课时作业25 两角和与差的余弦
(限时：10分钟)
1．cos15°＋cos75°的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：cos15°＝cos(45°－30°)，cos75°＝cos(45°＋30°)．
答案：A
2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα＝( )
A. B.
C. D．－
解析：原式＝cos(α＋30°－α)＝cos30°＝.
答案：A
3．cos57°cos12°＋sin57°sin12°的值是( )
A．0 B.
C. D.
解析：原式＝cos(57°－12°)＝cos45°＝.
答案：D
4．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：2＋2＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝.
答案：B
5．已知sin＝，且<α<.求cosα的值．
解析：∵sin＝，且<α<，∴<α＋<π，
∴cos＝－ ＝－.
cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
(限时：30分钟)
1．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( )
A．0 B.
C. D．－
解析：原式＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.21教育网
答案：B
2．已知sinθ＝－，θ∈，则cos的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵sinθ＝－，θ∈，
∴cosθ＝＝ ＝.
∴cos＝cosθcos＋sinθsin
＝×＋×＝.
答案：A
3．已知cosα＝，α∈，则cos等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵cos＝(cosα＋sinα)×，
又可得sinα＝－，
∴cos＝×＝×＝－.
答案：C
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cosθ等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin＝.
又cosθ＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝.
答案：A
5．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
答案：B
6．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA,2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)．若a，b的夹角为，则A－B等于( )21世纪教育网版权所有
A. B．－ C．± D．±
解析：cos＝
＝cos(A－B)，
又－＜A－B＜，∴A－B＝±.
答案：C
7．下列说法中不正确的是________．
①存在这样的α和β的值使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
②不存在无穷多个α和β的值使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
③对于任意的α和β有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
④不存在这样的α和β的值使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ.
解析：对于①，当α＝kπ，k∈Z，β∈R时等式成立，对于③显然成立，对于④显然也成立，故选②.
答案：②
8．若sin＝－，α∈，则cos＝__________.
解析：sin＝cosα＝－，
又∵α∈，∴sinα＝＝.
∴cos＝coscosα＋sinsinα
＝×＋×＝.
答案：
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，则cos2β＝__________.21cnjy.com
解析：由条件知sin(α＋β)＝－，sin(α－β)＝，
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－－＝－1.
答案：－1
10．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
解析：∵x∈，sinx＝，∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx＝－＝.
11．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．
解析：∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜＜，0＜＜.
∴＜α－＜π，－＜－β＜.
又cos＝－，sin＝，
∴sin＝，cos＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝×＋×
＝－＋＝.
12．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求cosφ的值．
解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝.
∴sin2θ＝.∵θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ
＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又0＜φ＜，∴cosφ＝.
课时作业26 两角和与差的正弦
(限时：10分钟)
1．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，那么这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：由sin(B＋C)＝2sinBcosC得sin(B－C)＝0
∵B、C是△ABC的两个内角，∴B－C＝0即B＝C.
答案：D
2．函数y＝sinx＋cosx的值域是( )
A. B．[1,2]
C. D．[0,2]
解析：y＝2sin，其中≤x＋≤π，
∴y∈[1,2]．
答案：B
3．已知sin＝，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B.
C．2 D．－1
解析：cosα＋sinα＝2×
＝2cos＝2sin＝.
答案：B
4．已知sinα－cosβ＝，cosα－sinβ＝，则sin(α＋β)＝________.
解析：将sinα－cosβ＝两边平方得
sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝①
将cosα－sinβ＝两边平方得
cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝②
①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝＋，
∴1－2sin(α＋β)＋1＝，∴sin(α＋β)＝.
答案：
5．已知cos＝－，sin＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos.
解析：因为＜α＜π，所以＜＜，
因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，所以－＜－＜0，
所以＜α－＜π，－＜－β＜.
又cos＝－＜0，sin＝＞0，
所以＜α－＜π，0＜－β＜.
则sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
故cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
(限时：30分钟)
1．sin65°cos35°－cos65°sin35°＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝.
答案：A
2．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵cosB＝，∴sinB＝，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝.
答案：D
3．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则sin＝( )
A. B.
C. D.
解析：＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，∴·
＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)
＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，
∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3sin＝2，
∴sin＝.
答案：B
4．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：∵sinAcosB＝1－cosAsinB，
∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1.
∵A，B为三角形的内角，
∴A＋B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．
答案：B
5．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．ab＜1 D．ab＞2
解析：a＝sin，b＝sin.
∵f(x)＝sin在上是增函数，
又0＜α＜β＜，∴f(α)＜f(β)，即a＜b.
