2.3立方根 教学详案

3　立方根
1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.了解开立方与立方运算互为逆运算,能用立方运算求某些数的立方根.
通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.
1.了解数学运算是如何逐步拓展的.
　　2.通过一些开立方运算的应用,体会数学应用的广泛性.
【重点】　立方根的概念及计算.
【难点】　能用开立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方运算互为逆运算.
【教师准备】　球形储气罐图片.
【学生准备】　复习平方根的概念和性质.
导入一:
传说很久很久以前,在古希腊的某个地方发生了大旱,地里的庄稼都旱死了,于是大家一起到神庙里去向神祈求,神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们做一个比它的体积大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍,可是神更加恼怒地说:“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍,我要进一步惩罚你们!”
【问题探究】
(1)新做的祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍?
(2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛,它的棱长应是原来的多少倍?
导入二:
【问题】　(1)面积为2的正方形的边长为多少?
(2)体积为2 的正方体的棱长是多少?
请同学们回忆求解a2=2时的情境,那么a3=2呢?
[设计意图]　创新、新颖、有趣的问题情境,以故事的形式激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究立方根的概念埋下伏笔.
一、探索立方根的概念
思路一
　　[过渡语]　前面我们对应平方学习了平方根和算术平方根,那么对应立方来说呢?
来看一个实际问题:某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?(球的体积公式为V=πR3,R为球的半径)
【提问】　怎样求出半径R ?
思路二
体积为2 的正方体的棱长是多少?设正方体的棱长为a,则列出方程a3=2,如何求a呢?
[设计意图]　通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,又很快将问题归结为如何确定一个数,从而顺利引入新课.
　　[过渡语]　依据前面的经验,我们是否能得到相应的概念呢?
【提问】　(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根?
(2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么?
(3)平方和开平方运算有何关系?
(4)算术平方根和平方根有何区别与联系?
【强调】　一个正数的平方根有两个,且互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.
(5)为了解决前面情境中的问题,需要引入一个新的运算,你将如何定义这个新运算?
类似于平方根(也叫做二次方根)的概念,我们定义:
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root, 也叫做三次方根).
[设计意图]　学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,同时突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.既复习了平方根的知识,又有利于学生用类比的学习方法学习立方根知识.
　　[过渡语]　知道了立方根的定义,应用如何呢?
【做一做】　怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数?
(1)(　　)3=0.001;　(2)(　　)3=-;
(3)(　　)3=0;　　　(4)23=(　　);
(5)(　　)3=8;　　　(6)(-3)3=(　　).
[设计意图]　通过练习,使学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,这种设计意在此过程中渗透分类讨论的思想方法.
【议一议】　(1)正数有几个立方根?
(2)0有几个立方根?
(3)负数有几个立方根?
【学生小结】　正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.
【想一想】　类比开平方的概念,你能总结出开立方的概念吗?
【学生总结】　求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数.
二、例题讲解
　求下列各数的立方根.
(1)-27;　(2);　(3)0.216;　(4)-5.
解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3.
(2)因为,所以的立方根是,即 .
(3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6.
(4)-5的立方根是.
　求下列各式的值.
(1);　　　(2);
(3)- ;　　(4)()3.
解:(1)=-2.
(2)=0.4.
(3)- =- =-.
(4)()3=9.
[设计意图]　例1着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法.例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质.
[知识拓展]　平方根与立方根的区别与联系:
1.区别:(1)在用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数3不能省略;(2)平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有,并且每个数都只有一个立方根;(3)正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个.
2.联系:(1)开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算;(2)都可归结为非负数的非负方根来研究,平方根主要通过算术平方根来研究,而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究,即=-;(3)0的平方根和立方根都是0.
1.了解立方根的概念,会用三次根号表示一个数的立方根,能用开立方运算求一个数的立方根.
2.在学习中应注意以下5点:
(1)符号中的根指数“3”不能省略;
(2)对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有一个立方根;
(3)平方根和立方根的区别:正数有两个平方根,但只有一个立方根;负数没有平方根,但却有一个立方根;
(4)灵活运用公式:()3=a, =a,=-;
(5)立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根,或检验一个数是不是另一个数的立方根.
1.求下列各数的立方根.
(1)0.001;(2)-512;(3).
