第24章 圆小结与复习学案（附答案）

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第二十四章圆小结与复习
知识梳理
1.垂径定理及其推论：
垂直于弦的直径_________，并且平分弦所对的_____________；
平分弦（____________）的直径_________于弦，并且 弦所对的两条弧。
2.与弧、弦、圆心角、圆周角有关的问题：
一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半；
同弧或等弧所对的圆周角_______；
半圆（或直径）所对的圆周角是_______，
90°的圆周角所对的弦是________。
3.与圆有关的位置关系：
（1）点和圆的位置关系：①点在 d＜r ；②点在_______ d=r ；
③点在 d＞r .(d是点到圆心的距离，r是圆的半径)
（2）直线和圆的位置关系：① d＜r ；②相切 _______；
③______ d＞r.（圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d）
4.切线的性质和判定：
（1）切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____________；
（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的_______；
（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的________相等，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角。21cnjy.com
5.与圆有关的计算：
（1）求弧长和扇形面积：弧长公式：=_________；扇形面积公式：S扇形=________= .（是弧长，n是弧所对圆心角的度数，R是弧所在圆的半径）2·1·c·n·j·y
（2）求圆锥的侧面积或全面积；S=________，S=_______________（圆锥的母线为，底面圆半径为）2-1-c-n-j-y
（3）求阴影部分的面积.
重点突破
知识点一 垂径定理及圆周角定理的应用
1.如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（　　）
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A．70° B．35° C．30° D．20°
【解析】本题主要考查垂径定理及圆周角定理.由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠A的度数，即∠A=∠BOC=35°，故选B.【版权所有：21教育】
【答案】B
知识点二 切线的性质和判定的应用
1.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B21*cnjy*com
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求的长度（结果保留π）
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【解析】本题主要考查切线的判定和性质、弧长公式、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识. 【出处：21教育名师】
（1）欲证明直线CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．
（2）先证明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧长公式即可解决问题．
【答案】（1）证明：∵AC是⊙O切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴的长==π．
基础过关
1.在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.若⊙O与直线m的距离为d，⊙O 的半径为r，若d，r是方程x2-11x+30=0的两个根，则直线m与⊙O的位置关系是（　 　）21·世纪*教育网
A、相交 B、相切 C、相离 D、相交或相离
3.如图，在△ABC中，∠CAB=90 ，∠CBA=45 ，以AB为直径作半圆O，AB=8，则阴影部分面积为（　 　）21教育名师原创作品
A、24-4 B、16-4 C、24-2 D、16-2
4.已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则圆锥的侧面积是（　 　）
A．6 cm2 B．3π cm2 C．6π cm2 D． cm2
5.在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（　 　）
A． B． C．π D．
6.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB的度数是（　 　）
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A．80° B．110° C．120° D．140°
7.如图，已知是的切线，点为切点，连接交于点，，点是 上一点，连接，．则等于（　 　）
A． B． C． D．
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8.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，则下列结论不成立的是（　 　）
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A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
9.如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，则∠C等 度．
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10.如图，在扇形AOB中，半径OA=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．21·cn·jy·com
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11.如图，某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则
拱高为_____米．
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12.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=　　 度．
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13.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是______度．www.21-cn-jy.com
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14.如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为(结
果保留π)_____________．
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15.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
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16.如图，以等边三角形ABC的BC边为直 ( http: / / www.21cnjy.com )径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，求FG的长21*cnjy*com
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能力拓展
1.如图，直线y＝x＋与x轴，y轴分别 ( http: / / www.21cnjy.com )交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（　 　）2【来源：21·世纪·教育·网】
1教育名师原创作品
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为_______________【来源：21cnj*y.co*m】
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3.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E.www-2-1-cnjy-com
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⑴求证：AD是半圆O的切线；
⑵连接CD，求证：∠A=2∠CDE；
参考答案
知识梳理
1.平分弦，两条弧；不是直径，垂直，平分.
2.圆心角,相等,直角,直径
3.圆内，圆上，圆外；相交，d=r ，相离
4.切线，半径，切线长，平分
5.（1）；；（2）， S侧+S底=π+π2
基础过关
1.D
2.D
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.D
9.25
10.π－2
11.8
12.60°
13.105
14.π－2_
15.（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°﹣120°=60° ( http: / / www.21cnjy.com )，∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；21教育网
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，
∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣π）cm2
( http: / / www.21cnjy.com )
16.解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，
又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
能力拓展
1.B
2.－
3.解：⑴连接OD，BD，∵AB是半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°.
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线.
⑵由⑴，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD.
而∠DOC=180°-∠BOD∴∠A=∠DOC，
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∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE =90°.
∵BC是直径，∴∠ODC+∠BDO =90°.
∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠ DOC =2∠BDO
∴∠DOC =2∠CDE，∴∠A =2∠CDE.21世纪教育网版权所有
⑶∵∠CDE=27°，∴由⑵得，∠ DOC =2∠CDE=54°，∴∠BOD =180°-54°=126°，
∵OB=2，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )== ( http: / / www.21cnjy.com )π.
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