答案：B
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析：∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又A＋B＝π－C，整理得sin＝，
∵0＜C＜π，∴＜C＋＜，
∴C＋＝，∴C＝.
答案：C
7．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sinαsin＝________.
解析：原式＝2sinαcosβ－2sinαcosβ＝0.
答案：0
8．函数f(x)＝sinx＋sin的最大值是________．
解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，
∴f(x)的最大值为2.
答案：2
9．sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.
解析：原式＝sinxcos60°＋cosx·sin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－(cos120°cosx＋sin120°sinx)21教育网
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
答案：0
10.＋sin10°tan70°－2cos40°＝________.
解析：＋sin10°tan70°－2cos40°
＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
答案：2
11．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解析：∵＜α＜π，∴＜＋α＜π，
∴sin＝＝.
∵0＜β＜，∴π＜π＋β＜π，
∴cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
12．设A，B为锐角三角形ABC的两个内角，向量a＝(2cosA,2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)，若a，b的夹角为60°，求A－B的值．21cnjy.com
解析：∵|a|＝2，|b|＝3，a·b＝2cosA·3cosB＋2sinA·3sinB＝6(cosAcosB＋sinAsinB)＝6cos(A－B)，21·cn·jy·com
而a与b的夹角为60°，则cos60°＝＝
＝＝cos(A－B)，即cos(A－B)＝.
又∵0＜A＜，0＜B＜，∴－＜A－B＜，
∴A－B＝±.
课时作业27 两角和与差的正切
(限时：10分钟)
1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
2．已知tanα＝3，则tan＝( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：tan＝tan＝＝＝－.
答案：D
3．设tanα＝，tan(β－α)＝－2，则tanβ等于( )
A．－7 B．－5
C．－1 D．－
解析：tanβ＝tan(α＋β－α)＝
＝＝－1.
答案：C
4．已知α∈，cosα＝，则tan＝__________.
解析：由cosα＝且α∈，则sinα＝－，
∴tanα＝－，∴tan＝＝.
答案：
5．求出下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.
解析：(1)原式＝tan(70°－15°)＝tan60°＝.
(2)＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°
＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°
＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.
(限时：30分钟)
1.的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：原式＝＝tan
＝－tan＝－.
答案：A
2．若tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝＝.
答案：C
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：(1＋tan21°)(1＋tan24°)
＝1＋tan21°·tan24°＋tan21°＋tan24°
＝(1＋tan21°·tan24°)＋tan(21°＋24°)(1－tan21°·tan24°)＝2
同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2.
∴原式＝4.
答案：C
4．若α，β∈，tanα＝，tanβ＝，则α－β等于( )
A. B.
C. D.
解析：tan(α－β)＝＝＝1.
∵α，β∈，∴α－β∈.∴α－β＝.
答案：B
5．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.
答案：A
6．若α，β均为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝__________.
解析：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝.
∵α与β均为锐角，且cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
答案：
7．若tan＝，则tanα＝________.
解析：tan＝＝，∴5tanα＋5＝2－2tanα.
∴7tanα＝－3，∴tanα＝－.
答案：－
8．tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°的值是________．
解析：∵tan60°＝＝，
∴tan23°＋tan37°＝－tan23°tan37°，
∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.
答案：
9．设α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.
解析：∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，
∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＋1＝2，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
答案：2
10．已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
解析：由题意，得cos＝－，sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝－.
11．设cosα＝－，tanβ＝，π＜α＜，0＜β＜，求α－β的值．
解析：∵π＜α＜，0＜β＜，∴＜α－β＜.
∵cosα＝－，∴tanα＝2，
∴tan(α－β)＝＝＝1.
∴α－β＝.
12．在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．21世纪教育网版权所有
解析：由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
由tanC＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
课时作业28 倍角公式
(限时：10分钟)
1．cos4－sin4等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析：原式
＝＝cos＝.
答案：B
2.×等于( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D.
解析：原式＝×＝＝tan2α.
答案：B
3．已知x∈，cosx＝，则tan2x等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵x∈，cosx＝，∴sinx＝－＝－，
∴tanx＝＝＝－，
∴tan2x＝＝＝＝－，故选D.
答案：D
4．化简：sin40°(tan10°－)＝________.
解析：原式＝sin40°＝(sin10°－cos10°)
＝＝cos40°＝＝－1.
答案：－1
5．化简：(1)－cos2；(2)－＋cos215°；
(3)；(4)＋.
解析：(1)－cos2＝－
＝－cos＝－.
(2)－＋cos215°＝(2cos215°－1)＝cos30°＝.
(3)原式＝＝＝tan2α.
