课件28张PPT。第二章 圆锥曲线与方程课件31张PPT。第10课时 双曲线及其标准方程 课件37张PPT。第11课时 双曲线的简单几何性质 课件45张PPT。第12课时 直线与双曲线的位置关系 课件40张PPT。第13课时 抛物线及其标准方程 课件30张PPT。第14课时 抛物线的简单几何性质 课件38张PPT。第15课时 直线与抛物线的位置关系 课件37张PPT。第6课时 曲线与方程 课件44张PPT。第7课时 椭圆及其标准方程 课件35张PPT。第8课时 椭圆的简单几何性质 课件41张PPT。第9课时 直线与椭圆的位置关系 课时作业(七) 椭圆的定义及其标准方程
A组 基础巩固
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(－4,0)和(4,0) B．(0，－)和(0，)
C．(－3,0)和(3,0) D．(0，－9)和(0,9)
解析：由已知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝7，
∴c2＝9，c＝3.
∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．
答案：C
2．设F1、F2是椭圆＋＝1的焦点，P是椭圆上的点，则△PF1F2的周长是( )
A．16 B．18 C．20 D．不确定
解析：由方程＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2的周长为18.故选B.
答案：B
3．“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，要使焦点在y轴上必须满足＞＞0，即m＞n＞0，反之亦成立，故选C.
答案：C
4．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．以上都不对
解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则解得
∴椭圆方程为x2＋＝1.故选A.
答案：A
5．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．± B．± C．± D．±
解析：如图，当P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以P，所以M.同理，P在x轴下方时M，故选D.
答案：D
6．已知椭圆的方程为＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20 C．2 D．4
解析：由已知得a2＝25＋16＝41，∴△ABF2的周长是4a＝4.
答案：D
7．以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为__________．
解析：9x2＋5y2＝45化为标准方程形式为＋＝1，焦点为(0，±2)，∴c＝2，设所求方程为＋＝1，
代入(2，)，解得a2＝12.∴方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：由题意，得
解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.
答案：3
9．已知椭圆＋＝1的上、下两个焦点分别为F1，F2，点P为该椭圆上一点，若|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，则m＝________.
解析：由已知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
又∵|PF1|，|PF2|为方程x2＋2mx＋5＝0的两根，
∴|PF1|＋|PF2|＝－2m，∴m＝－3.
经检验，m＝－3满足题意．
答案：－3
10．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，当a＝2b时，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，求椭圆方程．
解：∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
B组 能力提升
11．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．无法确定
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|F1Q|＝2a.
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．
答案：A
12．已知椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝________.
解析：设右焦点为F2，连接F2M，
∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，
∴|ON|＝|MF2|.
又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，
∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2.
答案：2
13．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．
设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，
则解之得
∴F′1(－9,6)．
则过F′1和F2的直线方程为＝，
整理得x＋2y－3＝0
联立解之得
即P点坐标为(－5,4)
(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
14．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，且F1(－，0)，F2(，0)． ①
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°. ②
由①②得|PF1||PF2|＝.
所以＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得·＜0，即(x＋，y)·(x－，y)＜0，又y2＝1－，
所以x2＜2，解得－＜x＜，
所以点P横坐标的取值范围是.
15．如图，已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
解析：
(1)∵·＝0，∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5.
∴椭圆方程为＋＝1.
又P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，
∴a2＝45或a2＝5.
又a＞c，∴a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②
由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.
课时作业(九) 直线与椭圆的位置关系
A组 基础巩固
1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,1) B. C. D.
解析：依题意得，c＜b，即c2＜b2，c2＜a2－c2,2c2＜a2，故离心率e＝＜，
又0＜e＜1，∴0＜＜.
答案：C
2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－ C．± D．±
解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.
答案：C
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意知，
F(－c,0)，A(a,0)，B.
∵BF⊥x轴，∴＝.
又∵＝2，∴＝2即e＝＝.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A. B. C. D.
解析：椭圆可化为＋＝1，∴F(－，0)，
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB为y＝x＋
由得7x2＋12x＋8＝0
∴|AB|＝＝.
答案：B
5．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得直线l：y＝(x＋1)．
联立，
可得A(0，)，B，
又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，
∴＋＝.
答案：A
6．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B. C. D.
