26.1.1二次函数全章课件（400张PPT）
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| 名称 | 26.1.1二次函数全章课件（400张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 19.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-11-21 15:13:28 | ||
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文档简介
课件400张PPT。第二十六章 二次函数26.1.1 二次函数创设情境，导入新课 （2）你们知道：投篮时篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1）你们喜欢打篮球吗？问题：二次函数讨论与思考：1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，他们的具体关系是可以表示为什么？2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y=6x2即y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20xyydxxn观察与发现 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！二次函数的定义： 注意：1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数
bx是一次项，b是一次项系数
c是常数项。归纳与总结2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,
但不能没有二次项.
一次函数正比例函数反比例函数二次函数这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)2+1 (3) s=3-2t2 (5)y=(x+3)2-x2 (6)v=10πr2（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7) y=x2+x3+25(8)y=22+2x（否）（否）1.下列函数中,哪些是二次函数?抓住机遇 展示自我是不是是不是先化简后判断２、下列函数中，哪些是二次函数？
( )
( )
( ) 否
是否否( )是( )
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1- (2)y＝x(x－5)
(3)y＝ x2－ x＋1
(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
(5)y＝ (6) y＝
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.解: 由题意可得注意:二次函数的二次项系数不能为零练习１、m取何值时，函数是y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？ 知识运用练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。展示才智 3、若函数 为二次函数，求m的值。解：因为该函数为二次函数，
则解（1）得：m=2或-1解（2）得：所以m=2(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?
敢于创新00,3知识的升华已知函数
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？例2、当m为何值时，函数
y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数
m-2≠0且m2-2=2
m≠2 m=±2
∴ m=-2练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，当m为何值时，y是x的二次函数？
m=2小试牛刀 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ 6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x2+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你发现了吗？回味无穷定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．（2）由题意得 其中y是x的二次函数；（3）由题意得 其中S是x的
二次函数解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.｛待定系数法4. 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.｛牛刀小试5.已知二次函数
当x=1时,函数y有最小值为4x取任意实数（1）你能说出此函数的最小值吗？（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
其中自变量x能取哪些值呢？问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少?(o（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ 6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x2+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你发现了吗？回味无穷定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.知识回顾1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质第26章 二次函数二次函数的定义： 注意：1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数
bx是一次项，b是一次项系数
c是常数项。2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,
但不能没有二次项.
反比例函数的图象一次函数的图象 二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线 画二次函数 的图象。解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x（2）在平面直角坐标系中描点： xyo-4-3-2-11234108642-21y = x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.观察 这个函数的图象，它有什么特点? 画二次函数 的图象。解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x（2）在平面直角坐标系中描点： xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y = - x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.-10观察 这个函数的图象，它有什么特点?观察姚明的投篮……二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？ 抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 。抛物线抛物线这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴. 对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点. 抛物线 y=x2在x轴上方
(除顶点外)，顶点是它的最
低点，开口向上，并且向上
无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1当x=1时，y=1
当x=2时，y=4y抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点
是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y = x2y = - x2（0，0）（0，0）y轴y轴 在x轴上方(除顶点外) 在x轴下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y = x2、y= - x2a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同顶点都是原点(0,0)只是开口
大小不同 在同一坐标系中作二次函数y=
x2和y=2x2的图象，会是什么样? 1.列表：2.描点：3.连线：顶点坐标y=x2y=2x2a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同只是开口
大小不同顶点都是原点(0,0)1.列表：2.描点：3.连线：y=-x2y=-2x2y=x2y=2x2a < 0，开口都向下;
对称轴都是y轴;
增减性相同. 只是开口
大小不同抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a>0)y= ax2 (a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y = ax2 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大 形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。1. 二次函数：2、抛物线：二次函数的图象都是抛物线。 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大3、抛物线 y=ax2 的图象 ：4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。
a相同开口方向相同、形状相同，|a|越大，开口越小。再见只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.结束寄语二次函数的图象和性质
勤奋学习
踏实求知九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a>0)y= ax2 (a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 二次项系数为2,开口向上;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).二次函数y=2x2+1的
图象形状与y=2x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最小值不同:
分别是1和0.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样? 二次项系数为-2,开口向下;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).二次函数y= -2x2+1的
图象形状与y= -2x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是1和0..想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质? 我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象.二次函数y=3x2一l的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数为正数3,开口
向上;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).二次函数y=3x2-1的
图象形状与y=3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是 -1和0.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样? 二次项系数为负数-3,开口
向下;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).二次函数y= -3x2－1的
图象形状与y= -3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是0和-1.请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.二次函数y=ax2+c的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 +c(a>0)y=ax2 +c(a<0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c>0时抛物线,与Y轴交于正半轴
当c<0时,抛物线与Y轴交于负半轴.当c<0时,抛物线,与Y轴交于负半轴
当c>0时,.抛物线,与Y轴交于正半轴向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：二次函数y=ax2+c与=ax2的关系1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax2+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).回味无穷y=3x2-1是由y=3x2
向下平移
一个单位得到的二次函数y=3x2-1的
图象形状与y=3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象有什么联系，它们之间有怎样的转化关系? 结论： y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到的。y= -3x2－1是由y= -3x2
向下平移一个单位得到的
二次函数y= -3x2－1的
图象形状与y= -3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-3x2-1的图象与二次函数y=-3x2的图象呢? 结论：y= -3x2－1是由y= -3x2向下平移一个单位得到的。y=ax2y=ax2+kk>0k<0上移下移小结二次函数y=ax2+c的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
c>0c<0c<0c>0(0,c)课堂小结1、抛物线 向上平移3个单位，得到抛物线 ；2、抛物线 向 平移 个
单位，得到抛物线 。练习九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质探究在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴
和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。先列表：0－2－20－2－20－2－20－2－20－2－2●●●●●●●●●●●●●●yxo1可以看出，抛物线
