课时作业13 向量的概念
(限时：10分钟)
1．下列结论中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足||>||且与同向，则>
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
答案：C
2．下列命题：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
③若非零向量a与b共线，则a＝b；
④若四边形ABCD是平行四边形，则必有＝；
⑤若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：对于①，显然为假命题；对于②，也是假命题．这是因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；对于③，是假命题．两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，而相等向量却一定是共线向量；对于④，是真命题．这是因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC且AB＝DC，即＝；对于⑤，是假命题．这是因为若a为零向量，则a与b平行，但零向量的方向可以是任意的．www-2-1-cnjy-com
答案：B
3．如图，在正△ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：∵PQ綊AC，∴＝＝.
答案：B
4．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD为________．
解析：∵＝，∴四边形ABCD为平形四边形．
又||＝||，∴平行四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
5．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
解析：(1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(限时：30分钟)
1．把平面上所有长度为2的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．圆上的一群孤立点 D．一个圆
答案：D
2．下列结论中，不正确的是( )
A．向量，共线与向量∥意义是相同的
B．若＝，则∥
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若向量＝，则向量＝
解析：平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C错误．21·cn·jy·com
答案：C
3．下列命题中正确的是( )
A．两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同
B．若a，b是两个单位向量，则a＝b
C．若向量a和b共线，则向量a，b的方向相同
D．零向量的长度为0，方向是任意的
解析：两个相等向量起点可以不同，A错；两个单位向量只有方向相同时才相等，B错；两个共线向量方向可以相同，也可以相反，C错；D显然正确．21cnjy.com
答案：D
4．如图，四边形ABCD中，＝，则必有( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：∵四边形ABCD中，＝，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴＝.www.21-cn-jy.com
答案：D
5．如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：由图可知三向量方向不同，但长度相等．
答案：C
6．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )21教育网
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：与向量共线的向量有，，，，，，，，共9个．
答案：D
7．设O是正方形ABCD的中心，则，，，中，模相等的向量是__________．
解析：由正方形的性质可知，与，与的模分别相等．
答案：与，与
8．若△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________．
解析：因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，即||＝||.
答案：模相等
9．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有__________．
(2)若||＝3，则向量的模等于__________．
解析：相等向量既模相等，又方向相同，∴与相等的向量有，.若||＝3，则||＝||＝3.∴||＝2×3＝6.21世纪教育网版权所有
答案：(1)， (2)6
10．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，2·1·c·n·j·y
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解析：由题图可知，(1)与平行的向量有，，；
(2)与模相等的向量有，，，，，，，，.
11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中点，求证：向量与共线．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，
∴四边形DBCE是梯形．
又∵F，G分别是DB，EC的中点，
∴FG是梯形DBCE的中位线，
∴FG∥DE.∴向量与共线．
12．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.21·世纪*教育网
(1)求证：向量∥；
(2)求||.
(1)证明：由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，
∴∠DEB＝90°.
又点C为半圆上一点，则∠ACB＝90°.
∴AC∥DE，故∥.
(2)解析：由AC∥DE知△ABC∽△DBE.
∴＝，即＝.∴AC＝，即||＝.
课时作业14 向量的加法
(限时：10分钟)
1．设(＋)＋(＋)＝a，而b是一非零向量，则下列结论中，正确的有( )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：a＝＋＋＋＝0.
答案：A
2．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D.
解析：原式＝2||＝2.
答案：B
3．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋等于( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
解析：＝，∴＋＝＋＝＝b.
答案：B
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__________.
解析：如图，|＋|＝||，在Rt△AOB中，AB＝1，∠CAB＝30°，AC＝2AO＝2AB·cos30°＝.21·cn·jy·com
答案：
5.
如图，△ABC中O为重心，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解析：(1)＋＋＝＋＝.
(2)解法一：＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
解法二：原式＝＋(＋)＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
(限时：30分钟)
1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.
答案：A
2．下列四式中不能化简为的是( )
A.＋(＋)
B．(＋)＋(＋)
C.＋＋
D.＋＋
解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A，B，C可化简为，D中＋＋＝＋≠.
答案：D
3．下列说法：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．21·世纪*教育网
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①错，若a＋b＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A，B，C三点共线时也满足；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.www-2-1-cnjy-com
答案：B
4．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．与向量b的方向相反
解析：根据向量加法的几何意义，a＋b的方向应与a的方向一致．
答案：A
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
解析：由图知|＋|＝||.
又|＋|＝|＋|＝||，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
答案：B
6．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，有下列结论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，正确的结论为( )
A．①② B．①③
C．①③⑤ D．③④⑤
解析：因为a＝0，所以①③⑤正确．
答案：C
7．当非零向量a，b满足__________时，a＋b平分a，b间的夹角．
答案：|a|＝|b|
8．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是__________．
解析：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，a，b异向共线，此时|a＋b|的最小值为4.