(4)原式＝＋＝|cosα|＋|sinα|.
(限时：30分钟)
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.
答案：B
2．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝，
∴2sinBsinC＝1＋cosA，
∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)
∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，
又∵－180°∴△ABC是等腰三角形．
答案：B
3．若sin＝，则cos的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵sin＝cos＝，
∴cos＝cos2＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
答案：A
4．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是( )
A．1 B.
C. D．1＋
解析：∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，且≤x≤，∴≤2x－≤π.从而可得ymax＝1＋＝.21世纪教育网版权所有
答案：C
5．已知tan＝2，则的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：由tan＝＝2得tanα＝.
原式＝＝tanα－＝－＝－.
答案：A
6．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.
∴cosα＝±.
又α∈，∴cosα＝，sinα＝.
∴tanα＝.
答案：D
7．若cosx＝，则cos2x－sin2x＝__________.
解析：cos2x－sin2x＝2cos2x－1－1＋cos2x＝3cos2x－2＝－.
答案：－
8．已知tan＝2，则的值为__________．
解析：cos2x－sin2x＝2cos2x－1－1＋cos2x＝3cos2x－2＝－.
答案：－
9．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝__________.
解析：∵α∈，sinα＝，
∴cosα＝－＝－.∴tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝－.
答案：－
10．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解析： (1)tan＝，
所以＝2,1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.
(2)＝
＝
＝＝sinα.
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝，
所以＝.
11．函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx.
(1)求f；
(2)若f(α)＝5，α∈，求角α.
解析：f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinxcosx
＝5cos2x＋5sin2x－2sin2x－4sin2x
＝5－2sin2x－2(1－cos2x)
＝3－2sin2x＋2cos2x
＝3－4
＝3－4
＝3－4sin，
(1)f＝3－4sin＝3－4sin
＝3－4.
(2)由f(α)＝5，得sin＝－，
由α∈，得2α－∈，
∴2α－＝π，α＝.
12．已知tan(π＋α)＝－.
(1)求；
(2)若α是钝角，α－β是锐角，且sin(α－β)＝，求sinβ的值．
解析：(1)由tan(π＋α)＝－，得tanα＝－.
＝＝＝.
(2)∵α为钝角，tanα＝－，α－β为锐角，sin(α－β)＝，
∴cosα＝－，sinα＝，cos(α－β)＝.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝.
课时作业29 半角的正弦、余弦和正切
(限时：10分钟)
1．如果|cosθ|＝，＜θ＜3π，那么sin的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：由＜θ＜3π可知θ是第二象限角，
所以cosθ＝－，而＜＜，所以为第三象限角，
所以sin＝－＝－.故选C.
答案：C
2．若sinα＝，α是第二象限角，则tan＝________.
解析：因为α是第二象限角，所以cosα＝－＝－，tan＝＝＝5.
答案：5
3．已知cosα＝，α为第四象限角，则tan的值为________．
解析：∵α为第四象限角，∴sinα＜0.
∴sinα＝－＝－＝－.
∴tan＝＝＝.
答案：
4．已知α是第二象限角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.
解析：∵tan(π＋2α)＝tan2α，∴tan2α＝－，又∵tan2α＝且tanα＜0，解得tanα＝－.21cnjy.com
答案：－
5．化简： .
解析：∵α∈，∴cosα＞0，
则由半角公式得 ＝cosα，
∴原式＝.
又∵∈，∴sin＞0，
∴＝sin，即原式＝sin.
(限时：30分钟)
1．cos2－的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：cos2－＝＝cos＝×＝.
答案：D
2．下列各式与tanα相等的是( )
A. B.
C. D.
解析：由于＝＝tanα.
答案：D
3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝，则tan的值为( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：∵sin(270°＋α)＝，∴cosα＝－.
又∵180°＜α＜270°，∴90°＜＜135°.
∴tan＝－＝－＝－3.
答案：D
4．已知tan＝3，则cosα＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：cosα＝＝＝－.
答案：B
5．已知cosα＝，且π＜α＜2π，则tan等于( )
A．－ B.
C．－或 D．－3
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.
∴tan＝－＝－＝－，故选A.
答案：A
6．已知α为锐角，且sinα∶sin＝3∶2，则tan的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝＝2cos＝.
∴cos＝，∵α为锐角，∴sin＝＝，
∴tan＝＝.
答案：C
7．化简 ＝________.
解析：原式＝＝，∵＜θ＜2π，∴＜＜π，∴sin＞0，故原式＝sin.
答案：sin
8．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1，∴ymin＝－＋1.