的开口方向____、对称轴是经
过点(－1，0)且与x轴垂直的直
线，我们把它记作 ，顶点
是__________。向下(－1，0)(1，0)向下(1，0)1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0（3）它们的
位置由什么
决定的？用平移观点看函数： 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当h>0时，向右平移
个单位；(2)当h<0时，向左平移
个单位。归纳4、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。5、二次函数 是由二次函
数 向左平移3个单位得到的。巩固观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？(1)开口方向是什么？(2)开口大小有没有
变化？(3)对称轴是什么？(5)增减性怎么样？探 究1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.X=hX=h二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)说出下列二次 函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性
(1) y=2(x+3)2
(2) y=-3(x -1)2
(3) y=5(x+2)2
(4) y= -(x-6)2
(5) y=7(x-8)2向上, x= - 3, ( - 3, 0)向下, x= 1, ( 1, 0)向上, x= - 2, ( - 2, 0)向下, x= 6, ( 6, 0)向上, x= 8, ( 8, 0)1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ，
顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值
为 。2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴
对称后，所形成的二次函数的解析式为 。3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，h= 。 4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位后，得到抛物线y=(x-3)25、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛物线y=(x-1)2,则m= ,n= .二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结：知识回顾：向上直线x=h（h，0）Y随x的增大而减小最小值是0Y随x的增大而增大向下直线x=h（h，0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质复习二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下|a|越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减复习二次函数y=ax2+k的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴 （x=o）对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
k>0k<0k<0k>0(0,k)在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小复习二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)（0,3）（0,-3）如何由 的图象得到 的图象。上下
平移、x= - 2(-2,0)(2,0)x= 2如何由 的图象得到 的图象。、左右
平移y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。上正下负左加右减探究例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、解: 先列表再描点
后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5直线x=－1解: 先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论抛物线
的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1, －1).向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移x=－1y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象联系：将函数 y=2x2的图象向右平移1个 单位, 就得 到 函数y=2(x-1)2的图象; 再向上平移1个单位, 就得到函数y=2(x-1)2+1的图象.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小,
在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大. 不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.的图像可以由向上平移一个单位向右平移一个单位向右平移一个单位向上平移
一个单位先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.归纳 一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 练习向上( 1 , －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?如何平移：1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3y=x2+32．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2二次函数y=a(x+h)2+k的图像和性质1.填表复习回顾:(0, 0)(1, 0)(- 1, 0)(0, 0)(0, 1)(0, - 1)向下向下向下向上向上向上x=0x=0x=0x=0x=1x= - 1（0,3）（0,-3）如何由 的图象得到 的图象。2.上下
平移、x= - 2(-2,0)(2,0)x= 2如何由 的图象得到 的图象。、3.左右
平移y=ax2当h>0时,向左平移h个单位当h<0时,向右平移 个单位y=a(x+h)2y=ax2当c>0时,向上平移c个单位当c<0时,向下平移 个单位4.上下平移规律左右平移规律5.二次函数y=ax2
的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)（0，0）（0，0）直线x=0直线x=0向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 6.二次函数y=a(x+h)2
的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x+h)2 (a>0)y=a(x+h)2 (a<0)（-h，0）（-h，0）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为0.当x=-h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象的图像可以由向上平移一个单位向右平移一个单位向右平移一个单位向上平移
一个单位先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.平移的规律总结：y=ax2y=a(x+h)2 y=a(x+h)2+k 当h>0时,向左平移h个单位当h<0时,向右平移 个单位当k>0时,向上平移k个单位当k<0时,向下平移 个单位观察
的图像x=-2(-2,2)(-2,-3)抛物线顶点坐标对称轴开口
方向增减性最值（-2，2）（2，-3）直线x=-2直线x=2向上向下当x=-2时,
最小值为2当x=2时,
最大值为-3在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x+h)2+k(a>0)y=a(x+h)2+k(a<0)（-h，k）（-h，k）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.开口 对称轴 顶点坐标向上直线x=3(3,–5)向下直线x= –1(–1,0)向下直线x=0(0,–1)向上直线x=2(2, 5)向上直线x= – 4(– 4,2)向下直线x=3(3,0)1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3y=x2+32．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2 (-1,0) (-1,3)x=-17．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______． 右2y=-3x2-1(-3,-2)10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0；
当x在 _____ 范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3 0或-2<－2 < x<0-1311、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
(2)y=(x+4)2－512.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为 ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位先向右平移4个单位，再向上平移5个单位y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-313.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式(1,-1)(0,0)(2,0) 当x 时，y﹤0。当x 时，y=0;（2）根据图象回答：
当x 时，y>0;解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0= a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y= (x-1)2-1x<0或x>20< x<2x=0或226.1.4 二次函数图象和性质1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________ 2．怎样把 的图象移动，便可得到
的图象？ （h，k） 复习提问直线x＝h 3． 的顶点坐标是 ，对称轴是 ． (－2，－5) 直线 x＝－2 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为
，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？ 新课 的图象怎样平移就得到那么一般地，函数的图象呢？ 解： 顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3答案： ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1． 的形式，求出顶点坐标和对称轴。练习1 用配方法把化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：化为的形式。2．用公式法把抛物线把变形为所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。 的形式，求出对称轴和顶点坐标．例2 用公式法把化为解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2练习2 用公式法把化成3．图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是的图象。 解：列表22100－6304－6…………（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，
y＝0；(2)当1＜x＜3时，
y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；(4)当x＝2时，
y有最大值2。xy练习3 画出的图像。x=1y=x2－2x＋2 （3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。（1）顶点坐标（2）对称轴是直线如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性： 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程(7)抛物线的根的判别式判定：
① △＞0?有两个交点?抛物线与x轴相交；② △＝0?有一个交点?抛物线与x轴相切；③ △＜0?没有交点?抛物线与x轴相离。例4 已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0?开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0?开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号?对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0?对称轴为y轴，②若a，b同号?对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0?抛物线经过原点；②c＞0?与y轴交于正半轴； ③c＜0?与y轴交于负半轴。例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号二次函数y=ax2+bx+c
