课时作业01 角的概念的推广
(限时：10分钟)
1．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，∴命题①②③④都是正确的，故选D.
答案：D
2．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：∵－457°＝－2×360°＋263°，∴应选C.
答案：C
3．已知α是第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
解析：由k·360°＋180°<α答案：D
4．角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为________．
解析：角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角中最小正角为45°，因而角α的终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
答案：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
5．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
(限时：30分钟)
1．下列叙述正确的是( )
A．三角形的内角必是第一或第二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角
D．钝角比第三象限角小
解析：90°角是三角形的内角，它不是第一或第二象限角，故A错；280°角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错．
答案：B
2．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
解析：∵0°≤α＜360°，∴排除C、D选项，经计算可知选项A正确．
答案：A
3．若角α和β的终边关于y轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝k·360°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：结合图形分析，知α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．
答案：D
4．如果α是第三象限角，则－是( )
A．第一象限角
B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第四象限角
解析：∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，
∴k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)，
∴当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°；
k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°＜＜n·360°＋315°.
∴为第二或第四象限角，∴－是第一或第三象限角．
答案：C
5．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
解析：因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A，B.又C项中的角出现在第三象限，故选D.
答案：D
6．已知α是第三象限角，则－α是( )
A．第四象限角 B．第三象限角
C．第二象限角 D．第一象限角
解析：∵α为第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k∈Z.∴－α所在象限与(－270°，－180°)范围相同，则－α是第二象限角．
答案：C
7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．
解析：时针走过了1小时20分钟，则分针转了圈，又因为按顺时针方向旋转的角为负角，所以分针转过的角为－×360°＝－480°.
答案：－480°
8．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．
解析：2α＝k·360°＋20°，所以α＝k·180°＋10°，k∈Z.
答案：{α|α＝k·180°＋10°，k∈Z}
9．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________.
解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又－990°＜α＜－630°，∴－990°＜k·360°＋120°＜－630°，
即－1 110°＜k·360°＜－750°.
当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.
答案：－960°
10．已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，写出角α的集合．
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影部分内的角为30°＜α＜150°与210°＜α＜330°，
∴所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．
11．若角θ的终边与168°角的终边相同，求0°～360°内与角的终边相同的角．
解析：因为θ＝k·360°＋168°，所以＝k·120°＋56°，k∈Z.
令0°≤k·120°＋56°＜360°，得k＝0,1,2，故0°～360°内与角终边相同的角有56°，176°，296°.
12．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解析：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②得，α＝15°，β＝65°.
课时作业02 弧度制和弧度制与角度制的换算
(限时：10分钟)
1.弧度化为角度是( )
A．278° B．280°
C．288° D．318°
解析：∵1 rad＝°，∴＝×°＝°＝288°.
答案：C
2．终边在y轴上的角的集合是( )
A．{α|α＝2kπ＋，k∈Z} B．{α|α＝kπ，k∈Z}
C．{α|α＝，k∈Z} D．{α|α＝kπ－，k∈Z}
解析：终边在y轴上的角的集合为
{α|α＝2kπ＋，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}
＝{α|α＝kπ＋，k∈Z}＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
答案：D
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．
答案：C
4．将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：分针转过的弧度数为2π×＝.
答案：B
5．求解下列各题：
(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)若某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．
解析：
(1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ，
∵l＋2r＝20，∴l＝20－2r.
∵lr＝9，即(20－2r)r＝9，
∴r2－10r＋9＝0，解得r＝1或r＝9.
而r＝1时，l＝18，则θ＝＝＝18>2π(舍)．
∴r＝9，则l＝2，θ＝＝rad，
即扇形圆心角的弧度数θ＝rad.
(2)圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm.
∴扇形面积S＝|α|r2＝××152＝(cm2)．
(限时：30分钟)
1．下列各对角中，终边相同的是( )
A.π和2kπ－π(k∈Z)
B．－和π
C．－π和π
D.π和π
解析：π＋π＝2π，故终边相同．
答案：C
2．已知α＝π，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：＜π＜π，所以π的终边落在第二象限，选B.
答案：B
3．将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：将分针拨快，即分针顺时针旋转，所以分针转过的角度为－×2π＝－.
答案：D
4．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
解析：设扇形半径为R，则由l＝|α|R，得R＝＝＝2，所以S＝|α|R2＝×2×22＝4(cm2)，选A.
答案：A
5．集合M＝{x|x＝nπ＋，n∈Z}，N＝{x|x＝2kπ±，k∈Z}的关系是( )
A．M＝N B．MN
C．NM D．MN
解析：当n为偶数时，设n＝2k，则M＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}，当n为奇数时，设n＝2k＋1，则M＝{x|x＝(2k＋1)π＋，k∈Z}＝{x|x＝2kπ＋π＋，k∈Z}＝{x|x＝2kπ－，k∈Z}，所以M＝N.
答案：A
6．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
答案：A
7．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，扇形面积为________．
解析：因为135°＝，l＝|α|r，所以3π＝·r，所以r＝4，S扇＝lr＝×3π×4＝6π.
答案：4 6π
8．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.
解析：如图：
－角的终边关于y＝－x对称的射线的对应角为－＋＝－，∴β＝－＋2kπ，k∈Z.
答案：2kπ－，k∈Z
9．若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是__________．
解析：θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，＝；k＝1时，＝；
k＝2时，＝；k＝3时，＝.
