第一章 数与式第一节 实数的有关概念
■考点1 实数的概念及分类?
（1） 和 统称实数．
（2）
■考点2 实数的相关概念?
（1）数轴的三要素为 、 和 ，数轴上的点与 构成＿＿对应．
（2）实数a的相反数为__ __，若，互为相反数，则= ．
（3）非零实数的倒数为______，若，互为倒数，则= ．
（4）绝对值．
■考点3 科学记数法?
科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数．
■考点1：实数的概念及分类?
◇典例1：把下列各数填入相应的集合内：
-7.5，，4，，，，，0.25，，，-3.14，，，
有理数集{ }，无理数集{ }
【考查角度】实数的分类．
【解析】根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的开方开不尽才是无理数，因此 ，，，，为无理数，-7.5，4， ，，0.25，，-3.14，，为有理数．21cnjy.com
【答案】有理数集{-7.5，4， ，，0.25，，-3.14，，}，无理数集{ ，，，，}21*cnjy*com
◆变式训练
1.下列7个实数：中，属于无理数的数共有（? ）
A．1个???? B．2个????? C．3个????? D．4个
2.绝对值小于的所有整数是???? ．
■考点2：实数的相关概念?
◇典例2：（1）的相反数是 ，倒数是 ．
（2）若，则m+2n的值为（ ）
A．-4 B．1 C．0 D．-1
（3）（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b
0．
【考查角度】相反数，倒数，绝对值，数轴．
【解析】（1）∵，∴的相反数为2，的倒数为；
（2）根据绝对值和平方数的非负性，可知，，∴m=-3，n=2，m+2n=1；
（3）由数轴可知-1＜a＜0，1＜b＜2，故a+b＞0．
【答案】（1）2， ；（2）B；（3）＞．
◆变式训练
(1)（2016重庆）4的倒数是 ( )
A.-4 B.4 C. D.
(2)（2016重庆）在实数-2，2，0．-1中，最小的数是 ( )
A．-2 B.2 C．0 D．-l
(3)（2016烟台）下列实数中，有理数是 ( )
A． B． C. D.0.101001001
(4)（2016黑龙江）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是 ( )
A．ab>0 B．a+b<0 C．|a|<|b| D．a-b>0
(5) (2015常州)已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是 ( )
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b
■考点3：科学记数法?
◇典例3：（2017?营口）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法可表示为______________．2·1·c·n·j·y
【考查角度】科学记数法表示较大的数．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．∴ 29150000000=2.915×1010 ．
【答案】2.915×1010．
◆变式训练
(1)（2016重庆）据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均丁资超过60500元，将数60500用科学记数法表示为_____.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)（2016山东）2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元．408万用科学记数法表示正确的是 ( )
A．408×l04 B．4.08×l04 C．4.08× l05 D．4.08× l0621·世纪*教育网
1．（2016资阳）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为 ()【来源：21cnj*y.co*m】
A．7.6×10- 9 B．7.6×10- 8 C．7.6×l09 D．7.6× l082
（2015娄底）若| a-1 |=a-l，则a的取值范围是 ( )
A．a≥l B．a≤1 C．al
（2015通辽）实数tan45o，，0，-，，，sin60o，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是
A．4 B．2 C．1 D．3
在数轴上与表示-2的点距离3个单位的点表示的数是 ( )
A．5 B．-5 C．1 D．-5或-1
估计＋1的值在( )
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
(2017宁德中考)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是( )
A．a＋b＜0 B．a－b＜0 C．a·b＞0 D.＞0
下列说法正确的有______（填序号）
①一个数的绝对值一定比0大;②一个数的相反数一定比它本身小;③最小的正整数是1;④与最接近的整数是3；⑤-(-2)0=l．21教育网
已知，且，则的值等于________．
已知有理数a、b的和a+b及差a-b在数轴上如图所示，则化简|2a+b|-2|a|-|b-7|，得到的值是????． www.21-cn-jy.com
（2017?泰州二模）若a＞1，则a+2017________2a+2016．（填“＞”或“＜”）
1.（2017?淮安）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
2.（2017校级模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0.000025 B．0.00025 C．0.0025 D．0.025
3.（2017校级模拟）的相反数的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．3
4.（2015年江西省中考数学试卷(样卷五)）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． 0 B． ﹣3 C． D．
（2017?铜仁市）-2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．-2017 C． D．-
6.（2016年北京市怀柔区一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
7. （2017?广州）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
8. （2017?济宁） 的倒数是（ ）
A．6 B．-6 C． D．-
9.（2017?成都）如图，数轴上点A表示的实数是_______
10.（2017校级模拟）数轴上，将表示﹣1的点向右移动3个单位后，对应点表示的数是__________．21世纪教育网版权所有
11.（2017?北京）写出一个比3大且比4小的无理数__________
12.（2017校级模拟）把下列各数填入相应的集合里：﹣3，|﹣5|，+（﹣），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），，﹣|﹣|，3π21·cn·jy·com
正数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
（2017?岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）2-1-c-n-j-y
A．0 B．2 C．4 D．6
14.（2017校级模拟）在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．
求|a+b|++|a+1|的值．
15.（2017校级模拟）已知数轴上A、B两点所表示的数分别为a和b．
（1）如图，a=﹣1，b=7时
①求线段AB的长；
②若点P为数轴上与A、B不重合的动点，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在数轴上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
（2）不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、Q，如果|a﹣c|﹣|b﹣c|=|a﹣b|，那么，Q点应在什么位置？请说明理由．【出处：21教育名师】
第一章 数与式第一节 实数的有关概念
■考点1 实数的概念及分类?
