第一章 数与式
第2节 实数的运算
考点1．有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取_ _ 的符号，并把 相加?
②绝对值不相等的异号两数相加，取 的加数的符号，并用_ 。互为相反数的两个数相加得 。21·cn·jy·com
③一个数同0相加， 。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加 数 。
(3)有理数乘法法则：?
?①两数相乘，同号得 ，异号得负，并把 。任何数同0相乘，?都得__ 。
?②几个不等于0的数相乘，积的符号由 决定。当 ，积为负，当 _，积为正。③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.?21教育网
(4)有理数除法法则：?①除以一个数，等于 . 不能作除数。
?②两数相除，同号 得 ，异号得 ，并把 。?0除以 的数，都得0?2·1·c·n·j·y
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是 ；负数的 是负数，
?负数的 是正数
(6) 零指数幂和负整数指数幂
零指数幂的意义为：a0＝__ __(a≠0)．
负整数指数幂的意义为：a－p＝____(a≠0，p为正整数)．
(7)有理数混合运算法则：先算 ，再算 ，最后算 。如果有括号，就 ______________.【出处：21教育名师】
考点2．平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质
正数a有两个平方根，记作__ __，0的平方根是__ __，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0.任何数都有立方根，a的立方根是.
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
(2)非负数的性质：
①非负数的最小值是0：
②几个非负数之和仍为非负数：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
考点3．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算________，再算__ __，最后算__ __．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算__ __里面的，同级运算应__ __依次进行．21*cnjy*com
运算律（1）加法交换律： 。
（2）加法结合律： 。?
（3）乘法交换律： 。?
（4）乘法结合律： 。
（5）乘法分配律： 。
考点1．零指数幂和负整数指数幂
◇典例1：若（a+2）0=1，则a必须满足的条件是??? ?
【考查角度】零指数幂
【分析】根据零指数幂：a=1（a≠0）可得a+2≠0，再解即可． 解：由题意得：a+2≠0， 解得：a≠2， 故答案为：a≠2．21·世纪*教育网
◆变式训练
1.1若（n+3）2n的值为1，则n的值为????．
1.2（2+2+0.2-1）-2=??? ?．
考点2．平方根、算术平方根、立方根
◇典例2：（1）如果一个数的平方根为5a-1和a+7，那么这个数是_________________。
（2）下列说法正确的是（ ） A．25的平方根是5 B．-22的算术平方根是2 C．0.8的立方根是0.2 D．是2的一个平方根2-1-c-n-j-y
（3）一个自然数n的算术平方根为m，则n+1的立方根是（???）
A．????????B． C．???????D．
【考查角度】平方根、算术平方根、立方根
（1）【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a-3和a-9的关系，可得a的值，根据平方，可得答案．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵一个正数的两个平方根分别是5a-1和a+7，
∴（5a-1）+（a+7）=0，
解得：a=-1．
所以这个数为：（5a-1）2=（-5-1）2=36．
（2）【分析】根据平方根，算术平方根的定义，立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、25的平方根是±5，故本选项错误； B、-22=-4，没有算术平方根，故本选项错误； C、0.8的立方根是，故本选项错误； D、是2的一个平方根正确，故本选项正确． 故选D．【版权所有：21教育】
（3）【分析】算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的算术平方根和立方根都是一个正数；0的算术平方根和立方根都是0；负数没有算术平方根，负数有一个负的立方根．21教育名师原创作品
解：∵一个自然数n的算术平方根为m，
∴，
∴；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，
∴n+1的立方根表示为=．
故选C．
◆变式训练
2.1（2015.南京）9的平方根是______________；9的算术平方根是____________
2.2（2017.聊城）64的立方根是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
考点3．实数的运算顺序
◇典例3：计算题：-j
【考查角度】实数的运算顺序
【分析】别进行乘方、二次根式的化简、开立方、绝对值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可． 解：原式=3-+0.5+4-6 =1．21世纪教育网版权所有
◆变式训练
3.1(2016昆明中考)计算：2 0160－＋＋2sin45°.