答案：4
9．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________.
解析：∵＋＝，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||.因此∠ACB＝120°.
答案：120°
10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.21世纪教育网版权所有
证明：如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC.21教育网
所以||＝||且和同向，
所以＝.
11．在水流速度为10 km/h的河中，如果要使船以10 km/h的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．21cnjy.com
解析：如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行驶速度的方向，由＝＋，及＝且∠OBC＝90°，知||＝20，∠AOC＝120°，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向成120°角．www.21-cn-jy.com
12．如图所示，用两根绳子把重为10 N的物体W吊在水平柱AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)2·1·c·n·j·y
解析：设，分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
因为∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
所以||＝||cos30°＝10×＝5(N)，
||＝||cos60°＝10×＝5(N)．
即A处所受力的大小为5 N．B处所受力的大小为5 N.
课时作业15 向量的减法
(限时：10分钟)
1.可以写成①＋；②－；③－；④－.其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：D
2．化简＋－－＝( )
A. B.
C. D．0
答案：D
3．化简下列各式：
①－＋；②＋＋－；③－－；④－＋－.
结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
4．任给向量a、b，则下列各项中正确的是( )
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
B．|a－b|＝|a|－|b|
C．|a－b|≤|a|－|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
答案：D
5．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：－＝－.
证明：如图所示，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋＋.①
在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，
∴＝＋＋.②
①＋②，得＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴＋＝0，＋＝0，
∴＋＝＋，即－＝－.
(限时：30分钟)
1．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则必有( )
A.＝0 B.＝0或＝0
C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形
解析：在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，
即||＝||，可得ABCD是矩形．
答案：C
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋ B.＝－
C.＝－＋ D.＝－－
解析：∵O，E，F是不共线的任意三点，∴＋＝，由此可以推出＝－.故选B.
答案：B
3．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是( )
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝
解析：∵－＝＋＝，－＝＋＝，
－＝＋＝，－＝＋＝≠.
∴A、B、D正确，C错误．
答案：C
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：＝－＝－＝－－＝－a－b.
答案：B
5．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：|a－b|＝2|a|＝2.
答案：D
6．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O是△ABC的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
解析：由＋＋＝0，得＋＝－，而＋表示的是以OA、OB为邻边的平行四边形对角线所在的向量，结合图形易得．21世纪教育网版权所有
答案：B
7．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为________．
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b.
答案：a－b＋c
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝________.
解析：－－＋＝(－)－(－)＝－＝＋＝.
答案：
9．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的序号为________．
解析：以OD、OE为邻边构造?ODME，结合图形进行判断．
答案：①②③④
10．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模．
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解析：(1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E.使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－
＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝，
且||＝2.
11．已知平面内四边形ABCD和点O，设＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，试判断四边形ABCD的形状．21教育网
解析：∵a＋c＝b＋d，即＋＝＋，
∴－＝－，即＝，
∴BA∥CD且BA＝CD，
故四边形ABCD是平行四边形．
12．已知|a|＝8，|b|＝15.
(1)求|a－b|的取值范围．
(2)若|a－b|＝17，则表示a，b的有向线段所在的直线所成的角是多少？
解析：(1)由向量三角不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，
得7≤|a－b|≤23.
当a，b同向时，不等式左边取等号；
当a，b反向时，不等式右边取等号．
(2)易知|a|2＋|b|2＝82＋152＝172＝|a－b|2，作＝a，＝b，则||＝|a－b|＝17，
所以△AOB是直角三角形，其中∠AOB＝90°，
所以表示a，b的有同线段所在的直线成90°角．
课时作业16 数乘向量
(限时：10分钟)
1．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )21·世纪*教育网
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：如下图，CD平分∠ACB，由角平分线定理得＝＝＝2，
所以＝2＝，
所以＝＋＝＋＝＋·(－)＝
＋＝a＋b.
答案：B
2．在△ABC中，＝b，＝c.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析：如图，＝＋＝＋
＝＋(－)
＝b＋c.
答案：D
3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：如右图，设为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．21·cn·jy·com
又λ∈[0，＋∞)，
∴λ的方向与＋的方向相同．
∵＝＋λ，
∴点P在上移动．
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
答案：B
4．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则用，表示＝________，＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：由题意可知，点D是线段BC的中点，点E是线段AC上靠近点C的三等分点，如右图，则＝(＋)，＝＋＝－＋＝－.21世纪教育网版权所有
答案：(＋)；－
5．已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．
求证：＝(＋)．
证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，
如图．
∵E为AD的中点，∴＝.