（1） 有理数 和 无理数 统称实数．
（2）
■考点2 实数的相关概念?
（1）数轴的三要素为 原点 、 正方向 和 单位长度 ，数轴上的点与 实数 构成一一对应．
（2）实数a的相反数为__-a__，若，互为相反数，则= 0 ．
（3）非零实数的倒数为______，若，互为倒数，则= 1 ．
（4）绝对值．
■考点3 科学记数法?
科学记数法：把一个数表示成 a×10n 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数．
■考点1：实数的概念及分类?
◇典例1：把下列各数填入相应的集合内：
-7.5，，4，，，，，0.25，，，-3.14，，，
有理数集{ }，无理数集{ }
【考查角度】实数的分类．
【解析】根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的开方开不尽才是无理数，因此 ，，，，为无理数，-7.5，4， ，，0.25，，-3.14，，为有理数．21*cnjy*com
【答案】有理数集{-7.5，4， ，，0.25，，-3.14，，}，无理数集{ ，，，，} 21教育名师原创作品
◆变式训练
1.下列7个实数：中，属于无理数的数共有（? ）
A．1个???? B．2个????? C．3个????? D．4个
?
【考点】无理数．
分析：，是无理数，，是分数，是有理数，，是整数，是有理数，是循环小数，是有理数．故选B
2.绝对值小于的所有整数是???? ．
【考点】无理数估算．
先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【解析】 ∵4＜8＜9， ∴2＜＜3， ∴绝对值小于的所有整数是：±2，±1，0． 故答案为：±2，±1，0．21·世纪*教育网
■考点2：实数的相关概念?
◇典例2：（1）的相反数是 ，倒数是 ．
（2）若，则m+2n的值为（ ）
A．-4 B．1 C．0 D．-1
（3）（2017?广东）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b
0．
【考查角度】相反数，倒数，绝对值，数轴．
【解析】（1）∵，∴的相反数为2，的倒数为；
（2）根据绝对值和平方数的非负性，可知，，∴m=-3，n=2，m+2n=1；
（3）由数轴可知-1＜a＜0，1＜b＜2，故a+b＞0．
【答案】（1）2， ；（2）B；（3）＞．
◆变式训练
(1)（2016重庆）4的倒数是 ( D)
A.-4 B.4 C. D.
【答案】D
(2)（2016重庆）在实数-2，2，0．-1中，最小的数是 ( )
A．-2 B.2 C．0 D．-l
【答案】A
(3)（2016烟台）下列实数中，有理数是 ( )
A． B． C. D.0.101001001
【答案】D
(4)（2016黑龙江）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是 ()
A．ab>0 B．a+b<0 C．|a|<|b| D．a-b>0
【答案】D
(5) (2015常州)已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是 ( )
A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b
【答案】A
解题点拨：实数中基本概念较多，常以选择、填空的形式出现，题目较为简单，要注意审清题意．
■考点3：科学记数法?
