是5个量.?
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法??
生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).?
师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.?
［知识应用］?
【例1】 (直接代公式)计算：?
(1)1+2+3+…+n；?
(2)1+3+5+…+(2n-1)；?
(3)2+4+6+…+2n；?
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.?
(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.?
生 (1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+…+2n= =n(n+1).?
师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)?
生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.?
生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.?
师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.?
【例2】 （课本第49页例1)?
分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗??
生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.?
师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)?
【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？?
分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？?
生 必须要确定首项a1与公差d.?
师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？?
生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.?
(解答见课本第50页)?
师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.?
［合作探究］?
师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.?
(给出一定的时间让学生对本题加以理解)?
师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么??
生 从所给的和的公式出发去求出通项.?
师 对的，通项与前n项的和公式有何种关系??
生 当n=1时，a1=S1，而当n＞1时，an=Sn-Sn-1.?
师 回答的真好!由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-S n-1，?
即an=S1(n=1),?
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.?
生1 这题中当n=1时，S1=a1=p+q+r；当n≥2时，an=Sn-S n-1=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，要使n=1时也适合，必须有r=0.?
生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列.?
生3 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，an=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列.?
师 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.?
课堂练习
等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？?
(学生板演)?
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn,?
则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,?
由公式可得-10n+×4=54.?
解之,得n1=9,n2=-3(舍去).?
所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.?
(教师对学生的解答给出评价)?
课堂小结
师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容??
生 ①等差数列的前n项和公式1：,?
②等差数列的前n项和公式2：.?
师 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法??
生 ①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.?
②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.?
师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容??
生 如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.?
布置作业
课本第52页习题2.3 A组第2、3题.?
板书设计
等差数列的前n项和(一)
公式：?
推导过程 例
教学反思
2.3.2　等差数列的前n项和（二）
项目
内容
课题
2.3.2　等差数列的前n项和(二)?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；?
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；?
3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.?
二、过程与方法?
1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；?
2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.?
三、情感态度与价值观?
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.?
教学重、
难点
教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.?
教学难点 灵活应用求和公式解决问题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.?
生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：?
(1)；(2).?
师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习与探究.?
推进新课?
［合作探究］?
师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.?
生 我将等差数列{an}的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)?
师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢??
生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.?
生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.?
师 为什么??
生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才是关于n的二次函数.?
师 说得很好!等差数列{an}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征??
生 它一定不含常数项，即常数项为0.?
生 它的二次项系数是公差的一半.?
……?
师 对的，等差数列{an}的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗??
生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.?
师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗??
生当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，…).?
师 说得很精辟.?
［例题剖析］?
【例】 (课本第51页例4)?
分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)?
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为.?
师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？?
生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.?
我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.?
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.?
［方法引导］?
师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：?
①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值??
生Sn有最大值，可通过求得n的值.?
师 ②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值??
生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.?
［教师精讲］?
好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：?
(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；?
(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.??
课堂练习
请同学们做下面的一道练习：?
已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)?
解：1°
+13 401＜n＜3 403.所以n=3 402.?
2°Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，?
令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+1≈6 804.99.?
因为n∈N*，所以有n=6 805.?
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)?
［合作探究］?
师 我们大家再一起来看这样一个问题：?
全体正奇数排成下表：?
1?
3　5?
7　9　11?
13　15　17　19?
21　23　25　27　29?
……　……?
此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数??
师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.
生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有个奇数.?
师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.?
生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×-1=n2+n-1.?
生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.?
师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看??
生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，?
解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.?
师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.?
课堂小结?
本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容??
生1
我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：?
①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且a n+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且a n+1≥0，求得n的值.?
②利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.?
生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.?
师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.?
布置作业?
课本第52页习题2.3 A组第5、6题.?
预习提纲：?
①什么是等比数列？?
②等比数列的通项公式如何求？?
板书设计
等差数列的前n项和(二)
　Sn与函数的联系　　　　? 例4
　求Sn最值的方法 学生练习?