答案：或或或
10．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．
解析：∵150°＝.
∴终边在阴影区域内角的集合为S＝{β|＋2kπ≤β≤＋2kπ，k∈Z}．
∵2 012°＝212°＋5×360°＝rad，
又＜＜.∴2 012°＝∈S.
11．2弧度的圆心角所对的弦长为2，试求这个圆心角所夹扇形的面积S.
解析：如图，过圆心O作OM⊥AB于M，则OM平分弦AB.
∴∠AOM＝1弧度，AM＝1.
∴扇形半径R＝.
于是l＝2·＝，
S＝lR＝··＝.
12．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解析：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，
所以t＝4(s)，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.
课时作业03 三角函数的定义
(限时：10分钟)
1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝( )
A．－ B. C. D．－
解析：∵α的终边过点P(4，－3)，∴r＝＝5.
根据三角函数的定义，得sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴2sinα＋cosα＝－.
答案：D
2．已知P(－，y)为角β的终边上一点，且sinβ＝，则y的值为( )
A．± B. C．－ D．±2
解析：r＝，sinβ＝＝＝，解得y＝或y＝－(舍去)．
答案：B
3．下列各式的符号为正的是( )
A．cos2－sin2 B．cos2·sin2
C．tan2·cos2 D．sin2·tan2
解析：∵＜2＜π，∴2是第二象限角，∴tan2＜0，cos2＜0同时成立，∴tan2·cos2＞0.
答案：C
4．求y＝＋的定义域．
解析：要使函数有意义，必须得
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．
∴函数的定义域是.
(限时：30分钟)
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：∵sinα＜0，∴α是第三、四象限角或终边在y轴的非正半轴上，又∵tanα＞0，∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．
答案：C
2．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin0，cosπ}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{－1,0}
解析：B＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}，∴A∩B＝{0，－1}．
答案：D
3．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．4 B．－4
C．±4 D.
解析：在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°角的终边与240°角的终边重合，如图所示，设P(－4，a)，作PM⊥x轴于M，则－|OM|＝－4，∠MOP＝60°，－|MP|＝a＝－4.
答案：B
4．在△ABC中，若sinAcosBtanC＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角或钝角三角形
解析：∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，
sinA·cosB·tanC＜0，
∴cosB·tanC＜0，
∴cosB与tanC异号，
∴B、C中有一个角为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
答案：B
5．已知cosθ·tanθ＜0，那么θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：由cosθ·tanθ＜0，知或
且θ不在坐标轴上，因此θ在第三或第四象限．
答案：C
6．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα的值为( )
A．± B．± C．± D．±
解析：在α的终边上任取一点P(1,2)，则r＝＝，所以sinα＝＝＝；或者取P(－1，－2)，则r＝＝，所以sinα＝＝＝－.
答案：C
7．函数y＝的定义域为________．
解析：由1＋sinx≠0得x≠2kπ－，k∈Z，要使tanx有意义，需x≠kπ＋，k∈Z，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}．
答案：{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
8．已知θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝__________.
解析：因为sinθ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案：－8
9．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数α的取值范围是________．
解析：由得解得－2＜a≤3.
答案：－2＜a≤3
10．已知角α的终边上一点P(－，m)，且sinα＝m，求cosα，tanα的值．
解析：由于r＝＝，∴sinα＝＝，
又sinα＝m，∴得＝m，
∴m＝0或m＝或m＝－.
当m＝0时，r＝，y＝0，∴cosα＝－1，tanα＝0.
当m＝时，r＝2，y＝，∴cosα＝－，tanα＝－.
当m＝－时，r＝2，y＝－，∴cosα＝－，tanα＝.
11．已知角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(ab≠0)．角β的终边上的点Q与点A关于直线y＝x对称，求sinα·secβ＋tanα·cotβ＋secα·cscβ的值．
解析：由题意可知点P的坐标为P(a，－b)，点Q的坐标为Q(b，a)．
根据三角函数定义得：
sinα＝－，tanα＝－，
secα＝，secβ＝，cotβ＝，cscβ＝.
∴原式＝－·－·＋·＝－1－＋＝0.
12．已知cosα＜0，tanα＜0.
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin，cos，tan的符号．
解析：
(1)∵cosα＜0，∴角α的终边可能位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵tanα＜0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．
∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为.
(2)∵＋2kπ＜α＜π＋2kπ(k∈Z)，
∴＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)，
∴是第一象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)，
∴是第三象限角，即的终边落在第一象限或第三象限．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，
sin＞0，cos＞0，tan＞0.
当是第三象限角时，sin＜0，cos＜0，tan＞0.
课时作业04 单位圆与三角函数线
(限时：10分钟)
1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么α的值为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
答案：C
2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、四象限的角平分线上
D．第一、三象限的角平分线上
解析：由条件知sinα＝－cosα，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．
答案：C
3．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是( )
A．sinα＋cosα＞1 B．sinα＋cosα＝1
C．sinα＋cosα＜1 D．不能确定
解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sinα＋cosα＞1.