◇典例3：（2017?营口）随着“互联网+”在各领域的延伸与融合，互联网移动医疗发展迅速，预计到2018年我国移动医疗市场规模将达到29150000000元，将29150000000用科学记数法可表示为______________．-n-j【来源：21·世纪·教育·网】
【考查角度】科学记数法表示较大的数．
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．∴ 29150000000=2.915×1010 ．
【答案】2.915×1010．
◆变式训练
(1)（2016重庆）据报道，2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均丁资超过60500元，将数60500用科学记数法表示为_____.2·1·c·n·j·y
【答案】6.05×104
(2)（2016山东）2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元．408万用科学记数法表示正确的是 ( )
A．408×l04 B．4.08×l04 C．4.08× l05 D．4.08× l06
觯题点拨：此题考查科学记数法，其中l≤|a|<10，小数点向左移动x位，则n=x；小数点向右移动x位，则n=-x，另外需要注意单位的换算．【来源：21cnj*y.co*m】
1．（2016资阳）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为 ()【版权所有：21教育】
A．7.6×10- 9 B．7.6×10- 8 C．7.6×l09 D．7.6× l082
【答案】B
（2015娄底）若| a-1 |=a-l，则a的取值范围是 ( )
A．a≥l B．a≤1 C．al
【答案】A
（2015通辽）实数tan45o，，0，-，，，sin60o，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是
A．4 B．2 C．1 D．3
【答案】D
在数轴上与表示-2的点距离3个单位的点表示的数是 ( )
A．5 B．-5 C．1 D．-5或-1
【答案】D
估计＋1的值在( )
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【解析】先根据题意估算的值再加1，可得到答案．
【答案】B
(2017宁德中考)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是( )
A．a＋b＜0 B．a－b＜0 C．a·b＞0 D.＞0
【考点】数轴．
【分析】根据a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可．
解：∵-1＜a＜0，b＞1， ∴A、a+b＞0，故错误，不符合题意； B、a-b＜0，正确，符合题意； C、a?b＜0，错误，不符合题意； D、＜0，错误，不符合题意； 故选B．21*cnjy*com
下列说法正确的有______（填序号）
①一个数的绝对值一定比0大;②一个数的相反数一定比它本身小;③最小的正整数是1;④与最接近的整数是3；⑤-(-2)0=l．
【答案】③④
已知，且，则的值等于________．
【考点】绝对值，有理数计算．
【解析】由可知 x，y异号，∴，或，，故的值为．
【答案】．
已知有理数a、b的和a+b及差a-b在数轴上如图所示，则化简|2a+b|-2|a|-|b-7|，得到的值是????．
【考点】绝对值，整式的化简
【分析】先根据图得出0＜a-b＜1，a+b＜-1，从而得出a＜0，再由b≥0，则a-b＜0与a-b＞0不等得出b＜0．所以2a+b＜0，b-7＜0．再化简|2a+b|-2|a|-|b-7|即可得到答案． 解：由图中可知：0＜a-b＜1，a+b＜-1， ∴2a＜0， ∴a＜0， 若b≥0，则a-b＜0与a-b＞0不等， ∴b＜0． 此时2a+b＜0，b-7＜0． 所以|2a+b|-2|a|-|6-7|， =-（2a+b）-2（-a）-[-（b-7）]， =-2a-b+2a+b-7， =-7． 故答案为：-7．
（2017?泰州二模）若a＞1，则a+2017________2a+2016．（填“＞”或“＜”）
【考点】有理数大小比较．权所有
【解析】直接利用两数比较大小的方法，求出两数的差再根据差的符号判断即可．
∵a＞1，∴a+2017﹣（2a+2016）=﹣a+1＜0，∴a+2017＜2a+2016，故答案为：＜．
【答案】＜．
1.（2017?淮安）-2的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义求解．
解：根据相反数的定义，-2的相反数是2． 故选：A．
2.（2017校级模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ）21cnjy.com
A．0.000025 B．0.00025 C．0.0025 D．0.025
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），n是负几小数点向左移动几位就可以得到．
解：2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是0.0025，
故选：C．
3.（2017校级模拟）的相反数的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣3 D．3
【考点】绝对值；相反数；倒数．
【分析】先根据绝对值相反数定义求出|﹣|的相反数为﹣，然后再根据倒数定义求出的倒数，即可得到正确结果．
解：∵|﹣|的相反数是﹣，而3的倒数为1÷（﹣）=﹣3，
∴|﹣|相反数的倒数是﹣3．
故选：C．
4.（2015年江西省中考数学试卷(样卷五)）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． 0 B． ﹣3 C． D．
【 考点】 无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．www.21-cn-jy.com
解：A．0是整数，是有理数，故A选项错误；
B、﹣3是整数，是有理数，故B选项错误；
C、=2是无理数，故C选项正确；