解:(1)0.1.　(2)-8.　(3).
2.(本课时引例)某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?
解:设原来的半径为r,现在的半径为R,则=8·,则=2,
同理,如果储气罐的体积是原来的4倍时,.
3.求下列各式的值.
(1);　　(2);
(3);　　　 (4).
解:(1)0.5.　(2)-4.　(3)5.　(4)16.
4.一个正方体大木块,现在把它锯成8块大小相同的正方体小木块,那么小木块的棱长是原来的几分之几?
解:设大正方体的棱长a,则它的体积为a3,锯成8块后小木块的棱长为x,
则x3=,则x= ,
所以小木块的棱长是原来的.
3　立方根
1.探索立方根概念.
引例
定义
性质
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第31页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第32页习题2.5第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.填空.
(1)一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的　　　　倍;?
(2)体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的　　　　倍;?
(3)当x　　　　时,有意义;?
(4)若x是64的立方根,则x的平方根是　　　　;?
(5)若x是64的平方根,则x的立方根是　　　　.?
2.求下列各数的立方根.
-1,,8000.
3.若x2=25,y3=(-5)3,求x+y的值.
【能力提升】
4.(1)填表.
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
(2)由上表你发现了什么规律?(请你用语言叙述出来);
(3)根据发现的规律填空:
①已知=1.442,则=　　　　;?
②已知=0.07697,则=　　　　.?
【拓展探究】
5.观察下列各式.
(1) =2 ;
(2) =3 ;
(3) =4 .
探究①:判断上面各式是否成立.
(1)　　　　;(2)　　　　;(3)　　　　.?
探究②:猜想 =　　　　.?
探究③:用含有n的式子将规律表示出来,说明n的取值范围,并用数学知识说明你所写式子的正确性.
拓展: =2 , =3 , =4 ……
根据观察上面各式的结构特点,归纳一个猜想,并验证你的猜想.
【答案与解析】
1.(1)2　(2)　(3)为任意数　(4)±2　(5)±2(解析:(4)x是64的立方根,则x为4,4的平方根是±2;(5)x是64的平方根,则x为±8,±8的立方根是=±2.)
2.解:=-1, ,=20.
3.解:因为x2=25,y3=(-5)3,所以x=±5,y=-5,当x=5,y=-5时,x+y=0;当x=-5, y=-5时,x+y=-10.
4.解:(1)从左到右依次填入:0.01,0.1,1,10,100.
(2)从表中发现被开方数小数点向右移动三位,立方根向右移动一位.　(3)①14.42　②7.697
5.解:探究①:(1)成立　(2)成立　(3)成立　探究②:5 　探究③: =n (n≥2,且n为整数).理由如下: = = =n .
拓展猜想: = =n .
本课时注意渗透类比的思想方法,通过类比思想方法的使用让学生省时省力,在学习新知的同时巩固已学的知识,通过新旧对比更好地掌握知识.
对“议一议”“想一想”“比一比”的探究情况和学
生练习的完成情况关注度不够,没有足够关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的,是否会用根号正确地表示一个数的立方根.
在探究与思考中,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习.
随堂练习(教材第31页)
1.解:　=0.5,　=-4,　=5,()3=16.
2.解:设这个正方体的棱长为x cm,则x3=8×33,所以x3=63,所以x==6.所以这个正方体的棱长为6 cm.
习题2.5(教材第32页)
1.解:它们的立方根依次是0.1,-1,-,20,,-8.
2.解:它们的值依次是2,,-3,125,-3.
3.解:如下表:
a
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.解:(1)对于正数k,随着k值的增大,它的算术平方根增大.　(2)对于正数k,随着k值的增大,它的立方根增大.如果k是一个负数,随着k值的增大,它的立方根增大.
5.解:设小木块的棱长为x cm,则8x3=1000,解得x=5.答:小木块的棱长是5 cm.
6.提示:2倍;3倍;10倍;倍.
　将一个体积为125 cm3的铜块改铸成8个相同大小的小立方体铜块,求每个小立方体铜块的表面积.
解:设每个小立方体铜块的边长为x cm,则x3×8=125,解得x=2.5,所以每个小立方体铜块的表面积为6×2.52=37.5(cm2).