图象和性质 一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22知识回顾：形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，向上向下 2.对称轴是 ；3.顶点坐标是 。直线X=h(h,k)直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6） 你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？212探究:配方y= — (x―6) +3212你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；( 2 )“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。归纳二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取5－7个点即可。注意求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式. 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标： 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。方法归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。练习1、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为 .2、若抛物线y＝a(x-m )2+n的图象与函数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为 . 3、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线y=x2 形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是
（2，-3），求m，n的值。5.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－ x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— ) ①?a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
②? b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧 2ab【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
①??c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
②??c=0 ＜＝＞图象过原点；
③??c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。 当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y= b2a______________________4a4ac－b2-1 例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？ y 1..x1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1CBA4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0
C.a+b+c=0 D. >05.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ）
A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 B B6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
CC二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：（五）、学习回顾：填写表格：1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系用待定系数法求二次函数的解析式二次函数解析式一般式：y=ax2＋b x＋c
顶点式：y=a (x－h)2＋k
交点式：y=a (x－x1)(x－x2)二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0)图象性质a>0，抛物线开口向上，
a<0，抛物线开口向下；
对称轴为x=
顶点坐标为
与y轴的交点坐标为(0，c)△ >0 图象与x轴交于两点
△ =0 图象与x轴交于一点
△<0 图象与x轴无交点
当a>0时，函数在x= 处，取得最小值
y=
当a<0时，函数在x= 处，取得最大值
y=1.一般式：y=ax2＋b x＋c例1：已知二次函数的图象过点（1，2）、（3，5）、（-2，-6），求该函数的解析式。
分析：将三个点的坐轴代入函数的解析式，得
解出这个方程组即可2. 顶点式：y=a (x－h)2＋k例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-4，8），且图象过点（0，3），求函数的解析式。
分析：函数的顶点坐标是（h，k)，所以h=-4，k=8，即得y=a(x+4)2+83. 交点式： y=a (x－x1)(x－x2)例3：已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是3，-2，且与y轴交点的纵坐标是7，求该二次函数的解析式。
分析：由题意得： x1=3， x2=-2代入函数解式为y=a(x－3)(x+2)，再将x=0，y=7代入前式即可解出a值
结果：2、抛物线y=－x2－2x＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。 1、二次函数y=0.5x2-x-3写成y=a(x-h)2+k的形式后,h=___,k=___一、复习：3、二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在x轴上，求c的值？二、用待定系数法求抛物线解析式例3、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)根据下列已知条件，求二次函数的解析式：(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 (5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式综合例题：例1：已知二次函函数图像经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点C，且三角形ABC的面积为6例2：当x=-1，y有最大值4，抛物线与x轴的交点的横坐标为x1 ， x2 ，且x12+x22=10练习：
1、已知二次函数的图像经过点A（-1，12），B（2，-3）
（1）求该二次函数的解析式
（2）用配方法把由（1）得到的解析式化为的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）求抛物线与x轴的两个交点C，D的坐标及三角形ACD的面积
2、已知的图像与x轴只有一个公共交点(-1，0)，要求至少用三种方法求p，q的值小结：在选用二次函数的解析式时应根据实际条件进行选用，它们一般满足以下规律：一般式： y=ax2＋b x＋c
已知三点坐标或三对x，y值时顶点式：y=a (x－h)2＋k
已知顶点坐标或对称轴与函数最大（小）值时
交点式：y=a (x－x1)(x－x2)
已知图象与x轴交点的坐标二次函数复习一、复习：1、抛物线y=－x2+2x － 3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。 5、已知一个二次函数的图象经过(－1,10)，
(1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。 6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0),
且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 二、判断正负性a+b+c 0, a－b+c 0,b2-4ac 0练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号练习：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，且与x轴交于点A，且与y轴交于点C，点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1，0), (0，1)。试确定下列代数式的符号？(1)a，（2）b，（3）c，（4）a＋b＋c（5）a－b＋c（6）a＋b＋1抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个根，因而可将函数知识与方程中根的判别式、根与系数的关系联系起来。 三、抛物线与x轴的交点问题若抛物线与x轴有两个交点A、B二次函数复习21例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线，求m的值及函数解析式.解：由题意得 m+1=2 想一想-m≠0 ∴m=1 解析式为：y= -x2+2x+3二次函数定义： 如果y=ax2+bx+c(a ≠0，a、b、c是常数)，那么y叫做x的二次函数特殊形式：
y=ax2(a ≠0，b=c=0)
y=ax2+c(a ≠0， b=0 ，c ≠0 ,)
y=ax2+bx(a ≠0，b ≠0 ,c=0)小结x0 yx0 y0 yy=ax2y=ax2+cy=ax2+bx与x 轴的交点：∵y=0, ∴ -x2+2x+3=0， ∴x1=3,x2= _1 ∴A (3,0),B(_1,0)与y轴的交点：∵x=0, ∴y=3, ∴C(0,3)
xy01 x=1M(1,4)3A-1B3C1、画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质H∵ y= _（x2_2x）+3 = _（x2_2x+1）+3+1 = _（x_1)2+4 ∴对称轴是直线x=1
顶点坐标是M（1，4）1 ∵a= —1＜0，∴开口向下
当x=1时，y有最大值4分析与讨论xyM(1,4)x=101x1y1(x1 ,y1)(x2,y2)x2y2-133当x ＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时， y随 x增大而减小
面积：S△ABC=AB×OC/2 =4×3/2=6
S△ABM=AB×MH/2 =4×4/2=8
x01 x=1M(1,4)3A-1B3CH从图象上观察：当x为何值时，y=0?y>0?y<0?
y= _（x_1)2
y= -x2 y= _（x_1)2+4
y= -x2+4
xyM(1,4)x=101-133当x=－1或3时，y=0； 当－10 ； 当x>3 或x<－1时，y<0
平移: y= －x2+2x+3 = －（x_1)2+4 ,
y= -x2+2x+3小结：二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0）性质开口方向由a决定，a＞0，开口向上； a＜0，开口向下。
对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（ -b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。
当a ＞0，y有最小值是4ac-b2/4a 。 当x＜ -b/2a时，y随x的增大而减小， 当x＞ -b/2a时，y随x的增大而增大
当a ＜0，y有最大值是4ac-b2/4a 当x＜ -b/2a时，y随x的增大而增大， 当x＞ -b/2a时，y随x的增大而减小
1(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?解：假设存在满足条件的点P，
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)
xy03B-1C3PQ拓展A(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M，当M在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1x解：设M(1,k)， 设抛物线解析式为
y=-(x-1)2+k=-x2+2x+k-1，y01 x=1FEM(1,k)H∵抛物线是轴对称图形，∴ME=MF , 当∠MEF=60°时， △MEF是等边三角形。∴tan∠MEF=MH/EH，EF=√△/lal=2√k，∴EH=√k ∴tan 60°=k/√k，∴k=3，∴M(1,3)
②△MEF是等边三角形？x60°M(1,4)
y= -x2+2x+3y= -（x-1）2+k③ △MEF是直角三角形？
y01 x=1FEM(1,k)Hxy= -x2+2x+3M(1,4)
小结：1、二次函数的定义2、二次函数的性质3、数学思想方法的应用，如数形结合、分类讨论、运动变化等（1）如果一个二次函数经过y= -x2+2x+3与x轴的两个交点A、B，它与y轴的交点为C，xy0A3-1BC当△ABC是直角三角形时，求它的解析式。 分析：OC2=OB×OA=3，OC=√3，∴C(0, √3)或C(0, -√3)。 再由A（3，0），B（-1，0），C(0, √3)或C(0, -√3)确定解析式。 C思考（2）二次函数y= -x2+2x+3与x轴的交点为A(3，0)，B(-1，0),是否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。y01 x=1M(1,4)3AB3C-1x（3）若二次函数变为y= -x2+3x-2，①情况怎样？即设它与x轴的交点是A、B,否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。
xy012ABCX=1.5P答案：P(1.5,√2),半径1.5。CP 或P(1.5,-2),半径1.5②设二次函数 y= -x2+3x-2与y轴交于G点，则过A、B、G可确定一个圆，说明此圆与抛物线有没有除A、B、G以外的第四个公共点，若有，求出点的坐标，若没有，说明理由。
好心情根据要求填空：(-2,-1)直线x=-2直线x=2(2, -1)根据右边已画好的函数图象回答问题：(2)抛物线 ，当自变
量X增大时，函数值y将怎样变化？先减小，后增大.先增大，后减小.当x 时,y随着x的增大而减小
当x 时,y随着x的增大而增大.当x 时,y随着x的增大而增大
当x 时,y随着x的增大而减小.≤-2≥-2≤2≥2直线x=-2直线x=2根据右边已画好的函数图象填空：(2)抛物线 的
顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？当x=____时,y有最___值=______当x=____时,y有最___值=______低高-2小-12大-1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.综合练习练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？△＞0△=0
△＜0OXY(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）x1，0x2，0x二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在x轴上，则
如果图像的顶点在y轴上，则二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2
（1）图像关于y轴对称，则m =
（2）图像经过原点，则m=
（3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=
( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点 (1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