∵F是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝＋，
∴＝(＋＋)＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－＝(＋)．
(限时：30分钟)
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
解析：A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
答案：C
2．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
解析：∵3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又∵a＝b＋c，∴3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.www.21-cn-jy.com
答案：A
3．设x是未知向量，a、b是已知向量，且满足3(x＋a)＋2(b－a)＋x－a－2b＝0，则x等于( )2-1-c-n-j-y
A．0 B．a＋b
C．3a－b D．0
解析：(3＋1)x＝－3a－2b＋2a＋a＋2b＝0，∴x＝0
答案：D
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0
B.＋＝0
C.＋＝0
D.＋＋＝0
解析：以，为邻边作?ABCD，对角线的交点为O，如下图，则＋＝＝2，又＋＝2，所以O，P重合，所以＋＝＋＝0.21*cnjy*com
答案：B
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x＋y的值为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．3 B．－2
C．9 D．2
解析：∵(2x－2y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x＋y＝6＋3＝9.
答案：C
6．若2－(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝________.
解析：2x＋x＝a＋b－b＋c，∴x＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
7．若△ABC满足||＝|＋|，则△ABC的形状一定为________．
解析：∵△ABC满足||＝|＋|，∴由矩形的对角线相等且互相平分可知：△ABC的形状必定为直角三角形．【出处：21教育名师】
答案：直角三角形
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若＝a，＝b，则＝________.21教育网
解析：如右图，
∵＝(＋)，
且＝a，＝＋＝a＋b，
∴＝＝a＋b.
答案：a＋b
9．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解析：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6－4＋4)a＋(－6＋8)b＋(6－4－2)c＝6a＋2b.【来源：21·世纪·教育·网】
10．(1)化简；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)；
(3)设x、y是未知向量，a，b是已知向量，解方程组
解析：(1)原式＝
＝
＝＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j＝－i－5j.
(3)把第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来的第二个方程，得x＝＝b，移项并化简，得x＝－a＋b.∴
11．如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，点C为对角线OD与BA的交点，且＝，＝，试用a、b表示向量、、.2·1·c·n·j·y
解析：由已知得＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
又＝＝，
∴＝＋＝＋＝＝(a＋b)．
故＝－＝(a＋b)－＝a－b.
12．如图所示，已知＝3e1，＝3e2.
(1)如图(1)，C、D为AB的三等分点，求，；
(2)如图(2)，C、D、E为AB的四等分点，求，.
解析：(1)＝－＝3e2－3e1，∴＝e2－e1＝.
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2；
＝＋＝2e1＋e2＋(e2－e1)＝e1＋2e2.
(2)＝3e2－3e1，＝e2－e1，
＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2，此时，＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2.21cnjy.com
课时作业17 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(限时：10分钟)
1．下列命题正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
解析：(1)＝－＝3e2－3e1，∴＝e2－e1＝.
∴＝＋＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2；
＝＋＝2e1＋e2＋(e2－e1)＝e1＋2e2.
(2)＝3e2－3e1，＝e2－e1，
＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2，此时，＝＝(3e2－3e1)＝e2－e1，＝＋＝3e1＋e2－e1＝e1＋e2.2·1·c·n·j·y
2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：∵a∥b，∴存在实数k，使a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2，
∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；
若2k－1≠0，则e1＝e2，此时e1∥e2，而0与任何向量平行，∴λ＝0或e1∥e2.
答案：D
3．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－4、－1，则AB与||分别是( )
A．－3，－3 B．3,3
C．3，－3 D．－6,6
解析：AB＝－1－(－4)＝3，||＝3.
答案：B
4．已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x1＝3，|BA|＝5，则x2＝________.
解析：|BA|＝|x2－x1|＝|x2－3|＝5，∴x2＝8或－2.
答案：8或－2
5．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A、B、D三点共线？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解析：存在．假设存在k∈R，使得A、B、D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2，
又∵A、B、D三点共线，∴＝λ(λ为非零实数)，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴∴k＝－8，
∴存在k＝－8，使得A、B、D三点共线．
(限时：30分钟)
1．数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( )
A.的坐标是2 B.＝－3
C.的坐标是4 D.＝2
解析：AB＝1－(－1)＝2，CB＝－4，CA＝－6，故选C.
答案：C
2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：＝，说明DC与AB平行且不相等．又||＝||，所以AD＝BC，故应构成等腰梯形，C正确．www.21-cn-jy.com
答案：C
3．已知e1，e2是平面上的两个不共线向量，a＝2e1－e2，b＝me1＋3e2，若a∥b，则m＝( )21世纪教育网版权所有
A．6 B．－6
C．3 D.
解析：由a∥b知a＝λb，即2e1－e2＝λ(me1＋3e2)，
解得λ＝－，m＝－6.
答案：B
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D．3＋
解析：由M为△ABC的重心知，＋＋＝0，0与任何向量共线，故选C.
答案：C
5．两个非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，则共线三点是( )21教育网
A．A，B，C B．B，C，D
C．A，B，D D．A，C，D
解析：＝＋＝5(e1＋e2)＝5，则A、B、D三点共线．
答案：C
6．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A.＋
B．－－
C．－＋
D.－
解析：＝＋＝＋＝－＋.