答案：A
4．若<θ<，则下列不等式成立的是( )
A．sinθ>cosθ>tanθ
B．cosθ>tanθ>sinθ
C．sinθ>tanθ>cosθ
D．tanθ>sinθ>cosθ
解析：如图，由三角函数线可知，AT>PM>OP，即tanθ>sinθ>cosθ
答案：D
5．已知＜x＜，a＝21－sinx，b＝2cosx，c＝2tanx，试比较a、b、c的大小．
解析：如图所示，在单位圆中
MP、OM、AT分别是x的正弦线、余弦线、正切线．
在△OMP中，OM＞OP－MP
即cosx＞1－sinx
又∵AT＞OA，∴tanx＞1
∴tanx＞cosx＞1－sinx，
∴2tanx＞2cosx＞21－sinx
∴c＞b＞a
(限时：30分钟)
1．在[0,2π]上满足sinx≥的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：可以直接用特殊角来验证．
取x＝，则sinx＝≥成立，故排除D；再取x＝，则sinx＝1≥成立，排除A；再取x＝，则sinx＝sin＝≥成立，故选B.
答案：B
2．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜c＜b
解析：如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.
答案：C
3．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是( )
A.∪ B. C. D.∪
解析：如图，当＜α＜时，sinα＞cosα，故选C.
答案：C
4．cos1，sin1，tan1的大小关系是( )
A．sin1＜cos1＜tan1
B．tan1＜sin1＜cos1
C．cos1＜tan1＜sin1
D．cos1＜sin1＜tan1
解析：如图，有OM＜MP＜AT，即cos1＜sin1＜tan1.
答案：D
5．下列关系中正确的是( )
A．sin11°＜cos10°＜sin12°
B．sin12°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin12°＜cos10°
D．sin12°＜cos10°＜sin11°
解析：在单位圆中画出角12°，11°的相应正弦线，10°的相应余弦线，直接观察可知选C.
答案：C
6．在(0,2π)内使cosx＞sinx＞tanx成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．
答案：C
7．若α、β为第二象限角，且sinα＞sinβ，则cosα与cosβ的大小关系为__________．
解析：如图，显然有cosα＞cosβ.
答案：cosα＞cosβ
8．若θ∈，则下列各式错误的是________．
①sinθ＋cosθ＜0； ②sinθ－cosθ＞0； ③|sinθ|＜|cosθ|； ④sinθ＋cosθ＞0.
解析：若θ∈，则sinθ＞0，cosθ＜0，sinθ＜|cosθ|，所以sinθ＋cosθ＜0.
答案：④
9．函数y＝＋的定义域是________．
解析：由题意得
利用单位圆中的三角函数线得
解得.
答案：
10．求函数y＝log2sinx的定义域．
解析：要使函数有意义，x的取值满足sinx＞0.
如图所示，是角x的正弦线，则有sinx＝MP＞0，
∴MP的方向向上，
∴角x的终边在x轴的上方，
∴2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，
即函数y＝log2sinx的定义域是(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.
11．利用单位圆中的三角函数线，求满足的x的取值范围．
解析：由得
如图所示，由三角函数线可得
此交集为图形中的阴影重叠部分，
即2kπ≤x＜2kπ＋(k∈Z)．
故x的取值范围为{x|2kπ≤x＜2kπ＋，k∈Z}．
12．已知α∈，求证：1＜sinα＋cosα＜.
证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过P作PM⊥Ox、PN⊥Oy，M、N分别为垂足．
∴|MP|＝y＝sinα，|OM|＝x＝cosα，
在△OMP中，|OM|＋|MP|＞|OP|，
∴sinα＋cosα＞1.
∵S△OAP＝|OA|·|MP|＝y＝sinα，
S△OBP＝|OB|·|NP|＝x＝cosα，
S扇形OAB＝π×12＝，
又∵S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，∴sinα＋cosα＜，
即sinα＋cosα＜，∴1＜sinα＋cosα＜.
课时作业05 同角三角函数的基本关系式
(限时：10分钟)
1．化简 的结果是( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
解析： ＝＝ ＝cos.故选C.
答案：C
2．若cosα＝－，角α是第三象限角，则等于( )
A．－ B.
C．7 D．－7
解析：由已知，得sinα＝－＝－，故tanα＝，所以＝＝7.
答案：C
3．已知＝－5，那么tanα的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：原式左边分子和分母同除以cosα，得＝－5，解得tanα＝－.
答案：D
4．已知cosA＋sinA＝，角A为第四象限角，则tanA等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：由已知条件及sin2A＋cos2A＝1，可解得cosA＝，sinA＝－，故tanA＝＝－，选D.
答案：D
5．已知θ∈(0,2π)，且sinθ，cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实根，求k，θ的值．
解析：依题意有sinθ＋cosθ＝k，①
sinθcosθ＝k＋1，②
又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，
所以k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1，
显然|sinθcosθ|＝|k＋1|≤1，
因此k＝－1，代入①②得
从而或
又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或.
(限时：30分钟)
1．已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵α是第四象限角，
∴sinα＝－＝－＝－.
答案：B
2．已知tanα＝－，则的值是( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：＝，将tanα＝－代入得：
＝＝，故选A.
答案：A
3．化简(1－cosα)的结果是( )
A．sinα B．cosα
C．1＋sinα D．1＋cosα
解析：原式＝(1－cosα)＝＝＝sinα.
答案：A
4．已知sinαcosα＝，且π＜α＜，则cosα－sinα的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，且π＜α＜，
∴cosα＜sinα，∴cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－＝－.
答案：B
5．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为( )
A．－4 B．4
C．－8 D．8
解析：tanα＋＝＋＝＝.