∴y= -2x2+3x+1求函数的解析式的几种方法（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）解：∵图象顶点是（-2，3）∴设其解析式为y=a（x+2）2+3∵图象经过点（-1，5）∴5=a（-1+2）2+3∴a=2∴y=2（x+2）2+3解：∵A(1，0)，对称轴为x=2∴抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵B（0，-3）∴-3=a（0-1）（0-3）∴a= -1∴y= -(x-1)(x-3)
（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=21AB-3C34、求满足下列条件的抛物线的解析式：经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2解： ∵B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C’（1，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）①当抛物线经过B、C两点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又∵抛物线经过A（2，4）∴4=a（2+1）（2+3）②当抛物线经过B、C’ 两点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）解法同(1)B-1- 31CC’例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换．（-1，-2）．（-1，2）．(-1,-2)．(1,-2)已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。熟能生巧（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心对称函数y=a(x+m)2+k
若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k
若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：．(1,-4)．(1,-4)．(-1,4)(1,-4)．练习1、 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示对称轴x=_____顶点坐标:______当x=_____时,y有最_____值是____函数值y<0时,对应x的取值范围是_______函数值y>0时,对应x的取值范围是_______
函数值y=0时,对应x的取值范围是_______
当x_______时,y随x的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小-2-31-3或1≥-1练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac的符号：xyo练一练：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD练习2、已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象如图所
示,下列结论①a+ b + c<0
②a – b + c>0 ③abc>0 ④
b=2a。其中正确的结论的
个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个mnD已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）练一练：（A）（B）（C）（D）C(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合（1）a >0，b < 0， c ＜ 0.（4）对称轴：直线x = 1（5）顶点坐标（1，-4）（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.（ B ）检测你掌握了多少AB2、若A（ ），B（ ），C（ ）为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是 ( ) A． B． C． D． B领略图象法的魅力数形结合转化思想当x为何值时，y1＞ y2 ？X＜1或X＞3 利用图象法
求一元二次方程x2= － 2x +3的近似解. 你会吗？根据你的图象，求当X取何值时， x2> － 2x+3你知道 的解的个数吗？4,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式.5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法.练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
（1）点A，（2）点B，（3）抛物线的顶点C 得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n)
(1)求这个抛物线的解析式
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和三角形BCD的面积提高拓展已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与Y轴交于点A(0,3),与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点
（1）求此抛物线的解析式
（2）若点D为线段OA的一个三等份点，求直线DC的解析式
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,F的坐标，并求出这个最短路径长3、（07.烟台）如图,已知抛物线L1∶y=x2-4的图像与x轴交于A?C两点, 中考链接(3)探索：当点B分别位于L1在x轴上?下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在,判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由?(2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与A?C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上； (1)若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2 的解析式；二次函数图象的性质 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，
y＝0；(2)当1＜x＜3时，
y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；(4)当x＝2时，
y有最大值2。xy 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:交点在x轴上方c>0交点在x轴下方c<0经过坐标原点c=0（3）b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0归纳知识点：简记为：左同右异归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定你还可想到啥？快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xoy抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个B练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个C能力训练1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 象限
2.已知二次函数y=2x2-8x+1，当x= ，函数有最小值为
3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5，则m___
4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 例4 已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0?开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0?开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号?对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0?对称轴为y轴，②若a，b同号?对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0?抛物线经过原点；②c＞0?与y轴交于正半轴； ③c＜0?与y轴交于负半轴。例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为 ；1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围是________;课外作业： 5.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 .再想一想：-2二次函数的
图象和性质复习二次函数一般式的配方法：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式。复习抛物线 的对称轴及顶点
坐标：(1)对称轴：(2)顶点坐标：直线 (公式法)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 .3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 .抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上a＜0 开口向下 xy ③??c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：①??c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴； ②??c=0 ＜＝＞图象过原点；xy ⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:
对称轴是直线x =
①??? a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；②??? b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧oxyyoxyox图1图2oxyX=1oxyX=-1yox-11-1 例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？y 1..xoxy（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。 y ..xy .xx能否说出
它们的增
减性呢？（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
yoxyoxyox①??△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②??△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③? △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
yoxyoxyox ①??△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②??△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③? △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。xyO巩固训练1.如图，若a<0，b>0，c>0，则二次
函数 的图象大致是( )2.若函数 的顶点坐标
是(1，-2)，则b= ，c= 。3.已知二次函数 的图
象如图所示，则一次函数
的图象不经过第 象限。4.若抛物线
位于x轴上方,求m的取值范围.6.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个C8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个B9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）yox1x=110. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 .-2yoxBCA这节课你有哪些体会？1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；
2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；
3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析今天我学到了……函数y=ax2+bx+c的图象和性质：顶点坐标：对称轴：开口与y轴交点：与x轴交点：向上向下a>0a>0增减性最 值y有最小值：y有最大值：（0，c）
bx是一次项，b是一次项系数
c是常数项。归纳与总结2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,
但不能没有二次项.
一次函数正比例函数反比例函数二次函数这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)2+1 (3) s=3-2t2 (5)y=(x+3)2-x2 (6)v=10πr2（是）（否）（是）（否）（否）（是）(7) y=x2+x3+25(8)y=22+2x（否）（否）1.下列函数中,哪些是二次函数?抓住机遇 展示自我是不是是不是先化简后判断２、下列函数中，哪些是二次函数？
( )
( )
( ) 否
是否否( )是( )
知识运用
３、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.
(1) y＝1- (2)y＝x(x－5)
(3)y＝ x2－ x＋1
(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
(5)y＝ (6) y＝
(7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.解: 由题意可得注意:二次函数的二次项系数不能为零练习１、m取何值时，函数是y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？ 知识运用练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。展示才智 3、若函数 为二次函数，求m的值。解：因为该函数为二次函数，
则解（1）得：m=2或-1解（2）得：所以m=2(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?
