第一章 数与式第5 节 分式
考点1.分式的概念
1．分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是 ．
(2)分式有意义的条件是 ．
(3)分式值为0的条件是 ．
考点2. 分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的 约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为 的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
考点3. 分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__ ；异分母加减法，
(3)分式的乘除法：·＝ ；÷＝ ．
(4)分式的乘方：()n＝ ．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
?先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先
算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
考点1.分式的概念
◇典例 ：【例1】(2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( )
A. B. C.＋y D.
【解析】如果A，B(B≠0)表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【答案】B
【例2】(1) (2016重庆)函数中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x> -2 C．x<-2 D．x≠ -2
(2) (2016温州)若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】（1）D （2）D
解题点拨：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义即分母为零(2)分式有意义即分母不为零(3)分式值为零即分子为零且分母不为零．
◆变式训练
1．函数中白变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x<2且x≠1 D．x≠l
2. (2014曲靖一模)若分式的值为零，则x的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
3．已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= 。
考点2. 分式的性质
◇典例：【例1】下列运算中，正确的是( )
A． B． C. D.
【答案】D
解题点拨：分式变形的依据是分式的基本性质和分式中的符号法则。
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号．下列变形正确的是( )
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－1
【解析】A.＝，故错误；B.＝－，故正确；C.＝，故错误；D.＝1，故错误．依据分式的性质进行变形，再判断对错即可．
【答案】B
◆变式训练
1. 把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．变为原来的 D．不变
2. 下列变形不正确的是（ ） A．-= B． C．= D．=
考点3. 分式的计算
◇典例：【例1】化简的结果为 ．
【答案】x-1
解题点拨：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在进行分式的加减运算时，主要是准确找出最简公分母，进行通分；分式的乘除运算时，利用因式分解简化计算，
【例2】先化简，再求值：．其中x是方程的解．
解题点拨：此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：原式
方程去分母得：5x-5-2x+4=0，
解得
当时，原式．
◆变式训练
1．分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016德州）化简等于（ ）
A. B. C. D.
4. (2015云南中考)化简求值：
·，其中x＝＋1.
（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则x=_________.
（2016·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
化简分式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2015，广西钦州）当m=2105时，计算：= ．
（2016?淄博）计算 的结果是__________
化简：．
(2017十堰中考)先化简，再求值：(x＋4)÷(x2＋3x－4)＋，其中x＝2＋.
（2016·湖北黄石）先化简，再求值：÷?，其中a=2016．
（2016·重庆市B卷）÷（2x﹣）
（2016·四川眉山）先化简，再求值：，其中a=3．
（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则x=_________.
（2015?宁德）化简：= ．
（2017?重庆）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
计算：= ．
（2017?沈阳）.=
（2015安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则；②若a=3，则b+c=9；
③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
（2016·黑龙江齐齐哈尔）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x﹣15=0．
（2016·黑龙江齐齐哈尔）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．
（2015·辽宁丹东）先化简，再求值： ，其中，3.
（2016·重庆市A卷）（+x﹣1）÷．
（2016·贵州安顺）先化简，再求值：），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
（2016·青海西宁）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
（2016·山东省滨州市）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
（2016·山东省东营市）化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
(2016云南中考)有一列按一定顺序和规律排列的数：
第1个数是；
第2个数是；
第3个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第(n＋1)个数的和等于.
(1)经过探究，我们发现：＝－；＝－；＝－.设这列数的第5个数为a，那么a＞－，a＝－，a＜－，哪个正确？请你直接写出正确的结论；
(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n个数)，并且证明你的猜想满足“第n个数与第(n＋1)个数的和等于”；
(3)设M表示，，，…，，这2 016个数的和，即M＝＋＋＋…＋，
求证：＜M＜.