解析：由消去y得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)
则x1＋x2＝，y1＋y2＝
∴MN的中点为P
由题意知，kOP＝∴＝.
答案：A
7．已知点M(，0)，直线y＝k(x＋)与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABM的周长为________．
解析：由题意，椭圆＋y2＝1中a＝1，b＝1，c＝，
∴点M(，0)为椭圆＋y2＝1的右焦点，
直线y＝k(x＋)过椭圆的左焦点，
∴由椭圆的定义，可得△ABM的周长为4a＝4×2＝8.故答案为8.
答案：8
8．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，
联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.
答案：2
9．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．
解析：由得＋(2x＋b)2＝1.
整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.
Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)＜0，
解得b＞或b＜－.
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
B组 能力提升
11．中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为________．
解析：椭圆焦点在y轴上，可设方程为＋＝1(a＞b＞0)
设直线3x－y－2＝0交椭圆于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，且
①－②得＋＝0，
＝－，
∴－＝－，
＝＝＝＝3.
∴a2＝75，b2＝25.
∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
解析：由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，
当直线与椭圆(右侧部分)相切时，
k＝－，则相交时k＜－.
答案：(－∞，－)
13．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解析：
(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)．
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，
得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，
又由＝2得x＝4x，
即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，
得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，由＝2
得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，
得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程．
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解析：
(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝＝＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
15．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
解析：
(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.
于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.
设点Q的坐标为(x0，y0)．
由条件得消去y0并整理得x＝. ①
由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，(x0＋a)2＋k2x＝a2，
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，故x0＝.
代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.
由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，
即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.
∴k＝±，所以直线OQ的斜率为±.
课时作业(八) 椭圆的简单几何性质
A组 基础巩固
1．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率为e＝的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：＋＝1的短轴顶点为(0，－3)，(0,3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3.
又e＝＝，∴a＝6.
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案：A
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，前者焦距为2c＝2＝8，后者焦距为2c＝2＝8，故选D.
答案：D
3．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C．2－ D.－1
解析：由已知|PF2|＝2c，∴|PF1|＝2c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，∴e＝＝＝－1.
答案：D
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵△AF1B的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4，∵e＝，∴c＝2，∴b2＝4.
答案：D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
解析：∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
答案：B
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：对于椭圆，因为＝2，则OA＝2OF，所以a＝2c.所以e＝.
答案：D
7．一个顶点为(0,2)，离心率e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为__________．
解析：
(1)当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b＝2，e＝＝，
∴a2＝，b2＝4，∴方程为＋＝1.
(2)当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a＝2，e＝＝，
∴a2＝4，b2＝3，∴方程为＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
8．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由于0＜＋y＜1，
所以点P(x0，y0)在椭圆＋y2＝1内部，且不能与原点重合．
根据椭圆的定义和几何性质知，|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，且|PF1|＋|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上，此时|PF1|＋|PF2|＝2.
故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
9．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，
∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3，而b＝，∴c＝2，离心率e＝＝.
答案：
10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2.
∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，
∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
B组 能力提升
11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－2
解析：因为A，B为左，右顶点，F1，F2为左，右焦点，
所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选B.
答案：B
12．如图所示，将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
解析：由椭圆的对称性及定义易知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，
∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a，
∵a＝5，∴所求式子的值为35，故填35.
答案：35
13．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆的离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知：P点在以OA为直径的圆上．
圆的方程是2＋y2＝2，∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②得＋＝1，∴(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0.
故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.
又x≠a，x≠0，∴x＝.
又0＜x＜a，∴0＜＜a，
∴2b2＜a2，∴a2＜2c2.
∴e＞.又∵0＜e＜1，
故所求的椭圆离心率的取值范围是＜e＜1.
14．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．
解：设P的坐标为(x0，y0)，
由椭圆＋＝1得F1(－，0)，F2(，0)，
则|PF1|2＝(x0＋)2＋y，|PF2|2＝(x0－)2＋y，
∵∠F1PF2为钝角，
∴|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＜0.
∴(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－20＜0.
∴x＋y＜5.
又＋＝1，∴x＋4＜5，∴x＜1，
∴－＜x0＜，
∴P的横坐标的取值范围是.
15．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解析：
(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
课时作业(六) 曲线与方程
A组 基础巩固
1．已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B. C.或 D.或
解析：由已知，得(cosα－2)2＋sin2α＝3，
故cosα＝.又0≤α＜2π，∴α＝或.