敢于创新00,3知识的升华已知函数
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？例2、当m为何值时，函数
y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数
m-2≠0且m2-2=2
m≠2 m=±2
∴ m=-2练习：y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，当m为何值时，y是x的二次函数？
m=2小试牛刀 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ 6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x2+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你发现了吗？回味无穷定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．（2）由题意得 其中y是x的二次函数；（3）由题意得 其中S是x的
二次函数解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.｛待定系数法4. 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.｛牛刀小试5.已知二次函数
当x=1时,函数y有最小值为4x取任意实数（1）你能说出此函数的最小值吗？（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？开动脑筋 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
其中自变量x能取哪些值呢？问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.
(2)当x=3时,距形的面积为多少?(o
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ 6037560420604556048060495605006049560480604556042060375问题再探究y=-5x2+100x+60000,你能根据表格中的数据作出猜测吗？你发现了吗？回味无穷定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.知识回顾1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质第26章 二次函数二次函数的定义： 注意：1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数
bx是一次项，b是一次项系数
c是常数项。2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,
但不能没有二次项.
反比例函数的图象一次函数的图象 二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线 画二次函数 的图象。解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x（2）在平面直角坐标系中描点： xyo-4-3-2-11234108642-21y = x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.观察 这个函数的图象，它有什么特点? 画二次函数 的图象。解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：……y…3210-1-2-3…x（2）在平面直角坐标系中描点： xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y = - x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.-10观察 这个函数的图象，它有什么特点?观察姚明的投篮……二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？ 抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 。抛物线抛物线这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴. 对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点. 抛物线 y=x2在x轴上方
(除顶点外)，顶点是它的最
低点，开口向上，并且向上
无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1当x=1时，y=1
当x=2时，y=4y抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点
是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y = x2y = - x2（0，0）（0，0）y轴y轴 在x轴上方(除顶点外) 在x轴下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y = x2、y= - x2a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同顶点都是原点(0,0)只是开口
大小不同 在同一坐标系中作二次函数y=
x2和y=2x2的图象，会是什么样? 1.列表：2.描点：3.连线：顶点坐标y=x2y=2x2a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同只是开口
大小不同顶点都是原点(0,0)1.列表：2.描点：3.连线：y=-x2y=-2x2y=x2y=2x2a < 0，开口都向下;
对称轴都是y轴;
增减性相同. 只是开口
大小不同抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a>0)y= ax2 (a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y = ax2 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大 形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。1. 二次函数：2、抛物线：二次函数的图象都是抛物线。 一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.y原点最低点上小下高大3、抛物线 y=ax2 的图象 ：4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。
a相同开口方向相同、形状相同，|a|越大，开口越小。再见只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.结束寄语二次函数的图象和性质
勤奋学习
踏实求知九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 (a>0)y= ax2 (a<0)（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象.二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 二次项系数为2,开口向上;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).二次函数y=2x2+1的
图象形状与y=2x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最小值不同:
分别是1和0.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么样? 二次项系数为-2,开口向下;
开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1).二次函数y= -2x2+1的
图象形状与y= -2x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状?它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是1和0..想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质? 我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象.二次函数y=3x2一l的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数为正数3,开口
向上;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).二次函数y=3x2-1的
图象形状与y=3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是 -1和0.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和y=-3x2的图象,会是什么样? 二次项系数为负数-3,开口
向下;开口大小相同;对称
轴都是y轴;增减性与也相同. 顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,-1).二次函数y= -3x2－1的
图象形状与y= -3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同;
最大值不同:
分别是0和-1.请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.二次函数y=ax2+c的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2 +c(a>0)y=ax2 +c(a<0)（0，c）（0，c）y轴y轴当c>0时抛物线,与Y轴交于正半轴
当c<0时,抛物线与Y轴交于负半轴.当c<0时,抛物线,与Y轴交于负半轴
当c>0时,.抛物线,与Y轴交于正半轴向上向下当x=0时,最小值为c.当x=0时,最大值为c.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：二次函数y=ax2+c与=ax2的关系1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0).
(2)最值不同:分别是c和0.
3.联系: y=ax2+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).回味无穷y=3x2-1是由y=3x2
向下平移
一个单位得到的二次函数y=3x2-1的
图象形状与y=3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=3x2-1的图象与二次函数y=3x2的图象有什么联系，它们之间有怎样的转化关系? 结论： y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到的。y= -3x2－1是由y= -3x2
向下平移一个单位得到的
二次函数y= -3x2－1的
图象形状与y= -3x2
一样,仍是抛物线.二次函数y=-3x2-1的图象与二次函数y=-3x2的图象呢? 结论：y= -3x2－1是由y= -3x2向下平移一个单位得到的。y=ax2y=ax2+kk>0k<0上移下移小结二次函数y=ax2+c的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
c>0c<0c<0c>0(0,c)课堂小结1、抛物线 向上平移3个单位，得到抛物线 ；2、抛物线 向 平移 个
单位，得到抛物线 。练习九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质探究在同一平面直角坐标系中，画出二次函数
和 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴
和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。先列表：0－2－20－2－20－2－20－2－20－2－2●●●●●●●●●●●●●●yxo1可以看出，抛物线
的开口方向____、对称轴是经
过点(－1，0)且与x轴垂直的直
线，我们把它记作 ，顶点
是__________。向下(－1，0)(1，0)向下(1，0)1-1-2-3-4-5-6-7-8-9-8-6-4-22468yx0（3）它们的
位置由什么
决定的？用平移观点看函数： 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当h>0时，向右平移
个单位；(2)当h<0时，向左平移
个单位。归纳4、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。5、二次函数 是由二次函
数 向左平移3个单位得到的。巩固观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？(1)开口方向是什么？(2)开口大小有没有
变化？(3)对称轴是什么？(5)增减性怎么样？探 究1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).