1.（2017年邵阳市 ）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2.（四川省眉山市2016年）下列等式一定成立的是（ ）
A．a2×a5=a10B． C．（﹣a3）4=a12D．
3.（郑州市模拟试卷）下列说法中，正确的是（ ）
A． 0.4的算术平方根是0.2 B． 16的平方根是4
C． 的立方根是4 D． （﹣2）3的立方根是﹣2
4.（资阳市2015年）已知：，则的值为_________
5.（2017年荆州市）若单项式﹣5x4y2m+n与2017xm﹣ny2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是 ．21cnjy.com
6.一个数的算术平方根与这个数的立方根的和为0，则这个数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．0 D．不存在
【分析】根据算术平方根是非负数，一个数的立方根与它本身符号相同，而它们的和等于0，可知这个数是0．
解：根据算术平方根非负数，
立方根不改变这个数的正负性，
相加等于0，则这个数是0．
故选C．
7.（宁波市2016年）实数﹣27的立方根是 ．
8.（2017年十堰市）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．
(2015铜仁)定义一种新运算：，如2*1:==2,求（4*2）*（-1）的值.
10．计算：（2015遂宁）-22- | -| +()-2×()0+(-1)2014-
1.下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3 B．1的立方根是±1 C．=±1 D．＞0
2.（2017年张掖市 ）4的平方根是（ ）
A．16 B．2 C．±2 D．
对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：当a≥b时，a★b=a2+ab；当a＜b时，a★b=b2+ab；若2★m=24，则实数m等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．10 B．4 C．4或﹣6 D．4或﹣6或10
下列说法正确的有______（填序号）
①一个数的绝对值一定比0大;②一个数的相反数一定比它本身小;③最小的正整数是1;④与最接近的整数是3；⑤-(-2)0=l．www-2-1-cnjy-com
．若+(y-2)2=0,则xy-2=_______．
计算：（2016重庆）+(-2)0=_____．
若x+3是25的平方根，若﹣8的立方根是y+1，则x+y= ．
如果一个数的平方根为5a-1和a+7，那么这个数是_________________。
用适当的符号填空：若b＞c＞0，则b﹣c 0，|c﹣b| 0，﹣ 0．
对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：a*b=(a+b＞0),如3*2=，那么6*（5*4）=??????????????www.21-cn-jy.com
(2015南通)(-2)2-+(-3)0-()-2
(2015达州)(-1)2015+20150+2-1-| -|
13. 在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示 化简：．
14. （1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．
（2）已知，求的立方根．
（3）已知x、y为实数，且．求的值．
（2016黄石）观察下列等式：
第1个等式：,
第2个等式: ,
第3个等式:，
第4个等式:，
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：_________.
(2)求al+a2+a3++an的值，
第一章 数与式
第2节 实数的运算
考点1．有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则
(1)有理数加法法则：
?①同号两数相加，取_相同_ 的符号，并把绝对值相加?
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用_较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0 。21·世纪*教育网
?③一个数同0相加，仍得这个数。
(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 。
(3)有理数乘法法则：?
?①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，?都得_0_ 。
?②几个不等于0的数相乘，积的符号由负数的个数决定。当个数为奇数时，积为负，当个数为偶数_，积为正。③几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.?
(4)有理数除法法则：?
①除以一个数，等于乘这个数的倒数.0不能作除数。
?②两数相除，同号 得正 ，异号得负，并把绝对值相除。?0除以任何一个不等于0的数，都得0?
(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
?(6) 零指数幂和负整数指数幂
零指数幂的意义为：a0＝__1__(a≠0)．
负整数指数幂的意义为：a－p＝____(a≠0，p为正整数)．
(7)有理数混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，就先算括号内的运算__.
考点2．平方根、算术平方根、立方根及三个重要的非负数的性质
正数a有两个平方根，记作__±__，0的平方根是__0__，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0.任何数都有立方根，a的立方根是.