答案：C
2．已知A(－1,0)，B(1,0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠±)
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．由·＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.故选A.
答案：A
3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋2xy＝1(x≠±1)
C．y＝
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：设P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1，
∴＋＝－1，
整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．
答案：B
4．“点M在曲线y2＝4x上”是点M的坐标满足方程y＝－2的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2，但当点M的坐标满足方程y＝－2时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时．
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2，
整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
S＝πr2＝4π.
答案：B
6．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是( )
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.
答案：D
7．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．
解析：
设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.
又M为AB的中点，所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，
即y＝4x2.
答案：y＝4x2
8．已知点A(a,2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的一点，则m＝________，a＝________.
解析：由题意知，∴a＝2，m＝.
答案： 2
9．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x0，y0)．由题意，知x0＝2x，y0＝2y，代入曲线方程，得x2－4y2＝1，故点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1
10．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．
解析：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为.
由已知，得|x－8|＝2，
化简得3x2＋4y2＝48.
∴动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
B组 能力提升
11．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析：考查命题形式的等价转换．所给语句不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错误，B显然错误．
答案：D
12．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作为等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．
解析：设点Q，P的坐标分别为(x，y)、(1，y0)，
由OQ⊥OP得kOQ·kOP＝－1，即·＝－1，y0＝－. ①
又由|OQ|＝|OP|得＝，即x2＋y2＝y＋1. ②
将①代入②中，整理得(y2－1)(x2＋y2)＝0，
∵x2＋y2≠0，∴y2－1＝0，∴y＝±1.
∴所求轨迹是两条直线y＝±1.
答案：两条直线y＝±1
13．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)
解析：方法一(直接法)：如图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以x2＋2＝(去掉原点)．
方法二(定义法)：
如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
方法三(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得，即
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，即x2＋2＝(去掉原点)．
14．如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.求动点P的轨迹C的方程．
解析：设P(x，y)，则Q(－1，y)．
∴＝(x＋1,0)，＝(2，－y)．
＝(x－1，y)，＝(－2，y)．
由·＝·，得2(x＋1)＋0·(－y)＝－2(x－1)＋y2，整理得y2＝4x.
即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
15．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解析：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，
则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4.
即x2＋＝4(y≠0)．
所以，动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
课时作业(十一) 双曲线的简单几何性质
A组 基础巩固
1．双曲线4y2－9x2＝36的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：方程可化为－＝1，焦点在y轴上，
∴渐近线方程为y＝±x.
答案：A
2．已知双曲线 C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
解析：2c＝10，c＝5.
∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴1＝.
又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.
故C的方程为－＝1.
答案：A
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，
则双曲线方程可化为y2－＝1，
则a2＝1，a＝1.
又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－，故选A.
答案：A
4．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D．2
解析：由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线离心率e＝.
答案：A
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
解析：由已知＝2，c－a＝1，
∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.
∴所求双曲线方程为x2－＝1.
答案：B
6．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，
∴＝＝.∴m＝9.
∴双曲线的焦点为(0，±)，焦点F到渐近线的距离为d＝3.
答案：B
7．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是__________．
解析：由＋＝1表示双曲线，得b＜0，
∴离心率e＝∈(1,2)．∴－12＜b＜0.
答案：(－12,0)
8．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为________．
解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：(4,0)，(－4,0) y＝±x
9．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
解析：设F(c,0)，P(m，n)，(m＜0)，
设PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，
将点(－c,2b)代入双曲线方程可得，
－＝1，可得e2＝＝5，
解得e＝.故答案为.
答案：
B组 能力提升
10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
解析：设双曲线的两焦点分别为F1，F2，
由题意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a，
在Rt△AF1F2中，
∵|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，|AF2|＝，
∴|AF2|－|AF1|＝－2a＝2a，
即3a2＝c2，∴e＝＝.
答案：B
11．已知双曲线－＝1的左顶点为A，过右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于M，N两点，则△AMN的面积为__________．
解析：由已知得A点坐标为(－3,0)，右焦点F坐标为(5,0)，把x＝5代入－＝1，得y＝±.
∴S△AMN＝×8×＝.
答案：
12．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；
(2)若已知M(4,0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．
解：(1)由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.
∴双曲线方程为x2－＝1.