当a<0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).二次函数y=a(x-h)2的性质2.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.X=hX=h二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)说出下列二次 函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性
(1) y=2(x+3)2
(2) y=-3(x -1)2
(3) y=5(x+2)2
(4) y= -(x-6)2
(5) y=7(x-8)2向上, x= - 3, ( - 3, 0)向下, x= 1, ( 1, 0)向上, x= - 2, ( - 2, 0)向下, x= 6, ( 6, 0)向上, x= 8, ( 8, 0)1.函数y=-2（x+3）2的图象的对称轴是 ，
顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值
为 。2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位，再与x轴
对称后，所形成的二次函数的解析式为 。3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是（-3，0）它是由抛物线y=-4x2平移得到的，则a= ，h= 。 4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位后，得到抛物线y=(x-3)25、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛物线y=(x-1)2,则m= ,n= .二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：小结：知识回顾：向上直线x=h（h，0）Y随x的增大而减小最小值是0Y随x的增大而增大向下直线x=h（h，0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小九年级数学(下)第二十六章 二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质复习二次函数y=ax2的性质开口向上开口向下|a|越大，开口越小关于y轴对称顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减复习二次函数y=ax2+k的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴 （x=o）对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
k>0k<0k<0k>0(0,k)在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小复习二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)（0,3）（0,-3）如何由 的图象得到 的图象。上下
平移、x= - 2(-2,0)(2,0)x= 2如何由 的图象得到 的图象。、左右
平移y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移左加右减说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。上正下负左加右减探究例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、解: 先列表再描点
后连线.-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5直线x=－1解: 先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5讨论抛物线
的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1, －1).向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移x=－1y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象联系：将函数 y=2x2的图象向右平移1个 单位, 就得 到 函数y=2(x-1)2的图象; 再向上平移1个单位, 就得到函数y=2(x-1)2+1的图象.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小,
在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大. 不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.的图像可以由向上平移一个单位向右平移一个单位向右平移一个单位向上平移
一个单位先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.归纳 一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;当a<0时，开口向下;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 练习向上( 1 , －2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , －6 )向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3, 5 )y=－3(x－1)2－2y = 4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?如何平移：1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3y=x2+32．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2二次函数y=a(x+h)2+k的图像和性质1.填表复习回顾:(0, 0)(1, 0)(- 1, 0)(0, 0)(0, 1)(0, - 1)向下向下向下向上向上向上x=0x=0x=0x=0x=1x= - 1（0,3）（0,-3）如何由 的图象得到 的图象。2.上下
平移、x= - 2(-2,0)(2,0)x= 2如何由 的图象得到 的图象。、3.左右
平移y=ax2当h>0时,向左平移h个单位当h<0时,向右平移 个单位y=a(x+h)2y=ax2当c>0时,向上平移c个单位当c<0时,向下平移 个单位4.上下平移规律左右平移规律5.二次函数y=ax2
的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)（0，0）（0，0）直线x=0直线x=0向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 6.二次函数y=a(x+h)2
的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x+h)2 (a>0)y=a(x+h)2 (a<0)（-h，0）（-h，0）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为0.当x=-h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. y=2x2y=2(x–1)2y=2(x–1)2+1在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象的图像可以由向上平移一个单位向右平移一个单位向右平移一个单位向上平移
一个单位先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.平移的规律总结：y=ax2y=a(x+h)2 y=a(x+h)2+k 当h>0时,向左平移h个单位当h<0时,向右平移 个单位当k>0时,向上平移k个单位当k<0时,向下平移 个单位观察
的图像x=-2(-2,2)(-2,-3)抛物线顶点坐标对称轴开口
方向增减性最值（-2，2）（2，-3）直线x=-2直线x=2向上向下当x=-2时,
最小值为2当x=2时,
最大值为-3在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=a(x+h)2+k(a>0)y=a(x+h)2+k(a<0)（-h，k）（-h，k）直线x=-h直线x=-h向上向下当x=-h时,最小值为k.当x=-h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.开口 对称轴 顶点坐标向上直线x=3(3,–5)向下直线x= –1(–1,0)向下直线x=0(0,–1)向上直线x=2(2, 5)向上直线x= – 4(– 4,2)向下直线x=3(3,0)1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.考考你学的怎么样：
y=(x+1)2+3y=x2+32．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.y=(x+4)2y=(x+2)2+13．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图像，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图像.y=3(x+3)2-2y=-3(x+6)2 (-1,0) (-1,3)x=-17．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移__个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右
平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
得到_____________的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴
向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2
个单位，得到图像的顶点坐标是______． 右2y=-3x2-1(-3,-2)10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0；
当x在 _____ 范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3 0或-2<－2 < x<0-1311、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
(2)y=(x+4)2－512.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为 ．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位先向右平移4个单位，再向上平移5个单位y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-313.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式(1,-1)(0,0)(2,0) 当x 时，y﹤0。当x 时，y=0;（2）根据图象回答：
当x 时，y>0;解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)，
∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1，
∵其图象过点(0,0)，
∴0= a(0-1)2-1，
∴a=1
∴y= (x-1)2-1x<0或x>20< x<2x=0或226.1.4 二次函数图象和性质1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________ 2．怎样把 的图象移动，便可得到
的图象？ （h，k） 复习提问直线x＝h 3． 的顶点坐标是 ，对称轴是 ． (－2，－5) 直线 x＝－2 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为
，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？ 新课 的图象怎样平移就得到那么一般地，函数的图象呢？ 解： 顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3答案： ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1． 的形式，求出顶点坐标和对称轴。练习1 用配方法把化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：化为的形式。2．用公式法把抛物线把变形为所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。 的形式，求出对称轴和顶点坐标．例2 用公式法把化为解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2练习2 用公式法把化成3．图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是的图象。 解：列表22100－6304－6…………（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，
