第三章 导数及其应用
学业水平达标检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于( )
A.4 B.4+2Δx
C.4+Δx D.4Δx+(Δx)2
答案:B
2.f(x)=ax3-2x2-3,若f′(1)=5,则a等于( )
A.5 B.4 C.2 D.3
解析:∵f′(x)=3ax2-4x,∴f′(1)=3a-4=5,∴a=3.
答案:D
3.过抛物线y=x2上一点P的切线的倾斜角是( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:y′=2x,∴f′=2×=1,令tanα=1,则α=45°.
答案:C
4.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=-1 B.y=2x+1
C.y=-2x-3 D.y=x-
解析:y′==.∴k=y′|x=-1=2,
∴所求切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案:B
5.若f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.0<a≤3 D.-1<a<0
解析:∵f′(x)=-3x2+a,∴-3x2+a≥0在(0,1)上恒成立,即a≥3x2在(0,1)上恒成立.∵3x2<3,∴a≥3.
答案:A
6.函数y=ln(3x-x3)的单调递增区间是( )
A.(0,1) B.(-1,1)
C.(-,-1) D.(1,)
解析:由3x-x3>0,得0<x<或x<-.
令f(x)=3x-x3,则f′(x)=3-3x2>0,得0<x<1.
答案:A
7.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为( )
A.-e B.1-e C.-1 D.0
解析:f′(x)=-1,令f′(x)=0,即x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,e)
e
f′(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值-1
单调递减?
1-e
由于f(e)=1-e,而-1>1-e,从而f(x)max=f(1)=-1.
答案:C
8.函数f(x)在其定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f′(x)的图象为下列选项中的( )
A B C D
解析:由f(x)图象知,f′(x)值应是先正再负,然后又正.
答案:D
9.当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点( )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析:f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),知可能的极值点x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,可见当a=4时,函数f(x)恰好有两个不同的零点.
答案:C
10.把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱;当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶π D.2∶π
解析:设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=π2x=(x3-12x2+36x)(0<x<6),
V′=(x-2)(x-6).
当x=2时,V最大.此时底面周长为6-x=4(cm),
该圆柱的底面周长与高的比为4∶2=2∶1,故选B.
答案:B
11.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( )
A B C D
解析:令g(x)=f(x)ex,则g′(x)=f′(x)ex+f(x)ex.
∵x=-1为函数g(x)的一个极值点,
∴g′(-1)=f′(-1)e-1+f(-1)e-1=0.
∴f′(-1)=-f(-1).D选项中,f(-1)>0,
∴f′(-1)=-f(-1)<0,这与图象不符.
答案:D
12.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:设F(x)=f(x)·g(x),
则当x<0时,F′(x)>0,即F(x)在(-∞,0)上是增函数.
又∵g(x)是偶函数,∴g(-3)=g(3)=0.
∴在x∈(-∞,-3)上,F(x)<F(-3)=f(-3)·g(-3)=0,即f(x)·g(x)<0.
又可证得F(x)是奇函数,∴在x∈(0,3)上,f(x)g(x)<0.故选D.
答案:D
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知三次函数y=x3-x2-ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+1,则a+b=________.
解析:y′=3x2-2x-a,由题意可知当x=0时,y=1,y′=2,得a=-2,b=1,故a+b=-1.
答案:-1
14.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,则f(1)+f′(1)=__________.
解析:由题意可知f(1)=×1+2=,f′(1)=k=,所以f(1)+f′(1)=3.
答案:3
15.已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,则n=__________.
解析:由题意可设f(x)=x2-9x+c(c∈R),
又f(0)的值为整数,即c为整数,
∴f(n)=n2-9n+c为整数,
f(n+1)=(n+1)2-9(n+1)+c=n2-7n+c-8为整数.
又x∈[n,n+1](n∈N*)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,
∴n2-7n+c-8=n2-9n+c,即n=4.
答案:4
16.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.
解析:由题意得f′(x)=3ax2-3,当a≤0时,有f′(x)=3ax2-3<0,
∴f(x)在[-1,1]上为减函数,∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,解得a≥2(与条件a≤0矛盾),不符合题意.
当a>0时,令f′(x)=0可得x=±,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈,时,f′(x)>0,
f(x)为增函数.
由f(-1)=4-a≥0可得0<a≤4,
又由f=a×-+1=1-≥0可得a≥4.综上可知a=4.
答案:4
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R),若y=f(x)图象上的点处的切线斜率为-4,求y=f(x)在区间[-3,6]上的最值.
解析:易得f′(x)=x2+2ax-b,
f′(1)=-4,∴1+2a-b=-4.①
又在f(x)的图象上,
∴+a-b=-,即a-b+4=0.②
由①②解得
∴f(x)=x3-x2-3x,
f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
令f′(x)=0,解得x=-1或3.