∵sinα－cosα＝－，∴1－2sinαcosα＝，
∴sinαcosα＝－，∴＝－8.
答案：C
6．已知＝－，则的值等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：令＝t，则·＝－·＝－，
∴＝－，∴＝1，∴t＝.
答案：A
7．化简cos2x＝________.
解析：因为tanx＝，
所以原式＝cos2x＝·cos2x＝.
答案：
8．若cosα＝－，且α∈，则tanα＝________.
解析：因为α∈，所以sinα＜0，则sinα＝－＝－，所以tanα＝＝.
答案：
9．已知＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为__________．
解析：∵＝2，∴sin2θ＋4＝2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝1或cosθ＝－3(舍去)．
由cosθ＝1，得sinθ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
答案：4
10．已知sinθ＝，cosθ＝，＜θ＜π，求tanθ的值．
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴2＋2＝1，
整理得m2－8m＝0，∴m＝0或m＝8.
当m＝0时，sinθ＝－，不符合＜θ＜π，舍去，
当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，满足题意．
∴tanθ＝＝－.
11．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，求＋的值．
解析：＋＝＋.
∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，
∴α是第二或第四象限角．
当α是第二象限角时，＋＝＋＝0；
当α是第四象限角时，＋＝－＝0.
综上，＋的值为0.
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(0,2π)．
(1)求＋的值；
(2)求m的值．
解析：(1)由根与系数的关系可知sinθ＋cosθ＝，①
sinθcosθ＝，则＋＝＝sinθ＋cosθ＝.
(2)由①式平方，得1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝，∴m＝.
经检验，m＝满足题意．
课时作业06 诱导公式(一)、(二)
(限时：10分钟)
1．cos(－300°)的值为( )
A. B.
C. D．－
解析：cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos60°＝.
答案：C
2．sin的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
答案：B
3．已知cos(π＋α)＝，则cos(－α)＝( )
A. B．－
C．4 D．－4
解析：∵cos(π＋α)＝，∴cosα＝－，∴cos(－α)＝cosα＝－.
答案：B
4．化简：＝________.
解析：原式＝＝－·＝－1.
答案：－1
5．已知＝，
求的值．
解析：因为＝，所以3tanα－3＝2tanα＋1，
所以tanα＝4，
所以
＝＝＝.
(限时：30分钟)
1．tan(－420°)的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析：tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝－tan60°＝－.
答案：B
2．如果α，β满足α＋β＝2π，则下列式子中正确的个数是( )
①sinα＝sinβ； ②sinα＝－sinβ；
③cosα＝cosβ； ④tanα＝－tanβ.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵α＋β＝2π，∴α＝2π－β，∴sinα＝sin(2π－β)＝－sinβ，故①错，②正确；cosα＝cos(2π－β)＝cosβ，故③正确；
tanα＝tan(2π－β)＝－tanβ，故④正确．
答案：C
3．已知a＝tan，b＝cos，c＝sinπ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c B．c＜a＜b
C．a＜b＜c D．a＜c＜b
解析：a＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝cos＝，c＝sin＝sin＝－sin＝－.∵－＜－＜，∴c＜a＜b.
答案：B
4.等于( )
A．sin2－cos2 B．sin2＋cos2
C．±(sin2－cos2) D．cos2－sin2
解析：原式＝＝＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.
答案：A
5．已知cos＝，则cos＋sin2的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：原式＝cos(2π－＋α)＋sin2＝cos＋sin2＝cos＋1－cos2＝＋1－＝.
答案：B
6．化简：＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：原式＝
＝＝＝－1.
答案：A
7．sinπ＝________.
解析：sin＝sin＝－sin＝－.
答案：－
8．下列三角函数；①sin，②cos，③sin，④cos，k∈Z，其中与sin的值相同的是________(填序号)．
解析：①sin＝sin＝－sin，
②cos＝cos＝＝sin，
③sin＝sin，
④cos＝cos＝≠sin.
答案：②③
9．已知cosα＝，则的值为________．
解析：原式＝＝－cosα＝－.
答案：－
10．求证：＝tanα.
证明：左边＝＝＝tanα＝右边．
所以原等式成立．
11．设函数f(x)＝asin(πx＋a)－bcos(πx－b)＋ctan(πx＋c)，其中a，b，c∈R且abc≠0，且有f(2 012)＝－1，求f(2 014)的值．
解析：f(2 012)＝asin(2 012π＋a)－bcos(2 012π－b)＋ctan(2 012π＋c)＝asina－bcosb＋ctanc，
而f(2 014)＝asin(2 014π＋a)－bcos(2 014π－b)＋ctan(2 014π＋c)
＝asina－bcosb＋ctanc，所以f(2 014)＝f(2 012)＝－1.
12．已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．
解析：因为tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tanα·＝×(3k2－13)＝1，可得k2＝.
因为3π＜α＜，所以tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，
又tanα＋＝－＝k，所以k＞0，故k＝，
所以tanα＋＝＋＝＝，
所以sinαcosα＝，
所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝.
因为cosα＋sinα＜0，所以cosα＋sinα＝－.
所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cosα＋sinα＝－.
课时作业07 诱导公式(三)、(四)
(限时：10分钟)
1．sin585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.
答案：A
2．点A(x，y)是210°角终边上异于原点的一点，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝.