y＝0；(2)当1＜x＜3时，
y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；(4)当x＝2时，
y有最大值2。xy练习3 画出的图像。x=1y=x2－2x＋2 （3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。（1）顶点坐标（2）对称轴是直线如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性： 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程(7)抛物线的根的判别式判定：
① △＞0?有两个交点?抛物线与x轴相交；② △＝0?有一个交点?抛物线与x轴相切；③ △＜0?没有交点?抛物线与x轴相离。例4 已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0?开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0?开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号?对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0?对称轴为y轴，②若a，b同号?对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0?抛物线经过原点；②c＞0?与y轴交于正半轴； ③c＜0?与y轴交于负半轴。例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号二次函数y=ax2+bx+c
图象和性质 一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同22知识回顾：形状位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减左加右减知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 ，
当a﹤0时，开口 ，向上向下 2.对称轴是 ；3.顶点坐标是 。直线X=h(h,k)直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7 ）（2，－6） 你能说出二次函数y=—x －6x＋21图像的特征吗？212探究:配方y= — (x―6) +3212你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；( 2 )“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。归纳二次函数 y= —x －6x +21图象的
画法：(1)“化” ：化成顶点式 ；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶
点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取5－7个点即可。注意求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标． 函数y=ax2+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号
这个结果通常称为求顶点坐标公式. 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标： 函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。方法归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。练习1、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为 .2、若抛物线y＝a(x-m )2+n的图象与函数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为 . 3、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线y=x2 形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是
（2，-3），求m，n的值。5.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－ x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— ) ①?a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
②? b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧 2ab【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
①??c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
②??c=0 ＜＝＞图象过原点；
③??c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。 当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y= b2a______________________4a4ac－b2-1 例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？ y 1..x1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1CBA4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0
C.a+b+c=0 D. >05.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ）
A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 B B6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
CC二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：（五）、学习回顾：填写表格：1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax2的关系用待定系数法求二次函数的解析式二次函数解析式一般式：y=ax2＋b x＋c
顶点式：y=a (x－h)2＋k
交点式：y=a (x－x1)(x－x2)二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0)图象性质a>0，抛物线开口向上，
a<0，抛物线开口向下；
对称轴为x=
顶点坐标为
与y轴的交点坐标为(0，c)△ >0 图象与x轴交于两点
△ =0 图象与x轴交于一点
△<0 图象与x轴无交点
当a>0时，函数在x= 处，取得最小值
y=
当a<0时，函数在x= 处，取得最大值
y=1.一般式：y=ax2＋b x＋c例1：已知二次函数的图象过点（1，2）、（3，5）、（-2，-6），求该函数的解析式。
分析：将三个点的坐轴代入函数的解析式，得
解出这个方程组即可2. 顶点式：y=a (x－h)2＋k例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-4，8），且图象过点（0，3），求函数的解析式。
分析：函数的顶点坐标是（h，k)，所以h=-4，k=8，即得y=a(x+4)2+83. 交点式： y=a (x－x1)(x－x2)例3：已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是3，-2，且与y轴交点的纵坐标是7，求该二次函数的解析式。
分析：由题意得： x1=3， x2=-2代入函数解式为y=a(x－3)(x+2)，再将x=0，y=7代入前式即可解出a值
结果：2、抛物线y=－x2－2x＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。 1、二次函数y=0.5x2-x-3写成y=a(x-h)2+k的形式后,h=___,k=___一、复习：3、二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在x轴上，求c的值？二、用待定系数法求抛物线解析式例3、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。(2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)根据下列已知条件，求二次函数的解析式：(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5)(3)抛物线过原点，且过点(3,－27)(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 (5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式综合例题：例1：已知二次函函数图像经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点C，且三角形ABC的面积为6例2：当x=-1，y有最大值4，抛物线与x轴的交点的横坐标为x1 ， x2 ，且x12+x22=10练习：
1、已知二次函数的图像经过点A（-1，12），B（2，-3）
（1）求该二次函数的解析式
（2）用配方法把由（1）得到的解析式化为的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）求抛物线与x轴的两个交点C，D的坐标及三角形ACD的面积
2、已知的图像与x轴只有一个公共交点(-1，0)，要求至少用三种方法求p，q的值小结：在选用二次函数的解析式时应根据实际条件进行选用，它们一般满足以下规律：一般式： y=ax2＋b x＋c
已知三点坐标或三对x，y值时顶点式：y=a (x－h)2＋k
已知顶点坐标或对称轴与函数最大（小）值时
交点式：y=a (x－x1)(x－x2)
已知图象与x轴交点的坐标二次函数复习一、复习：1、抛物线y=－x2+2x － 3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。 5、已知一个二次函数的图象经过(－1,10)，
(1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。 6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0),
且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 二、判断正负性a+b+c 0, a－b+c 0,b2-4ac 0练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号练习：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，且与x轴交于点A，且与y轴交于点C，点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1，0), (0，1)。试确定下列代数式的符号？(1)a，（2）b，（3）c，（4）a＋b＋c（5）a－b＋c（6）a＋b＋1抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个根，因而可将函数知识与方程中根的判别式、根与系数的关系联系起来。 三、抛物线与x轴的交点问题若抛物线与x轴有两个交点A、B二次函数复习21例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线，求m的值及函数解析式.解：由题意得 m+1=2 想一想-m≠0 ∴m=1 解析式为：y= -x2+2x+3二次函数定义： 如果y=ax2+bx+c(a ≠0，a、b、c是常数)，那么y叫做x的二次函数特殊形式：
y=ax2(a ≠0，b=c=0)
y=ax2+c(a ≠0， b=0 ，c ≠0 ,)
y=ax2+bx(a ≠0，b ≠0 ,c=0)小结x0 yx0 y0 yy=ax2y=ax2+cy=ax2+bx与x 轴的交点：∵y=0, ∴ -x2+2x+3=0， ∴x1=3,x2= _1 ∴A (3,0),B(_1,0)与y轴的交点：∵x=0, ∴y=3, ∴C(0,3)
xy01 x=1M(1,4)3A-1B3C1、画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质H∵ y= _（x2_2x）+3 = _（x2_2x+1）+3+1 = _（x_1)2+4 ∴对称轴是直线x=1
顶点坐标是M（1，4）1 ∵a= —1＜0，∴开口向下
当x=1时，y有最大值4分析与讨论xyM(1,4)x=101x1y1(x1 ,y1)(x2,y2)x2y2-133当x ＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时， y随 x增大而减小
面积：S△ABC=AB×OC/2 =4×3/2=6
S△ABM=AB×MH/2 =4×4/2=8
x01 x=1M(1,4)3A-1B3CH从图象上观察：当x为何值时，y=0?y>0?y<0?