数表问题
教学反思
2.4.1　等比数列的概念及通项公式
项目
内容
课题
2.4.1　等比数列的概念及通项公式?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;?
2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;?
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;
4.体会等比数列与指数函数的关系.?
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;?
3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.?
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的?兴趣.?
教学重、
难点
教学重点 1.等比数列的概念;?
2.等比数列的通项公式.?
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;?
2.等比数列与指数函数的关系.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…?
师 非常好的一个例子！?
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.?
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.?
师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？?
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：?
1，2，4，8，…①?
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”?
师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？?
生 思考、讨论，用现代语言叙述.?
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，…　②?
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？?
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.?
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：?
1，20，202，203，204，…　　③?
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.?
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.?
给出计算本利和的公式：?
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.?
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.?
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：?
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.　④?
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？?
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.?
引入课题：板书课题　2.4等比数列的概念及通项公式?
推进新课
［合作探究］?
师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？?
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：?
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.?
［教师精讲］?
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(?geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric　Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？?
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？?
生 分母为0了.?
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.?
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？?
生 等比数列的首项不能为0.?
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.?
［合作探究］?
师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.?
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？?
生 一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.?
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.?
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？?
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2.?
［合作探究］?
探究：?
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？?
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？?
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？?
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？?
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？?
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.?
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.?
［教师精讲］?
概括总结对上述问题的探究，得出：?
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.?
概括学生对(2)(3)(4)的解答.?
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.?
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；?
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；?
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.?
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)?
［合作探究］?
师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？?
生 推导等比数列的通项公式.?
［方法引导］?
师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.?
具体的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：?
a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1，?
即an=a1qn-1.?
师 根据等比数列的定义，我们还可以写出?
,?
进而有an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.?
亦得?
an=a1qn-1.?
师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？
生 把an看成anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n.?
师 非常正确，这里不仅给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.?
师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子?
,再思考.?
如果我们把上面的式子改写成.?
那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是,于是，得an=a1q n-1.?
师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？?
师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.?
师 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.?
生 a1，q都不能为0.?
［知识拓展］?
师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？?
教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；?
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.?
生 比较两种方法，思考它们的异同.?
［教师精讲］?
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？?
(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？?
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.?
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.?
观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.?
师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：?
等差数列
等比数列
定　义
从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数
从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制
没有任何限制
首项、公比都不能为0
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1q n-1
相应图象的特点
直线y=a1+(x-1)d上孤立的点
函数y=a1qx-1图象上孤立的点
［例题剖析］?
【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？?
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.?
【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？?
师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….?
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.?
于是，可得递推公式?
.?
由于，因此，这个数列是等比数列.?
生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.?
练习：?
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.?
师 启发、引导学生列方程求未知量.?
生 探究、交流、列式、求解.?
2.课本第59页练习第1、2题.?
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的定义.?
2.等比数列的通项公式.?
3.等比数列与指数函数的联系.?
布置作业
课本第60页习题2.4 A组?第1、2题.?
板书设计
等比数列的概念及通项公式
1.等比数列的定义? 实例剖析
2.等比数列的通项公式? 从三个角度类比等差数列表? 例1
练习：1.(学生板演) 例2
教学反思
2.4.2　等比数列的概基本性质及其应用
项目
内容
课题
2.4.2　等比数列的基本性质及其应用?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.了解等比数列更多的性质;?
2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;?
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.?
二、过程与方法?
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;?
3.当好学生学习的合作者的角色.?
三、情感态度与价值观?
1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.
教学重、
难点
教学重点 1.探究等比数列更多的性质;?
2.解决生活实际中的等比数列的问题.?
教学难点 渗透重要的数学思想.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课?
师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.?
生 由学习小组汇报探究结果.?
师 对各组的汇报给予评价.?
师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：?
第3题解答：?
(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,?
则数列a k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，….?
因为 (i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a k+1，ak+2,…是等比数列.?
(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则?
(k≥1).?
所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.?
猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.?
◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.?
第4题解答：?