答案：C
3．已知cos＝，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：sin＝sin＝cos＝.
答案：A
4．如果cos(π＋α)＝－，那么sin＝________.
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cosα＝，
∴sin＝－cosα＝－.
答案：－
5．化简：
－.
解析：原式＝－
＝sinα－sin(－α)＝2sinα.
(限时：30分钟)
1．cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
答案：B
2．已知sin20°＝t，则cos160°＝( )
A．t B.
C．± D．－
解析：∵sin20°＝t，∴cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝
－＝－.
答案：D
3．已知点P在第三象限，则角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵sin(π＋θ)＝－sinθ，sin＝－cosθ，
∴点P(－sinθ，－cosθ)在第三象限，∴∴
∴θ在第一象限．
答案：A
4．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：由已知，得－sinθ－sinθ＝－m，即sinθ＝.
∴cos＋2sin(6π－θ)＝－sinθ－2sinθ＝－3sinθ＝－.
答案：B
5．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )
A．89 B．90
C. D．45
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.
答案：C
6．已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cosα＝.
∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－＝－.
答案：C
7．若a＝tan，b＝tanπ，则a，b的大小关系是__________．
解析：∵a＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－1，b＝tan＝tan＝－tan＝－＜－1，∴a＞b.
答案：a＞b
8．化简：的结果为________．
解析：原式＝＝＝－sin40°·＝－sin40°·＝sin40°.
答案：sin40°
9．已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为________．
解析：原式＝cos(180°－75°－α)－sin(15°－α)＝－cos(75°＋α)－cos[90°－(15°－α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－.
答案：－
10．(1)求值sin2120°＋cos180°＋tan135°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
(2)已知tanα＝2，求＋sin2α－3sinα·cosα的值．
解析：(1)原式＝－1－1－＋＝－.
(2)原式＝＋＝tanα＋，
因为tanα＝2，所以原式＝.
11．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)．
(2)若f＝－，且α是第二象限角，求tanα.
解析：(1)f(α)＝
＝＝sinα.
(2)由sin＝－，得cosα＝－，
又α是第二象限角，所以sinα＝＝，
则tanα＝＝－.
12．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值．
(2)若已知tan(α＋β)＝，求tanβ的值．
解析：因为tan(π＋α)＝－，所以tanα＝－.
(1)tan(α＋β)＝＝＝＝.
即tan(α＋β)的值是.
(2)因为tan(α＋β)＝.
所以＝，整理得：＝，
所以43tanβ＝31，所以tanβ＝.即tanβ的值是.
课时作业08 正弦函数的图象与性质
(限时：10分钟)
1．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2 D．y＝sinx
解析：由奇函数的定义可知，y＝sinx＋2不是奇函数，选C.
答案：C
2．函数y＝sin的一条对称轴为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝π
解析：当x＝时，y＝sin＝sin＝1，选C.
答案：C
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为，则ω的值为________．
解析：由题意，得＝，ω＝6.
答案：6
4．令a＝sin，b＝sin，则a与b的大小关系是__________．
解析：a＝－sin，b＝sin＝－sin.
∵0＜＜＜，∴sin＜sin，
∴－sin＞－sin，即a＞b.
答案：a＞b
5．用五点法画出函数y＝－2sinx在区间[0,2π]上的简图．
解析：列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
y＝－2sinx
0
－2
0
2
0
描点，连线得y＝－2sinx的图象如图：
(限时：30分钟)
1．在同一坐标系中，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置相同
解析：把函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向右平移移动一个周期，便可得到y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象，选B.
答案：B
2．将函数y＝2sin(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：由题意，知向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得函数为偶函数．当x＝时，y＝sin＝cosx为偶函数，选B.
答案：B
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：y＝cos＝sinx，x∈[0,2π]．由sinx＝，x∈[0,2π]得x＝或，选C.
答案：C
4．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1,1]，则b－a的值不可能是( )
A. B．π C. D．2π
解析：由题意，b－a的最小值为－＝π，选A.
答案：A
5．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
A
B
C
D
解析：∵y＝，∴y＝x＋sin|x|既不是奇函数，也不是偶函数，排除A项、B项、D项，选C.
答案：C
6．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
解析：定义域为R，
∴f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|.
∴|a|＝0，∴a＝0.
答案：A
7．方程sinx＝x2有________个正实根．
解析：由图象看出在y轴右侧两个函数y＝sinx，y＝x2有3个交点．
故方程sinx＝x2有3个正实根．
答案：3
8．函数y＝sinx的单调递增区间为________．
解析：设u＝sinx，由复合函数的单调性知，求原函数的单调递增区间即求u＝sinx的单调递减区间，结合u＝sinx的图象知：2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案：(k∈Z)
9．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|(x∈[0,2π])的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的范围是________．
解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
分别画出f(x)及y＝k的图象(图略)，由图象可知1＜k＜3.
答案：(1,3)
10．(1)求函数y＝1－sin2x的单调区间．
(2)函数y＝asinx＋b的最大值为6，最小值为－2，求实数a，b的值．
解析：(1)由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
即函数的单调递增区间是(k∈Z)；
同理可求得函数的单调递减区间是
(k∈Z)．
(2)当a＞0时，sinx＝1时，y最大；
sinx＝－1时，y最小，
有解得a＝4，b＝2.
当a＜0时，sinx＝－1时，y最大；
sinx＝1时，y最小，有解得a＝－4，b＝2.