∴在x∈[-3,6]上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,6)
6
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-9
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值-9
单调递增?
18
∴当x∈[-3,6]时,f(x)max=f(6)=18,f(x)min=f(3)=f(-3)=-9.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值的差.
解析:f′(x)=3x2+2ax+b.
由于f(x)在x=2处有极值,∴f′(2)=0,
即12+4a+b=0.①
又∵f′(1)=-3,∴2a+b+3=-3.②
由①②,得a=-3,b=0.∴f(x)=x3-3x2+c.
令f′(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.
由于x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)>0;
x∈(0,2)时,f′(x)<0,
∴f(0)是极大值,f(2)是极小值,∴f(0)-f(2)=4.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的图象的下方.
解析:(1)∵f(x)=x2+lnx,∴f′(x)=2x+.
当x>1时,f′(x)>0,故f(x)在[1,e]上是增函数.
∴f(x)的最大值是f(e)=1+e2,最小值是f(1)=1.
(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+lnx,
∴F′(x)=x-2x2+=
==.
∵x>1,∴F′(x)<0.
∴F(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴F(x)<F(1)=-=-<0.
∴F(x)<0,∴f(x)<g(x).
故当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)的图象的下方.
20.(本小题满分12分)已知一长方体的交于一顶点的三条棱长之和为1,其表面积为.
(1)将这个长方体的体积V表示成一条棱长x的函数V(x),并写出其定义域;
(2)求V(x)的最大值与最小值;
(3)求V(x)取最大值时三条棱的长.
解析:(1)设三条棱长分别为x、y、z,则
∴yz=-x(1-x).
故V(x)=xyz=x3-x2+x.
又得0<x<1.
∴V(x)=x3-x2+x,x∈(0,1).
(2)令V′(x)=3x2-2x+=0,解得x=,或x=.
当x∈时,V′(x)>0;
当x∈时,V′(x)<0;
当x∈时,V′(x)>0.
结合实际意义知,V既是V(x)的极大值也是最大值,V既是V(x)的极小值也是最小值.
故Vmax=V=,V(x)min=V=.
(3)由(2)知,x=时,V(x)取最大值.
∴解得或
∴V(x)取最大值时,三条棱的长分别为、、.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①
当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,
可得4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2,b=-4.
设切线l的方程为y=3x+m,
由原点到切线l的距离为,得=,解得m=±1.因为切线l不过第四象限,所以m=1,所以y=3x+1.
由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=4,
所以1+a+b+c=4,所以c=5.
故a=2,b=-4,c=5.
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0,得x=-2或x=,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-3,-2)
-2
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13,
在x=处取得极小值f=.
又f(-3)=8,f(1)=4,所以f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.
22.(本小题满分12分)函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.
(1)求a和b的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)设g(x)=x3-x2,试比较f(x)与g(x)的大小.
解析:(1)因为f′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b).
又x=-2和x=1为f(x)的极值点,
所以f′(-2)=f′(1)=0.
因此解方程组得
(2)因为a=-,b=-1,
所以f′(x)=x(x+2)(ex-1-1).
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1.
因为当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时,f′(x)<0;
当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上单调递增,
在(-∞,-2)和(0,1)上单调递减.
(3)由(1)可知f(x)=x2ex-1-x3-x2,
故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x).
令h(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1-1,
令h′(x)=0,得x=1.
因为x∈(-∞,1]时,h′(x)≤0,
所以h(x)在x∈(-∞,1]上单调递减,
故x∈(-∞,1]时,h(x)≥h(1)=0;
因为x∈[1,+∞)时,h′(x)≥0,所以h(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,故x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0.
所以对任意的x∈(-∞,+∞),恒有h(x)≥0.
又x2≥0,因此f(x)-g(x)≥0,
故对任意的x∈(-∞,+∞),恒有f(x)≥g(x).
第14课时 导数
(限时:10分钟)
1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A.0.41 B.3
C.4 D.4.1
解析:===4.1.
答案:D
2.函数y=-在点处的切线方程为( )
A.y=4x B.y=4x-4
C.y=4x+4 D.y=2x+4
解析:Δy=-+=-+2=,
∴=.∴切线斜率k=y′|=li =4.
∴所求切线方程为y+2=4,即y=4x-4.
答案:B
3.物体自由落体的运动方程为s(t)=gt2,g=9.8m/s2,若v=li =9.8 m/s,那么下列说法中正确的是( )
A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率
解析:由于s(t)=gt2,所以由导数的定义可得v(t)=s′(t).