(1)设{an}的公比是q，则?
a52=(a1q4)2=a12q8,?
而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,?
所以a52=a3·a7.?
同理,a52=a1·a9.?
(2)用上面的方法不难证明an2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证an2=a n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).?
师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.?
推进新课
［合作探究］?
师 出示投影胶片1
例题1　(教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？
师 注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？?
生 用等差数列1，2，3，…?
师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？?
生 在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，则ak+as=ap+aq.?
师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？?
生 思考、讨论、交流.?
师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.?
［教师精讲］?
师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出,?
根据等式的性质，有.?
所以ak+as=ap+aq.?
师 在等比数列中会有怎样的类似结论？?
生 猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则?
ak·as=ap·at.?
师 让学生给出上述猜想的证明.?
证明：设等比数列{an}公比为q，?
则有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,?
ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.?
因为k+s=p+t,?
所以有ak·as=ap·at.?
师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.?
即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则有ak·as=ap·at.?
师 下面有两个结论：?
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；?
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.?
你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？?
生 思考、列式、合作交流，得到：?
结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；?
结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.?
师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.?
师 上述性质有着广泛的应用.?
师 出示投影胶片2：例题2
例题2?
（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;?
（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；?
（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.
例题2　三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.?
解答：?
(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.?
解：∵a1a 18=a9a 10，∴a 18= =20.?
(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.?
解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.?
∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.?
(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.?
解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).?
∴a8=-1 458.?
另解：a8=a5q3=a5·=-1 458.?
［合作探究］?
师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.?
例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.?.?
an
bn
an·bn
判断{an·bn}是否是等比数列
例
-5×2n-1
是
自选1
自选2
师 请同学们自己完成上面的表.
师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？?
生 得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.?
证明如下：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为?
,?
它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.?
［教师精讲］?
除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：?
证法二：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为?
(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),?
(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),?
即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n＞1,n∈N *),?
所以{an·bn}是一个等比数列.?
师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：?
证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为?
anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,?
设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq) n-1,?
所以{an·bn}是一个等比数列.??
课堂小结?
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的性质的探究.?
2.证明等比数列的常用方法.?
布置作业?
课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.?
板书设计
等比数列的基本性质及其应用
例1　　　　　　　　　　　例2　　　　　　　　　　　例3
教学反思
2.5.1　等比数列前n项和公式的推导与应用
项目
内容
课题
2.5.1　等比数列前n项和公式的推导与应用?
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；?
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；?
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.?
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.?
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；?
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；?
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重、
难点
教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;?
2.等比数列前n项和公式的应用.?
教学难点 等比数列前n项和公式的推导.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生 知道一些，踊跃发言.?
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.?
师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？?
生 各持己见.动笔，列式，计算.?
生 能列出式子：麦粒的总数为?
1+2+22+…+263=??
师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：?
1+2+22+…+2 63=?
师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.?
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：?
记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每
一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：?
S=1+2+22+23+…+2 63,①?
2S=2+22+23+…+263+264,②?
②-①得?
2S-S=2 64-1.?
264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.?
推进新课
［合作探究］?
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？?
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.?
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.?
师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？?
生 q+q2+…+qn+q n+1.?
生 每一项就成了它后面相邻的一项.?
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？?
师 生共同探索：?
如果记Sn=1+q+q2+…+qn,?
那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1.?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.?
师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.?
生 如果q≠1，则有.?
师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.?
生 如果q＝1，那么Sn=n.?
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：?
a1+a2+a3+…+an=？
［教师精讲］?
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.?
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.?
如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,?
那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.?
师 再次提醒学生注意q的取值.?
如果q≠1，则有.?
师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：?
如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,?
那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.?
如果q≠1，则有.?
师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.?
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？
生 独立思考、合作交流.?
生 如果q＝1，Sn=na1.?
师 完全正确.?
如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？?
生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.?
师 对了，这就是认清了问题的本质.?
师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：?
［合作探究］?
思路一：根据等比数列的定义，我们有：,?