答案：C
7．关于向量a，b有
①a＝2e，b＝－2e，②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(其中e1，e2不共线)21cnjy.com
其中a，b共线的有______(填上所有正确的序号)．
解析：①中a＝－b，∴a∥b；
②中b＝－2a，∴a∥b；
③中a＝4＝4b，∴a∥b；
④中不存在非零实数λ，使a＝λb，∴a与b不共线．
答案：①②③
8．设向量e1，e2不共线，若λe1＋2e2与2e1＋3λe2共线，则实数λ的值是________．
解析：∵λe1＋2e2与2e1＋3λe2共线，∴λe1＋2e2＝k(2e1＋3λe2)，即(λ－2k)e1＝(3kλ－2)e2.又e1与e2不共线，∴λ－2k＝3kλ－2＝0，解得λ＝±.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：±
9．如图，向量＝a，＝b，＝c，A、B、C三点在一条直线上，且＝－3，则c＝________.(用a，b表示)21·世纪*教育网
解析：由＝－3得－＝－3(－)，
即c－a＝－3(b－c)，解得c＝b－a.
答案：b－a
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．www-2-1-cnjy-com
证明：设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b＝，
＝＋＝＋＝a＋b，
所以＝，所以向量与共线，故M，N，C三点共线．
11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？2-1-c-n-j-y
解析：假设存在这样的实数λ，μ使d＝λa＋μb与c共线，
因为d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
所以要使d与c共线，则应有实数k，使得d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
则即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，使得d与c共线．
12．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.21·cn·jy·com
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解析：(1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b，
∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
(2)∵＝λ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，且≠0，∴存在实数k，使＝k，
即(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
∴实数λ的值为.
课时作业18 平面向量基本定理
(限时：10分钟)
1．已知e1，e2是表示平面α内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2
解析：由于4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，故选C.
答案：C
2．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1、e2不共线，则xy的值为( )
A．6 B. C．－6 D．－
答案：A
3．如图，、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则以下等式成立的是( )21·cn·jy·com
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
答案：A
4．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝________.21·世纪*教育网
解析：＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
答案：a＋b
5．如图，在△ABC中，点D与点E分别在边BC和AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD和BE交于点R.www-2-1-cnjy-com
求证：＝，＝.
证明：∵A，R，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ，则＝(1－λ)，
∴＝＋＝＋(1－λ)
＝＋(1－λ)(－)
＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ). ①
又∵B，R，E三点共线，
∴存在实数μ，使＝μ，则＝(1－μ)，
∴＝＋＝＋(1－μ)
＝＋(1－μ)(－)
＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ. ②
由①②得解得
∴＝，＝.
(限时：30分钟)
1．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则＋＋等于( )
A．6 B．－6
C．－6 D．0
解析：在△ABC中，G为重心，∴＝－2.
又∵＋＝2，∴＋＋＝0，故选D.
答案：D
2．已知A，B，C三点共线，O是该直线外的一点，且满足m－2＋＝0，则m的值为( )
A．1 B．2
C．－3 D．－4
解析：∵m－2＋＝0，∴＝2－m.
∵A、B、C三点共线，∴由共线向量定理的推论知m＝1.
答案：A
3．已知·x2＋·x－＝0(x∈R)，其中A，B，C三点共线，O是直线外一点，则满足上述条件的x值的情况为( )www.21-cn-jy.com
A．不存在 B．有一个
C．有两个 D．以上情况均有可能
解析：由·x2＋·x－＝0可得·x2＋·x＝，再由A、B、C三点共线，O是线外一点，可得x2＋x＝1，此方程有两个根，故满足条件的x值有两个．
答案：C
4．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O、A、B、M四点共线
解析：由＝λ＋(1－λ)，得－＝λ(－)，即＝λ.又因为λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．21教育网
答案：B
5．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝( )
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶2 D．2∶1
解析：∵＝＋，
∴－＝－，即＝，也就是＝2，∴||∶||＝2∶1.
答案：D
6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝( )21世纪教育网版权所有
A.a－b
B.a＋b
C．－a＋b
D．－a－b
解析：设＝λ，＝μ.
∵F为CD的中点，∴＝(＋)．
∴＝(＋)＝(＋2)＝＋λ.
＝＋＝＋μ＝＋μ(－)
＝(1－μ)＋μ(＋)＝μ＋(1－).
根据平面向量基本定理有＝μ，λ＝1－.
解得μ＝，λ＝.
因此有＝a＋b.故选B.
答案：B
7．已知数轴上点A，B的坐标分别是－8，－3，则的坐标为________，长度为________．
答案：5 5
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
答案：－4
9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若＝a，＝b，试用a、b表示和，则＝________，＝________.2·1·c·n·j·y
解析：如图，则有＋＝＋＝＝b，＝b－a.