三个重要的的非负数的性质：
（1）①|a|≥0；②≥0（a≥0）；③a2n≥0．
(2)非负数的性质：
①非负数的最小值是0：
②几个非负数之和仍为非负数：
③若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0．
考点3．实数的运算顺序和运算律
实数的运算顺序是先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算__大括号__里面的，同级运算应__从左到右__依次进行．www.21-cn-jy.com
运算律（1）加法交换律：a+b=b+a。
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。?
（3）乘法交换律：ab=ba。?
（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)。
（5）乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。
考点1．零指数幂和负整数指数幂
◇典例1：若（a+2）0=1，则a必须满足的条件是??? ?
【考查角度】零指数幂
【分析】根据零指数幂：a=1（a≠0）可得a+2≠0，再解即可． 解：由题意得：a+2≠0， 解得：a≠2， 故答案为：a≠2．2·1·c·n·j·y
◆变式训练
1.1若（n+3）2n的值为1，则n的值为????．
【考点】零指数幂．
【分析】分别讨论，①底数为±1，②底数不为零，指数为0的情况，得出n的值即可． 解：①当n+3=1时，n=-2，此时12n=1-4=1； ②当n+3=-1时，n=-4，此时（-1）-8=（-1）-8=1； ③当n+3≠0，2n=0时，n=0，此时3=1； 故可得n的值为-2，-4，0． 故答案为：-2，-4，0．【来源：21·世纪·教育·网】
1.2（2+2+0.2-1）-2=??? ?．
【考点】负整指数幂
【分析】首先根据零指数幂，负指数幂计算括号里面的，再算括号外面的．零指数幂：a=1（a≠0），负整数指数幂a-p=（a≠0，p为正整数）． 解：原式=（1+2+5）-2， =8-2， =， 故答案为：．21*cnjy*com
考点2．平方根、算术平方根、立方根
◇典例2：（1）如果一个数的平方根为5a-1和a+7，那么这个数是_________________。
（2）下列说法正确的是（ ） A．25的平方根是5 B．-22的算术平方根是2 C．0.8的立方根是0.2 D．是2的一个平方根【出处：21教育名师】
（3）一个自然数n的算术平方根为m，则n+1的立方根是（???）
A．????????B． C．???????D．
【考查角度】平方根、算术平方根、立方根
（1）【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a-3和a-9的关系，可得a的值，根据平方，可得答案．【版权所有：21教育】
解：∵一个正数的两个平方根分别是5a-1和a+7，
∴（5a-1）+（a+7）=0，
解得：a=-1．
所以这个数为：（5a-1）2=（-5-1）2=36．
（2）【分析】根据平方根，算术平方根的定义，立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、25的平方根是±5，故本选项错误； B、-22=-4，没有算术平方根，故本选项错误； C、0.8的立方根是，故本选项错误； D、是2的一个平方根正确，故本选项正确． 故选D．21*cnjy*com
（3）【分析】算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的算术平方根和立方根都是一个正数；0的算术平方根和立方根都是0；负数没有算术平方根，负数有一个负的立方根．
解：∵一个自然数n的算术平方根为m，
∴，
∴；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，
∴n+1的立方根表示为=．
故选C．
◆变式训练
2.1（2015.南京）9的平方根是______________；9的算术平方根是____________
【考点】算术平方根；平方根．.
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
解：9的平方根是±3；9的算术平方根是3．
故答案为：±3；3．
2.2（2017.聊城）64的立方根是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【考点】 立方根．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：∵4的立方是64，
∴64的立方根是4．
故选A．
考点3．实数的运算顺序
◇典例3：计算题：-j
【考查角度】实数的运算顺序
【分析】别进行乘方、二次根式的化简、开立方、绝对值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可． 解：原式=3-+0.5+4-6 =1．21cnjy.com
◆变式训练
3.1(2016昆明中考)计算：2 0160－＋＋2sin45°.