当t=1 s时,v(1)=li =9.8(m/s),
所以9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率.
答案:C
4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=__________.
解析:y′|x=1=li
=li
=li (2a+aΔx)=2a,
由已知2a=2,a=1.
答案:1
5.求函数f(x)=3x-在x=1处的导数.
解析:方法一(定义法):
Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)--1
=2+3Δx-=3Δx+,
==3+,
∴li =li =5,
∴f′(1)=5.
方法二(导函数的函数值法):
Δy=f(x+Δx)-f(x)
=3(x+Δx)--3x+
=3Δx-+=3Δx+,
=3+,
∴f′(x)=li =li =3+.
∴f′(1)=3+2=5.
(限时:30分钟)
1.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数值y的增量为( )
A.1 B.2
C. D.
解析:Δy=-=-1=.
答案:C
2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( )
A.5+Δt(m/s) B.5+(Δt)2(m/s)
C.5(Δt)2+Δt(m/s) D.5(Δt)2(m/s)
解析:由定义有==5+Δt.
答案:A
3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
A.不存在 B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
解析:f′(x0)=0的几何意义为在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为0,因此切线应为与x轴平行或重合的直线.
答案:B
4.在x=1附近取Δx=0.3,在四个函数①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=中,平均变化率最大的是( )
A.④ B.③
C.② D.①
解析:①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率为3.99,④的平均变化率约为-0.77,故选B.
答案:B
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是( )
A.甲 B.乙
C.相同 D.不确定
解析:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt),但
<,
所以,在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂治污效果较好.
答案:B
6.已知函数y=3,则其导函数y′=__________.
解析:==0,y′=li =0.
答案:0
7.若质点A的运动方程为s=2t2(其中s表示位移,t表示时间),则t=3时的瞬时速度为________.
解析:瞬时速度v=li
=li =li =12.
答案:12
8.给出下列四个命题:
①若函数f(x)=,则f′(0)=0;
②若函数f(x)=2x2+1的图象上点(1,3)邻近的一点为(1+Δx,3+Δy),则=4+2Δx;
③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;
④曲线y=x3在点(0,0)处没有切点.
其中正确的命题是________.
解析:①f(x)=在x=0处导数不存在;④y=x3在点(0,0)处存在切点(0,0).②③正确.
答案:②③
9.求曲线y=在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
解析:∵y=,
∴k= = = =-.
∴当x=时,k=-4,∴切线斜率为k=-4.
∴切线方程为y-2=-4,
即4x+y-4=0.
10.求函数y=f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
解析:=
=3-Δx,f′(-1)
=li
=
=li (3-Δx)
=3.
11.已知曲线y=上两点P(2,-1),Q.
求:(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率;
(2)曲线在点P,Q处的切线方程.
解析:将P(2,-1)代入y=,得t=1,
∴y=.
y′=li
=li
=li
=li =.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x=2==1.
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x=-1=.
(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,
即x-y-3=0,
曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],
即x-4y+3=0.
第15课时 导数的运算
(限时:10分钟)
1.已知函数f(x)=xsin,则f′=( )
A.- B.0 C.1 D.
解析:∵f(x)=xsin=xcosx,
∴f′(x)=cosx-xsinx.
∴f′=cos-sin=-.
答案:A
2.下列结论正确的是个数为( )
①y=ln2,则y′=;②y=,则y′|x=3=-;③y=2x,则y′=2xln2;④y=logx,则y′=-.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:对①,y=ln2是常数函数,y′=0,故①错误;对②,y==x-2,y′=-2x-3=,∴y′|x=3=-,故②正确;对③,易知其正确;对④,y=logx,
y′==-,故④正确.
答案:D
3.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.e D.
解析:根据导数的几何意义可得,k=y′|x=0=e0=1.
答案:A
4.若曲线运动的物体的位移s与时间t的关系为s=+2t2,则t=2时的瞬时速度为__________.
解析:s′=′+(2t2)′=+4t=+4t.
∴t=2时的瞬时速度为s′|t=2=+8=8.
答案:8
5.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.
解析:∵f(x)=,g(x)=alnx,
∴f′(x)=,g′(x)=.
设f(x),g(x)的交点为(x0,y0),
则由已知得解得
∴切线斜率k=f′(x0)=f′(e2)=,切点为(e2,e),
∴切线方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.
(限时:30分钟)
1.下列结论:
①(cosx)′=sinx;②′=cos;③若y=,则y′=-;④′=.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为(cosx)′=-sinx,所以①错误;
sin=,而′=0,所以②错误;
′=(x-2)′=-2x-3,所以③错误;
′=(-x-)′=x-=,所以④正确,故选B.
答案:B
2.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
解析:y′=-3x2+6x,k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得y=3x-1.
