课时作业(二十一) 用向量方法解决平行与垂直问题
A组 基础巩固
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．
答案：D
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.
答案：C
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
答案：D
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
答案：B
5．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：∵v＝－3u，∴α∥β.
答案：A
6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即
解得
答案：C
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是__________．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确．
答案：①②③
8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.
∴cosx＝0或cosx＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
9．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，
D，C(0，a,0)．
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝(a，－a，z)，
＝(a,0，z－3a)．
由题意得2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a.
答案：a或2a
10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0,0,1)，
∴＝.
又点A，M的坐标分别是(，，0)，，
∴＝.
∴＝，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)．
∴·＝0.∴⊥.
同理⊥.
又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
B组 能力提升
11．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝ B．a＝k
C．a＝p＋λ D．以上均不能
解析：A、B、C均能表示l∥α或l?α.
答案：D
12．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，
则D(0，a,0)．
设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．
P(0,0，z)．
则＝(1，x，－z)，
＝(－1，a－x,0)．
由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，
即x2－ax＋1＝0.
由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．
∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．
答案：2
13．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解析：存在．证明如下：当F是棱PC的中点时，
BF∥平面AEC.
∵＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＋(－)＝－
∴，，共面．
又BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC.
14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，
＝，
＝，设F(x，y，z)，
则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∵∥n2，∴PB⊥平面EFD.
15．如图所示，直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．
解：(1)证明：以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝CD＝1，AB＝2，∴D(1,0,0)，B(0,2,0)．
设AA1＝a，则A1(0,0，a)，B1(0,2，a)，C1(1,1，a)，C(1,1,0)．
＝(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(0,0，a)，
∵·＝1－1＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴AC⊥BC，AC⊥BB1，
又BC∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)点P存在，证明如下，假设存在一点P(0，y，a)，则＝(－1，y，a)．
由(1)知，平面BCB1的法向量为.
∵·＝(－1，y，a)·(1,1,0)＝－1＋y.
又∵DP∥平面BCB1，∴·＝0，∴y＝1.
设n＝(x，y，z)为平面ACB1的一个法向量，
∴n·＝0，n·＝0，
又∵＝(－1,1，a)，∴
∴n为.
∵DP∥平面ACB1，∴⊥n，
∴·n＝(－1)×(－y)＋y·y＋a·＝y2－y＝0，
∴y＝0(舍去)或y＝1，这与·＝0时相一致，故假设成立．
∴存在一点P，且P为A1B1中点，使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．
课时作业(二十二) 用向量方法求空间中的角
A组 基础巩固
1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝＝，
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝.
答案：B
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0 B.
C．－ D.
解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)．
∴cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.
答案：A
4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.∴此角的大小为45°.
答案：B
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图的空间直角坐标系，
可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.
∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．
∴＝(0,1，)，＝(－，0，)．
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
6．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.
据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.
且〈，〉为二面角的平面角，
由＝(＋＋)2得
13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－.
∴〈，〉＝120°.
即所求的二面角为120°.
答案：C
7．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________．
解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，
sinθ＝|cosβ|＝＝.
答案：
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.
解析：建立如图坐标系，设正方体棱长为2.
可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)．
cos〈，〉＝－.
∴sin〈，〉＝.
答案：
9．如图正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
解析：建立坐标系如图，
则B(1,1,0)，O，
＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.
答案：
10．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
解：(1)过D作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝，
∴DE＝CD·sin30°＝.
OE＝OB－BE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.
∴D点的坐标为，
即向量＝.
(2)依题意，＝，＝(0，－1,0)，＝(0,1,0)，
所以＝－＝，＝(0,2,0)．
则cosθ＝＝－.
B组 能力提升
11．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，
以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
12．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，
则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
解析：(1)证明：根据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC＝BC＝CC1＝a，
则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0,0,0)，
C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.
所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)，
＝.
于是·＝0，·＝0，
即MN⊥BA1，MN⊥CA1.
又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC.
(2)因为MN⊥平面A1BC，
则为平面A1BC的法向量，
又＝(0，－a，a)，
则cos〈，〉＝＝＝，
所以〈，〉＝60°.
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.
14．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．
设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
(1)＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明：由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
15．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.
因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，
所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
课时作业(二十) 空间向量运算的坐标表示
A组 基础巩固
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )
A. B.
C. D.
解析：AB的中点M，又C(0,1,0)，所以＝，故M到C的距离|CM|＝||＝＝.