综上，a＝4，b＝2或a＝－4，b＝2.
11．求函数y＝sinx＋cos2x的最大值与最小值．
解析：由于cos2x＝1－sin2x，所以y＝sinx＋1－sin2x.
令sinx＝t，则t∈[－1,1]，
所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋.
结合二次函数图象的性质可知，
t＝时，y最大＝；t＝－1时，y最小＝－1，
故y的最大值为，最小值为－1.
12．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式．
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图．
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
解析：(1)若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
若x∈，则π＋x∈，
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx，
所以x∈[－π，0]，f(x)＝－sinx.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sinx≥，可得≤x≤，函数周期为π，
因此x的取值范围是kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
课时作业09 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
(限时：10分钟)
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
A B
C D
解析：将x＝－代入y＝sin得y＝sin＝＞0，排除B，D.将x＝代入得y＝sin0＝0，排除C.
答案：A
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式应为( )
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
解析：振幅A＝[2－(－4)]＝3，故A、B应被排除．又－与的中点为x＝＝，此时取得ymax＝2，而2x＋＝，正好x＝.∴选C.
答案：C
3．要得到函数y＝sin的图象，只要将y＝sin2x的图象( )
A．左移个单位 B．右移个单位
C．左移个单位 D．右移个单位
解析：因为y＝sin＝sin2.
所以把y＝sin2x的图象上所有点向右平移个单位，
就得到y＝sin2＝sin的图象．
答案：D
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：
＝－＝，∴T＝π.∵T＝＝π，
∴ω＝3.
答案：3
5．已知f(x)＝2sin，求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：因为－≤x≤所以－≤x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
(限时：30分钟)
1．函数y＝sinx－1的图象的一个对称中心为( )
A. B．(π，－1)
C. D．(π，0)
解析：y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，∴y＝sinx－1的对称中心为(kπ，－1)，故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
解析：由x－＝kπ＋，得x＝kπ＋.当k＝－1时，x＝－.
答案：C
3．函数y＝sin的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：y＝sin＝－sin，则该函数的单调递减区间即为函数u＝sin的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
解析：利用平移规律求得解析式，验证得出答案．
y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin.
当φ＝时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin2x，为奇函数，故选B.
答案：B
5．函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把得到的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线与y＝3sinx的图象相同，那么y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin B．f(x)＝3sin
C．f(x)＝3sin D．f(x)＝3sin
解析：y＝3sinxy＝3sin
y＝3sin，故选D.
答案：D
6．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
解析： ∵T＝4(3－1)＝8，∴ω＝＝，∴y＝sin.
∵×1＋φ＝，∴φ＝.故选C.
答案：C
7．函数y＝3sin与y轴最近的对称轴是直线__________．
解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋，当k＝0时，x＝.
答案：x＝
8．若x∈，函数y＝sin的最大值为__________，相应的x值为__________．
解析：∵x∈，∴2x＋∈.故当2x＋＝，即x＝时，y取最大值.
答案：；
9．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间__________．
解析：∵y＝2sin＝2sin
＝－2sin，
∴2kπ＋≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
∵x∈[0，π]，k＝0时满足条件，
∴≤x≤π，即x∈.
答案：
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的最小正周期为，最小值为－2，图象过，求该函数的解析式．
解析：因为函数的最小正周期为，
所以T＝＝，即ω＝3.
又因为函数的最小值为－2，所以A＝2，
所以函数解析式可写为y＝2sin(3x＋φ)．
又因为函数图象过点，
所以有2sin＝0，解得φ＝kπ－.
因为|φ|＜π，所以φ＝或－.
所以，函数解析式为y＝2sin或y＝2sin.
11．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解析：(1)由ω＝2，所以周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)知，
2kπ－π≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知函数在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f＝0，f＝2，
f＝2sin＝－2sin＝－2.
所以f(x)在上的最大值为2，
此时x＝；最小值为－，此时x＝.
12．已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
(2)由图写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间．解析：(1)列表：
x＋
0
π
π
2π
x
－
π
π
π
y＝3sin
0
3
0
－3
0
作图如下
(2)由图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)．
课时作业10 余弦函数的图象与性质
(限时：10分钟)
1．下列说法中不正确的是( )
A．余弦函数的定义域是R，值域是[－1,1]
B．余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1
C．余弦函数在(k∈Z)上是减函数
D．余弦函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数
解析：余弦函数在(k∈Z)上由0减小到－1，再由－1增大到0，故C项不正确，选C.
答案：C
2．函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin＝cos(2014x)，故该函数是偶函数，选B.
答案：B
3．若a＝sin46°，b＝cos46°，c＝cos36°，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞a＞b B．a＞b＞c
C．a＞c＞b D．b＞c＞a
解析：∵a＝sin46°＝cos44°，且36°＜44°＜46°，y＝cosx在上是减函数，∴cos36°＞cos44°＞cos46°，即c＞a＞b，选A.
答案：A
4．函数y＝2cosx＋1取最小值时，自变量x的取值的集合是________．
解析：函数y＝2cosx＋1取最小值，即y＝cosx取得最小值，x＝2kπ＋π，k∈Z.
答案：{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}
5．求下列函数的最值．
(1)y＝2－3.(2)y＝.
解析：(1)因为－1≤cosx≤1，所以当cosx＝时，ymin＝－3；
当cosx＝－1时，ymax＝－.