答案:A
3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
解析:∵f′(x)=4ax3+2bx为奇函数,
∴f′(-1)=-f′(1)=-2.
答案:B
4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2exf′(1)+3lnx,则f′(1)=( )
A.-3 B.2e
C. D.
解析:∵f′(1)为常数,∴f′(x)=2exf′(1)+,
∴f′(1)=2ef′(1)+3,∴f′(1)=.
答案:D
5.若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=( )
A.64 B.32
C.16 D.8
解析:求导得y′=-x-(x>0),所以曲线y=x-在点(a,a-)处的切线l的斜率k=y′|x=a=-a-.
由点斜式得切线l的方程为y-a-=-a-(x-a),易求得直线l与x轴、y轴的截距分别为3a,a-,
所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S=×3a×a-=a=18,解得a=64.
答案:A
6.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且f′(-1)=0,则a=__________.
解析:∵f(x)=(x2-4)(x-a)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
又∵f′(-1)=3+2a-4=0,∴a=.
答案:
7.已知曲线y=x2-1在x=x0处的切线与曲线y=1-x3在x=x0处的切线互相平行,则x0的值为________.
解析:由已知2x0=-3x,∴x0=0或-.
答案:0或-
8.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2013(x)=__________.
解析:由已知f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,依次类推可得f2 013(x)=f1(x)=cosx.
答案:cosx
9.求下列函数的导数.
(1)y=x2+log3x;(2)y=x3·ex;(3)y=.
解析:(1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′=2x+.
(2)y′=(x3·ex)′=(x3)′·ex+x3·(ex)′=3x2·ex+x3·ex.
(3)y′=′===-.
10.已知曲线方程y=x2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.
解析:设P(x0,y0)为切点,则切线斜率k=f′(x0)=2x0,
故切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
∵P(x0,y0)在曲线上,∴y0=x,
∴切线方程为:y-x=2x0(x-x0),
又(3,5)在切线上,将(3,5)代入上式得:5-x=2x0(3-x0),
解得:x0=1或x0=5,
∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为
y-1=2×1×(x-1)或y-25=2×5×(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.
11.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.
解析:因为y=ax2+bx+c过点(1,1),所以a+b+c=1.
y′=2ax+b,曲线过点(2,-1)的切线的斜率为4a+b=1.
又曲线过点(2,-1),所以4a+2b+c=-1.
由解得
所以a、b、c的值分别为3、-11、9.
第16课时 利用导数判断函数的单调性
(限时:10分钟)
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )
解析:由函数y=f(x)的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,函数f(x)均为减函数,故在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,f′(x)均小于0,故选D.
答案:D
2.y=xlnx在(0,5)上是( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在上单调递减,在上单调递增
D.在上单调递增,在上单调递减
解析:∵y′=x·+lnx=1+lnx,令y′>0可得x>,
令y′<0可得0<x<.故选C.
答案:C
3.函数y=x2-lnx的单调递减区间为( )
A.(-1,1] B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(0,+∞)
解析:对函数y=x2-lnx求导,得y′=x-=(x>0),令解得x∈(0,1].因此函数y=x2-lnx的单调递减区间为(0,1],故选B.
答案:B
4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是__________.
解析:由f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调,又f′(x)=3x2+2x+m,则f(x)在R上只能单调递增.∴Δ=4-12m≤0,
∴m≥.
答案:m≥
5.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范围.
解析:f′(x)=2x-=.
要使f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,
则f′(x)≥0在x∈[2,+∞)时恒成立,
即≥0在x∈[2,+∞)时恒成立.
∵x2>0,∴2x3-a≥0,即a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,
∴(2x3)min=16,∴a≤16.
当a=16时,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′(2)=0,
∴a的取值范围是{a|a≤16}.
(限时:30分钟)
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:f′(x)=ex+ex(x-3)=ex(x-2),令f′(x)>0,得x-2>0,x>2,∴f(x)的递增区间是(2,+∞).
答案:D
2.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如右图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
( )
A
B
C
D
解析:由图象可获得如下信息:
(1)函数y=f(x)与y=g(x)两个函数在x=x0处的导数相同,故两函数在x=x0处的切线平行或重合.
(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y=f(x)和y=g(x)为增函数且y=f(x)增长的越来越慢,而y=g(x)增长的越来越快.
答案:D
3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sinx B.y=xex
C.y=x3-x D.y=lnx-x
解析:B中,y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0在(0,+∞)上恒成立,∴y=xex在(0,+∞)上为增函数.
对于A,C,D都存在x>0,使y′<0的情况.
答案:B
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,有f′(x)>0,g′(x)>0,则当x<0时,有( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析:由已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
∵x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,
∴f(x),g(x)在(0,+∞)上递增.