∴双曲线实轴长为2，虚轴长为2.
(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，
∴|MN|＝＝
＝＝.
又∵x≤－1或x≥1，
∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.
13．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
∴|PF1|＝.
由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.
知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，
∴＝2c，则b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
14．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率的取值范围．
解析：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，
s＝d1＋d2＝＝，由s≥c，得≥c，
即5a≥2c2，于是有5≥2e2，
即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.
由于e＞1＞0，所以e的取值范围是≤e≤.
课时作业(十三) 抛物线及其标准方程
A组 基础巩固
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：由y2＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2.
答案：B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝12x
C．y2＝－20x D．y2＝20x
解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)，
则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)．
∴＝4，p＝8.∴所求方程为y2＝16x.
答案：A
3．已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．以上均不对
解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线．
答案：C
4．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点．
答案：B
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是( )
A． B．－ C．8 D．－8
解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝y，其准线方程为y＝－＝2，所以a＝－.
答案：B
6．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x
B．y2＝8x
C．y2＝16x或y2＝－8x
D．y2＝－16x或y2＝8x
解析：抛物线的准线方程为x＝－，则＝3，m＝8或－16.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.故选D.
答案：D
7．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
解析：由条件可知P点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，
所以＝2，p＝4，轨迹方程为y2＝2px＝8x.
答案：y2＝8x
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
所以所求轨迹方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为，即B，将其代入y2＝2px(p＞0)得1＝2p×，解得p＝，则B点到抛物线准线的距离为＋＝p＝.
答案：
10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.
设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.
∵圆P与圆A外切，
∴|PA|＝R＋r＝R＋1.
又∵圆P与直线l：x＝1相切，
∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.
∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，
∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，
可知p＝4，
∴所求的轨迹方程为y2＝－8x.
B组 能力提升
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
答案：A
12．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．
解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
答案：6
13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
解：
(1)当点A在抛物线内部时，42＜2p·，即p＞时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时(如图中，A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5.
故＝5－＝?p＝3，满足3＞，所以抛物线方程为y2＝6x.
(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p·，
即0＜p≤时，连接AF交抛物线于点M，
此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5，2＋42＝25，
－＝±3?p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：
(1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小．
如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝.
(1) (2)
(2)如图(2)，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±.因为＞2，所以点B在抛物线内部，过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|.根据两点之间线段最短可知，当点P移动到点P1位置时|PB|＋|PF|的值最小．
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
15．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
(2)求点P到点B的距离与点P到直线x＝－的距离之和的最小值．
解：如图，将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵＞2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d，由于直线x＝－即为抛物线的准线，根据抛物线定义得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，
当且仅当B、P、F三点共线时取等号，而|BF|＝＝，
∴|PB|＋d的最小值为.
课时作业(十二) 直线与双曲线的位置关系
A组 基础巩固
1．双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，则的最小值为( )
A. B. C．2 D.
解析：∵双曲线－＝1(a≥1，b≥1)的离心率为2，
∴＝2，∴＝4，
∴b2＝3a2，∴＝＝，
∵a≥1，∴在[1，＋∞)上单调增，
∴≥，故选A.
答案：A
2．双曲线－＝1的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是( )
A．8x－9y＝7 B．8x＋9y＝25
C．4x＋9y＝6 D．不存在
解析：点P(2,1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，
直线的斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－2)，
将y＝k(x－2)＋1代入双曲线方程得
(4－9k2)x2－9(2k－4k2)x＋36k－45＝0
4－9k2≠0.
Δ＝[－9(2k－4k2)]2－4(4－9k2)·(36k－45)＞0
x1＋x2＝＝4
解得k＝代入Δ得Δ＜0，
故不存在直线满足条件．
答案：D
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝，即≥，则＝≥，故有e2≥4，e≥2，故选C.
答案：C
4．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由已知点P(1,0)是双曲线的右顶点，故过点P(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点．另外过点P(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点．所以满足条件的直线l有三条．
答案：B
5．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：∵kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.
由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.
设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)，
∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.
又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.
∴双曲线E的方程为－＝1.
答案：B
6．双曲线－y2＝1，(n＞1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A. B．1 C．2 D．4
解析：不妨设F1，F2是双曲线的左右焦点，
P为右支上一点，
|PF1|－|PF2|＝2①
|PF1|＋|PF2|＝2②，
由①②解得：
|PF1|＝＋，|PF2|＝－.