D、是无限循环小数，是有理数，故D选项错误．
故选：C．
（2017?铜仁市）-2017的绝对值是（ ）
A．2017 B．-2017 C． D．-
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解：-2017的绝对值是2007． 故选：A
6.（2016年北京市怀柔区一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【考点】实数与数轴．
【分析】先根据数轴得到a＜0＜b，|a|＜|b|，即可解答．
解：根据数轴得到a＜0＜b，|a|＜|b|，
则a＜b，|a|＜|b|，﹣a＜b，a+b＞0，
故选：C．
7. （2017?广州）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．-6 B．6 C．0 D．无法确定
【考点】数轴；相反数．
【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出B表示的数即可．
解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为-6， ∴点B表示的数为6， 故选B
8. （2017?济宁） 的倒数是（ ）
A．6 B．-6 C． D．-
【考点】倒数．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的倒数是6． 故选：A．
9.（2017?成都）如图，数轴上点A表示的实数是_______
【考点】实数与数轴．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：-1到A的距离为， 则数轴上点A表示的实数是： 故答案为：
10.（2017校级模拟）数轴上，将表示﹣1的点向右移动3个单位后，对应点表示的数是__________．21世纪教育网版权所有
考点：数轴．
分析：根据数轴上点的移动规律“左减右加”进行计算．
解：表示﹣1的点向右移动3个单位，即为﹣1+3=2．
点评：把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
11.（2017?北京）写出一个比3大且比4小的无理数__________
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义即可．
解：写出一个比3大且比4小的无理数：π， 故答案为：π．
12.（2017校级模拟）把下列各数填入相应的集合里：﹣3，|﹣5|，+（﹣），﹣3.14，0，﹣1.2121121112…，﹣（﹣2.5），，﹣|﹣|，3π21教育网
正数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可．21·cn·jy·com
解：|﹣5|=5，+（﹣）=﹣，﹣（﹣2.5）=2.5，﹣|﹣|=﹣，
正数集合：{|﹣5|，﹣（﹣2.5），，3π，…}；
整数集合：{﹣3，|﹣5|，0，…}；
负分数集合：{+（﹣），﹣3.14，﹣|﹣|，…}；
无理数集合：{﹣1.2121121112…，3π，…}．
故答案为：|﹣5|，﹣（﹣2.5），，3π，…；﹣3，|﹣5|，0，…；+（﹣），﹣3.14，﹣|﹣|，…；﹣1.2121121112…，3π，…www-2-1-cnjy-com
（2017?岳阳）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22017的末位数字是（ ）2-1-c-n-j-y
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】有理数之尾数特征．权所有
【解析】根据题目中的式子可以知道，末尾数字出现的2、4、8、6的顺序出现，从而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位数字．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，∴2017÷4=506…1，∵（2+4+8+6）×506+2=10122，∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2．
【答案】B．
14.（2017校级模拟）在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．
求|a+b|++|a+1|的值．
【分析】首先根据已知及数轴得出|a+b|，||，|a+1|，从而求出原式的值．
解：∵O为AB的中点，则a+b=0，a=﹣b ．
有|a+b|=0，=1．
由数轴可知：a＜﹣1．
则|a+1|=﹣a﹣1．
∴原式=0+1﹣a﹣1=﹣a．
15.（2017校级模拟）已知数轴上A、B两点所表示的数分别为a和b．
（1）如图，a=﹣1，b=7时
①求线段AB的长；
②若点P为数轴上与A、B不重合的动点，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在数轴上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
（2）不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、Q，如果|a﹣c|﹣|b﹣c|=|a﹣b|，那么，Q点应在什么位置？请说明理由．【出处：21教育名师】
【考点】数轴；绝对值；两点间的距离．
【分析】（1）①根据数轴与绝对值知，AB=|OB|+|OA|；
②分两种情况进行讨论：①当点P在点A的左侧运动时；②当点P在A、B两点之间运动时；③当点P在点A的右侧运动时．分三种情况讨论可求线段MN的长；
（2）分b＞a时；a＞b时；分两种情况讨论可得Q点应在的位置．
【解答】解：（1）①AB=7﹣（﹣1）=8；
②当点P在点A的左侧运动时
MN=NP﹣MP=BP﹣AP=AB=4
当点P在A、B两点之间运动时；
MN=MP+NP=AP+BP=AB=4
当点P在点A的右侧运动时
MN=MP﹣NP=AP﹣BP=AB=4；
（2）|a﹣c|是A，Q间的距离，|b﹣c|是B，Q间的距离，|a﹣b|是A，B间的距离．
|a﹣c|﹣|b﹣c|=|a﹣b|，
当b＞a时，Q在B的右侧；
当a＞b时，Q在B的左侧．