(2)因为cosx∈[－1,1]，所以cos2x∈[0,1]．
当cosx＝0时，ymax＝－1；
当cosx＝1或cosx＝－1时，ymin＝.
(限时：30分钟)
1．函数f(x)＝cos4x，x∈R是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
解析：T＝＝＝，f(－x)＝cos(－4x)＝cos4x＝f(x)，即f(x)是偶函数．
答案：C
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：因为函数的周期为π，所以排除C、D.
又因为y＝cos＝－sin2x在上为增函数，
故B不符．只有函数y＝sin的周期为π，
且在上为减函数，故选A.
答案：A
3．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，∴2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ－(k∈Z)，由此易得|φ|min＝.
答案：A
4．函数y＝的图象大致为( )
解析：∵y＝f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A；当x从正方向趋近于0时，y＝f(x)＝，趋近于＋∞，排除选项B；当x趋近于＋∞时，y＝f(x)＝趋近于0，排除选项C，故选D.
答案：D
5．函数y＝3－sin2x－4cosx的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－6 D．－3
解析：y＝3－sin2x－4cosx＝3－(1－cos2x)－4cosx
＝cos2x－4cosx＋2＝(cosx－2)2－2.
∵－1≤cosx≤1，∴ymin＝(1－2)2－2＝－1.
答案：B
6．方程cosπx＝x的解的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：画出y1＝cosπx，y2＝x的草图，如图．
当x＝4时，y1＝cos4π＝1＝y2.
由图象知当x＞0时，两函数图象有4个交点；当x＜0时，两函数图象也有4个交点．
答案：D
7．设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.
解析：令g(x)＝f(x)－1＝x3cosx，
∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3·cosx＝－g(x)，
∴g(x)为定义在R上的奇函数．
又∵f(a)＝11，∴g(a)＝f(a)－1＝10，
g(－a)＝－g(a)＝－10.
又g(－a)＝f(－a)＝－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
答案：－9
8．若把函数y＝cos的图象向左平移m(m＞0)个
单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是__________．
解析：平移后的函数应为y＝cosx或y＝－cosx，求出最小的m即可．
答案：
9．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如下图所示．
f＝－，则f(0)＝________.
解析：首先由题图象可知所求函数的周期为π，故ω＝3，将代入解析式，相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos.又因为f＝－，f＝－Acos＝－，所以f(0)＝Acos＝Acos＝.
答案：
10．求函数y＝2cos，x∈的最大值和最小值．
解析：因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，
所以－1≤2cos≤2，
当cos＝1，即x＝－时，ymax＝2，
当cos＝－，即x＝时，ymin＝－1.
11．已知函数f(x)＝3cos，x∈R.
(1)用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)求函数f(x)的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
解析：(1)列表：
2x－
0
π
2π
x
y
3
0
－3
0
3
描点连线，即得所求作的简图如下．
(2)当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝3，
此时x取值的集合为.
(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)时，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
12．如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω＞0,0≤θ≤)的图象与y轴相交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解析：(1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)，得cosθ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω＞0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，点Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
所以点P的坐标为.
又因为点P在y＝2cos的图象上，且≤x0≤π，
所以cos＝，≤4x0－≤，
从而得4x0－＝或4x0－＝，即x0＝或x0＝.
课时作业11 正切函数的性质与图象
(限时：10分钟)
1．函数y＝3tan2x的最小正周期是( )
A．2π B．π
C. D.
解析：在y＝3tan2x中，∵ω＝2，∴T＝，故选C.
答案：C
2．函数y＝tan的定义域是( )
A．{x|x≠}
B．{x|x≠－}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
D．{x|x≠kπ＋π，k∈Z}
解析：令－x≠kπ＋，k∈Z，
得x≠－kπ－，即x≠kπ＋π，k∈Z.
答案：D
3．函数y＝tan(sinx)的值域为( )
A. B.
C．[－tan1，tan1] D.
解析：∵sinx∈[－1,1]?，
∴y＝tan(sinx)的值域为[－tan1，tan1]．
答案：C
4．下列不等式中正确的是( )
A．tanπ>tanπ
B．tanπC．tanD．tan答案：D
5．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
答案：C
(限时：30分钟)
1．y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：y＝tanx的定义域为，由x＋≠kπ＋得x≠kπ＋(k∈Z)．
答案：B
2．函数y＝tanx的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
答案：B
3．函数y＝3tan的一个对称中心是( )
A. B.
C. D．(0,0)
解析：由＋＝得x＝kπ－(k∈Z)．
令k＝0得x＝－，故选C.
答案：C
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B.
C. D．与a的值有关
解析：由正切曲线可知，两个相邻交点间相差一个周期即，故选C.
答案：C
5．函数y＝cosx·|tanx|的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
解析：当－＜x＜0时，y＝－sinx；
当0＜x＜时，y＝sinx；x＝0时，y＝0.图象为C.
答案：C
6．下列图形分别是①y＝|tanx|；②y＝tanx；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④ B．①③④②
C．③②④① D．①②④③
解析：y＝tan(－x)＝－tanx在上是减函数，只有图象d符合，即d对应③.
答案：D
7．满足tan≥－的x的集合是__________．
解析：由kπ－≤x＋＜＋kπ，k∈Z，解得kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z.