答案：C
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－6,21) B．(－2,7)
C．(6，－21) D．(2，－7)
解析：＝2＝2(－)＝(－6,4)，
＝＋＝(－2,7)，
＝3＝(－6,21)．
答案：A
3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：∵b－c＝(2,1,2)－(4，－2,1)＝(－2,3,1)，
a·(b－c)＝(－2，x,2)·(－2,3,1)＝4＋3x＋2＝0，
∴x＝－2.
答案：A
4．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，＝，则C点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵＝(－3，－2，－4)，
∴＝＝(－3，－2，－4)＝，
即C.
答案：A
5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，
即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
所以解得
∴λ＝3x－2y＝.
答案：D
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝52＋.
∴|b－a|＝.
∴|b－a|min＝.
答案：C
7．若a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝__________.
解析：由a＝zb，得
所以
答案：
8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a，b的夹角为120°，则k＝________.
解析：由于〈a，b〉＝120°，
∴cos〈a，b〉＝－，
而cos〈a，b〉＝＝.
∴＝－，
解得k＝－(k＝舍去)．
答案：－
9．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则||的取值范围是________．
解析：||
＝
＝
＝，
∴1≤||≤5.
答案：[1,5]
10．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b夹角的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：(1)∵a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，
∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
(2)ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)
＝(k－1，k,2)．
ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)
＝(k＋2，k，－4)．
∵向量ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1)×(k＋2)＋k×k＋2×(－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
B组 能力提升
11．已知△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．4 B.
C．5 D．2
解析：设＝λ(λ∈R)，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ.
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又＝(0,4，－3)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－.
∴＝.
∴||＝＝5.
答案：C
12．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)、O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为________．
解析：＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．
＋λ＝(1，－λ，λ)，(＋λ)·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋λ×1＝2λ，|＋λ|＝，||＝.
由题意知：cos120°＝＝－，
解得λ2＝.
因为＜0，所以λ＜0，所以λ＝－.
答案：－
13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解析：(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，
∴S＝||||sin60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥?－2x－y＋3z＝0，
a⊥?x－3y＋2z＝0，|a|＝?x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
14．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．
(1)求BM、BN的长．
(2)求△BMN的面积．
解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N(0，，1)．
(1)＝(1，－1,1)，
＝，
∴||＝＝，||＝＝；
故BM的长为，BN的长为；
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，
而cos∠MBN＝cos〈，〉
＝＝＝，
∴sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
15．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)．
(1)若∥，∥，求点D的坐标；
(2)问是否存在实数α，β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解：(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，
＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．
因为∥，∥，
所以
解得
即D(－1,1,2)．
(2)依题意＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)，
假设存在实数α，β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，
所以故存在α＝β＝1，
使得＝α＋β成立．
课时作业(十七) 空间向量的数乘运算
A组 基础巩固
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m、n、p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m、n、p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于( )
A. B. C. D．1
解析：＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故选C.
答案：C
3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝－a＋b＋c.
答案：A
4．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
答案：A
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.
答案：D
7．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
答案：a＋b－c
8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.
由条件知＝(－2x)＋(－3y)＋(－4z)，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以∴k＝±1.
答案：±1
10．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，＝－＝－
＝(－)＝＝(－)
＝＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又点F不在上，
∴四边形EFGH是梯形．
B组 能力提升
11．如图所示，已知三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：因为点N为BC的中点，所以＝(＋)．
又＝，所以＝－＝(＋)－，
则＝＝(＋)－，
所以＝＋＝＋(＋)－＝＋＋.
答案：D
12．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
13．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．
解析：如图，设＝m，
∵＝＋＋＝2＋3＋，
∴＝2m＋3m＋m.
由于P，M，R，N共面，∴2m＋3m＋m＝1，
从而得m＝，即＝，∴＝.
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵＝－且＝，
∴＝－.
∵＝＋，∴＝＋－＝－＋＋.
∵＝，∴＝＝(－＋＋)＝－＋＋.
又∵＝－，∴＝－＋＋.
∵＝m，∴＝m＝－＋＋.
∵＝－＋＝－＋，
∴＝＋＋.
又∵B，G，P，D四点共面，∴1－＝0，即m＝.
15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
课时作业(十九) 空间向量的正交分解及其坐标表示
A组 基础巩固
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B、D错误．
答案：C
2．如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：连结ON，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
答案：B
3．已知O为坐标原点，在基底{a，b，c}下的坐标为{2,1,3}，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(3,7,12)
C．(2,4,6) D．(8,3,12)
解析：＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k.