答案：1－
9．已知tan(π－α)＝2，则的值是__________．
解析：∵tan(π－α)＝－tanα＝2，
∴tanα＝－2，
∴原式＝＝＝＝－.
答案：－
10．已知tan＝2，求：
(1)tan的值；(2)的值．
解析：(1)∵tan＝2，∴tanα＝＝＝－.
∴tan＝＝＝＝－.
(2)由(1)知tanα＝－，
∴＝＝＝.
11．化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．
解析：原式＝＋＋sin2θ
＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin2θ
＝1＋(cos2θcos30°－sin2θ·sin30°－cos2θcos30°－sin2θ·sin30°)＋sin2θ21世纪教育网版权所有
＝1＋(－sin2θsin30°)＋sin2θ＝1.
12．已知函数f(x)＝1－2sin2＋2sin·cos.求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调增区间．
解析：f(x)＝cos＋sin＝
sin＝sin＝cos2x.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当2kπ－π≤2x≤2kπ，即kπ－≤x≤kπ(k∈Z)时，函数f(x)＝cos2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．21教育网
课时作业30 三角函数的积化和差与和差化积
(限时：10分钟)
1．把下列各式化为和差形式，能求值则求值．
(1)sin75°·cos15°；(2)sinα·sin3α；(3)cos(α＋β)·cos(α－β)．
解析：(1)方法一：sin75°·cos15°＝[sin(75°＋15°)＋sin(75°－15°)]＝(sin90°＋sin60°)＝＋；21cnjy.com
方法二：sin75°cos15°＝cos15°·cos15°＝cos215°
＝＝＝＋.
(2)sinα·sin3α＝－[cos(α＋3α)－cos(α－3α)]
＝－(cos4α－cos2α)＝cos2α－cos4α.
(3)cos(α＋β)·cos(α－β)＝{cos[(α＋β)＋(α－β)]＋cos[(α＋β)－(α－β)]}21世纪教育网版权所有
＝(cos2α＋cos2β)＝cos2α＋cos2β.
2．把下列各式化为积的形式：
(1)cosx－；(2)1＋2sinx.
解析：(1)原式＝cosx－cos＝－2sinsin
＝－2sinsin.
(2)原式＝2＝2
＝4sincos＝4sincos.
(限时：30分钟)
1．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinx·siny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．其中正确的个数是( )21·cn·jy·com
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不正确，应为sin5θ＋sin3θ＝2sin4θcosθ；②不正确，应为cos3θ－cos5θ＝2sin4θsinθ；③不正确，应为sin3θ－sin5θ＝－2cos4θsinθ；④sin5θ＋cos3θ＝sin5θ＋sin＝2sincos，故④也不正确．答案选B，只有⑤是正确的．www.21-cn-jy.com
答案：B
2．函数f(x)＝2sin·sin的最大值是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：f(x)＝2sin·sin
＝2×
＝－cos＋cos
＝－＋cos≤＋1＝.
答案：A
3．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝( )
A．－m B．m
C．－ D.
解析：sin(α＋β)sin(α－β)
＝－(cos2α－cos2β)＝－[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]
＝cos2β－cos2α＝－m.
答案：A
4．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：∵A＋B＝，∴B＝－A，
∴cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos2A＋cos2B)＝1＋coscos(A－B)
＝－cos＋1.
∵－1≤cos≤1，
∴≤－cos＋1≤.
答案：C
5．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：∵y＝＋－1
＝
＝－sin2x·sin＝sin2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
答案：C
6．已知α－β＝，且cosα－cosβ＝，则cos(α＋β)等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
7.＝________.
解析：原式＝＝tan30°＝.
答案：
8．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sinαcosβ的值是__________．
解析：sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
＝＝.
答案：
9．化简sin220°＋cos280°＋sin20°·cos80°＝________.
解析：原式＝＋＋(sin100°－sin60°)
＝1－(cos40°＋cos20°)＋
＝1－cos30°cos10°＋cos10°－＝1－＝.
答案：
10．求函数y＝sincosx的最大值．
解析：y＝sincosx
＝
＝＝sin－.
所以ymax＝－＝.
11．求值：cos＋cos＋cos.
解析：cos＋cos＋cos＝
＝
＝
＝·＝－.
12．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cosθcosxcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期．21教育网
解析：f(x)＝cos2(x＋θ)－2·[cos(x＋θ)＋cos(θ－x)]·cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x＋θ)cos(θ－x)＋cos2θ
＝cos2θ－cos(x＋θ)cos(θ－x)
＝cos2θ－(cos2θ＋cos2x)＝－cos2θ－cos2x
＝－cos2x＋.
故f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