第一章 数与式第5 节 分式
考点1.分式的概念
1．分式：形如____(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是__B＝0__．
(2)分式有意义的条件是__B≠0__．
(3)分式值为0的条件是__A＝0且B≠0__．
考点2. 分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．www.21-cn-jy.com
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．www-2-1-cnjy-com
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．2-1-c-n-j-y
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
考点3. 分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．21*cnjy*com
(3)分式的乘除法：·＝____；÷＝____．
(4)分式的乘方：()n＝____．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
?先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先
算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
考点1.分式的概念
◇典例 ：【例1】(2016曲靖压轴试卷)下列式子是分式的是( )
A. B. C.＋y D.
【解析】如果A，B(B≠0)表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【答案】B
【例2】(1) (2016重庆)函数中，x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x> -2 C．x<-2 D．x≠ -2
(2) (2016温州)若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】（1）D （2）D
解题点拨：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义即分母为零(2)分式有意义即分母不为零(3)分式值为零即分子为零且分母不为零．
◆变式训练
1．函数中白变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1
C．x<2且x≠1 D．x≠l
【答案】B
2. (2014曲靖一模)若分式的值为零，则x的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】C
3．已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= 。
【答案】6
考点2. 分式的性质
◇典例：【例1】下列运算中，正确的是 ( )
A． B． C. D.
【答案】D
解题点拨：分式变形的依据是分式的基本性质和分式中的符号法则。
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号．下列变形正确的是( )
A.＝ B.＝－
C.＝ D.＝－1
【解析】A.＝，故错误；B.＝－，故正确；C.＝，故错误；D.＝1，故错误．依据分式的性质进行变形，再判断对错即可．
【答案】B
◆变式训练
1. 把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．变为原来的 D．不变21世纪教育网版权所有
【分析】根据题意得出式子，化简后即可得出答案． 解：把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍得出：， ∵=， ∴把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，分式的值不变， 故选D．【来源：21cnj*y.co*m】
2. 下列变形不正确的是（ ） A．-= B． C．= D．=
【分析】同时改变分式和分子的符号可对A、B进行判断；同时改变分子和分母的符号可对C、D进行判断． 解：A、-=，所以A选项的计算正确； B、=-，所以B选项的计算错误； C、=，所以C选项的计算正确； D、=，所以D选项的计算正确． 故选B．【版权所有：21教育】
考点3. 分式的计算
◇典例：【例1】化简的结果为 ．
【答案】x-1
解题点拨：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在进行分式的加减运算时，主要是准确找出最简公分母，进行通分；分式的乘除运算时，利用因式分解简化计算，21·cn·jy·com
【例2】先化简，再求值：．其中x是方程的解．
解题点拨：此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：原式
方程去分母得：5x-5-2x+4=0，
解得
当时，原式．
◆变式训练
1．分式、、的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．（2016德州）化简等于（ ）
A. B. C. D.
4. (2015云南中考)化简求值：
·，其中x＝＋1.
【分析】首先将中括号内的部分通分，然后按照同分母分式的减法法则进行计算，再按照分式的乘法法则计算、化简，最后再代入求值即可．【出处：21教育名师】
解：原式＝·
＝·
＝，
将x＝＋1代入得，
原式＝＝＝＝1.
（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则x=_________.
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得。
解：当时，代数式的值等于0，解得:x=2.
（2016·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
解：欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．
故选D．
化简分式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
解：原式=- =-=．
故选C．
（2015，广西钦州）当m=2105时，计算：= ．
【分析】考查分式的化简求值．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 21·世纪*教育网
解：原式===m﹣2，
当m=2015时，原式=2015﹣2=2013．
故答案为：2013
（2016?淄博）计算 的结果是__________
【考点】约分．
【分析】分子是多项式1-4a2，将其分解为（1-2a）（1+2a），然后再约分即可化简．
解：原式= =1-2a．
化简：．
解：原式=．
(2017十堰中考)先化简，再求值：
(x＋4)÷(x2＋3x－4)＋，其中x＝2＋.
解：原式＝＋
＝＋
＝，
把x＝2＋代入，
即＝1.
（2016·湖北黄石）先化简，再求值：÷?，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．
解：原式=??
=（a﹣1）?