得：|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，
∴PF1⊥PF2.
又由①②分别平方后作差得：
|PF1||PF2|＝2，故选B.
答案：B
7．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x＞0)相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的范围是__________．
解析：由得x2－k2(x－)2＝1，即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知
解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1，
∴直线的倾斜角范围是∪.
答案：∪
8．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是________．
解析：①当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有一个交点，此时直线斜率为±；
②当直线与双曲线有两个交点，且在两支上时，
由－＝1，得b2＝4，a2＝12，∴c＝4.
设直线方程为y＝k(x－4)，由
得(1－3k2)x2＋24k2x－48k2－12＝0，
∴x1x2＝＜0，∴1－3k2＞0.
∴－＜k＜.
答案：
9．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．
解析：当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.
答案：±1
10．已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求|AB|.
解析：由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1，得
(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，
∴2－k2≠0，且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，
∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，
代入(*)得Δ＝4－4×1×(－3)＝16＞0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程(*)得
x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴不妨设A(－1,0)，B(3,4)．
|AB|＝＝4.
B组 能力提升
11．设双曲线C：－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解析：∵双曲线与直线相交于不同的两点，
∴有两组不同的解．
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0
∴
解得－＜a＜且a≠±1，
又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1，
又e＝＝，
∴e＞且e≠.
∴e的取值范围是∪(，＋∞)．
12．设A、B为双曲线x2－＝1上的两点，AB中点为M(1,2)．
求(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．
解析：
(1)法一：(用根与系数的关系解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，解得k＝1.
当k＝1，满足Δ＞0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
法二：(用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，
∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ＞0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)法一：由
消去y得x2－2x－3＝0
解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1,0)，B(3,4)．
S△OAB＝·|OA|·4＝2.
法二：由
消去y得x2－2x－3＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝＝×＝4
O到AB的距离为d＝＝.
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
解析：
(1)由已知得c＝2，e＝2，
∴a＝1，b＝.
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
将①式代入②式，
整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，
y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－
即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±
此时(*)的判别式Δ＞0，
故直线l的方程为y＝x±.
课时作业(十五) 直线与抛物线的位置关系
A组 基础巩固
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点．
答案：C
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，
则x1＋x2＝4，x1x2＝1，
|AB|＝＝＝2.
答案：B
3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A． B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：准线x＝－2，Q(－2,0)，
设l：y＝k(x＋2)，由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1,1]．
答案：C
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析：设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，
即切线方程为2x－y－1＝0.
答案：D
5．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.＝2.
答案：C
6．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B. C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，
由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：D
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，y＋y最小为32.
答案：32
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
解析：可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
答案：
9．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，
联立，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则x1x2＝1，故x1＝，①
又|FA|＝2|BF|，∴＝2，则x1－1＝2(1－x2)②
由①②得x2＝(x2＝1舍去)，
所以B，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，
∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．
B组 能力提升
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：∵F，∴设AB：y＝x－，与y2＝2px联立，得x2－3px＋＝0.∴xA＋xB＝3p.由焦半径公式xA＋xB＋p＝4p＝8，得p＝2.
答案：2
11．已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
解析：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为.
答案：
12．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解析：
(1)直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
13．抛物线y2＝x上，存在P、Q两点，并且P、Q关于直线y－1＝k(x－1)对称，求k的取值范围．
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴?(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)，
∴
∴y1＋y2＝－k.
∴－1＝k＝[(y1＋y2)2－2y1y2－2]
∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]，
∴2ky＋2k2y1＋k3－k＋2＝0，
∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)＞0，∴k(－k3＋2k－4)＞0，
∴k(k3－2k＋4)＜0，∴k(k＋2)(k2－2k＋2)＜0，
∴k∈(－2,0)．
14．已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：
(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(2)＋为定值.
解析：
(1)当AB斜率存在时，设直线AB：y＝k，(k≠0)，
由消去y得：k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，
∴x1＋x2＝p.又k＝tanθ＝，
代入|AB|＝x1＋x2＋p，得：|AB|＝·p＋p＝.
当AB斜率不存在时也成立．
(2)由抛物线的定义，知：
|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋，
∴＋＝＋
当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，
＋＝＋＝＋＝.
当AB的斜率存在时
＋＝＝＝＝.