∴点A的坐标为(8,3,12)．
答案：D
4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则( )
A.＝－a＋b＋c
B.＝－b－a－c
C.＝a－b－c
D.＝a－b＋c
解析：＝＋＝－＋(＋)＝
－＋＝a－b＋c.
答案：D
5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，由已知＝
＝(＋)
＝
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
从而x＝y＝z＝.
答案：A
6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
答案：A
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝__________.
解析：因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意，得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
答案：0
8．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得
答案：1 －1
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，
∴＝，即－＝0.
∴λ＝－.
答案：－
10．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
解：(1)＝＋＝＋
＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝－＝＋＝.
＝－＝－＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
B组 能力提升
11．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量、、成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
解析：对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D选项，易知、、共面，故只有选项C中、、不共面．
答案：C
12．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1、e2、e3为空间一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为( )
A.，－，－1
B.，，1
C．－，，1
D.，－，1
解析：d＝xa＋yb＋zc
＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3
又∵d＝e1＋2e2＋3e3
∴
解得：x＝，y＝－，z＝－1.
答案：A
13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且|NC|＝2|PN|，|AM|＝2|MB|，|PA|＝|AB|＝1，求的坐标．
解析：以A为坐标原点．分别以DA，AB，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋－)
＝－＋＋
又∵||＝||＝1，∴＝.
14．如图，设四面体OABC的三条棱＝a，＝b，＝c，G为△BCD的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量，.
解析：由G为△BCD的重心易知E为AC的中点，
∴＝(＋)＝[(－)＋(－)]
＝[(a－b)＋(c－b)]＝(a＋c－2b)，
＝＋＝b＋＝b＋(a＋c－2b)
＝(a＋b＋c)．
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
解析：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.
由向量分解的唯一性，
有解得
∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．
课时作业(十八) 空间向量的数量积运算
A组 基础巩固
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：①，②均正确；③不正确，因为与夹角为120°.
答案：B
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析：·＝(＋)·＝(·＋·)
＝＝a2.
答案：C
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A.
答案：A
4．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，
同理，可证·＞0，·＞0.
所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．
答案：B
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有( )
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
解析：∵·＝·＝·(＋＋)
＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2.
答案：C
6．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A. B. C．－ D．0
解析：如图所示，
∵·＝·(－)＝·－·
＝||||·cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0.
答案：D
7．设向量a与b互相垂直，向理c与它们构成的角是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝__________.
解析：(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.
答案：－62
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝________.
解析：由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝
||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝12＋22＋32＋2
＝25，故||＝5.
答案：5
9．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
B组 能力提升
10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[0,3] D．[1,3]
解析：p2＝2＝3＋2≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.
答案：C
11．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.
解析：由已知·＝·＝·＝0，
且＝，
故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝.
答案：
12．如图，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)
＝(18×1×1×cos60°－9)＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)解：＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
13．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：
(1)证明：＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
解析：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，
此时B，D间的距离为.
课时作业(十六) 空间向量及其加减运算
A组 基础巩固
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，顶点连结的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：与向量相等的向量有，，，共3个．
答案：C
2．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3
C．3 D．2
解析：－＋＝＋＝＋2＝3.
答案：B
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．
答案：D
5．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.－＋＋＝0
解析：由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.
答案：B
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
答案：C
7．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，与是__________向量，与是__________向量(用“相等”“相反”填空)．
答案：相等 相反
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，＝－＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
9．下列说法中，正确的个数为________个．
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若两个非零向量与满足＋＝0，则与为相反向量．
解析：①错误．两个空间向量相等，其模相等，且方向相同，与起点和终点的位置无关；
②错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小；
③正确.＋＝0?＝－
且，为非零向量，所以与为相反向量．
答案：1
10．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋－；
(2)－－.
解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝(如图)．
(2)－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝(如图)．
B组 能力提升
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
①(－)－ ②(＋)－
③(－)－2 ④(－)＋
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：对于①，(－)－＝－＝；
对于②，(＋)－＝－＝＋＝.故选A.
答案：A
12．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B.＝－－
C.与同向 D.与同向
解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确．
答案：D
13．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝，求证：四边形EFGH为梯形．
证明：根据题意，∵＝－，＝－，
又∵＝，＝，∴＝，①
∵＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝(－)＝.②
由①②得，＝，
∴∥，且||≠||，
又∵点F不在直线EH上，
∴EH∥FG且|EH|≠|FG|，
∴四边形EFGH为梯形．
14．如图，在长，宽，高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解：
(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量的相反向量为，，，，共4个．
15．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3).
解：
(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