【解析】先根据零指数幂、绝对值、负指数幂及三角函数的意义逐个化简，最后合并同类项．
【答案】原式＝1－＋3＋2×＝4.
1.（2017年邵阳市 ）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【考点】算术平方根的定义
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
2.（四川省眉山市2016年）下列等式一定成立的是（ ）
A．a2×a5=a10B． C．（﹣a3）4=a12D．
【分析】依次根据幂的乘法，算术平方根的运算，幂的乘方，二次根式的化简判断即可．
解：A、a2×a5=a7≠a10，所以A错误，
B、不能化简，所以B错误．
C、（﹣a3）4=a12，所以C正确，
D、=|a|，所以D错误，
故选C
3.（郑州市模拟试卷）下列说法中，正确的是（ ）
A． 0.4的算术平方根是0.2 B． 16的平方根是4
C． 的立方根是4 D． （﹣2）3的立方根是﹣2
【考点】 立方根；平方根；算术平方根．
【分析】 A、根据算术平方根的定义进行判断；
B、根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题；21·cn·jy·com
C、此题实际上是求8的立方根；
D、根据立方根的定义进行解答．
【解答】 解：A、0.04的算术平方根是0.2，故本选项错误；
B、16的平方根是±4，故本选项错误；
C、=8，在的立方根是2，故本选项错误；
D、（﹣2）3的立方根是﹣2，故本选项正确．
故选：D．
4.（资阳市2015年）已知：，则的值为_________
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.
【分析】首先根据非负数的性质可求出a的值，和2b2﹣2b=6，进而可求出2b2﹣4b﹣a的值．
解：∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣2b=6，
则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案为12．
5.（2017年荆州市）若单项式﹣5x4y2m+n与2017xm﹣ny2是同类项，则m﹣7n的算术平方根是 ．www-2-1-cnjy-com
【考点】 算术平方根； 同类项； 解二元一次方程组．
【分析】根据同类项定义可以得到关于m、n的二元一次方程，即可求得m、n的值即可解题．
解：∵单项式﹣5x4y2m+n与2017xm﹣ny2是同类项，
∴4=m﹣n，2m+n=2，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m﹣7n=16，
∴m﹣7n的算术平方根==4，
故答案为 4．
6.一个数的算术平方根与这个数的立方根的和为0，则这个数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．0 D．不存在
【分析】根据算术平方根是非负数，一个数的立方根与它本身符号相同，而它们的和等于0，可知这个数是0．
解：根据算术平方根非负数，
立方根不改变这个数的正负性，
相加等于0，则这个数是0．
故选C．
7.（宁波市2016年）实数﹣27的立方根是 ．
【考点】立方根．
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
8.（2017年十堰市）计算：|﹣2|+﹣（﹣1）2017．
【考点】实数的运算
【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根定义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
解：原式=2﹣2+1=1．
(2015铜仁)定义一种新运算：，如2*1:==2,求（4*2）*（-1）的值.
【答案】解：∵,,∴原式=0.
10．计算：（2015遂宁）-22- | -| +()-2×()0+(-1)2014-
【答案】解：原式=-4-+9×1+1-3=3-.
