2.4估算 教学详案

4　估　算
1.能通过估算检验计算结果的合理性.
2.能估计一个无理数的大致范围.
3.通过估算比较两个数的大小.
通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.
掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.
【重点】　估计一个无理数的大致范围.
【难点】　通过估算比较两个数的大小.
【教师准备】　梯子模型.
【学生准备】　复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.
导入一:
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.
如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?
导入二:
自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)
导入三:
“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为　　　　.?
【提示】　v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.
一、引例探究
　　[过渡语]　通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?
某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?
解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,
由题意得x·2x =400000,
2x2=400000,
x=.
那么=?
【问题】　(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.
(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)
【问题解决】　(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为200000平方米,大家估计一下,哪个数的平方是200000?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.
(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.
[设计意图]　从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.
　　[过渡语]　我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?
【问题】　(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.
①≈0.066;
②≈96;
③≈60.4.
(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)
【问题解决】　(1)这些结果都不正确.
(2) ≈10.
[设计意图]　同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.
二、例题讲解
　　[过渡语]　学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?
　生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?
〔解析〕　梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.
解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=,
因为5.62=31.36<32,所以>5.6,
因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.
三、比较无理数的大小
【问题】　比较与的大小.
【问题解决】　与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.
[知识拓展]　1.确定无理数近似值的方法(估算法).
(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72=388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.
(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n (n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.
2.比较无理数大小的方法.
(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.
(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.
(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.
(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.
另外还有倒数法、作商法.
比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.
1.确定无理数近似值的方法——估算法.
2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.
1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.
解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.
2.比较-1与1.5的大小.
解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.
4　估　算
1.引例探究.
2.例题讲解.
3.比较无理数的大小.
一、教材作业
【必做题】
教材第34页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题2.6第1,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结果正确吗?请说明理由.
(1)≈60.4;
(2) ≈351;
(3)≈35.1;
(4)≈10.6.
2.通过估算,比较下面各组数的大小.
(1) 与;
(2)与3.1.
【能力提升】
3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).
4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120000000 m2.
(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?
(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?
(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)
5.设a=,b=,c=2,则a,b,c之间的大小关系是 (　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.
(+1)(-1)=1,
()(-)=1,
()(-)=1,
()(-)=1……
(1)根据上面的规律,计算下列式子.
+…+·(+1).
(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.
【拓展探究】
7.先填写下表,通过观察后再回答问题.
a
…
0.000001
0.0001
0.01
1
100
10000
1000000
…
…
…
(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?
(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?
(3)试比较与a的大小.
【答案与解析】
1.解:(1)错误.因为显然小于60.　(2)错误.因为显然小于100.　(3)正确.因为35.12=1232.01.　(4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.
2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.　(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.
3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2 +(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2 =39,x2 =3,x=.所以长为3x =3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).
4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120000000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m.　(2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m.　(3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.
5.D(解析:∵a2=2000+2,b2=2000+2,c2=4004=2000+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)
6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2012.
(2)∵,,又,∴,∴--.
7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位.　(2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000.　(3)当0a;当a=1或0时,=a;当a>1时,这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.
由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果
产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.
在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.
随堂练习(教材第34页)
1.解:(1)≈3.7.　(2)≈9.
2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.
习题2.6(教材第34页)
1.提示:(1)≈6.　(2)≈5.1.
2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以.　(2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.
3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.
4.解:(1)不正确.因为显然大于10.　(2)不正确.因为显然小于100.
5.提示:约为4 m.
6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.
　估计+1的值在 (　　)
A.2到3之间　　　　　B.3到4之间
C.4到5之间 D.5到6之间
〔解析〕　利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.
　已知a,b为两个连续整数,且a<〔解析〕　因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.