∴总有＋＝.
课时作业(十) 双曲线及其标准方程
A组 基础巩固
1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是( )
A.－＝1(x≤－4)
B.－＝1(x≤－3)
C.－＝1(x≥4)
D.－＝1(x≥3)
解析：由已知动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16，
∴所求轨迹方程为－＝1(x≥3)．
答案：D
2．已知双曲线－＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( )
A．7 B．23 C．5或25 D．7或23
解析：设F1(－5,0)，F2(5,0)，
则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，
而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23.
答案：D
3．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为( )
A．－16 B．4 C．16 D．81
解析：∵2c＝10，∴c2＝25.
∴9＋m＝25，∴m＝16.
答案：C
4．在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：方程mx2－my2＝n可化为－＝1.
∵mn＜0，∴＜0，－＞0.
方程又可化为－＝1，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
5．已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
解析：由双曲线定义得|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a，
∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a.
∴|AF1|＋|BF1|＝4a＋m.
∴△ABF1的周长是4a＋2m.
答案：B
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
答案：B
7．若双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝__________.
解析：由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.
答案：6
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆圆心为点P，则|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8.
∴点P的轨迹是以A，B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．
又∵2c＝8，∴c＝4.
∴b2＝c2－a2＝12.
∴动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．
答案：－＝1(x≤－2)
9．双曲线－＝1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为________．
解析：
∵
∴|PF1|·|PF2|＝12，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin＝3.
答案：3
10．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．
解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，a2＜5.
所以－＝1.
由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点坐标为(，4)，
代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1(a2＝25舍去)．
故双曲线的标准方程为x2－＝1.
B组 能力提升
11．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设右焦点为F′，依题意，
|PF|＝|PF′|＋4，
∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.
答案：9
12．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.
答案：②③④
13．动圆C与定圆C1：(x＋3)2＋y2＝9，C2：(x－3)2＋y2＝1都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．
解：
如图所示，由题意，得定圆圆心C1(－3,0)，C2(3,0)，半径r1＝3，r2＝1，设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，则|CC1|＝r＋3，|CC2|＝r＋1.
两式相减，得|CC1|－|CC2|＝2，
∴C点的轨迹为以C1，C2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．
∵a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8.∴方程为x2－＝1(x≥1)．
14．如图，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解：由题意，由于||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，
由余弦定理，得
cos60°＝＝
∴|PF1||PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝|PF1||PF2|sin60°＝2b2·＝b2.
∴b2＝12，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
15．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且＋2＝0，求直线l的斜率．
解析：
(1)依题意，得，解得.
于是，所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵点F的坐标为(2，0)，∴可设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)．
设Q(x0，y0)，由＋2＝0，得(x0，y0＋2k)＋2(2－x0，－y0)＝(0,0)，
即(4－x0,2k－y0)＝(0,0)，故.
又Q是双曲线上的一点，∴－＝1，
即－＝1，解得k2＝，∴k＝±.
故直线l的斜率为±.
课时作业(十四) 抛物线的简单几何性质
A组 基础巩固
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A． B．1 C．2 D．4
解析：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，
∴＝1，∴p＝2，故选C.
答案：C
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，
∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，
抛物线C的准线方程为y＝－2，
由圆与准线相切知4＜r.
因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，
所以x＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，∴x＋(y0－2)2＝r2＞16，
所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有y＋4y0－12＞0，
解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，
所以y0＞2，故选C.
答案：C
4．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，
得线段AB中点到y轴的距离为：
(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．
解析：设P的坐标为(x，y)，
则y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
当x＝1时，|PA|最小为2.
答案：2
7．已知点(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为________．
解析：∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，
∴点P到焦点F的距离等于P点到准线x＝－1的距离，
∵点P到准线距离为3，
∴P点到焦点的距离也为3.
答案：3
8．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，
即y＋2≥a2，
整理，得y(y＋16－8a)≥0.
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.
即a≤2＋恒成立．
而2＋的最小值为2.
∴a≤2.
答案：(－∞，2]
9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，求点A的坐标．
解析：由y2＝4x，知F(1,0)．
∵点A在y2＝4x上，
∴不妨设A，
则＝，＝.
代入·＝－4中，
得＋y(－y)＝－4，
化简得y4＋12y2－64＝0.
∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.
∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．
B组 能力提升
10．如图，已知点Q(2，0)及抛物线y＝上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．2
解析：如图所示，过P作PM垂直准线于点M，
则由抛物线的定义可知y＋|PQ|＝|PM|－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1，
当且仅当P、F、Q三点共线时，|PF|＋|PQ|最小，
最小值为|QF|＝＝3.
故y＋|PQ|的最小值为3－1＝2.
答案：A
11．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．
解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，
因此·＝x1x2＋y1y2＝yy＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0.∴⊥.∴∠AOB＝90°.
答案：90°
12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
＝＝3.
解得：p＝2，y0＝±2，∴抛物线方程为y2＝4x.
∴点M(2，±2)，根据两点距离公式有：
|OM|＝＝2.
13．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线的准线距离为d1，到直线l：x＋2y－16＝0的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
解析：如图，由抛物线定义知，
P到其准线的距离d1等于P到焦点F的距离|PF|，
则d1＋d2的最小值就是P，F，R(设PR⊥l)三点在同一直线上时的特殊情况，
即为点F(1,0)到直线l的距离FN的长，故d1＋d2＝＝3.
14．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，
|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
第二章 圆锥曲线与方程
质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( )
A． B． C．(1,0) D．(0,1)
解析：∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.
答案：A
2．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．
双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1，故选D.
答案：D
3．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝.
答案：D
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1
解析：2c＝6，∴c＝3，∴2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，∴
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：C
5．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．－
解析：设点P(x0，y0)，则x－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－x0－2＋y，由双曲线方程得y＝3(x－1)，故·＝4x－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，·有最小值－2，故选C.
答案：C
6．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D．x2＝2y－2
解析：设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0＝x，
又F(0,1)，∴，∴，代入y0＝x得2y－1＝(2x)2，
化简得x2＝2y－1，故选A.
答案：A
7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．
由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
答案：B
8．直线y＝x＋b与抛物线x2＝2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y，
得x2－2x－2b＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2，
又OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＝0，
解得b＝0(舍)或b＝2.
答案：A
9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即a2＋b2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，解得a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
答案：B
10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析：抛物线y2＝8x上的点到准线x＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．
答案：B
11．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或 B.或2 C.或2 D.或
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A.
答案：A
12．已知椭圆C；＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析：利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解．
∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________．
解析：由＋＝1知，a＝5，b＝4，∴c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，∴|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.
答案：8
14．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：根据抛物线与双曲线的图象特征求解．
由于x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，所以|AB|＝2.由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.
答案：6
15．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
F2的坐标为(c,0)，P点坐标为，
由题意知|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，a2－c2＝2ac，
2＋2－1＝0，解得＝±－1，负值舍去．
答案：－1
16．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．
①直线y＝x＋1与双曲线有两个交点；
②双曲线C与－＝1有相同的渐近线；
③双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3.
解析：①错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y＝±x；③正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3.
答案：②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
解析：由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得解得故所求双曲线的方程为－y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少？
解析：
(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在，
又抛物线方程为x2＝4y，当直线AB斜率为0时|PQ|＝4.
当直线AB斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x＝4y1，x＝4y2，两式作差得x－x＝4(y1－y2)，
即得k＝＝，则直线方程为y－2＝(x－t)，与x2＝4y联立得
x2－2tx＋2t2－8＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，
|PQ|＝
＝
＝
＝≤6，
即|PQ|的最大值为6.
19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解析：如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.
又S△PF1F2＝12，∴|PF1||PF2|sin60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.由①②，得c2＝16，c＝4，
则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
解析：
(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p≠0其准线方程为x＝－，
∵A(4，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴4＋＝6，∴p＝4，
∴此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同两点A、B，则有，
解得k＞－1且k≠0，由x1＋x2＝＝4解得k＝2或k＝－1(舍去)
∴所求k的值为2.
21．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解析：
(1)由题意知b＝1，＝，且c2＝a2＋b2，解得a＝，c＝1.
易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故＝|CD|·d＝.
22．(本小题满分12分)过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．
解析：
(1)由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的右焦点为(，0)，
此时直线l的方程为y＝－x＋1，
代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，
所以D点的坐标为.
故|CD|＝＝.
(2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)，
代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得x1＝0，x2＝，
代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立解得，因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．
又P点坐标为，
所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4.
故·为定值．