∴＝－＝b－a.
＝＋＋＝－a＋＋a＝a－b.
答案：b－a，a－b
10．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，试用a与b表示.
解析：＝－＝－
＝(＋)－＝＋×－
＝＋(－)－
＝－＋＝－a＋b.
11．如图，在△AOB中，＝a，＝b，设＝2，＝3，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量.21cnjy.com
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
因为与共线，令＝t，
则＝t.
又设＝(1－m)＋m＝(1－m)a＋mb
所以所以
所以＝a＋b.
12．P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：如图：
因为＝＋，＝＋，
所以(＋)＋2(＋)＋3＝0，
所以＋3＋2＋3＝0.
又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
所以＝λ，＝μ，
所以λ＋3＋2＋3μ＝0，
所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
而，为不共线向量，
所以所以λ＝－2，μ＝－1，
所以＝－＝，
故＝＋＝2＝2p.
课时作业19 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
(限时：10分钟)
1．若A(1,3)，B(2,1)，则的坐标是( )
A．(－1,2) B．(2，－1)
C．(1，－2) D．(－2,1)
答案：A
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案：D
3．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或－4
解析：∵＝(2,0)，又∵a＝，∴，∴x＝－1.
答案：A
4．设a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，若c＝pa＋qb，则实数p，q的值为( )
A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝4
C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝－4
解析：利用坐标相等列方程组求解．
答案：B
5．已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0,6)、C(－8,10)，求向量＋2－的坐标．21世纪教育网版权所有
解析：＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)．
∴＋2－＝(－2,10)＋2(－8,4)－(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)＝(－13,11)．21教育网
(限时：30分钟)
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．21·cn·jy·com
答案：B
2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝( )
A．(－3,4) B．(5，－12)
C．(1，－4) D．(－4,8)
解析：联立
①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a＝(－3,4)．
答案：A
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
解析：＝(－)＝[(－5，－1)－(3，－2)]
＝(－8,1)＝.
答案：A
4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解析：令c＝λa＋μb，∴(4,2)＝λ(1,1)＋μ(－1,1)．
∴解得∴c＝3a－b.
答案：B
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )21cnjy.com
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：令 D(x，y)，由已知得，
解得∴D.
答案：A
6．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )www.21-cn-jy.com
A．{(1,2)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．
答案：C
7．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sinα，cosβ)，α、β∈，则α＋β＝__________.21·世纪*教育网
解析：∵＝(－1,1)＝＝(sinα，cosβ)，
∴sinα＝－且cosβ＝，∴α＝－，β＝或－.
∴α＋β＝或－.
答案：或－
8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝__________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：取O(0,0)，由＝λ＋(1－λ)得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴解得
答案：2
9．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝__________.
解析：＝(－1,2)，＝(x－2，y－3)．
又＝2，∴(－1,2)＝2(x－2，y－3)＝(2x－4,2y－6)，
∴∴∴x＋y＝.
答案：
10．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.2·1·c·n·j·y
解析：∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
∴∴
∴＋＋＝32－22.
11．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试求t为何值时，
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P在第一象限．
解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴＝(1,2)，＝(3,3)．
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－；
(3)若点P在第一象限，则∴t＞－.
12．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(3,5)成立的向量c.
解析：(1)证明：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则f(ma＋nb)＝f(mx1＋nx2，my1＋ny2)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
又因为mf(a)＝(my1,2my1－mx1)，nf(b)＝(ny2,2ny2－nx2)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，由，得.
所以c＝(1,3)．
课时作业20 平面向量共线的坐标表示
(限时：10分钟)
1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
解析：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.21教育网
答案：D
2．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：由已知，得＝(1－x,4)，＝(1,2)，
则2(1－x)－4＝0，解得x＝－1.
答案：B
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝( )
A. B．－ C. D．－
解析：由a∥b得3cosα＝4sinα，∴tanα＝.
答案：C
4．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴－4(2λ＋3)＝－7(λ＋2)．
∴－8λ－12＝－7λ－14，∴λ＝2.
答案：2
5．已知A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
解析：设P(x，y)，则由||＝2||得＝2或＝－2.
若＝2，则(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)．
所以解得，故P.
若＝－2，同理可解得故P(－5,8)
综上，P点坐标为或(－5,8)．
(限时：30分钟)
1．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．(1，－2) B．(9,3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，
∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．
答案：D
2．已知A(2,3)，B(－4,5)，则与共线的单位向量是( )
A．e＝
B．e＝或
C．e＝(－6,2)
D．e＝(－6,2)或(6,2)
解析：与共线的单位向量显然有两个，一个与同向，一个与反向，故排除A，C；又D中两个向量的模不为1，故选B.21世纪教育网版权所有
答案：B
3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)满足(ka＋b)∥c，则k＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：ka＋b＝(k－1，k＋1)，
由(ka＋b)∥c，得2(k－1)－4(k＋1)＝0，解得k＝－3.