再由合比定理，则得,?
即,?
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得?
Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),?
从而得(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1?=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？?
生 n＞1.?
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1.?
师 综合上面的探究过程，我们得出：?
或者
［例题剖析］?
【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：?
(1),,,…；?
(2)a1=27,a9=,q＜0.?
［合作探究］?
师生共同分析：?
由(1)所给条件，可得，,求n＝8时的和，直接用公式即可.?
由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而?a9=a1q8，所以由条件可得q8= =，再由q＜0，可得，将所得的值代入公式就可以了.?
生 写出解答：?
(1)因为,，所以当n＝8时，.?
(2)由a1=27,，可得，?
又由q＜0，可得,?
于是当n＝8时，.?
【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？?
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.?
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.?
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.?
于是得到,?
整理得1.1n=1.6,?
两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,?
用计算器算得≈≈5(年).?
答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.?
练习：?
教材第66页，练习第1、2、3题.?
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.?
2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.?
在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.?
板书设计
等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式?
情境问题的推导 一般情形的推导? 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)
教学反思
2.5.2　求数列前n项和知识的运用
项目
内容
课题
2.5.2　求数列前n项和知识的运用
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能?
1.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
2.用等比数列前n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题；
3.将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.?
二、过程与方法?
1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；?
2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会；?
3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练.?
三、情感态度与价值观?
1.通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力；?
2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能；?
3.在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观.?
教学重、
难点
教学重点 1.求数列前n项和知识的灵活运用.?
2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题.?
教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题.?
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？?
生 根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解)?
师 出示投影胶片1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选)
管理办法?
第七条　教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元，本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额，分月存入，中途如有漏存，应在次月补齐，未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理.?
第八条　教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息.?
第十一条　教育储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.?
第十二条　教育储蓄提前支取时必须全额支取，提前支取时，储户能提供“证明”的，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税；储户未能提供“证明”的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.
师 着重引导学生注意关键的内容.?
生 理解文件中的内容.?
师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容.?
推进新课
［例题剖析］?
师 出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：
例1　思考以下问题：?
(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？?
(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？?
(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？?
(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？?
(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？?
(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？?
(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？?
(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.
［合作探究］?
师 要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：?
若每月固定存a元，连续存n个月，则计算利息的公式为×月利率.?
师 你能解释这个公式的含义吗？?
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q，?
则这个公式实际上是数列：aq,2aq,3aq,…,naq,…的前n项和.?
这个数列的项不正是依次月数的利息数？?
这个数列具有什么特征呢？?
生 发现等差关系.?
师 用我们的数学语言来说，这是个首项为aq，公差为aq的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的.?
我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算.?
这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.
师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：?
三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；?
五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%；?
三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%；?
利息税率为20%.?
师 下面我们来看第一个问题的结果.?
生 计算，报告结果.?
师 生共同解答：?
(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共?
×0.21%+1 800＝1 869.93(元).?
因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共?
×0.232 5%+3 600＝3 905.50(元).?
(2)每月存入每月存a元，连续存3年，到期一次可支取本息共?
×0.21%+36a(元).?
若每月存入每月存a元，连续存6年，到期一次可支取本息共?
×0.232 5%+72a(元).?
(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共?
×0.157 5%×80%+1 800=1 841. 96(元).?
比教育储蓄的方式少收益27.97(元).?
(4)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得?
×0.21%+36x＝10 000.?
解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元).?
(5)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得?
×0.21%+36x＝10 000a.?
解得x= =267.39a，即每月应存入267.39a(元).?
(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得?
×0.21%+4 800＝5 046.96(元).?
(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算.?
一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为0.165?%，故当b=1或2时，由计算公式得?
×0.165%+12ab(元).?
当b=3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得?
×0.21%+12ab(元).?
(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案.?
［概括总结］?
师 在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议.?
从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.?
说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.?
师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.?
出示投影胶片3：
例2　你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？?
出示多媒体图片1：?
师 如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.?
SUM=0?
K=1?