y= _（x_1)2
y= -x2 y= _（x_1)2+4
y= -x2+4
xyM(1,4)x=101-133当x=－1或3时，y=0； 当－1
平移: y= －x2+2x+3 = －（x_1)2+4 ,
y= -x2+2x+3小结：二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0）性质开口方向由a决定，a＞0，开口向上； a＜0，开口向下。
对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（ -b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。
当a ＞0，y有最小值是4ac-b2/4a 。 当x＜ -b/2a时，y随x的增大而减小， 当x＞ -b/2a时，y随x的增大而增大
当a ＜0，y有最大值是4ac-b2/4a 当x＜ -b/2a时，y随x的增大而增大， 当x＞ -b/2a时，y随x的增大而减小
1(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?解：假设存在满足条件的点P，
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0
x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)
xy03B-1C3PQ拓展A(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M，当M在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1
y=-(x-1)2+k=-x2+2x+k-1，y01 x=1FEM(1,k)H∵抛物线是轴对称图形，∴ME=MF , 当∠MEF=60°时， △MEF是等边三角形。∴tan∠MEF=MH/EH，EF=√△/lal=2√k，∴EH=√k ∴tan 60°=k/√k，∴k=3，∴M(1,3)
②△MEF是等边三角形？x60°M(1,4)
y= -x2+2x+3y= -（x-1）2+k③ △MEF是直角三角形？
y01 x=1FEM(1,k)Hxy= -x2+2x+3M(1,4)
小结：1、二次函数的定义2、二次函数的性质3、数学思想方法的应用，如数形结合、分类讨论、运动变化等（1）如果一个二次函数经过y= -x2+2x+3与x轴的两个交点A、B，它与y轴的交点为C，xy0A3-1BC当△ABC是直角三角形时，求它的解析式。 分析：OC2=OB×OA=3，OC=√3，∴C(0, √3)或C(0, -√3)。 再由A（3，0），B（-1，0），C(0, √3)或C(0, -√3)确定解析式。 C思考（2）二次函数y= -x2+2x+3与x轴的交点为A(3，0)，B(-1，0),是否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。y01 x=1M(1,4)3AB3C-1x（3）若二次函数变为y= -x2+3x-2，①情况怎样？即设它与x轴的交点是A、B,否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。
xy012ABCX=1.5P答案：P(1.5,√2),半径1.5。CP 或P(1.5,-2),半径1.5②设二次函数 y= -x2+3x-2与y轴交于G点，则过A、B、G可确定一个圆，说明此圆与抛物线有没有除A、B、G以外的第四个公共点，若有，求出点的坐标，若没有，说明理由。
好心情根据要求填空：(-2,-1)直线x=-2直线x=2(2, -1)根据右边已画好的函数图象回答问题：(2)抛物线 ，当自变
量X增大时，函数值y将怎样变化？先减小，后增大.先增大，后减小.当x 时,y随着x的增大而减小
当x 时,y随着x的增大而增大.当x 时,y随着x的增大而增大
当x 时,y随着x的增大而减小.≤-2≥-2≤2≥2直线x=-2直线x=2根据右边已画好的函数图象填空：(2)抛物线 的
顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？当x=____时,y有最___值=______当x=____时,y有最___值=______低高-2小-12大-1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.综合练习练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？△＞0△=0
△＜0OXY(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）x1，0x2，0x二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在x轴上，则
如果图像的顶点在y轴上，则二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2
（1）图像关于y轴对称，则m =
（2）图像经过原点，则m=
（3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=
( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点 (1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
∴y= -2x2+3x+1求函数的解析式的几种方法（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）解：∵图象顶点是（-2，3）∴设其解析式为y=a（x+2）2+3∵图象经过点（-1，5）∴5=a（-1+2）2+3∴a=2∴y=2（x+2）2+3解：∵A(1，0)，对称轴为x=2∴抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵B（0，-3）∴-3=a（0-1）（0-3）∴a= -1∴y= -(x-1)(x-3)
（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=21AB-3C34、求满足下列条件的抛物线的解析式：经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2解： ∵B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C’（1，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）①当抛物线经过B、C两点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又∵抛物线经过A（2，4）∴4=a（2+1）（2+3）②当抛物线经过B、C’ 两点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）解法同(1)B-1- 31CC’例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换．（-1，-2）．（-1，2）．(-1,-2)．(1,-2)已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。熟能生巧（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心对称函数y=a(x+m)2+k
若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k
若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：．(1,-4)．(1,-4)．(-1,4)(1,-4)．练习1、 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示对称轴x=_____顶点坐标:______当x=_____时,y有最_____值是____函数值y<0时,对应x的取值范围是_______函数值y>0时,对应x的取值范围是_______
函数值y=0时,对应x的取值范围是_______
当x_______时,y随x的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小-2-3
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD练习2、已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象如图所
示,下列结论①a+ b + c<0
②a – b + c>0 ③abc>0 ④
b=2a。其中正确的结论的
个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个mnD已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）练一练：（A）（B）（C）（D）C(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合（1）a >0，b < 0， c ＜ 0.（4）对称轴：直线x = 1（5）顶点坐标（1，-4）（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.（ B ）检测你掌握了多少AB2、若A（ ），B（ ），C（ ）为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是 ( ) A． B． C． D． B领略图象法的魅力数形结合转化思想当x为何值时，y1＞ y2 ？X＜1或X＞3 利用图象法
求一元二次方程x2= － 2x +3的近似解. 你会吗？根据你的图象，求当X取何值时， x2> － 2x+3你知道 的解的个数吗？4,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式.5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法.练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
（1）点A，（2）点B，（3）抛物线的顶点C 得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n)
(1)求这个抛物线的解析式
(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和三角形BCD的面积提高拓展已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与Y轴交于点A(0,3),与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点
（1）求此抛物线的解析式
（2）若点D为线段OA的一个三等份点，求直线DC的解析式
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,F的坐标，并求出这个最短路径长3、（07.烟台）如图,已知抛物线L1∶y=x2-4的图像与x轴交于A?C两点, 中考链接(3)探索：当点B分别位于L1在x轴上?下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在,判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由?(2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与A?C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上； (1)若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2 的解析式；二次函数图象的性质 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，
y＝0；(2)当1＜x＜3时，
y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；(4)当x＝2时，
y有最大值2。xy 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:交点在x轴上方c>0交点在x轴下方c<0经过坐标原点c=0（3）b的符号：由对称轴的位置确定：对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定:与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0归纳知识点：简记为：左同右异归纳知识点：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定你还可想到啥？快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xoy抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：练一练：1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个B练一练：3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个C能力训练1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 象限
2.已知二次函数y=2x2-8x+1，当x= ，函数有最小值为
3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5，则m___
4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 例4 已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0?开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0?开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号?对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0?对称轴为y轴，②若a，b同号?对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0?抛物线经过原点；②c＞0?与y轴交于正半轴； ③c＜0?与y轴交于负半轴。例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为 ；1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围是________;课外作业： 5.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 .再想一想：-2二次函数的
图象和性质复习二次函数一般式的配方法：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式。复习抛物线 的对称轴及顶点
坐标：(1)对称轴：(2)顶点坐标：直线 (公式法)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 回味知识点：1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 .3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 .抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上a＜0 开口向下 xy ③??c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：①??c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴； ②??c=0 ＜＝＞图象过原点；xy ⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:
对称轴是直线x =
①??? a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；②??? b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧oxyyoxyox图1图2oxyX=1oxyX=-1yox-11-1 例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？y 1..xoxy（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。 y ..xy .xx能否说出
它们的增
减性呢？（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
yoxyoxyox①??△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②??△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③? △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（6）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
yoxyoxyox ①??△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②??△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③? △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。xyO巩固训练1.如图，若a<0，b>0，c>0，则二次
函数 的图象大致是( )2.若函数 的顶点坐标
是(1，-2)，则b= ，c= 。3.已知二次函数 的图
象如图所示，则一次函数
的图象不经过第 象限。4.若抛物线
位于x轴上方,求m的取值范围.6.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限 xoyD7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个C8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个B9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）yox1x=110. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范围,并说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 .-2yoxBCA这节课你有哪些体会？1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的联系；
2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想，即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联系等；
3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分析今天我学到了……函数y=ax2+bx+c的图象和性质：顶点坐标：对称轴：开口与y轴交点：与x轴交点：向上向下a>0a>0增减性最 值y有最小值：y有最大值：（0，c）