1.下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±3 B．1的立方根是±1 C．=±1 D．＞0
【分析】A．根据算术平方根、平方根的定义即可判定；
B、根据立方根的定义即可判定
C、根据算术平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的性质即可判定．
解：A．=9，9的平方根是±3，故选项正确；
B、1的立方根是它本身1，故选项错误；
C、=1，故选项错误；
D、当x=0时，=0，故选项错误．
故选A．
2.（2017年张掖市 ）4的平方根是（ ）
A．16 B．2 C．±2 D．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．21世纪教育网版权所有21教育网
解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选C．
对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：当a≥b时，a★b=a2+ab；当a＜b时，a★b=b2+ab；若2★m=24，则实数m等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．10 B．4 C．4或﹣6 D．4或﹣6或10
【考点】实数的运算
【分析】根据题意，（1）m≤2时，22+2m=24；（2）m＞2时，m2+2m=24；据此求出m的值是多少即可．
解：∵当a≥b时，a★b=a2+ab；当a＜b时，a★b=b2+ab，
∴（1）m≤2时，22+2m=24，
解得m=10，不满足题意．
∴（2）m＞2时，m2+2m=24，
解得m=﹣6或4，
∵﹣6＜2，
∴m=4．
综上，可得：m=4．
故选：B．
下列说法正确的有______（填序号）
①一个数的绝对值一定比0大;②一个数的相反数一定比它本身小;③最小的正整数是1;④与最接近的整数是3；⑤-(-2)0=l．
【答案】③④
．若+(y-2)2=0,则xy-2=_______．
【答案】
计算：（2016重庆）+(-2)0=_____．
若x+3是25的平方根，若﹣8的立方根是y+1，则x+y= ．
【考点】平方根、立方根
【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得平方跟，根据立方与开立方互为逆运算，可得立方根，根据有理数的加法运算，可得答案．
解：x+3是25的平方根，若﹣8的立方根是y+1，
±=±5，=﹣2，
x+3=±5，y+1=﹣2，
x=2或x=﹣8，y=﹣3，
当x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1，
当x=﹣8，y=﹣3时，x+y=﹣11，
故答案为：﹣1或﹣11．
如果一个数的平方根为5a-1和a+7，那么这个数是_________________。
【考点】平方根
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a-3和a-9的关系，可得a的值，根据平方，可得答案．2-1-c-n-j-y
解：∵一个正数的两个平方根分别是5a-1和a+7，
∴（5a-1）+（a+7）=0，
解得：a=-1．
所以这个数为：（5a-1）2=（-5-1）2=36．
用适当的符号填空：若b＞c＞0，则b﹣c 0，|c﹣b| 0，﹣ 0．
【考点】实数的大小比较
【分析】根据b＞c＞0，可得：b﹣c＞0，c﹣b＜0，据此逐项判定即可．
解：∵b＞c＞0，
∴b﹣c＞0，c﹣b＜0，
∴b﹣c＞0，|c﹣b|＞0，﹣＜0．
故答案为：＞、＞、＜．
对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：a*b=(a+b＞0),如3*2=，那么6*（5*4）=??????????????
【分析】先求出5*4=3，再求出6*3即可．
∵5*4==3
∴6*3=．
(2015南通)(-2)2-+(-3)0-()-2
解：原式= 4-4+1-9=一8．
(2015达州)(-1)2015+20150+2-1-| -|
解：原式一1+1++-=1-
13. 在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示 化简：．
【分析】首先根据数轴可以确定a、b、c的符号，以及各个绝对值数内面的数的大小，然后即可去掉绝对值符号，从而对式子进行化简． 解：根据数轴可以得到：c＜0＜a＜b，且|a|＜|b|＜|c|， 则： =-c+（c+a）+b-（b-a） =-c+c+a+a =2a21世纪教育网版权所有
14. （1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．
（2）已知，求的立方根．
（3）已知x、y为实数，且．求的值．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；（2）根据算术平方根与平方的和为0?可得算术平方根与平方同时为0，可得答案；（3）根据开平方的被开方数互为相反数，可得被开方数互为相反数，可得答案．21教育名师原创作品
解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）=0，
∴a=4；
（2）∵，
∴a﹣16=0，b+2=0，
∴a=16，b=﹣2，
∴=﹣2；
（3）∵，
∴x=9，y=4，
∴=3+2=5．
（2016黄石）观察下列等式：
第1个等式：,
第2个等式: ,
第3个等式:，
第4个等式:，
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：_________.
【答案】
(2)求al+a2+a3++an的值，
【答案】解：(1)∵第1个等式：，
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
∴第n个等式：
(2)a1+a2+a3+…+an。
=(-1)+(+)+(2-)+(-2)+…+(-)
=-1.