答案：B
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
解析：a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.
答案：B
5．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
解析：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y＝－9.
答案：D
6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－)，且a∥b，则锐角θ等于( )
A．45° B．30°
C．60° D．30°或60°
解析：由a∥b得－2×＝1－cos2θ＝sin2θ，
∵θ为锐角，∴sinθ＝，∴θ＝45°.
答案：A
7．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，且a∥b，则tanθ＝__________.
解析：∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ.即4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.
答案：
8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__________.
解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.21cnjy.com
答案：－1
9．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为__________．
解析：∵A、B、C共线，∴∥，
∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，
∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.
答案：－
10．已知A、B、C三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.21·cn·jy·com
证明：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)．
∴点E的坐标为.
同理点F的坐标为，＝.
又×(－1)－4×＝0，∴∥.
11．已知点O(0,0)，A(1,3)，B(4,5)及＝＋t.
(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
解析：(1)易知＝(3,2)，从而＝(1＋3t,3＋2t)．
于是得－＜t＜－.
(2)四边形OABP不能成为平行四边形．若能，则有＝.从而这是不可能的．
∴四边形OABP不能成为平行四边形．
12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解析：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－.
课时作业21 向量数量积的物理背景与定义
(限时：10分钟)
1．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：∵a·b＞0，∴cosθ＞0.又0≤θ≤π，∴0≤θ＜，选A.
答案：A
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a在b方向上的射影的数量是( )
A．－ B．－1 C. D．1
解析：a在b方向上的射影的数量为|a|cosθ＝＝1，选D.
答案：D
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又0≤θ≤π，故θ＝，选C.
答案：C
4．已知|a|＝4，且a·b＝16，若a在b方向上的射影数量为4，则|b|＝________.
解析：由题意，得＝4，即＝4，得|b|＝4.
答案：4
5．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量．21·cn·jy·com
解析：因为|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，
所以a在b方向上的正射影的数量是|a|cosθ＝＝－，
b在a方向上的正射影的数量是|b|cosθ＝＝－4.
(限时：30分钟)
1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝( )www.21-cn-jy.com
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：a·b＝|a|·|b|·cos30°＝2×＝3，选C.
答案：C
2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的数量为( )
A．4 B．4 C．4 D．8＋
答案：A
3．有下列四个式子：
①0·a＝0；②0·a＝0；
③0－＝；④|a·b|＝|a||b|，
其中正确的个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：只有③正确，选D.
答案：D
4．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．3 B．－3 C. D．－
解析：如图，a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝3cos120°＝3×＝－，选D.21教育网
答案：D
5．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：
①·(－)＝0；
②·＜0?△ABC为钝角三角形；
③·＝csinB；
④·(－)＝a2.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A. B. C. D.
解析：如图，在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，
∵|a＋b|＝|a－b|，
∴四边形ABCD为矩形．
在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，
∴∠ABD＝.
∴a＋b和a－b的夹角为.
答案：C
7．已知a⊥b，且|a|＝5，|b|＝12，则|a－b|＝________.
解析：如图，|a－b|＝||＝＝＝13.
答案：13
8．对于任意向量a，b，定义新运算“?”：a?b＝|a|·|b|·sinθ(其中θ为a与b的夹角)．利用这个新知识解决：若|a|＝1，|b|＝5，且a·b＝4，则a?b＝________.
解析：设a与b的夹角为θ，则由题意得1×5×cosθ＝4，cosθ＝.又0≤θ≤π，故sinθ＝，从而a?b＝1×5×＝3.21世纪教育网版权所有
答案：3
9．已知|a|＝4，|b|＝5，则a在b上的射影数量与b在a上的射影数量的比值λ＝________.21cnjy.com
解析：由题意，得λ＝＝＝.
答案：
10．如图，在平行四边形ABCD中，已知||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：
(1)·BC.
(2)·.
(3)·.
解析：(1)因为与平行且方向相同，
所以与的夹角为0°，
所以·＝||·||·cos0°＝3×3×1＝9.
(2)因为与的方向相反，
所以与的夹角是180°，
所以·＝||·||·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)因为与的夹角是60°，
所以与的夹角是120°，
所以·＝||·||·cos120°＝4×3×＝－6.
11．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.
若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？
解析：|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°
＝(1＋t2－t)|a|2.
所以当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
12．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
解析：
(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsinθ.
(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sinθ，
∴＝×3×5sinθ，∴sinθ＝.
∵c·b＜0，∴θ为钝角，∵θ＝150°，即〈c，b〉＝150°.
课时作业22 向量数量积的运算律
(限时：10分钟)
1．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于( )
A．1 B．2－ C．3 D．4－
解析：a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cos60°＝3，选C.