∴x<0时,f(x)递增,g(x)递减.
∴x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0.
答案:B
5.若函数y=a(x3-x)的单调减区间为,则a的取值范围是( )
A.a>0 B.-1<a<0
C.a>1 D.0<a<1
解析:y′=a(3x2-1)=3a.
当-<x<时,<0,要使y=a(x3-x)在上单调递减,只需y′<0,即a>0.
答案:A
6.函数f(x)=的单调增区间为__________.
解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.
令f′(x)>0,则1-lnx>0,lnx<1,得0<x<e,
即函数f(x)=的单调增区间为(0,e).
答案:(0,e)
7.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),则b=__________,c=________.
解析:f′(x)=3x2+2bx+c,由条件知即解得b=-3,c=-9.
答案:-3 -9
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为__________.
解析:设g(x)=f(x)-2x-4,则g′(x)=f′(x)-2.
∵对任意x∈R,f′(x)>2,∴g′(x)>0.
∴g(x)在R上为增函数.
又g(-1)=f(-1)+2-4=0,∴x>-1时,g(x)>0.
∴由f(x)>2x+4,得x>-1.
答案:(-1,+∞)
9.已知f(x)=lnx++ax(a∈R),求f(x)在[2,+∞)上是单调函数时a的取值范围.
解析:f′(x)=-+a=.
①当a=0时,f′(x)=在x∈[2,+∞)上,f′(x)>0,∴f(x)在[2,+∞)上是单调函数,符合题意.
②当a<0时,令g(x)=ax2+x-1,
则f(x)在[2,+∞)上只能单调递减,
∴f′(x)≤0在[2,+∞)上恒成立,
∴g(x)≤0在[2,+∞)上恒成立.
又∵g(x)=ax2+x-1=a2--1的对称轴为x=->0,
∴--1≤0,∴a≤-.
③当a>0时,f(x)在[2,+∞)上只能递增,
∴f′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立.
∴g(x)≥0在[2,+∞)上恒成立.
又∵g(x)=ax2+x-1,对称轴为x=-<0,
∴g(2)≥0,∴a≥-.
又∵a>0,∴a>0.
综上所述,实数a的取值范围为∪[0,+∞).
10.已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
(2)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
解析:(1)∵3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
∴a≥3x2.
但当x∈(-1,1)时,0<3x2<3,∴a≥3,
即当a≥3时,f(x)在(-1,1)上单调递减.
(2)证明:取x=-1,得f(-1)=a-2<a,
即存在点(-1,a-2)在f(x)=x3-ax-1的图象上,
且在直线y=a的下方.
即f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.
11.已知x>0,证明不等式ln(1+x)>x-x2成立.
证明:设f(x)=ln(1+x)-x+x2,其定义域为(-1,+∞),则f′(x)=-1+x=.
当x>-1时,f′(x)>0,则f(x)在(-1,+∞)内是增函数.
∴当x>0时,f(x)>f(0)=0.
∴当x>0时,不等式ln(1+x)>x-x2成立.
第17课时 利用导数研究函数的极值
(限时:10分钟)
1.设函数f(x)=+lnx,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
解析:由f′(x)=-+==0可得x=2.当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.
答案:D
2.已知函数y=|x2-1|,则( )
A.y无极小值,且无极大值
B.y有极小值-1,但无极大值
C.y有极小值0,极大值1
D.y有极小值0,极大值-1
解析:函数y=|x2-1|的大致图象如图所示.∴函数y有极小值0,极大值1,故选C.
答案:C
3.设f(x)=x(ax2+bx+c),其中a≠0,并且在x=1或x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )
A.(a,b) B.(a,c)
C.(b,c) D.(a+b,c)
解析:∵f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c.
又∵在x=1或x=-1处f(x)取极值,
∴x=1或x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
∴-=0,b=0.∴点(a,b)在x轴上.
答案:A
4.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断正确的是__________.(填序号)
解析:函数的单调性由导数的符号确定,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,-2)上为减函数,
同理f(x)在(2,4)上为减函数,
在(-2,2)上是增函数,在(4,+∞)上为增函数,
所以可排除①和②,可选择③.
由于函数在x=2的左侧递增,右侧递减,
所以x=2时,函数有极大值;
而在x=-的左右两侧,函数的导数都是正数,
故函数在x=-的左右两侧均为增函数,
所以x=-不是函数的极值点.排除④和⑤.
答案:③
5.已知函数f(x)=-x3+bx2+cx+bc,如果函数f(x)在x=1处有极值-,求b,c的值.