答案：{x|kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z}
8．已知函数y＝2tan(2x＋φ)是奇函数，则φ＝__________.
解析：∵函数为奇函数，故φ＝(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
9．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是__________．
解析：由题意知＝，∴ω＝4.∴f＝tan＝.
答案：
10．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解析：由3x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.
∴所求定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}，值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数，在区间(k∈Z)上是增函数．
11．函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为，，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．
解析：∵T＝－＝，∴ω＝＝.
将点代入y＝Atan，
得0＝Atan，得φ＝－.
将(0，－3)代入y＝Atan，得A＝3.
∴y＝3tan.
12．函数y＝tan(3x＋φ)图象的一个对称中心是，其中－＜φ＜，求φ的值．
解析：y＝tanx的对称中心为，其中k∈Z，
故令3x＋φ＝，其中x＝，即φ＝－.
又－＜φ＜，所以当k＝1时，φ＝－；
当k＝2时，φ＝，即φ＝－或.
课时作业12 已知三角函数值求角
(限时：10分钟)
1．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
解析：由题意，应有－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2.
答案：B
2．若3cosx－1＝0，则角x等于( )
A．arccos
B．kπ＋arccos(k∈Z)
C．2kπ＋arccos(k∈Z)
D．2kπ±arccos(k∈Z)
解析：由3cosx－1＝0，得cosx＝，
所以x＝2kπ±arccos(k∈Z)．
答案：D
3．若3tanx－1＝0,0＜x＜2π，则x＝( )
A．arctan
B．arctan或π－arctan
C．arctan或π＋arctan
D．2π－arctan
解析：由tanx＝＞0,0＜x＜2π，知x是第一象限角或第三象限角，∴x＝arctan或π＋arctan.
答案：C
4．满足tanx＝的x的集合为________．
解析：∵tanx＝，∴x是第一或第三象限角．
∴x＝kπ＋arctan，k∈Z.
答案：
5．已知tanx＝，x∈[0,2π)，求x.
解析：∵tanx＝＞0，x∈[0,2π)．
∴x∈∪.
当x∈时，x＝arctan；
当x∈时，x－π∈，
tan(x－π)＝tanx＝，
∴x－π＝arctan，∴x＝π＋arctan.
综上可知x＝arctan或π＋arctan.
(限时：30分钟)
1．若sinx＝，x∈，则x＝( )
A．arcsin B．π－arcsin
C.＋arcsin D．－arcsin
解析：∵π－arcsin∈，且sin＝，
∴x＝π－arcsin.
答案：B
2．设cosα＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
解析：∵π－arccos∈(0，π)，
且cos＝－cos＝－，
∴α＝π－arccos.
答案：C
3.的值等于( )
A. B．0
C．1 D．－
解析：∵arcsin＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，
∴原式＝＝＝1.
答案：C
4．给出下列等式：
①arcsin＝1；②arcsin＝－；
③arcsin＝；④sin＝.
其中正确等式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①arcsin无意义；②③④正确．
答案：C
5．若tan＝，则在区间[0,2π]内解的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：∵tan＝，∴2x＋＝＋kπ.
∴2x＝－＋kπ，∴x＝－＋(k∈Z)，
∴x＝或x＝或x＝或x＝，共4个．
答案：B
6．若二次函数f(x)的二次项系数为正，且f(2－x)＝f(x)，则( )
A．f＝f
B．f＜f
C．f＞f
D．f与f的大小不确定
解析：∵f(2－x)＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称．又二次项系数为正，∴图象开口向上，在(0,1)内为减函数．又0＜arcsin＜arcsin＜1，∴f＞f.
答案：C
7．若cos(x＋π)＝，－π＜x＜0，则x＝________.
解析：∵－π＜x＜0，∴0＜x＋π＜π.
又cos(x＋π)＝，∴x＋π＝arccos.
∴x＝－π＋arccos.
答案：－π＋arccos
8．若点A(4a，－3a)(a≠0)在角α的终边上，则α的集合为________．
解析：∵tanα＝＝－，∴α＝arctan＋kπ，即α＝kπ－arctan，k∈Z.
答案：
9．函数y＝＋x－arccos(2x－3)的定义域是__________．
解析：要使函数有意义，需有：解得：1≤x≤.
答案：
10．已知tanx＝－1，且cosx＝，求x的取值集合．
解析：∵tanx＝－1＜0，且cosx＝＞0，
∴x是第四象限角，即2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)．
∵＜x－2kπ＋π＜π(k∈Z)，
又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－(k∈Z)，
∴x－2kπ＋π＝arccos(k∈Z)，即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．
∴x的取值集合为.
11．(1)已知sin＝－，x∈，求角x.
(2)已知sinx＝－，x∈[－π，π]，求角x.
解析：(1)因为－＜x＜，所以－π＜2x＋＜π，
又sin＝－，
所以2x＋＝－或2x＋＝π，得x＝－或π.
(2)当－＜x＜0时，x＝arcsin，
当－π＜x＜－时，x＝－π＋arcsin，
故x＝arcsin或x＝－π＋arcsin.
12．若f(arcsinx)＝x2＋4x，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．
解析：令t＝arcsinx，t∈，
则sint＝x，sint∈[－1,1]，于是f(t)＝sin2t＋4sint，
即f(x)＝(sinx＋2)2－4，x∈.
因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x＝－时，
f(x)取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.