INPUT请输入将［0，3］分成的份数n：”;N
WHILE k＜=N-1?
AN=(9-(k*3/n)^2)*3/N
SUM=SUM=AN
PRINT　k,AN,SUM
K=k=1??
WEND
END
阅读程序，回答下列问题：?
(1)程序中的AN，SUM分别表示什么，为什么？?
(2)请根据程序分别计算当n＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).
师 你能回答第一个问题吗？?
生 AN表示第ｋ个矩形的面积，SUM表示前ｋ个矩形面积的和.?
生 当把x轴上的区间［0，3］分成n等份时，各等份的长都是.?
理由是：各分点的横坐标分别是?
, ,…,.?
从各分点作y轴平行线与y=9-x2图象相交，交点的纵坐标分别是?
, ,…,.?
它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是?
,,…, .?
师 对学生的思考给予高度的赞扬.?
师 当我们把x轴上的区间［0，3］分成n等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内的n-1个矩形.?
师 想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n-1项和如何求.?
生 自主探究.?
列式：?
=
=.?
师 引导学生整理所列出的式子，得到上述最后一道式子.?
师 求和时遇到了12+22+…+n2的计算问题，这也是一个求数列前n项和的问题.?
关于这个问题，我们只要求大家知道，这是求数列：12,22,32,…,n2,…的前n项和的问题.由于这个数列不是等差数列，也不是等比数列，因此不能用已经推导出来的等差数列前n项和公式与等比数列前n项和公式.而这个和的计算，要求同学们记得它的计算公式.?
即要求记住：12+22+…+n2=.?
关于这个公式的推导过程，我们可以作为知识拓展的材料，放在课外进行探究性学习.?
师 运用这个公式，请把上面的n-1个矩形面积的和计算出来.?
生 继续运算.?
Sn-1= {9(n-1)-( )2［12+22+…+(n-1)2］}?
=［9(n-1)-( )2］?
=.?
师 明确一下计算结果，再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.?
师 根据程序，当n＝6时，5个矩形的面积的和就是输入N＝6，SUM的最后一个输出值,SUM=15.625.?
那么当n＝11时，10个矩形的面积的和就是N＝11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736；?
当n=16时，我们就得到15个矩形面积的和SUM=17.139.?
当n=17时，SUM的最后一个输出值是多少？?
生 n=17时，SUM的最后一个输出值SUM=17.190.?
师 你是怎么计算n=17时，SUM的最后一个输出值的呢？?
生 是用上面推导出来的计算公式：.?
当n=500时，SUM的最后一个输出值SUM=??
当n=1 000时，SUM的最后一个输出值SUM=??
生 用公式，不难算出n=500时，SUM=17.973；n=1 000时，SUM=17.986.
师 在计算n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM时，为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢？?
师 这是因为公式用起来很方便，只要给出上一个n的值，就可以代入公式，一下子得出结果.另一方面，程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时，对于每个给定的n，都要从k=1依次循环到k=N-1，这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事.?
师 至此，你能估计出函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积了？?
生 由n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM，可以估计，这个面积大约是18.?
师 一个非常准确的结果！?
［教师精讲］?
师 通过本例的探索，我们来归纳一下收获：?
1.本例中，程序使用了Sn的递推公式，即
这个递推公式的推导，同学们可以自己去思考一下；?
2.需要同学们必须想到的是，这个公式还有一个非常重要的作用，那就是：它给我们提供了求数列的首项和第n项的办法，即?
3.关于估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积，这里采用的是无限逼近的思想，即［0，3］区间分得越细，前k个矩形面积的和SUM就越接近函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们，用微积分的知识可得x＝18，而我们的估计值也是18，可见我们的估计非常准确.
课堂小结?
本节学习了如下内容：?
1.教育储蓄中的有关计算.?
2.用计算机程序计算数列的和.?
布置作业?
课本第69页习题2.5第4、5题.?
板书设计
求数列前n项和知识的运用
问题情境导引 例1　　　　　　　　　　例2
教学反思