解析:∵f′(x)=-x2+2bx+c,由f(x)在x=1处有极值-,
可得
解得或
若b=1,c=-1,则f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0,
此时f(x)没有极值;
若b=-1,c=3,则f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减?
极小值-12
单调递增?
极大值-
单调递减?
∴当x=1时,f(x)有极大值-,
故b=-1,c=3即为所求.
(限时:30分钟)
1.函数f(x)=x+2cosx在上的极大值点为( )
A.0 B. C. D.
解析:f′(x)=1-2sinx,令f′(x)=0知x=.当0<x<时,f′(x)>0;当<x<时,f′(x)<0.∴当x=时,f(x)有极大值.
答案:B
2.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:③④正确.f′(x)=3x2-6x.
令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;令f′(x)=3x2-6x<0,得0<x<2,∴函数f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.当x=0和x=2时,函数分别取得极大值0和极小值-4.
答案:B
3.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3) B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,3)
解析:因为函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,所以有f′(2)=0,而f′(x)=6x2+2ax+36,代入得a=-15.现令f′(x)>0,解得x>3或x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).
答案:B
4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的( )
A.极大值为,极小值为0
B.最大值为0,最小值为-
C.极小值为-,极大值为0
D.最小值为0,最大值为
解析:f′(x)=3x2-2px-q.
∵f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,
∴f′(1)=3-2p-q=0,且f(1)=1-p-q=0,
∴p=2,q=-1,∴f′(x)=3x2-4x+1,f(x)=x3-2x2+x.
令f′(x)=0,得x=或x=1.
当x<时,f′(x)>0;当<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0.
∴f(x)=x3-2x2+x在上递增,在上递减,在(1,+∞)上递增.
∴当x=时,f(x)极大值=-+=;
当x=1时,f(x)极小值=1-2+1=0.
答案:A
5.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
A B C D
解析:由题意可得f′(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,此时xf′(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
答案:C
6.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于__________.
解析:y′=-3x2+12x=-3x(x-4).
由y′=0,得x=0或4.
且x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;
x∈(0,4)时,y′>0.
∴x=4时取到极大值.
故-64+96+m=13,解得m=-19.
答案:-19
7.若函数y=x·2x在x=x0时取极小值,则x0=________.
解析:令y′=2x+x·2xln2=2x(1+xln2)=0,得x=-.∴当x>-时,y′>0,函数递增;
当x<-时,y′<0,函数递减.
∴x=-时取极小值.
答案:-
8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图,则下列说法中不正确的是________.(填序号)
①当x=时,函数取得最小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数取得极小值;
④当x=1时函数取得极大值.
解析:由图象可知,x=1,2是函数的两极值点,∴②正确;
又x∈(-∞,1)∪(2,+∞)时,y′>0;
x∈(1,2)时,y′<0,∴x=1是极大值点,
x=2是极小值点,故③④正确.
答案:①
9.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求f(x)的单调区间与极值.
解析:由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
单调递减?
2(1-ln2+a)
单调递增?
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),
单调递增区间是(ln2,+∞);且f(x)在x=ln2处取得极小值.
极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值.
10.已知函数f(x)=x2+blnx和g(x)=的图象在x=4处的切线互相平行.
(1)求b的值;
(2)求f(x)的极值.
解析:(1)对两个函数分别求导,得f′(x)=2x+,g′(x)==.
依题意,有f′(4)=g′(4),即8+=6,∴b=-8.
(2)显然f(x)的定义域为(0,+∞).
由(1)知b=-8,
∴f′(x)=2x-=.
令f′(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
∴当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0.
∴f(x)在(0,2)上是单调递减函数,在(2,+∞)上是单调递增函数.
∴f(x)在x=2时取得极小值,且极小值为f(2)=4-8ln2.
11.设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
解析:(1)∵f′(x)=3x2-2x-1.令f′(x)=0,
即3x2-2x-1=0,∴x=-或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴f(x)的极大值是f=+a,
极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,当x→+∞时,f(x)→+∞;当x→-∞时,
f(x)→-∞,∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
结合f(x)的单调性可知,当f(x)的极大值+a<0,
即a<-时,它的极小值a-1小于0,
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;
当f(x)的极小值a-1>0,即a>1时,
它的极大值+a也大于0,
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,
它在上,∴a∈∪(1,+∞)时,
曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
第18课时 利用导数研究函数的最值
(限时:10分钟)
1.函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.1+ B.1
C.e+1 D.e-1
解析:f′(x)=ex-1.
令f′(x)=0,得x=0.
当x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;
当x∈[0,1]时,f′(x)≥0.
∴f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增.
又∵f(-1)=+1,f(1)=e-1,
∴f(-1)-f(1)=2+-e<0,∴f(-1)<f(1).