=a+1，
当a=2016时，原式=2017．
（2016·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算法则进行计算．
解：
÷（2x﹣）
=×
=．
（2016·四川眉山）先化简，再求值：，其中a=3．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
解：原式=[﹣]÷
=?（a﹣2）
=﹣．
当a=3时，原式=﹣4．
（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0 ，则x=_________.
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得。
解：当时，代数式的值等于0，
解得:x=2.
（2015?宁德）化简：= ．
【分析】 约分．.将分母分解因式，然后再约分、化简．
解：原式==．
（2017?重庆）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
解：∵分式有意义， ∴x-3≠0， ∴x≠3； 故选：C．
计算：= ．
【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解：原式=．
（2017?沈阳）.=
【考点】分式的乘除法．
．
【分析】原式约分即可得到结果．
解：原式=.
=
（2015安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则；②若a=3，则b+c=9；
③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
解：①a+b =ab≠o，∴正确，②若a=3，3+b= 3b，6=1.5，c= 4.5，b+c=9错误；③3a=b=c，2a =a2=n，a=0，则abc =0正确；④设a=b，可得a=b=2，c=4，故a+b+c=8正确）
【答案】①③④
（2016·黑龙江齐齐哈尔）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x﹣15=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可． 21教育网
解：原式=?
=
∵x﹣15=0，
∴x=15，
∴原式=．
（2016·黑龙江齐齐哈尔）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可．2·1·c·n·j·y
解：原式=?﹣
=﹣
=，
∵x2+2x﹣15=0，
∴x2+2x=15，
∴原式=．
（2015·辽宁丹东）先化简，再求值： ，其中，3.
【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约成最简分式或整式；求值时把a值代入化简的式子算出结果.
解：原式=×==；
当a=3时，==.
（2016·重庆市A卷·5分）（+x﹣1）÷．
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算．
解：（+x﹣1）÷
=×
=×
=．
（2016·贵州安顺·10分）先化简，再求值：），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
解：原式=?
=，
当x=3时，原式==3．
（2016·青海西宁）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．【来源：21·世纪·教育·网】【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：原式=
=
=
=
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴把x=0代入．
（2016·山东省滨州市）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分化简，然后把乘除化为乘法，最后代入计算即可．
解：原式=÷[﹣]
=÷
=?
=（a﹣2）2，
∵a=，
∴原式=（﹣2）2=6﹣4
（2016·山东省东营市）化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
【分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算．将原式括号中两项分别通分，化为同分母分式，利用同分母分式的加减法则计算，然后将各分式的分子和分母分解因式，最后将除法改成乘法进行约分计算，最后再代入a的值计算，即可得到结果．
解：原式＝÷
＝ ?
＝?
＝a(a－2)
＝a2－2a.
当a＝2＋时，
原式＝(2＋)2－2(2＋)＝3＋2.
(2016云南中考)有一列按一定顺序和规律排列的数：
第1个数是；
第2个数是；
第3个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第(n＋1)个数的和等于.
(1)经过探究，我们发现：＝－；＝－；＝－.设这列数的第5个数为a，那么a＞－，a＝－，a＜－，哪个正确？请你直接写出正确的结论；
(2)请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数(即用正整数n表示第n个数)，并且证明你的猜想满足“第n个数与第(n＋1)个数的和等于”；
(3)设M表示，，，…，，这2 016个数的和，即M＝＋＋＋…＋，
求证：＜M＜.
【解析】(1)由已知规律可得；(2)先根据已知规律写出第n、n＋1个数，再根据分式的运算化简可得；(3)将每个分式根据－＝＜＜＝－，展开后再全部相加可得结论．21cnjy.com
【答案】解：(1)由题意知第5个数a＝＝－；
(2)∵第n个数为，第(n＋1)个数为，
∴＋
＝
＝×
＝×
＝，
即第n个数与第(n＋1)个数的和等于；
(3)∵1－＝＜＝1，
－＝＜＜＝1－，
－＝＜＜＝－，
…
－＝＜＜＝－，
－＝＜＜＝－，
∴1－＜＋＋＋…＋＋＜2－，
即＜＋＋＋…＋＋＜，
∴＜M＜.