答案：C
2．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析：|2a－b|＝＝＝2，选B.
答案：B
3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－2，∴a2＋a·b－2b2＝－2，
∴4＋a·b－8＝－2，a·b＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.
答案：
4．已知在△ABC中，||＝3，||＝8，∠ABC＝60°，则||＝________.
解析：∵＝－，∴||2＝(－)2＝||2＋||2－2·＝82＋32－2×8×3×cos60°＝49，∴||＝7.21教育网
答案：7
5．已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝，求：
(1)a·b.
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：(1)因为|a＋b|＝，所以21＝a2＋b2＋2a·b.
又|a|＝4，|b|＝5，所以a·b＝＝－10.
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2×42－3×52＋5×(－10)＝－93.
(限时：30分钟)
1．若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是( )
A．120° B．150° C．60° D．30°
解析：设a与b的夹角为θ，a·b＝|a||b|cosθ＝6×1×cosθ＝－9?cosθ＝－?θ＝150°.2·1·c·n·j·y
答案：B
2．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，因为|a＋b|＝|a－b|，
所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
即2a·b＝－2a·b，所以a·b＝0，a⊥b.故选B.
答案：B
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．4
C．6 D．12
解析：a·b＝|a|×4cos60°＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，即|a|2－a·b－6|b|2＝－72，故|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6.www-2-1-cnjy-com
答案：C
4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A. B. C. D．4
解析：∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝.2-1-c-n-j-y
答案：C
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于( )21*cnjy*com
A. B. C．－ D．－
解析：∵AM＝1，且＝2，∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝2＝2＝.
答案：A
6．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )21·cn·jy·com
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.
答案：B
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝__________.
解析：因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a－b|＝.www.21-cn-jy.com
答案：
8．等腰直角三角形ABC中，||＝||＝2，则·＝__________.
解析：·＝||||cos135°＝2×2×＝－4.
答案：－4
9．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．21·世纪*教育网
解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，∴a2＋a·b－2b2＝－6.
∴1＋a·b－2×4＝－6.∴a·b＝1.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝.
答案：
10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求证：b与a＋tb垂直．
解析：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．21cnjy.com
(2)因为：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
11．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，
∴b2＝a2－＝1－＝，∴|b|＝.
∴cosθ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
(2)|a＋b|＝＝＝.
12．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
解析：假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.
∴解得cosθ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故当θ∈时，
|a＋b|＝|a－b|成立．
课时作业23 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(限时：10分钟)
1．已知a＝(3,4)，b＝(－2，－1)，则(a－b)·(a＋2b)等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：(a－b)·(a＋2b)＝(5,5)·(3－4,4－2)＝(5,5)·(－1,2)＝－1×5＋2×5＝5.
答案：A
2．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．－9
解析：a·b＝x1x2＋y1y2＝3x－3＝0?x＝1.
答案：C
3．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.
解析：设b＝(x，y)，
则2b－a＝(2x,2y)－(3,3)＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)，
∴2x－3＝－1,2y－3＝1，得x＝1，y＝2.∴b＝(1,2)．
则cosθ＝＝＝＝＝.
答案：
4．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是________．
解析：因为a＋b＝(3,2＋k)，所以|a＋b|＝＝.
令≤5，解得－6≤k≤2.
答案：－6≤k≤2
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(m,2)，它们的夹角为θ，当m取什么实数时，θ为：(1)直角；(2)锐角；(3)钝角．21教育网
解析：由a＝(2,1)，b＝(m,2)，
得|a|＝，|b|＝，a·b＝x1x2＋y1y2＝2m＋2.
(1)θ为直角?x1x2＋y1y2＝0?2m＋2＝0?m＝－1.
(2)θ为锐角?
?
??m>－1且m≠4.
(3)θ为钝角?
???m<－1.
故当m＝－1时，θ为直角．
当m>－1且m≠4时，θ为锐角．
当m<－1时，θ为钝角．
(限时：30分钟)
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案：D
2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.
答案：B
3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )21cnjy.com
A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0)
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．
答案：C
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于( )
A．6 B．8
C．－8 D．－6
解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.
答案：B
5．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵a＋b与a共线，∴a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k)．
由解得
故a＝(1,1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.
答案：D
6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：a·b＝(x,2)·(－3,5)＝－3x＋10＜0，∴x＞.
答案：C
7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝__________.
解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝6，
∴c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c|＝8.
答案：8
8．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为__________．
解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
9．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为__________．21世纪教育网版权所有
解析：设b＝(x，y)，由已知条件得|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.
∴解得或
∵向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，
∴x＞0，y＞0，∴b＝.
答案：
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka－b与a－3b垂直？
解析：ka－b＝(k＋3,2k－2)，a－3b＝(10，－4)，
∵ka－b与a－3b垂直，
∴10(k＋3)－4(2k－2)＝0，
∴k＝－19，即k＝－19时ka－b与a－3b垂直．
11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求向量；
(3)求证：AD2＝BD·CD.