∴f(x)max=f(1)=e-1.
答案:D
2.若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于( )
A.0 B.1
C.2 D.
解析:y′=′=3x2+3x=3x(x+1).
由y′=0,得x=0或x=-1.
∴f(0)=m,f(-1)=m+.
又∵f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,
∴f(1)=m+最大.
∴m+=.∴m=2.
答案:C
3.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为__________.
解析:f′(x)=3xln3+cosx.
∵x∈[0,π]时,3xln3>1,-1≤cosx≤1,∴f′(x)>0.
∴f(x)递增,∴f(x)min=f(0)=1.
答案:1
4.函数f(x)=x3-x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是__________.
解析:f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-或x=1.
可求得f(x)max=f(2)=7.
∴对于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7.
答案:m>7
5.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值.
解析:f′(x)=+=.
由f′(x)=0,得x=1.
∴在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
1-ln2
单调递减?
极小值0
单调递增
-+ln2
∵f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e3>16,
∴f>f(2)>0.
∴f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.
(限时:30分钟)
1.函数y=f(x)=的最大值为( )
A.e-1 B.e
C.e2 D.10
解析:令y′===0?x=e.
当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,
所以y极大值=f(e)=e-1,
在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.
答案:A
2.函数f(x)=+x(x∈[1,3])的值域为( )
A.(-∞,1)∪(1,+∞) B.
C. D.
解析:f′(x)=-+1=,
所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立,即f(x)在[1,3]上单调递增.
所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故选D.
答案:D
3.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( )
A.-5 B.7
C.10 D.-19
解析:f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)·(x+1).
令f′(x)=0,得x=3或-1.
∵x∈[-2,-1]时,f′(x)<0,
∴f(x)在[-2,-1]上递减.
∴f(-2)=2,即a+2=2,a=0,它的最小值为f(-1)=-5.
答案:A
4.f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.有最大值 D.有最小值
解析:∵f′(x)=2+sinx>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
答案:A
5.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有相异的三个交点,则a的取值范围是( )
A.-2<a<2 B.-2≤a<2
C.a<-2或a>2 D.a<-2或a≥2
解析:可求得y=x3-3x在x=-1时取极大值2,
在x=1时,取极小值-2,则y=x3-3x的图象如图所示.
∴y=a与y=x3-3x的图象有相异的三个公共点时,-2<a<2.
答案:A
6.函数y=-x(x≥0)的最大值为__________.
解析:y′=-1=,令y′=0得x=.
∵0<x<时,y′>0;x>时,y′<0.
∴x=时,ymax=-=.
答案:
7.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.
解析:∵f′(x)=3x2-3,∴当x>1或x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<1时,f′(x)<0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.
∴f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.
又∵f(0)=-a,f(3)=18-a,∴f(0)<f(3).
∴f(x)max=f(3)=18-a=m,
∴m-n=18-a-(-2-a)=20.
答案:20
8.函数f(x)=ex(sinx+cosx),x∈[0,1]的值域为________.
解析:当0≤x≤1时,f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),
即函数f(x)的值域为.
答案:
9.已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
解析:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b,
由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,
故有即
化简得解得a=1,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c;
f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).
令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;
当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16.
由题设条件知16+c=28得c=12.
此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.
10.设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤2x-2.
解析:(1)f′(x)=1+2ax+.
由已知得得解得a=-1,b=3.
(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),
由(1)知f(x)=x-x2+3lnx.
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,
则g′(x)=-1-2x+=-.
令g′(x)=0得x=1或x=-(舍去).
当0<x<1时, g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g(1)=0,∴f(x)-(2x-2)≤0.
∴f(x)≤2x-2.
11.已知函数f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取得极小值-.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)≤m2+m+在[-4,3]上恒成立,求实数m的取值范围.
解析:(1)f′(x)=x2+a,由f′(2)=0,得a=-4;
再由f(2)=-,得b=4.
所以f(x)=x3-4x+4,f′(x)=x2-4.
令f′(x)=x2-4>0,得x>2或x<-2.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞).
(2)因为f(-4)=-,f(-2)=,f(2)=-,f(3)=1,所以函数f(x)在[-4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2+m+在[-4,3]上恒成立,
只需m2+m+≥,解得m≥2或m≤-3.
所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).
第19课时 导数的实际应用
(限时:10分钟)
1.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )
A.10 B.15 C.25 D.50
解析:设内接矩形的长为x,则宽为,
∴S2=x2·=y,∴y′=50x-x3.
令y′=0得x2=50,x=0(舍去),∴S2=625,即S=25.
答案:C
2.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )
A.32,16 B.30,15
C.40,20 D.36,18
解析:要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L′=2-.
令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).
此时长为=32(米),可使L最小.
答案:A
3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
解析:y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),当0<x<9时,y′>0;当x>9时,y′<0.所以当x=9时,y取得最大值.
答案:C
4.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为__________.
解析:V(x)=,V′(x)=-x2+60x.
令V′(x)=0,得x=40.
∵0<x<40时,V′(x)>0;
40<x<60时,V′(x)<0,
∴x=40时,V(x)最大.
答案:40
5.用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解析:设容器的高为x,容器的体积为V,
则V=(90-2x)(48-2x)x(0<x<24),
即V=4x3-276x2+4 320x.
∵V′=12x2-552x+4 320,
由V′=12x2-552x+4 320=0,得x1=10,x2=36.
∵0<x<10时,V′>0,10<x<36时,V′<0,x>36时,V′>0,
∴当x=10时,V有极大值V(10)=1 960.
又∵0<x<24,∴V(10)又是最大值.
∴当x=10时,V有最大值V(10)=1 960.
故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是1 960 cm3.
(限时:30分钟)
1.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( )
A.9千台 B.8千台
C.6千台 D.3千台
解析:构造利润函数y=y1-y2=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2=0,解得x=6(x=0舍去).所以x=6时,函数取得极大值,也是最大值.
答案:C
2.有边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,则剪去的小正方形的边长应为( )
A.18 B.10
C.8 D.1
解析:设正方形的边长为x,则
V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x),
V′=4(3x2-13x+10),
令V′=0,得x=1,
所以当x=1时,容积V取最大值为18.
答案:D
3.若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A.2πr2 B.πr2
C.4πr2 D.πr2
解析:如图,设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcosθ,l=2rsinθ,
∴S侧=2πrcosθ·2rsinθ=4πr2sinθcosθ.
S′=4πr2(cos2θ-sin2θ)=4πr2cos2θ=0,
∴θ=.
当θ=,即R=r时,S侧最大且(S侧)max=2πr2.
答案:A
4.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒的容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6 B.8
C.10 D.12
解析:设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为V cm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0<x<24),V′=12(24-x)(8-x).令V′=0,则在(0,24)内有x=8,故当x=8时,V有最大值.
答案:B
5.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
解析:设毛利润为L(P),由题意知,
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8 300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11 700P-166 000,
所以L′(P)=-3P2-300P+11 700.
令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
答案:D
6.要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72 cm3,其底面两邻边长之比为1∶2,则它的长为________cm,宽为________cm,高为________cm时,可使表面积最小.
解析:设底面两邻边长分别为x cm,2x cm,则高h==.
∴表面积S=4x2+2(x+2x)·=4x2+(x>0).
∴S′=8x-=(x3-27).
令S′=0,解得S在(0,+∞)内的唯一可能的极值点为x=3,∴x=3时函数取极值,且就是它的最小值.
答案:6 3 4
7.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为__________dm时最省料.
解析:设底面边长为x dm,则高h=,
其表面积为S=x2+4××x=x2+,
S′=2x-,令S′=0,得x=8,则高h==4(dm).
答案:4
8.一个帐篷,它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时,帐篷的体积最大.
解析:设OO1为x m,底面正六边形的面积为S m2,帐篷的体积为V m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
=(m),
于是底面正六边形的面积为
S=6×()2=(8+2x-x2).
帐篷的体积为
V=×(8+2x-x2)(x-1)+(8+2x-x2)
=(8+2x-x2)
=(16+12x-x3),
求导数,得V′=(12-3x2).
令V′=0,解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).
当1<x<2时,V′>0;当2<x<4时,V′<0.
所以当x=2时,V最大.
答案:2 m
9.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小?
解析:设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元,则Q=kx3,由6=k×103,
可得k=.∴Q=x3.
∴总费用y=·=x2+.
∵y′=-.令y′=0,得x=20.
∴当x∈(0,20)时,y′<0,此时函数单调递减,
当x∈(20,+∞)时,y′>0,此时函数单调递增.
∴当x=20时,y取得最小值,
∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小.
10.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
解析:(1)当x=40时,
汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时,要耗油×2.5=17.5(升).
(2)当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=×=x2+-(0<x≤120),
h′(x)=-=(0<x≤120).
令h′(x)=0,得x=80.
因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.
即汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
11.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
解析:(1)设隔热层厚度为x cm,
由题设,每年能源消耗费用为C(x)=,
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-.
令f′(x)=0,即=6,解得x=5或x=-(舍去).
当0≤x<5时,f′(x)<0;
当5<x≤10时,f′(x)>0.
故x=5时是f(x)的最小值点,
对应的最小值为f(5)=6×5+=70.
当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.