解析：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，
＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.
(2)＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设＝λ＝(5λ，5λ)，
则＝＋＝(－3，－6)＋(5λ＋5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，
解得λ＝，∴＝.
(3)证明：2＝＋＝，||＝＝，
||＝5，||＝||－||＝.
∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.
12．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
解析：
(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．
又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
课时作业24 向量的应用
(限时：10分钟)
1．设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
解析：依题意作出图形(如图)，由P∈D且|PP0|＝|PP1|知，点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线段A1A2.【出处：21教育名师】
再由|PP0|≤|PP1|知，点P在线段A1A2上及线段A1A2含点P0的一侧且P∈D；
同理由|PP0|≤|PP2|，|PP0|≤|PP3|知，S表示的平面区域为六边形A1A2B1B2C1C2及其内部．故选D.【版权所有：21教育】
答案：D
2．在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
解析：由·＝0知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC.由·＝知〈，〉＝60°，所以△ABC为等边三角形．故选A.21教育名师原创作品
答案：A
3．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )21·世纪*教育网
A．2 B．2 C．2 D．6
解析：如图，设代表力F1，代表力F2，则本题实际上是求与的和向量的模，由余弦定理得||2＝||2＋||2－2||·||·cos∠OF1G＝4＋16－2×2×4×＝28，21*cnjy*com
∴||＝2，故选A.
答案：A
4．若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l的方程为________．
解析：由直线l的一个法向量为(1,2)可知直线l的一个方向向量为(2，－1)，故直线的斜率k＝－，再由直线方程的点斜式可得y－4＝－(x－3)，即x＋2y－11＝0.
答案：x＋2y－11＝0
5．已知函数f(x)＝log2(x2＋2)，a＝(m,1)，b＝，若f(a·b)≥f(|a－b|)，试求m的取值范围．21世纪教育网版权所有
解析：由f(x)＝log2(x2＋2)知f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增．
于是，由f(a·b)≥f(|a－b|)，得|a·b|≥|a－b|，
∵a＝(m,1)，b＝，
∴a·b＝m×＋1×＝m.
∴|a－b|＝＝，
∴|m|≥?m2≥m2－2m＋，
即m2－8m＋5≤0?4－≤m≤4＋.
∴m的取值范围为[4－，4＋]．
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1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
答案：C
2．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
解析：|F1＋F2|＝|＋|＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5.
答案：D
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：∵∥，||＝||，且⊥，故四边形ABCD为菱形．
答案：D
4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )21cnjy.com
A．5N B．5N
C．10N D．5N
解析：如下图可知|F1|＝|F|cos60°＝5(N)．
答案：B
5．O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )21·cn·jy·com
A．以AB为底边的等腰三角形
B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
解析：∵－＝，＋－2＝－＋－＝＋，∴·(＋)＝0，
∴△ABC为以BC为底边的等腰三角形．
答案：B
6．一条河的宽度为d，水流的速度为v2，一船从岸边A处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B处，船在静水中的速度是v1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( )
A．|v1| B. C. D．|v1|－|v2|
解析：画出船过河的简图可知，实际速度是v1与v2的和，由勾股定理知选C.
答案：C
7．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．21教育网
解析：由题意知，点P(x，y)满足·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，即为P点的轨迹方程．www.21-cn-jy.com
答案：x＋2y＝4
8．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为__________．
解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0，即⊥，故△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
9．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移s＝，则共点力对物体所做的功为__________．2·1·c·n·j·y
解析：对于合力F＝(5,3)，其所做的功为W＝F·s＝＋＝7.
答案：7
10．如下图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知得a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，即AD⊥BC.
11．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．若∥，⊥.
(1)求x，y的值；
(2)求四边形ABCD的面积．
解析：(1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，＝(－4－x,2－y)．
由∥，得x(2－y)＋y(4＋x)＝0. ①
＝＋＝(6＋x，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)．
由⊥，得(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.
由①②，解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.
(2)S四边形ABCD＝||||，当x＝2，y＝－1时，S四边形ABCD＝16；当x＝－6，y＝3时，S四边形ABCD＝16.【来源：21·世纪·教育·网】
即四边形ABCD的面积为16.
12．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0秒时分别在P0、Q0处，当⊥时所需的时间t为多少秒？www-2-1-cnjy-com
解析：∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，∴e1＋e2＝(1,1)，3e1＋2e2＝(3,2)，
结合物理学中速度的合成与分解的关系，易知t秒时点P的坐标为(t－1，t＋2)，点Q的坐标为(3t－2,2t－1)，2-1-c-n-j-y
∴＝(2t－1，t－3)，又＝(－1，－3)，
由⊥可知·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
故当⊥时，所需时间t为2秒．
